Aula 11 - Modelagem de Sistemas no Tempo Contínuo

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ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Aula 11
Modelagem de Sistemas no Tempo Cont́ınuo
Prof. Dr. Roberto F. A. Menezes
26 de Março de 2025
Prof. Roberto Felipe Andrade Menezes Engenharia de Controle e Automação - IFES 26 de Março de 2025 1 / 56
Introdução
• A descrição de um sistema em termos de medidas nos terminais de
entrada e sáıda é chamada de Descrição Entrada-Sáıda.
• A teoria de sistemas envolve uma grande variedade de sistemas,
tais como elétricos, mecânicos, hidráulicos, acústicos, eletromecâ-
nicos e qúımicos, além de sistemas sociais, poĺıticos, econômicos e
biológicos.
• O primeiro passo na análise de um sistema é a construção do mo-
delo do sistema, o qual é a expressão matemática ou regra que
aproxima satisfatoriamente o comportamento dinâmico do
sistema.
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Introdução
• Modelos matemáticos de sistemas dinâmicos irão, em principio, consistir
de uma coleção de Equações Diferenciais.
an
dny(t)
dtn +a(n−1)
d(n−1)y(t)
dtn−1 + · · ·+a0y(t) =
bm
dmx(t)
dtm +b(m−1)
d(m−1)x(t)
dt(m−1) + · · ·+b0x(t)
em que n e m definem a ordem do sistema (n ≥ m); ai e bi são coefi-
cientes do sistema; x(t) e y(t) definem a entrada e a sáıda do sistema,
respectivamente.
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Conceito de Entrada e Sáıda
• Dada uma fronteira imaginária que caracteriza o sistema, temos
então as entradas e as sáıdas:
• Uma entrada é qualquer grandeza que pode modificar, de forma
significativa ou não, o estado do sistema.
• Uma sáıda é qualquer grandeza do sistema (informação) que ca-
racteriza o seu estado.
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Conceito de Entrada e Sáıda
• Exemplo: seja o sistema mecânico massa-mola-amortecedor da figura
abaixo, em que considera-se apenas uma entrada, a força f (t) sobre
a massa. A sáıda pode ser escolhida entre diversas variáveis, como a
posição da massa M, força da mola sobre o solo, temperatura da mola,
variação das propriedades mecânicas do material da mola, temperatura
do óleo do amortecedor, viscosidade do óleo do amortecedor, etc.
• O sistema poderia ter mais de uma entrada, como a vibração da base,
por exemplo, além da própria força f (t).
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Conceito de Entrada e Sáıda
• Em dinâmica é muito comum estudarmos o comportamento de um
sistema observando uma única resposta (uma sáıda) em função de
uma única entrada.
• Quando realizamos este estudo, todas as demais entradas têm de
ser obrigatoriamente mantidas constantes.
• Quando na análise de determinado sistema real, considerado linear,
temos mais de uma entrada variando, o estudo da resposta é feito
considerando uma entrada de cada vez.
• A resposta total é obtida aplicando o prinćıpio da superposição,
somando todas as respostas individuais.
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Conceito de Entrada e Sáıda
• Lembrando o Teorema da Superposição:
• Além da superposição, outra possibilidade é trabalhar com a mo-
delagem por Espaço de Estados numa abordagem mais moderna
voltado para análise de sistemas lineares e não-lineares (veremos
este assunto no futuro).
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Para construir um modelo de sistema, devemos determinar um mo-
delo satisfatório para a relação tensão-corrente de cada elemento,
tal como a Lei de Ohm para o resistor.
• Além disso, devemos determinar as várias relações nas tensões e
correntes quando vários elementos estão conectados.
• As leis de interconexão utilizadas em Sistemas Elétricos são as já
conhecidas Leis de Kirchhoff da Tensão e da Corrente (LKT
e LKC).
• A partir de todas estas equações, eliminamos as variáveis indese-
jadas para obter a(s) equação(ões) relacionando a(s) variável(eis)
de sáıda com a(s) de entrada(s).
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Lei de Ohm
▷ A queda de tensão elétrica entre uma extremidade e outra do
resistor é proporcional a corrente elétrica, e é definida pela
equação:
v = Ri
em que v é a diferença de potencial elétrico [V]; i é a corrente
elétrica [A]; R é a resistência elétrica [Ω].
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Lei de Kirchhoff da Tensão (LKT):
n
∑
j=1
v j = 0
em que v j é a tensão em cada elemento j da malha, e n é o número
total de elementos na malha.
▷ Em qualquer instante de tempo, o somatório das quedas de
tensões ao redor de uma malha deve ser zero.
▷ A convenção de sinal geralmente adotada considera que as
quedas de tensões têm sinais positivos e os aumentos de ten-
sões, sinais negativos.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC):
n
∑
j=1
i j = 0
em que i j é a corrente j que entra ou sai do nó, e n é o número
total de ramos.
▷ Em qualquer instante de tempo, o somatório algébrico das
correntes que entram e saem de um nó é zero.
▷ As correntes que entram em um nó são consideradas positivas
e as que saem, negativas.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Modelo do Capacitor
▷ O dispositivo armazena energia na forma de tensão elétrica.
▷ A relação Tensão×Corrente em um capacitor é dada por:
iC(t) =C
dvc(t)
dt
=Cv̇c(t)
vC(t) =
1
C
∫ t
0
iC(x)dx+ vC(0)
em que iC(t) é a corrente que passa pelo capacitor no tempo
t [A]; vC(t) é a tensão em cima do capacitor no tempo t [V];
C é a capacitância [F].
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Modelo do Indutor
▷ O dispositivo armazena energia em seu campo magnético.
▷ A relação Tensão×Corrente em um indutor é dada por:
vL(t) = L
diL(t)
dt
= Li̇L
iL(t) =
1
L
∫ t
0
vL(x)dx+ iL(0)
em que iL(t) é a corrente que passa pelo indutor no tempo t
[A]; vL(t) é a tensão em cima do indutor no tempo t [V]; L é
a Indutância [H].
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POR QUESTÕES DIDÁTICAS O DESENVOLVIMENTO DOS
EXEMPLOS A SEGUIR SERÁ FEITO NO QUADRO.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: A partir do circuito elétrico abaixo, encontre a equação
dinâmica do sistema. Considere a tensão vin a entrada e a corrente
IL a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: (continuação)
Aplicando a LKT, temos que a soma das quedas de tensão no laço
é igual à tensão da fonte:
vL + vR = vin
Sabemos que:
▷ A tensão no indutor é dada por: vL = LİL
▷ A tensão no resistor é dada por: vR = RIR = RIL
Substituindo essas expressões na equação da LKT, temos a equação
diferencial que modela o circuito RL:
LİL +RIL = vin
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: A partir do circuito elétrico abaixo, encontrea equação
dinâmica do sistema. Considere a tensão vin a entrada e a corrente
IL a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: (continuação)
Aplicando a LKT, temos:
vR + vL + vC = vin
Sabemos que a relação dessas tensões com IL é:
vR = RIL; vL = LİL; vC =
1
C
∫
IL dt
Substituindo na equação da LKT:
LİL +RIL +
1
C
∫
IL dt = vin
Diferenciando ambos os lados para eliminar a integral:
LÏL +RİL +
1
C
IL = v̇in
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: A partir do circuito elétrico abaixo, encontre a equação
dinâmica do sistema. Considere a corrente Iin a entrada e a tensão
vC no capacitor a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: (continuação)
Aplicamos a LKC no nó:
Iin = IR + IL + IC
As correntes em função da tensão vC(t) são:
IR =
vC
R
; IL =
1
L
∫
vC dt; IC =Cv̇C
Substituindo na equação da LKC:
Iin =
vC
R
+
1
L
∫
vC dt +Cv̇C
Derivando ambos os lados para eliminar a integral:
Cv̈C +
1
R
v̇C +
1
L
vC = İin
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: A partir do circuito elétrico abaixo, encontre a equação
dinâmica do sistema. Considere a corrente Iin a entrada e a tensão
vC no capacitor a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: (continuação)
Aplicamos a LKC no nó:
Iin = IC + I2
Com:
IC =Cv̇C; I2 =
v2
R2
sendo v2 a tensão no resistor R2.
Logo:
Iin =Cv̇C +
v2
R2
(1)
Além disso, podemos definir v2 = v1 + vc, sendo v1 a tensão no resistor
R1:
v2 = v1 + vC = R1IC + vc = R1Cv̇C + vc
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Modelagem de Sistemas Elétricos
• Exemplo: (continuação)
Substituindo v2 na Equação (1):
Iin =Cv̇C +
R1Cv̇C + vc
R2
Logo:
(C+
R1C
R2
)v̇C +
1
R2
vc = Iin
Ajustando a equação:
(R1 +R2)Cv̇C + vC = R2Iin
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Para um ponto ou um corpo ŕıgido de massa m em movimento tem-se:
∑F = mẍ
em que ∑F é o somatório das forças externas que atuam sobre o corpo,
na direção x [N]; x é deslocamento do corpo [m]; ẍ é a aceleração do
corpo na direção x [m/s2].
• Essa formulação algébrica considera que o sentido positivo escolhido
para o deslocamento seja igual ao sentido positivo adotado para as
forças que atuam sobre o ponto.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Considerando outro tipo de movimento, se o corpo tem movimento de
rotação em torno de um eixo e se J for o momento de inércia do corpo
em relação a este eixo de rotação, então:
∑T = Jθ̈
em que ∑T é o somatório dos momentos externos que atuam sobre
o corpo [N.m]; J é o momento de inércia do corpo [kg.m2]; θ é o
deslocamento angular do corpo [rad]; θ̈ é a aceleração angular do corpo
[rad/s2].
• Observação: O Momento de Inércia expressa o grau de dificuldade em
se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• O sentido positivo escolhido para o deslocamento angular deve ser exa-
tamente o mesmo sentido positivo para os momentos que atuam sobre
o corpo.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Mola Linear
▷ A denominação Mola Linear significa que a relação entre a força
da mola e sua deformação é linear.
▷ Elas podem efetuar deslocamentos lineares (Molas Translacionais)
ou deslocamentos angulares (Molas Torcionais):
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Mola Linear (continuação)
▷ Estas denominações não são de uso comum na prática, pois as
molas de translação são simplesmente chamadas de molas e as de
rotação, de molas torcionais.
▷ Ilustração das forças da mola em um corpo e dos deslocamentos
lineares:
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• Mola Linear (continuação)
▷ Para uma mola linear ideal, o modelo é dado pelas expressões:
F1 =−K(x1 − x2)
F2 =−K(x2 − x1)
em que x1 e x2 são os deslocamentos lineares, respectivamente,
das extremidades 1 e 2 da mola, ambos com o mesmo sentido
positivo;. A diferença entre x1 e x2 é a deflexão da mola; K é o
coeficiente da mola, considerado constante; F1 é a força da mola
sobre o corpo que está acoplado na extremidade 1 da mola; F2 é a
força da mola sobre o corpo que está acoplado na extremidade 2
da mola.
▷ O sentido das forças F1 e F2 é positivo no mesmo sentido positivo
dos deslocamentos x1 e x2.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Mola Linear (continuação)
▷ Ilustração das forças da mola torcional em um corpo e dos deslo-
camentos lineares:
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Mola Linear (continuação)
▷ Para uma mola torcional linear ideal, o modelo é dado pelas ex-
pressões:
T1 =−Kt(θ1 −θ2)
T2 =−Kt(θ2 −θ1)
em que θ1 e θ2 são os deslocamentos angulares, respectivamente,
das extremidades 1 e 2 da mola torcional, ambos com o mesmo
sentido positivo. A diferença θ1 e θ2 é a deflexão angular da mola;
Kt é o coeficiente da mola torcional, considerado constante; T1 é
o torque da mola sobre o corpo que está acoplado na extremidade
1 da mola; T2 é o torque da mola sobre o corpo que está acoplado
na extremidade 2 da mola.
▷ O sentido positivo escolhido para o deslocamento angular deve ser
exatamente o mesmo sentido positivo para os Torques que atuam
sobre o corpo.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Amortecedor Linear
▷ É aquele que tem sua força proporcional à diferença das velocidades
das suas extremidades.
▷ De maneira similar às molas, os amortecedores podem produzir
dois tipos de amortecimento:
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• Amortecedor Linear (continuação)
▷ Ilustração das forças do amortecedor em um corpo e das velocida-
des:
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• Amortecedor Linear (continuação)
▷ Para um amortecedor linear ideal, o modelo é dado pelas expres-
sões:
F1 =−B(ẋ1 − ẋ2)
F2 =−B(ẋ2 − ẋ1)
em que ẋ1 e ẋ2 são as velocidades, respectivamente, das extremida-
des 1 e 2 do amortecedor, ambos com o mesmo sentido positivo. B
é o coeficiente do amortecedor, considerado constante; F1 é a força
do amortecedor sobre o corpo que está acoplado na extremidade
1 do amortecedor; F2 é a força do amortecedor sobre o corpo que
está acoplado na extremidade 2 do amortecedor.
▷ O sentido das forças F1 e F2 é positivo nomesmo sentido positivo
das velocidades ẋ1 e ẋ2.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Amortecedor Linear (continuação)
▷ Ilustração dos torques do amortecedor torcional em um corpo e das
velocidades angulares:
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Amortecedor Linear (continuação)
▷ Para um amortecedor torcional linear ideal, o modelo é dado pelas
expressões:
T1 =−Bt(θ̇1 − θ̇2)
T2 =−Bt(θ̇2 − θ̇1)
em que θ̇1 e θ̇2 são as velocidades angulares, respectivamente,
das extremidades 1 e 2 do amortecedor torcional, ambos com o
mesmo sentido positivo; Bt é o coeficiente do amortecedor torcional
(constante); T1 é o torque do amortecedor sobre o corpo que está
acoplado na extremidade 1 da mola; T2 é o torque do amortecedor
sobre o corpo que está acoplado na extremidade 2 da mola.
▷ O sentido positivo escolhido para a velocidade angular deve ser
exatamente o mesmo sentido positivo para os Torques que atuam
sobre o corpo.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Modele um atuador solenóide onde a força eletromagnética
(Fem) produzida pela bobina será a entrada do sistema, e o deslocamento
x como a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:
∑F = mẍ
As forças atuantes no corpo são:
▷ Força eletromagnética: Fem;
▷ Força da mola: F1 =−Kx;
▷ Força de amortecimento: F2 =−Bẋ;
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
Logo:
Fem −Bẋ−Kx = mẍ
Reorganizando:
mẍ+Bẋ+Kx = Fem
Dividindo por m:
ẍ+
B
m
ẋ+
K
m
x =
1
m
Fem
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Sistema de suspensão de um assento que é projetado para
atenuar (suprimir) as vibrações da estrada transmitidas ao motorista.
Considere o deslocamento z0 como a entrada do sistema e os desloca-
mentos z1 e z2 como as sáıdas. Considere z o deslocamento a partir da
posição de equiĺıbrio estático.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos:
▷ Equação para m2:
m2z̈2 = FB2′+Fk2′ =−B2(ż2 − ż1)−K2(z2 − z1)
Logo:
m2z̈2 +B2ż2 −B2ż1 +K2z2 −K2z1 = 0
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
▷ Equação para m1:
m1 z̈1 = FB1+FB2′′+Fk2′′+Fk1 =−B1(ż1 − ż0)−B2(ż1 − ż2)−K2(z1 − z2)−K1(z1 − z0)
Logo:
m1z̈1 −B2ż2 +(B1 +B2)ż1 −K2z2 +(K1 +K2)z1 = B1ż0 +K1z0
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
▷ Sistema de Equações:{
m1z̈1 −B2ż2 +(B1 +B2)ż1 −K2z2 +(K1 +K2)z1 = B1ż0 +K1z0
m2z̈2 +B2ż2 −B2ż1 +K2z2 −K2z1 = 0
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Sistema com mola e amortecedor em série. Considere a
força fa como a entrada do sistema e os deslocamentos z1 e z2 como
as sáıdas. Considere a massa no ponto z2 despreźıvel.
mz̈1 + kz2 = fa
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Sistema com mola e amortecedor em série. Considere a
força fa como a entrada do sistema e os deslocamentos z1 e z2 como
as sáıdas. Considere a massa no ponto z2 despreźıvel.
mz̈1 + kz2 = fa
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
Assumindo massa despreźıvel no ponto z2:
Fk+FB′′ = 0 ⇒−kz2 −B(ż2 − ż1) = 0 ⇒ kz2 = B(ż1 − ż2)
Para o corpo de massa m:
mz̈1 = FB′+ fa ⇒ mz̈1 +B(ż1 − ż2) = fa ⇒ mz̈1 + kz2 = fa
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Sistema mecânico de disco único. Considere o torque Tin
como a entrada do sistema e a velocidade angular ω como a sáıda.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
Jθ̈ =−BT θ̇+Tin
Fazendo ω = θ̇:
Jω̇+BT ω = Tin
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: Sistema mecânico de disco duplo. Considere o torque Tin
como a entrada do sistema e os deslocamentos angulares θ1 e θ2 como
as sáıdas.
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Modelagem de Sistemas Mecânicos
• Exemplo: (continuação)
{
J1θ̈1 =−Bθ̇1 −K(θ1 −θ2)−Tin
J2θ̈2 =−Bθ̇2 −K(θ2 −θ1)+Tin
{
J1θ̈1 +Bθ̇1 +Kθ1 −Kθ2 =−Tin
J2θ̈2 +Bθ̇2 +Kθ2 −Kθ1 = Tin
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Exerćıcios
• Para o circuito mostrado na figura abaixo, determine as equações dife-
renciais relacionando as sáıdas y1(t) e y2(t) com a entrada x(t).
{
ẏ1 +3y1 = x
ẏ2 +3y2 = ẋ
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Exerćıcios
• Para o circuito mostrado na figura abaixo, determine as equações dife-
renciais relacionando as sáıdas y1(t) e y2(t) com a entrada x(t).
{
ÿ1 +2ẏ1 +2y1 = ẍ
ÿ2 +2ẏ2 +2y1 = ẋ
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Exerćıcios
• Um modelo unidimensional simplificado da suspensão de um automóvel
está mostrado na figura abaixo. Neste caso, a entrada não é uma
força, mas um deslocamento x(t) (o contorno da rodovia). Determine a
equação diferencial que relaciona a sáıda y(t) (deslocamento do corpo
do automóvel) com a entrada x(t) (contorno da rodovia).
Mÿ+Bẏ+Ky = Bẋ+Kx
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Bibliografia Utilizada
• ALKIN, Oktay. Signals and Systems: A MATLAB Integrated Appro-
ach. 1. ed. Boca Raton: CRC Press, 2014;
• CHAPARRO, Luis F.; AKAN, Aydin. Signals and Systems Using
MATLAB. 3ª ed. Academic Press, 2019;
• HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Berry. Sinais e sistemas. 1ª ed. Porto
Alegre: Bookman, 2003;
• LATHI, Bhagawandas P. Sinais e sistemas lineares. 2ª ed. Porto
Alegre: Bookman, 2007;
• OPPENHEIM, Alan. V.; WILLSKY, Alan. S.; NAWAB, Syed H. Sinais
e sistemas. 2ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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Dúvidas
• Procurar o professor no horários de atendimento;
• Mandar e-mail para roberto.menezes@ifes.edu.br;
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