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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Licenciatura em Matema´tica - Geometria Anal´ıtica
Respostas dos exerc´ıcios do mo´dulo 2 - 2003
Observac¸a˜o: As respostas esta˜o sem revisa˜o, portanto, caso sua resposta seja
diferente, entre em contato com o tutor presencial ou o tutor a` distaˆncia.
Correc¸o˜es nos enunciados de alguns exerc´ıcios
Atenc¸a˜o: Antes de fazer os exerc´ıcios fac¸a as devidas correc¸o˜es em todos os
enunciados. Verifique se sua versa˜o ja´ conte´m as modificac¸o˜es.
Correc¸o˜es
Para cada exerc´ıcio especificado a seguir, compare o que e´ dado com o que esta´ no livro
e corrija o que for necessa´rio, de acordo com o apresentado nessa relac¸a˜o.
Aula 15: O exerc´ıcio 2 item d) esta´ com enunciado incompleto. O enunciado completo e´
Ache o ponto G tal que ABCG e´ um paralelogramo com
lados AB, BC, CG e GA.
Aula 15: O exerc´ıcio 2 item e) esta´ com enunciado errado, pois ha´ possibilidade de ser
constru´ıdo mais de um paralelep´ıpedo satisfazendo o desejado. O enunciado correto e´
Localize o ponto H = (2, 2,−1) e determine um para-
lelep´ıpedo que tenha entre seus ve´rtices os pontos A, B, C
e H. Deˆ as coordenadas dos outros ve´rtices.
Aula 15: O exerc´ıcio 4 item a) esta´ com enunciado incompleto, pois da forma que esta´ escrito
ha´ possibilidade de haver sequ¨eˆncia de pontos alinhados. Na˜o queremos essa situac¸a˜o. O
enunciado correto e´
a) Admitamos que: cada ponto da sequ¨eˆncia dada na˜o seja
colinear (na˜o esteja alinhado) com o seguinte ; An na˜o seja
colinear a A1 ; o segmento Ai−1Ai so´ tem ponto comum com
os segmentos Ai−2Ai−1 e AiAi+1, i = 3, ..., n − 1 ; o segmento
A1A2 so´ tem ponto comum com os segmentos AnA1 e A2A3 ;
o segmento AnA1 so´ tem ponto comum com os segmentos
An−1An e A1A2.
Com essas considerac¸o˜es, quantos lados tem o pol´ıgono
cujos ve´rtices sa˜o os pontos A1, A2, A3, ..., An, A1 ?
1
Aula 16: A definic¸a˜o 9 esta´ com enunciado errado. O enunciado correto e´ o seguinte
Definic¸a˜o 9. Os vetores −→a e −→b sa˜o colineares se existe um
valor real λ tal que: ou
−→
b = λ−→a ou −→a = λ−→b .
Com isto, a observac¸a˜o que esta´ ao lado da definic¸a˜o (na lateral direita da pa´gina) torna-se
errada. Troque o que esta´ escrito pela seguinte observac¸a˜o:
Note que ... Se −→a �= −→O enta˜o −→a e −→O sa˜o colin-
eares, pois
−→
O = 0(−→a ). Na definic¸a˜o de colineari-
dade, basta que consigamos uma relac¸a˜o do tipo
−→a = λ−→b , podendo λ ser igual a zero. Isto significa
que o vetor nulo e´ colinear a qualquer vetor.
Observe que na definic¸a˜o 9 aparece o conectivo ou.
Aula 16 : Exerc´ıcio 4 item b) : Troque as coordenadas do ponto C para C = (0, 1, 1).
Aula 16 Exerc´ıcio 5 : Troque-o pelo seguinte:
5. Dentre os conjuntos de vetores dados, deter-
mine quais desses conjuntos representam bases para
o espac¸o, isto e´, quais desses conjuntos sa˜o LI.
β1 = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 0,−1), v3 = (2, 2, 2)} ,
β2 = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 0,−2), v3 = (3, 1,−2)} ,
β3 = {v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, 0).}
Aula 16: Exerc´ıcio 6, c) −→v1 = (1, 1, 0).
Aula 17: Exerc´ıcio 8. Enunciado correto: Em cada um dos ı´tens abaixo, verifique se existe
plano satisfazendo o desejado. Caso exista, determine suas equac¸o˜es parame´tricas.
c) �2


x = 1 + s
y = 1 + s
z = 0
, t ∈ R.
Aula 17: Exerc´ıcio 10 a) A=(0,0,1).
Aula 18: Exerc´ıcio 3 a) AB e´ tal que B = (−2,−2, 1);
3 d) No lugar de
−→
AB considere
−−→
BC; o ponto A passa a ser designado B e B passa a ser
designado C, ficando assim B = (1, 0,−1) e C = (1, 0, 0).
Aula 19: Exemplo 40 da teoria: Substitua o u´ltimo para´grafo por: Da segunda equac¸a˜o,
vemos que y = 2z−1. Substituindo na primeira, obtemos x = 2−3z. Sendo z = t arbitra´rio,
obtemos as seguintes equac¸o˜es parame´tricas para � :


x = 2− 3t
y = 2t− 1
z = t
, t ∈ R.
2
Aula 19: Exerc´ıcio 9. Equac¸o˜es parame´tricas de Π1 :


x = 1
y = 2 + t
z = 1− s− 2t
, t, s ∈ R.
Aula 20: Exerc´ıcio 1 e) −→w3 = −2−→v3 .
Respostas(Lembre que a aula 13-2003 corresponde a aula 14-2002 e assim por diante ate´
chegar a aula 21-2003, que corresponde a aula 22-2002 mais uma parte da aula 23-2002).
Aula 13 (corresponde a aula 14- versa˜o 2002)
2. a) As projec¸o˜es de A,B,C e D no eixo OX sa˜o (4, 0, 0), (−3, 0, 0), (2, 0, 0) e (0, 0, 0),
respectivamente; no eixo OY sa˜o (0, 3, 0), (0, 2, 0), (0,−3, 0) e (0, 0, 0), respectivamente; no
eixo OZ sa˜o (0, 0, 5), (0, 0, 1), (0, 0, 0) e (0, 0,−3), respectivamente.
b) As projec¸o˜es de A,B,C e D: no plano ΠXY , basta substituir a 3
a coordenada de cada
ponto por 0; no plano ΠXZ basta substituir a 2
a coordenada de cada ponto por 0; no plano
ΠY Z basta substituir a 1
a coordenada de cada ponto por 0.
c) Basta substituir a 3a coordenada de cada ponto por −3.
d) Basta substituir a 2a coordenada de cada ponto por −2.
3. A primeira coisa a fazer e´ detectar quais segmentos sa˜o arestas, quais sa˜o diagonais das
faces e quais sa˜o diagonais do cubo: d(A,B) = d(A,C) = 2a, d(B,C) = 2a
√
2, d(A,D) =
2a
√
3.
Enta˜o AB e AC esta˜o em arestas partindo do ve´rtice A, portanto BC diagonal da face que
conte´m os pontos A,B,C, e D e´ ve´rtice oposto a A formando a diagonal AD do cubo. Deter-
minando os outros ve´rtices: Tomemos o ponto me´dio de BC, M1 = (0,−a, 0). Denotemos E
o quarto ve´rtice da face que conte´m A,B,C. Enta˜o M1 e´ tambe´m ponto me´dio da diagonal
AE. Obtenha E = (a,−a, a). Denotemos A′, B′, C ′ pontos tais que AA′, BB′, CC ′ sejam
as arestas restantes paralelas a` aresta ED, ou seja,
−−→
AA′ =
−−→
BB′ =
−−→
CC ′ =
−−→
ED = (0, 2a, 0).
Obtenha A′ = (−a, a,−a), B′ = (a, a,−a), C = (−a, a, a).
4. a) Verdadeiro. Se P = (x0, y0, z0) e´ um ponto do espac¸o enta˜o ele e´ ponto do plano z = z0,
que e´ o plano paralelo ao plano ΠXY passando pelo ponto (0, 0, z0).
b) Sim, basta que tomemos para eixos coordenados, retas perpendiculares, duas a duas,
passando pelo ponto P dado. Enumeramos conservando a mesma unidade de medida, sentido
e atribuindo ao ponto P a origem do sistema, ou seja, para cada cada eixo, o ponto que
coincide com P corresponde o valor real zero, portanto P tem coordenadas (0, 0, 0)
c) Falso. Quatro pontos do plano podem na˜o ser co-planares. Para exemplificar, podemos
tomar os pontos P1 = (1, 0, 0), P2 = (1, 2, 3), P3 = (1, 0, 1) e P4 = (5, 5, 5). Os treˆs primeiros
pontos na˜o esta˜o alinhados e pertencem ao plano x = 1, que e´ paralelo ao plano ΠY Z . No
entanto, P4 e´ ponto do plano x = 5.
d) Tomemos o plano ΠXZ . Dado P0 ∈ ΠXZ , enta˜o a reta perpendicular a ΠXZ passando por
P0 e´ tal que todos os seus pontos teˆm P0 para projec¸a˜o. Logo, ha´ um nu´mero infinito de
pontos cuja projec¸a˜o e´ P0.
e) Sejam Π1, Π2, Π3 planos paralelos aos planos ΠXY , ΠXZ , ΠY Z , respectivamente. Temos:
Π1 paralelo a ΠXY e Π2 paralelo a ΠXZ ⇒ Π1 ∩ Π2 e´ uma reta r paralela ao eixo OX.
Π1 paralelo a ΠXY e Π3 paralelo a ΠY Z ⇒ Π1 ∩ Π3 e´ uma reta s paralela ao eixo OY .
3
Enta˜o r e s sa˜o retas na˜o paralelas contidas no plano Π1, portanto se interceptam em um
ponto P . Este e´ o ponto de intersec¸a˜o dos planos, pois {P} = r∩s = (Π1∩Π2)∩(Π1∩Π3) =
Π1 ∩ Π2 ∩ Π3.
Aula 14
1. d(O,A) = 6, d(O,B) =
√
26, d(O,C) =
√
74; d(O,D) =
√
3.
2. d(A,P ) = d(B,P ) =
√
30.
3. d(A,B) = 3
√
2, d(A,C) =
√
46, d(B,C) =
√
46 ⇒ o triaˆngulo e´ iso´sceles.
4. d(A,B) = 12, d(A,C) = 2
√
6, d(B,C) =
√
120 e d(A,C)2+d(B,C)2 = 24+120 = 144 =
d(A,B)2.
5. As coordenadas do ponto (4,−1,−1) indicam que a esfera esta´ no octante x > 0, y < 0
e z < 0. Como tangencia os planos coordenados, enta˜o seu centro equ¨idista desses planos e
tem coordenada P0 = (a,−a,−a), a > 0, onde a e´ o raio da esfera. Como P = (4,−1,−1)e´ ponto da esfera, para determinarmos o valor de a equacionamos: d(P, P0) = a, pois P0 e´
centro e a e´ o raio. Desenvolvendo temos
√
(4− a)2 + (−1 + a)2 + (−1 + a)2 = a2.
Calcule e obtenha a = 3 e o centro da esfera e´ P0 = (3,−3,−3).
7. (x− 3)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 9.
8. (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 8.
9. Se interceptam determinando um c´ırculo.
10. Fazendo a reduc¸a˜o por quadrados perfeitos, obtemos
S1 : (x− 1)2 + (y + 1)2 + z2 = 9, S2 : x2 + y2 + (z −
√
2)2 = 1.
S1: centro A1 = (1,−1, 0) e raio R1 = 3; S2 : centroA2 = (0, 0,
√
2) e raio R2 = 1. Obtenha
R1 = R2 + L, logo as esferas sa˜o tangentes, onde L = d(A1, A2).
12. (Aplicac¸a˜o do exerc´ıcio 11) a) M = (1
2
, 1,−1
2
); b) M = (5
2
, 3
2
, 1); c) M = (1
2
, 0,−1
2
); b)
M = (1
2
, 1
2
, 1
2
).
Aula 15
1. b) G = (5, 1,−5), c) Na˜o. d) H = (4,−2,−4), e) AD = BH = (2,−3,−2), f)
H = (−2,−5, 1).
2. a) D = (−2, 1, 3), E = (0, 1, 1), c) B e´ ponto me´dio de AD, d) (Veja correc¸a˜o do
enunciado) G = (3,−1,−2) , e) (Veja correc¸a˜o do enunciado) Tomando AH = (0, 3, 0)
para uma das arestas, e denotando B′, C ′, G′ os outros ve´rtices determinando as arestas
BB′, CC ′, GG′, obtemos B′ = (0, 3, 1), C ′ = (1, 3, 0) e G′ = (0, 2,−2). Verifique!
3. a) (-4,-4,0), b)(−11,−8,−1), c)(−2, 1,−2), d) (−13, 1,−15), e) −→0 , f) (−3,−4,−1), g)−→
0 .
4. a) Se denotamos �i o lado dado pelo segmento AiAi+1 enta˜o obtemos os lados �1, �2, ..., �n−1
trac¸ando os segmentos A1A2, A2A3, A3A4, ..., An−1An respectivamente, e obtemos o lado �n
trac¸ando o segmento AnA1. O pol´ıgono tem n lados.
b) Apliquemos a propriedade de adic¸a˜o de vetores:
−−−−→
AiAi+1 +
−−−−−−→
Ai+1Ai+2 =
−−−−→
AiAi+2. Enta˜o
fazendo a adic¸a˜o do primeiro com o segundo,
−−−→
A1A2 +
−−−→
A2A3 =
−−−→
A1A3, adicionando o terceiro
ao resultado,−−−→
A1A2 +
−−−→
A2A3︸ ︷︷ ︸+−−−→A3A4 = −−−→A1A3 +−−−→A3A4 = −−−→A1A4
4
e continuando o processo, como indicado abaixo
−−−→
A1A2 +
−−−→
A2A3︸ ︷︷ ︸+−−−→A3A4︸ ︷︷ ︸+... +
−−−−−→
An−1An +
−−−→
AnA1︸ ︷︷ ︸
chegamos a adic¸a˜o
A1An + AnA1 = A1A1 =
−→
O.
c) Aplicando o processo anterior obtemos o vetor
−−−→
A1Ak.
d) Vejamos o que acontece se tomamos k = 3−−−→
A1A2 +
−−−→
A2A3 =
−−−→
A1A2 +
−−−→
A1A3 ⇔ −−−→A1A2 −−−−→A1A2 = −−−→A2A3 −−−−→A1A3 ⇔−→
O =
−−−→
A2A3 − (−−−→A1A2 +−−−→A2A3) ⇔ −→O = −−−→A1A2.
Sabemos que
−→
O =
−−−→
A1A2 se, e somente se, A1 = A2. Como os pontos dados sa˜o todos
distintos, isto na˜o pode ocorrer, logo a identidade e´ falsa.
a) G = (3
4
, 3
4
, 3
4
), b) G1 =
1
16
(15, 11, 3), G2 =
1
16
(7, 3, 11), G3 =
1
16
(19, 11, 19), G4 =
1
16
(7, 23, 15);
c) G′ = (3
4
, 3
4
, 3
4
).
Aula 16.
1. a) Na˜o sa˜o. b) Na˜o sa˜o. c) Na˜o sa˜o. d) Na˜o sa˜o.
3. a) Verdadeira. Observe que neste caso, os vetores
−→
AB e
−→
AC esta˜o representados por
segmentos orientados AB e AC, com mesmo ponto inicial A. Lembre que dois vetores −→u e−→v sa˜o co-lineares se, e somente se, existe λ ∈ R tal que −→u = λ−→v ou −→v = λ−→u . Vimos que a
co-linearidade entre vetores significa que os segmentos orientados que os representam esta˜o
em retas paralelas ou na mesma reta. Portanto, como A e´ ponto do segmento orientado
de cada representante, enta˜o os pontos A,B,C esta˜o na mesma reta, logo, qualquer par de
segmentos orientados, formado por esses pontos, sa˜o co-lineares, o que implica
−→
CA e
−−→
CB sa˜o
co-lineares.
b) Verdadeira. c) Verdadeira. d) Verdadeira.
4. a) D pertence; b)(Veja correc¸a˜o nas coordenadas). D pertence; c) D na˜o pertence; d)D
pertence.
5. (Veja correc¸a˜o) β1 e´ L.I.; β2 e´ L.I. e β3 e´ L.D.
6. a) −→w β = (52 ,−52 , 32); b) −→w β = (12 , 1, 12); c)(Veja correc¸a˜o) −→w β = (2, 2,−2).
Aula 17.
1. a) � :


x = 3− 7t
y = −1 + 3t
z = 1− 5t
, t ∈ R ; b) � :


x = t
y = −1− t
z = 1
, t ∈ R ;
c) � :


x = 1− (1 +√3)t
y = 2− 2t
z = −1 + 2t
, t ∈ R ; d) � :


x = π + (2π − π2)t
y = −πt
z = 1 + t
, t ∈ R.
2. a) r1 :


x = 1 + 2t
y = 3t
z = 1
, t ∈ R ; b) r2 :


x = 3 + 2t
y = 1
z = 1 + 3t
, t ∈ R ;
5
c) r3 :


x = 2 + 2t
y = 2 + 3t
z = 0
, t ∈ R ; d) r4 :


x = 3 + 2t
y = 3 + 3t
z = 0
, t ∈ R.
3. r1 e r2; r2 e r4.
4. Para ser paralela ao plano ΠXY (z = 0): os vetores devem ter a 3
a coordenada igual a
zero; para ser paralela ao plano ΠXZ (y = 0): os vetores devem ter a 2
a coordenada igual a
zero; para ser paralela ao plano ΠY Z (x = 0): os vetores devem ter a 1
a coordenada igual a
zero.
5. a) −→v1 e −→v2 sa˜o LI, portanto geram um plano Π :


x = 1 + 2t + s
y = 1 + 2s
z = −t + 2s
, t, s ∈ R.
b)
−→
AB e −→v sa˜o LI, portanto geram um plano Π :


x = 2 + t
y = t + 2s
z = −1 + t + 3s
, t, s ∈ R.
c)
−→
AB e
−→
AC sa˜o LI, portanto geram um plano Π :


x = 3t− s
y = t + s
z = −2 + 2s
, t, s ∈ R.
6. Temos que mostrar que v1 e v2 sa˜o direc¸o˜es de Π2 linearmente independentes.
Sendo Π1 ∩ Π2 = ∅, isto e´, planos paralelos, e v1 e v2 geradores de Π1, existem retas r
e s, contidas em Π1, com essas direc¸o˜es. Essas retas sa˜o sa˜o concorrentes, pois v1 e v2 sa˜o
geradores (LI). Segue, do paralelismo entre os planos, que existem retas r′ e s′, contidas em
Π2, paralelas a r e s, respectivamente. Portanto r
′ e s′ sa˜o concorrentes e suas direc¸o˜es (v1
e v2, respectivamente) sa˜o direc¸o˜es de Π2, pois as retas esta˜o contidas em Π2. Como v1 e v2
sa˜o LI enta˜o sa˜o geradores de Π2.
7. Seja P0 = (x0, y0, z0) ponto do espac¸o. Admitamos que
−→v1 = (a1, b1, c1) e −→v2 = (a2, b2, c2)
sejam vetores LI. Enta˜o Π :


x = x0 + a1t + a2s
y = y0 + b1t + b2s
z = z0 + c1t + c2s
, t, s ∈ R, sa˜o as equac¸o˜es parame´trica
de um plano que passa por P0 (basta fazer t = s = 0).
8. a) Π :


x = 1 + t + s
y = 1
z = t + s
, t, s ∈ R ;
b) As retas na˜o podem ser paralelas ou coincidentes porque suas direc¸o˜es na˜o sa˜o paralelas.
Como o sistema


1 + t = s
1 + t = −s
1− t = s
na˜o tem soluc¸a˜o enta˜o essas retas sa˜o reversas, logo na˜o ha´
plano que as contenha.
6
c) Π :


x = 1 + s
y = 1 + 2s
z = t
, t, s ∈ R ; d) ,Π;


x = 1 + t
y = 1
z = 1 + s
, t, s ∈ R.
9. a) Falsa. Dizer
−→
AB e
−→
AC significa que existe λ ∈ R tal que −→AB = λ−→AC ou −→AC = λ−→AB,
ou seja, esses vetores sa˜o LD, portanto na˜o geram um plano.
b) Verdadeira. Prova: Admitamos que sejam dados (1) e (2) como segue
(1) Um plano Π que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e gerado pelos vetores v1 = (a1, b1, c1) ,
v2 = (a2, b2, c2), portanto de equac¸o˜es parame´tricas Π :


x = x1 + a1t + a2s
y = y1 + b1t + b2s
z = z1 + c1t + c2s
, t, s ∈ R.
(2) Uma reta r passando pelo ponto B = (x3, y3, z3) e direc¸a˜o v3 = (a3, b3, c3). Portanto de
equac¸o˜es parame´tricas r :


x = x3 + a3λ
y = y3 + b3λ
z = z3 + c3λ
, λ ∈ R.
Um ponto P0 = (x0, y0, z0) e´ ponto comum a Π e r se, e somente se, existem valores t, s, λ
tais que


x1 + a1t + a2s = x0
y1 + b1t + b2s = y0
z1 + c1t + c2s = z0
e


x3 + a3λ = x0
y3 + b3λ = y0
z3 + c3λ = z0 .
Igualando as equac¸o˜es, conclu´ımos que existe tal P0 se, e somente se, existem t, s, λ tais que

x1 + a1t + a2s = x3 + a3λ
y1 + b1t + b2s = y3 + b3λ
z1 + c1t + c2s = z3 + c3λ
ou seja, ⇔


a1t + a2s− a3λ = x3 − x1λ
b1t + b2s− b3λ = y3 − y1
c1t + c2s− c3λ = z3 − z1
.
Isto significa que os valores t, s, λ e´ o terno soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es a treˆs varia´veis,
visto que todos os outros valores sa˜o previamente conhecidos.
c) Falsa. Observac¸a˜o: Um plano necessita de dois vetoresLI para ser gerado. Podemos
ter um conjunto de vetores LD (treˆs ou mais) gerando um plano, mas para isso acontec¸a,
e´ necessa´rio que dois deles sejam LI (os outros sa˜o combinac¸o˜es lineares dos dois LI). Dois
vetores LD (sendo, pelo menos um, na˜o nulo) geram uma reta.
10. a) � ∩ Π = ∅.; b) � ∩ Π = (3
5
, 4
5
,−2
5
).; c) � ∩ Π = ∅.
Aula 18.
7
a) 〈−→v1 ,−→v1〉 = 3 ; 〈−→v1 ,−→v2〉 = 2√
2
; 〈−→v1 ,−→v3〉 = −2 ; 〈−→v1 ,−→v4〉 = 0 ;
〈−→v1 ,−→v5〉 = −4 ; 〈−→v1 ,−→v6〉 =
√
3 ; 〈−→v1 ,−→v7〉 = 6 ; 〈−→v1 ,−→v8〉 = −3 ;
〈−→v2 ,−→v2〉 = 1; 〈−→v2 ,−→v3〉 = − 1√
2
; 〈−→v2 ,−→v4〉 = − 1√
2
; 〈−→v2 ,−→v5〉 = − 5√
2
;
〈−→v2 ,−→v6〉 =
√
3− 1√
2
; 〈−→v2 ,−→v7〉 = 2√
2
; 〈−→v2 ,−→v8〉 = − 2√
2
; 〈−→v3 ,−→v3〉 = 2 ;
〈−→v3 ,−→v4〉 = −1 ; 〈−→v3 ,−→v5〉 = 2 ; 〈−→v3 ,−→v6〉 = 0 ; 〈−→v3 ,−→v7〉 = −4 ;
〈−→v3 ,−→v8〉 = 2 ; 〈−→v4 ,−→v4〉 = 2 ; 〈−→v4 ,−→v5〉 = 3 ; 〈−→v4 ,−→v6〉 = 1−
√
3 ;
〈−→v4 ,−→v7〉 = 2 ; 〈−→v4 ,−→v8〉 = 0 ; 〈−→v5 ,−→v5〉 = 14 ; 〈−→v5 ,−→v6〉 = 5− 2
√
3 ;
〈−→v5 ,−→v7〉 = 0 ; 〈−→v5 ,−→v8〉 = 4 ; 〈−→v6 ,−→v6〉 = 5 ; 〈−→v6 ,−→v7〉 = 4 + 2
√
3 ;
〈−→v6 ,−→v8〉 = −
√
3 ; 〈−→v7 ,−→v7〉 = 20 ; 〈−→v7 ,−→v8〉 = −6 ; 〈−→v8 ,−→v8〉 = 3.
b) −→v1 e −→v4 ; −→v3 e −→v6 ;−→v4 e −→v8 ;−→v5 e −→v7 .
c) −→v2 e´ o u´nico unita´rio; normalizac¸a˜o dos outros:−→v1
‖−→v1‖ = (
1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
) ;
−→v3
‖−→v3‖ = (0,−
1√
2
,
1√
2
) ;
−→v4
‖−→v4‖ = (−
1√
2
,
1√
2
, 0) ;
−→v5
‖−→v5‖ = (−
2√
14
,
1√
14
,− 3√
14
) ;
−→v6
‖−→v6‖ = (
√
3√
5
,
1√
5
,− 1√
5
) ;
−→v7
‖−→v7‖ = (
1√
5
,
2√
5
, 0) ;
−→v8
‖−→v8‖ = (−
1
3
,−1
3
,
1
3
), ;
d) ‖−→v1 +−→v4‖ =
√
5 , ‖−→v1‖ =
√
3 , ‖−→v4‖ =
√
2 ⇒ ‖−→v1 +−→v4‖ < ‖−→v1‖+ ‖−→v4‖.
e) ‖−→v1 +−→v8‖ = 3 , ‖−→v1‖ =
√
3 , ‖−→v8‖ =
√
3 ⇒ ‖−→v1 +−→v8‖ < ‖−→v1‖+ ‖−→v8‖.
f) cos(−→v1 ,−→v2) = 2√6 ; cos(−→v1 ,−→v3) = − 2√6 ; cos(−→v2 ,−→v3) = −12 ; cos(−→v1 ,−→v1) = cos(−→v2 ,−→v2) =
cos(−→v3 ,−→v3) = 1.
g) −44− 6√3. h) 4.
2. a) Falsa. Podemos tomar dois vetores na˜o nulos e ortogonais. Por exemplo −→v = (1, 0, 0)
e −→w = (0, 1, 0). Temos 〈−→v ,−→w 〉 = 0
b) Falsa. Na˜o atribu´ımos o sinal > e nem o sinal < a vetores, pois na˜o sa˜o valores reais. O
correto e´: Se 〈−→v ,−→v 〉 > 0 enta˜o −→v �= −→0 (vetor nulo).
c) Falsa. Somente um sentido da aplicac¸a˜o e´ verdadeira: ‖−→v ‖ = 1 ⇒ −→v‖−→v ‖ e´ unita´rio.
O sentido contra´rio (a rec´ıproca) na˜o e´ verdadeira, isto e´, e´ falsa a afirmac¸a˜o: ”
−→v
‖−→v ‖ unita´rio
⇒ ‖−→v ‖ = 1”, pois para qualquer vetor na˜o nulo temos −→v‖−→v ‖ e´ unita´rio (leia a teoria).
d) Verdadeira. Como ‖−→v ‖ e´ um nu´mero real, basta realizarmos as operac¸o˜es que estamos
habituados a fazer com igualdades de expresso˜es: 1‖−→v ‖ = 1
−→v ⇔ 1 = (1)‖−→v ‖ = ‖−→v ‖, ou
seja, e´ −→v unita´rio.
e) Falso. Tome o vetor −→v = (1, 0, 0). Ele e´ unita´rio (‖−→v ‖ = 1), mas, no entanto 〈−→v ,−→v 〉 =
1 �= 0.
f) Verdadeiro, pois se 〈−→v ,−→w 〉 = 0, qualquer que seja o vetor −→v do espac¸o, podemos consid-
erar o caso em que −→v seja o pro´prio −→w . Portanto, temos 〈−→w ,−→w 〉 = 0, ou seja ‖−→w ‖ = 0.
Isto nos diz que −→w e´ um vetor de comprimento igual a zero, logo −→w e´ o vetor nulo, −→w = −→0 .
8
3. a) (−7
3
,
7
3
,−1
3
) ; b) (−1
3
,
4
3
,
1
3
) ; c) (−1
2
, 1,
1
2
) ; d) (0, 0, 2).
4. a) (
√
2
3
,
√
2
3
,−
√
2
3
) ; b) (−1
2
, 0,
1
2
) ; c) (1, 1,−1) ; d) (0, 0, 0) ; e) (0, 0, 0) ; f) (0, 0, 0) ; g)
(−2
3
,−2
3
,
2
3
) ; h) (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
) .
5. a) (
7
3
,
8
3
,−2
3
) ; b) (
21
10
, 2,
7
10
) ; c) (
5
2
, 2,−5
2
) ; d) (
19
9
,
22
9
,−26
9
) .
6. Observac¸o˜es sobre o enunciado. Note que o segmento orientado
−−→
AA′ e´ exatamente aquele
que une o ponto A ao ponto A′, candidato a ser a projec¸a˜o. O ponto A′ so´ sera´ projec¸a˜o
de A se, e somente se, o vetor
−−→
AA′ for ortogonal a qualquer dos geradores de Π. (Deixo
para exerc´ıcio a verificac¸a˜o que se um vetor e´ ortogonal a dois geradores do plano enta˜o ele
e´ ortogonal a qualquer direc¸a˜o do plano).
Por outro lado, dados treˆs pontos Q0, A,A
′ temos
−−→
Q0A +
−−→
AA′ =
−−−→
Q0A
′, logo,
−−→
AA′ =
−−→
Q0A −−−−→
Q0A
′.
Agora verifiquemos o proposto:
〈−→AA′,−→v 〉 = 〈−−→Q0A−
−−−→
Q0A
′,−→v 〉 =〈−−→Q0A,−→v 〉 − 〈pr−→v
−−→
Q0A,
−→v 〉+ 〈pr−→w
−−→
Q0A,
−→v 〉
Como pr−→w
−−→
Q0A e´ paralelo a
−→w e 〈−→w ,−→v 〉 = 0 enta˜o pr−→w
−−→
Q0A,
−→v 〉 = 0.
Logo 〈−→AA′,−→v 〉 = 〈−−→Q0A,−→v 〉 − 〈pr−→v
−−→
Q0A,
−→v 〉.
Ale´m disso, 〈pr−→v
−−→
Q0A,
−→v 〉 = 〈<
−−→
Q0A,
−→v >
‖−→v ‖2 ,
−→v 〉 = <
−−→
Q0A,
−→v >
‖−→v ‖2 〈
−→v ,−→v 〉 = 〈−−→Q0A,−→v 〉.
Enta˜o 〈−→AA′,−→v 〉 = 〈−−→Q0A,−→v 〉 − 〈pr−→v
−−→
Q0A,
−→v 〉 = 〈−−→Q0A,−→v 〉 − 〈−−→Q0A,−→v 〉 = 0.
Analogamente mostra-se que 〈−→AA′,−→v 〉 = 0.
7. a) A′ = (
4
15
,−2
3
,
17
3
) ; b) A′ = (
11
10
, 0 ,
7
10
) ; c) A′ = (1, 1, 2) ; d) A′ = (
127
66
,−20
66
,
97
66
).
8. b) −→u3 = (a, b, c) tem que satisfazer
{
〈−→u3,−→u1〉 = 0
〈−→u3,−→u2〉 = 0
. Conclua que b = 0 e a = c/3.
Tomemos, por exemplo, c = 3, o que implica a = 4. Enta˜o −→u3 = (4, 0, 3) e´ uma possibilidade.
c) B = {v1 = (0, 1, 0), v2 = (3
5
, 0,−4
5
), v3 = (
4
5
, 0,
3
5
)}.
d) −→w B = (3,−16
5
,
12
5
).
9. b) −→u3 = (2, 5,−1).
c) B = {−→v1 = (−2
√
6
6
,
√
6
6
,
√
6
6
), −→v2 = (
√
5
5
, 0, 2
√
5
5
), −→v3 = (
√
20
15
,
√
30
6
,−
√
30
30
}.
d) −→w B = (− 3√6 , 0, 15√30).
10. a) �;


x = 1− 2t
y = 2 + t
z = t
, t ∈ R ; b) �;


x = t
y = t
z = t
, t ∈ R
11. a) |〈−→v ,−→w 〉| = ‖−→v ‖‖−→w ‖|cos(−→v ,−→w )|.
Como a imagem da func¸a˜o cosseno e´ o intervalo [−1, 1] enta˜o
9
−1 ≤ cos(−→v ,−→w ) ≤ 1, ou seja, 0 ≤ |cos(−→v ,−→w )| ≤ 1.
Portanto |〈−→v ,−→w 〉| = ‖−→v ‖‖−→w ‖|cos(−→v ,−→w )| ≤ ‖−→v ‖‖−→w ‖.
b) |〈−→v ,−→w 〉| = ‖−→v ‖‖−→w ‖|cos(−→v ,−→w )| = ‖−→v ‖‖−→w ‖ ⇔ |cos(−→v ,−→w )| = 1 ⇔ (−→v ,−→w ) = 0 ou ±π,
ou seja, os vetores sa˜o co-lineares, portanto LD.
c) Para provar, iniciamos obtendo uma expressa˜o para ‖−→v +−→w ‖2.
‖−→v +−→w ‖2 = 〈−→v +−→w ,−→v +−→w 〉 = 〈−→v ,−→v 〉+ 2〈−→v ,−→w 〉+ 〈−→w ,−→w 〉
Agora usamos o fato que qualquer valor real e´ menor ou igual a seu mo´dulo para obter
〈−→v ,−→w 〉 ≤ |〈−→v ,−→w 〉|. Usando isto com a desigualdade do item anterior temos
‖−→v +−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 + 2〈−→v ,−→w 〉+ ‖−→w ‖2 ≤ ‖−→v ‖2 + 2|〈−→v ,−→w 〉|+ ‖−→w ‖2
≤ ‖−→v ‖2 + 2‖−→v ‖‖−→w ‖+ ‖−→w ‖2 = (‖−→v ‖+ ‖−→w ‖)2.
Chegamos enta˜o a desigualdade. ‖−→v +−→w ‖2 ≤ (‖−→v ‖+ ‖−→w ‖)2. Como os valores elevados
ao quadrado sa˜o maiores ou iguais a zero, obtemos ‖−→v +−→w ‖ ≤ ‖−→v ‖+ ‖−→w ‖.
12. Observac¸a˜o: Mostraremos para o caso em que B na˜o e´ ponto de �. Se B ∈ � na˜o ha´
o que provar, pois B = C, o que implica AC = AB que e´ perpendicular a �, visto que e´
perpendicular ao plano.
Denotemos −→v direc¸a˜o de �. Sendo AB perpendicular ao plano Π enta˜o 〈−→AB,−→v 〉 = 0.
Sendo BC perpendicular a � enta˜o 〈−−→BC,−→v 〉 = 0. Devemos mostrar que 〈−→AC,−→v 〉 = 0.
Sabemos que
−→
AC =
−→
AB +
−−→
BC.
Enta˜o 〈−→AC,−→v 〉 = 〈−→AB +−−→BC,−→v 〉 = 〈−→AB,−→v 〉+ 〈−−→BC−→v 〉 = 0.
Aula 19.
1. a) 〈η,−→AB〉 = 0 e 〈η,−→AC〉 = 0 ⇒ η e´ normal a Π.
b) 〈η,−→u 〉 = 2 ⇒ η na˜o e´ normal a Π.
c) 〈η,−→u 〉 = 0 e 〈η,−→v 〉 = 0 ⇒ η e´ normal a Π.
d) −→u = (6, 3,−3) e´ direc¸a˜o normal a Π. Enta˜o η e´ direc¸a˜o normal se, e somente se η e −→u
sa˜o LD. Mas isto na˜o ocorre, logo η na˜o e´ normal a Π.
e) 〈η,−→u 〉 = 2 ⇒ η na˜o e´ normal a Π.
2. a) Π : z − 1 = 0 ; b) Π : x = 0 ; c) Π : x− 3y − z = 0 ; d) Π : x− y = 0 .
3. a) Π : x + y − 2 = 0 ; b) Π : x− 1 = 0 ; c) Π : x− y + z − 1 = 0 ; d) Π : x− y − 2z = 0
; e) Π : x + y − 2 =0 ; f) Π : x− z = 0 .
4. a) Na˜o sa˜o coincidentes; b) Na˜o sa˜o coincidentes; c) Sa˜o coincidentes d) Na˜o sa˜o coinci-
dentes.
5. a) Π : 2x− y + 2z − 2 = 0 ; b) Π : z = 0 ; c) Π : x = 1 ; d) Π : x + y − 1 = 0 .
6. a) Π :


x = 1
y = t
z = s
, t, s ∈ R ; b) Π :


x = 1− 2t
y = −1 + 2t + s
z = s
, t, s ∈ R ;
c) Π :


x = t
y = −1
2
+ 3
2
t
z = s
, t, s ∈ R ; d) Π :


x = 2− 2t− 2s
y = 2t
z = 2s
, t, s ∈ R ;
10
e) Π :


x = 1− t− s
y = −t
z = −3s
, t, s ∈ R.
7. A diagonal do espac¸o tem direc¸a˜o −→v = (1, 1, 1). Enta˜o a famı´lia de planos que interceptam
e´ {Π : x + y + z = d ; d ∈ R}.
8. {Π : x− 2z = d ; d ∈ R}.
9. a) � :


x = t
y = −3t
z = −1 + t
, t ∈ R ; b) � :


x = 1 + t
y = −3
z = t
, t ∈ R ; c) � :


x = s
y = 3
z = s− 1
, s ∈ R ;
d) � :


x = 1 + s
y = 1
z = 1 + s
, s ∈ R ; e) � :


x = 1
y = 1
z = 3− t
, t ∈ R .
Aula 20.
1. a) Positivo; b) Positivo; c) Positivo; d) Positivo; e) Negativo; f) Negativo.
2. a) Negativo; b) Positivo; c) Positivo; d) Positivo; e) Positivo; f) Positivo.
3.
‖−→u ×−→v ‖2 + 〈−→u ,−→v 〉2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2sen2(u, v) + ‖−→u ‖2‖−→v ‖2cos2(u, v) =
‖−→u ‖2‖−→v ‖2(sen2(u, v) + cos2(u, v)) = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 .
4.
〈−→u ,−→u 〉 〈−→u ,−→v 〉
〈−→v ,−→u 〉 〈−→v ,−→v 〉 = ‖
−→u ‖2‖−→v ‖2 − 〈−→v ,−→u 〉2 = ‖−→u ×−→v ‖2. A u´ltima igualdade foi obtida
do exerc´ıcio anterior.
5. 〈−→u ,−→v 〉 = 0 e −→u × −→v = 0 ⇒ 〈−→u ,−→v 〉2 = 0 e ‖−→u × −→v ‖2 = 0 ⇒. Segue do exerc´ıcio
anterior que ‖−→u ‖‖−→v ‖ = 0 ⇒ ‖−→u ‖ = 0 ou ‖−→v ‖ = 0 ⇒ ou −→u = −→0 ou −→v = −→0 .
6. Se −→u1 e´ direc¸a˜o normal a Π1 enta˜o −→u1 e´ ortogonal a qualquer direc¸a˜o de Π1, ou seja, se r
e´ uma reta em Π1 e
−→v e´ direc¸a˜o de r enta˜o 〈−→u1,−→v 〉 = 0. O mesmo vale −→u2, direc¸a˜o normal
a Π2, isto e´, se s e´ uma reta em Π2 e
−→w e´ direc¸a˜o de s enta˜o 〈−→u2,−→w 〉 = 0.
O enunciado do exerc´ıcio nos diz que Π1 e Π2 sa˜o concorrentes. Enta˜o esses planos teˆm
uma reta comum �. Seja −→x direc¸a˜o de �. Enta˜o, pelo que vimos 〈−→u1,−→x 〉 = 0 e 〈−→u2,−→x 〉 = 0.
Segue da definic¸a˜o de produto vetorial que −→x e´ paralelo a −→u1 ×−→u2.
7. a)∥∥∥ −→v‖−→v ‖ −
−→u
‖−→u ‖ cosθ
∥∥∥2 = 〈 −→v‖−→v ‖ −
−→u
‖−→u ‖ cosθ,
−→v
‖−→v ‖ −
−→u
‖−→u ‖ cosθ〉 =
〈−→v ,−→v 〉
‖−→v ‖2 −
〈−→v ,−→u 〉
‖−→v ‖‖−→u ‖ −
〈−→u ,−→v 〉
‖−→v ‖‖−→u ‖ +
〈−→u ,−→u 〉
‖−→u ‖2 .
Como 〈−→v ,−→v 〉 = ‖−→v ‖2 , 〈−→u ,−→u 〉 = ‖−→u ‖2 e cosθ = 〈
−→v ,−→u 〉
‖−→v ‖‖−→u ‖ =
〈−→u ,−→v 〉
‖−→v ‖‖−→u ‖ obtemos∥∥∥ −→v‖−→v ‖ −
−→v
‖−→v ‖ cosθ
∥∥∥2 = 1− 2cos2θ + cos2θ = 1− cos2θ = sen2θ
⇒ ‖
−→v
‖−→v ‖ −
−→v
‖−→v ‖ cosθ‖ = |sen
2θ|.
11
b) ‖−→v − pr−→u−→v ‖2 = 〈−→v − pr−→u−→v ,−→v − pr−→u−→v 〉 = 〈−→v ,−→v 〉 − 2〈−→v , pr−→u−→v 〉+ 〈pr−→u−→v , pr−→u−→v 〉.
Observemos que
〈−→v , pr−→u−→v 〉 = 〈−→v ,
〈−→v ,−→u 〉
‖−→u ‖2
−→u 〉 = 〈
−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖2 e
〈pr−→u−→v , pr−→u−→v 〉 = 〈
〈−→v ,−→u 〉
‖−→u ‖2
−→u , 〈
−→v ,−→u 〉
‖−→u ‖2
−→u 〉 = 〈
−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖4 〈
−→u ,−→u 〉 = 〈
−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖2 .
Enta˜o ‖−→v − pr−→u−→v ‖2 = ‖−→v ‖2 − 2
〈−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖2 +
〈−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖2 = ‖
−→v ‖2 − 〈
−→v ,−→u 〉2
‖−→u ‖2 .
Como 〈−→v ,−→u 〉2 = ‖−→v ‖2‖−→u ‖2|cos2θ|, onde θ e´ o aˆngulo entre −→u e −→v , enta˜o
〈−→v ,−→u 〉2
|−→u ‖2 = ‖
−→v ‖2|cos2θ|.
Obtemos ‖−→v − pr−→u−→v ‖2 = ‖−→v ‖2 − ‖−→v ‖2 |cos2θ| = ‖−→v ‖2(1− cos2θ) = ‖−→v ‖2sen2θ.
Extraindo a raiz temos ‖−→v − pr−→u−→v ‖ = ‖−→v ‖|senθ|.
Como ||−→v ×−→u ‖ = ‖−→v ‖‖−→u ‖senθ. Segue, do provado no para´grafo anterior, que
||−→v ×−→u ‖ = ‖−→u ‖‖−→v − pr−→u−→v ‖.
8. a) 2
√
2; b) 2
√
2 ; c) 2
√
2.
Aula 21.
1. a) 8 ; b) 0 ; c) 8 ; d) 4 ; e) −14π ; f) 2π2(1 +√2−√3) + π(3√3− 2√2.
2. a)
√
5 ; b) (0,−2
√
5
5
,
√
5
5
.
3. a) 2
√
6; b) 3
√
2; c) 6
√
5; d)
√
6; e)
√
1− 6π + 11π2; f) 4
√
10− 5√2.
4. a) � :


x = 3
y = t
z = −8 + t
, t ∈ R; b) � :


x = 1
y = 2 + t
z = −t
, t ∈ R; c) � :


x = 1 + t
y = t
z = t
, t ∈ R;
d) � :


x = −1− t
y = −3− t
z = −2t
, t ∈ R; e) � :


x = 1 + 9t
y = 12t
z = 1− 11t
, t ∈ R; f) � :


x = 1
2
− t
y = 1
2
+ t
z = −2t
, t ∈ R.
5. a)−→e1−2−→e2−9−→e3 = (1,−2, 9) ; b)−→e1−−→e2−−→e3 = (1,−1,−1); c)−−→e1+−→e2−4−→e3 = (−1, 1,−4).
6. a) � :


x = 1
2
y = −3
2
+ t
z = −t
, t ∈ R; b) � :


x = 1 + t
y = 1− t
z = −5t
, t ∈ R; c) � :


x = t
y = 1 + 3t
z = −1 + 2t
, t ∈ R;
d) � :


x = −t
y = −1 + t
z = −t
, t ∈ R.
7. Na˜o e´ associativo. Tomemos por exemplo os vetores −→u = (1, 0, 0) , −→v = (1, 1, 0), , −→w =
(0, 0, 1).
12
Temos −→u ×−→v = (0, 0, 1) e −→v ×−→w = (0,−1, 0).
Enta˜o (−→u ×−→v )×−→w = (0, 0, 1)× (0, 0, 1) = (0, 0, 0) e −→u × (−→v ×−→w ) = (1, 0, 0)× (0,−1, 0) =
(0, 0,−1).
8. a) Faz sentido, pois a operac¸a˜o 〈 , 〉 e´ o produto interno, o qual e´ definido entre dois
vetores.
b) Na˜o faz sentido, pois, embora o produto vetorial de dois vetores seja um vetor e, con-
sequ¨entemente, podemos realizar o produto vetorial com um terceiro, a operac¸a˜o nesse item
na˜o esta´ bem definida. Vimos no exerc´ıcio 7 que o produto produto vetorial na˜o e´ associativo.
E´ preciso que seja indicado, com pareˆnteses, qual das duas operac¸o˜es indicadas queremos
realizar primeiro. O resultado depende da forma de associar.
c) Faz sentido, pois 〈−→u ,−→w 〉 e´ um nu´mero real e −→u × −→v e´ um vetor. A operac¸a˜o indicada
significa multiplicar o vetor −→u ×−→v pelo escalar 1〈−→u ,−→w 〉 , que e´ operac¸a˜o bem definida entre
nu´meros reais e vetores. Quando dizemos que faz sentido, devemos excluir sempre o caso em
que o denominador for igual a zero.
d) Na˜o faz sentido, pois o produto vetorial e´ uma operac¸a˜o definida entre vetores. O que
esta´ bem definido e´ 〈−→u ,−→v 〉−→w .
e) Faz sentido, pois indica o produto interno entre os vetores −→u ×−→v e −→v ×−→w .
f) Na˜o faz sentido, pois na˜o esta´ definida a divisa˜o de um nu´mero real por um vetor.
9. a) 2; b) 1; c) 2; d) 6 ; e)
5
12
; f) 2π.
10. a) 2; b) -2; c) -3.
Fim
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