MÉTODOS AVANÇADOS EM ECONOMETRIA

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Econometria – Hill, Grifith e Judge – Editora Saraiva
Capítulo 13
Estimação pelo Método de 
Momentos
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13.1 Introdução
• O modelo de regressão linear simples é . 1 2y x e= β + β +
• As hipótese usuais que nós fazemos são
( ) 0E e =1.
2. 2var( )e = σ
3.
4.
5.
cov( , ) 0i je e =
A variável x não é aleatória e ela deve assumir pelo 
menos dois valores diferentes.
(opcional) 2~ (0, )e N σ
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• Nesse Capítulo, nós relaxamos a hipótese de que a 
variável x não é aleatória
• Em um mundo econômico não experimental, os valores de 
x e y são geralmente revelados ao mesmo tempo, fazendo 
com que x seja aleatória, do mesmo modo que é.
O propósito desse capítulo é discutir modelos de 
regressão no qual x é aleatória. Nós vamos
• discutir as condições sob as quais ter um x aleatório não 
é um problema e como testar se nossos dados satisfazem 
essas condições.
• apresentar o modelo de equações simultâneas, no qual a 
aleatoriedade de x faz com que o estimador de mínimos 
quadrados falhe.
• fornecer estimadores que tenham boas propriedades 
mesmo quando x é aleatória.
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13.1 Regressão Linear com x’s Aleatória
Vamos modificar as hipóteses usuais da regressão simples:
A13.1 1 2t t ty x e= β + β +
A13.2 Os pares de dados , são obtidos 
por um processo de amostragem aleatório.
( ), 1, ,t tx y t T= K
A13.3 ( )| 0E e x = O valor esperado do termo de erro, 
condicionado a qualquer valor de x, é zero.
A13.4 Na amostra, xt deve assumir pelo menos dois 
valores diferentes
A13.5 ( ) 2var |e x = σ A variância do termo de erro, 
condicionado a qualquer x, é uma constante 2σ
A13.6 ( )2| ~ 0,e x N σ A distribuição do termo de erro, 
condicionado a x, é normal. 
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A interpretação de A13.3, . Essa hipótese implica 
que
( )| 0E e x =
(1) não omitimos nenhuma variável importante, 
(2) utilizamos a forma funcional correta, e
(3) não existem fatores que fazem com que o termo de 
erro seja correlacionado com x. 
• Se , então nós podemos demonstrar que também 
é verdade que x e e não são correlacionados e . 
( )| 0E e x =
( )cov , 0x e =
• De forma contrária, se x e e são correlacionados, então. 
( )cov , 0x e ≠ ( )| 0E e x ≠e nós podemos demonstrar que
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13.2.1 As Propriedades de Amostras Finitas 
(Pequenas) do Estimador de Mínimos Quadrados 
As propriedades do estimador de mínimos quadrados em 
amostras finitas quando x é aleatória pode ser 
sumarizada como segue:
1. Sob as hipóteses A13.1-A13.4, o estimador de 
mínimos quadrados não é viesado.
2. Sob as hipóteses A13.1-A13.5, o estimador de 
mínimos quadrados é o melhor estimador linear não 
tendencioso dos parâmetros da regressão e o 
estimador usual de não é viesado.
3. Sob as hipóteses A13.1-A13.6, as distribuições dos 
estimadores de mínimos quadrados, condicionadas a 
x, são normais e suas variâncias são estimadas de 
modo usual. Conseqüentemente, a estimação usual do 
intervalo e os procedimentos de teste de hipótese 
são válidos.
2σ
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13.2.2 As Propriedades Assintóticas (de Amostras 
Grandes) do Estimador de Mínimos Quadrados Quando 
x Não é Aleatória.
O que ocorre com as distribuições de probabilidade dos 
estimadores de mínimos quadrados se nós tivermos uma 
amostra muito grande, ou quando o tamanho da amostra 
T→∞?
•Primeiro, os estimadores de mínimos quadrados são não 
tendenciosos. 
•Segundo, as variâncias dos estimadores de mínimos 
quadrados, dadas na equação 4.2.10, convergem para zero à
medida que T→∞. À medida que o tamanho da amostra 
aumenta, as distribuições de probabilidade dos 
estimadores de mínimos quadrados “colapsam” nos 
verdadeiros parâmetros. 
•Estimadores com essas propriedades são chamados de 
estimadores consistentes e a consistência é uma 
propriedade de amostras grandes dos estimadores de 
mínimos quadrados. 
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13.2.3 As Propriedades Assintóticas (de Amostras 
Grandes) do Estimador de Mínimos Quadrados Quando x
é Aleatória.
• Para o propósito de uma análise “assintótica” do 
estimador de mínimos quadrados, nós podemos relaxar a 
hipótese A13.3. Vamos substituí-la por
A13.3* ( ) ( )0 e cov , 0E e x e= =
• Essa é uma hipótese mais fraca do que A13.3 porque
( ) ( )| 0 cov , 0E e x e x= ⇒ = ( ) ( )cov , 0 não implica | 0e x E e x= ⇒ =mas . 
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O que podemos falar é o seguinte:
1. Sob a hipótese A13.3*, os estimadores de mínimos 
quadrados são consistentes. 
2. Sob as hipóteses A13.1, A13.2, A13.3*, A13.4 e 
A13.5, os estimadores de mínimos quadrados têm 
distribuições aproximadamente normais em amostras 
grandes, se os erros são normalmente distribuídos 
ou não. Além do mais, nossos estimadores de 
intervalos e as estatísticas de teste são válidos, se a 
amostra é grande.
3. Se a hipótese A13.3* não for verdadeira, então os 
estimadores de mínimos quadrados são 
inconsistentes. Eles não convergem para os 
verdadeiros valores dos parâmetros, mesmo em 
amostras muito grandes. Além do mais, nenhum de 
nossos testes usuais de hipótese ou procedimentos 
de estimação de intervalos são válidos.
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13.2.4 Erros de Medida nas Equações de 
Regressão
• No problema de erro de medida, uma variável 
explanatória é mensurada inadequadamente. 
• Quando nós mensuramos uma variável explanatória com 
erro, ela é correlacionada com o termo de erro e o 
estimador de mínimos quadrados é inconsistente. 
• Vamos assumir que os salários dos trabalhadores são 
uma função da habilidade deles. Seja yt = salário do 
trabalhador t e seja = a habilidade do trabalhador t*tx
*
1 2t t ty x e= β + β + (13.2.1)
• Nós colocamos asterisco (*) na habilidade porque é
difícil, se não for impossível, observá-la. 
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• Suponha que nós tentamos mensurar a habilidade 
utilizando xt = um teste padronizado. Ela é chamada alguma 
vezes de uma variável proxy. 
*
t t tx x u= + (13.2.2)
onde ut é uma perturbação aleatória, com média zero e 
variância . 2uσ
• Admita que ut é independente de et e seqüencialmente 
não correlacionado. 
• Substitua na equação 13.2.2 para obter *t t tx x u= −
( )
( )
*
1 2
1 2
1 2 2
1 2
t t t
t t t
t t t
t t
y x e
x u e
x e u
x v
= β + β +
= β + β − +
= β + β + − β
= β + β +
(13.2.3)
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• Na equação 13.2.3, a variável explanatória xt é aleatória, 
da hipótese de erro de medida na equação 13.2.2. 
• Com o propósito de estimar a equação 13.2.3 por mínimos 
quadrados, nós devemos determinar se xt é ou não 
correlacionada com a perturbação aleatória vt. 
(13.2.5)
• O estimador de mínimos quadrados b2 é um estimador
inconsistente de β2 em virtude da correlação existente 
entre a variável explanatória e o termo de erro. 
• b2 não converge para β2 em amostras grandes. 
• Além do mais, em amostras grandes ou pequenas, b2 não é
aproximadamente normal com média β2 e variância 
( ) ( )222var tb x x= σ −∑ .
 ( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) 0 
cov
2
2
2
2
2
≠σβ−=β−=
=β−+==
ut
ttt
*
ttttt
uE
ueuxEvxEv,x
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13.2.5 A Inconsistência do Estimador de Mínimos 
Quadrados Quando ( )cov , 0x e ≠• Nosso modelo de regressão é . 1 2y x e= β + β +
• Sob A13.3* , assim, .( ) 0E e = ( ) ( )1 2E y E x= β + β
• Subtraia essa expectativa da equação original,
( ) ( )2y E y x E x e − = β − + 
• Multiplique ambos os lados por ( )x E x−
( ) ( ) ( ) ( )22x E x y E y x E x x E x e       − − = β − + −       
• Aplique a esperança em ambos os lados
( ) ( ) ( ) ( ){ }22E x E x y E y E x E x E x E x e       − − = β − + −       
ou
( ) ( ) ( )2cov , var cov ,x y x x e= β +
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• Resolva para β2
( )
( )
( )
( )2
cov , cov ,
var var
x y x e
x x
β = − (13.2.6)
• Se nós podemos assumir que , então( )cov , 0x e =
( )
( )2
cov ,
var
x y
x
β = (13.2.7)
• O estimador de mínimos quadrados, expresso de um modo 
ligeiramente diferente, é
( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )2 2 2
/ 1 ˆcov( , )
ˆvar( )/ 1
t t t t
t t
x x y y x x y y T x yb
xx x x x T
− − − − −
= = =
− − −
∑ ∑
∑ ∑
(13.2.8)
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Se , então( )cov , 0x e =
2 2
ˆcov( , ) cov( , )
ˆvar( ) var( )
x y x yb
x x
= → = β
• Se x e e são correlacionados, então
( )
( )
( )
( )2
cov , cov ,
var var
x y x e
x x
β = −
• O estimador de mínimos quadrados agora converge para 
( )
( )
( )
( )2 2 2
cov , cov ,
 
var var
x y x e
b
x x
→ = β + ≠ β
• Nesse caso, b2 é um estimador inconsistente de β2
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13.3 Estimadores Baseados no Método de 
Momentos
13.3.1 Estimação pelo Método de Momentos da 
Média e Variância de uma Variável Aleatória
• O momento k de uma variável aleatória é o valor esperado 
da variável aleatória elevado à potência k. 
( ) momento de k kE Y k Y= µ = (13.3.1)
• O momento k da população na equação 13.3.1 pode ser 
estimado consistentemente utilizando a amostra (de 
tamanho T) correspondente
( )
1
ˆ
ˆ
 momento amostral de k k
T
k
t
t
E Y k Y
y T
=
= µ =
=∑ (13.3.2)
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• O procedimento de estimação pelo método de momentos 
iguala m momentos populacionais a m momentos amostrais 
para estimar m parâmetros desconhecidos.
Seja Y uma variável aleatória com média e 
variância 
( )E Y = µ
( ) ( ) ( )22 2 2var Y E Y E Y= σ = − µ = − µ (13.3.3)
• Com o propósito de estimar os dois parâmetros 
populacionais µ e , nós devemos igualar dois momentos 
populacionais a dois momentos amostrais. 
• Os dois momentos populacionais e amostrais de Y são:
2σ
( )
( )
1
1
2 2
2 2
1
ˆ,
ˆ,
T
t
t
T
t
t
E Y y T
E Y y T
=
=
= µ = µ µ =
= µ µ =
∑
∑
(13.3.4)
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• Resolvendo para os parâmetros desconhecidos média e 
variância. 
1
ˆ
T
t
t
y T y
=
µ = =∑
(13.3.5)
• Então, utilize a equação 13.3.3, substituindo o segundo 
momento populacional pelo seu valor amostral e, 
substituindo a média pela equação (13.3.5),
( )
( )
2 2 2
2 2 2
21 1
2
ˆ
ˆ
T T
t t
t t
t
E Y
y y Ty
y
T T
y y
T
= =
σ = − µ
−
= − =
−
=
∑ ∑
∑
%
(13.3.6)
• Em geral, os estimadores do método de momentos são 
consistentes em amostras grandes, mas não existe 
garantia de que eles são os “melhores” em qualquer 
sentido.
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13.3.2 Estimação pelo Método de Momentos no 
Modelo de Regressão Linear Simples
• A definição de um “momento” pode ser estendido para 
situações mais gerais. 
• é um momento de g(Y). ( )E g Y  
• No modelo de regressão linear , nós 
usualmente admitimos que 
1 2t t ty x e= β + β +
( ) ( )1 20 0t t tE e E y x= ⇒ − β − β = (13.3.7)
• Se xt é fixo, ou aleatório, mas não correlacionado com et, 
então
( ) ( )1 20 0t t t t tE x e E x y x = ⇒ −β − β =  (13.3.8)
• As equações 13.3.7-8 são condições de momento. 
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• Se nós substituirmos os dois momentos populacionais por 
seus momentos amostrais correspondentes, nós temos 
duas equações em duas desconhecidas, que definem os 
estimadores de momento para .1 2 e β β
( )
( )
1 2
1 2
1 0
1 0
t t
t t t
y b b x
T
x y b b x
T
− − =
− − =
∑
∑
(13.3.9)
• Essas duas equações são idênticas às equações “normais”
de mínimos quadrados do Capítulo 3, equação 3.3.6, e suas 
soluções produzem os estimadores de mínimos quadrados
( )( )
( )2 2
1 2
t t
t
x x y y
b
x x
b y b x
− −
=
−
= −
∑
∑
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13.3.3 Estimação pelo Método de Momentos/ por 
Variáveis Instrumentais no Modelo de Regressão Linear 
Simples
• Problemas para os mínimos quadrados surgem quando x é
aleatória e correlacionada com a perturbação aleatória e, 
tal que .( ) 0t tE x e ≠
• Suponha, contudo, que existe outra variável, zt, chamada 
de uma variável instrumental, que satisfaça a condição de 
momento
( ) ( )1 20 0t t t t tE z e E z y x = ⇒ −β −β =  (13.3.10)
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• Então, nós podemos utilizar as duas equações 13.3.7 e 
13.3.10 para obter estimativas de . As condições 
de momento amostrais são:
1 2 e β β
( )
( )
1 2
1 2
1
ˆ ˆ 0
1
ˆ ˆ 0
t t
t t t
y x
T
z y x
T
− β − β =
− β − β =
∑
∑
(13.3.11)
• A resolução dessas equações nos leva aos estimadores do 
método de momentos, que são usualmente chamados de 
estimadores de variáveis instrumentais,
( )( )
( )( )2
1 2
ˆ
ˆ ˆ
t t t t t t
t t t t t t
z y T z y z z y y
z x T z x z z x x
y x
− − −β = =
− − −
β = − β
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ (13.3.12)
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• Quais são as propriedades desses novos estimadores? 
• Primeiro, observe que
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )2
ˆ1 cov ,
ˆ
ˆ1 cov ,
t t
t t
z z y y T z y
z z x x T z x
− − −β = =
− − −
∑
∑
(13.3.13)
• A covariância amostral converge para a verdadeira 
covariância em grandes amostras, então, nós podemos 
dizer
( )
( )2
cov ,
ˆ
cov ,
z y
z x
β →
(13.3.14)
• Para uma variável instrumental ser válida, ela não deve 
ser correlacionada com o termo de erro e, mas deve ser 
correlacionada com a variável explanatória x.
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• Seguindo os mesmos passos que levam a equação 13.2.6, 
nós obtemos
( )
( )
( )
( )2
cov , cov ,
cov , cov ,
z y z e
z x z x
β = − (13.3.15)
• Se nós podemos assumir que , então o estimador
de variáveis instrumentais na equação (13.3.14) converge 
em grandes amostras para β2,
( )cov , 0z e =
( )
( )2 2
cov ,
ˆ
cov ,
z y
z x
β → = β (13.3.16)
• Assim, se e , então o estimador de
variável instrumental de β2 é consistente, em uma situação 
no qual o estimador de mínimos quadrados não é
consistente em razão da correlação entre x e e.
( )cov , 0z e = ( )cov , 0z x ≠
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• Em grandes amostras, o estimador de variável 
instrumental tem um distribuição aproximadamente 
normal,
( )
2
2 2 2 2
ˆ
~ ,
t zx
N
x x r
 σβ β 
 
− ∑
• é a correlação amostral entre o instrumento z e o 
regressor aleatório x. 
2
zxr
• Nós queremos um instrumento que é altamente 
correlacionado com x para melhorar a eficiência do 
estimador de variável instrumental. 
• A variânciade erro é estimada utilizando o estimador
( )21 22 ˆ ˆ
ˆ
2
t t
IV
y x
T
− β − β
σ =
−
∑ (13.3.18)
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13.3.4 Estimação por Variáveis Instrumentais 
Quando Instrumentos Adicionais Estão Disponíveis
• Usualmente, nós temos mais variáveis instrumentais à
nossa disposição do que é necessário. 
• Por exemplo, seja w uma variável que é correlacionada 
com x mas não com e 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1ˆ ˆ0 0t t t t tE e E y x y x m= − β −β = ⇒ − β − β = =∑ (13.3.19a)
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2ˆ ˆ0 0t t t t t t t tE z e E z y x z y x m = − β − β = ⇒ − β − β = =  ∑ (13.3.19b)
( ) ( ) ( )1 2 1 2 3ˆ ˆ0 0t t t t t t t tE w e E w y x w y x m = − β − β = ⇒ − β − β = =  ∑ (13.3.19c)
• Utilizando o princípio de mínimos quadrados, escolha 
valores para e que minimizam a soma de quadrados 1ˆβ 2ˆβ
2 2 2
1 2 3m m m+ + .
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• É melhor utilizar os mínimos quadrados ponderados, com 
os pesos sendo os inversos das variâncias dos momentos, 
se os momentos não forem correlacionados. 
• Assim, nós devemos minimizar
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3
1 2
1 2 3
ˆ ˆ
,
var var var
m m mS
m m m
β β = + + (13.3.20)
• Os valores de e que minimizam essa soma ponderada 
de quadrados podem ser obtidos utilizando um processo 
em dois passos. 
1
ˆβ 2ˆβ
(1) Faça uma regressão de x sobre um termo constante, 
z e w, e obtenha os valores preditos de 
(2) Utilize como uma variável instrumental para x.xˆ
xˆ
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• Isso leva a duas condições de momento
( )
( )
1 2
1 2
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ
ˆ 0
t t
t t t
y x
x y x
− β − β =
− β − β =
∑
∑
• Resolvendo essas condições e utilizando o fato de que
, nós temosxˆ x=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ
t t t t
t tt t
x x y y x x y y
x x x xx x x x
y x
− −
− −β = =
− −
− −
β = − β
∑ ∑
∑∑
(13.3.21)
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• Esses estimadores de variáveis instrumentais, derivados 
do método de momentos, são também chamados de 
estimadores de mínimos quadrados em dois estágios, 
porque eles podem ser obtidos utilizando duas regressões 
de mínimos quadrados. 
• O estágio 1 é a regressão de x sobre um termo 
constante, z e w, para obter os valores preditos de 
• O estágio 2 é a estimação de mínimos quadrados 
ordinários da regressão linear simples
xˆ
1 2 ˆt t ty x erro= β + β + (13.3.22)
• A variância de , aproximada, de grande amostra, é dada 
pela fórmula usual para a variância do estimador de 
mínimos quadrados da equação (13.3.22), 
2
ˆβ
( ) ( )
2
2 2
ˆvar
ˆtx x
σβ =
−∑
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• O estimador da variância de erro deve ser baseada nos 
resíduos do modelo original, , 1 2t t ty x e= β + β +
( )21 22 ˆ ˆ
ˆ
2
t t
IV
y x
T
− β − β
σ =
−
∑
• Assim, o estimador apropriado da variância de é2ˆβ
( ) ( )
2
2 2
ˆ
ˆ
ˆvar
ˆ
IV
tx x
σβ =
−∑
Essa variância estimada pode ser utilizada como base para 
testes t de significância e estimação de intervalos dos 
parâmetros.
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13.4 Testando a Correlação entre as Variáveis 
Explanatórias e o Termo de Erro
• A hipótese nula é contra a alternativa( )0 : , 0H Cov x e =( )1 : , 0H Cov x e ≠ .
• A idéia do teste é comparar o desempenho do estimador
de mínimos quadrados com um estimador de variáveis 
instrumentais. 
• Sob as hipóteses nula e alternativa, nós sabemos o 
seguinte:
• Se a hipótese nula for verdadeira, ambos os 
estimadores de mínimos quadrados e de variáveis 
instrumentais são consistentes. .( )ˆ 0MQO VIq b= − β →
•Se a hipótese nula for falsa, o estimador de 
mínimos quadrados não é consistente e o estimador
de variáveis instrumentais é consistente. 
( )ˆ 0MQO VIq b c= − β → ≠ .
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• Existem várias formas do teste, usualmente chamado de 
"Teste de Hausman," para essas hipóteses nula e 
alternativa
• Na regressão , nós desejamos saber se x é
correlacionada com e. 
1 2t t ty x e= β + β +
• Sejam e variáveis instrumentais para x. 1tz 2tz
• No mínimo você precisa de um instrumento para cada 
variável que você acha que é correlacionada com o termo 
de erro. Então cumpra os seguintes passos:
• Estime o modelo por mínimos 
quadrados e obtenha os resíduos . 
Se existir mais do que uma variável explanatória que 
seja questionável, repita essa estimação para cada uma, 
utilizando todas as variáveis instrumentais em cada 
regressão.
0 1 1 2 2t t t tx a a z a z v= + + +
0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆt t t tv x a a z a z= − + +
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• Inclua os resíduos calculados no passo 1 como uma 
variável explanatória na regressão, . 
Estime essa “regressão artificial” por mínimos 
quadrados e empregue o teste t usual para a hipótese 
de significância
1 2 ˆt t t ty x v e= β + β + δ +
( )
( )
0
1
: 0 sem correlação entre e 
: 0 correlação entre e 
H x e
H x e
δ =
δ ≠
• Se mais do que uma variável é suspeita, o teste será um 
teste F de significância conjunta dos coeficientes dos 
resíduos incluídos.