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 Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
 
 Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Numérico (MA63C-MA70C) / 1o Semestre de 2013 
Professor: Rudimar Luiz Nós 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS 
Interpolação, Integração Numérica, Solução de EDOs 
 
01. A intensidade 
I
 da radiação de uma fonte radioativa é dada por 
 
t
0eII

. 
 
A tabela abaixo fornece alguns resultados experimentais para 
 tI
. 
 
t 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 
I(t) 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 
 
Interpole 
45.0t
utilizando todos os pontos tabelados. 
 
Resposta: 
  521719.145.04 p
. 
 
 
02. Os dados tabelados abaixo dizem respeito à solubilidade do n-butano em ácido 
hidrofluórico anidro a altas pressões, sendo utilizados no design de refinarias de 
petróleo. 
 
T (Temperatura - oF) 77 100 185 239 285 
S (Solubilidade - %) 2.4 3.4 7.0 11.1 19.6 
 
Interpole 
FT 180
usando todos os pontos tabelados. 
 
Resposta: 
    878235.6180p ,763576.6180p 14 
. 
 
 
03. A velocidade do som na água varia com o temperatura. Empregando os valores 
da tabela a seguir, calcule o valor aproximado da velocidade do som na água a
C100
. 
 
 
 
 2 
Temperatura (oC) 93.3 98.9 104.4 110.0 
Velocidade (m/s) 1548 1544 1538 1532 
 
Resposta: 
  8962.15421003 p
. 
 
 
04. Determine o polinômio que interpola os pontos da tabela abaixo. 
 
 
x 2 3 4 5 
f(x) 16.4 15.2 14.9 16.0 
 
Resposta: 
 
2
39
60
77
10
3
12
1 23
3  xxxxp
. 
 
05. Uma spline cúbica natural S é definida por 
 
 
     
       







3x2 ,22
4
3
21
2x1 ,111
32
1
3
0
xdxxbxS
xDxBxS
xS . 
Calcule B, D, b e d sabendo que S interpola os pontos 
 1,1
, 
 1,2
 e 
 0,3
. 
 
Resposta: 
4
1
d ,
2
1
-b ,
4
1
 D,
4
1
B
. 
 
 
06. Estime o número de partições uniformes 
n
 a ser adotado no intervalo 
 2,0I
 
para garantir precisão 510 no cálculo de 
 
 
2 
0 
2
dxexsen x
 
 
pelo Método dos Trapézios. Você consegue justificar o porquê desse valor para 
?n
 
 
Resposta: 
6645n
 
 
 
 3 
 
Figura 1: Gráfico de 
     0,2x ,
2
 xexsenxf
. 
 
 
 
 
Figura 2: Gráfico de 
          0,2x 144 22  ,xsenxxcosxexf x'' . 
 
 
 
 





x
y
 



x
y
 4 
07. Estime o número de partições uniformes 
n
 a ser adotado no intervalo 
 2,0I
 
para garantir precisão 510 no cálculo de 
 
 
2 
0 
2
cos dxex x
 
 
pelo Método dos Trapézios. Você consegue justificar o porquê desse valor para 
?n
 
 
Resposta: 
7227n
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Gráfico de 
     0,2x ,cos
2
 xexxf
. 
 
 


x
y
 5 
 
Figura 4: Gráfico de 
          0,2x 4 14 22  ,xxsenxcosxexf x'' . 
 
 
08. Empregando o Método de Simpson, calcule o trabalho 
W
 realizado por um gás 
sendo aquecido segundo a tabela abaixo. Lembre-se de que 
 

f
i
V
V
PdVW
 
 
 
. 
 
V (m3) 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 
P (kg/m2) 80 72 64 53 44 31 22 
 
Resposta: 
157W
 
 
 
09. Sabe-se que a quantidade de calor 
Q
 necessária para elevar a temperatura de 
um certo corpo de massa 
m
 de 
0t
 a 
1t
 é dada por 
 
 
1
0
 t
 t
C  dmQ
, 
 
 



x
y
 6 
onde 
 C
 é calor específico do corpo  Ckgkcal / à temperatura  C . 
Empregue a tabela a seguir e o Método de Simpson para calcular a quantidade de 
calor necessária para se elevar 
20kg
de água de 
C0
 para 
C100
. 
 

 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
 C
 999.9 999.7 998.2 995.3 992.3 988.1 983.2 977.8 971.8 965.3 958.4 
 
Resposta: 
1970274Q
 
 
 
10. Empregue o Método de Euler para aproximar a solução de cada um dos 
Problemas de Cauchy a seguir. Calcule também o erro absoluto cometido no 
extremo superior do intervalo de integração. 
 
a)      
 





00
0,1 t,23
y
tytety
dt
d t
 
 
2
1
h
 
 
Resposta: 
    098677.2E ,2190993.31 y,
25
1
25
1
5
1
t y,1204223.1 2333 
 ttt eetey
 
 
b)  
 
 
 





21
1,2x ,1
y
x
xy
xy
dx
d
 
 
4
1
h
 
 
Resposta: 
      1172468.0E ,3862944.52 y,2lnx y,2690476.54  xxxy
 
 
11. Empregue o Método de Euler Modificado (Runge-Kutta 22) para aproximar a 
solução do Problema de Cauchy 
 
 
 
 
 





21
1,2x ,1
y
x
xy
xy
dx
d
 
 7 
com passo de integração 
4
1
h
. Calcule o erro absoluto cometido em 
2x
e 
compare os resultados com aqueles obtidos empregando-se o Método de Euler 
(Runge-Kutta 11). 
 
Resposta: 
      0134358.0E ,3862944.52 y,2lnx y,3728586.54  xxxy
 
 
 
12. Analise os códigos em C abaixo. Identifique os erros de programação cometidos 
e descreva o que eles executam. 
 
a) 
 8 
 
 
Resposta: o código aproxima a integral 
 
3 
1 
3 dxxsenex
empregando o Método de 
Simpson com 100 repetições e passo de integração 
210
100
1
2



n
ab
h
, 
apresentando dois erros de estrutura: o passo de integração deve ser 
n
ab
h
2


 e 
 9 
a aproximação da integral deve ser dada por 
     .0.3/* somabfuncaoafuncaohsoma 
 
 
b) 
 
 
 10 
Resposta: o código aproxima a solução do Problema de Cauchy 
 
 
 
 





10
0,3x ,
2
2
y
xy
x
xy
dx
d
 empregando o Método de Euler com passo de 
integração 
2
1
h
. A solução exata     3
1
2 3xxy  é calculada em cada ponto da 
partição, assim como o erro absoluto cometido na aproximação. 
 
 
13. Refaça todos os exercícios selecionados dos capítulos 5, 6 e 7 do livro Noções 
de Cálculo Numérico (Humes et al).