02 - Portas lógicas e álgebra booleana

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Portas lógicas e álgebra de Boole
Por: Sandro Alex
sandroalex@pro.unifacs.br
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� Sistemas Digitais: 
Princípios e Aplicações
◦ Tocci, Ronald J.
◦ 8ª edição; São Paulo: 
Prentice Hall, 2003
◦ ISBN: 85-87918-20-6
� Elementos de Eletrônica 
Digital
◦ Capuano, Francisco G.
◦ 40ª edição; São Paulo: 
Editora Érica, 2008
2
� Introdução aos circuitos elétricosIntrodução aos circuitos elétricosIntrodução aos circuitos elétricosIntrodução aos circuitos elétricos
� Portas Lógicas e Álgebra BooleanaPortas Lógicas e Álgebra BooleanaPortas Lógicas e Álgebra BooleanaPortas Lógicas e Álgebra Booleana
� Circuitos Integrados Circuitos Integrados Circuitos Integrados Circuitos Integrados –––– FamíliaFamíliaFamíliaFamília
� Simplificação de Simplificação de Simplificação de Simplificação de CircuitosCircuitosCircuitosCircuitos
� Circuitos Circuitos Circuitos Circuitos CombinacionaisCombinacionaisCombinacionaisCombinacionais
� Circuitos SequenciaisCircuitos SequenciaisCircuitos SequenciaisCircuitos Sequenciais
� Circuitos ProgramáveisCircuitos ProgramáveisCircuitos ProgramáveisCircuitos Programáveis
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Portas lógicas e álgebra de Boole
Sistemas Digitais
Por: Sandro Alex
� Mostrar as principais portas lógicas básicas, 
suas características e aplicações
� Trabalhar com a álgebra de Boole e com as 
propriedades de simplificação da mesma
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� Portas lógicas
� Obter expressão do circuito, avaliar saídas, obter tabela a 
partir do circuito
� Implementando circuitos a partir de expressões
� Álgebra de Boole, Portas NOR e NAND e Teorema de DeMorgan
� Universalidade das portas NAND e NOR, dualidade, 
interpretação ativa alto/baixo e que simbologia usar
� Níveis de acionamento, atraso de propagação
� Função OU exclusivo, função coincidência
� Resumo
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Variáveis booleanas não representam números
◦ Estado do nível de tensão ou nível lógico
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FAMÍLIAFAMÍLIAFAMÍLIAFAMÍLIA NÍVEL (0)NÍVEL (0)NÍVEL (0)NÍVEL (0) INDEFINIDOINDEFINIDOINDEFINIDOINDEFINIDO NÍVEL (1)NÍVEL (1)NÍVEL (1)NÍVEL (1)
TTL (BJT) 0 ~ 0,8V <-> 2,4 ~ 5V
CMOS (FET) 0 ~ 1,5V <-> 3,5 ~ 15V
LÓGICO LÓGICO LÓGICO LÓGICO ---- 0000 LÓGICO LÓGICO LÓGICO LÓGICO ---- 1111
Falso Verdadeiro
Desligado Ligado
Baixo ou Low (L) Alto ou High (H)
Não Sim
Aberto Fechado
Álgebra booleana 
expressa a relação 
entre entradas e 
saídas de um 
circuito lógico
Transistor-Transistor 
Logic (TTL)
� Descreve a relação entre as entradas e as saídas de 
um circuito lógico
◦ Número de colunas corresponde ao número de entradas
82
4 = 16 linhas
23 = 8 linhas
22 = 4 linhas
� São dispositivos (circuitos lógicos) que operam com 
um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir 
uma saída lógica
◦ Saída depende da função implementada no circuito
� São encontradas desde o nível de integração em 
larga escala até o nível de integração existente em 
circuitos integrados digitais mais simples
◦ Larga escala: circuitos integrados, como processadores
◦ CI simples: famílias de circuitos integrados (CI) TTL e CMOS
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Representam os elementos básico de construção da maioria 
dos circuitos digitais com operações básicas NOT, OR e AND
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� A saída terá nível lógico inverso ao da única entrada 
(lê-se A barra, inverso de A ou complemento de A)
◦ Um circuito NOT é comumente chamado de inversor
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Símbolo padrão
Tabela-verdade
Símbolo IEEE/ANSI
Circuito elétrico CI TTL
Forma de onda
X = A ou A’
Expressão
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Porta NOT 
CMOS
E S
E S
Porta NOT 
TTL
12
Porta NOT 
CMOS
Porta NOT 
TTL
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� A saída terá nível alto quando todas as entradas 
forem nível alto (lê-se A e B)
◦ A operação AND é similar a multiplicação convencional
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Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito elétrico CI TTL
Forma de onda
X = A . B
Expressão
� A saída terá nível alto quando qualquer entrada for 
nível alto (lê-se A ou B)
◦ A operação OR é semelhante à adição
14
X = A + B
Expressão
Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito elétrico CI TTL
Forma de onda
� Precedências dos operadores
◦ Se uma expressão contém portas AND e OR a operação AND 
irá acontecer primeiro, exceto quando houver um parêntese
� Descrevendo circuitos lógicos algebricamente
15
1) Circuito
2) Circuito
Cuidado com os parênteses!
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Sempre que um inversor estiver presente, a saída é equivalente 
a entrada, com uma barra sobre ela
(a) (b)
(c)
(d)
� Regras para avaliação de uma expressão booleana 
pelo método da substituição
◦ Executar todas as inversões de termos individuais
◦ Realizar todas as operações dentro de parênteses
◦ Realizar AND antes de OR, exceto quando houver parênteses
◦ Operar internamente na expressão barrada e depois inverter
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Se A=0, B=1, C=1 e D=1 Se A=0, B=0, C=1, D=1 e E=1
� A melhor maneira de analisar um circuito composto 
por várias portas lógicas é usar uma tabela-verdade
◦ Analisa uma porta ou uma combinação lógica de uma só vez
� Outras vantagens
◦ Permite que se confira facilmente o trabalho
◦ Ajuda a verificação de possíveis erros do circuito lógico
� Etapas para construção da tabela
◦ Listar todas as combinações de entradas
◦ Criar uma coluna para cada sinal intermediário
◦ Preencher os níveis lógicos para cada etapa
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A tabela verdade é mais prática 
que o método da substituição
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Portas lógicas e álgebra de Boole
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Construir a tabela-verdade 
a partir do circuito
Construir a 
tabela-verdade 
a partir do 
circuito
20
� Um circuito com saída y = AC + BC + ABC contém 
três termos sobre os quais é aplicada a operação 
OR e requer uma porta OR de três entradas
◦ Cada entrada da porta OR é um termo do produto AND
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1ª etapa 2ª etapa
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Desenhe o diagrama de circuito para as expressões:
◦ 1) x = (A + B) (B + C)
◦ 2) x = ABC(A + D)
◦ 3) x = AC + BC + ABC
◦ 4) x = [D + (A + B)C]E
22
1ª circuito
� Método utilizado para análise e projeto de circuitos 
digitais que utilizam portas lógicas
� Sempre é possível escrever uma equação algébrica 
booleana que poderá ser simplificada e/ou otimizada 
através do uso dos Teoremas e Postulados Booleanos
� A álgebra booleana possui as mesmas propriedades 
da álgebra linear ordinária, se for considerado
◦ AND como multiplicação (A. B)
◦ OR como soma (A + B)
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� Álgebra de Boole
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Portas lógicas e álgebra de Boole
25
� � �
� � �
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Leis comutativas
Leis distributivas
Leis associativas
Prova da 14
Por substituição:
Por tabela:
� Teoremas, úteis na simplificação de expressões
◦ Expressão reduzida produz um circuito menos complexo
� Simplifique a expressão: � � ��� � �	�	�
◦ Colocar em evidência as variáveis comuns, ��, teorema 13
� � � ��	� � �
◦ Usando o teorema 8, o termo entre parênteses equivale a 1
� � � ��. 1
◦ Pelo teorema 2 tem-se
� � � ��
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Redução do número de 
termos em uma expressão
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� Simplifique as expressões a seguir:
◦ 
 � � � � �� �
� 
 � �� � �� � �� � �� (T13)
� 
 � �� � �� � �	(T4: �� � 0 e T3: �� � �)
� 
 � � � � � � 1 , (T13)
� 
 � � (T2 e T6)
◦ � � ��� � ����
� � � �� � � ��
� � � ��	� � �
� � � ��� � ���
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� Combina operações básicas AND, OR e NOT, 
simplificando a escrita de expressões booleanas
◦ Blocos universais nos projetos de circuitos digitais
� Invertendo as saídas das portas AND e OR têm-se as 
saídas das portas NAND e NOR, respectivamente
◦ As tabelas-verdade para portasNAND e NOR mostram o 
complemento das tabelas-verdade para portas AND e OR
29
Um círculo, representando inversão, é colocado na 
saída da porta tornando a saída da expressão 
booleana invertida
X = A . B
� A saída será alta quando uma ou mais entradas 
forem nível baixo (lê-se A e B barrados)
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Expressão
Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito elétrico CI CMOS
Circuito 
CMOS
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� A saída será alta quando todas as entradas forem 
nível baixo (lê-se A ou B barrados)
31
X = A + B
Expressão
Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito elétrico CI CMOS
Circuito
CMOS
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Porta NOR
Porta NAND
� Implemente o circuito lógico que tem a expressão a 
seguir, usando apenas portas NAND e NOR
◦ X = AB(C + D)
33
Resposta
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Encontre a expressão e tabela do circuito a seguir
34
� Encontre a expressão lógica e tabela de cada circuito
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(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
� Desenhe o circuito lógico para cada expressão
36
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� A negação da soma de variáveis é igual ao produto 
da negação de cada variável
� A negação do produto de variáveis é igual a soma da 
negação de cada variável
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Porta NOR
Extremamente útil na simplificação de expressões onde o 
produto ou a soma das variáveis é invertida
� Simplifique as expressões para variáveis simples
◦ � � 	� � �
	� � �
� Considerar 	� � �
como X e 	� � �
 como Y, pelo teorema 17
� � � 	� � �
 � 	� � �
� Usando o teorema 16 no primeiro e segundo termos
� � � �. � � �.�, ����	� � �� � ��
38
� Universalidade (equivalência) da porta NAND
◦ Portas NAND ou NOR podem ser usadas para criar as três 
expressões lógicas básicas: NOT, AND e OR
39
A porta lógica básica na tecnologia TTL é a NAND
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Universalidade (equivalência) da porta NOR
◦ Flexibilidade e muito útil no projeto de circuito lógico
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A porta lógica básica na tecnologia CMOS é a NOR
� Exemplo
◦ Um circuito lógico gera um sinal X, que será ALTO 
sempre que as condições A e B existirem 
simultaneamente, ou sempre que as condições C e D 
existirem simultaneamente
� X = AB + CD
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Diagrama de pinos de um circuito integrado (CI) da família TTL 
contendo 4 portas, disponível comercialmente
� X = AB + CD, implementação com portas AND e OR
42
A B C D X
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� X = AB + CD, implementação só com portas NAND
43
A B C D
X
Not
NotNot
Not
� Inverter cada entrada e saída de símbolos-padrão
� Adicionar um círculo de inversão, onde não exista
� Remover círculos de inversão, caso existam
44
� As equivalências podem ser estendidas para portas 
com qualquer número de entradas
� Nenhum símbolo padrão tem inversão na entrada, 
mas todos os símbolos alternativos têm
� NAND e NOR são portas inversoras, portanto os 
símbolos padrão e alternativos têm inversores na 
entrada ou na saída
� AND e OR são portas não inversoras, logo os 
símbolos padrão não têm inversores e os alternativos 
têm inversores na entrada e na saída
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Os símbolos padrão e os equivalentes de cada 
porta representam o mesmo circuito físico
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Ativa em ALTO: Entrada ou saída não tem inversão
� Ativa em BAIXO: Entrada ou saída tem inversão
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Saída é baixo quando entradas forem altas
Saída é alta quando qualquer entrada é baixa Saída é baixo quando entradas forem baixo
Saída é alta quando qualquer entrada é alta
� O uso dos símbolos alternativos em um diagrama 
pode a interpretação do circuito muito mais clara
47
Circuito com 
portas padrão
Circuitos com símbolos alternativos
X ou Y for baixo X e Y for alto
A e B é alto
C e D é alto
A ou B é baixo
C ou D é baixo
� Quando possível escolha os símbolos das portas
◦ Saídas com círculos são conectadas às entradas com círculos
◦ Saídas que não tem círculos com entradas sem círculos
� O circuito ativa o alarme quando a saída Z for ALTO
◦ Modificar o diagrama, alterando o símbolo da porta NOR
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� Determinar a expressão p/ MEM escrevendo a tabela 
verdade e avaliando 16 combinações das entradas
◦ Embora eficiente, este método poderia ser mais trabalho
� Analisar o diagrama do circuito empregando os 
níveis de atividades dos sinais, é mais rápido 
◦ MEM é ativo baixo e vai p/ baixo quando X e Y forem altos
� X será alto somente quando RD for baixo
� Y será alto quando W ou V for alto
� V será alto quando RAM for baixo
� W será alto se ROM-A ou ROM-B for baixo
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MEM vai p/ nível baixo quando RD é baixo e, no 
mínimo, uma das demais entradas for baixo
� Um sinal de saída pode ter dois estados ativos, com 
uma função importante em ALTO e outra em BAIXO
◦ É costume rotular esses sinais para que ambos os estados 
ativos estejam aparentes
50
A barra sobre um 
sinal significa ativa 
em BAIXO.
RDRD
A ausência de uma 
barra significa 
ativa em ALTO.
RD/WR
Quando esse sinal está ALTO, realiza-se a operação ler (RD);
Quando é BAIXO, realiza-se a operação escrever (WR). 
Um exemplo comum é o sinal de ler/escrever
� Tempo que um sistema leva para produzir uma 
saída após receber uma entrada
◦ A velocidade de um circuito lógico está relacionada ao 
atraso da propagação
� Na implementação de circuitos lógicos existe uma 
folha de dados que indica o valor do atraso da 
propagação
◦ Usada para assegurar que o circuito possa operar com 
rapidez suficiente para a aplicação
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Portas lógicas e álgebra de Boole
� A saída será alta quando as entradas tiverem 
nível lógico diferente (lê-se A ou exclusivo B)
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Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito lógico
		� � �⊕� � �̅. � � �. ��
Expressão
� A saída será alta quando os níveis lógicos das 
entradas forem iguais (lê-se A coincidência B)
53
		� � �⊕� � �̅. �� � �. �
Expressão
Símbolo padrão
Tabela-verdadeSímbolo IEEE/ANSI
Circuito lógico
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