Monografia - ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA INTERAÇÃO SOLOESTRUTURA NO DIMENSIONAMENTO DE RADIER - Pablo Augusto Krahl

Fundações

•

FPG

Gileade de Oliveira Pina

30/01/2016

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Fundações

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PABLO AUGUSTO KRAHL

ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA INTERAÇÃO SOLO-
ESTRUTURA NO DIMENSIONAMENTO DE RADIER

MARINGÁ
2011
PABLO AUGUSTO KRAHL

ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA INTERAÇÃO SOLO-
ESTRUTURA NO DIMENSIONAMENTO DE RADIER

Monografia apresentada como parte dos
requisitos necessários para aprovação no
componente curricular Trabalho de Conclusão do
Curso de Engenharia Civil da Universidade
Estadual de Maringá.

Orientador: Prof. Dr. Jeselay Hemetério Cordeiro
dos Reis

MARINGÁ
2011
PABLO AUGUSTO KRAHL

ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA INTERAÇÃO SOLO-
ESTRUTURA NO DIMENSIONAMENTO DE RADIER

Monografia apresentada como parte dos
requisitos necessários para aprovação no
componente curricular Trabalho de Conclusão do
Curso de Engenharia Civil da Universidade
Estadual de Maringá.

Aprovada em ____/_____/_______

BANCA EXAMINADORA

_____________________________________________________
Prof. Dr. Jeselay Hemetério Cordeiro dos Reis - Universidade Estadual de Maringá

_____________________________________________________
Prof. Dr. Romel Dias Vanderlei - Universidade Estadual de Maringá

_____________________________________________________
Prof. Dr. Rafael Alves de Souza - Universidade Estadual de Maringá

AGRADECIMENTOS

A Deus que ilumina meu caminho e me dá forças.
À Universidade Estadual de Maringá.
Ao Professor Jeselay Hemetério dos Reis pela orientação e paciência ao longo dessa
caminhada.
Aos professores da Engenharia Civil que com brilhantismo transmitem seu
conhecimento.
Aos funcionários do departamento de Engenharia Civil pela disposição e dedicação.
Aos meus pais e irmãos que sempre estiveram ao meu lado, dando apoio nos bons e
maus momentos.
À Franciele Monik Zanutto, por ser minha companheira ao longo destes anos.
À empresa Ingá Plan que me concedera a oportunidade de ter contato com a
Engenharia de Estruturas e Geotécnica.
A todos os colegas do curso, com os quais sempre me diverti e criei laços de amizade.

RESUMO

Para atribuir segurança e compreender o comportamento das estruturas, torna-se cada vez
mais comum a avaliação e modelagem das edificações conjuntamente com o maciço sobre o
qual elas se apóiam, interagindo quando submetidos aos carregamentos previstos em projeto.
Neste contexto, realizou-se o presente estudo com intuito de avaliar a interação solo-estrutura
em fundações do tipo radier, apresentando as maneiras de se realizar este tipo de análise com
auxílio de softwares, como o SAP2000, e a forma de se lidar com o coeficiente de recalque
para este tipo de fundação. Mostra-se o quão importante é avaliar o comportamento do
conjunto solo-estrutura através da hipótese interativa de Winkler, principalmente com relação
aos limites de plastificação do solo, quando comparado à estruturas processadas com uma
primeira aproximação do coeficiente de mola. Algumas peculiaridades à respeito deste
coeficiente são apresentadas referentes a fundações em radier, como a utilização de valores
típicos para a discretização da placa e a necessidade de ajustes da mola adaptando-a às
proporções de sua área de influência (condições de apoio), para que a capacidade portante do
solo não seja subestimada, acarretando esforços resultantes relativamente maiores.

Palavras-chave: Hipótese de Winkler. Coeficiente de mola. SAP2000.

LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Distribuição das pressões de contato e diagramas de esforços ............................. 10
Figura 1.2 - Modelo desenvolvido por Winkler ....................................................................... 11
Figura 2.1 - Influência da rigidez relativa fundação-solo nas pressões de contato .................. 12
Figura 2.2 - Dimensões do radier ............................................................................................. 13
Figura 2.3 - Distribuição das pressões de contato na base de uma placa rígida sobre (a)
material elástico; (b) areia não coesa; (c) solos com características intermediárias ................ 15
Figura 2.4 - Modelo de Winkler e modelo de membrana assente sobre fluido denso.............. 16
Figura 2.5 - Hipótese de meio contínuo em placas de grande e pequena rigidez ..................... 16
Figura 2.6 - Zona de influência de cargas concentradas em placas flexíveis ........................... 18
Figura 2.7 - Representação das tensões desenvolvidas nas placas de concreto ....................... 21
Figura 2.8 - Cone de ruptura em uma laje de fundação ............................................................ 22
Figura 2.9 - Perímetro crítico em pilares internos (C e C’) ...................................................... 22
Figura 2.10 - Definição das dimensões �� e �� com momento em uma direção ................... 23
Figura 2.11 - Definição das dimensões �� e �� com momento em duas direções ................. 24
Figura 3.1 - Sistema local e global de coordenadas do software SAP2000 ............................. 28
Figura 3.2 - Representação do elemento finito quadrilátero .................................................... 28
Figura 3.3 - Modelo estrutural representando a interface solo-fundação com solo de
comportamento elástico e os possíveis carregamentos............................................................. 29
Figura 3.4 - Representação do elemento finito e as convenções de esforços . ......................... 30
Figura 3.5 - Área de influência de cada apoio de nó da grelha. ............................................... 30
Figura 4.1 - Representação da obra em estudo no software TQS............................................. 33
Figura 4.2 - Perímetros críticos para verificação da punção no pilar P5 .................................. 36
Figura 4.3 - Momentos fletores na direção y resultantes na placa para o primeiro
processamento .......................................................................................................................... 38
Figura 4.4 - Momentos fletores na direção y resultantes na placa para a primeira interação ... 41
Figura 4.5 - Deformações finais do radier após as interações .................................................. 42
Figura 4.6 - Superfície deformada do radier e valores dos recalques ....................................... 42
Figura 4.7 - Pressões de contato para radier de 25 cm de espessura ........................................ 46
Figura 4.8 - Pressões de contato para radier de 50 cm de espessura ........................................ 46
Figura 4.9 - Pressões de contato para radier de 75 cm de espessura ........................................ 47
Figura 4.10 - Pressões de contato para radier de 100 cm de espessura .................................... 47
Figura 4.11 - Pressões de contato para radier de 25 cm de espessura e kv inicial ................... 48
LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Valores de ���� ................................................................................................. 14
Tabela 2.2 - Valores de ��� em kgf/cm³ ................................................................................. 17
Tabela 2.3 - Fatores de forma
para carregamentos na superfície de um meio de espessura
infinita .......................................................................................................................................19
Tabela 2.4 - Valores do coeficiente k ....................................................................................... 23
Tabela 4.1 - Resultantes na base os pilares (t e t.m) ................................................................. 34
Tabela 4.2 - 1ª interação, reações SAP2000 e novo coeficiente de mola ................................. 39
Tabela 4.3 - 2ª interação, reações SAP2000 e novo coeficiente de mola ................................. 40
Tabela 4.4 - Pressões de contato na interface solo-placa ......................................................... 45
SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 8
2 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................................... 12
2.1 RADIER - DEFINIÇÃO ..................................................................................................... 12
2.2 RIGIDEZ DA PLACA ........................................................................................................ 12
2.3 MÓDULOS DE ELASTICIDADE DO CONCRETO E DO SOLO ................................... 13
2.4 FORMATO DO DIAGRAMA DE PRESSÕES DE CONTATO ....................................... 14
2.5 MODELOS DE REPRESENTAÇÃO DO SOLO PARA ANÁLISE DA INTERAÇÃO
SOLO-ESTRUTURA ............................................................................................................... 15
2.6 COMPRESSIBILIDADE DO MACIÇO ............................................................................ 17
2.7 DETERMINAÇÃO DOS RECALQUES DA PLACA ....................................................... 18
2.8 DETERMINAÇÃO DA ESPESSURA DA PLACA .......................................................... 20
3 MÉTODOS DE CÁLCULO ............................................................................................... 25
3.1 MÉTODO ABORDADO PARA O CÁLCULO DAS TENSÕES NA PLACA E SOLO ... 25
3.2 MODELO DE ANÁLISE ................................................................................................... 25
3.4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .......................................................................... 26
3.5 METODOLOGIA PARA APLICAÇÃO DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ......... 27
4 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA .......................... 31
4.1 VERIFICAÇÃO DA TENSÃO ADMISSÍVEL DO SOLO................................................ 43
4.2 CÁLCULO ALTERNATIVO PARA OBTENÇÃO DO �� ............................................... 44
4.3 AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DAS PRESSÕES DE CONTATO .................. 45
5 CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 50
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 51
APÊNDICE A – PLANTA DE FÔRMAS E LOCAÇÃO DOS PILARES DA OBRA EM
ESTUDO .................................................................................................................................. 53
ANEXO A - SONDAGENS SPT ........................................................................................... 54
ANEXO B - PROJETO ARQUITETÔNICO ...................................................................... 55
8

1 INTRODUÇÃO

Para conceber uma nova estrutura é fundamental realizar estudos sobre suas condições
de contorno para que seu modelo se aproxime da realidade. Um condicionante é o material
sobre o qual a obra se apoiará, pois conhecê-lo é a chave para se alcançar o desempenho
desejado pelo projetista. Esta variável é muito importante, pois uma modelagem ruim pode ser
a razão do insucesso da obra por problemas patológicos ou até mesmo a ruína.
A absorção de cargas provenientes da estrutura pelo maciço de solos o submete a
tensões que podem provocar deformações excessivas por se tratar de um material que possui
grande volume de vazios (compressível). Então como calcular uma estrutura sobre apoios
indeslocáveis se o material que lhe dá suporte tem comportamento mecânico que aparenta ser
totalmente irregular e complexo e é difícil estabelecer uma lei para seu comportamento?
O panorama de procedimento de projetos atual envolvendo engenheiros geotécnicos e
de estruturas se configura, iniciando pelo calculista, em um lançamento estrutural,
processamento dos esforços, obtenção das resultantes dos carregamentos que serão
transmitidas às fundações que são passadas ao geotécnico. Este procede à escolha e o
dimensionamento dos elementos de fundação levando-se em conta os parâmetros obtidos
através de ensaios do solo, depois disso, junto ao projeto detalhado das estruturas procede à
execução da obra.
Apesar de muito comum, a hipótese de considerar que a estrutura é apoiada em base
rígida não é verdadeira. Estudos realizados mostram que essa análise não procede porque o
maciço, sobre o qual a estrutura se apóia é deformável quando submetido a esforços verticais
e momentos para ser considerado um engaste.
Segundo Crespo (2004) no cálculo de estruturas, os apoios são usualmente adotados
como indeslocáveis. Os esforços resultantes do sistema são utilizados para o
dimensionamento das fundações e para o cálculo dos deslocamentos, no entanto, estes
elementos, devido à compressibilidade do solo, exercem influência sobre a estrutura,
resultando um modelo estrutural diferente do previsto a priori, com apoios indeslocáveis,
podendo alterar de maneira significativa a distribuição dos esforços na superestrutura.
Neste contexto, nota-se a relevância de avaliar o comportamento do solo quando
submetido a carregamentos e, a partir disso, conferir à estrutura capacidade de absorver os
deslocamentos diferenciais que possam ocorrer.
9

A importância de se avaliar a interação solo-estrutura (ISE), para Reis (2000), se deve
ao fato de que para uma mesma superestrutura submetida aos mesmos carregamentos, no
entanto apoiada sobre maciços com características diferentes, apresentam reações de apoio
distintas e conseqüentemente uma distribuição de esforços diferentes ao longo de seus
elementos.
Para estudos de placas sobre base elástica são necessários conhecimentos geotécnicos
e estruturais. Geotécnicos, porque um maciço de solos receberá o carregamento da placa,
sendo necessário o entendimento do comportamento do mesmo, com as informações de
ensaios, para aferir sobre a necessidade de reforço das camadas que receberão os esforços da
estrutura ou o reforço dos elementos de fundação, no caso radiers, recomendando o aumento
da rigidez para melhor distribuição dos recalques.
Faz-se necessário o conhecimento de estruturas, para que depois da determinação das
pressões de contato solo-fundação e conseqüentes solicitações na placa, com o conhecimento
dos mecanismos resistentes do concreto armado, sejam dimensionados os elementos e suas
armaduras.
A análise da interação solo-estrutura pode ser empregada em todos os tipos de
fundação, como por exemplo, estacas e sapatas. Neste trabalho será abordada a interação solo-
fundação em radier, com este recebendo carregamentos diversos característicos de edificações
residenciais.
Nas placas de concreto armado submetidas a carregamentos normais ao seu plano
predominam fundamentalmente esforços de flexão. Nos casos em que radiers recebem pilares,
as cargas provindas destes elementos são muito maiores que os carregamentos de utilização
do pavimento sobre a placa. A área de aplicação dos esforços dos pilares é muito pequena
gerando uma tensão elevada na ligação pilar-radier de forma que os esforços de cisalhamento
serão mais críticos que os de flexão, ou seja, a placa deverá ser avaliada com mais rigor
nessas regiões, sendo que sua espessura será função da resistência ao cisalhamento provocadapela punção.
Segundo Velloso et al (2010) na análise de interação solo-estrutura para a
determinação dos esforços internos e deslocamentos é levada em consideração a rigidez real
dos elementos de fundação. Além disso, segundo os mesmos, existe uma maneira indireta de
se obter estes esforços que é através das pressões de contato desenvolvidas na interface dos
elementos de fundação com o solo de apoio. Essas pressões nada mais são que as reações de
apoio do solo para suportar as solicitações da estrutura. Com este sistema é possível
10

determinar os esforços atuantes na placa para enfim realizar seu dimensionamento. Para
ilustrar o descrito segue a figura abaixo (Fig. 1.1).

Figura 1.1 - Distribuição das pressões de contato e diagramas de esforços
Fonte:Velloso et al (2010)

Segundo Rodrigues (2010) em placas de concreto os cálculos devem levar em conta a
diferença de esforços entre o centro das placas e suas bordas pois estima-se que os esforços
solicitantes nos extremos sejam o dobro dos detectados em seu interior para ações de mesmo
porte. Com o aumento da intensidade das cargas as tensões nos bordos permanecem
constantes, por haver uma plastificação do solo, enquanto ocorre um aumento das nas regiões
centrais.
Os métodos mais complexos modelam os problemas com mais exatidão, no entanto é
muito onerosa a prática destes cálculos no cotidiano dos escritórios de projetos fazendo com
que se opte por processos mais fáceis e rápidos que geram resultados aproximados. Em
dissertação, Crespo (2004), afirma que a consideração da interação solo-estrutura para efeitos
de análise e dimensionamento de elementos de concreto armado leva a uma modelagem mais
real dos problemas relativos ao comportamento de edificações, com isso pode-se obter
soluções mais econômicas e confiáveis.
Uma das maneiras mais simples de se avaliar as tensões de contato levando em
consideração a compressibilidade do solo consiste em considerar uma série de molas discretas
na base da fundação, Scarlat (1993).
Os trabalhos de Winkler tiveram grande destaque por sua simplicidade e praticidade.
Segundo Balbo (2009) Winkler desenvolveu um modelo para calcular a reação de subleitos de
fundações rasas visando simular o comportamento do maciço em que a interface solo-
fundação é representada por um conjunto de molas, similar a lei de Hooke, regidas por uma
11

constante de proporcionalidade k (coeficiente de mola) de forma a relacionar
proporcionalmente as pressões de contato aos recalques.
Esse processo ficou conhecido como análise de placa sobre base elástica. O problema
fundamental para o uso deste modelo é a determinação da rigidez das molas elásticas usadas
para substituir o solo sob a fundação.
O modelo de Winkler teve grande influência sobre as análises de tensões em placas
apoiadas em meio elástico, mas por ser um processo simplista, apresenta uma série limitações,
sendo uma das principais o fato de que não existe transmissão de esforços de cisalhamento
entre molas adjacentes como mostrado na figura abaixo (Fig. 1.2), ou seja, uma mola
apresenta comportamento independente das demais a sua volta. Outra hipótese que foge a
realidade é o fato de considerar que os recalques ocorrem somente sob a fundação e não no
entorno da placa.

Figura 1.2 - Modelo desenvolvido por Winkler
Fonte: Balbo (2009)
Neste contexto, este trabalho pretende avaliar numericamente a distribuição dos
esforços ao longo de um radier quando se considera a interação solo-estrutura e se essa
consideração é relevante ao ponto de alterar de maneira significativa o seu dimensionamento.
Pretende-se avaliar, também, a influência das deformações do maciço e o nível de
carregamento aplicado sobre a placa.

2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 RADIER - DEFINIÇÃO

As fundações rasas transmitem os esforços provenientes da estrutura por meio do
contato da sua base com o maciço suporte. Quando uma estrutura de concreto em placa
assente sobre o solo recebe todos ou parcialmente os pilares de uma obra esse elemento é
denominado radier geral e parcial, respectivamente, como define a NBR 6122(1996). Em
projeto os dois casos podem ser tratados da mesma forma.
Esses elementos são comumente aplicados em situações em que a solução em sapatas,
devido à baixa capacidade de suporte do solo, começa a ocupar grandes áreas em planta. Tem-
se como recomendação prática a substituição das sapatas por radiers quando as mesmas
ocuparem mais da metade da área da obra, Velloso et al (2010).
Quando se opta pela utilização de radiers diminuem-se as pressões de contato devido à
maior área de distribuição. Há uma conseqüente redução nos recalques diferenciais, porque a
solução solidariza pilares adjacentes por meio da placa, de forma a contribuir para
deslocamentos mais uniformes, mas contudo a placa deve possuir rigidez suficiente para que
isso aconteça. Vale lembrar que os recalques diferenciais são os mais prejudiciais às
edificações.

2.2 RIGIDEZ DA PLACA

A rigidez relativa fundação-solo é um dos fatores mais importantes para caracterizar as
pressões de contato, pois a flexibilidade da placa dará a configuração do diagrama de pressões
de contato refletindo o carregamento aplicado.

Figura 2.1 - Influência da rigidez relativa fundação-solo nas pressões de contato
Fonte: Adaptado de Velloso et al (2010)

A fundação em estudo é do tipo radier. Não existe uma expressão geral que expresse a
rigidez relativa de uma placa, mas sim propostas com boa aceitação. Velloso et al (2010), à
partir das formulações de Meyerhof e Schultze, verificaram que em ambas o numerador
representa a rigidez à flexão da placa e o denominador é proporcional à rigidez à flexão de
uma seção retangular com as dimensões da placa. Com isso, verificou-se que a rigidez relativa
depende da direção tomada da placa retangular.
�′ � ���³��³ (2.1)
�" � ���³��³ (2.2)

Figura 2.2 - Dimensões do radier

onde:
�� = Módulo de Young do material da placa (concreto);
� = Espessura da placa;
� = Módulo de Young do solo;
�, � = Respectivamente, maior e menor dimensões da placa.

2.3 MÓDULOS DE ELASTICIDADE DO CONCRETO E DO SOLO

O módulo de elasticidade secante do concreto para análise do comportamento da placa
em estado limite último, quando não obtido através de ensaios, segundo a NBR 6118(2003) é:
��� � 0,85.5600. "#�$ &'()* (2.3)

O módulo de Elasticidade dos solos é um valor que apresenta grande variabilidade e
de acordo com Souza e Reis (2008) recomenda-se que este valor seja obtido através de
ensaios. Uma das possibilidades é utilizar correlações com SPT para obtenção da resistência
de ponta (qc) e através da proposta de Teixeira e Godoy (1996) calcular o módulo de
elasticidade do solo.

Para obter a resistência de ponta:
+, � -./0 . 1./0 (2.4)

Os valores de -./0 são obtidos através da tabela a seguir.

Tabela 2.1 - Valores de ����

Fonte: Teixeira e Godoy (1996)

Com a resistência de ponta calcula-se o módulo de elasticidade com as seguintes
equações:
Es = 3.qc , para o caso de areia (2.5)
Es = 5.qc , para o caso de silte (2.6)
Es = 7.qc , para o caso de argila (2.7)

2.4 FORMATO DO DIAGRAMA DE PRESSÕES DE CONTATO

Existem diversos fatores que influenciam nas pressões de contato, tanto na intensidade
como na forma dos diagramas de tensão.
A forma dos diagramas está intimamente ligada às propriedades do solo, da mesma
forma que os limites para plastificaçãodevido às cargas.
O comportamento das tensões de contato para solos perfeitamente elásticos,
homogêneos e isotrópicos com propriedades coesivas está representado na Figura 2.3a que na
proximidade dos bordos tem os maiores valores, limitados pela plastificação do material e
variam no centro de acordo com a intensidade dos carregamentos.
A curva Cu representa as pressões de contato quando a placa é carregada por valores
limites que o maciço pode suportar sem apresentar grandes deslocamentos.
15

Em solos pouco coesivos tem destaque a região das bordas da placa por não
desenvolverem tensões de contato como nos outros casos, justamente por causa desta
propriedade, como mostra a Figura 2.3b. Segundo Terzaghi et al (1996) esse fato foi
comprovado experimentalmente.
Para casos de solos com propriedades intermediárias há uma mescla dos
comportamentos, sendo que para carregamentos pequenos as tensões aumentam do centro
para as bordas e em estados últimos o inverso, como representa a Figura 2.3c.

Figura 2.3 - Distribuição das pressões de contato na base de uma placa rígida sobre (a)
material elástico; (b) areia não coesa; (c) solos com características intermediárias
Fonte: Terzaghi et al (1996)

2.5 MODELOS DE REPRESENTAÇÃO DO SOLO PARA ANÁLISE DA INTERAÇÃO
SOLO-ESTRUTURA

Para realização dos processos interativos é necessário definir antes o modelo de solo
que será utilizado. Existem dois modelos que merecem destaque que são:
• Hipótese de Winkler;
• Hipótese de solo representado por um semi-espaço contínuo.

Hipótese de Winkler
Esse modelo substitui o solo por molas com comportamento elástico de forma a
relacionar as pressões de contato desenvolvidas na placa com os deslocamentos (recalques):
+ � �2 3 (2.8)

O princípio que consta essa hipótese é o mesmo que o de uma membrana posicionada
sobre fluido denso e o coeficiente que correlaciona a tensão (+) ao seu respectivo
deslocamento provocado (3* recebe o nome de coeficiente de reação vertical que é
simbolizado pela letra k, mas pode ser chamado de coeficiente de mola. A Figura 2.4 ilustra a
hipótese de Winkler:

Figura 2.4 - Modelo de Winkler e modelo de membrana assente sobre fluido denso
Fonte: Adaptado de Velloso et al (2010)

Hipótese de semi-espaço contínuo
Esse modelo é utilizado para resolução de problemas com a teoria da elasticidade, cuja
modelagem é de difícil formulação matemática, pois não considera somente os deslocamentos
sob a placa, como na hipótese de Winkler e sim a influência da solicitação sobre os solos
adjacentes à estrutura, o que representa a realidade do problema.
Então para aplicá-lo é necessária a utilização de soluções numéricas que discretizem a
placa. Abaixo segue a Figura 2.5 com representação do modelo para placas com rigidez
infinita e próxima de zero e as respectivas respostas das pressões de contato e recalques
devido ao carregamento.

Figura 2.5 - Hipótese de meio contínuo em placas de grande e pequena rigidez
Fonte: Adaptado de Velloso et al (2010)
17

2.6 COMPRESSIBILIDADE DO MACIÇO

Para realizar estudos da interação solo-fundação são necessários conhecimentos a
respeito das propriedades do solo sobre o qual a fundação se apóia, pois suas características
têm grande influência sobre a distribuição das pressões de contato nessa interface, sem falar
na fundamental importância do conhecimento da compressibilidade do maciço.
Conhecer a compressibilidade do solo possibilita ao projetista dimensionar as
fundações de forma que atendam aos requisitos de projeto verificando os estados limites
descritos pela norma NBR 8681(2003).
O parâmetro fundamental para a análise matemática e a realização do processo
interativo é o coeficiente de reação vertical ou mais popularmente conhecido como
coeficiente de mola que pode ser obtido, segundo Velloso et al (2010), através de:
• ensaio de placa;
• tabelas de valores típicos e correlações;
• cálculo do recalque da fundação real.
Os valores que são fornecidos na literatura foram obtidos através do ensaio de placa e
devem ser corrigidos devido às proporções de escala, ou seja, correções de dimensão e de
forma. A Tabela 2.2 abaixo refere-se à valores fornecidos por Terzaghi (1957).

Tabela 2.2 - Valores de ��� em kgf/cm³

Fonte: Terzaghi (1957)
Notas: Valores adaptados para unidades do SI, os valores que
Terzaghi apresentou tinham unidades em pés (ft) e toneladas (ton).

A correção realizada em radiers utilizando a dimensão B (menor dimensão) gera um
coeficiente de reação vertical pequeno, ou seja, o maciço será caracterizado com capacidade
18

de suporte baixa, então para casos de cargas concentradas muito espaçadas (1 > 2,5R), pode-
se usar R na correção do coeficiente, sendo este calculado através da equação 2.9.

� 4 56�7�89&:;<=7*$>
?
(2.9)

Figura 2.6 - Zona de influência de cargas concentradas em placas flexíveis
Fonte: Velloso et al (2010)

A conversão do kA: em kB segundo o ACI (1988) pode ser feita a partir da seguinte
expressão:
�2 � �.: CD�E
F
(2.10)

em que n varia entre 0,5 e 0,7. Sendo que para espessura da camada compressível abaixo da
fundação menor que 4B, utiliza-se o menor valor. O valor b se refere ao lado de uma placa
quadrada com dimensão de 1 pé ou 30,48 cm utilizada no ensaio de placa.
Para que os requisitos de norma sejam atendidos deve-se elaborar um programa de
investigação do subsolo para que o projetista tenha pleno conhecimento das características do
maciço que será o apoio das fundações.

2.7 DETERMINAÇÃO DOS RECALQUES DA PLACA

Para a realização dos processos interativos solo-fundação é necessário, além dos
esforços desenvolvidos entre a placa e o terreno, a determinação dos recalques.
Existem soluções diretas para obter os recalques, que podem ser calculados através:
• Solução da Teoria da Elasticidade;
• Métodos Numéricos
19

Se o radier possuir elevada rigidez, toda sua área será considerada como uma sapata,
caso contrário, será considerada a área de influência dos nós da fundação discretizada em
casca pelo método dos elementos finitos.
O cálculo dos recalques, segundo Velloso et al (2010) pode ser feito através da
equação de Perloff:
3 � + � :;<=� G� GH GI (2.11)
em que:
+ � pressão média aplicada;
� � menor dimensão da sapata
J � coeficiente de Poisson;
� � módulo de Young;
G� � fator de forma da sapata e de sua rigidez (no caso flexível, depende da posição do ponto:
centro, bordo etc.);
GH � fator de profundidade/embutimento;
GI � fator de espessura de cada compressível.
Para avaliar os recalques do radier será adotado que o mesmo é assente sobre a
superfície do terreno e a não existência de camada compressível, ou seja, o único fator que
será determinado para aplicação da equação (2.11) será o de forma (G�).
O fator de forma foi tabelado por Perloff de acordo com a geometria e flexibilidade de
uma fundação rasa. Segue abaixo a Tabela 2.3.

Tabela 2.3 - Fatores de forma
para carregamentos
na superfície de um meio de espessura infinita

Fonte: Perloff (1975)
20

Na realização das interações solo-fundação será tomado como coeficiente de recalque
inicial para o conjunto, o resultante da expressão 2.11 citada anteriormente relacionando-a
com a hipótese de Winkler, como segue:
1
G�
1
�
�
1 L MN �
+
3
sendo
�2 � +3
então
�2 � :OP :� �:;<= (2.12)Esta equação constitui uma das maneiras de relacionar o coeficiente de recalque com o
módulo de elasticidade do solo, porém estes dois parâmetros representam modelos diferentes
de representação do solo que apresentam resultados diferentes, mas no entanto, esta relação
pode ser utilizada para obter a primeira aproximação do coeficiente de recalque, que a partir
das interações convergirá para um valor mais próximo do real.
Diferentemente de sapatas, a representação da distribuição das molas ao longo da
placa será critério do projetista, sendo a área utilizada para cálculo dos recalques centralizada
nas interseções dos vértices dos elementos de casca até os pontos médios entre interseções
adjacentes, sendo B a menor dimensão desta região.
A discretização das molas depende das dimensões dos elementos de casca, não sendo
recomendadas dimensões muito grandes nem muito pequenas, pois dependo dos casos podem
ocorrer distorções não resultando uma modelagem satisfatória. Este assunto será discutido no
tópico 3.6. O coeficiente de Poisson adotado será de 0,3 e a obtenção do módulo de Young
será realizada como descrito no item 2.3.

2.8 DETERMINAÇÃO DA ESPESSURA DA PLACA

De acordo com Fusco (1995) na classificação geral dos elementos estruturais as placas
são estruturas laminares com superfície média plana, com os carregamentos
predominantemente normais ao seu plano. No caso de radiers, diferentemente de lajes, as
reações ocorrem ao longo de toda a área da placa, no contato com o solo.
Os esforços internos aos quais a placa é submetida são mostrados na Figura 2.7 nas
faces de um elemento com dimensões horizontais unitárias (∆x e ∆y) e altura h.
21

Figura 2.7 - Representação das tensões desenvolvidas nas placas de concreto
Fonte: Fusco (1995)

A integração desses diagramas de tensões atuantes na seção da placa (normais e
tangenciais) fornece os valores dos esforços de momento fletor, esforço cortante e momento
torçor que são utilizados nos dimensionamentos e verificações nos estados limites.
Para o dimensionamento da espessura de radiers em que os pilares se apóiam
diretamente sobre a placa (como será utilizado neste trabalho) as solicitações tangenciais são
mais críticas, pois podem ocasionar ruptura por punção, então deverá ser determinada uma
espessura tal que dispense armaduras para este fim.
Os momentos volventes não são considerados no dimensionamento de placas, mesmo
porque não serão utilizados pilares nas bordas do radier. Abaixo seguem as expressões que
determinam os esforços nas placas, as tensões estão representadas na Figura 2.7.

'Q � R SQ. TUT
V
=
;V=
(2.13) 'W � R SW. TUT
V
=
;V=
(2.14) (momentos fletores)

'QW � L'WQ � L R XQW. TUT
V
=
;V=
(2.15) (momentos torçores)

YQ � R XQW. TUT
V
=
;V=
(2.16) YW � R XQW. TUT
V
=
;V=
(2.17) (esforços cortantes)
Para dimensionar um radier que recebe diretamente o carregamento dos pilares deve-
se ter muito cuidado, pois ruptura por punção ocorre de maneira abrupta. Sempre que
22

possível, no dimensionamento desse tipo de estrutura, deve-se impor o comportamento de
ruptura por flexão em estado limite último, ou seja, conferir o máximo de ductilidade com
taxas consideráveis de armadura, como também armaduras contra o colapso progressivo.
O fenômeno da punção é caracterizado por cargas aplicadas em pequenas áreas,
provocando grandes tensões. A Figura 2.10 a seguir ilustra a ruptura característica para
radiers.

Figura 2.8 - Cone de ruptura em uma laje de fundação
Fonte: Leonhardt e Mönning (2008)

Nos exemplos utilizados neste trabalho não existirão pilares se apoiando no canto ou
na borda da placa, pois seriam pontos extremamente críticos, tanto para punção como para
flexão e torção o que tornariam a análise da ruína muito complexa.
Para se evitar o uso de armaduras especiais existem parâmetros que podem ser
manipulados porque interferem na resistência à punção, como citam Pinheiro e Carvalho
(2009): resistência do concreto, altura útil, relação entre os lados do pilar, perímetro de
contato entre a placa e o pilar, armadura de flexão, armadura de cisalhamento, entre outros.
Segundo os mesmos, nas análises de punção, são separados o cálculo ao cisalhamento
do cálculo à flexão. O cisalhamento é verificado em uma seção crítica em torno do pilar de
distância dependente da altura útil do radier.
De acordo com a NBR 6118(2003) as etapas para se verificar uma placa à punção:
a) Determinação dos contornos críticos;

Figura 2.9 - Perímetro crítico em pilares internos (C e C’)
Fonte: Emerick (2005)
23

b) Cálculo das tensões solicitantes de cálculo (X.H);
- Pilares centrais com carregamento simétrico:
X.H � Z[\] .H (2.23)
sendo:
.^H: força normal ou reação concentrada de cálculo;
_: perímetro crítico do contorno considerado;
U � `UQ a UWb/2: altura útil da laje no entorno considerado;
UQ e UW: alturas úteis nas duas direções.

- Pilares centrais com momento fletor em uma direção:
X.H � Z[\] .H a $ .f[\gh .H (2.24)

- Pilares centrais com momento fletor em duas direções:

A tensão de cálculo é obtido de maneira similar à anterior, só que com a adição de um
momento na outra direção. A equação segue abaixo.
X.H � Z[\] .H a $i .f[\ighi .H a $= .f[\=gh= .H (2.25)

Onde k é obtido através da tabela abaixo com a relação j:/jN que são as dimensões do
pilar. Nas figuras a seguir estão as convenções das dimensões j: e jN para momento em uma
e duas direções.
Tabela 2.4 - Valores do coeficiente k
c1/c2 0,5 1,0 2,0 3,0
k 0,45 0,60 0,70 0,80
Fonte: Emerick (2005)

Figura 2.10 - Definição das dimensões �� e �� com momento em uma direção
Fonte: Emerick (2005)
24

Figura 2.11 - Definição das dimensões �� e �� com momento em duas direções
Fonte: Emerick (2005)
Para determinar kl nos contornos C e C’ respectivamente, são utilizadas as
expressões abaixo.
kl � ,i ²N a j:. jN (2.26)

kl � ,i ²N a j:. jN a j:. jN a 4. jN. U a 16 a 2. o. U. j: (2.27)

c) Cálculo das tensões resistentes XpH:, XpHN:
XpH: � 0,13. r1 a 4NsH t . &100. u. #v�*:/9 (2.28)

em que:
u w: taxa geométrica de amadura longitudinal de flexão;
#v�: resistência característica do concreto à compressão, em MPa.
XpHN � 0,27. yz. #�H (2.29)

yz � C1 L {�$N|sE: coeficiente de efetividade do concreto.
d) Verificações para quando não for prevista armadura de punção:
• tensão resistente de compressão diagonal do concreto (biela) no contorno C:
X.H } XpHN

• tensão resistente às tensões transversais de tração (tirante) punção no contorno C’:
X.H } XpH:

Com essas verificações é possível definir a altura da placa necessária para resistir às
solicitações de esforços cisalhantes, calculando as tensões resistentes para que não sejam
necessárias armaduras para punção (studs).
Para efetuar os dimensionamentos da placa e das armaduras é necessária a obtenção
das pressões de contato atuantes na interface placa-solo, estas freqüentemente apresentam
uma distribuição bastante irregular prejudicando uma análise prática, no entanto é possível
considerar essas tensões distribuídas uniformemente na placa que segundo Dórea (2007)
conduzem a esforços, conhecendo as dimensões do radier, que levam a dimensionamentos
econômicos e seguros.

3 MÉTODOS DECÁLCULO

3.1 MÉTODO ABORDADO PARA O CÁLCULO DAS TENSÕES NA PLACA E SOLO

Para realização do projeto de radier deste trabalho foi selecionado um método que será
desenvolvido através de software para calcular os esforços na placa e também as tensões
desenvolvidas entre ela e o terreno para avaliação da interação solo-estrutura, segue abaixo o
escolhido:
• Método dos elementos finitos (MEF).

3.2 MODELO DE ANÁLISE

Existem diversas hipóteses para determinar as tensões de contato solo-fundação.
Scarlat (1993) afirma que o método mais representativo para considerar a deformabilidade do
maciço é a análise interativa tridimensional que considera solo e fundação como um sistema
único. Essa análise necessita de modelos matemáticos mais elaborados que levam em conta o
comportamento do maciço de apoio, em alguns casos avaliando ponto a ponto o
comportamento da placa interagindo com o solo, um exemplo é o método dos elementos
finitos em que o radier é discretizado em elementos de casca (placa e membrana) e o maciço é
representado por molas.
Na resolução dos problemas será adotada a hipótese de Winkler, com terreno de
comportamento puramente elástico, com recuperação de forma ao cessar o carregamento
externo, como descrito no item 2.5 do presente trabalho.
26

Com as tensões distribuídas de acordo com a rigidez da placa é possível determinar os
recalques das molas e conseqüentemente processar as interações através da equação 2.8, o que
será feito no item 3.5. Os deslocamentos através dos nós serão obtidos através do método de
Perloff, como descrito no item 2.7 a respeito do cálculo de recalques.

3.4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Este método é bastante difundido no meio técnico através de sua utilização em
softwares de análise estrutural para solucionar problemas contínuos regidos por expressões
matemáticas. Para realizar a análise de radiers, alguns softwares modelam o problema como
placa finita sobre um meio elástico linear, representando a hipótese de Winkler.
Para representar o radier é utilizada uma série de elementos de placa interligados
apoiados no solo que no caso da hipótese adotada é representado por molas posicionadas nos
nós das interseções dos vértices dos elementos, sendo estes nós os pontos de ligação entre os
elementos. Stramandinoli (2003) afirma que o método dos elementos finitos representa o
meio contínuo por um número finito de elementos que têm comportamento regido por um
número finito de parâmetros.
O método dos elementos finitos tem uma aplicabilidade diversificada, podendo ser
utilizado em placas de geometria bastante complicada, com furos na mesma e a possibilidade
de variação do solo no plano horizontal, no caso de placa sobre base elástica. Para
consideração de solo com estratificação das camadas é necessário programa capaz de modelar
o maciço de forma espacial.
Segundo o ACI 336 (1988) as vantagens de se aplicar os métodos de elementos finitos
no cálculo de radiers são:
a) os resultados obtidos são matematicamente eficientes;
b) os deslocamentos nas bordas das placas podem ser ajustados
Para análise dos esforços no radier e estudo do comportamento interativo solo-placa
será utilizado o software SAP2000, com a aplicação do método dos elementos finitos. O
programa disponibiliza elementos denominados “shell” ou casca que possui comportamento
de placa e membrana, contudo podendo ser utilizados separadamente, como será feito neste
trabalho, em que será utilizado apenas elementos de placa.

3.5 METODOLOGIA PARA APLICAÇÃO DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA

Para proceder as interações com o intuito de obter o valor da “mola” que melhor se
ajuste ao problema estudado, antes é preciso avaliar como será feita a modelagem para
conferir ao radier apoios elásticos de forma que os resultados no final da análise sejam
coerentes.
O sistema estrutural adotado neste trabalho considera os pilares da edificação
apoiando-se diretamente sobre os elementos de placa, que representam o radier, com
geometria quadrilátera e arestas orientadas em duas direções principais (X e Y). Será adotado
um elemento finito quadrado de 40 cm de lado, por ser uma configuração que não apresentou
grandes distorções na aplicação das cargas dos pilares nos nós.
Essa modelagem requer a utilização de ferramentas computacionais, pois a realização
dos cálculos demandaria muito tempo se efetuados manualmente. Na interface solo-placa
serão utilizadas molas, posicionadas nos nós dos elementos, para representar o
comportamento elástico do maciço. Estes pontos serão considerados apoios, pois como o
radier é um elemento monolítico considerá-lo com um único apoio, ou seja, com uma única
mola não retrataria o problema fielmente.
Para discretizar o radier o programa SAP2000 utiliza elementos planos de casca
denominados SHELL que são associações de elementos de placa e membrana, mas há a
possibilidade de simular somente o comportamento de placa esbelta (Plate - Thin), que
representa as tensões de flexão que produzem os momentos fletores e torçores e negligenciam
as deformações por cisalhamento. A representação das tensões foi mostrada no item 2.8.
Segundo Stramandinoli (2003) o software confere o comportamento de placa aos
elementos inserindo duas componentes de rigidez rotacional fora do plano normal e uma
componente de rigidez à translação na direção da aplicação das cargas.
Os sistemas de coordenadas globais e locais adotados para este trabalho são
considerados como “default” no SAP2000. Sendo os eixos globais representados por Z na
vertical, com sinal positivo quando orientado para cima, e X e Y os eixos horizontais.
Localmente a representação das coordenadas é através dos algarismos 1,2 e 3, sendo os
primeiros horizontais e o último vertical, para elementos de placa horizontais. A
representação dos eixos segue na Figura 3.1 abaixo.

Figura 3.1 - Sistema local e global de coordenadas do software SAP2000
Fonte: Stramandinoli (2003)

Para substituição do radier por elementos placa, antes é preciso definir o tamanho dos
elementos, pois primeiramente será desenhada uma grelha que posteriormente será
substituída. Nesta grelha serão inseridas superfícies quadriláteras que formarão a rede de
elementos finitos, depois disso a grelha será excluída. As características geométricas dos
elementos são inseridas, como espessura e os parâmetros mecânicos, módulo de elasticidade e
coeficiente de Poisson. A Figura 3.2 retirada dos manuais do SAP2000 mostra o elemento
finito.

Figura 3.2 - Representação do elemento finito quadrilátero
Fonte: Manuais SAP2000 (2005)

Depois da modelação do radier, pode-se proceder a inserção dos apoios ou restrições
dos nós. Com o intuito de conferir comportamento elástico (hipótese de Winkler), as
29

restrições serão molas regidas por uma constante elástica k, que serão aplicadas nos nós que
correspondem aos vértices da placas (elementos finitos) como mostrado na Figura 3.3.

Figura 3.3 - Modelo estrutural representando a interface solo-fundação com solo de
comportamento elástico e os possíveis carregamentos

Com as informações dos ensaios é possível calcular uma primeira aproximação para o
coeficiente de reação vertical, como descrito no item 2.7 em que se descreve o método de
cálculo de recalques que será utilizado e demonstra-se a forma de obtenção da primeira
aproximação. A equação a utilizar é a 2.12 que será novamente apresentada nos cálculos do
radier da obra do estudo de caso. Efetuando a entrada de uma mola nos apoios da placa, temos
um radier modelado pelo método dos elementos finitos assente sobre base elástica como
mostra a Figura 3.3, sendo agora possível a realização das interações placa-solo para enfim
obter coeficientes de reação vertical que melhorse ajustem ao problema.
Para inserir o coeficiente de mola no SAP2000, antes é necessário convertê-lo em
coeficiente de apoio elástico (rigidez da mola) que é obtido multiplicando-se a mola pela área
de influência do nó, mencionada anteriormente. A unidade de entrada é kN/m e para
representá-lo usaremos Ks.
Agora, com a modelagem completa, realiza-se o processamento da estrutura para a
obtenção das reações na interface solo-placa, posicionadas nos nós dos elementos finitos.
Segue-se então para os cálculos de recalques e subseqüente aplicação da teoria de Winkler
para obtenção de um novo coeficiente de apoio elástico. Segue abaixo a ilustração das
convenções adotadas pelo programa para representação dos esforços, Figura 3.4.
30

Figura 3.4 - Representação do elemento finito e as convenções de esforços .
Fonte: Stramandinoli (2003)

A equação utilizada para o cálculo de recalque foi desenvolvida para avaliar os
deslocamentos em sapatas com carga centrada, segundo a teoria da elasticidade. Como a
solução é em radier, avaliar os recalques da placa como um todo não seria uma boa
representação do que realmente ocorre, pois a placa não tem rigidez suficiente para distribuir
de forma homogenia as cargas ao longo de toda a fundação. Então decidiu-se que a área
utilizada para o cálculo de recalques seria a de influência dos nós. A representação dessa área
segue na Figura 3.5.
área de influência

Figura 3.5 - Área de influência de cada apoio de nó da grelha.

Com as dimensões dos elementos finitos de 40 cm cada lado, a área de influência será
considerada como uma sapata fictícia, para determinação das translações na direção do eixo Z
ou eixo das ações que atuarão sobre o radier. Uma observação deve ser feita à respeito dos
31

nós das bordas que não possuem toda a área mencionada, a correção a ser feita é calcular a
área de influência destes nós (menor que as dos nós centrais) e multiplicá-la pelo coeficiente
de recalque, isso acarretará a uma menor rigidez das molas nas bordas.
Utilizando a equação 2.8 (hipótese de Winkler) obtêm-se uma nova mola para cada nó,
utilizando o recalque e a reação calculados, então realiza-se novamente o mesmo processo
descrito até que o coeficiente convirja a um valor que se torne constante entre uma interação e
outra. É possível também comparar os recalques fornecidos pelo programa com os recalques
obtidos pela hipótese de Perloff, quando a diferença se tornar desprezível significa que as
interações convergiram, para valores que consideram o comportamento simultâneo entre
fundação e maciço de solos.
Para avaliar se a aplicação da interação solo-estrutura é fundamental a este problema
serão comparados os esforços obtidos em uma análise com a utilização da interação solo
estrutura e outra sem a utilização dessa metodologia.

4 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA

Neste tópico serão utilizados os conceitos e metodologias discutidos até agora, para
desenvolver os procedimentos necessários para o cálculo de um radier, utilizando as
sondagens obtidas no terreno da obra.
Esta obra consiste em uma edificação residencial de dois pavimentos mais o térreo. A
ligação dos pilares com a fundação é feita diretamente, desprovido de vigas baldrames,
constituindo assim um radier liso.
Para a realização do projeto estão disponíveis cinco resultados de ensaio SPT, que
estão no Anexo A deste trabalho. Vale salientar que a solução em sapatas seria totalmente
viável, no entanto a solução em radier foi adotada para a realização do estudo.
A primeira etapa para início dos cálculos consiste na obtenção das reações da
superestrutura para aplicar os esforços sobre o radier, contudo pode-se realizá-la juntamente
com o processamento do radier, se o programa disponível tiver essa versatilidade. Neste
trabalho para calcular a superestrutura será utilizado o software TQS e para o cálculo dos
esforços no radier e realização das interações será utilizado o SAP2000.
A estrutura é lançada no TQS submetida a critérios que serão expostos a seguir. O
primeiro deles é a resistência característica do concreto a compressão que é de 25MPa. O
32

limite de escoamento característico do aço é 500MPa. A classe de agressividade II foi
adotada, ou seja, para lajes cobrimentos de 2,5 cm e para vigas e pilares cobrimentos de 3 cm.
Para lançar o radier no SAP2000 são requeridas algumas propriedades mecânicas do
concreto. A massa específica adotada para concreto armado é 25kN/m³, coeficiente de
Poisson 0,2, coeficiente de dilatação térmica 10;|ºj;: e o módulo de elasticidade calculado
através da expressão 2.3.
��� � 0,85.5600. "#�$ &'()*
��� � 0,85.5600. √25
��� � 23800'()

Na modelagem da edificação foi considerada a parcela de esforços decorrentes da
incidência de ventos nas quatro faces da edificação. A velocidade básica do vento é de 43m/s
em Cuiabá. O fator topográfico S1 foi adotado como 1, para terrenos planos. O fator S2,
referente à rugosidade do terreno categoria IV e às dimensões da edificação classe A, é de
aproximadamente 0,86. O fator estatístico S3 adotado tem valor de 1, para edificações
residenciais.
Os coeficientes de arrasto, para obtenção da força de arrasto a partir da pressão de
obstrução, foram obtidos a partir do ábaco de baixa turbulência da NBR6123, através das
relações entre as dimensões em planta da edificação e a altura. Nas incidências de 0º e 180º,
direção de menor inércia e maior dimensão, o coeficiente de arrasto foi de 1,21. Nas direções
de 90º e 270º o coeficiente de arrasto foi de 0,95. Na modelagem da obra em estudo o
software TQS considerou estes parâmetros para cálculo dos esforços devido a ação do vento.
Sobre os elementos estruturais da cobertura (vigas e pilares) foi adotado carregamento
permanente de telhado distribuído de acordo com as áreas de influência dos mesmos, sendo de
120kg/m², constituído de telhas cerâmicas e madeiramento, existe apenas uma laje na
cobertura e esta receberá a caixa d’água de mil litros, seu carregamento foi considerado
esforço permanente, distribuído sobre a mesma. Nas lajes do primeiro pavimento foi utilizado
como carregamento variável 150kg/m² correspondente a dormitórios e salas e como carga
permanente os revestimentos de 100kg/m². Abaixo segue a Figura 4.1 com a modelagem da
edificação realizada, lembrando que o radier não será calculado no TQS, figura ilustrativa.
33

Figura 4.1 - Representação da obra em estudo no software TQS.

No radier, além do peso próprio foram aplicadas cargas distribuídas de revestimento
de 100kg/m², uma sobrecarga de 200kg/m² e um carregamento de alvenarias distribuído em
área de 225kg/m², seguindo a recomendação de aproximação da NBR6120, que refere-se à
carregamento de alvenarias sobre lajes, de que a carga uniformemente distribuída não pode
ser inferior a um terço do peso próprio por metro linear de parede pronta que neste caso é
6,75kN/m.
Depois de processado o modelo as reações serão transferidas ao radier, sendo este
modelado no SAP2000. Para o mesmo, representar a placa assente sobre base elástica, deverá
ser realizada uma primeira aproximação do coeficiente de reação vertical, com os
procedimentos já descritos.
Os valores das reações nos pilares serão considerados como esforços permanentes,
apesar de uma parcela destes serem devidos às cargas de utilização e outra referente a parcela
de vento. No entanto objetivo principal deste trabalho é avaliar a interação entre o solo e o
radier submetido à quaisquer carregamentos. As resultantes nos pilares seguem na Tabela 4.1.
34

Tabela 4.1 - Resultantes na base os pilares (t e t.m)

Nota-se nesta tabela que os valores de momentos resultaram bastante baixos,
provavelmente pela continuidade da placa que equilibra osmomentos, isso decorre do porte
da estrutura. Estes momentos serão desprezados nos cálculos de punção e no
dimensionamento do radier, mas de qualquer forma o SAP2000 admitiria a aplicação de
momentos caso fosse necessário.
A locação de pilares segue no Apêndice A, junto às plantas de fôrma. No Anexo B
encontram-se os projetos arquitetônicos, de forma simplificada.
Analisando os resultados dos ensaios de penetração dinâmica, nota-se que nos
primeiros metros o maciço já apresenta boa capacidade portante, viabilizando a solução em
radier, adotando-se assim, profundidade de 2 metros para assentá-lo. O valor do 1./0 a
utilizar será o menor dos 5 ensaios disponíveis para obtenção da mola.
1./0 � 1l� Nª �H a 1l� 9ª �H
1./0 � 23 a 7
1./0 � 30

O módulo de Young é obtido através de correlações, a primeira delas é exposta na
equação 2.4, para obtenção da resistência de ponta, sendo -./0 retirado da Tabela 2.1, com
valor correspondente à areia siltosa que é 0,7MPa.
+, � -./0 . 1./0
+, � 0,730 � 21'()

Com a resistência de ponta e a equação 2.5, obtêm-se o módulo de deformabilidade do
solo.
�. � 3+,
�. � 321 � 63'()

Um valor típico para o coeficiente de Poisson que será o utilizado é 0,3. A equação
2.12, refere-se à primeira aproximação do coeficiente de reação vertical.
�2 � 1G�
1
�
�
1 L MN
onde G� é o fator de forma, obtido através da Tabela 2.3 para relação L/B = 12,11/7,97 ≅ 1,5 é
de 1,36 e B é o menor lado placa. Vale lembrar que essa é a primeira aproximação para a
mola e que depois das interações em função das áreas de influência de cada nó da placa, este
valor será ajustado. O primeiro será:

�2 � 11,36
1
7,97
63000�()
1 L 0,3N
�2 � 6387,07�1/³

Para dar entrada com este valor no software SAP2000, antes é necessário obter a
rigidez da mola ou coeficiente de apoio elástico -. multiplicando-se o �2 pela área de
influência dos nós formados pelos vértices dos elementos finitos. Serão obtidos diferentes
valores para regiões nas bordas da placa ou em locais onde será necessário realizar ajustes de
área para aplicação das cargas dos pilares sobre os nós.
A espessura da placa, utilizando os critérios de punção, é de 25 cm. Verificadas no
pilar P5, o mais solicitado, a tensão de cálculo na superfície C é 1,53 MPa que é menor que a
resistência da biela XpHN que é de 4,34 MPa e em C’ a tensão de cálculo é 0,42 MPa que é
menor que a resistência dos tirantes XpH: nessa região que é de 0,516 MPa, dispensando
armadura de punção. Abaixo seguem os cálculos para a obtenção dos valores citados e a
representação das superfícies C e C’ para o pilar P5 na Figura 4.2.
36

Figura 4.2 - Perímetros críticos para verificação da punção no pilar P5

Verificação da punção na superfície normal ao plano médio da laje C, contida no
perímetro do pilar:
- Carga no pilar P5: 23,3t
- Resistência característica do concreto a compressão: 25MPa
- Altura útil média:
d � `d a db2
d � &21,9 a 20,6*2 � 21,3cm

- Perímetro da superfície C: u � 4x25 � 100cm

- Perímetro da superfície C’:
u � π4 x43x2 a 14,1 a 2x15 a 2x25 a 3x
π
2 x43 � 364,3cm

- Tensão de cálculo no perímetro do pilar (C):
τA � FAu . d
τA � 1,4x2331 x0,213 � 1531kPa � 1,53MPa
- Tensão de cálculo no perímetro afastado 2d do pilar (C’):
τA � FAu . d
τA � 1,4x2333,643 x0,213 � 420,4kPa � 0,42MPa
37

- Resistência de cálculo das bielas na superfície C:
τN � 0,27. α. f com α � C1 L N|N|sE � 0,9
τN � 0,27.0,9. 251,4 � 4,34'()

- Taxa de armadura de flexão em uma faixa de 3d + pilar de largura:
para ø 12,5 c/ 15 e largura da faixa de 154 cm
uQ � uW � 12,6315425 � 0,00328

- Resistência de cálculo das bielas na superfície C:
XpH: � 0,13. r1 a 4NsH t . &100. u. #v�*
i
8

XpH: � 0,13. 1 a 4 NsN:,9¡ . &100.0,00328.25*:/9
XpH: � 0,516'()
- Verificações:
superfície C superfície C’
X.H } XpHN ok X.H } XpH: ok

Com a confirmação da dispensa de armadura de punção, a espessura do radier fica
sendo 25 cm.
Com os valores obtidos anteriormente é possível realizar o primeiro processamento
para obtenção das reações, a discretização dos elementos finitos do radier estudado tem 651
nós e suas respectivas reações seguem na Tabela 4.2. Com estas são calculados os recalques
pelo método de Perloff. Na Figura 4.3 estão representados os momentos fletores na placa
extraídos do SAP2000 sendo o valor máximo de 76,2 kN.m/m na direção y e 72,8 kN.m/m na
direção x, ambos tracionando a face inferior da placa, sendo a unidade em kN.m/m.
38

(a) (b)
Figura 4.3 - Momentos fletores na direção y (a) e x (b) resultantes na placa para o
primeiro processamento

Para esta primeira aproximação, nota-se que resultou, com o carregamento aplicado,
um solo de pouca capacidade portante, o que não reflete a realidade, então por isso serão
realizadas as interações. Vale destacar a diferença entre os recalques resultantes pelo processo
de Perloff e os extraídos do SAP2000, sendo como foco das interações aproximar estes
valores para considerar que a convergência ocorreu. Como dito anteriormente, o primeiro
coeficiente de recalque é apenas um valor inicial, no entanto uma solução que torna prática a
resolução do problema é determinar a primeira mola para a área de influência dos nós da
malha de elementos finitos, como se cada nó possuísse uma sapata fictícia.
Pôde-se ver que na tabela 4.2 já se encontram os novos valores do coeficiente de
recalque, os quais foram calculados utilizando a hipótese de Winkler. Estes são importados
pelo software SAP2000 diretamente da planilha. Como os carregamentos já estão inseridos,
juntamente com as propriedades do concreto da placa no modelo, basta antes de realizar esta
etapa excluir os coeficientes antigos e substituí-los pelos novos. A Tabela 4.2 é apresentada a
seguir de maneira resumida, contida na linha dos nós dos elementos finitos que passam pelos
pilares P5 e P6.

Tabela 4.2 - 1ª interação, reações SAP2000 e novo coeficiente de mola
Nó Area
kv
inicial
Ks B Is p Reação w:Perloff w:SAP
kv
(novo)
Ks
m² KN/m³ KN/m m KN kN/m² KN m m KN/m³ KN/m
100 0,08 6387,07 510,97 0,2 1,52 24,28 1,942 0,00011 0,00380 227733 18219
101 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 25,31 4,05 0,00016 0,00396 154533 24725
138 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 26,36 4,217 0,00017 0,00413 154533 24725
166 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 27,36 4,378 0,00018 0,00428 154533 24725
194 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 28,34 4,534 0,00018 0,00444 154533 24725
222 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 29,35 4,696 0,00019 0,00460 154533 24725
250 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 30,47 4,875 0,00020 0,00477 154533 24725
278 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 31,74 5,079 0,00021 0,00497 154533 24725
306 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 33,14 5,303 0,00021 0,00519 154533 24725
334 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 34,54 5,526 0,00022 0,00541 154533 24725
362 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 35,51 5,681 0,00023 0,00556 154533 24725
390 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 35,18 5,628 0,00023 0,00551 154533 24725
418 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 34,44 5,51 0,00022 0,00539 154533 24725
446 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 33,73 5,397 0,00022 0,00528 154533 24725
474 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 33,21 5,313 0,00021 0,00520 154533 24725
502 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 32,91 5,265 0,00021 0,00515 154533 24725
530 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 32,79 5,246 0,00021 0,00513 154533 24725
558 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 32,59 5,215 0,000210,00510 154533 24725
586 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 31,79 5,086 0,00021 0,00498 154533 24725
614 0,16 6387,07 1021,93 0,4 1,12 30,87 4,939 0,00020 0,00483 154533 24725
642 0,08 6387,07 510,97 0,2 1,52 30,04 2,403 0,00013 0,00470 227733 18219

Remodelado o problema parte-se para um novo processamento, com os mesmos
carregamentos. Os resultados seguem na Tabela 4.3 que é um resumo pois não se fez
necessário apresentá-la por completo, este já é representativo para o objetivo deste trabalho. É
notável como a diferença entre os recalques calculados por Perloff e os fornecidos pelo
SAP2000 diminuiu ou pode-se dizer que para este caso a interação já convergiu os valores dos
recalques, pois a diferença já é praticamente nula. A Figura 4.4 representa os momentos em y
e x no radier.

Tabela 4.3 - 2ª interação, reações SAP2000 e novo coeficiente de mola
Nó F-3 p p≤ p adm w_Perloff w_SAP ws-we/ws k (mola) Ks
KN kN/m² kg/cm² m m % KN/m³ KN/m
100 1,539 19,24 0,19 0,00008 0,00008 0,56 227733 18219
101 2,905 18,16 0,18 0,00012 0,00012 0,42 154533 24725
138 3,509 21,93 0,22 0,00014 0,00014 -0,06 154533 24725
166 3,811 23,82 0,24 0,00015 0,00015 0,09 154533 24725
194 3,864 24,15 0,24 0,00016 0,00016 0,18 154533 24725
222 3,919 24,49 0,24 0,00016 0,00016 0,32 154533 24725
250 4,345 27,16 0,27 0,00018 0,00018 -0,15 154533 24725
278 5,474 34,21 0,34 0,00022 0,00022 0,18 154533 24725
306 7,448 46,55 0,47 0,00030 0,00030 0,08 154533 24725
334 10,084 63,03 0,63 0,00041 0,00041 -0,04 154533 24725
362 12,073 75,46 0,75 0,00049 0,00049 0,06 154533 24725
390 10,165 63,53 0,64 0,00041 0,00041 0,03 154533 24725
418 7,676 47,98 0,48 0,00031 0,00031 0,15 154533 24725
446 5,995 37,47 0,37 0,00024 0,00024 0,19 154533 24725
474 5,404 33,78 0,34 0,00022 0,00022 -0,20 154533 24725
502 5,87 36,69 0,37 0,00024 0,00024 0,17 154533 24725
530 7,104 44,40 0,44 0,00029 0,00029 0,11 154533 24725
558 8,142 50,89 0,51 0,00033 0,00033 0,09 154533 24725
586 6,869 42,93 0,43 0,00028 0,00028 -0,07 154533 24725
614 5,089 31,81 0,32 0,00021 0,00021 -0,09 154533 24725
642 2,535 31,69 0,32 0,00014 0,00014 0,10 227733 18219

(a) (b)
Figura 4.4 - Momentos fletores na direção y (a) e x (b) resultantes na placa para a
primeira interação

Os valores dos momentos que tracionam a base da placa diminuíram, sendo verificado
neste último resultado um valor máximo de 59,7 kN.m/m na direção y e 60,13 kN.m/m na
direção x, verificando-se a diferença em relação aos valores do primeiro processamento.
Como já mencionado, o parâmetro de verificação da convergência foi o recalque.
Depois de realizada a segunda interação, os resultados já foram considerados como solução
para o problema, então os recalques obtidos são a representação mais próxima da realidade,
sendo a conformação, em escala amplificada, representada na Figura 4.5 extraída do
SAP2000, os valores dos recalques estão representados na Tabela 4.3.
42

Figura 4.5 - Deformações finais do radier após as interações

Os valores do recalques no radier são relativamente pequenos, tal resultado refere-se a
duas condições principalmente, à boa capacidade portante do solo em que a obra será
assentada e ao fato de que essa solução de fundação apresenta a característica peculiar de um
elemento monolítico que recebe todos os pilares, fazendo com que os movimentos sejam
realizados pelo conjunto, quando a rigidez é suficiente, colaborando também com os
recalques diferenciais. Na Figura 4.6 segue a imagem da face inferior do radier com a
representação das faixas de deslocamento para o carregamento total a que é submetido, a
unidade dos recalques é em metros.

Figura 4.6 - Superfície deformada do radier e valores dos recalques

4.1 VERIFICAÇÃO DA TENSÃO ADMISSÍVEL DO SOLO

Na Tabela 4.3 estão calculadas as pressões de contado desenvolvidas pelas reações do
maciço na placa, estas tensões foram calculadas para as áreas de influência dos nós da malha
de elementos finitos que são de 40x40cm, 20x40cm e 20x20cm. Estas devem ser menores que
a pressão admissível do solo que será calculada a seguir.
- 40x40cm;
pressão de ruptura
¢� � 0,7 £�2 1¤ a 1,2£¥1¦
£ � 1,6�/³
1./0 � 30 1 � 15 a :N &1 L 15* � 22 (redução feita para areia fina submersa)
para esse número de golpes
1¤ � 1¦ � 28
¢� � 0,7 1,6.0,42 28 a 1,2.1,6.2.28 � 11,4 �§/v²
pressão admissível
¢¨ � 11,43 � 3,8�§/v²

- 20x20cm
pressão de ruptura
¢� � 0,7 1,6.0,22 28 a 1,2.1,6.2.28 � 11,0 �§/v²
pressão admissível
¢¨ � 11,03 � 3,7�§/v²

Como visto as pressões admissíveis são maiores que as pressões atuantes expostas na
Tabela 4.3, calculadas para as mesmas áreas que foram calculadas as pressões admissíveis.
Para as duas calculadas, fica implícito que a pressão admissível para a área de 20x40 terá
valor intermediário.

4.2 CÁLCULO ALTERNATIVO PARA OBTENÇÃO DO �2

No item 2.6 explanou-se uma maneira de se obter o coeficiente de recalque através de
valores da literatura, determinados por Terzaghi através do ensaio de placa e que devem ser
corrigidos. A seguir será demonstrada essa forma alternativa para obtenção da mola para os
mesmos ensaios de penetração dinâmica utilizados no exemplo calculado anteriormente.
Para calcular o coeficiente de recalque basta conhecer o material sobre o qual o radier
será assentado:
• Areia fina à média siltosa, variegado,medianamente compacto à muito compacto.
Sabendo que o nível d’água esta praticamente na superfície o material será
considerado submerso. Para obter o valor do coeficiente de recalque para a placa quadrada
ensaiada por Terzaghi utiliza-se a Tabela 2.2 do item 2.6. Como o valor encontra-se entre
duas classificações, o valor será obtido através da média entre estes.
�.: � 2,6 a 9,62 � 6,1 �§#/v³

Segundo o ACI (1988) para converter este valor para a escala real utiliza-se a equação
2.10, sendo b o lado da placa quadrada de Terzaghi e igual a 30,48 cm e B a menor dimensão
do radier que é de 7,97m. Como não existe camada compressível o valor de n é 0,7.
�2 � �.: ©�¡
F

�2 � 61000 0,30487,97 ¡
s,ª

�2 � 6210,4 �1/³

A resposta alcançada não difere muito do resultado obtido da relação entre a hipótese
de Winkler e o cálculo de recalques pelo método de Perloff. Podendo ser esse o valor
utilizado para realização do primeiro processamento do modelo utilizado no exemplo anterior
que os resultados serão os mesmos, pois o processo é interativo e o coeficiente de recalque
não é propriedade do solo. Lembrando que para entrar com este valor no programa antes ele
deve ser transformado em coeficiente de apoio elástico, multiplicando-o pela área de
influência dos nós da malha da rede de elementos finitos, onde estão posicionadas as molas ou
“springs”.

4.3 AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DAS PRESSÕES DE CONTATO

Avançando a análise, depois de ter realizado as interações, agora com o intuito de
avaliar o comportamento das pressões de contato desenvolvidas na interface solo-placa, será
variada a espessura do radier e mantidos os coeficientes de apoio elástico pra analisar o que
acontece com as pressões de contato, que como dito anteriormente possuem uma distribuição
bastante irregular quando a placa não possui rigidez para absorver os esforços e transmiti-los
de maneira uniforme.
Para realizar o estudo foi selecionada a faixa de nós que contém o pilar P5 e P6 na
direção X, as distâncias que compõe esse eixo são de 40 cm, as mesmas utilizadas para
distribuição da malha de elementos finitos. Para o cálculo das pressões foram extraídas as
reações do solo fornecidas pelo SAP2000 e as áreas sãoas já mencionadas na Tabela 4.3, para
o radier de 25cm de espessura. As outras espessuras foram de 50, 75 e 100 cm, todas
processadas com mesmos carregamentos (o peso próprio variou) e coeficientes de apoio
elásticos utilizados na placa de 25 cm. Os nós avaliados e as pressões calculadas seguem na
Tabela 4.4.
Tabela 4.4 - Pressões de contato na interface solo-placa
Nó distância (m) p h=25 (kN/m²) p h=50 p h=75 p h=100 p kv inicial
100 0,0 19,24 38,4 51,74 62,41 24,28
101 0,4 18,16 28,39 36,5 43,15 25,31
138 0,8 21,93 30,56 37,88 43,97 26,36
166 1,2 23,82 32,47 39,19 44,78 27,36
194 1,6 24,15 34,17 40,44 45,58 28,34
222 2,0 24,49 35,87 41,68 46,38 29,35
250 2,4 27,16 37,88 42,96 47,18 30,47
278 2,8 34,21 40,4 44,32 48 31,74
306 3,2 46,55 43,44 45,76 48,82 33,14
334 3,6 63,03 46,68 47,1 49,58 34,54
362 4,0 75,46 48,88 48,02 50,12 35,51
390 4,4 63,53 47,43 47,71 50,1 35,18
418 4,8 47,98 45,02 46,98 49,86 34,44
446 5,2 37,47 42,91 46,21 49,58 33,73
474 5,6 33,78 41,5 45,54 49,3 33,21
502 6,0 36,69 40,85 45,02 49,06 32,91
530 6,4 44,4 40,73 44,59 48,86 32,79
558 6,8 50,89 40,31 44,04 48,6 32,59
586 7,2 42,93 37,93 42,89 48,1 31,79
614 7,6 31,81 35,06 41,61 47,56 30,87
642 8,0 31,69 47,55 59,51 69,36 30,04
46

O diagrama contém todos os nós desta tabela, formando uma linha reta, onde serão
dispostas as pressões. Vale destacar que os nós 362 e 558 são as posições dos pilares P5 e P6.
A distribuição das pressões para cada espessura segue na Figura 4.7, Figura 4.8, Figura 4.9 e
Figura 4.10.

Figura 4.7 - Pressões de contato para radier de 25 cm de espessura

Figura 4.8 - Pressões de contato para radier de 50 cm de espessura

0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8
P
re
ss
õ
e
s
d
e
c
o
n
ta
to
(
k
N
/m
²)
Espaçamento entre nós (m)
Radier h = 25 cm
0
10
20
30
40
50
60
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8
P
re
ss
õ
e
s
d
e
c
o
n
ta
to
(
k
N
/m
²)
Espaçamento entre nós (m)
Radier h = 50 cm
47

Figura 4.9 - Pressões de contato para radier de 75 cm de espessura

Figura 4.10 - Pressões de contato para radier de 100 cm de espessura

É notável a melhor distribuição das pressões à medida que a rigidez a flexão aumenta.
Os momentos fletores máximos também aumentaram, devido ao crescimento do peso próprio
com o aumento das espessuras e conseqüentemente das rigidezes, ou seja, as pressões são
0
10
20
30
40
50
60
70
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8
P
re
ss
õ
e
s
d
e
c
o
n
ta
to
(
k
N
/m
²)
Espaçamento entre nós (m)
Radier h = 75 cm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8
P
re
ss
õ
e
s
d
e
c
o
n
ta
to
(
k
N
/m
²)
Espaçamento entre nós (m)
Radier h = 100 cm
48

distribuídas de forma mais homogenia porque a placa não é mais flexível. Vale salientar que
os processamentos ainda não consideram as deformações devido ao cisalhamento.
Outro ponto importante a se destacar é a pressão nos bordos, que devido à existência
da coesão no solo, não ocorre a plastificação nessas regiões enquanto a tensão admissível do
solo não é atingida, validando o comportamento das tensões mencionado no item 2.4, à
respeito da forma do diagrama de pressões.
Agora será apresentado o diagrama de pressões correspondente ao primeiro
processamento do radier no SAP2000, ou seja, utilizando a primeira aproximação do
coeficiente de apoio elástico. Segue a Figura 4.11.

Figura 4.11 - Pressões de contato para radier de 25 cm de espessura e kv inicial

Este diagrama não representa fielmente as pressões de contato, pois apesar da placa
ainda possuir pequena rigidez, as tensões já se apresentam uniformes, ou seja, para que esse
comportamento aconteça os momentos que o conjunto concreto-armadura deve absorver serão
grandes, como a placa não possui capacidade de portar esses esforços, haverá a necessidade
de provê-la de maior quantidade de armaduras, já que essa primeira aproximação do
coeficiente de mola reflete em um maciço com compressibilidade maior do que realmente
ocorre.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8 5,6 6,4 7,2 8,0 8,8
P
re
ss
õ
e
s
d
e
c
o
n
ta
to
(
k
N
/m
²)
Espaçamento entre nós (m)
Radier h = 25 cm com kv inicial
49

Para se ter idéia da ordem de grandeza da diferença entre as armaduras de flexão
resultantes na direção y referentes aos momentos máximos na placa de 25 cm com e sem
interação solo estrutura, será apresentada de maneira resumida os dados considerados e os
resultados a seguir.
- Momento máximo obtido com o valor da mola aproximada:
'áQ � 76,2�1. /
� 1,25.22,5. r1 L 41 L :,6.ª5,N.:sss,6N|.:ss.NN,|=.=,¬i,?t � 4,22v
N9 � 0,259. U � 0,259.22,5 � 5,82v, portanto domínio 2, S�H � #WH
� � :,6.ª5,N¬®
i,i¬.&NN,|;s,6.6,NN*
� 11,8v²/, que equivale a ø 12,5 c/ 10cm

Para este caso a diferença de armaduras é muito pequena, não sendo conservador
utilizar a primeira aproximação de kv para o dimensionamento do radier para este momento.
No entanto como visto as pressões de contato para o kv inicial, não refletem bem o problema
podendo, por exemplo serem negligenciadas as pressões nos bordos que para carregamentos
uniformes resultam valores bem maiores que no centro da placa. Este comportamento pode
ser notado aproximadamente quando a rigidez da placa foi aumentada.

5 CONCLUSÃO

Com intuito de avaliar a importância da interação solo-estrutura no estudo das
fundações do tipo radier, foi comparada a situação em que o mesmo apresenta como
coeficiente de reação vertical uma primeira aproximação com outra em que este valor foi
ajustado através de interações considerando o comportamento mútuo entre solo e fundação.
Notou-se uma diminuição no valor do momento fletor máximo da ordem de 28%. Isto
aconteceu porque o valor aproximado do coeficiente de mola, utilizado no primeiro
processamento, subestima a capacidade portante do maciço, conferindo assim à placa a
função de absorver e distribuir os esforços de forma mais homogenia, ou seja a alta
compressibilidade do solo conferida pela primeira aproximação de �2 remete à necessidade de
uma maior rigidez da placa para evitar grandes deformações.
Para projetos de radier é recomendável obter o coeficiente de recalque depois de
realizar a discretização da malha de elementos finitos, o mesmo vale para solução em analogia
de grelhas, e obtê-lo à partir da área de influência da mola posicionada nos nós. Com isso o
coeficiente adquire valores mais próximos do real, para soluções em que se discretizam em
malha.
Essa medida é importante porque mostra a real função do �2 que é relacionar
recalques às pressões de contato, porque este coeficiente não é uma propriedade do solo e sim
uma ferramenta que está relacionada com a área em que se aplicam as tensões. Dificilmente
um radier possuirá rigidez suficiente para transmitir os esforços de maneira uniforme, pois
necessitaria de grande espessura, o que tornaria a solução inviável.
Portanto é conveniente discretizar a placa em malha de elementos finitos retangulares
e avaliá-los através da área de influência de seu nós, onde estão