Tutorial Janela CAS (GeoGebra)

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
TUTORIAL JANELA CAS
Diego Trindade
Roge´rio Grego´rio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 3
2 Comandos Ba´sicos 4
3 A´lgebra Linear 7
3.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Ca´lculo 12
4.1 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Famı´lia de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Func¸o˜es Definidas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4.1 Equac¸o˜es Mais Complicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.7 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Considerac¸o˜es Finais 18
1 Introduc¸a˜o
O GeoGebra e´ um software de matema´tica dinaˆmica gratuito e multi-plataforma, que relaciona geometria, a´lgebra,
ca´lculo, planilhas e gra´ficos. Possibilita a realizac¸a˜o de construc¸o˜es geome´tricas com a utilizac¸a˜o de objetos como:
pontos, vetores, segmentos, retas, sec¸o˜es coˆnicas, pol´ıgonos, etc.; os quais podem ser alterados dinamicamente
mesmo apo´s a construc¸a˜o estar finalizada. Coordenadas, func¸o˜es e equac¸o˜es tambe´m podem ser inseridos dire-
tamente atrave´s do campo de entrada. Permite tambe´m, operar com func¸o˜es e determinar derivadas e integrais,
dentre outros recursos relacionados a func¸o˜es. Desta forma, uma das vantagens do software e´ a possibilidade de
visualizar, em um mesmo ambiente virtual, as caracter´ısticas alge´bricas e geome´tricas de um mesmo objeto.
A janela CAS e´ uma das ferramentas do GeoGebra que na˜o e´ muito conhecida. O objetivo deste trabalho e´
apresentar algumas de suas aplicac¸o˜es em Ca´lculo e em A´lgebra Linear.
A Janela CAS permite que voceˆ use o CAS do GeoGebra (Sistema de a´lgebra computacional) para ca´lculos
simbo´licos. A Janela CAS consiste em ce´lulas, onde cada uma delas tem um campo de entrada na parte superior
e, exibic¸a˜o de sa´ıda na parte inferior. Com a Janela CAS e´ poss´ıvel realizar ca´lculos nume´ricos e/ou expresso˜es
matema´ticas. Esta janela possui uma Barra de Ferramentas diferenciada das demais.
3
2 Comandos Ba´sicos
Para iniciarmos a Janela CAS do GeoGebra, clicamos em Exibix → Janela Cas.
Note que a nova janela apareceu entre a Janela de A´lgebra e a de Visualizac¸a˜o. Basicamente a Janela CAS
funciona ao inserirmos comandos em suas linhas e pressionando a tecla Enter para que o sistema interprete os
comandos. Note que quando iniciamos a janela, nossa barra de ferramentas se altera; posteriormente exploraremos
alguns desses comandos.
Em uma nova ce´lula digitando $ 1, obtemos o valor que esta´ alocado na ce´lula 1. Usando #1 tambe´m obtemos o
valor que esta´ alocado na ce´lula 1. A diferenc¸a entre os dois e´ que com # a informac¸a˜o fica associada ao que estava
na referida ce´lula no momento em que o comando foi usado, ou seja, na˜o cria v´ınculo com alterac¸o˜es na ce´lula dada.
Ja´ com o $ as informac¸o˜es ficam associadas a` ce´lula e qualquer alterac¸a˜o na mesma implica em alterac¸a˜o onde o
comando foi usado.
Usando a opc¸a˜o ”Calcular Valor Nume´rico” na barra de ferramentas, temos uma representac¸a˜o nume´rica
da nossa frac¸a˜o: 5/2+3/5-1/4=2.85. O programa faz uma aproximac¸a˜o para a frac¸a˜o. Tambe´m podemos mudar a
quantidade de casas decimais do nu´mero; basta ir em Opc¸~ao → Arredondamento e escolher sua prefereˆncia.
4
Podemos tambe´m fatorar um nu´mero usando o comando na barra de ferramentas ou usando o seguinte comando
na ce´lula: Fatorar[ <Nu´mero> ]:
Em alguns, casos e´ de grande utilidade dar nomes para nu´meros, operac¸o˜es, expresso˜es alge´bricas, func¸o˜es, etc.
A sintaxe ba´sica para atribuic¸a˜o de nomes e´: "nome":= "o que se deseja nomear", isto e´, a atribuic¸a˜o sempre
sera´ feita usando o :=. Na sec¸a˜o seguinte usaremos esse recurso.
5
Abaixo segue uma tabela com alguns comandos ba´sicos:
Operac¸a˜o S´ımbolo Exemplo
Adic¸a˜o + 4+1
Subtrac¸a˜o - 2-1
Multiplicac¸a˜o * 7*8 ou 7 8
Divisa˜o / 12/4
Exponencial ^ 7^2
Mo´dulo abs ( ) abs(-1)
Fatorial ! 12!
Nu´mero Primo E´Primo[n] E´Primo[2]
Mı´nimo Mu´ltiplo Comum MMC[..,..] MMC[22,6]
Ma´ximo Divisor Comum MDC[..,..] MDC[14,6]
Alguns exemplos de como sa˜o usados na Janela Cas:
6
3 A´lgebra Linear
3.1 Vetores
Para mostrar as principais operac¸o˜es com vetores, primeiramente precisamos definir os vetores. Iremos trabalhar
com vetores do R2 ou R3.
Na janela CAS definimos os vetores u = (−1, 3) e v = (2, 5):
A Soma de vetores pode ser calculada da seguinte maneira u1 + u2 + . . .+ un.
Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar e´ dado por α ∗ (a1, a2, . . . , an) = (αa1, αa2, . . . , αan), onde α ∈ R.
O Produto interno(escalar) entre dois vetores u e v pode ser calculado usando u*v.
Mo´dulo entre vetores:
7
O Aˆngulo entre vetores usamos o comando Aˆngulo[u,v], para determinar o aˆngulo entre u e v.
8
3.2 Matrizes
Para exemplificar as principais operac¸o˜es entre matrizes e algumas de suas propriedades, trabalharemos com matrizes
de ordem 2 e ordem 3.
Na Janela CAS definimos A =
( −3 1
2 4
)
e B =
(
4 −2
3 −5
)
:
A Soma de matrizes e´ dada por A1 +A2 + . . .+An.
Produto de um escalar por uma matriz e´ dado pelo comando α ∗A, onde α e´ o escalar e A e´ a matriz.
O Produto de matrizes pode ser calculado da seguinte maneira A1 ∗A2 ∗ . . . ∗An.
OBS: Podemos observar que o produto de matrizes na˜o e´ comutativo com o exemplo abaixo.
A Transposta de uma matriz pode ser calculada pelo comando MatrizTransposta[A]
9
A Poteˆncia de matrizes podemos calcular de duas formas, a matriz elevada a poteˆncia desejada An ou multipli-
cando a matrizes o nu´mero de vezes desejada A ∗A ∗ . . . ∗A
Determinante de matrizes pode ser determinado pelo comando Determinante[A]:
Para calcular a inversa de uma matriz podemos utilizar dois comandos, o Matrizinversa[A] ou
A−1
Agora vamos definir uma matriz C =
 1 −2 03 0 1
4 5 6
 e D =
 1 −1 1−3 2 −1
−2 1 0
.
Para escalonar uma matriz usamos o comando MatrizEscalonada[A] :
O Posto e´ encontrado com o comando Posto[A]:
10
3.3 Sistemas Lineares
As Equac¸o˜es lineares sa˜o da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn = b no qual x1, x2, x3, . . . , xn sa˜o as varia´veis;
a1, a2, a3, . . . , an sa˜o os respectivos coeficientes das varia´veis, e b e´ o termo independente. Alguns exemplos de
equac¸o˜es sa˜o mostradas abaixo:
Um sistemas de equac¸o˜es lineares e´ um conjunto de equac¸o˜es lineares, para inserir um sistema na janela CAS
usamos a seguinte sintaxe: {equac¸a˜o 1,equac¸a˜o 2,. . .,equac¸a˜o n}
Para resolver um de Sistemas de equac¸o˜es lineares podemos utilizar dois comandos o Resolver[{equac¸o˜es},{varia´veis}]
ou Soluc¸o˜es[{equac¸o˜es},{varia´veis}].
Sistema Poss´ıvel Determinado:
Sistema Poss´ıvel Indeterminado:
Sistema Imposs´ıvel:
11
4 Ca´lculo
4.1 Func¸o˜es
Para definirmos uma func¸a˜o, escrevemos assim na ce´lula: nome da func¸~ao:= express~ao.Exemplo: f(x) := x2−4.
Perceba que a func¸a˜o foi criada na Janela de A´lgebra e o gra´fico da mesma trac¸ado na Janela de Visua-
lizac¸a˜o. Ainda e´ poss´ıvel determinar as ra´ızes de uma func¸a˜o. Usamos um dos comandos para resolver equac¸a˜o, o
Resolver[ <Equac¸~ao em x>]:
Note mais uma vez que o programa nos deu as ra´ızes em forma simbo´lica. Se quisermos uma aproximac¸a˜o
nume´rica, basta usar a opc¸a˜o na barra de ferramentas Calcular Valor Nume´rico.
E´ poss´ıvel efetuar as operac¸o˜es que estamos acostumados a fazermos com func¸o˜es:
4.2 Famı´lia de Func¸o˜es
Se tivermos uma func¸a˜o que possua um paraˆmetro t, podemos variar o valor de t em Z e obtermos um conjunto, ou
uma famı´lia de func¸o˜es. Para isso, usaremos o comando Seque^ncia[<Express~ao>,<Varia´vel>,<Valor Inicial>,
<Valor Final>] que pode ser utilizado para criar uma determinada sequeˆncia.
12
Note que a sequeˆncia de func¸o˜es de f(x) = x− t foi criada, mas os gra´ficos das func¸o˜es aparacera˜o ”escondidos”.
Para que o gra´fico aparec¸a basta clina na bolinha abaixo do nu´mero da ce´lula.
4.3 Func¸o˜es Definidas por Partes
Existem func¸o˜es, como a func¸a˜o valor absoluto f(x) = |x|, que sa˜o definidas por partes. Tambe´m podemos escrever
essas func¸o˜es na Janela CAS. Usando o comando Se[ <Condic¸~ao>, <Ent~ao> ], definimos uma func¸a˜o por partes.
No caso da func¸a˜o valor absoluto, precisaremos combinar duas condic¸o˜es. Usaremos o comando Se[ <Condic¸~ao>,
<Ent~ao>, <Sen~ao> ] da seguinte forma:
4.4 Polinoˆmios
Assim como podemos fatorar um nu´mero, tambe´m podemos fatorar uma expressa˜o. O GeoGebra possui os seguin-
tes comandos: Fatorar[ <Polino^mio> ] ou Fatorar[ <Express~ao> , Varia´vel> ], no caso em que a expressa˜o
envolva mais de uma varia´vel.
13
E´ interessante notar que o Geogebra busca simplificar fatores comuns em polinoˆmios racionais:
Por isso deve-se ter cuidado! Note que, para o Geogebra, as func¸o˜es f(x) =
x2 − 4
x− 2 e g(x) = x − 2 sa˜o iguais,
pois o numerador e denominador de f(x) possuem a expressa˜o (x−2) em comum. Mas sabemos bem que essa duas
func¸o˜es sa˜o diferentes, pois D(f) = {x ∈ R/x 6= 2} e D(g) = R.
Quando for necessa´rio, e´ poss´ıvel “expandir”uma expressa˜o. Usando o comando Expandir[ <Func¸~ao> ] ou a
opc¸a˜o Expandir na barra de ferrametas, realizamos esse ca´lculo:
Podemos tambe´m determinar o grau de um polinoˆmio. O comando Grau[ <Polino^mio>, <Varia´vel> ] pode
ser utilizado quando temos uma multiplicac¸a˜o de polinoˆmios:
4.4.1 Equac¸o˜es Mais Complicadas
Na sec¸a˜o 4.1, quando encontramos os zeros da func¸a˜o dada, usamos um comando para se resolver equac¸o˜es. A
func¸a˜o na˜o era ta˜o complicada, enta˜o o sistema do GeoGebra foi capaz de encontrar os zeros. Mas, algumas vezes,
encontramos equac¸o˜es mais complicadas que precisam ser manipuladas antes de se usar algum comando da Janela
CAS. Um exemplo e´ a equac¸a˜o
ex − e−x
2
= 1 que na˜o pode ser resolvida, da forma em que esta´, pelo GeoGebra.
Precisaremos fazer alguma manipulac¸o˜es na equac¸a˜o:
Multiplicando a equac¸a˜o por 2, temos ex − e−x = 2, ou ainda, de forma semelhante, ex − 1
ex
= 2. Agora,
multiplicando ambos os lados por ex, temos:
e2x − 1 = 2ex ou e2x − 2ex − 1 = 0.
A expressa˜o acima e´, de fato, uma equac¸a˜o dos segundo grau disfarc¸ada, como pode ser observado reescrevendo-a
na forma:
(ex)2 − 2ex − 1 = 0 e tomando u = ex para obter u2 − 2u− 1 = 0.
14
A equac¸a˜o do segundo grau pode ser resolvida na Janela CAS e, como u = ex, temos ex = 1 ± √2. Mas ex
na˜o pode ser um valor negativo, portanto, a raiz negativa deve ser descartada. Ficamos enta˜o com ex = 1 +
√
2,
equac¸a˜o esta que pode ser resolvida na Janela CAS.
4.5 Limites
Usando limites, podemos descrever como func¸o˜es se comportam quando a varia´vel independente tende a um valor
dado. A Janela CAS e´ capaz de efetuar alguns ca´lculos usando o comando Limite[ <Express~ao>, <Valor> ]:
No caso de func¸o˜es mais complicadas, com descontinuidade, por exemplo, e´ preciso usar o comando LimiteInferior
[ <Express~ao>, <Varia´vel>, <Valor> ] para limites laterais a` esquerda e LimiteSuperior[ <Express~ao>, <Varia´vel>,
<Valor> ] para limites laterais a` direita:
15
4.6 Derivada
A Janela CAS tambe´m permite o ca´lculo de derivadas. Usando o comando Derivada[ <Express~ao> ] e´ poss´ıvel
cular a derivada primeira de uma func¸a˜o com uma varia´vel, tambe´m pode ser usado o comando na barra de Ferra-
mentas Derivar. Ainda ha´ outras opc¸o˜es de diferenciac¸a˜o, que envolvem mais varia´veis e derivadas de outras ordens.
Combinadas com me´todos ja´ vistos antes, e´ poss´ıvel calcular os pontos cr´ıticos de algumas func¸o˜es. Iremos usar
alguns comandos que ja´ vimos antes para calcular os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) =
x2 − 1
x3
, pontos os quais sa˜o
x = −1, x = 1, x = 0, x = −√3 e x = √3:
4.7 Integral
Na Janela CAS e´ poss´ıvel realizar o ca´lculo de primitivas Integral[ <Func¸~ao> ], integrais definidas Integral[ <Func¸~ao>,
<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ] e Soma de Riemann SomaDeRiemannInferior(ou Superior)[ <Func¸~ao>,
<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Nu´mero de Reta^ngulos> ]:
16
17
5 Considerac¸o˜es Finais
Uma diferenc¸a que podemos mostra entre a Janela CAS e a entrada de comandos, e´ o fato da entrada de comando
na˜o ser capaz de somar a+
1
3
, pedindo que crie um controle deslizante para a para que possa efetuar o calculo, ja´
a Janela CAS efetua o calculo somando a+
1
3
, sem a necessidade de um valor nume´rico para a.
Se digitarmos na Janela CAS
1
3
+
1
2
obteremos a frac¸a˜o
5
6
, enquanto se digitarmos na entrada de comandos no
rodape´
1
3
+
1
2
, iremos obter um valor nume´rico igual a 0, 83.
Muitos dos comando podem ser usados tanto na entrada de comandos no rodape´ do GeoGebra ou na Janela CAS.
Mas a Janela CAS possui alguns comandos espec´ıficos que so´ podem ser usados nela, e essa e´ uma das vantagens
em comparac¸a˜o a entrada de comando que na˜o e´ capaz de nos oferecer estas possibilidades. Por exemplo podemos
definir uma matriz gene´rica A =
(
a b
c d
)
e operar ela na Janela CAS sem precisar definir paraˆmetros para os
valores da matriz.
18
Refereˆncias
[1] ANTON,H.; BIVENS, I.; DAVIS, S.; Ca´lculo, vol 1, ed.10. Editora Bookman (2014).
[2] BOLDRINI, J.L.; COSTA, S.I.R.; FIGUEIREDO, V.L.; WETZLE, H.G.; A´lgebra Linear, vol 1, 3ª edic¸a˜o.
Editora HARBRA ltda (1986).
19
	Introdução
	Comandos Básicos
	Álgebra Linear
	Vetores
	Matrizes
	Sistemas Lineares
	Cálculo
	Funções
	Família de Funções
	Funções Definidas por Partes
	Polinômios
	Equações Mais Complicadas
	Limites
	Derivada
	Integral
	Considerações Finais