Determine os pontos críticos e a classificação que eles recebem para a função f(x,y) = 3xy2 + x3 - 3x, e trace a representação gráfica da função no...

Para encontrar os pontos críticos da função f(x,y) = 3xy² + x³ - 3x, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero: fx = 3y² + 3x² - 3 = 0 fy = 6xy = 0 A partir da segunda equação, temos duas possibilidades: xy = 0 ou y = 0. Se xy = 0, então x = 0 ou y = 0. Substituindo x = 0 em fx, temos y² - 1 = 0, o que implica em y = ±1. Portanto, temos os pontos críticos (0,1) e (0,-1). Se y = 0, então fx = 3x² - 3 = 0, o que implica em x = ±1. Portanto, temos os pontos críticos (1,0) e (-1,0). Agora, precisamos classificar esses pontos críticos. Para isso, podemos usar a matriz hessiana: H = [6x 6y] [6y 6x] A matriz hessiana é simétrica, então podemos usar o critério das derivadas parciais de segunda ordem para classificar os pontos críticos. Se H for definida positiva, então temos um ponto de mínimo local. Se H for definida negativa, então temos um ponto de máximo local. Se H tiver autovalores de sinais opostos, então temos um ponto de sela. Para o ponto (0,1), temos H = [0 6] [6 0], que tem autovalores λ1 = -6 e λ2 = 6, de sinais opostos. Portanto, (0,1) é um ponto de sela. Para o ponto (0,-1), temos H = [0 -6] [-6 0], que tem autovalores λ1 = -6 e λ2 = 6, de sinais opostos. Portanto, (0,-1) é um ponto de sela. Para o ponto (1,0), temos H = [6 0] [0 6], que tem autovalores λ1 = 6 e λ2 = 6, ambos positivos. Portanto, (1,0) é um ponto de mínimo local. Para o ponto (-1,0), temos H = [-6 0] [0 6], que tem autovalores λ1 = -6 e λ2 = 6, de sinais opostos. Portanto, (-1,0) é um ponto de sela. Para traçar a representação gráfica da função no GeoGebra, podemos seguir os seguintes passos: 1. Abra o GeoGebra e selecione a janela de visualização 3D. 2. Digite a função f(x,y) = 3xy² + x³ - 3x na barra de entrada. 3. Pressione Enter para plotar a função. 4. Para visualizar os pontos extremos, clique com o botão direito do mouse na função e selecione "Pontos críticos" no menu de contexto. 5. Os pontos extremos serão destacados na representação gráfica da função.