Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Equações Funções Equações são sentenças matemáticas que envolvem uma igualdade. Exemplos: 1. De uma quantidade retiramos ou adicionamos a sua raiz multiplicada por um coeficiente e a soma ou a diferença é igual a um número dado. (linguagem retórica, utilizada até o séc. XV) Raiz: A raiz é qualquer coisa que será multiplicada por ela mesma. O quadrado é o que obtemos quando multiplicamos a raiz por ela mesma. Al-Khwarizmi (800 dC). François Viète (1540-1603) introduziu a simbologia na equações. Assim, na notação atual, escrevemos: 2x bx c 1 2. 4. Equação de uma parábola: sen 1, 0 2x x 3. " 0, ( )y y y f x 2 0y ax 5. Equação de uma circunferência de centro na origem e raio a: 2 2 2x y a Qual o objetivo em uma equação? Encontrar a(s) solução(ões) Portanto, nas equações, as quantidades desconhecidas, chamadas incógnitas, devem ser encontradas, o que chamamos de resolver a equação. Soluções: valores para as quantidades desconhecidas que tornam a igualdade verdadeira. 2 Equações determinadas e indeterminadas Existe uma diferença de natureza entre as equações 2 2 2) 2 0 e ) 4.a x x b x y No caso a) as soluções podem ser determinadas, ou seja, somos capazes de encontrar 2 valores para a incógnita: x = 2 e x = 1 que tornam a igualdade verdadeira. Neste caso dizemos que a equação é determinada. No caso b) as incógnitas x e y não possuem valores determinados, pois para cada valor atribuído à incógnita x , encontra-se 2 valores para a incógnita y, sendo este processo infinito. Neste caso dizemos que a equação é indeterminada e é mais adequado chamarmos as incógnitas x e y de variáveis. Funções 3 Em 1718, em um artigo apresentado à Academia de Ciências de Paris, Bernoulli definiu uma função da seguinte forma: “Chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta, de um modo qualquer, desta grandeza variável e de constantes”. E usou a notação x. Na segunda metade do século XVII, Galileu desenvolvia estudos sobre o movimento dos corpos, relacionando espaço e tempo. Na mesma época, Leibniz, ao formalizar o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, começa a propor a ideia de funções como sendo curvas que eram obtidas a partir de retas tangentes. 4 Um pouco da história das funções ... Roque, Tatiana. História da Matemática. Uma visão crítica desfazendo mitos e lendas. Ed. Zahar, Rio de Janeiro, 2013. Em 1748, Euler publicou um livro chamado Introdução à Análise Infinita, onde situa a função como a noção central da matemática e propõe a seguinte definição: “Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica composta de um modo qualquer dessa quantidade e de números, ou de quantidades constantes”. E utilizou a notação f (x). 5 Finitas ou infinitas operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) ou transcendentes (trigonométricas, logarítmicas e exponenciais). Ainda no século XVIII, motivado por um problema físico de “cordas vibrantes”, resolvido por D’Alembert, Euler desvinculou a função de uma expressão analítica. 6 No início do século XIX, Fourier desenvolve uma teoria para estudar a propagação do calor, onde o conceito de função analítica é novamente revisto, pois representa as funções por séries nada convencionais: 0 1 ( ) cos sen , com 2 n n n a n t n t f t a b T T 1 1 ( )cos , 0,1,2,...; ( )sen , 1,2,3,... T T n n T T n t n t a f t dt n b f t dt n T T T T Aqui surge a discussão sobre continuidade de funções e em 1829 Dirichlet publica um artigo onde não define o que é uma função, mas discute problemas relacionados à continuidade das funções estudadas por Fourier. Uma versão revisada deste texto foi publicada em Alemão em 1837, contendo uma definição bastante citada: “Sejam a e b dois números fixos e x uma quantidade variável que recebe sucessivamente todos os valores entre a e b. Se a cada x corresponde um único y, finito e de maneira que, quando x se move continuamente no intervalo entre a e b, y = f(x) também varia progressivamente, então y é dita uma função contínua de x neste intervalo. Para isso, não é obrigatório, em absoluto, nem que y dependa de x de acordo com uma mesma e única lei, nem mesmo que seja representada por uma relação expressa por meio de operações matemáticas”. 7 No final do século XIX, Cantor e Dedekind constroem o Conjunto dos Números Reais na forma como conhecemos hoje, ou seja, um conjunto que contem todos os racionais e os irracionais, não havendo intervalo entre um número e outro (continuidade dos números reais). Obs. A principal propriedade dos números racionais , que os torna essencialmente distintos dos números reais, é o fato de poderem ser enumerados. O procedimento de “enumeração” dos elementos de um conjunto é feito por meio da associação de cada um desses elementos a um número natural; e a associação é definida como uma função de um conjunto no outro, uma correspondência biunívoca entre seus elementos. Neste contexto surgirá a ideia de função como uma correspondência entre dois conjuntos numéricos (1873). 8 Funções Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função f, de domínio A e contra-domínio B, é qualquer relação que associa cada elemento x pertencente ao conjunto A a um único elemento y pertencente ao conjunto B. Notação geral (simbologia): : ( ) f A B x f x : ( ) p t p t *: ( ) n a n a Domínio Variável independente Imagem Variável dependente Obs.: Nossos estudos serão desenvolvidos no conjunto dos números reais e, portanto, teremos sempre A R e B R. 9 Maneiras de representar uma função: verbal, matemática, numérica ou gráfica Verbal • A população humana de um país varia com o tempo. • A área de um círculo depende de seu raio. • A pressão de uma massa gasosa, que se expande isotermicamente, depende da temperatura. Matemática Var. dependente Var. independente ( ) 1 t K P t Ce 2( )A r r ( ) nRT P T V • De acordo com o modelo logístico, a população humana cresce segundo a função: • A área de um círculo de raio r é dada pela função: • A pressão de vapor do etanol, em função da temperatura, é dada por 10 Numérica Ano População 1950 52 milhões 1960 70 milhões 1970 93 milhões 1980 118,5 milhões 1990 149 milhões 2000 171 milhões 2010 190,8 milhões Gráfica 0,039528 245 ( ) 1 3,712 t P t e Matemática 2( )A r r r A(r) 0 0 0,5 0,785 1 3,142 1,5 7,069 2 12,57 2,5 19,63 ( ) nRT P T V Temperatura (C) Pressão (torr.) 25,0 55,9 30,0 70,0 35,0 97,0 40,0 117,5 45,0 154,1 50,0 190,7 55,00 241,9 cte 11 Gráficos ... x y -2 4 -1 1 0 0 1 1 1,5 2,25 2 4 x y -2 4 -1 1 0 0 -1 -1 -2 -3 1 4 não é função Cuidados ao fazer um gráfico: 12 2 4( ) (39 10 ) 30 x f x x x x -3 -1 0 1 3 f (x) -3 -1 0 1 3 13 Exemplos: Exemplo 1. Quais das equações abaixo definem y como uma função de x? (a) x + y = 2 (b) x2 – y = 1 (c) x2 + y2 = 4 y = 2 – x y = x2 – 1 24 y x 14 2 , para < 0 ( ) 2, para = 0 2 , para 0 < 4 x x G x x x x Exemplo 2. Trace o gráfico da função 15 Exemplo 3. Encontre o valor de f (1/3), f (2) e f(3) se 1 , 2 ( ) 2 1, 2 x f x x x x Exemplo 4. Se , encontre2( ) 2 3 4f x x x ( ) ( ) (0), ( 1), ( ), f x x f x f f f x x Determinando o domínio ... 1. Encontre o domínio das funções abaixo: 2) ( ) 4a f x x 2 10 ) ( ) 2 t b g t t t 3 3 , 10 ) ( ) , 10 y y c h y y y 16 ) ( ) tgd [ 2,2] { : 2 2}D x x { : 10 e 1 e 2}D t t t t D { : 2 , } 2 D k k 17 2. Domínio físico: Suponha um corpo em queda livre de uma altura h. Da Física sabemos que o fenômeno de queda é caracterizado pela função onde s é o espaço percorrido, t é o tempo de queda e g é a aceleração da gravidade. 2 2 gt s Domínio matemático: D 2 2 0, : 0 h h D t t g g Tipos de Funções Polinomial: Uma função f é uma função polinomial se f (x) é um polinômio, isto é: onde os coeficientes são números reais e os expoentes são inteiros não negativos. Se então a função f é dita ser de grau n. 1 1 1 0( ) ... n n n nf x a x a x a x a 0na 0 1, ,..., na a a EXEMPLOS 3 22 3 4 1f x x x x 22 4f x x 2 1f x x 3f x (polinomial de grau 3) (polinomial de grau 2) (polinomial de grau 1) (polinomial de grau 0 ou constante) 18 Função constante: ,f x k k Função polinomial de 1º grau: , , , constantesf x ax b a b Exemplos f (x) = 3; f (t) = π; a : coeficiente angular b : coeficiente linear 19 tga 0 tg 0 2 tg 0 2 ( ) cos 5 OBS.: Numa função polinomial do 1o grau, a razão da variação de y em relação à variação de x é constante e igual ao coeficiente angular a, isto é, y a x Exemplos f (x) = 2x g (x) = 2x 3h (t) = 4 t 20 Exemplo 1. À medida que o ar seco se move para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de 20˚C e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10˚C: a) Expresse a temperatura (em ˚C) como uma função da altura h (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado. b) Esboce o gráfico para a função obtida na parte (a). c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? Solução (a) Hipóteses: T é uma função linear T(h) = ah + b. T(0) = 20 20 = a.0 + b = b b = 20 a reta intercepta o eixo das ordenadas em 20. T(1) = 10 10 = a.1 + 20 o coeficiente angular da reta é, portanto, a = –10. Assim, a função linear procurada é T = –10h + 20. (c) T (2,5) = –10(2,5) + 20 = –5˚C. Aplicações: 21 (c) Obs.: O coeficiente angular da reta é a = –10 ˚C/km e representa a taxa de variação da temperatura em relação à altura, ou seja, para cada 1 km que a altura aumenta, a temperatura decresce de 10˚C. Exemplo 2. Sabendo que a água congela a 0 ºC (32 ºF) e ferve a 100 ºC (212 ºF) e que a conversão de uma unidade para a outra se dá por meio de uma função linear, estabeleça uma função que converta Fahrenheit em Celsius. Solução °F °C 32 0 212 100 C(F) = a F + b 22 100 0 212 32 a 100 5 180 9 5 0 32 9 b 5 32 9 b 5 ( ) ( 32) 9 C F F 5 0,55... 9 Função potência: , constanteaf x x a 23 x2 x4 x6 x10 x3 x5 x7 x11 24 x2 x4 x6 x10 25 1( )f x x 3( )f x x x3 x5 x7 x11 Função racional: P x f x Q x onde P(x) e Q(x) são funções polinomiais e 0Q x 3 2 3 3 2 2 ( ) 1 x x f x x Exemplos: 26 2 2 ( ) 2 x f x x 27 Função algébrica: Uma função algébrica é uma função que pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes, potências ou raízes de polinômios. 2 4 3 3 5 5 2 x x f x x x x x Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed.: Exercícios 1.2: 10 - 18 2 23( ) ( 2)f x x x Funções trigonométricas: f(x) = sen x ; D = f(x) = cos x ; D = OBS.: Quando trabalhamos com funções trigonométricas, o domínio é um subconjunto de e, portanto, as variáveis não podem ser expressas em graus e sim, em radianos, que são representações reais das medidas angulares. Para fazer a conversão, basta usar a relação . 1 180 rad 28 sen cos 1 1 tg , cotg , sec , cossec cos sen cos sen x x x x x x x x x x Funções definidas a partir do seno e do cosseno: f (x) = tg(x); D = 2 k f (x) = cotg(x); D = k 29 f (x) = sec(x); D = 2 k f (x) = cossec(x); D = k Identidades importantes: sen2x + cos2x = 1 1 + tg2x = sec2x 1 + cotg2x = cossec2x sen 2x = 2 sen x cos x cos 2x = cos2x sen2x sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x cos(x y) = cos x cos y + sen x sen y cos(x + y) = cos x cos y – sen x sen y 30 Composição de Funções : : e : Im( ) :g A B f g C f g A C ( )( ) ( ( ))f g x f g x Lê-se “f bola g ” Exemplos: 21. ( ) , 0 e ( ) 1 ( )( ) ? e ( )( ) ?f x x x g x x f g x g f x 3 4 2. ( ) sen e ( ) ( )( ) ? e ( )( ) ? x f x x g x f g x g f x x x 5313. ( ) , ( ) e ( ) ( )( ) ?f x g x x h x x x f g h x x 2 34. Expresse ( ) cos (1 )x x x como a composta de 4 funções. 31 32 5. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar será de partes por milhão (ppm), quando a população for de p milhares. Estima-se que daqui a t anos, a população da comunidade será de milhares de habitantes. Expresse a taxa média de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo. Utilize esta função para estimar a taxa média diária de monóxido de carbono no ar após 5 anos. ( ) 1 2 p C p 2( ) 10 0,1p t t 6. Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taxa de 2 cm/s. a) Expresse o raio do balão em função do tempo. b) Expresse o volume do balão em função do tempo. Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed. Exercícios 1.3: 29 - 56 Funções Inversas: De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada por f -1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. 1 2 2.f f 1 16 16.f f Definição: Dada uma função f, a sua inversa é uma função, usualmente denotada por tal que 1 1 1, dom( ) e dom( )f f x f f x x x f x f 1f 33 CUIDADO!!!! Observe que o (–1) de f –1 não é um expoente, ou seja, não significa . 1f x 1 ( )f x 11 ( ) f x f x Como determinar f –1 ? Passo 1: Escreva y = f(x). Passo 2: Se possível, isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Escreva . Se quiser expressar a inversa f –1 como uma função de x, troque x por y e escreva Passo 4: Se as duas condições: e estiverem satisfeitas, então f –1 é a inversa procurada. 1x f y 1f f x x 1f f x x 1 .y f x Exemplo1. Encontre a inversa de f (x) = 3x – 5 e de f(x) = 4 – x2. 34 Obs: Nem toda função possui inversa e a condição para que ela seja inversível (possuir inversa) é que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora). é dita injetora ou um a um se 1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )x x A x x f x f x é dita sobrejetora se :f A B :f A B , : ( )y B x A y f x Injetora em Sobrejetora em Bijetora em Não injetora Sobrejetora em Não Bijetora Injetora em Sobrejetora em Bijetora em 35 Gráfico da Função Inversa : Levando emconta que podemos concluir que o ponto (a,b) está sobre o gráfico de f se, e somente se, o ponto (b,a) está sobre o gráfico de f –1, ou seja, 1f a b f b a 1 1 gráfico de gráfico de P , Graf Q , Graf f f a b f b a f Portanto, uma maneira de obtermos o gráfico da inversa de uma função f, é utilizar o gráfico de f e fazermos uma reflexão do mesmo em relação à reta y = x. 36 Exemplo 2. Encontre a inversa de f (x) = 2x + 5 e verifique que de fato a função encontrada é a inversa de f. 1 5( ) = 2 x f x Exemplo 3. Se , então . ( ) = nf x x 1( ) = , , 2nf x x n n Vejamos dois casos particulares: 2 1 1 2 1 1 2 2 ( ) = ( ) = . ( ( )) = ( ) = ( ) , 0 De fato, ( ( )) = ( ) = , 0. f x x f x x f f x f x x x x f f x f x x x x 37 38 Sugestão de exercícios: Stewart, 7ª ed. Exercícios 1.6: 1 – 27 Exceto: 23, 25 3 1 3 1 33 3 31 1 3 3 ( ) = ( ) = . ( ( )) = ( ) = ( ) = , De fato, ( ( )) = ( ) = = , . f x x f x x f f x f x x x x f f x f x x x x Função exponencial: ( ) , 0 (constante), 1xf x a a a 39 ( ) 0,xf x a x O número e = 2,7182818284590452353602874713527 ... 1 lim 1 n n e n Euler, em 1737, provou que e é um número irracional !!!! 0 1 nt r S S n 40 Aplicações: 0,039528 245 ( ) 1 3,712 t P t e Exemplo 1. A população brasileira, segundo os últimos 7 sensos, cresceu de acordo com a função: Exemplo 2. As empresas de investimento utilizam com frequência o modelo para calcular o crescimento de um investimento, onde y0 é o investimento inicial e r é a taxa de juros (anual ou mensal, conforme o caso). Utilize este modelo para acompanhar o crescimento de R$100,00 investidos no ano 2000 a uma taxa de juros anual de 5,5%. 0 r ty y e Solução: 2000 t = 0 y(0) = y0 = 100 r = 5,5% r = 0,055 0,055( ) 100 ty t et ano Y(t) Valor0 2000 100 100,00 1 2001 105,65406 105,65 5 2005 131,65307 131,65 8 2008 155,27072 155,27 10 2010 173,3253 173,33 14 2014 215,97662 215,98 41 Exemplo 2. A vida média do estrôncio-90 (90Sr) é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade do elemento irá se desintegrar em 25 anos. a) Se uma amostra de 90Sr tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa m(t) que sobrará após t anos. b) Encontre a massa remanescente após 40 anos. c) Faça o gráfico para a função obtida na parte a) e use-o para estimar o tempo necessário para que a massa fique reduzida a 5 mg. Solução: (0) 24m 1 (25) 24 2 m 2 1 1 1 (50) 24 24 2 2 2 m 2 3 1 1 1 (75) 24 24 2 2 2 m 3 4 1 1 1 (100) 24 24 2 2 2 m 25 /25 1 ( ) 24 24 2 (40) 7,917 mg 2 t t m t m ( ) 5 quando 57 anosm t t 42 Propriedades: 1 2 1 2x x x xa a a 1 2 1 2 ( ) x x x x a a x x xab a b x x x a a b b 1 1 x x x a aa 1, 2, constantespositivas, , , tem-se :a b x x x Funções hiperbólicas: ( ) senh , 2 x xe e f x x D ( ) cosh , 2 x xe e f x x D 43 Exercícios: Stewart, 7ª ed. Exercícios 1.5: 19 - 30 Funções logarítmicas: ( ) log , 0, 1ag x x a a Se , então a função exponencial é bijetora (sempre crescente ou decrescente) e, portanto, inversível. Assim, existe uma função inversa , denominada função logarítmica de base a, denotada por , isto é, > 0, 1a a 1( ) = logaf x x 1 * 1 : loga f x f x x *: x f x f x a Como f 1 é a função inversa de f, esta satisfaz a seguinte relação: 1 1( ) ( ) ( ( ))y f x f y f f x x log =yay x a x ou seja 44 ( ) xf x a log ( ) = ,xa a x x log = , 0a x a x x 1( ) ( )y f x f y x Gráficos Propriedades: 1, e : constantespositivas e qualquer,a b c n log 1 0a log 1a a log log loga a ab c b c log log loga a a b b c c log logna ab n b log log , log d a d b b a (mudança de base) Logaritmo natural (ou neperiano): ln log bex x b e x ln log ,eg x x x inversa de ex 1( ) ( ) lnxf x e f x x lnln ex xe x e x 45 OBS: As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos decimais (base 10) e logaritmos naturais (base e). Para calcular numa base b qualquer, elas utilizam uma das seguintes fórmulas: log ,b x ln log log ou log ln log b b x x x x b b 10log logx x Exemplo1. 10 2 2 10 10 2 2 10 logln log ; log ln 2 log 2 log 5ln5 log 5 2,3219; log 5 2,3219 ln 2 log 2 xx x x 46 Exemplo2. Na Cinética Química, para uma reação de primeira ordem reversível, pode ser mostrado que a fração de material reagido x e o tempo t gasto, estão relacionados através da equação onde C e K são constantes. Ache uma expressão para x como função de t. ln C C t k C x 1 k t Cx C e Exemplo 3. Encontre os valores de x que satisfaçam as equações dadas.2 9x 2 10 7x xa) 2 2 22 9 log 9 2log 9 2 x x x b) 0 0 2 2 10 10 10 0 10 7 1 0 log 7 log 7 log 7x x x x x x x 47 2 8x 322 2 3 6 2 x x x ? c) Exercícios: Stewart, 7ª ed. Exercícios 1.6: 25, 26, 28 33 – 62 Funções trigonométricas inversas: : , 1,1 2 2 sen f x x 1 : 1,1 , 2 2 arc sen f x x : 0, 1,1 cos f x x 1 : 1,1 0, arc cos f x x 48 : , , 2 2 tg f x x 1 : , , 2 2 arc tg f x x : 0, , cotg f x x 1 : , 0, arc cotg f x x 49 : 0, , , 1 1, 2 2 sec f x x 1 : , 1 1, 0, , 2 2 arc sec f x x : ,0 0, , 1 1, 2 2 cossec f x x 1 : , 1 1, ,0 0, 2 2 arc cossec f x x 50 Exercícios: Stewart, 7ª ed. Ex. 1.6: 63 – 68, 73 – 76
Compartilhar