Variáveis discretas e contínuas

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Probabilidade e Estatística III 
 
 
 
 
 
Variáveis aleatórias discretas e contínuas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo 8 T: 02 
Deivisson Costa Gomes 
Max V. M. Dias 
Anderson 
Leonardo Conceição 
Rio de janeiro, 07 de dezembro de 2011. 
I. Variáveis aleatórias discretas. 
1. Definição. 
Muitos experimentos aleatórios produzem resultados não - numéricos. Antes de analisá-
los, é conveniente transformar seus resultados em números, o que é feito através da 
variável aleatória, que é uma regra de associação de um valor numérico a cada ponto do 
espaço amostral. 
 Portanto, variáveis aleatórias são variáveis numéricas às quais iremos associar modelos 
probabilísticos. Veremos que uma variável aleatória tem um numero para cada resultado 
de um experimento e que uma distribuição de probabilidades associa uma probabilidade 
a cada resultado numérico de um experimento. 
Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que 
associe a cada elemento s pertence S um número real X(s), é denominado variável 
aleatória. 
 
Exemplo: 
E: lançamento de duas moedas; 
X: número de caras obtidas nas duas moedas; 
S={(c,c),(c,r),(r,c),(r,r)} 
X=0 > corresponde ao evento (r,r) com probabilidade ¼; 
X=1 > corresponde ao evento (r,c), (x,r) com probabilidade 2/4; 
X=2 > corresponde ao evento (c,c) com probabilidade ¼; 
Empregamos a termo variável aleatória para descrever o valor que corresponde ao 
resultado de determinado experimento. As variáveis aleatórias também podem ser 
discretas ou continuas e temos as seguintes definições: 
Variáveis aleatórias discretas – Admite um número finito de valores ou tem uma 
quantidade enumerável de valores. 
Variáveis aleatórias contínuas – Pode tomar um número infinito de valores, e esses 
valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. 
 
2. Distribuição de probabilidade. 
Uma vez definida a variável aleatória, existe interesse no cálculo dos valores das 
probabilidades correspondentes. O conjunto das variáveis e das probabilidades 
correspondentes é denominado distribuição de probabilidades, isto é: 
 
3. Função de densidade de probabilidade. 
É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do 
evento correspondente, isto é: 
 
4. Esperança matemática, variância e desvio padrão: 
propriedades. 
Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de 
probabilidades de uma variável aleatória discreta. São os parâmetros das distribuições, a 
saber: 
> Esperança matemática (ou simplesmente média) – E (x) – é um número real, é 
também uma média aritmética; 
> Variância – VAR (x) – é a medida que dá o grau de dispersão (ou de concentração) de 
probabilidade em torno da média. O fato de conhecermos a média de uma distribuição 
de probabilidades já nos ajuda bastante, porém, precisamos de uma medida que nos dê o 
grau de dispersão de probabilidade em torno dessa média. 
 
5. Distribuições de variáveis aleatórias discretas. 
Será feita uma discussão sobre algumas distribuições de probabilidades discretas. Tais 
distribuições partem da pressuposição de certas hipóteses bem definidas. Como diversas 
situações reais muitas vezes se aproximam dessas hipóteses, esses modelos são úteis no 
estudo de tais situações, daí a sua importância. 
Um cuidado muito grande deve ser tomado ao se escolher uma distribuição de 
probabilidade que descreve corretamente as observações geradas por um experimento. 
Primeiramente analisaremos as distribuições discretas de probabilidades mais 
importantes e que descrevem as variáveis aleatórias comumente encontradas na prática. 
Por último analisaremos algumas distribuições de v.a. contínuas de importância similar. 
 
6.1. Distribuição Uniforme. 
É a mais simples de todas as distribuições discretas de probabilidade. É aquela na qual a 
v.a. assume todos os seus valores com a mesma probabilidade. Tal distribuição é 
chamada distribuição uniforme. A distribuição discreta uniforme é dada por: 
 P(x,k) = 1/k = P(X = x) 
onde x é um dos possíveis valores da v.a. X. Utilizamos aqui P(x,k) ao invés de p(x) 
para indicar que a distribuição uniforme depende do parâmetro k. Este é o caso mais 
simples de v.a. discreta, onde cada possível valor ocorre com a mesma probabilidade. 
i) Definição: A variável aleatória discreta X, assumindo os valores x1,x2, ..., xn , 
tem distribuição uniforme , se e somente se, 
 ��� = ��� = ����� = � = 	
, para todo i = 1, 2,..., n. 
 
6.2. Distribuição de Bernoulli. 
Seja um exemplo aleatório E realizado repetidas vezes, sempre nas mesmas condições, 
de tal forma que o resultado pode ser um Sucesso (s) (se acontecer o evento que nos 
interessa) ou um Fracasso (f) (se o evento não se realizar). Seja X a variável aleatória: 
Sucesso ou Fracasso 
 
Essas condições caracterizam um conjunto de Provas de Bernoulli ou um experimento 
de Bernoulli, e sua função probabilidade é dada por: 
 
> Média: 
 
> Variância: 
 
6.3 Distribuição Binomial. 
Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está 
relacionada apresenta apenas dois resultados (sucesso ou fracasso). Este modelo 
fundamenta-se nas seguintes hipóteses: 
− n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; 
− cada prova admite dois resultados – Sucesso ou Fracasso; 
− a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso 1-p = p ; 
Define-se a Variável X que conta o número de sucessos nas n realizações do 
experimento. (X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3,..., n.). 
 Fazendo sucesso corresponder a 1 fracasso, a 0, temos: 
− Para X = 0, uma seqüência de n zeros: 00000...000. 
 
− Para X = 1, uma seqüência do tipo: 1000...0; 01000...0; 001000...0; será n 
seqüência, cada uma com um único sucesso e n seqüência, cada uma com um 
único sucesso e n-1 fracassos: 
 
− Para X = x, tem-se x sucessos e (n-x) fracassos, correspondendo às seqüências 
com x algarismos 1 e n-x zeros. Cada seqüência terá probabilidade ���
� e 
como há �
�����
� seqüências distintas, tem-se: 
 
 
� Média: 
 
� Variância: 
 
6.4 Distribuição de Poisson. 
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo. 
A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. 
A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena em relação à 
probabilidade de um sucesso. Seja X o número de sucessos no intervalo; temos, então: 
 
 
A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de: 
• Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia; 
• Erros tipográficos por página, em um material impresso; 
• Defeitos por unidade (m³, m², m, etc.) por peça fabricada; 
• Problemas de filas de espera em geral, e outros. 
 
 
� Média: 
 
� Variância: 
 
OBS: Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n é muito grande e p é muito 
pequeno. Podemos, então, fazer uma aproximação de binomial pela distribuição de 
Poisson, da seguinte forma: 
 
6.5 Distribuição Geométrica. 
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de uma mesmo experimento 
aleatório. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com 
probabilidade q; p + q = 1. 
Seja X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. Logo, X 
assumem os valores: 
X = 1, que corresponde ao sucesso (S) e P (X = 1) = p; 
X = 2, que corresponde ao fracasso (F) na 1ª tentativa e sucesso na segunda, (FS) e 
P (X = 2) = P (F ∩ S) = q·p; 
X = 3, que corresponde a (FFS) e P (X = 3) = P (F ∩ F ∩ S) = q · q · p = �� ∙ �; 
X = 4, que correspondea (FFFS) e P (X = 4) = �� ∙ �; 
E assim sucessivamente. 
X = x, que corresponde a FF ... FS = x, com função de probabilidade: 
 ��� = �� = ��
	 ∙ � 
A variável X tem então distribuição geométrica. 
� Média: 
���� = 1� 
� Variância: 
 ������ = ��� 
6.6 Distribuição Hipergeométrica. 
Consideremos uma população com N elementos, dos quais r tem uma determinada 
característica (a retirada de um desses elementos corresponde ao sucesso). Retiramos 
dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho n. 
Seja X: número de sucessos na amostra (saída do elemento com a característica). 
Para sabermos a função de probabilidade, consideramos que podemos tirar ��
� amostras 
sem reposição. Os sucessos na amostra podem ocorrer com ���� maneiras e fracassos de ��
�
�� modos. Logo: 
 ��� = �� = � !��"# $#!��"$� , 0 ≤ � ≤ '	)	� ≤ �. 
A variável X assim definida tem distribuição hipergeométrica. 
� Média. 
E (X) = np 
� Variância. 
Var (X) = Np (1 – p) ��
���
	�, onde � = ��. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Variáveis aleatórias contínuas. 
 
1. Definição. 
Variável aleatória contínua é uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma 
função f(x), tal que: 
� f(x) ≥ 0 (não negativa); 
� * +���,� = 1-
- . 
A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.). Observamos que: 
 ��� ≤ � ≤ .� = * +���,�/0 
(corresponde à área delimitada pela função f(x), eixo dos X e pelas retas X = a e X = b). 
Podemos estender todas as definições de variáveis aleatórias discretas para variáveis 
contínuas. Se X é uma variável aleatória contínua, então temos a média e a variância 
sendo: 
 ���� = * � ∙ +���,�-
- 
A média pode ser entendida como um “centro de distribuição de probabilidades”. E sua 
variância é dada por: 
 ������ = ����� − 2����3�, onde 
 ����� = * �� ∙ +���,�-
- 
2. Distribuição de variáveis aleatórias discretas. 
Distribuições contínuas são muito distintas das distribuições discretas. Nas distribuições 
discretas, as massas de probabilidade estão concentradas nos pontos de um conjunto 
enumerável. Assim, seja o experimento aleatório E com espaço amostral S e y uma 
variável aleatória com domínio S e imagem Sy. A distribuição de probabilidade de y é 
uma distribuição contínua se: 
P(y = w) = 0 para cada w ∈	Sy 
Ademais, se cada ponto tem probabilidade 0 então P(A) =0 sendo A qualquer 
subconjunto enumerável de Sy. A definição pode parecer paradoxal, mas, 
conceitualmente, é o mesmo que considerar, por exemplo, um intervalo não degenerado 
de números reais e cada ponto desse intervalo. O intervalo tem medida (comprimento) 
positiva enquanto que cada ponto tem medida (comprimento) nula. Como já enfatizado, 
as distribuições contínuas estão em total contraste com as distribuições discretas. Nas 
distribuições contínuas, a massa de probabilidade se dispersa continuamente sobre Sy 
enquanto que nas discretas ela se concentra nos pontos de massa. A figura abaixo ilustra 
a continuidade do espaço amostral e um evento desse espaço. 
 
 
2.1 Distribuição Uniforme. 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidades no 
intervalo [a,b] se sua f.d.p é dada por: 
 
+��� = 	 5 �	6)	�	 ≤ � ≤ .0	6)	�	 < �	89	�	 > . 
 
 
Onde o valor de k é: 
;�	,� = 1/
0
 
�	 = 	 1. − � 
Logo: +��� = 	 < 	/
00	6)	�	 < �	89	�	 > . 	6)	� ≤ �	 ≤ . 
 
 A função de distribuição de X é dada por: 
+��� = 	; 1. − ��0 ,6 = 	� − �. − � 
 
Logo: 
f(x) = = 0	6)	�	 ≤ ��
0/
0 	6)	� < � < .1	6)	�	 ≥ . 
 
e seu gráfico é: 
 
� A média de X é dada por: 
E (X) = ?	@	AB 
� A Variância de X é dada por: 
VAR (X) = �?
A�²DB 
 
2.2 Distribuição Exponencial. 
A distribuição exponencial é aplicada a dados com forte assimetria. Também é um caso 
especial da distribuição gama com λ= 1. Uma variável aleatória contínua X tem 
distribuição exponencial de probabilidade se sua f.d.p é dada por: 
+��� = 	 EF	)
G�	6)	�	 ≥ 0H	6)	�	 < 0 
 
O gráfico da f.d.p de X é: 
 
A função de distribuição de X é: 
+��� = 	; F	)
GI�J ,6 = 	1 −	)
G� 
Logo : 
+��� = 	 E1 −	)
G�	6)	� > 00	6)	�	 ≤ 0 
 
E o gráfico é: 
 
� A média da distribuição de X é dada por: 
E (x) = 	G 
� A Variância de X é dada por: 
VAR (X) = DK²	
 
2.3 Distribuição Normal. 
É uma distribuição de probabilidade contínua, que é simétrica e a curva de freqüência 
em a forma de um sino, a média fica no centro da distribuição e o desvio padrão 
representa a forma da curva, mais pontiaguda ou mais achatada. Uma variável aleatória 
contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a sua f.d.p é dada por: 
+��� = 	 1L√2O )
	� P� − 	QL R ², ���� − ∞	 < �	 < 	+	∞ 
O gráfico de f(x) é: 
 
 
As principais características dessa função são: 
a) O ponto máximo de f(x) é o ponto X = Q. 
b) Os pontos de inflexão da função são X = Q + 	L	)	� = 	Q − 	L. 
c) A curva é simétrica com relação a Q. 
d) E (X) = Q e VAR (X) = L². 
Demonstra-se que * 	W√�X . )
Y� P�
	ZW R ²,� = 1	-
- 
 
Se quisermos calcular a probabilidade indicada na figura, devemos fazer: 
��� ≤ � ≤ .� = * 	W√�X . )
�[#\�²�]² ,�/0 	, 
que representa um grau relativo de dificuldade. Usaremos a seguinte notação: 
X: N(Q, L²� 
X tem distribuição normal com média Q e variância L². 
Seja X: N(Q, L²�, definimos: 
Z= 
^
ZW 
Demonstra-se que Z também tem distribuição normal. Z é chamada de Variável Normal 
Reduzida, Normal Padronizada ou Variável Normalizada. 
Mostraremos que E (Z) = 0 e VAR (Z) = 1 
E (Z) = E5��
Z�W _ = 	WE(X-	Q) = 	W 2���� − 	Q3 = 0 
VAR (Z) = VAR5��
Z�W _ = 	W²VAR(X-	Q) = 	W²VAR	�X� = 1 
Logo, se: 
X: N(Q, L²�, teremos Z : N(0,1) 
A f.d.p de Z é +�d� = 	 	√�X . )
e² �f , ���� − ∞	 < d	 < 	+	∞ 
Essa curva é também simétrica com relação à Qe. 
Verificaremos agora a correspondência entre X e Z por meio de exemplo: 
 
Seja X: N(20,4). Achar os valores reduzidos correspondentes a �	 = 14, �� = 16, �� = 
18, �g = 20, �h = 22, �i = 24 e �j = 26. 
Se X: N(20,4) 5Q = 20L = 2	 	) Z = ��
Z�W = ^
�J� 
a) �	 = 14 
k	 = 	g
�J� = -3 ∴ k	 =	−3 
b) �� = 16 
k� = 	i
�J� = -2 ∴ k� =	−2 
 
c) �� = 18 
k� = 	n
�J� = -1 ∴ k� =	−1 
 
d) �g = 20 
kg = �J
�J� = 0 ∴ kg = 	0 
 
e) �h = 22 
kh = ��
�J� = 1 ∴ kh = 	1 
 
 
f) �i = 24 
ki = �g
�J� = 2 ∴ kh = 	2 
 
 
g) �j = 26 
kj = �i
�J� = 3 ∴ kj = 	3 
 
 
Graficamente: 
opq
pr	gs	tu	
�v	is	tu	
�v	ns	tu	
v�Js	tu	��s	tu@	v�wx	yuz�{�|x	yuz}{
 
 
opq
pr
�s	t~	
�v
�s	t~	
�v
	s	t~	
vJs	t~		s	t~@	v�x	y~z	�{}x	y~z	}{
 
 
Concluímos que a variável Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada 
da média. Como as curvas são simétricas em relação às médias. 
 �	�Q − 	L	 ≤ �	 ≤ 	Q� = 	��	Q	 ≤ �	 ≤ 	Q + 	L� 
 
 �	�−1	 ≤ k	 ≤ 	0� = 	��0	 ≤ �	 ≤ 	1� 
Também concluímos que se X: N(Q, L²�, então : 
 �	��	 	≤ �	 ≤ 	��� = 	��k	 	≤ �	 ≤ 	k�� 
 
 
Pois: 
�	��	 	≤ �	 ≤ 	��� = * 	W√�X . )
Y�P[#\] R²,�^�^Y 
e 
�	�k	 	≤ �	 ≤ 	k��= * 1√2O . )−d² 2f ,d�Y 
onde 
k	= ��1
Z�W e k�= ��2
Z�W 
 
 
2.4 Distribuição do tipo Gama. 
Por ser um caso geral da distribuição exponencial e da distribuição qui-quadrado, a 
distribuição gama, à semelhança da distribuição normal, tem grande importância tanto 
na teoria estatística (como distribuição de probabilidade de estatísticas) quanto nas 
aplicações da metodologia estatística (como distribuição associada a populações 
estatísticas), fornecendo uma representação útil para muitas situações físicas. Como a 
soma de variáveis exponenciais independentes tem distribuição gama, torna-se 
adequada para a teoriados contadores aleatórios e outros processos estocásticos 
associados com o tempo, em particular, aqueles relativos às precipitações 
meteorológicas e aos estudos envolvendo tempos de vida de componentes. 
A distribuição gama é apropriada para modelar o tempo requerido para o acontecimento 
de exatamente α eventos independentes que ocorrem a uma taxa constante λ. Por 
exemplo, o tempo para falha de um sistema é uma variável gama se essa falha ocorre 
após exatamente α falhas menores, ocorrem independentemente a uma taxa constante λ. 
Essa característica torna a distribuição gama importante na modelagem estatística de 
problemas de fila, que trata com tempos em linhas de espera e tempos de serviço. 
Observa-se também que α e λ são parâmetros importantes no contexto. 
A distribuição gama é o caso geral de distribuições importantes, mas, ela própria, é um 
caso particular de outras famílias de distribuições. Mais especificamente, ela pertence à 
família exponencial ao tipo III da família personiana de distribuições e é também 
denominado como distribuição de Pearson tipo III. Em estudos hidrológicos é prática 
comum a utilização dessa distribuição para modelar o logaritmo da variável. Nesse caso, 
recebe o nome log-Pearson tipo III. 
A distribuição gama, na sua forma mais geral, possui três parâmetros: um parâmetro de 
deslocamento θ, um parâmetro de dispersão β e um parâmetro de formato β, todos 
positivos. Nesse caso, a indicação é: 
y ~ Gama (θ, β, α) 
A figura abaixo ilustra a distribuição para α = 2, β = 1 e θ = (0, 2, 4). 
 
A distribuição é nula no parâmetro de deslocamento e tem um único ponto de máximo 
em w = θ + β(α - 1). No caso de um parâmetro a moda ocorre em w = α - 1, com α ≥ 1. 
A distribuição gama pertence à família localização-dispersão. Desse modo, fazendo x = 
y - θβ , então: 
x ~ Gama (α) 
é a forma padrão da distribuição gama e resta apenas o parâmetro de formato. Se α ≤ 1 a 
distribuição tem o formato de um J invertido, ou seja, cresce indefinidamente quando 
w→0 e decresce mono tonicamente quando w → ∞. A figura que segue ilustra a forma 
padrão (θ = 0 e β = 1) para α = 1/3, 1/2, 1, 2, 4, 6. 
 
Outra forma comum inclui os parâmetros de dispersão e formato, ou seja, θ=0. Nesse 
caso, a distribuição é representada como: 
y ~ Gama (α , β) 
A figura que segue ilustra a distribuição gama com α = 2 e β = 2, 4, 6. 
 
Em algumas situações, ao invés do parâmetro de dispersão β, é utilizado o parâmetro de 
taxa λ=1/β. 
� Função de probabilidade: 
 
� Média: 
 
� Variância: 
 
2. 5 Distribuição do tipo Qui-Quadrado. 
A distribuição qui-quadrado é uma distribuição contínua de grande importância para a 
inferência estatística. É uma distribuição que surge no contexto de somas de quadrados 
de variáveis aleatórias com distribuição normal. Uma variável qui-quadrado aparece em 
numerosas situações da inferência estatística: 
- Análise de tabelas de contingência. 
- Verificação da qualidade de ajustamento de modelos estatísticos e modelos 
probabilísticos aos dados estatísticos. 
- Serve como base para obtenção de outras distribuições relevantes da estatística 
clássica, como a distribuição F e a distribuição t. 
- Aproximação para muitos procedimentos de inferência na estatística não paramétrica. 
Uma variável qui-quadrado é a soma das variáveis aleatórias independentes com a 
distribuição normal padrão. Assim, a função de densidade da distribuição qui-quadrado 
pode ser obtida considerando-se a distribuição de q = z2, quando z ~ N(0,1), ou seja, 
quando z tem distribuição normal padrão. Posteriormente, pode-se considerar a 
distribuição de q = z12+z22 quando d€ ~‚��ƒ„�0,1�, j∈1:2 e, finalmente, quando 
 � = ∑ d€�€∈	:‡ quando d€ ~‚��ƒN(0,1), j∈1: ν 
Nesse caso, diz-se que q tem distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade e 
representa-se como: 
q ~ χ2(ν) 
� Função probabilidade quando α = υ/2 e β = 2, com v > 0 inteiro: 
 
� Média: 
E(q) = ν 
� Variância: 
������ = L�� = 2ˆ 
 
 
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Disponível em: 
<http://matematiques.sites.uol.com.br/pereirafreitas/1.3variaveisoudados.htm>. Acesso 
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Disponível em: 
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SÃO PAULO. Sistema Galileu de Educação Estatística. Usp (Org.). Distribuições de 
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SÃO PAULO. Sistema Galileu de Educação Estatística. Usp (Org.). Distribuições de 
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RS. Rossana Fraga Benites. Pucrs. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE 
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SÃO PAULO. Instituto de Ciências Atmosféricas. Usp. Distribuição Exponencial. 
Disponível em: 
<http://www.dca.iag.usp.br/www/material/morales/Climatologia1/Aula_6_Distribui%E
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