Calculo 1 - 2º estagio 06.2

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologia - CCT
Unidade Acadeˆmica de Matema´tica e Estat´ıstica - UAME
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - Tarde
Prova 2◦ Esta´gio Data: 25 de setembro de 2006.
Professor(a):
Aluno(a): Nota:
Boa Prova!
1. (3.0 ptos) Determine dydx , onde
1.1 y = tg5 3
√
2x+ 3 1.2 y = (x+3)
6
arcsen(x2+2x) 1.3 sec(x
2y) = x+ 3y2
2. (1.0 ptos) Seja f(x) = 4x
2−1
2x+1 . Encontre os intervalos onde a func¸a˜o f e´ crescente ou decrescente.
3. (2.0 ptos) Seja y = f(x) uma func¸a˜o que satisfaz as propriedades dadas na tabela abaixo.
x y derivadas
x < −2 y′ < 0, y” > 0
−2 −2 y′ = 0, y” > 0
−2 < x < 0 y′ > 0, y” > 0
0 0 y′ > 0, y” = 0
0 < x < 1 y′ > 0, y” < 0
1 3 y′ = 0, y” < 0
1 < x < 2 y′ < 0, y” < 0
2 0 y′ < 0, y” = 0
2 < x < 3 y′ < 0, y” > 0
3 −1 y′ = 0, y” > 0
x > 3 y′ > 0, y” > 0
Determine:
3.1 Os pontos cr´ıticos de f ;
3.2 Os intervalos onde o gra´fico da func¸a˜o e´
coˆncavo para baixo ou coˆncavo para cima;
3.3 Esboce o gra´fico de f .
4. (2.0 ptos) Dois postes verticais de 2m e 2, 5m de altura distam 3m
um do outro. Determine o comprimento do menor cabo que,
partindo do topo de um dos postes, toque o solo e termine no
topo do outro poste.(Veja figura ao lado).
2,5 m2 m
3 m
5. (2.0 ptos) Calcule as integrais abaixo.
5.1
∫
(x
1
2 + x−2 − x3) dx 5.2 ∫ 3x 3√x2 + 1 dx 5.2 ∫ sen23x dx.
5.4
∫
sen(2x− 1) cos(2x− 1)√2 + sen2(2x− 1) dx (sugesta˜o: fac¸a u = 2+ sen2(2x− 1) )
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologia - CCT
Unidade Acadeˆmica de Matema´tica e Estat´ıstica - UAME
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I - Manha˜
Prova 2◦ Esta´gio Data: 25 de setembro de 2006.
Professor(a):
Aluno(a): Nota:
Boa Prova!
1. (3.0 ptos) Seja f(x) = x4 − 8x2. Determine:
1.1 Os pontos cr´ıticos de f ;
1.2 Os intervalos onde f e´ crescente ou decrescente;
1.3 Onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e onde e´ coˆncavo para baixo;
1.4 Os pontos de inflexa˜o de f ;
1.5 O esboc¸o do gra´fico de f .
2. (3.0 ptos) Derive as func¸o˜es abaixo
2.1 y = sen5(cos(x3))
2.2 y = arccos
√
1−4x2
(3x+1)2
2.3 y = tg( 1
x2+2x+3
)
3. (2.0 ptos) Pretende-se inscrever um retaˆngulo em um triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles cuja hipotenusa
tem 2 unidades de comprimento (Veja Figura abaixo). Qual a maior a´rea poss´ıvel para o
retaˆngulo? Quais sa˜o suas dimenso˜es?
0
y
x1
−1
4. (2.0 ptos) Calcule as integrais abaixo.
5.1
∫
(x9 + 3
√
x2 − x−2) dx
5.2
∫ sec(1+ 3√x2)tg(1+ 3√x2)
3√x dx, (sugesta˜o: fac¸a u = 1 +
3
√
x2)
5.3
∫ 2 senxcosx
1+sen4x dx, (sugesta˜o: fac¸a u = sen
2x).
5.4
∫ x√
1−(x2+1)2 dx