Geometria Analítica - 2018-01

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Sérgio Miller Cosendey nasceu no município de Santo Antônio de Pádua, 
noroeste do RJ, em 17/08/1961. Cursou as graduações de Engenharia Metalúrgica e 
de Engenharia Civil, na Universidade Federal Fluminense (UFF). Também tem as 
graduações em Licenciatura Plena em Química e em Licenciatura Plena em Física. 
Fez as pós-graduações (Lato Sensu) em Engenharia de Segurança do Trabalho, 
Gestão e Supervisão Educacional e Análise de Sistemas. Tem o Curso MILLER 
COSENDEY, em Santo Antônio de Pádua, desde 1995, com turmas de reforço 
escolar, pré-vestibular e concursos públicos, com excelentes índices de 
aprovação. Leciona na Faculdade Redentor desde julho de 2009. Atualmente, faz 
Mestrado Profissional em Matemática, na UENF, em Campos. Sempre se orgulhou 
dos 34 anos dedicados à educação como professor. 
 Sérgio Miller Cosendey 
 
Sobre o autor (a) 
 
 
Paula Aparecida Aquiles do Valle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A coautora do caderno de estudos é a professora Paula Aparecida Aquiles do 
Valle, Mestre em matemática pela Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy 
Ribeiro (2015). Especialista em Docência do Ensino Superior pela UniRedentor 
(2011). Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (2008). 
Atuou como professora de Matemática no ensino fundamental, na Escola de Aplicação 
São José (2009-2010), como professora do ensino fundamental e médio no Colégio 
Redentor (2009 – 2013) e no Colégio Batista (2009 – 2011). Atua como professora na 
UniRedentor desde de 2011.Tem experiência na área de Matemática. 
 
Sobre a autor (a) 
 
 
 
Apresentação 
 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Damos início ao nosso estudo em Geometria Analítica. G.A (Geometria 
analítica) faz parte das disciplinas do curso básico, logo veremos alguns conteúdos 
trabalhados no ensino Médio, tais como: Estudo do ponto, da reta e das cônicas. 
Nossa disciplina está dividida em 16 aulas, tais aulas apresentam exemplos 
comentados. Para um bom aproveitamento deste material é muito importante que 
você compreenda bem os exemplos e refaça todos os exercícios resolvidos até que 
os conceitos sejam assimilados. 
Este material auxiliará os estudantes de Engenharia na disciplina de Geometria 
Analítica. Optou-se por uma linguagem simples e informal. A teoria foi apresentada, 
em pequenas doses, acompanhada de exercícios no final de cada módulo. 
Aos que nos honrarem com sua leitura, seriam de grande utilidade as críticas e 
sugestões sobre este trabalho. 
Agradecimentos ao meu filho Gustavo Mello Cosendey, estudante de 
Engenharia Civil, pelo seu incentivo e colaboração na elaboração desta tarefa. 
 
Esperamos que, ao completar as aulas desta disciplina, você tenha logrado 
êxito nos estudos, equipando-se, assim, de conteúdo e entusiasmo para os futuros 
desafios de seu curso e de sua profissão. 
 
Bom estudo! Sucesso!!! 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
A Geometria Analítica é a parte da matemática aplicada que tem como 
objetivo unir os conceitos de álgebra e de geometria. A disciplina Geometria Analítica 
visa proporcionar uma formação básica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
 Despertar a curiosidade e o interesse pela geometria analítica. 
 Criar hábitos que proporcionem conhecimentos necessários para 
a explicação dos teoremas. 
 Estimular a capacidade de observação, comparação e conclusão 
necessárias para o aprimoramento do espírito lógico, 
proporcionando conhecimentos necessários. 
 Desenvolver o raciocínio indutivo e dedutivo, indispensável para a 
vida profissional. 
 Reconhecer a presença da geometria analítica no cotidiano, como 
uma forma de melhorar a qualidade de vida. 
 
 
 
Sumário 
 
 
AULA 1 - PONTO E RETA 
1 PONTO E RETA ..................................................................................................... 14 
1.1 Distância entre duas figuras ............................................................................ 14 
1.2 Sistema Cartesiano Ortogonal ........................................................................ 18 
1.3 Distância entre dois pontos ............................................................................. 21 
1.4 Ponto Médio de um segmento......................................................................... 24 
1.5 Definição de Lugar Geométrico ....................................................................... 27 
1.6 Área do triângulo ............................................................................................ 30 
1.7 Condição de Alinhamento ............................................................................... 33 
 
AULA 2 - ESTUDO DA RETA 
2 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA RETA .................................................................. 46 
2.1 Equação Geral da Reta .................................................................................. 46 
2.2 Equação Reduzida da reta .............................................................................. 47 
2.3 Coeficiente angular (m)................................................................................... 49 
2.4 Coeficiente linear (h)....................................................................................... 51 
2.5 Posições relativas entre duas retas ................................................................. 52 
2.6 Equação da reta que passa por P ................................................................... 55 
 
AULA 3 - PARALELISMO E PERPENDICULARISMO 
3 POSIÇÕES: PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ........................................ 66 
3.1 Paralelismo .................................................................................................... 66 
3.2 Perpendicularismo .......................................................................................... 68 
3.3 Distância de um ponto à reta .......................................................................... 70 
 
AULA 4 - SUPERFÍCIES CÔNICAS: ESTUDO DA ELIPSE 
4 SUPERFÍCIES CÔNICAS: ELIPSE ......................................................................... 83 
4.1 Estudo das Cônicas ........................................................................................ 83 
 Interseções planas numa superfície plana ............................................ 83 
4.2 Definição de elipse ......................................................................................... 83 
4.3 Elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo Ox ............................... 83 
 Elementos da elipse ............................................................................ 84 
 Caso especial: Circunferência .............................................................. 92 
4.4 Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo Ox .................. 94 
 
 
 Elementos da elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao 
eixo Ox .......................................................................................................... 95 
 Excentricidade ................................................................................... 100 
4.5 Elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo Oy ............................. 101 
 Elementos da elipse .......................................................................... 101 
4.6 Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo Oy ................ 105 
 Elementos da elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao 
eixo Oy ........................................................................................................ 105 
 Equação geral das Cônicas ............................................................... 111 
 Equação geral da Elipse .................................................................... 111 
 
AULA 5 - SUPERFÍCIES CÔNICAS: ESTUDO DA HIPÉRBOLE 
5 SUPERFÍCIES CÔNICAS: HIPÉRBOLE............................................................... 124 
5.1 Hipérbole ..................................................................................................... 124 
 Definição de hipérbole ....................................................................... 124 
 Método de construção da hipérbole a partir dos focos e do eixo. ......... 124 
 Equações .......................................................................................... 125 
5.2 Hipérbole com centro na origem e eixo maior sobre o eixo Ox ....................... 125 
 Elementos da hipérbole ..................................................................... 125 
5.3 Hipérbole com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo Ox ........... 132 
 Elementos da hipérbole com centro fora da origem e eixo maior paralelo 
ao eixo Ox .................................................................................................... 133 
5.4 Hipérbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo Oy .......................... 138 
 Elementos da hipérbole. .................................................................... 139 
5.5 Hipérbole com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo Oy ........... 143 
 Elementos da hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo ao 
eixo Oy ........................................................................................................ 143 
 Excentricidade ................................................................................... 148 
 Hipérbole equilátera........................................................................... 148 
 Equação geral da hipérbole ............................................................... 148 
 
AULA 6 - SUPERFÍCIES CÔNICAS: ESTUDO DA PARÁBOLA 
6 SUPERFÍCIES CÔNICAS: PARÁBOLA ................................................................ 156 
6.1 Parábola ...................................................................................................... 156 
 Método de construção da parábola a partir da diretriz e do foco. ......... 164 
 Equações: ......................................................................................... 165 
 Excentricidade ................................................................................... 182 
 
 
 Equação geral da parábola ................................................................ 182 
 
AULA 7 - TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 
7 INTRODUÇÃO À TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ................................ 191 
7.1 Transformação de coordenadas .................................................................... 191 
 
AULA 8 - REVISÃO 
8 REVISÃO ............................................................................................................. 206 
 
AULA 9 - COORDENADAS POLARES E RETANGULARES 
9 INTRODUÇÃO À COORDENADAS POLARES E RETANGULARES .................... 227 
9.1 Coordenadas Polares ................................................................................... 227 
9.2 Relações entre coordenadas retangulares e coordenadas polares ................. 228 
 
AULA 10 - EQUAÇÕES POLARES: LINHA RETA, CIRCUNFERÊNCIA E DISTÂNCIA 
ENTRE DOIS PONTOS 
10 EQUAÇÕES POLARES ........................................................................................ 238 
10.1 Linha reta ................................................................................................... 238 
10.2 Circunferência ............................................................................................. 239 
10.3 Distância entre pontos ................................................................................. 242 
 
AULA 11 - EQUAÇÃO POLAR E PONTO DE INTERSEÇÃO 
11 EQUAÇÃO POLAR E PONTO DE INTERSEÇÃO ................................................. 249 
11.1 Equação polar de uma cônica ...................................................................... 249 
11.2 Pontos de interseção ................................................................................... 252 
 
AULA 12 - SUPERFÍCIES 
12 INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES ........................................................................ 261 
12.1 Superfície ................................................................................................... 261 
12.2 Discussão da equação de uma superfície .................................................... 261 
12.3 Superfícies quádricas .................................................................................. 263 
 
AULA 13 - SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: ELIPSÓIDE 
13 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: ELIPSÓIDE ............................................................ 271 
13.1 Elipsoide ..................................................................................................... 271 
 
 
 
 
AULA 14 - SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: HIPÉRBOLE 
14 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: HIPÉRBOLE........................................................... 284 
14.1 Hiperboloide de uma folha ........................................................................... 284 
 Seções planas dos hiperboloides de uma folha. ................................ 285 
14.2 Hiperboloide de duas folhas ........................................................................ 286 
 
AULA 15 - SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: PARABOLOIDE 
15 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS: PARABOLOIDE ..................................................... 299 
15.1 Paraboloide elíptico ..................................................................................... 299 
15.2 Paraboloide hiperbólico ............................................................................... 301 
 
AULA 16 - COORDENADAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS 
16 COORDENADAS CILÍNDRICAS ESFÉRICAS ...................................................... 314 
16.1 Coordenadas cilíndricas .............................................................................. 314 
16.2 Coordenadas esféricas ................................................................................ 317 
 
 
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
Aula 1 
Ponto e Reta 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
A analítica resolve problemas de geometria plana com o auxílio da álgebra. 
Será mostrada a correspondência biunívoca entre pontos do plano e pares ordenados 
de números reais. Cada ponto passa a ser um par ordenado de números reais. Com 
esses números, escrevemos equações e damos um tratamento algébrico aos 
problemas de geometria. 
Nesta aula, apresentaremos alguns conceitos importantes para toda a 
disciplina. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Calcular a distância entre dois pontos; 
 Calcular coordenadas do ponto médio; 
 Calcular área do triângulo; 
 Saber condição de alinhamento; 
 Conhecer equação da reta; 
 Resolver problemas envolvendo reta. 
 
 
1 PONTO E RETA 
No século XVII, René Descartes, iniciou os 
primeiros estudos de Geometria Analítica (G.A). No 
mesmo século, Pierre de Fermat foi o primeiro a 
aplicar a Geometria Analítica ao espaço 
tridimensional. 
Tendo em vistas esses feitos, alguns autores 
atribuem a descoberta da Geometria Analítica aos 
filósofos citados acima. 
A G.A é uma área da matemática na qual 
correlaciona a álgebra com a geometria. 
 Distância entre duas figuras 
Quando há duas figuras planas, a distância d entre elas é a menor medida de 
segmento de reta entre cada figura. 
Figura 1: Distância entre duas figuras. 
 
 
 
 
 
René Descartes 
(1596-1650), matemático e 
filósofo francês é considerado 
o criador da Geometria 
Analítica, por ter sido quem 
primeiro utilizou o sistema de 
coordenadas que hoje leva 
seu nome em problemas de 
Geometria. Em filosofia, sua 
obra se destacou 
principalmente pelo tratado 
Discurso sobre o Método. 
 
 
 
Exemplos: 
a) Ponto e reta: 
Figura 2: Ponto e reta. 
 
 
d é a distância entre o ponto e a reta. 
 
 Podemos observar na Figura 3 que os segmentos54321 ,,,, ddddd e 6d 
são, respectivamente, as hipotenusas dos triângulos 
54321 ,,,, PHHPHHPHHPHHPHH
 e 
6PHH . 
A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo. Logo o segmento d, 
perpendicular à reta, é o menor segmento que podemos traçar. 
Figura 3: Ponto e reta, segmentos. 
 
 
 
 
 
b) Retas paralelas: 
Figura 4: Retas paralelas. 
 
 
Para encontrarmos a distância entre duas retas paralelas, basta traçar um 
segmento perpendicular em algum ponto de uma das retas. 
 
c) Retas concorrentes: 
Figura 5: Retas concorrentes. 
 
 
d é a menor distância entre as retas r e s. 
 
 
Figura 6: Retas concorrentes. 
 
 
 Como podemos observar (Figura 6) a menor distância entre as retas, r e s, 
encontra-se no ponto P. Como P é o ponto de intercessão entre as retas, e o valor da 
distância de um ponto a ele mesmo é igual 0, podemos afirmar que a distância entre 
r e s também é igual a 0. 
 
d) Ponto e circunferência: 
Figura 7: Ponto e circunferência. 
 
 
Para encontrar a distância entre ponto e a circunferência (Figura 7), basta fazer 
a subtração entre OP e o raio. 
rOPd  
 
(1) 
 
 
e) Reta e circunferência: 
Figura 8: Reta e circunferência. 
 
 
A distância entre reta e circunferência pode ser encontrada fazendo a subtração 
entre a distância do ponto O à reta s e o raio. 
rdd Os  
 
 Sistema Cartesiano Ortogonal 
Seja um plano determinado por dois eixos “Ox e Oy”, perpendiculares em O. 
Considere um ponto (P) qualquer do plano. 
Figura 9: Plano determinado por eixos perpendiculares. 
 
 
Chamamos de abscissa do ponto P o número real x. 
(2) 
 
 
Chamamos de ordenada do ponto P o número real y. 
Coordenadas de P são os números reais x e y indicados na forma (x,y) de um 
par ordenado. 
O eixo do x (Ox) é chamado eixo das abscissas. 
O eixo dos y (Oy) é chamado eixo das ordenadas. 
O plano formado pelo par de eixos x e y é chamado sistema cartesiano 
ortogonal. 
O ponto 0 é a origem cuja coordenadas são x= 0 e y = 0. 
Os eixos x e y determinam, no plano cartesiano, quatro regiões angulares que 
serão denominadas quadrantes. 
Figura 10 
 
 
A marcação dos quadrantes é feita no sentido anti-horário (Figura 10). 
 
Fica fácil dizer a localização de um ponto através de suas coordenadas. A 
Figura 11 apresenta os sinais de x e y em cada quadrante. 
Figura 11 
 
 
Localização de um ponto no plano cartesiano de acordo com suas coordenadas: 
 
 
Tabela 1: Coordenadas do plano cartesiano. 
 Abscissa (x) Ordenada (y) 
1º Quadrante Positiva Positiva 
2º Quadrante Negativa Positiva 
3º Quadrante Negativa Positiva 
4º Quadrante Positiva Negativa 
 
Exemplo 1 – Vamos determinar a localização, no plano cartesiano, dos pontos 
abaixo: 
a) )3,2(A 
 Resolução: O ponto A tem abscissa 2 e ordenada 3. 
 
 Abscissa – negativa 
 Ordenada – positiva 
b) )3,7( B 
Resolução: O ponto A tem abscissa 7 e ordenada 3 . 
 
 Abscissa – positiva 
 Ordenada – negativa 
c) )1,9(C 
Resolução: O ponto A tem abscissa 9 e ordenada 1. 
 
 Abscissa – positiva 
 Ordenada – positiva 
d) )0,12(B 
Resolução: O ponto A tem abscissa 12 e ordenada 0 . 
 
 Abscissa – positiva 
 Ordenada – nula 
 
Atenção: Quando uma das coordenadas for nula, o ponto estará situado sobre 
um dos eixos de coordenadas. 
0)0,(  yxP . O ponto P está localizado sobre o eixo x (Ox). 
0),0(  xyP . O ponto P está localizado sobre o eixo y (Oy). 
2º Quadrante 
4º Quadrante 
1º Quadrante 
Eixo x 
 
 
 Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos é definida pelo menor segmento de reta que os 
liga. 
Na Figura 12, d é a distância entre ),( aa yxA e ),( bb yxB . 
Figura 12 
 
 
Demonstração da fórmula: 
Figura 13 
 
 
Observando a Figura 13, temos: 
dAB  , 
ab xxAC  e ab yyBC  . 
 
 
 
O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos aplicar o teorema de 
Pitágoras. 
dAB  é a hipotenusa; 
 
ab xxAC  e ab yyBC  são catetos. 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
)²()²(²
222
abab yyxxd
BCACAB

 
 
 
 
Exemplo 1.1 – Determine a distância entre os pontos )1,2( A e )3,5(B . 
Resolução: Vamos substituir as coordenadas de A e B na fórmula (3). 
5
25
169
)²4()²3(
)²13()²25(
))²1(3()²25(
)²()²(
)3,5(),( )1,2(),(








d
d
d
d
d
d
yyxxd
ByxBAyxA
abab
bbaa
 
O valor da distância entre A e B é de 5 u.c (unidade de comprimento). 
 
Exemplo 1.2 – Encontre a abscissa de B , sabendo que a distância entre 
)7,1(A e )5,( xB vale 13u.c. 
Resolução: Vamos substituir as coordenadas de A e B na fórmula (3) e igualar 
a 13. 
 
 
 
)²()²( abab yyxxd  
(1.3) 
 
 
13144)²1(
13)²12()²1(
13)²75())²1((
13)²()²(
)5,(),( )7,1(),(





x
x
x
yyxxd
xByxBAyxA
abab
bbaa
 
 
Precisamos cancelar o radical, para isso, basta elevar os dois membros da 
equação ao quadrado. 
0242²
016914412²
16914412²
169144)²1(
²13144)²1((





xx
xx
xx
x
x
 
 
Resolvendo a equação de segundo grau, 0242²  xx , temos: 
 
4
2
8
2
102
'
6
2
12
2
102
''2
102
1.2
1002
2
100
964
)24.(1.4²2
..4²
242,1
0242²




















x
x
x
x
a
b
x
cab
ceba
xx
 
 
A abscissa de B poderá assumir dois valores: 4x ou 6x . 
 
 
 Ponto Médio de um segmento 
Figura 14 
 
 
Um segmento de reta é composto por uma infinidade de pontos. Dentre esses 
pontos existe um que divide o segmento ao meio. Chamaremos esse ponto de ponto 
médio do segmento. 
Demonstração da fórmula. 
Como MBAM  , pelo teorema de Tales temos que NCAN  e 
PCBP  . 
AM xxAN  e MB xxNC  
BAM
BAMM
MBAM
xxx
xxxx
xxxx
NCAN




2
 
2
BA
M
xx
x

 
e 
AM yyPC  e MB yyBP  
(4) 
 
 
BAM
BAMM
MBAM
yyy
yyyy
yyyy
BPPC




2
 
2
BA
M
yy
y

 
Então, 
 
 
 
 
Exemplo 1.3 - Metodologia: Absorção de Luz por Corpos Escuros. 
Dois bulbos de lâmpadas incandescentes e transparentes são pintados um com 
tinta branca e outro com tinta preta, são retirados os filamentos, restando apenas os 
bulbos vazios unidos por um tubo de silicone transparente e com um líquido colorido 
dentro, esse sistema é todo vedado para que não haja vazamentos. Abaixo uma 
imagem de como fica a estrutura do experimento: 
Figura 15 
 
 
Acende-se uma lâmpada de 100 W próxima aos bulbos e equidistante deles. 
Como a quantidade de radiação recebida pelos bulbos são iguais, adquirirá maior 
pressão interna aquele que apresentar maior aquecimento, fazendo com que o líquido 
dentro do tubo se mova na direção da seta vermelha, denotando a maior absorção da 
radiação incidente. 
Fonte: Disponível em: 
<http://www.prp.rei.unicamp.br/pibic/congressos/xixcongresso/paineis/103467.pdf>. Acesso em: 10 
set. 2017. 
(5) 
(6) 




 

2
,
2
BABA
M
yyxx
P 
http://www.prp.rei.unicamp.br/pibic/congressos/xixcongresso/paineis/103467.pdf
 
 
Supondo que os dois bulbos, vazios, de lâmpadas incandescentes encontram-
se localizados nos pontos )5,3(A e )9,11(B , determine a localização da lâmpada 
de 100W. 
Resolução: O primeiro passo é interpretar o enunciado! Como a lâmpada fica 
próxima aos bulbos e equidistante (mesma distância) deles. Podemos afirmar que a 
localização da lâmpada é o ponto médio entre )5,3(A e )9,11(B . 
 
)9,11(),( )5,3(),( ByxBAyxA BBAA  
 
Aplicando a fórmula do ponto médio: 





 

2
,
2
BABA
M
yyxx
P 
 
 7,4
2
14
,
2
8
2
95
,
2
113













 
MP
 
 
A localização da lâmpadaé no ponto  7,4 . 
 
Exemplo 1.4 – Encontre as coordenadas do ponto  yxB , , sabendo que 
 7,12P é o ponto médio entre  9,3A e o ponto B. 
Resolução: 
),(),( )9,3(),( yxByxBAyxA BBAA  e    7,12,  PyxP MM 
 
Aplicando a fórmula do ponto médio: 
 




 

2
,
2
BABA
M
yyxx
P 
 
 
 
27
324
243
2
3
12
2







x
x
x
x
xx
x BAM
 
5
914
149
2
9
7
2







y
y
y
y
yy
y BAM
 
 
 
 Definição de Lugar Geométrico 
Uma figura é um lugar geométrico, se (e somente se) todos os seus pontos – e 
apenas eles – possuem certa propriedade. 
Os principais lugares geométricos são: 
a) Circunferência 
Figura 16 
 
 
Qualquer ponto de circunferência está a uma distância r do ponto 0. 
 
b) Paralelas 
 5,27B 
 
 
O lugar geométrico dos pontos de um plano - que distam uma constante k dada 
de uma reta r desse plano - é o par de retas paralelas à reta r e a uma distância k da 
mesma. 
 
c) Mediatriz 
A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos de um plano, que equidistam dos 
extremos de um segmento deste plano. 
Figura 17 
 
 
d) Par de retas perpendiculares 
Figura 18 
 
 
O lugar geométrico dos pontos de um plano - que equidistam de duas retas 
concorrentes deste plano - é um par de retas perpendiculares entre si que contém as 
bissetrizes dos ângulos formados pelas concorrentes. 
 
 
 
Exemplo 1.5 – Determine a equação do lugar geométrico dos pontos que 
distam 4 unidades de  3,2A . 
Resolução: A distância de um ponto qualquer ),( yxP ao ponto A é igual a 
4. 
4APd . 
 
4²)3()²2(
4²)3())²2((
²)()²( ;;



yx
yx
yyxxd ABAB
 
 
Elevando ao quadrado os dois membros, temos: 
0364²²
0169464²²
1696²44²
16)²3()²2(
²4²)²)3()²2((





yxyx
yxyx
yyxx
yx
yx
 
 
Logo, a equação do lugar geométrico é 0364²²  yxyx . 
 
Exemplo 1.6 - Determine a equação do lugar geométrico dos pontos 
equidistantes de )7,2(A e )4,5( B . 
Resolução: A distância de um ponto qualquer ),( yxP ao ponto A é igual a 
distância de P a B . 
BPAP dd  . 
 
²)4()²5(²))4(()²5(
²)7()²2(
²)()²( ;;



yxyxd
yxd
yyxxd
BP
AP
ABAB
 
 
 
 
Igualando 
APd a BPd . 
²)4()²5(²)7()²2( 

yxyx
dd BPAP 
 
Elevando ao quadrado os dois membros, temos: 
06113
)2(012226
01625494814104
168²2510²4914²44²
)²4()²5()²7()²2(
²)²)4()²5((²)²)7()²2((






yx
yx
yyxx
yyxxyyxx
yxyx
yxyx
 
 
A equação do lugar geométrico é 06113  yx . 
 Área do triângulo 
A área do triângulo ABC, dados três pontos ),( AA yxA , ),( BB yxB e 
),( CC yxC não colineares, é: 
Figura 19 
 
 
2
D
A  
 
 
 
Onde D é o determinante formado pelos pontos A, B, C e uma coluna de 
elementos iguais a 1. 
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D 
 
 
Exemplo 1.7 - Determine a área do triângulo ABC, dados )5,1( A , )3,2( B 
e )4,7( C . 
Resolução: 
)3,2(),( )5,1(),(  ByxBAyxA BBAA e    4,7,  PyxC CC 
Vamos achar o determinante D aplicando a regra de Sarrus. 
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D 
 
 
147
132
151



D
 
 
Aplicando a regra, temos: 
11104218353
47
32
51
147
132
151







D
 
 
Sarrus: Repete as duas primeiras colunas (ou linhas) e multiplica no sentido 
das diagonais principal e secundária. 
Obs.: A multiplicação no sentido da diagonal principal o sinal é mantido, já na 
secundária o sinal tem que ser mudado (positivo para negativo e negativo para 
positivo). 
A área do triângulo é: 
5,5
2
11
2
11
2



D
A 
 
 
 
O triângulo tem área igual a 5,5 u.a (unidade de área). 
 
Exemplo 1.8 - Determine a ordenada de A, sabendo que do triângulo ABC é 
igual a 3. Dados ),10( yA , )5,3( B e )0,2(C . 
Resolução: 
)5,3(),( ),10(),(  ByxByAyxA BBAA e    0,2, PyxC CC  
 
Vamos achar o determinante D aplicando a regra de Sarrus. 
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D 
 
 
102
153
110

y
D
 
 
Aplicando a regra, temos: 
4030100250
02
53
10
102
153
110
 yyy
yy
D
 
 
Substituindo na fórmula: 
640
2
40
3
2




y
y
D
A
 
 
Resolvendo a equação modular, temos: 
640  y ou 640  y 
 
 
46
46
406
640




y
y
y
y
 
34
34
406
640




y
y
y
y
 
 Condição de Alinhamento 
Se o determinante D é nulo, os pontos ),( ),,( BBAA yxByxA e ),( CC yxC 
estão alinhados. 
 
 
Exemplo 1.9 – Verifique se os pontos )3,7(A , )5,1(B e )2,9( C são 
colineares. 
Resolução: Pontos colineares, são pontos pertencentes à mesma reta. Logo 
A, B e C estão alinhados. 
 
 
 
Aplicando a regra de Sarrus, temos: 
723144522735
29
51
37
129
151
137





D
 
 
072 D 
 
Como 0D , podemos afirmar que os pontos não são alinhados. 
 
Exemplo 2.0 – Determine o valor de k, sabendo que os pontos A , B e C são 
colineares. Dados: )4,1(A , )3,(kB e )7,8( C . 
Resolução: Basta igualar o determinante a zero. 
047247323
78
3
41
178
13
141


 kkkkD
 
0D 
0D 
 
 
 
 
11
18
1811
11811
01847
047247323





k
k
k
kk
kk
 
 
Você deverá praticar os exercícios que envolva o conteúdo 
trabalhado na Aula 1. Faça todos os exemplos, trace gráficos no 
plano cartesiano para lhe ajudar na resolução dos exercícios; 
questione a teoria e, se possível, resolva outros exercícios. No 
livro Geometria Analítica do autor LEHMANN, C. H., você 
encontrará vários exemplos resolvidos e exercícios propostos. 
 
Caso haja alguma dúvida, em relação à teoria ou aos 
exercícios, entre em contato com o tutor da disciplina. Não se 
esqueça de consultar o material complementar, pois lá você 
encontrará várias maneiras de reforçar a aprendizagem do 
nosso conteúdo, tanto por consulta a outros sites, vídeos 
quanto por programas computacionais para o desenvolvimento 
dos exercícios de G.A. 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
 Distância entre duas figuras; 
 Sistema cartesiano; 
 Distância entre dois pontos; 
 Ponto Médio; 
 Lugar geométrico; 
 Área do triângulo pelos pontos do vértice; 
 Alinhamento de três pontos. 
 
 
 
 Complementar 
 
 
Brasil Escola, Plano cartesiano 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-
cartesiano.htm>. 
 
Professor Walisson, Sistema cartesiano e Localização de 
pontos 
<https://www.youtube.com/watch?v=WuLCbVVCEL4>. 
 
Brasil Escola, Distância entre dois pontos 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm>. 
 
Me Salva, Distância entre dois pontos 
<https://www.youtube.com/watch?v=Loiu_lpl_4M>. 
 
Brawn Exercícios, Cálculo da equação que satisfaz 
<http://www.brawnexercicios.com.br/2012/02/calculo-da-equacao-que-satisfaz.html>. 
 
ProfMat, Lugares Geométricos Básico I 
<https://www.youtube.com/watch?v=pZmxFgkVOY0>. 
 
Brasil Escola, Área de um triângulo 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-um-triangulo.html>. 
 
Me Salva, Alinhamento de 3 pontos 
<https://www.youtube.com/watch?v=-A6TGMjVd6I>. 
 
Me Salva, Determinante de 3ª ordem, Regra de Sarrus 
<https://www.youtube.com/watch?v=zp7726v2sfo>. 
 
 
 Assista aos vídeos da disciplina, são fundamentais para 
a sua aprendizagem! 
 
 Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na 
Secretaria Virtual da Blackboard! 
 
 Não acumule dúvidas! 
 
 Procure o professor da disciplina ou o tutor para 
esclarecer suas dúvidas. 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=WuLCbVVCEL4%3e.
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=WuLCbVVCEL4%3e.http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=Loiu_lpl_4M%3e.
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=Loiu_lpl_4M%3e.
http://www.brawnexercicios.com.br/2012/02/calculo-da-equacao-que-satisfaz.html
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=pZmxFgkVOY0%3e.
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=pZmxFgkVOY0%3e.
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-um-triangulo.htm
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=-A6TGMjVd6I%3e.
%3chttps:/www.youtube.com/watch?v=-A6TGMjVd6I%3e.
https://www.youtube.com/watch?v=zp7726v2sfo
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
 
Básica: 
BOULOS, P., OLIVEIRA, J. C. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1994. 
 
COSENDEY, S. M. Matemática. Santo Antônio de Pádua: Curso Miller 
Cosendey. v. 3 
 
LEHMANN, C. H. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Globo, 1994. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Harper &Row do Brasil, 
1977. 
 
MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas Geometria Analítica e 
Polinômios. São Paulo: Atual, 1997. 
 
SANTOS, F. J. e FERREIRA, S.F. Geometria Analítica. Porto Alegre: 
Bookman, 2009. 
 
SHENK, A. l. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro: Campus, 1990. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2007. 829 p. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2006. 
 
Complementar: 
CHANNEL, Warlisson. Aula 01 - Sistema cartesiano e localização de 
pontos. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=WuLCbVVCEL4>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
EXERCÍCIOS, Brawn. Exercício resolvido: Lugar Geométrico. Disponível em: 
<http://www.brawnexercicios.com.br/2012/02/calculo-da-equacao-que-satisfaz.html>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
NOÉ, Marcos. Plano Cartesiano. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em: 10 set. 
2017. 
 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Distância entre dois pontos. Disponível 
em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
PROFMAT. Lugares Geométricos Básicos I. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=pZmxFgkVOY0>. Acesso em: 10 set. 2017. 
 
RIGONATTO, Marcelo. Área do triângulo por meio da Geometria Analítica. 
Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-um-triangulo.html>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
 
www.redentor.edu.br 
 
SALVA, Me. Me Salva! GA03 - Distância entre 2 pontos: Exemplo 1. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=Loiu_lpl_4M>. Acesso em: 10 
set. 2017. 
 
SALVA, Me. Me Salva! GA12 - Geometria Analítica: Alinhamento de 3 pontos. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=-A6TGMjVd6I>. Acesso em: 10 
set. 2017. 
 
SALVA, Me. Me Salva! MDS10 - Matrizes - Determinantes de terceira ordem 
- Regra de Sarrus. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=zp7726v2sfo>. Acesso em: 10 set. 2017. 
 
 
 
 Exercícios 
Aula 1 
 
 
1) Os pontos A (-1,0), B (4,0) e C (5,3) são vértices 
consecutivos de um paralelogramo ABCD. Determinar a 
coordenada do vértice D. 
a) D (0,-1) 
b) D (0,5) 
c) D (3,0) 
d) D (0,3) 
e) D (0,-3) 
 
2) Calcule as coordenadas do ponto P(x,y), interior ao quadrado ABCD, 
sabendo-se que a área do triângulo APD é o dobro da área do triângulo PBC e 
que este tem área igual ao dobro da área do triângulo PDC. As coordenadas 
dos vértices do quadrado ABCD são: A (0,0), B (1,0), C (1,1) e D (0,1). 
a) P (2/3, 5/6) 
b) P (5/6, 2/3) 
c) P (- 2/3, 5/6) 
d) P (2/3, -5/6) 
e) P (-2/3, -5/6) 
 
3) Num quadrado ABCD, contido no 1º quadrante, temos: A (1,1) e B (3,1). 
Determine as coordenadas dos vértices C e D. 
a) C (-3,3) e D (1,3) 
b) C (3,3) e D (1,-3) 
c) C (3,-3) e D (1,3) 
d) C (3,3) e D (-1,3) 
e) C (3,3) e D (1,3) 
 
4) Considere os pontos do plano O (0,0), A (0,1), B (2,1), C (5,3) , D (7,3) e E 
(7,0). Representando geometricamente esses pontos no plano cartesiano e 
ligando-os por meio de segmentos de retas, obedecendo à sequência dada, após 
ligar o último ponto ao primeiro, obtém-se uma região limitada do plano. Se a 
unidade de medida é dada em centímetros, a área dessa região (em cm2) é: 
a) 12 cm2 
 
 
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b) 14 cm2 
c) 16 cm2 
d) 18 cm2 
e) 20 cm2 
 
5) Dados A (x,6), B (-1,4) e C (5,2); determine o valor de x, de modo que o 
triângulo ABC seja isósceles de base BC. 
a) x = 1 
b) x = 2 
c) x = 3 
d) x = 4 
e) x = 5 
 
6) Determine no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A 
(4,1) seja igual a 5. 
a) P (0,4) ou P (0,-2) 
b) P (0,-4) ou P (0,-2) 
c) P (0,-4) ou P (0,2) 
d) P (4,0) ou P (-2,0) 
e) P (0,4) ou P (0,2) 
 
7) Determine o ponto P do eixo das abscissas, equidistante dos pontos A(6,5) 
e B (-2,3). 
a) P (-3,0) 
b) P (0,3) 
c) P (3,0) 
d) P (0,-3) 
e) P (3,3) 
 
8) Determine o perímetro do triângulo ABC, dados: A (2,2), B (-2,1) e C (-1,6). 
a) 261/2 + 171/2 + 5 
b) 171/2 + 261/2 + 7 
c) 171/2 + 261/2 - 5 
d) 131/2 + 261/2 + 5 
 
 
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e) 171/2 + 261/2 + 5 
 
9) Em relação a um sistema cartesiano ortogonal, com os eixos graduados em 
quilômetros, uma lancha sai do ponto (-6,-4), navega 7 km para leste, 6 km para 
o norte e 3 km para oeste, encontrando um porto. Depois, continua a navegação, 
indo 3 km para norte e 4 km para leste, encontrando um outro porto. A distância, 
em km, entre os portos é: 
a) 4 km 
b) 5 km 
c) 6 km 
d) 7 km 
e) 8 km 
 
10) Dados os pontos A (-3,6) e B (7,-1), determine as coordenadas do ponto 
médio do segmento AB. 
a) M (2 , 1/2) 
b) M (2, 5) 
c) M (5/2, 2) 
d) M (2, 5/2) 
e) M (2, 3/2) 
 
11) Obter o baricentro do triângulo de vértices A (-2,3), B(5,2) e C(6,-8). 
a) G (3,-1) 
b) G (-3,-1) 
c) G (3,2) 
d) G (-3,1) 
e) G (3,-8) 
 
12) Sendo M (-2,5) o ponto médio do segmento AB, determine o ponto B (x,y) 
dado o ponto A(7,-1). 
a) B (11,-11) 
b) B (11,11) 
c) B (-11,11) 
d) B (-11,-11) 
 
 
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e) B (-1,1) 
 
13) Os pontos A (0,0), B (1,3) e C (10,0) são vértices consecutivos de um 
retângulo ABCD. Determinar as coordenadas do vértice D do retângulo. 
a) D (10,3) 
b) D (1,0) 
c) D (10,0) 
d) D (9,3) 
e) D (9,-3) 
 
14) Determine a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC, 
sendo A (4,6), B (5,1) e C (1,3). 
a) M (3,2) e 171/2 
b) M (2,3) e 171/2 
c) M (-3,-2) e 171/2 
d) M (-2,3) e 171/2 
e) M (-3,2) e 171/2 
 
15) Um topógrafo que se encontrava no portão de saída da escola foi chamado 
para medir a distância entre o local em que se encontrava até o latão de lixo 
reciclável M, equidistante de 2 latões (A e B) de lixo não reciclável da escola. As 
coordenadas são A (2,2) e B (4,8), e o local do topógrafo P (3,9). Considerando 
todas as coordenadas em metros, calcule a distância do portão de saída P ao 
ponto médio de AB, ou seja, o local do latão de lixo reciclável. 
a) 2 m 
b) 7 m 
c) 6 m 
d) 4 m 
e) 8 m 
 
16) Calcule a área do quadrilátero ABCD, dados: A (2,5), B (7,1), C (3,-4) e D (-
2,3). 
a) 35,5 
b) 37,5 
 
 
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c) 39,5 
d) 41,5 
e) 43,5 
 
17) Sejam A (a,b) , B (1,3) e C (-1,-1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine 
A de modo que A, B e C sejam colineares. 
a) A(-2,5) 
b) A(2,5) 
c) A(5,2) 
d) A(2,-5) 
e) A(-5,-2) 
 
18) Dados A (x,2), B(3,1) e C(-1,-2). Determine o valor de x sabendo que a área 
do triângulo ABC é igual a 4. 
a) x = 7 ou x = 5/3 
b) x = -7 ou x = 5/3 
c) x = 7 ou x = -5/3 
d) x = 7 ou x = 3/5 
e) x = -7 ou x = 3/5 
 
19) Para que valor de m, os pontos A (0,m), B(-2,4) e C(1,-3) estão alinhados ? 
a) m = - 1/3 
b) m = 3/2 
c) m = - 3/2 
d) m = - 2/3 
e) m = 2/3 
 
20) Num surto de dengue, o departamento de saúde de uma cidade quer que 
seus técnicos visitem todas as casas existentes na região limitada por um 
triângulo de vértices nos três focos em que a doença foi encontrada.Para facilitar 
essa ação, colocou o mapa da cidade sobre um plano cartesiano, com escala 
1:1 km, e verificou que os focos se localizavam sobre os pontos (2,5), (-3,4) e 
(2,-3). Como cada especialista será responsável por 2 km2 de área nessa região 
triangular, o número de técnicos necessários e suficientes será igual a: 
 
 
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 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
 
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 Aula 2 
Estudo da Reta 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula faremos o estudo da reta. 
Encontraremos a equação da reta através de dois 
pontos, ou um ponto e coeficiente angular ou um 
ponto e uma reta (paralela ou perpendicular à reta 
dada). 
Usaremos o conceito de declividade na 
resolução de situações do dia a dia. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Conhecer equação da reta; 
 Identificar os coeficientes: angular e linear; 
 Reconhecer os tipos de equações da reta; 
 Resolver problemas envolvendo reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Euclides, 
escrito por volta de 300 a.C 
é formado por 13 livros ou 
capítulos e reúne os 
conhecimentos de álgebra, 
aritmética e geometria. 
 
 
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2 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA RETA 
As retas fazem parte do chamado grupo de entes geométricos primitivos, 
entretanto não existe um conceito para elas. É de suma importância saber que uma reta 
só tem uma dimensão, que é o seu comprimento, é infinita. Representam-se as retas por 
letras minúsculas do alfabeto. 
Os estudos em Geometria Analítica mostram que uma reta pode ser representada 
em sua forma geométrica no plano cartesiano e também pode ser representada por uma 
equação. Euclides, em seus teoremas e postulados, fundamentalizava que uma reta há 
infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta. Sendo assim, 
estabelecemos que em uma reta os pontos são colineares. 
 Equação Geral da Reta 
Chamamos de equação geral da reta toda equação da forma 0 CByAx . 
Figura 20 
 
 
Sendo ),( yxP um ponto qualquer da reta r determinado pelos pontos distintos 
),( AA yxA e ),( BB yxB . 
P , A e B estão alinhados. Logo o determinante é igual a 0 (visto na aula 1). 
0
1
1
1

BB
AA
yx
yx
yx
D
 
Desenvolvendo: 
https://www.resumoescolar.com.br/matematica/estudo-e-equacoes-da-reta-e-estudo-do-coeficiente-angular/
https://www.resumoescolar.com.br/portugues/gramatica/tem-e-tem/
 
 
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0
0
0
1
1
1



ABBAABBA
ABABBABA
BB
AA
BB
AA
yxyxyxyxxyxy
yxxyyxyxyxxy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
 
Colocando x e y em evidência, temos: 
0)()()(  ABBAABBA yxyxyxxxyy
 
 
Fazendo: 
Cyxyx
Bxx
Ayy
ABBA
AB
BA


 
 
Temos a equação geral da reta: 
 
 
Exemplo 2.1 – Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos )5,3(A 
e ).2,7(B 
Resolução: Para isso temos que igualar a zero o determinante dos pontos P , A 
e B . 
041103
03235675
0
27
53
127
153
1



yx
yxyx
yxyx
D
 
 
A equação geral da reta é 041103  yx . 
 Equação Reduzida da reta 
A equação reduzida da reta é encontrada através de sua equação geral. 
0 CByAx 
 
0 CByAx (2.1) 
 
 
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hmxy  
Para encontrarmos a equação reduzida, devemos isolar o y: 
B
CAx
y
CAxBy


 
 
Separando as frações no segundo membro: 











 




B
C
x
B
A
y
B
C
B
Ax
y 
 
Chamando: 
B
C
h
B
A
m



 
 
Temos a equação reduzida da reta: 
 
 
 
Onde: 
m  Coeficiente angular da reta 
h Coeficiente linear da reta 
 
Exemplo 2.2 – Encontre a equação reduzida da reta r: 0135  yx . 
Resolução: Isolando o y na equação 0135  yx : 
 
3
1
3
5
3
15
153
)1(153
0135






xy
x
y
xy
xy
yx 
A equação reduzida da reta é: 
3
1
3
5
3
1
3
5


hm
xy
 
(2.2) 
 
 
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 Coeficiente angular (m) 
A inclinação da reta é determinada pelo seu coeficiente angular (ou declividade). 
Saberemos se a reta é voltada para direita ou para esquerda através do valor de sua 
declividade. 
Encontrando a fórmula da declividade através da equação da reta obtida pelo 
cálculo do determinante. 
)(
)(
)(
)(
)()()(
0)()()(
AB
ABBA
AB
BA
ABBABAAB
ABBAABBA
xx
yxyx
x
xx
yy
y
yxyxxyyyxx
yxyxyxxxyy








. 
Comparando as equações: 
hmxy  e 
)(
)(
)(
)(
AB
ABBA
AB
BA
xx
yxyx
x
xx
yy
y






, temos que: 
 
AB
AB
AB
BA
xx
yy
xx
yy
m






)(
)( 
 
Fórmula do coeficiente angular dados dois pontos: 
 
 
 
 
Relação entre o coeficiente angular e a tangente do ângulo de inclinação da reta. 
Chamamos de ângulo de inclinação,  (Figura 21), o ângulo que eixo x faz com 
a reta (sentido anti-horário). 
AB
AB
xx
yy
m



 
(2.3) 
 
 
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Figura 21 
 
 
Demonstração da fórmula através da tangente de  . 
Figura 22 
 
 
Podemos observar (Figura 22) que os ângulos BCA

 e EDA

 são iguais (ângulos 
correspondentes). 
Vamos calcular a tangente de  no triângulo .ABC 
AC
BC
adjacentecateto
opostocateto
tg  com 
AB
AB
yyBC
xxAC

 
 
AB
AB
xx
yy
tg


 
 
Comparando as fórmulas 2.3 e 2.4, temos que: 
(2.4) 
 
 
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tgm  
 
Exemplo 2.3 – Determine a declividade e o ângulo de inclinação da reta que 
passa pelos pontos (-1, 5) e (2, - 3). 
Resolução: A declividade (coeficiente angular) é encontrada pela fórmula: 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
 
Temos que: 
tgm  
 
Logo, 
º55,110
3
8
3
8 1 





 tgtg 
 
 
O ângulo de inclinação é:
 
 
 Coeficiente linear (h) 
O coeficiente linear (h) é o ponto de interseção entre a reta e o eixo y. 
Figura 23 
 
AB
AB
xx
yy
m



3
8
12
53
)1(2
53






m
3
8
m 
º55,110 
 
 
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Exemplo 2.4 – Vamos encontrar o coeficiente linear da reta de equação 
0932  yx .Resolução: O coeficiente linear (h) é facilmente encontrado através da 
equação reduzida da reta. 
 
3
3
2
923
)1(923
0932




xy
xy
xy
yx
 
 
Exemplo 2.5 
Figura 24 
 
 
Qual é o valor do coeficiente linear da reta representada no gráfico acima? 
Resolução: Observando a Figura 24 podemos ver que a reta toca o eixo y no 6. 
Sendo assim o coeficiente linear é igual a 6. 
 Posições relativas entre duas retas 
a) Retas concorrentes  têm um ponto P em comum, logo seus coeficientes 
angulares são diferentes e, consequentemente, diferentes coeficientes lineares. 
 
 
 
 
 
Comparando a equação encontrada com a 
equação reduzida: hmxy  . 
Temos que .3h 
 
 
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Figura 25 
 
 
21   e 21 hh  
 
Com isso, temos que: 
21  tgtg  
 
Logo: 
21 mm  
 
Retas concorrentes têm coeficientes angulares diferentes. 
 
b) Retas paralelas distintas  não têm ponto em comum, apresentam mesmo 
coeficiente angular e diferentes coeficientes lineares. 
Figura 26 
 
21   e 21 hh  
 
 
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Com isso, temos que: 
21  tgtg  
 
Logo: 
21 mm  
 
Retas paralelas têm coeficientes angulares iguais e coeficientes lineares 
diferentes. 
 
c) Retas coincidentes  têm infinitos pontos comuns, apresentam mesmo 
coeficiente angular e mesmo coeficiente linear. 
Figura 27 
 
21   e 21 hh  
 
Com isso, temos que: 
21  tgtg  
 
Logo: 
21 mm  
 
Retas paralelas coincidentes têm coeficientes angulares iguais e coeficientes 
lineares também iguais. 
 
 
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Exemplo 2.6 – Determine a posição relativa entre as retas r e s em cada caso: 
a) 0132:  yxr e 0752:  yxs 
Solução: Coeficiente angular de 0132:  yxr é 
3
2
32




B
A
mr
 
Coeficiente angular de 0752:  yxs é 
5
2
5
2




B
A
ms
. 
Como 
sr mm  , temos que as retas são concorrentes. 
b) 123:  xyr e 23:  xys 
Solução: Coeficiente angular de 123:  xyr é 3rm e 12rh 
 Coeficiente angular de 23:  xys é 3sm . e 2sh 
 
Como e 
sr mm  e sr hh  , temos que r e s são retas paralelas. 
 Equação da reta que passa por P 
Tendo uma reta r, com inclinação Θ, que passa por P (x0, y0). 
Figura 28 
 
 
Temos: 
 )( 00 xxmyy  
 
Demonstração da fórmula: 
(2.5) 
 
 
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A fórmula da equação da reta, dado um ponto, é obtida através da fórmula do 
coeficiente angular 
AB
AB
xx
yy
m


 . 
 
Substituindo: ),( AA yx por ),( 00 yx e 
),( BB yx por ),( yx . 
Encontraremos: 
)( 00
0
0
0
0 xxmyy
xx
yy
m
xx
yy
m 





 
 
Exemplo 2.7 – Vamos encontrar a equação geral da reta que passa pelo ponto 
)4,5(A e faz um ângulo de 135º com o eixo x. 
 Resolução: Para usarmos a fórmula é preciso conhecer um ponto e a 
declividade da reta. O ponto é )4,5(A e a declividade é encontrada achando a 
tangente de 135º 
( tgm  ). 
 
),()4,5( 00 yxPA  e 1º135  tgmtgm  
 
01
054
54
)5(14
))5((14
)( 00






yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
 
 
A equação geral da reta é 01 yx . 
 
 
 
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Você deverá praticar os exercícios que envolva o conteúdo 
trabalhado na Aula 2. Faça todos os exemplos, trace gráficos no 
plano cartesiano para lhe ajudar na resolução dos exercícios; 
questione a teoria e, se possível, resolva outros exercícios. 
 
No livro Geometria Analítica do autor LEHMANN, C. H., você encontrará 
vários exemplos resolvidos e exercícios propostos. 
 
Caso haja alguma dúvida, em relação à teoria ou aos 
exercícios, entre em contato com o tutor da disciplina. Não se 
esqueça de consultar o material complementar, pois lá você 
encontrará várias maneiras de reforçar a aprendizagem do 
nosso conteúdo, tanto por consulta a outros sites, vídeos 
quanto por programas computacionais para o desenvolvimento 
dos exercícios de G.A. 
 
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Resumo 
 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
 Equação geral da reta; 
 Equação reduzida da reta; 
 Coeficientes angular e linear; 
 Posições relativas entre retas. 
 
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 Complementar 
 
 
 
Brasil Escola, Equação Geral da Reta 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm>. 
 
Geogebra, Equação reduzida da reta 
<https://www.geogebra.org/m/MH5e3JY4?doneurl=%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F
1440749>. 
 
InfoEscola, Equação reduzida da reta 
<http://www.infoescola.com/matematica/equacao-reduzida-da-reta/>. 
 
Brasil Escola, Cálculo do coeficiente angular de uma reta 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-coeficiente-angular-uma-
reta.htm>. 
 
Me salva, Coeficiente linear das funções de 1º grau 
<https://www.youtube.com/watch?v=e5i34GfMly0>. 
 
Colégio Web, Estudo da reta 
<https://www.colegioweb.com.br/geometria-analitica/estudo-da-reta.html>. 
 
Info Escola, posições relativas de duas retas 
<http://www.infoescola.com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/>. 
 
Mundo da educação, Posições relativas de duas retas 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-
retas.htm>. 
 
 
 Assista aos vídeos da disciplina, são fundamentais para 
a sua aprendizagem! 
 
 Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na 
Secretaria Virtual da Blackboard! 
 
 Não acumule dúvidas! 
 
 Procure o professor da disciplina ou o tutor para 
esclarecer suas dúvidas. 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm
https://www.geogebra.org/m/MH5e3JY4?doneurl=%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F1440749
https://www.geogebra.org/m/MH5e3JY4?doneurl=%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F1440749
http://www.infoescola.com/matematica/equacao-reduzida-da-reta/
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-coeficiente-angular-uma-reta.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-coeficiente-angular-uma-reta.htm
https://www.youtube.com/watch?v=e5i34GfMly0
https://www.colegioweb.com.br/geometria-analitica/estudo-da-reta.html
http://www.infoescola.com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-retas.htm
 
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 Referências Bibliográficas 
 
 
Básica: 
BOULOS, P., OLIVEIRA, J. C. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1994. 
 
COSENDEY, S. M. Matemática. Santo Antônio de Pádua: Curso Miller 
Cosendey. v. 3 
 
LEHMANN, C. H. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Globo, 1994. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Harper &Row do Brasil, 
1977. 
 
MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas Geometria Analítica e 
Polinômios. São Paulo: Atual, 1997. 
 
SANTOS, F. J. e FERREIRA, S.F. Geometria Analítica. Porto Alegre: 
Bookman, 2009. 
 
SHENK, A. l. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro: Campus, 1990. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2007. 829 p. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2006. 
 
Complementar: 
Geogebra. Equação reduzida da reta: y=mx+n. Disponível em: 
<https://www.geogebra.org/m/MH5e3JY4?doneurl=%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F
1440749>. Acesso em: 10 set. 2017. 
 
MIRANDA, Danielle de. Posições relativas de duas retas. Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-duas-
retas.htm>. Acesso em: 10 set. 2017. 
 
NOÉ, Marcos. Cálculo do coeficiente angular de uma reta. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-coeficiente-angular-uma-
reta.htm>. 
 
NOÉ, Marcos. Equação Geral da Reta. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm>. Acesso em: 10 
set. 2017. 
 
OLIVEIRA, Naysa Crystine Nogueira. Equação reduzida da reta. Disponível 
em: <http://www.infoescola.com/matematica/equacao-reduzida-da-reta/>. Acesso 
em: 10 set. 2017. 
 
RIBEIRO, Thyago. Posições relativas de duas Retas. Disponível em: 
 
 
www.redentor.edu.br 
<http://www.infoescola.com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
SALVA, Me. Me Salva! FUN06 - Funções - Coeficiente Linear das Funções 
de 1º grau. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=e5i34GfMly0>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
WEB, Colégio. Estudo da Reta. Disponível em: 
<https://www.colegioweb.com.br/geometria-analitica/estudo-da-reta.html>. Acesso 
em: 10 set. 2017. 
 
 
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 Exercícios 
Aula 2 
 
 
1) Dados os pontos A (2,1) e B (3,2), determine a equação 
geral da reta e a equação reduzida da reta AB. Em seguida, 
esboce o seu gráfico, no sistema cartesiano, informando 
onde a reta corta os eixos. 
a) x – y + 1 = 0 e y = x – 1 
b) x + y – 1 = 0 e y = x – 1 
c) x – y – 1 = 0 e y = x – 1 
d) x – y – 1 = 0 e y = x + 1 
e) x – y + 1 = 0 e y = x + 1 
 
2) Determine a equação geral da reta suporte da mediana do vértice A do 
triângulo ABC onde A (2,1), B (-3,5) e C (-1,-1). 
a) x - 4y - 6 = 0 
b) x + 4y - 6 = 0 
c) x + 4y + 6 = 0 
d) - x - 4y + 6 = 0 
e) - x + 4y - 6 = 0 
 
3) Determine a equação geral da reta que passa pela origem e pelo ponto A (-
2,-3). 
a) 3x - 2y = 0 
b) -3x - 2y = 0 
c) -3x + 2y = 0 
d) 2x + 3y = 0 
e) 2x - 3y = 0 
 
4) As retas y = (½) x, y = ¾ e x = 0 definem um triângulo, cuja raiz quadrada da 
área é: 
a) - 3 / 4 
b) - 4 / 3 
c) 1 / 2 
d) 1 / 3 
e) 3 / 4 
 
 
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5) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (3,1) e B(5,1). 
a) y + 1 = 0 
b) x – 1 = 0 
c) y – 1 = 0 
d) x + 1 = 0 
e) x – y = 0 
 
6) Determine o ponto de intersecçãodas retas de equações x + 2y +1 = 0 e 2x 
+ y - 4 = 0. 
a) P (3,2) 
b) P (3,-2) 
c) P (-3,-2) 
d) P (-3,4) 
e) P (3,-4) 
 
7) As retas de equações x = -1, x = 3 e y = 2 são retas suportes dos lados de 
um quadrado. Determinar os vértices do quadrado, sabendo-se que um dos 
vértices pertence ao 4º quadrante. 
a) A (-1,2), B (3,2), C (3,-2) e D(-1,-2) 
b) A (1,2), B (3,-2), C (3,-2) e D(-1,-2) 
c) A (-1,2), B (-3,2), C (3,-2) e D(-1,2) 
d) A (-1,2), B (3,2), C (-3,-2) e D(-1,-2) 
e) A (-1,2), B (-3,2), C (3,-2) e D(1,-2) 
 
8) Obter a declividade (coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos A 
(2,5) e B (-3,2). 
a) m = 3/5 
b) m = -3/5 
c) m = 5/3 
d) m = -5/3 
e) m = 2/3 
 
 
 
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9) Dada a equação geral 2x – 3y +5 = 0, obter a equação reduzida e os 
coeficientes angular e linear. 
a) y = (2x/3) + (5/3), m= 2/3 e h = 3/5 
b) y = (3x/2) + (5/3), m= 2/3 e h = 5/3 
c) y = (2x/3) + (3/5), m= 2/3 e h = 5/3 
d) y = (2x/3) + (5/3), m= 2/3 e h = 5/3 
e) y = (2x/3) - (5/3), m= 2/3 e h = 5/3 
 
10) Verificar se os pontos A(-2,-3) , B(1,2) e C(5,4) estão alinhados. 
 
11) Represente, no sistema de eixos cartesianos ortogonais, os pontos: A(4,3) , 
B(-1,3) , C(-3,-4) , D(4,-2) , E(2,0) e F(0,4). 
 
12) Esboce os gráficos das retas, informando onde cortamos eixos: 
a) 3y – 9 = 0 
b) 2x – 4 = 0 
c) 3x – y = 0 
d) 6x + 2y -8 > 0 
e) 12x - 4y -16 > 0 
f) 15x + 3y + 18 < 0 
 
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 Aula 3 
Paralelismo e Perpendicularismo 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
A analítica resolve problemas de geometria plana com o auxílio da álgebra. 
Será mostrada a correspondência biunívoca entre pontos do plano e pares ordenados 
de números reais. Cada ponto passa a ser um par ordenado de números reais. 
Com esses números, escrevemos equações e damos um tratamento algébrico 
aos problemas de geometria. 
Nesta aula, apresentaremos alguns conceitos importantes para toda a 
disciplina. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Calcular a distância entre dois pontos; 
 Calcular coordenadas do ponto médio; 
 Calcular área do triângulo; 
 Saber condição de alinhamento; 
 Conhecer equação da reta; 
 Resolver problemas envolvendo reta. 
 
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3 POSIÇÕES: PARALELISMO E PERPENDICULARISMO 
Duas retas podem assumir algumas posições relativas no plano. 
Nessa aula iremos abordar duas posições em especial: Paralelismo e 
Perpendicularismo. 
Veremos também a relação entre os coeficientes angulares das retas. 
 Paralelismo 
A condição necessária para que as retas 
1r e 2r sejam paralelas é que tenham 
o mesmo coeficiente angular. 
Figura 29 
 
 
 
 
Demonstração: Precisamos mostrar que 
21 mm  . Usaremos a fórmula do 
ângulo formado entre retas: 
21
12
.1 mm
mm
tg


 
 
O ângulo formado entre retas paralelas pode assumir dois valores: 0º ou 180º 
(depende da direção das retas). 
º0 
2121 // mmrr  (3.1) 
 
 
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21
12
21
12
21
12
0
.1
0
.1
º0
mm
mm
mm
mm
mm
mm
tg








 
 
Exemplo 2.6 – Vamos encontrar a equação geral da reta r que passa pelo 
ponto )7,3( A e é paralela à reta s: 0635  yx . 
Resolução: Precisamos de um ponto e da declividade da reta. 
 
Ponto: )7,3( A 
Declividade: O enunciado diz que r é paralela a s. Logo, r e s têm coeficientes 
angulares iguais. 
A e B são os coeficientes de x e y, respectivamente, presentes na equação 
geral 0 CByAx . 
5A e 3B 
 
3
5

B
A
ms
. Logo, 
3
5
rm
 
sr mmsr // 
 
Substituindo Ae 
rm na fórmula: )( 00 xxmyy  . 
0635
0152135
155213
)3(
3
5
7
)3(
3
5
)7(
)( 00






yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
 
 
 
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 Perpendicularismo 
A condição necessária para que as retas r e s sejam perpendiculares é que o 
produto de seus coeficientes angulares seja -1. 
Figura 30 
 
 
 
 
Retas perpendiculares são retas que formam um ângulo de 90º (Figura 30). 
Demonstração: Precisamos mostrar que 1. 21 mm . Usando mais uma 
vez a fórmula: 
21
12
.1 mm
mm
tg


 
 
O ângulo formado entre retas perpendiculares é igual 90º. 
21
12
.1
º90
mm
mm
tg


 
 
Como tangente de 90º não existe, usaremos a cotangente. 


tg
g
1
cot  
1. 2121  mmrr (3.2) 
 
 
 
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1
01
1
0
1
º0cot
11
cot
2.1
2.1
12
2.1
12
2.1
12
2.1











mm
mm
mm
mm
mm
mm
g
mm
mm
tg
g


 
 
Podemos achar outra relação entre os coeficientes das 
retas perpendiculares através de 1. 21 mm . 
2
121
1
1.
m
mmm

 , ou seja, declividade de r1 é 
igual ao inverso simétrico da declividade de r2. 
 
Exemplo 2.7 – Vamos encontrar a equação geral da reta r que passa pelo 
ponto )5,1( A e é perpendicular à reta s: 0635  yx . 
Solução: Precisamos encontrar a declividade da reta r! Como r é perpendicular 
à reta s, sabemos que para achar a declividade de r, basta inverter e trocar o sinal da 
declividade de s. 
 
3
5
 ss m
B
A
m 
 
Inverso de 
3
5
 é 
5
3
 . 
 
Simétrico de 
5
3 , logo: 
 
 
 
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5
31
 r
s
r m
m
m 
 
Substituindo o ponto A e a declividade de r em (2.5). 
02853
025353
33255
)1(
5
3
5
)1(
5
3
)5(
)( 00






yx
yx
xy
xy
xy
xxmyy
 
 
02853  yx é a equação da reta r. 
 Distância de um ponto à reta 
Como vimos na aula 1, a distância entre ponto e reta é o segmento 
perpendicular à reta saindo do ponto. 
Figura 31 
 
 
²²
00
ba
cbyax
d


 
 
 
(3.3) 
 
 
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Demonstração: Precisamos achar o ponto (A) que é a interseção das retas (r) 
e (s). A reta (s) passa pelo ponto ),( 00 yxP e é perpendicular à reta (r). 
Figura 32 
 
 
Encontrando a equação da reta (s): Precisamos da declividade de (s). Para isso 
basta encontrarmos a declividade de (r), inverter e trocar o sinal que teremos a 
declividade de (s). As retas (r) e (s) são perpendiculares! 
r
s
m
m
1
 
 
b
a
mcbyaxr r  0:)(
 
 
Logo, 
a
b
ms 
 
Substituindo o ponto ),( 00 yxP e a declividade 
a
b
ms 
 em (2.5), temos: 
0
)(
)(
00
00
00
00




bxayaybx
bxbxayay
xx
a
b
yy
xxmyy
 
 
0:)( 00  aybxaybxs 
 
 
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Como (A) pertence às duas retas, teremos que resolver um sistema para 
encontrá-lo: 
0:)(  cbyaxr e 0:)( 00  aybxaybxs 
 





0
0
00 aybxaybx
cbyax
 
 
Vamos multiplicar (1) por a e (2) por b. 





0²²
0²
00 abyxbabyxb
acabyxa
 
0²²² 00  abyxbacxbxa 
 
Isolando x em (3): 
²²
²
²²)²(
0²²)²(
00
00
00
ba
abyacxb
x
abyacxbxba
abyxbacxba





 
 
Isolando o y em (1): 
b
cax
y
caxby
cbyax



 0
 
 
Substituindo (4) em (5): 
b
c
ba
byacaxab
y
b
c
ba
abyacxb
a
y














²²
²²²
²²
²
00
00
 
(1) 
(2) 
+ (3) 
(4) 
(5) 
 
 
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MMC (a² + b², 1) = a² + b² 
²²
)²
1
.
²²
)²(
²²
)²(
²²
²²²
²²
²²²²²
²²
²²²
00
00
00
00
00
00
ba
bcabxya
y
bba
bcyaabxb
y
b
ba
bcyaabxb
y
b
ba
cbbyaxab
y
b
ba
cbcabyacaxab
y
b
c
ba
byacaxab
y




















 
 
Acabamos de encontrar as coordenadas do ponto (A). 
 










²²
)²
,
²²
)² 0000
ba
bcabxya
ba
acabyxb
A 
Fazendo distância entre ),( 00 yxP e 









²²
)²
,
²²
)² 0000
ba
bcabxya
ba
acabyxb
A , 
temos: 
 
2
0
00
2
0
00
²²
²
²²
²
²
)²()²(²
)²()²(





















y
ba
bcabxya
x
ba
acabyxb
d
yyxxd
yyxxd
papa
papa 
 
MMC (a² + b²,1) = a² + b² 
 
 
 
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2
00
2
00
2
00002
0000
2
000
2
000
²²
²
²²
²
²
²²
²²²
²²
²²²
²
²²
²)²(²
²²
²)²(²
²



















































ba
ybbcabx
ba
xaacaby
d
ba
ybyabcabxya
ba
xbxaacabyxb
d
ba
ybabcabxya
ba
xbaacabyxb
d
 
 
Colocando –a e –b em evidência: 
2
00
2
00
²²
)(
²²
)(
² 
















ba
bycaxb
ba
axcbya
d 
 
Elevando –a e –b ao quadrado. 
2
00
2
00
²²
²
²²
²² 
















ba
bycax
b
ba
axcby
ad 
 
Colocando 
2
00
²²








ba
axcby em evidência: 
 
 ²²
)²(
²
²)²(
²²²
)²(
²
²)²(
²²
²
00
00
2
00
ba
axcby
d
ba
ba
axcby
d
ba
ba
axcby
d















 
 
Encontrando d: 
 
 
 ²²
²²
)²(
²²
)²(
00
00
00
ba
axcby
d
ba
axcby
d
ba
axcby
d









 
 
 
 
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d não pode assumir valores negativos, pois é uma medida. Logo, 
²²
00
ba
cbyax
d


 
Exemplo: Para calcular o diâmetro do aro de um automóvel, um engenheiro 
fez o seguinte esquema: 
Figura 33 
 
 
Qual o valor encontrado pelo engenheiro? Use A = (- 4, - 5). 
Solução: A distância do ponto A à reta r é exatamente a medida do raio da 
roda. 
 
7
5
35
25
35
916
661516
²3²4
66)5.(3)4.(4
²²
,
,
,
,
,
,












rP
rP
rP
rP
rP
rP
d
d
d
d
d
ba
cbyax
d
 
Diâmetro = 2.r = 2.7 = 14. 
 
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Resumo 
 
 
 
Nesta aula, abordamos: 
 
 Paralelismo; 
 Perpendicularismo; 
 Relação entre as declividades de retas paralelas; 
 Relação entre as declividades de retas perpendiculares; 
 Retas paralelas e perpendiculares; 
 Distância de um ponto a reta. 
 
 
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 Complementar 
 
 
 
Brasil Escola, Retas paralelas 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas.htm>. 
 
Brasil Escola, Retas perpendiculares 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm>. 
 
Mundo Educação, Retas perpendiculares 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm>. 
 
 
 
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a sua aprendizagem! 
 
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esclarecer suas dúvidas. 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas.htm
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm
 
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Referências Bibliográficas 
 
 
Básica: 
BOULOS, P., OLIVEIRA, J. C. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1994. 
 
COSENDEY, S. M. Matemática. Santo Antônio de Pádua: Curso Miller 
Cosendey. v. 3 
 
LEHMANN, C. H. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Globo, 1994. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Harper &Row do Brasil, 
1977. 
 
MACHADO, A. S. Matemática Temas e Metas Geometria Analítica e 
Polinômios. São Paulo: Atual, 1997. 
 
SANTOS, F. J. e FERREIRA, S.F. Geometria Analítica. Porto Alegre: 
Bookman, 2009. 
 
SHENK, A. l. Cálculo e geometria analítica. Rio de Janeiro: Campus, 1990. 
 
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2007. 829 p. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2006. 
 
Complementar: 
MIRANDA, Danielle de. Retas perpendiculares. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm>. Acesso em: 
10 set. 2017. 
 
MIRANDA, Danielle de. Retas perpendiculares. Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas-perpendiculares.htm>. 
Acesso em: 10 set. 2017. 
 
RIGONATTO, Marcelo. Retas Paralelas. Disponível em: 
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/retas-paralelas.htm>. Acesso em: 10 set. 
2017. 
 
 
 
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 Exercícios 
Aula 3 
 
 
1) Obter a equação geral da reta que passa pelo ponto A 
(-1,3) e é paralela à reta de equação 2x – 3y + 4 = 0. 
a) m = 2/3 e 2x - 3y + 11 = 0 
b) m = 2/3 e 2x + 3y + 11 = 0 
c) m = 2/3 e 2x - 3y - 11 = 0 
d) m = 3/2 e 2x + 3y - 11 = 0 
e) m = 3/2 e 2x - 3y + 11 = 0 
 
2) Obter a equação da reta r que passa pelo ponto P (3,2) e é paralela ao 
segmento de reta AB onde A (6,0) e B (0,-9). 
a) m = 3/2 e 3x + 2y + 5= 0 
b) = 3/2 e 3x - 2y + 5= 0 
c) = 2/3 e 3x + 2y - 5= 0 
d) = 2/3 e 3x - 2y - 5= 0 
e) m = 3/2 e 3x - 2y - 5= 0 
 
3) Um triângulo ABC possui vértices A (2,3), B (5,3) e C(2,6). Calcule a equação 
reduzida da reta bissetriz do ângulo A. 
a) m = 1 e y = x - 1 
b) m = 1 e y = x + 1 
c) m = - 1 e y = - x + 1 
d) m = 1 e y = - x - 1 
e) m = - 1 e y = x + 1 
 
4) Os pontos A (-2,3) e C (5,1) são vértices opostos de um quadrado ABCD. 
Determine a equação geral da reta que contém a diagonal BD. 
a) m = 7/2, M (3/2,2) e 14x - 4y + 13 = 0 
b) m = 3/2, M (1/2,2) e 14x + 4y - 13 = 0 
c) m = 5/2, M (3/2,2) e 14x - 4y - 13 = 0 
d) m = 7/2, M (3/2,2) e 14x - 4y - 13 = 0 
e) m = 7/2, M (1/2,2) e 14x - 4y - 13 = 0 
 
 
 
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5) Os pontos A (1,1), B (4,2) e C (5,4) são vértices de um paralelogramo ABCD. 
Determine a equação da reta que contém o lado CD. 
a) 3y - 7= 0 
b) - 3y + 7= 0 
c) 3y + 7= 0 
d) 7y + 3= 0 
e) 7y - 3= 0 
 
6) Dados os pontos A (1,1), B (5,2) e C (3,5); determine a equação geral da reta 
que contém a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC. 
a) 2x – 3y + 1 = 0 
b) 2x + 3y + 1 = 0 
c) 2x – 3y - 1 = 0 
d) 2x + y - 3 = 0 
e) 2x – y + 3 = 0 
 
 
7) Determine a distância entre o ponto P (2,3) e a reta 3x + 4y + 1 = 0. 
a) 5 / 19 
b) 19 / 5 
c) 3 / 4 
d) 4 / 3 
e) 1 / 3 
 
8) Determine a altura AH do triângulo de vértices A (1,2), B(2,0) e C(1,1). 
a) ( 21/2 ) / 2 
b) ( 21/2 ) / 3 
c) ( 31/2 ) / 2 
d) ( 21/3 ) / 2 
e) ( 21/3 ) / 3 
 
 
 
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9) A distância da reta 8x – 6y + c = 0 ao ponto P (1,2) é igual a 3. Determine os 
possíveis valores de c. 
a) 26 e - 34 
b) 6 e - 4 
c) - 6 e 4 
d) 26 e 34 
e) - 26 e 34 
 
10) Determine a distância entre as retas paralelas (r) 2x + y -3 = 0 e (s)2x + y + 
5 = 0. 
a) (8. 51/2) / 5 
b) (8. 51/2) / 3 
c) (8. 51/3) / 5 
d) (5. 81/2) / 5 
e) (5. 81/3) / 5 
 
11) Um mapa é posicionado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonais, 
de modo que a posição de uma cidade é dada pelo ponto P (1,3). Um avião 
descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x + 2y – 20 = 0. Qual a 
menor distância entre o avião e a cidade? 
a) (13. 51/2) / 3 
b) (13. 51/3) / 5 
c) (5. 131/2) / 5 
d) (13. 51/2) / 5 
e) (13. 51/2) / 2 
 
12) Um triângulo retângulo ABC tem hipotenusa determinada pelos pontos B 
(2,-1) e C(3,4). Sabendo que a reta 3x – 2y +1 = 0 é paralela ao cateto AB, 
determine as equações das retas suportes dos catetos AB e AC. 
 
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 Aula 4 
Superfícies Cônicas – Estudo da Elipse 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Estudaremos curvas, obtidas pela interseção de planos com um duplo cone 
circular reto, chamadas de cônicas. 
Estudaremos as curvas dos planos: elipse e circunferência. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Conhecer as interseções planas para obtenção das cônicas; 
 Estudo da elipse; 
 Estudo das equações da elipse; 
 Calcular a excentricidade da elipse; 
 Estudo da equação geral da elipse. 
 
 
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4 SUPERFÍCIES CÔNICAS: ELIPSE 
As curvas cônicas são obtidas através da interseção do cone duplo com planos: 
paralelos à ba. 
 Estudo das Cônicas 
 Interseções planas numa superfície plana 
Figura 34 
 
 
Estudaremos as seguintescurvas do plano: elipse, parábola e hipérbole. 
Essas curvas são obtidas pela interseção de planos com um duplo cone circular 
reto e, por isso, são chamadas de cônicas. 
 Definição de elipse 
Elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias de um ponto 
qualquer, ),( yxP aos pontos fixos - denominados focos - 1F e 2F é sempre constante. 
 Elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo Ox 
Uma elipse com o centro situado, na origem do sistema de coordenadas e eixo 
maior na horizontal, é definida pela equação: 
 
1
²
²
²
²

b
y
a
x 
 
(4.1) 
 
 
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 Elementos da elipse 
Figura 35 
 
 
21 OFOFc
ODOCb
OAOAa



 
 
a) Vértices: 
São os extremos do maior eixo da elipse. Na figura 35, os vértices da elipse são 
os pontos A e B. 
)0,( aA  e )0,(aB 
 
b) Pontos extremos ou polos: 
São os extremos do menor eixo da elipse. Na figura 35, os pontos extremos da 
elipse são os pontos C e D. 
),0( bC e ),0( bD  
 
c) Focos: 
Para cada elipse, definem-se dois pontos chamados focos(
1F e 2F ), situados 
sobre o eixo maior, dispostos simetricamente em relação ao eixo menor e 
afastados de uma distância 2c, tal que: 
²² bac  
 
 
 
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)0,(1 cF e )0,(2 cF 
 
d) Eixo maior: 
É a distância entre os vértices  AB . Como OAOAa  , temos que a distância 
entre A e B é a soma das distâncias do centro a cada vértice, ou seja, a2 . 
 
 
e) Eixo menor: 
É a distância entre os pontos extremos  CD . Como ODOCb  , temos que 
a distância entre C e D é a soma das distâncias do centro a cada ponto extremo, 
ou seja, b2 . 
 
 
f) Distância focal: 
É a distância entre os focos  21FF . Como 21 OFOFc  , temos que a distância 
entre 
1F e 2F é a soma das distâncias do centro a cada foco, ou seja, c2 . 
 
área da elipse  A = .a.b 
 
g) Área da elipse: 
 
 
Demonstração da equação: Sabemos que a elipse é o lugar geométrico dos 
pontos cuja soma das distâncias desse ponto aos focos é sempre igual ao eixo 
maior. 
add PFPF 221 
 
 
Medida do eixo maior = a2 
 
Medida do eixo menor = b2 
 
Distância focal = c2 
 
(4.2) 
abA  
 
 
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Vamos encontrar uma relação entre as medidas a, b e c (Figura 36). 
Figura 36 
 
 
O triângulo 
211 FFP é isósceles de base 21FF . Logo, 
 
 
 
Aplicando a definição de elipse como lugar geométrico, temos: 
 
 
Figura 37 
 
 
ax
ax
axx
add FPFP




22
2
2
2111
xFPFP  2111
 
 
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Vemos que o triângulo 
11OPF é retângulo, assim podemos aplicar o teorema de 
Pitágoras. 
Na Figura 37, temos que: 
catetoc
catetob
hipotenusaa



 
Logo, 
 
 
Aplicando (4.2) para encontrarmos a equação da elipse da Figura 38: 
Figura 38 
 
 
add PFPF 221 
 
²)²(2²)²(
2²)²(²)²(
2)²0()²(²)0())²((
ycxaycx
aycxycx
aycxycx



 
 
²²² cba  (4.3) 
 
 
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Elevando ao quadrado os dois membros da equação, temos: 
   
 
²)²(²
²)²(4²44
²)²(4²422
²²2²²)²(4²4²2²
²)²(²)²(4²4²2²
²²)²(²)²(4²4²)²(
²²)²(2²²)²(
ycxaaxc
ycxaaxc
ycxaaxcxc
ycxcxycxaacxcx
ycxycxaacxcx
ycxycxaaycx
ycxaycx







 
 
Elevando 4.3 ao quadrado. 
   
 
4
4
4
4
²²²²²²²²
²²²²²2²²²2²²
²)²2²²(²2²²
²)²(²²2²²
²²)²(²²
acayaxacx
yacaxcaxaaxcacx
ycxcxaaxcacx
ycxaaxcacx
ycxaaxc





 
 
Evidenciando em (4.4), temos: 
)²²(²²²²)²( 2acayaxac  
 
De (4.3) temos que ²²² cba  , logo: 
²²²
²²²
acb
cba


 
 
Substituindo (4.7) em (4.6). 
²²²²²²
²²²²²²
²)²(²²²²
)²²(²²²²)²( 2
bayaxb
bayaxb
bayaxb
acayaxac




 
(4.4) 
(4.5) 
(4.6) 
(4.7) 
 
 
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1
²
²
²
²
²²
²²
²²
²²
²²
²²


b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
 
Exemplo 4.1 - A maior cúpula elíptica do mundo é aberta ao público. 
Figura 39 
 
 
É de tirar o fôlego. Literalmente. Pela primeira vez, a maior cúpula elíptica do 
mundo, no Santuário di Vicoforte - Regina Montis Regalis, pertinho de Turim, no norte 
da Itália, será aberta ao público. 
A beleza arquitetônica dessa obra de arte pode ser admirada em tua totalidade 
pelos próximos seis meses até o dia 31 de outubro. 
Concebida pelo arquiteto Ascanio Vittozi, em 1596, a pedido do rei Carlo 
Emanuele I de Savóia, a maior cúpula elíptica do mundo revela as proporções colossais 
de um complexo arquitetônico que deixa o visitante boquiaberto. 
E dessa vez, quem passar pelo santuário poderá não só admirar internamente a 
cúpula, mas também se aventurar por antigas passagens para observar os seis mil m² 
de afrescos da igreja. 
 
http://www.santuariodivicoforte.it/it/home.php
 
 
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Figura 40 
 
 
A abóboda elíptica da Basílica de Natività di Maria fica a 74 metros de altura, 37 
metros de comprimento no maior eixo e quase 25 no menor, nas colinas de Monreale, 
próximo aos vinhedos da região de Langhe. A criatividade e imaginação do arquiteto em 
construir uma basílica de formas geométricas foi considerada pelos colegas da época 
um absurdo. 
Figura 41 
 
 
Mas, contrariando os mais céticos, a obra foi concluída em 1773. Uma verdadeira 
aventura, já que em 1615, o autor do projeto, Ascanio Vittozi faleceu. Os trabalhos foram 
interrompidos e retomados somente anos mais tarde pelo arquiteto Francesco Gallo. 
 
 
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Entre 1728 e 1733, a cúpula elíptica foi completada com os afrescos que retratam 
a vida da Virgem Maria. A subida - com guia e capacete - em direção à cúpula elíptica 
dura duas horas, mas há também a possibilidade de escolher o chamado percurso breve 
de 45 minutos. Um passeio inesquecível! 
Fazendo uma analogia com uma elipse de equação 625x² + 1369y² - 213 906,25 
= 0, determine a medida dos eixos da abóboda elíptica da Basílica de Natività di Maria. 
Fonte: Disponível em: <http://blogs.oglobo.globo.com/milao/post/a-maior-cupula-eliptica-do-
mundo-aberta-ao-publico-567051.html>. Acesso em: 20 set. 2017. 
Solução: Vamos arrumar a equação 625x² + 1369y² - 213 906,25 = 0. 
25,213906²1369²625
025,213906²1369²625


yx
yx
 
Dividindo os dois membros por 213906,25. 
1
25,156
²
25,342
²
25,213906
25,213906
25,213906
²1369
25,213906
²625


yx
yx
 
 
Comparando (4.8) com (4.1), temos: 
1
25,156
²
25,342
²

yx 1
²
²
²
²

b
y
a
x 
5,18
25,342
25,342²



a
a
a
 
5,12
25,156
25,156²



a
b
b
 
 
Eixo maior: 2a = 2.18,5=37 
Eixo menor: 2b = 2.12,5 = 25 
 
(4.8) 
(4.8) (4.1) 
http://blogs.oglobo.globo.com/milao/post/a-maior-cupula-eliptica-do-mundo-aberta-ao-publico-567051.html
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 Caso especial: Circunferência 
Se a for igual a b, a elipse transforma-se numa circunferência cuja equação é 
x + y = r sendo r = a = b e a área é A =  . r . 
Figura 42 
 
 
Definição: Circunferência é o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um 
ponto fixo é sempre constante e chamada de raio. 
Demonstração da fórmula: Vamos considerar a circunferência de raio r e centro 
na origem. 
Figura 43 
 
 
Pela definição de circunferência, temos: 
ryx
rdPC


)²0()²0(
 
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, obtemos: 
 
²²²
²)²0()²0(
²²)²0()²0(
ryx
ryx
ryx



 
 
 
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Exemplo 4.4.1 Construído em plena areia da praia, o Hotel Tambaú com sua 
forma circular, “linhas arrojadas e audaciosas” (O GRANDE Tambaú, 1968, p.05) é 
proposto de forma a integrar-se a orla marítima. 
Figura 44: Vista aérea do Hotel Tambaú, fins da década de 1960 e início de 1970. 
 
Fonte: ACERVO SALE TRAJANO apud FÚLVIO TEIXEIRA