prova exame unificado da física( EUF)2008-2

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Exame de Ingresso Unificado
das Po´s-graduac¸o˜es em F´ısica
IFUSP–IFSC–IFGW–IFT–CCNH
2◦ Semestre/2008
Parte 1 — 15/04/2008
Instruc¸o˜es
• NA˜O ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela devera´ ser identificada
apenas atrave´s do co´digo (EUFxxx).
• Esta prova constitui a primeira parte do exame de ingresso a` po´s-graduac¸a˜o do
IFGW (Unicamp), IFT (Unesp), IFUSP e IFSC (USP) e CCNH (UFABC). Ela
conte´m problemas de F´ısica Moderna, Mecaˆnica Cla´ssica e Mecaˆnica Quaˆntica. To-
das as questo˜es teˆm o mesmo peso.
• O tempo de durac¸a˜o dessa prova e´ de 4 horas. O tempo mı´nimo de permaneˆncia
na sala e´ de 90 minutos. Procure fazer todos os problemas.
• Resolva cada questa˜o na pa´gina correspondente do caderno de respostas.
As folhas sera˜o reorganizadas para a correc¸a˜o. Se precisar de mais espac¸o, fale com
o professor responsa´vel pela aplicac¸a˜o do exame, que lhe dara´ uma folha extra.
Na˜o esquec¸a de escrever na folha extra, o nu´mero da questa˜o (Q1, ou
Q2, ou . . . ) e o seu co´digo de identificac¸a˜o (EUFxxx).
Use uma folha extra diferente para cada questa˜o.
• Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram
no fim do caderno de respostas.NA˜O AS DESTAQUE. As folhas de rascunho
sera˜o descartadas e questo˜es nelas resolvidas na˜o sera˜o consideradas.
• NA˜O escreva nada no formula´rio; DEVOLVA-O ao fim da prova, pois ele sera´
utilizado amanha˜.
Boa prova!
Q1. Considere uma part´ıcula de massa m movendo-se sob a ac¸a˜o do potencial V (x) =
kx2/2− kx4/(4a2) onde k e a sa˜o constantes positivas. Suponha que o movimento
seja unidimensional e despreze as forc¸as de atrito.
a) Escreva a equac¸a˜o de movimento.
b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de V (x) e descreva os tipos de movimentos poss´ıveis.
c) Mostre que a func¸a˜o h(x,x˙) = mx˙2/2 + V (x) e´ uma constante do movimento.
d) Encontre a soluc¸a˜o x(t) para o caso h = ka2/4 e x(0) = 0.
Q2. Considere um peˆndulo plano formado for uma haste inextens´ıvel de comprimento l
e massa desprez´ıvel tendo na sua extremidade uma part´ıcula pontual de massa m.
a) Escreva as equac¸o˜es de movimento da part´ıcula em coordenadas polares r e θ.
b) Suponha que o peˆndulo seja lanc¸ado de θ(0) = θ0 com θ˙(0) = 0. Calcule o
valor ma´ximo que a tensa˜o na haste atinge durante o movimento.
c) Encontre θ(t) na aproximac¸a˜o de pequenas oscilac¸o˜es supondo θ(0) = θ0 e
θ˙(0) = 0.
d) Esboce um gra´fico mostrando como o per´ıodo do movimento da part´ıcula varia
com a sua energia.
Q3. Considere um oscilador harmoˆnico unidimensional, cujo operador Hamiltoniano e´
dado por
H =
1
2m
p 2 +
1
2
mω2x 2.
No instante de tempo t = 0, o sistema se encontra no seguinte estado
Ψ(x,0) =
1√
2
[
ψ0(x) + e
iϕψ1(x)
]
,
com ψ0(x) e ψ1(x) sendo respectivamente o estado fundamental e o primeiro estado
excitado do Hamiltoniano,
ψ0(x) =
(mω
π~
)1/4
e−
mω
2~
x 2,
ψ1(x) =
(
4m3ω3
π~3
)1/4
x e−
mω
2~
x 2 ,
onde ϕ e´ uma fase.
a) Determine ϕ para que o valor me´dio da posic¸a˜o seja zero para o estado Ψ(x,0).
b) Determine o valor mais prova´vel da posic¸a˜o no estado Ψ(x,0), empregando o
valor de ϕ determinado acima.
c) Determine o valor me´dio do momento num instante de tempo qualquer t,
empregando o valor de ϕ determinado acima.
1
Q4. O Hamiltoniano
H =
w
~
(
L2x − L2y
)
oferece uma boa aproximac¸a˜o para descrever os estados quaˆnticos de um sistema
com momento angular l = 1 colocado num gradiente de campo ele´trico. Na ex-
pressa˜o do Hamiltoniano, Lx e Ly sa˜o as componentes x e y do operador momento
angular orbital ~L, e ω e´ uma constante real. Os autoestados |−1〉, |0〉 e |+1〉 de Lz
com autovalores −~, 0 e +~ formam uma base do espac¸o de estados desse sistema.
a) Escreva a matriz que representa H na base de Lz citada acima.
b) Encontre os autovalores de H e os correspondentes autovetores na base de Lz
citada acima.
c) Suponha que no instante t = 0 o sistema se encontre no estado
|ψ(0)〉 = 1√
2
(|+ 1〉 − | − 1〉) .
Qual e´ a probabilidade de se encontrar o valor ~ numa medida de Lz num
instante de tempo posterior t ?
Q5. Uma sonda interestelar afasta-se da Terra com velocidade v = c/3 e a cada um ano-
luz (medido no referencial da sonda) ela emite um sinal luminoso de comprimento
de onda λ0 em direc¸a˜o a` Terra. Deseja-se saber,
a) com que periodicidade os sinais chegam a` Terra?
b) quanto tempo apo´s o lanc¸amento o primeiro sinal luminoso chega a` Terra?
c) onde estara´ a sonda quando esse sinal chegar a` Terra?
d) com que comprimento de onda os sinais sa˜o recebidos na Terra?
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Exame de Ingresso Unificado
das Po´s-graduac¸o˜es em F´ısica
IFUSP–IFSC–IFGW–IFT–CCNH
2◦ Semestre/2008
Parte 2 — 16/04/2008
Instruc¸o˜es
• NA˜O ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela devera´ ser identificada
apenas atrave´s do co´digo (EUFxxx).
• Esta prova constitui a segunda parte do exame de ingresso a` po´s-graduac¸a˜o
do IFGW (Unicamp), IFT (Unesp), IFUSP e IFSC (USP) e CCNH (UFABC).
Ela conte´m problemas de Eletromagnetismo, F´ısica Moderna, e Termodinaˆmica e
Mecaˆnica Estat´ıstica. Todas as questo˜es teˆm o mesmo peso.
• O tempo de durac¸a˜o dessa prova e´ de 4 horas. O tempo mı´nimo de permaneˆncia
na sala e´ de 90 minutos. Procure fazer todos os problemas.
• Resolva cada questa˜o na pa´gina correspondente do caderno de respostas.
As folhas sera˜o reorganizadas para a correc¸a˜o. Se precisar de mais espac¸o, fale com
o professor responsa´vel pela aplicac¸a˜o do exame, que lhe dara´ uma folha extra.
Na˜o esquec¸a de escrever na folha extra, o nu´mero da questa˜o (Q6, ou
Q7, ou . . . ) e o seu co´digo de identificac¸a˜o (EUFxxx).
Use uma folha extra diferente para cada questa˜o.
• Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram
no fim do caderno de respostas.NA˜O AS DESTAQUE. As folhas de rascunho
sera˜o descartadas e questo˜es nelas resolvidas na˜o sera˜o consideradas.
• NA˜O e´ necessa´rio devolver o Formula´rio.
Boa prova!
Q6. Um cilindro muito longo de raio R e´ fabricado com um material isolante cuja cons-
tante diele´trica e´ K (= ǫ/ǫo) e que possui uma densidade de carga livre cilindrica-
mente sime´trica, mas na˜o uniforme ρ(r).
a) Determine ρ(r) tal que o campo ele´trico dentro do cilindro seja radial apon-
tando para fora do mesmo e com mo´dulo constante Eo;
b) para a densidade de carga determinada em (a), calcule o campo ele´trico ~E(r)
fora do cilindro;
c) se o cilindro for enta˜o envolvido por uma casca cil´ındrica condutora neutra
de raio interno a (a > R) e raio externo b (b > a), conceˆntrica ao mesmo,
determine as densidades de carga induzidas nas superf´ıcies da casca condutora;
d) para a situac¸a˜o do item (c), esboce um gra´fico do mo´dulo do campo ele´trico
E(r) em func¸a˜o da distaˆncia ao eixo do cilindro, em todo o espac¸o.
Q7. Uma barra meta´lica uniforme de massa M pode deslizar com atrito desprez´ıvel
ao longo de um par de trilhos horizontais fixos separados por uma distaˆncia d,
conforme mostra a figura abaixo. Os trilhos e a ligac¸a˜o transversal da esquerda sa˜o
altamente condutores, de modo que suas contribuic¸o˜es para a resisteˆncia ele´trica do
circuito retangular sa˜o desprez´ıveis. A barra livre e os contatos com os trilhos fixos
teˆm resisteˆncia ele´trica total R. Ha´ um campo magne´tico uniforme e estaciona´rio
aplicado externamente, de mo´dulo B, orientado verticalmente e apontando para
cima.
a) Determine a corrente i induzida no circuito em termos de d,R,B e v, a veloci-
dade instantaˆnea da barra. Considere como o sentido positivo da corrente na
barra aquele indicado na figura. Ao determinar a corrente induzida, despreze
o campo magne´tico produzido pela pro´pria corrente;
b) suponha que em t = 0 a barra esteja numa posic¸a˜o xo e com velocidade vo.
Determine x(t) e v(t);
c) obtenhaexpresso˜es nume´ricas para x(t), v(t) e i(t) usando os seguintes paraˆmetros:
M = 0,10 kg, d = 1,0 m, R = 1,0 Ω, B = 0,2 T, xo = 3,0 m e vo = 10 m/s.
Qual a posic¸a˜o final da barra quando ela estiver em repouso?
d) E´ justifica´vel desprezar no item (a) o campo magne´tico produzido pela corrente
induzida? Para responder esse item, calcule a raza˜o entre o maior valor do
campo magne´tico produzido pela corrente induzida (Bi) e o valor do campo
aplicado (B). Estime Bi calculando o campo magne´tico na superf´ıcie da barra
livre, assumindo que ela e´ muito longa e tem sec¸a˜o transversal circular com
raio a = 3,0 mm.
d
x(t)
i
1
Q8. Considere o seguinte ciclo ABC, para um mol de ga´s ideal monoatoˆmico: expansa˜o
isote´rmica, de pressa˜o inicial p0 para pressa˜o p0/3, contrac¸a˜o isoba´rica e aqueci-
mento isovolume´trico. No estado inicial, o volume e´ V0.
a) Obtenha expresso˜es para a pressa˜o , volume e temperatura, para cada um dos
treˆs estados, A, B e C, em func¸a˜o de p0 e V0. Obtenha expresso˜es para o
trabalho realizado pelo ga´s e calor recebido pelo mesmo, nos treˆs processos.
b) Obtenha expresso˜es para o calor espec´ıfico a volume constante, cV , e para o
calor espec´ıfico a pressa˜o constante, cp. Explique a origem f´ısica da diferenc¸a
entre as duas grandezas.
c) Obtenha uma expressa˜o para a entropia do ga´s, S, como func¸a˜o da temperatura
e do volume do mesmo. Justifique.
d) Esboce um diagrama temperatura X entropia para o ciclo acima, utilizando o
resultado anterior. Justifique.
Q9. Considere N part´ıculas de massa m, na˜o interagentes, em equil´ıbrio te´rmico a` tem-
peratura T , em movimento unidimensional em uma caixa de comprimento L.
a) Escreva a func¸a˜o de partic¸a˜o cla´ssica para este sistema, Z(T,L,N). Justifique.
b) Obtenha a energia livre de Helmholtz F (T,L,N) e a entropia S(T,L,N) do
sistema.
c) Demonstre, em geral, que a transformada de Legendre da energia interna U(S)
com relac¸a˜o a` entropia S e´ dada por F = U − TS. Utilize esta relac¸a˜o para
obter uma expressa˜o para a energia interna U do sistema em estudo, como
func¸a˜o da temperatura T . Comente o resultado.
d) Esboce gra´ficos de energia interna U e da entropia S em func¸a˜o da tempe-
ratura T . Obtenha o calor espec´ıfico a volume ”L”constante, cL, e discuta a
compatibilidade do resultado obtido com os dois gra´ficos esboc¸ados, de U(T )
e de S(T ).
Q10. Quando Bohr desenvolveu sua teoria atoˆmica procurou-se dar respaldo a mesma
achando-se situac¸o˜es em que ela concordava com resultados experimentais. Consi-
deraremos treˆs dessas aqui, para um a´tomo monoeletroˆnico com massa nuclear M
finita e nu´mero atoˆmico Z. Para isso,
a) deduza a expressa˜o (em func¸a˜o das constantes e, m, h, etc) da energia En dos
n´ıveis quantizados, que sabemos reproduz as linhas principais do espectro de
a´tomos monoeletroˆnicos;
b) calcule a raza˜o En(He
+)/En(H), entre as energias dos n´ıveis eletroˆnicos do
he´lio uma vez ionizado (He+, Z=2 , M=4 u.a.) para aquelas do hidrogeˆnio
(H, Z=1, M=1 u.a.) e
c) mostre que para um nu´mero quaˆntico n muito grande, a frequeˆncia da luz
emitida na transic¸a˜o n→ n−1 coincide com a frequeˆncia cla´ssica de revoluc¸a˜o
do ele´tron no n-e´simo estado. Isso mostra que a teoria obedece o princ´ıpio de
correspondeˆncia.
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