As equações de maxwell

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Eletromagnetismo II
Cap´ıtulo I
As equac¸o˜es de Maxwell
Prof. Dr. Ricardo L. Viana
Departamento de F´ısica
Universidade Federal do Parana´
Curitiba - PR
3 de agosto de 2015
Na disciplina Eletromagnetismo I foram vistas as quatro equac¸o˜es de Maxwell
em detalhes, tanto no va´cuo como em meios materiais. A disciplina Eletromag-
netismo II focalizara´ diversas aplicac¸o˜es das equac¸o˜es de Maxwell, como a pro-
pagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas e a emissa˜o de radiac¸a˜o. Por este motivo,
inicialmente faremos uma revisa˜o das equac¸o˜es de Maxwell, introduzindo um
contexto histo´rico em que elas foram obtidas e acrescentando ainda algumas
das suas consequeˆncias f´ısicas importantes.
1 Introduc¸a˜o
O escoceˆs James Clerk Maxwell (1831-1879), ale´m de ter sido um dos criadores
da Mecaˆnica Estat´ıstica, foi responsa´vel pela criac¸a˜o de uma teoria unificada
para a eletricidade e o magnetismo [Fig. 1]. Maxwell comec¸ou a estudar os
trabalhos de Faraday em 1855, quando ainda era estudante na Universidade de
Cambridge, publicando seu primeiro trabalho em 1856, que propo˜e uma teoria
dos campos ele´trico e magne´tico baseadas em analogias com a hidrodinaˆmica
[1].
Entre 1861 e 1862, quando ja´ era professor no King’s College (Londres),
Maxwell publicou um segundo trabalho, em quatro partes, no Philosophical Ma-
gazine [2]. Nesta se´rie de trabalhos, Maxwell propo˜e um modelo de part´ıculas
ele´tricas e vo´rtices no e´ter, que era considerado a` e´poca um meio ela´stico ne-
cessa´rio para a transmissa˜o das interac¸o˜es ele´tricas e magne´ticas. Um dos con-
ceitos novos introduzidos por Maxwell nestes trabalhos era a chamada corrente
de deslocamento, proporcional a` variac¸a˜o temporal do campo ele´trico, e que
deveria ser adicionada a` corrente ele´trica de conduc¸a˜o na Lei de Ampe`re para
que o princ´ıpio de conservac¸a˜o de carga fosse respeitado.
No modelo mecaˆnico que Maxwell concebeu para o campo eletromagne´tico
no e´ter, os tubos de linhas de forc¸a magne´tica eram concebidos como ce´lulas tu-
bulares cheias de um fluido em rotac¸a˜o em torno das linhas de forc¸a. Para
que tubos adjacentes pudessem girar no mesmo sentido, Maxwell imaginou
1
Figura 1: James Clerk Maxwell.
a existeˆncia de “rolamentos” esfe´ricos, responsa´veis pelas forc¸as ele´tricas, cu-
jos deslocamentos corresponderiam a correntes ele´tricas (da´ı o nome dado por
Maxwell a` corrente de deslocamento, e que e´ usado ate´ os dias de hoje) [Fig.
2]. Maxwell chegou a`s suas equac¸o˜es aplicando a mecaˆnica dos meios cont´ınuos
a este modelo de vo´rtices para o e´ter celular.
Um resultado importante desse artigo de 1861 (Parte III) e´ a hipo´tese de que
o e´ter permitiria a propagac¸a˜o de vibrac¸o˜es transversais com a mesma velocidade
da luz c. Na e´poca de Maxwell o valor de c era conhecido por meio de observac¸o˜es
astronoˆmicas dos sate´lites de Ju´piter (me´todo de Ro¨mer) e por experieˆncias de
laborato´rio. Fizeau, em 1848, usando uma roda dentada em rotac¸a˜o ra´pida e
um espelho, obteve c = 3, 14× 108m/s. Foucault, em 1850, usando um espelho
girante e outro fixo chegou a c = 2, 98× 108m/s.
Experieˆncias eletromagne´ticas realizadas em 1855 por Kohlrausch e Weber
determinaram o valor 3, 107× 108 para a raza˜o entre a unidade eletromagne´tica
absoluta de carga e a unidade eletrosta´tica absoluta de carga. Ale´m disso, a
dimensa˜o desta raza˜o e´ a mesma de velocidade. Em linguagem moderna, esta
igualdade e´ escrita como (no Sistema Internacional de Unidades)
c =
1√
ε0µ0
, (1)
onde ε0 e µ0 sa˜o, respectivamente, a permissividade ele´trica e a permeabilidade
magne´tica do va´cuo. Apesar dessa impressionante coincideˆncia, ningue´m, antes
de Maxwell, parece ter tido a ide´ia de conectar os dois resultados. Em fins
de 1861, enquanto trabalhava na parte III do seu artigo, Maxwell, retornando
de sua fazenda na Esco´cia para Londres, leu o trabalho de Kohlrauch e Weber,
2
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linhas de força
magnetica
de eter
rolamentos esfericos
(deslocamento eletrico)
vortices moleculares
Figura 2: Modelo de vo´rtices para o e´ter proposto por Maxwell.
converteu o resultado num formato compat´ıvel com seu trabalho, e concluiu que
a luz seria uma onda eletromagne´tica, resultante das vibrac¸o˜es do e´ter, como se
fosse uma onda mecaˆnica.
Maxwell publicaria em 1865 um novo trabalho [3], no qual estruturou de
forma mais geral sua teoria unificada dos campos ele´trico e magne´tico, sem o
complicado modelo mecaˆnico de vo´rtices no e´ter, usado anteriormente. Maxwell
passa a aceitar que a energia reside no campo eletromagne´tico, e na˜o nas su-
postas propriedades ela´sticas do e´ter. Ale´m disso, nesse trabalho ele deduz a
equac¸a˜o das ondas eletromagne´ticas.
Em 1871, Maxwell tornou-se professor em Cambridge e o primeiro diretor
do Laborato´rio Cavendish de f´ısica experimental, que criou e existe ate´ hoje.
Dois anos depois, ele publicou um livro trazendo um apanhado dos seus tra-
balhos sobre Eletromagnetismo [4]. Originalmente Maxwell havia escrito um
conjunto de vinte equac¸o˜es com vinte inco´gnitas, incluindo algumas equac¸o˜es
que atualmente sa˜o consideradas auxiliares, como a lei de Ohm e a equac¸a˜o de
continuidade de carga. Na forma original, Maxwell havia escrito uma equac¸a˜o
para cada componente. As equac¸o˜es de Maxwell foram escritas pela primeira
vez na forma vetorial em que as conhecemos atualmente em 1884 por Oliver
Heaviside.
Nos seus primeiros anos de existeˆncia, a teoria de Maxwell ainda era pouco
entendida e ate´ mesmo vista com certa desconfianc¸a, principalmente pois algu-
mas das suas predic¸o˜es ainda na˜o haviam sido verificadas experimentalmente.
Quem mostrou a existeˆncia das ondas eletromagne´ticas, que Maxwell interpre-
tava como as vibrac¸o˜es transversais do e´ter propagando-se a` velocidade da luz,
foi Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve oscilac¸o˜es eletromagne´ticas com alta
frequ¨eˆncia, usando um circuito alimentado por uma fa´ısca, e usando como de-
tector uma espira com um pequeno espac¸o, onde uma outra fa´ısca era gerada
quando excitada por uma onda eletromagne´tica. Com esse equipamento Hertz
demonstrou em 1888 que as ondas eletromagne´ticas propagam-se com a veloci-
dade da luz, como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as propriedades
ondulato´rias (reflexa˜o, refrac¸a˜o, polarizac¸a˜o, etc.). A descoberta de Hertz foi
3
Figura 3: Lei de Gauss ele´trica
rapidamente aplicada na transmissa˜o de sinais a longa distaˆncia.
2 As equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo
Inicialmente vamos abordar apenas as equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo, isto e´,
na auseˆncia de meios materiais (diele´tricos e/ou magne´ticos). Enta˜o estaremos
interessados em situac¸o˜es onde as fontes de campos eletromagne´ticas sejam dis-
tribuic¸o˜es de cargas e correntes ele´tricas. Neste cap´ıtulo, bem como em toda a
disciplina, empregaremos o sistema internacional (MKSA) de unidades, para o
qual as constantes eletromagne´ticas esta˜o relacionadas com a velocidade da luz
no va´cuo pela equac¸a˜o (1).
2.1 Lei de Gauss ele´trica
O fluxo ele´trico atrave´s de uma superf´ıcie S fechada e´ definido como
ΦE =
∮
S
E · dA =
∮
S
E · nˆ dA, (2)
onde dA = (dA)nˆ e´ um elemento de a´rea vetorial, orientada pelo versor nˆ
perpendicular a` superf´ıcie S, e que faz um aˆngulo θ com o campo ele´trico. Por
convenc¸a˜o, o versor nˆ sempre aponta para fora da superf´ıcie S em cada ponto
desta. levando a` Lei de Gauss ele´trica: o fluxo ele´trico atrave´s de uma superf´ıcie
fechada S e´ proporcional a` carga ele´trica l´ıquida q envolvida por S∮
S
E · dA = q
ε0
. (3)
onde
ε0 = 8, 854187817× 10−12 C2/N.m2 (4)
e´ a chamada “permissividade do va´cuo”. Essa forma e´ dita integral pois aplica-
se a regio˜es limitadas do espac¸o (ou, jogando S para o infinito, para todo o
espac¸o).
4
Figura 4: Lei de Gauss magne´tica
Usando o teorema do divergente em (3), transformamos a integral sobre a
superf´ıcie fechada S numa integral de volume do divergente de E sobre a regia˜o
V limitada por S. Da mesma forma, escrevemos a carga l´ıquida q, envolvida
por S, como a integral de uma densidade volume´trica de carga ρ(r) ao longo
dessa mesma regia˜o ∮
S
E · dA =
∫
V
∇ · E dV = q
ε0
=
1
ε0
∫
V
ρ dV,∫
V
(
∇ ·E− ρ
ε0
)
dV = 0.
Se a integral acima e´ nula para um volume V arbitra´rio, enta˜o o integrando
deve ser identicamente nulo para qualquer ponto desse volume, logo
∇ ·E = ρ
ε0
(5)
e´ a forma diferencial da Lei de Gauss ele´trica (vale ponto a ponto no espac¸o).
2.2 Lei de Gauss magne´tica
Em analogia ao racioc´ınio feito para o campo ele´trico, a integral do fluxo
magne´tico ΦB sobre uma superf´ıcie fechada S deveria ser proporcional a` “carga
magne´tica l´ıquida” envolvida por S. No entanto, ate´ hoje na˜o foram observa-
das tais cargas magne´ticas (tambe´m chamados monopo´los magne´ticos) isolada-
mente: as estruturas mais simples conhecidas sa˜o os dipo´los magne´ticos. Por
esse motivo a lei de Gauss magne´tica e´ expressa simplesmente como a nulidade
do fluxo magne´tico atrave´s de uma superf´ıcie fechada: ΦB = 0 ou ainda∮
S
B · dA = 0. (6)
5
Figura 5: Experieˆncia do ima˜-espira
E´ frequente o uso do termo “densidade de fluxo magne´tico” para distinguir o
campo magne´tico B da intensidade magne´ticaH. Essa distinc¸a˜o, no entanto, so´
e´ importante para meios materiais: no va´cuo os dois vetores sa˜o proporcionais.
A unidade de fluxo magne´tico no SI e´ o weber (Wb), de forma que a unidade
do campo magne´tico e´, a`s vezes, referida como 1T = 1Wb/m2.
Aplicando o mesmo racioc´ınio para a integral de superf´ıcie do campo magne´tico
em (6), obtemos a forma diferencial da lei de Gauss magne´tica∇ ·B = 0. (7)
2.3 Lei de Faraday
A lei de Faraday aparece na formulac¸a˜o matema´tica da famosa experieˆncia do
ima˜-espira. Quando um ima˜ e´ aproximado de uma espira aparece uma corrente
induzida, o que provoca uma leitura no galvanoˆmetro. Se o ima˜ esta´ parado
em relac¸a˜o a` espira, na˜o se registra corrente induzida na espira. Ja´ se o ima˜
e´ afastado da espira a corrente e´ induzida no sentido oposto. Desta forma se
observa que: (i) o movimento relativo entre o ima˜ e a espira induz uma forc¸a
eletromotriz na espira; (ii) o sentido da forc¸a eletromotriz induzida e´ tal que
se opo˜e a` causa que a produziu (no caso, o movimento do ima˜ em relac¸a˜o
a` espira). A segunda conclusa˜o, que decorre do princ´ıpio de conservac¸a˜o da
energia, e´ conhecida como Lei de Lenz.
O fluxo magne´tico atrave´s da superf´ıcie aberta S, limitada pela espira, e´
ΦB =
∫
S
B · dA. (8)
Vamos considerar o ima˜ em movimento e a espira em repouso, em relac¸a˜o ao
referencial do laborato´rio. A forc¸a eletromotriz induzida na espira C e´ definida
como
E =
∮
C
E · ds, (9)
6
onde E e´ o campo ele´trico induzido e ds o elemento de deslocamento veto-
rial. Na verdade, a espira nem precisa existir materialmente, basta que C seja
um caminho fechado (“espira amperiana”). Se houver, de fato, uma espira de
resisteˆncia ele´trica R, a corrente induzida sera´ I = E/R.
A lei de Faraday, na sua forma integral, diz que a forc¸a eletromotriz induzida
na espira e´ proporcional a` taxa de variac¸a˜o com o tempo do fluxo magne´tico
atrave´s da espira C, ou seja
E = −dΦB
dt
, (10)
onde o sinal negativo vem da Lei de Lenz, de modo que∮
C
E · ds = − d
dt
∫
S
B · dA. (11)
Usando o Teorema de Stokes em (11), transformamos a integral da circulac¸a˜o
do campo ele´trico E ao longo de um caminho fechado C na integral de superf´ıcie
do rotacional de E ao longo da superf´ıcie aberta S, limitada pelo caminho C.
Supondo, ainda, que a superf´ıcie S na˜o se altere com o passar do tempo, enta˜o∮
C
E · ds =
∫
S
(∇×E) · dA = − ∂
∂t
∫
S
B · dA = −
∫
S
∂B
∂t
· dA,∫
S
(
∇×E+ ∂B
∂t
)
· dA = 0.
Se a integral acima e´ nula para uma superf´ıcie S aberta arbitra´ria, o inte-
grando deve ser identicamente nulo para qualquer ponto dessa superf´ıcie:
∇×E = −∂B
∂t
. (12)
2.4 Lei de Ampe`re-Maxwell
2.4.1 Lei circuital de Ampe`re
Biot, Savart e Ampe`re realizaram, entre 1820 e 1825, uma se´rie de experimentos
para a determinac¸a˜o das forc¸as magne´ticas entre circuitos de corrente ele´trica.
A partir deles, Ampe`re propoˆs que o campo magne´tico produzido por uma dada
distribuic¸a˜o de corrente fosse dado pela seguinte “lei circuital”∮
C
B · ds = µ0I, (13)
onde I e´ a corrente total que intercepta a superf´ıcie limitada pela curva C, e
µ0 = 4π × 10−7N/A2 (14)
e´ a chamada “permeabilidade do va´cuo”.
Escrevemos a corrente ele´trica l´ıquida I atravessando uma superf´ıcie aberta
S como a integral de uma densidade superficial de corrente J(r), tal que
I =
∫
S
J · dA. (15)
7
Figura 6: Lei circuital de Ampe`re
Usamos o Teorema de Stokes em (13) para transformar a integral de caminho
ao longo da curva fechada C numa integral de superf´ıcie atrave´s da superf´ıcie
aberta S delimitada por C. Usando (15) e supondo que a superf´ıcie S na˜o se
altera com o tempo temos∮
C
B · ds =
∫
S
(∇×B) · dA = µ0
∫
S
J · dA∫
S
(∇×B− µ0J) · dA = 0.
Se a integral acima e´ nula em S, assim tambe´m o integrando em cada ponto
de S, resultando na forma diferencial da Lei circuital de Ampe`re
∇×B = µ0J. (16)
2.4.2 Corrente de deslocamento de Maxwell
Maxwell percebeu que a lei de Ampe´re, na forma (16), viola o princ´ıpio de
conservac¸a˜o de carga quando aplicada a correntes ele´tricas na˜o-estaciona´rias.
Como um exemplo, consideramos um capacitor de placas paralelas sendo car-
regado por uma bateria [Fig. 7]. Num certo instante de tempo (da ordem da
constante de tempo do circuito) a corrente que alimenta as placas do capacitor
e´ I.
Vamos aplicar a lei circuital de Ampe`re (13) ao percurso fechado C que
envolve uma superf´ıcie circular aberta S que e´ interceptada pela corrente de
conduc¸a˜o I: ∮
C
B · ds = µ0I. (17)
Entretanto, se aplicarmos a lei circuital de Ampe`re a` superf´ıcie aberta S′, que
passa por entre as placas do capacitor e tambe´m e´ limitada pelo caminho
fechado C, teremos ∮
C
B · ds = 0, (18)
8
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S
S’
C
capacitor
II
Figura 7: Corrente de deslocamento num circuito contendo um capacitor de
placas paralelas.
pois na˜o ha´ corrente de conduc¸a˜o entre as placas do capacitor. Como explicar
essa discrepaˆncia? Na˜o estaria havendo uma violac¸a˜o da lei de conservac¸a˜o de
carga, aplicada ao circuito como um todo (dentro e fora das placas)?
Maxwell percebeu que a soluc¸a˜o desse problema passava em imaginar uma
“corrente de deslocamento” Id que, ao inve´s de descrever um movimento real de
cargas (como na corrente de conduc¸a˜o), esta´ relacionada a` variac¸a˜o temporal
do campo ele´trico entre as placas do capacitor. A quantidade Id deve ter as
mesmas dimenso˜es de I, ou seja Ampe`re (no SI) ou statampe`re (no Gaussiano).
No exemplo do capacitor de placas paralelas, se estas tiverem a´rea A e
a distaˆncia entre elas for suficientemente pequena para que as placas sejam
tratadas como sendo infinitamente extensas, a lei de Gauss nos fornece o campo
ele´trico entre as placas:
E(t) =
q(t)
ε0A
, (19)
onde I = dq/dt e´ a taxa com que a carga nas placas do capacitor esta´ aumen-
tando ou diminuindo. A taxa de variac¸a˜o temporal do campo ele´trico entre as
placas sera´, pois
dE
dt
=
1
ε0A
dq
dt
=
I
ε0A
. (20)
Supondo que haja conservac¸a˜o de carga em todo o circuito, a corrente de
deslocamento entre as placas ID deve ser igual a` corrente de conduc¸a˜o I fora
das placas, ou seja,
Id = I = ε0A
dE
dt
. (21)
Em geral, definimos uma densidade de corrente de deslocamento como sendo
Jd ≡ ε0 ∂E
∂t
. (22)
Maxwell, no contexto da sua teoria do campo eletromagne´tico, associou o campo
ele´trico ao deslocamento sem atrito de rolamentos entre os vo´rtices do e´ter.
Por esse motivo, por razo˜es histo´ricas, esse termo ate´ hoje e´ conhecido como
densidade de corrente de deslocamento, ainda que na˜o envolva deslocamento
algum de cargas.
9
Maxwell enta˜o propoˆs que a lei circuital de Ampe`re fosse modificada na
presenc¸a de correntes na˜o-estaciona´rias, pela inclusa˜o da densidade de corrente
de deslocamento a` densidade de corrente de conduc¸a˜o J em (16):
∇×B = µ0(J+ Jd). (23)
Substituindo (22) temos
∇×B− 1
c2
∂E
∂t
= µ0J, (24)
que e´ a lei de Ampe`re-Maxwell.
Integrando (24) numa superf´ıcie aberta e fixa S e aplicando o teorema de
Stokes a` primeira integral obtemos a forma integral da Lei de Ampe`re-Maxwell:∮
C
B · ds = µ0I + 1
c2
∂
∂t
∫
S
E · dA. (25)
2.5 Resumo
As quatro equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo (nas formas integral e diferencial) sa˜o
1. Lei de Gauss ele´trica∮
S
E · dA = q
ε0
, ∇ ·E = ρ
ε0
, (26)
2. Lei de Gauss magne´tica∮
S
B · dA = 0, ∇ ·B = 0, (27)
3. Lei de Faraday∮
C
E · ds = − ∂
∂t
∫
S
B · dA, ∇×E = −∂B
∂t
, (28)
4. Lei de Ampe`re-Maxwell∮
C
B · ds = µ0I + 1
c2
∂
∂t
∫
S
E · dA, ∇×B = µ0J+ 1
c2
∂E
∂t
. (29)
Os campos eletromagne´ticos E(r, t) e B(r, t) provocam forc¸as dadas por
(“forc¸a de Lorentz”)
F = q (E+ v ×B) , (30)
onde q e v sa˜o a cargae a velocidade, respectivamente, da part´ıcula. A forc¸a
F, por sua vez, leva a uma alterac¸a˜o do movimento das part´ıculas carregadas
(segunda Lei de Newton do movimento), o que modifica portanto os pro´prios
campos eletromagne´ticos de acordo com as equac¸o˜es de Maxwell. Desta forma,
o conjunto de equac¸o˜es de Maxwell mais a forc¸a de Lorentz trata os campos
eletromagne´ticos de forma auto-consistente.
10
3 Potenciais eletromagne´ticos
No´s partimos das duas equac¸o˜es de Maxwell que sa˜o homogeˆneas: a lei de
Faraday (28) e a lei de Gauss magne´tica (27):
∇×E+ ∂B
∂t
= 0, (31)
∇ ·B = 0. (32)
Para campos eletromagne´ticos dependentes do tempo ∂B/∂t 6= 0 e, de (31)
resulta que ∇× E 6= 0. Logo, na˜o podemos escrever o campo ele´trico simples-
mente como o gradiente de um potencial escalar ϕ, como se faz na eletrosta´tica
(onde E = −∇ϕ). No entanto, da lei de Gauss magne´tica (32) resulta que
o campo magne´tico pode sempre ser escrito como o rotacional de um vetor,
chamado potencial vetorial A(r, t):
B = ∇×A, (33)
ja´ que ∇ ·B = ∇ · ∇ ×A ≡ 0.
Substituindo (33) na lei de Faraday (31) temos
∇×E+ ∂
∂t
∇×A = ∇×
(
E+
∂A
∂t
)
= 0,
de forma que o termo entre pareˆnteses pode ser, dessa vez, escrito como o
gradiente de um potencial escalar ϕ(r, t):
E+
∂A
∂t
= −∇ϕ,
ja´ que
∇×
(
E+
∂A
∂t
)
= −∇×∇ϕ ≡ 0,
e o campo ele´trico sera´ enta˜o a combinac¸a˜o dos dois potenciais:
E = −∇ϕ− ∂A
∂t
. (34)
4 Transformac¸o˜es de calibre
E´ importante destacar que os potenciais escalar e vetorial na˜o determinam uni-
vocamente os campos ele´trico e magne´tico. Como um exemplo, seja o seguinte
campo magne´tico uniforme: B = Bzˆ, que pode ser obtido a partir do poten-
cial vetorial A1 = −Byyˆ, como pode ser verificado calculando diretamente o
rotacional.
Por outro lado, um campo magne´tico uniforme qualquer pode ser obtido a
partir do seguinte potencial
A2 =
1
2
r×B (35)
11
ja´ que, aplicando uma identidade vetorial e a lei de Gauss magne´tica temos
∇×A2 = 1
2
∇× (r×B) (36)
=
1
2

(r · ∇)B︸ ︷︷ ︸
=0
− (B · ∇)r︸ ︷︷ ︸
=B
+B (∇ ·B)︸ ︷︷ ︸
=0
−B (∇ · r)︸ ︷︷ ︸
=3

 = 1
2
(3B−B) = B.
Ha´, na verdade, um nu´mero infinitamente grande de potenciais escalares e
vetoriais que determinam os mesmos campos ele´trico e magne´tico. Este fato
pode parecer um pesadelo para a teoria eletromagne´tica mas, na verdade, e´
algo muito interessante pois, como ha´ diversos potenciais que correspondem aos
mesmos campos, podemos escolheˆ-los conforme nossa convenieˆncia ou necessi-
dade.
Podemos generalizar essa discussa˜o supondo χ(r, t) uma func¸a˜o arbitra´ria
da posic¸a˜o e do tempo. Podemos fazer as seguintes transformac¸o˜es de calibre
(ou de “gauge”) sobre os potenciais
A→ A′ = A−∇χ, (37)
ϕ→ ϕ′ = ϕ+ ∂χ
∂t
, (38)
sem alterar os campos ele´trico e magne´tico correspondentes. Assim, dados os
potenciais ϕ e A podemos construir uma infinidade de outros potenciais igual-
mente bons apenas escolhendo formas adequadas da func¸a˜o χ.
Para verificar que as transformac¸o˜es de calibre na˜o alteram os campos, no´s
substitu´ımos (37) em (33)
B′ = ∇×A′ = ∇× (A−∇χ) = ∇×A+∇×∇χ = B,
e tambe´m (38) em (34):
E′ = −∇ϕ′ − ∂A
′
∂t
= −∇
(
ϕ+
∂χ
∂t
)
− ∂
∂t
(A−∇χ) =
E− ∂
∂t
∇χ+ ∂
∂t
∇χ = E.
Dados os potenciais ϕ e A, os campos ele´trico e magne´tico (que sa˜o as
quantidades fisicamente mensura´veis) sa˜o determinados a menos da escolha de
um calibre χ(r, t). Escolhido esse calibre de uma forma conveniente, podemos
trabalhar com os potenciais, o que e´ matematicamente mais simples pois, em
lugar de seis campos escalares (treˆs componentes de cada vetor de campo) no´s
trabalhamos com apenas quatro (treˆs para o potencial vetorial e um para o
potencial escalar).
Na teoria eletromagne´tica dois calibres sa˜o tradicionalmente usados para
determinarmos completamente o potencial vetor:
1. calibre de Coulomb
∇ ·A = 0, (39)
mais utilizado em magnetosta´tica;
12
2. calibre de Lorenz 1
∇ ·A+ 1
c2
∂ϕ
∂t
= 0. (40)
empregado quando os campos eletromagne´ticos dependem do tempo.
5 As equac¸o˜es de Maxwell em meios materiais
Um meio cont´ınuo e´ aquele para o qual os elementos de volume sa˜o pequenos o
suficiente para que possamos trata´-los matematicamente como diferenciais (dV ),
mas grandes os suficiente para que ainda contenham um nu´mero apreciavelmente
grande de a´tomos ou mole´culas. O eletromagnetismo cla´ssico trata os meios
materiais (como condutores, diele´tricos, etc.) como meios cont´ınuos, e investiga
quantidades f´ısicas me´dias, onde as me´dias sa˜o tomadas sobre elementos de
volume do meio material.
Nesse processo, ignoramos flutuac¸o˜es macrosco´picas que decorrem da es-
trutura atoˆmico-molecular da mate´ria, um enfoque iniciado por H. Lorentz na
virada do se´culo XIX. Por exemplo, dentro da mate´ria ha´ um campo ele´trico
microsco´pico e agindo sobre os a´tomos ou mole´culas, e que depende de uma
forma complicada do tipo de rede cristalina, das flutuac¸o˜es te´rmicas, etc. Ja´ o
campo ele´trico macrosco´pico E sera´ uma me´dia deste campo microsco´pico para
um elemento de volume do meio material: E = e¯.
Em meios materiais, duas equac¸o˜es de Maxwell permanecem inalteradas: a
lei de Gauss magne´tica (27) e a lei de Faraday (28). Ja´ a lei de Gauss ele´trica e
a lei de Ampe`re-Maxwell devem ser modificadas para levar em conta a resposta
do meio aos campos aplicados.
5.1 Lei de Gauss ele´trica
5.1.1 Polarizac¸a˜o
Meios diele´tricos respondem a campos ele´tricos atrave´s do surgimento de cargas
ligadas, ou cargas de polarizac¸a˜o. A polarizac¸a˜o de um meio e´ o momento de
dipolo ele´trico total por unidade de volume. Supondo, por simplicidade, que
todas as N mole´culas do diele´trico sejam da mesma espe´cie e tenham momentos
de dipolo (permanentes ou induzidos) iguais a p, enta˜o o momento de dipolo
total sera´ Np, de modo que a polarizac¸a˜o e´
P =
Np
V
= np, (41)
onde n = N/V e´ o nu´mero de mole´culas por unidade de volume.
Um campo de polarizac¸a˜o inomogeˆneo provoca o aparecimento de uma den-
sidade de cargas ligadas (ou de polarizac¸a˜o) no meio, dada em termos da pola-
rizac¸a˜o como
ρP = −∇ ·P, (42)
tal que a carga ele´trica total seja a soma das cargas livres mais as cargas de
polarizac¸a˜o, ou seja
ρT = ρ+ ρP = ρ−∇ ·P. (43)
1Embora costume-se atribuir indevidamente essa expressa˜o a Hendrik Lorentz, ela e´ origi-
nalmente devida a Ludvig Lorenz (1867).
13
Figura 8: Laˆmina diele´trica num capacitor de placas paralelas. Observe a
formac¸a˜o de cargas superficiais de polarizac¸a˜o pro´ximo a`s placas.
5.1.2 Deslocamento ele´trico
A lei de Gauss ele´trica, no va´cuo, e´ [cf. Eq. (26)]:
∇ ·E = ρ
ε0
(44)
onde ρ e´ a densidade de cargas livres. Num meio diele´trico, no´s simplesmente
substituimos ρ pela densidade de carga total (43), para levar em conta as cargas
ligadas:
∇ ·E = ρT
ε0
=
1
ε0
(ρ−∇ ·P) . (45)
Multiplicando os dois membros de (45) por ε0 e definindo o vetor desloca-
mento ele´trico como
D = ε0E+P, (46)
a lei de Gauss ele´trica e´ escrita na forma
∇ ·D = ρ. (47)
Observe que o deslocamento ele´trico na˜o tem um significado f´ısico espec´ıfico:
ele e´ introduzido simplesmente como uma quantidade auxiliar, que nos permite
calcular os campos no interior dos diele´tricos sem precisar conhecer a priori a
distribuic¸a˜o das cargas de polarizac¸a˜o. Entretanto, o uso do vetorD so´ e´ consis-
tente se conhecermos tambe´m, de forma independente, uma relac¸a˜o constitutiva
que vincule E e D para um dado meio diele´trico.
5.1.3 Constante diele´trica
Existe uma relac¸a˜o constitutiva entre a polarizac¸a˜o e o campo ele´trico aplicado
a um diele´trico. Para meios isotro´picos e campos suficientemente fracos, estas
duas quantidades sa˜o linearmenteproporcionais:
P = ε0χeE, (48)
onde χe e´ chamada susceptibilidade diele´trica do meio. Para o va´cuo obviamente
na˜o ha´ polarizac¸a˜o e χe = 0. Uma relac¸a˜o constitutiva semelhante existe entre
o deslocamento ele´trico e o campo ele´trico:
D = εE = ε0KE, (49)
14
Tabela 1: Constantes diele´tricas para alguns materiais.
Material K Material K
Ar (1 atm) 1, 00059 NaCl 3− 15
Teflon 2, 1 Grafite 10− 15
Polietileno 2, 25 Sil´ıcio 11, 68
Polimida 3, 4 Amoˆnia (20oC) 17
Polipropileno 2, 2− 2, 36 Metanol 30
Papel 3, 85 A´gua (20oC) 80, 1
Vidro (pirex) 3, 7− 10 T iO2 86− 173
Borracha 7 T iSr 810
Diamante 5, 5− 10 T iBa (20oC) 1250
Madeira 2, 5− 8, 0 T iBa (120oC) 10000
onde introduzimos a permissividade ele´trica do meio por
ε = Kε0. (50)
e K e´ chamada permissividade relativa ou ainda constante diele´trica (adimen-
sional). Para o va´cuo ε = ε0 ou K = 1. Para todos os meios materiais, pode-se
mostrar que K > 1.
Substituindo (48) em (46) e comparando com (49) temos uma relac¸a˜o entre
as constantes
K = 1 + χe. (51)
Na tabela 1 mostramos os valores de κ para alguns diele´tricos.
5.2 Lei de Ampe`re-Maxwell
5.2.1 Magnetizac¸a˜o
A origem do magnetismo nos meios materiais e´ a presenc¸a de momentos de
dipolo microsco´picos, que podem ser tanto de origem orbital (devido ao movi-
mento das part´ıculas) como intr´ınseca (devido ao spin das part´ıculas). Sem en-
trar ainda em considerac¸o˜es mais aprofundadas sobre a origem destes momentos
magne´ticos, vamos supor, como na f´ısica cla´ssica, que a origem do magnetismo
esta´ em espiras microsco´picas de corrente. O momento de dipolo magne´tico
devido a uma espira de a´rea A, conduzindo uma corrente I, e´ um vetor perpen-
dicular ao plano da espira, cujo mo´dulo e´ dado por m = IA.
A magnetizac¸a˜o de um meio material e´ o momento de dipolo magne´tico total
por unidade de volume. Se houver apenas um tipo de a´tomos, e se todos eles
estiverem alinhados, a magnetizac¸a˜o e´
M = nm, (52)
onde n e´ o nu´mero de a´tomos por unidade de volume em e´ o momento magne´tico
de cada um deles. Caso os momentos magne´ticos na˜o estejam totalmente ali-
nhados (devido a` agitac¸a˜o te´rmica, por exemplo), a magnetizac¸a˜o e´ n vezes o
momento magne´tico me´dio.
15
Figura 9: Corrente de magnetizac¸a˜o.
Uma magnetizac¸a˜o espacialmente inomogeˆnea provoca o aparecimento de
uma densidade de corrente de magnetizac¸a˜o
Jm(r) = ∇×M(r), (53)
5.2.2 Corrente de polarizac¸a˜o
Em meios diele´tricos pode aparecer tambe´m uma corrente ligada a` aparente con-
vecc¸a˜o de cargas ligadas, quando a polarizac¸a˜o depende do tempo. Isto pode
ocorrer, por exemplo, devido a` interac¸a˜o de cargas com ondas eletromagne´ticas.
A polarizac¸a˜o de um diele´trico surge devido ao movimento de separac¸a˜o dos
centros de carga nas mole´culas. Uma variac¸a˜o temporal da polarizac¸a˜o im-
plica numa mudanc¸a neste movimento, o que pode ser interpretado como uma
corrente, ainda que as cargas sejam ligadas.
A densidade de carga de polarizac¸a˜o dentro de um volume V e´ dada por (42).
Derivando em relac¸a˜o ao tempo obtemos a corrente (efetiva) de polarizac¸a˜o do
meio:
Ip = −dqp
dt
=
∂
∂t
∫
V
∇ ·P dV =
∫
V
∇ · ∂P
∂t
dV. (54)
donde podemos definir uma densidade de corrente de polarizac¸a˜o
Jp =
∂P
∂t
. (55)
5.2.3 Intensidade magne´tica
Partindo da lei de Ampe`re-Maxwell no va´cuo (24
∇×B− 1
c2
∂E
∂t
= µ0J, (56)
podemos adapta´-la para a descric¸a˜o de meios materiais (diele´tricos e magne´ticos)
substituindo J por uma corrente total, que consiste das correntes de conduc¸a˜o,
magnetizac¸a˜o e polarizac¸a˜o, esta u´ltima dada por (55):
Jt = J+ Jm + Jp = J+∇×M(r) + ∂P
∂t
. (57)
Introduzimos, agora, o vetor intensidade magne´tica
H =
1
µ0
B−M, (58)
16
Tabela 2: Susceptibilidade magne´tica de alguns materiais (quantidade adimen-
sional no SI).
Paramagne´ticos Diamagne´ticos
Material χm Material χm
Ce´sio 5, 1× 10−5 Bismuto −1, 66× 10−4
Alumı´nio 2, 3× 10−5 Cobre −0, 98× 10−5
Tungsteˆnio 6, 8× 10−5 Diamante −2, 2× 10−5
Oxigeˆnio (1 atm) 2, 09× 10−6 Hidrogeˆnio (1 atm) −2, 1× 10−9
L´ıtio 1, 4× 10−5 Nitrogeˆnio (1 atm) −5, 0× 10−9
Magne´sio 1, 2× 10−5 Mercu´rio −2, 9× 10−5
So´dio 0, 72× 10−5 Chumbo −1, 8× 10−5
tal que, substituindo (57) em (56) obtemos a lei de Ampe´re-Maxwell em meios
materiais:
∇×H− ∂D
∂t
= J. (59)
Assim como D, a intensidade magne´tica H na˜o tem um significado f´ısico
particular. Ela e´ introduzida para que possamos calcular os campos magne´ticos
na presenc¸a de meios materiais sem precisar conhecer de antema˜o a distribuic¸a˜o
de correntes de magnetizac¸a˜o. Esse procedimento, entretanto, so´ e´ consistente
se conhecermos uma relac¸a˜o constitutiva que vincule B e H.
5.2.4 Permeabilidade magne´tica
Em materiais na˜o-ferromagne´ticos e isotro´picos, a relac¸a˜o constitutiva entre M
e H e´ linear:
M = χmH, (60)
onde χm e´ a susceptibilidade magne´tica, que e´ adimensional no sistema SI
2 O
sinal da susceptibilidade varia de acordo com o tipo de material:
• Materiais paramagne´ticos: χm e´ positivo. O campo magne´tico dentro do
meio e´ reforc¸ado pela presenc¸a de momentos magne´ticos alinhados com o
campo.
• Materiais diamagne´ticos: χm e´ negativo. O campo magne´tico dentro do
meio e´ enfraquecido pela presenc¸a de momentos magne´ticos que esta˜o
anti-alinhados com o campo.
Em geral, para meios para e diamagne´ticos a susceptibilidade, em mo´dulo, e´
sempre muito baixa, da ordem de 10−5 − 10−8. Na tabela 2 mostramos valores
de χm para alguns materiais na˜o-ferromagne´ticos
3.
A relac¸a˜o constitutiva e´ tambe´m linear entre os vetores B e H:
B = µH = µ0KmH, (61)
2Ha´ diversas maneiras, na literatura, de definir a susceptibilidade magne´tica. O leitor deve
estar atento a isso quando for utilizar valores nume´ricos de tabelas.
3No´s tabulamos a chamada susceptibilidade magne´tica volume´trica. Existem, ainda, as
susceptibilidades molares e de massa.
17
Figura 10: Curva de histerese para um material ferromagne´tico.
onde µ e´ a permeabilidade do meio, dada por
µ = Kmµ0, (62)
onde tambe´m definimos a permeabilidade relativa Km. No va´cuo, como na˜o
ha´ magnetizac¸a˜o teremos χm = 0 e Km = 1, de modo que B = µ0H simples-
mente. Em meios paramagne´ticos (diamagne´ticos) a permeabilidade relativa e´
ligeiramente maior (menor) que 1: em diversas situac¸o˜es no´s inclusive podemos
negligenciar a magnetizac¸a˜o do meio frente a outros efeitos.
Substituindo (60) em (58) e comparando com (61) temos uma relac¸a˜o entre
a permeabilidade e a susceptibilidade magne´tica
Km = 1 + χm. (63)
Materiais ferromagne´ticos, por outro lado, na˜o obedecem a uma relac¸a˜o li-
near entre B e H, como no caso de para e diamagne´ticos. No entanto, podemos
imaginar que uma relac¸a˜o deste tipo exista localmente, ou seja, a susceptibili-
dade relativa κm = µ/µ0 na˜o e´ mais uma constante, mas dependera´ do campo
magne´tico B. Num meio ferromagne´tico, como o Ferro, o valor de κm pode
variar desde 100 ate´ 105 dependendo da intensidade magne´tica (portanto da
corrente I no soleno´ide). De qualquer forma, para um nu´cleo ferromagne´tico o
campo sera´ algumas ordens de grandeza maior do que para nu´cleo de ar, devido
a` forte magnetizac¸a˜o que materiais deste tipo apresentam.
De modo geral, meios ferromagne´ticos possuem uma magnetizac¸a˜o perma-
nente, bem como uma alta permeabilidade magne´tica. No entanto, a relac¸a˜o
constitutiva entre B e H e´ na˜o-linear
B = F(H), (64)
e tambe´m exibe um efeito de memo´ria, ou seja, o valor de B depende da histo´ria
pregressa das suas variac¸o˜es. A relac¸a˜o B ×H , para meios ferromagne´ticos, e´
usualmente dada a partir da sua curva de histerese [Fig. 10].
18
6 Condutividade ele´trica
Na presenc¸a de um campo ele´trico dentro do condutor,aparece uma corrente
estaciona´ria, correspondendo a um fluxo l´ıquido de portadores de carga num
certo sentido, correspondendo a uma densidade de corrente J. A intensidade de
corrente l´ıquida e´ a integral
I =
∫
S
J · dA (65)
ao longo de uma superf´ıcie aberta S que intercepte o condutor.
Para correntes estaciona´rias limitadas a uma regia˜o de volume V a carga
me´dia total deve manter-se constante. Pela equac¸a˜o de continuidade (93) temos
que, uma vez que ∂ρ/∂t = 0, enta˜o
∇ · J = 0. (66)
O campo ele´trico e´ constante dentro de um condutor por onde flui uma
corrente estaciona´ria. Logo, pela Lei de Ampe`re, o campo magne´tico produ-
zido tambe´m sera´ constante. Da lei de Faraday (28) temos a mesma condic¸a˜o
eletrosta´tica
∇×E = 0, (67)
aplicada a correntes estaciona´rias, portanto podemos continuar usando o poten-
cial ele´trico no estudo de circuitos, como e´ de praxe.
Ha´ uma relac¸a˜o constitutiva entre a densidade de corrente e o campo ele´trico,
dependente do meio material considerado. Para meios materiais homogeˆneos
isotro´picos a relac¸a˜o entre J e E e´ linear (lei de Ohm):
J = σE, (68)
onde σ e´ a condutividade ele´trica do material [Tabela 3]. Condutores meta´licos
teˆm condutividades da ordem de 106 − 107Ω.m. Em isolantes (diele´tricos) ela
e´ baix´ıssima, da ordem de 10−11 a 10−25Ω.m. O inverso da condutividade e´ a
resistividade (1/σ) do material.
7 Resumo
As quatro equac¸o˜es de Maxwell em meios materiais (na forma diferencial) sa˜o
1. Lei de Gauss ele´trica
∇ ·D = ρ, (69)
2. Lei de Gauss magne´tica
∇ ·B = 0, (70)
3. Lei de Faraday
∇×E = −∂B
∂t
, (71)
19
Tabela 3: Condutividade ele´trica (a 20oC) de alguns materiais
Material σ[S/m] Material σ[S/m]
Prata 6, 30× 107 Ouro 4, 10× 107
Cobre 5, 96× 107 Alumı´nio 3, 5× 107
Tungsteˆnio 1, 79× 107 Ferro 4, 55× 106
Platina 9, 43× 106 Manganina 2, 07× 106
Constantan 2, 04× 106 Nicromo 9, 09× 105
Mercu´rio 1, 02× 106 Carbono (amorfo) 1, 25− 2, 0× 103
Germaˆnio 2, 17 A´gua do mar 4, 8
A´gua pota´vel 5× 10−4 − 5× 10−2 A´gua deionizada 5, 5× 10−6
Sil´ıcio 1, 56× 10−3 GaAs 5× 10−8 − 103
Vidro 10−11 − 10−15 Quartzo (fundido) 1, 3× 10−18
Ar 3− 8× 10−15 Teflon 10−25 − 10−23
4. Lei de Ampe`re-Maxwell
∇×H = J+ ∂D
∂t
, (72)
onde definem-se os campos auxiliares
• deslocamento ele´trico
D = ε0E+P, (73)
• intensidade magne´tica
H =
1
µ0
B−M, (74)
sujeitos a`s seguintes relac¸o˜es constitutivas (para meios lineares e isotro´picos)
• diele´tricos
D = εE = Kε0E, (75)
• meios dia e paramagne´ticos
B = µH = Kmµ0H, (76)
• condutores
J = σE, (77)
8 Condic¸o˜es de contorno
8.1 Caixa de p´ılulas gaussiana
Seja uma caixa de p´ılulas gaussiana de altura h e a´rea da base A, interceptando
a interface entre dois meios materiais, com constantes diele´tricas (K1,K2) e
20
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K
K
D1
D2
dA1
dA 2
interface
base 1
base 2
lateral
σs
1
2
h
A
Figura 11: Caixa de p´ılulas gaussiana na interface entre dois meios materiais.
magne´ticas (Km1,Km2). Aplicando a lei de Gauss ele´trica na forma integral e
o teorema do divergente∫
V
∇ ·D dV =
∮
S
D · dA = σSA,
onde admitimos a existeˆncia de uma densidade de carga superficial (livre) σS
na interface. Logo∫
2
D2 · dA2 +
∫
lateral
D · dA+
∫
1
D1 · dA1 = σSA.
Fazendo h → 0 a contribuic¸a˜o da a´rea lateral se anula e, como dA1 =
−dAnˆ = −dA2, temos que
(D2 −D1) · nˆA = σSA,
ou seja, as componentes normais de D sa˜o descont´ınuas, seu salto sendo pro-
porcional a` densidade de carga livre na interface:
D2n −D1n = σS . (78)
Naturalmente, se na˜o houver carga livre na interface enta˜o D1n = D2n. Para
diele´tricos que satisfazem (75) escreve-se
K2E2n −K1E1n = σS
ε0
. (79)
Fazendo um racioc´ınio ana´logo para a lei de Gauss magne´tica (27), temos a
continuidade das componentes normais de B, ou seja
B2n −B1n = 0. (80)
21
interface
E
E2
ds1
ds2
h
l
K2
K
1
C
n
t x n
t^
^
^^
1
Figura 12: Espira amperiana na interface entre dois meios materiais.
8.2 Espira amperiana
Seja uma espira amperiana retangular de altura h e largura ℓ, interceptando
a interface entre dois meios materiais, com constantes diele´tricas (K1,K2) e
magne´ticas (Km1,Km2). Aplicando a lei de Faraday na forma integral e o
teorema de Stokes ∫
S
(∇×E) · dA =
∮
C
E · ds = −
∫
S
∂B
∂t
· dA∫
2
E2 · ds2 +
∫
lateral
E · ds+
∫
1
E1 · ds1 = −
∫
S
∂B
∂t
· dA
Fazendo h→ 0 a integral ao longo das laterais da espira tende a zero. Ale´m
disso, supondo que ∂B/∂t seja finito em S, a a´rea de S tambe´m tende a zero,
assim como a integral do lado direito. Introduzimos um triedro de versores na
interface: nˆ e´ o versor normal, tˆ o versor tangencial, e tˆ× nˆ o versor na direc¸a˜o
dos lados da espira. Temos, assim, que
ds2 = (tˆ× nˆ)ds2 = −ds1,
de modo que
(E2 −E1) · (tˆ× nˆ)ℓ = 0,
e que pode ser reescrita como
nˆ× (E2 − E1) = 0. (81)
Definindo a componente tangencial do campo ele´trico como Et = nˆ×E essa
condic¸a˜o de contorno e´ simplesmente
E2t − E1t = 0. (82)
22
Aplicando, agora, a lei de Ampe`re-Maxwell a essa espira temos∫
S
(∇×H) · dA =
∫
S
J · dA+ ∂D
∂t
Usando o teorema de Stokes, e admitindo a existeˆncia de uma densidade de
corrente (livre) J = K/δ fluindo sobre a interface S (com uma espessura δ),
temos ∮
C
H · ds =
∫
S
K
δ
· dA+ ∂D
∂t
A integral fechada e´ similar a`quela vista anteriormente para a lei de Faraday.
Tomando o limite h→ 0 a integral de ∂D/∂t tambe´m se anula, de modo que
(H2 −H1) · (tˆ× nˆ)ℓ =
∫
S
K
δ
· tˆ dA = K
δ
· tˆ (δℓ)
dando
nˆ× (H2 −H1) = K, (83)
ou, ainda, representando a descontinuidade da componente tangencial de H
devido a uma densidade de corrente na interface
H2t −H1t = Kt. (84)
Para materiais magne´ticos que satisfazem (76) temos
B2t
Km2
− B1t
Km1
= µ0Kt. (85)
Em qualquer uma das condic¸o˜es de contorno acima, se um dos meios for o
va´cuo enta˜o K = 1 e Km = 1.
8.3 Condic¸o˜es de contorno envolvendo condutores
Sabemos que D = E = 0 no interior de um condutor. Vamos supor que o
meio 1 seja um diele´trico e o meio 2 um condutor. Portanto, para a interface
diele´trico-condutor a condic¸a˜o de contorno (78) fica 0 −D1n = σ, onde σS e´ a
densidade de carga na superf´ıcie do condutor. Lembramos que toda carga em
excesso de um condutor em equil´ıbrio concentra-se na sua superf´ıcie externa.
Logo
E2n = 0⇒ ε1E1n = −σS . (86)
Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo ele´trico (82),
como E2t = 0, enta˜o para a interface vale
E1t = 0, (87)
ou seja, o campo ele´trico deve ser normal a` interface (superf´ıcie do condutor)
em cada ponto.
As condic¸o˜es de contorno (80) e (84) para o campo magne´tico continuam
valendo sem alterac¸o˜es para os condutores:
B1n = B2n, H1t = H1t, (88)
ja´ que para condutores que satisfazem a` Lei de Ohm na˜o pode haver correntes
superficiais livres, uma vez que isso exigiria um campo ele´trico infinitamente
grande na interface [5].
23
9 Conservac¸a˜o de carga
Um dosprinc´ıpios mais fundamentais da F´ısica e´ o da conservac¸a˜o da carga
ele´trica. Vamos considerar uma regia˜o de volume V limitada por uma superf´ıcie
fechada S. De (15) sabemos que a corrente l´ıquida que passa por essa regia˜o e´
I = −
∮
S
J · dA, (89)
onde o sinal negativo corresponde ao fato que o elemento de a´rea vetorial dA
aponta, por convenc¸a˜o, para fora da regia˜o. Usando o teorema do divergente
temos que
I = −
∫
V
∇ · J dV. (90)
O princ´ıpio de conservac¸a˜o de carga impo˜e que qualquer mudanc¸a na carga
envolvida por S seja devido a um fluxo l´ıquido de cargas atrave´s da superf´ıcie
S. Por exemplo, se a carga q aumenta dentro de S, e´ por que houve um fluxo
l´ıquido de fora para dentro de cargas, ou seja, uma corrente l´ıquida para dentro.
Dessa forma
I =
dq
dt
=
d
dt
∫
V
ρ dV =
∫
V
∂ρ
∂t
dV = −
∫
V
∇ · J dV. (91)
onde supo˜e-se que a fronteira S na˜o se altere com o tempo. Passando tudo para
o lado esquerdo ∫
V
[
∂ρ
∂t
+∇ · J
]
dV = 0. (92)
Como a integral e´ nula para um volume arbitra´rio, o integrando deve ser
identicamente nulo:
∂ρ
∂t
+∇ · J = 0, (93)
conhecida como equac¸a˜o da continuidade.
Podemos mostrar que as equac¸o˜es de Maxwell implicam na equac¸a˜o de con-
tinuidade, o que quer dizer que o princ´ıpio da conservac¸a˜o de carga esta´, por
assim dizer, embutido nas pro´prias equac¸o˜es de Maxwell! Isto, alia´s, na˜o e´ no-
vidade, pois vimos que Maxwell introduziu a corrente de deslocamento na lei de
Ampe`re justamente para preservar a conservac¸a˜o de carga ele´trica.
Derivando em relac¸a˜o ao tempo a lei de Gauss ele´trica (69) obtemos
∂
∂t
(∇ ·D) = ∇ · ∂D
∂t
=
∂ρ
∂t
. (94)
A derivada temporal do campo ele´trico pode ser escrita em termos da lei de
Ampe`re-Maxwell (72):
∇ · ∂D
∂t
=

∇ · (∇×H)︸ ︷︷ ︸
=0
−∇ · J

 = −∇ · J.
Substituindo em (94) teremos
∂ρ
∂t
= −∇ · J
que reduz-se a` equac¸a˜o de continuidade (93), como quer´ıamos demonstrar.
24
10 Conservac¸a˜o de energia
Vamos fazer o produto escalar da intensidade magne´tica com a lei de Faraday
(71):
H · (∇×E) = −H · ∂B
∂t
, (95)
e o produto escalar do campo ele´trico com a lei de Ampe`re-Maxwell (72);
E · (∇×H) = E · J+E · ∂D
∂t
. (96)
Subtraindo membro a membro (96) de (95) resulta que
H · (∇×E)−E · (∇×H) = −E · J−E · ∂D
∂t
−H · ∂B
∂t
.
O primeiro membro da expressa˜o acima e´ o divergente de E×H. No segundo
membro podemos usar as relac¸o˜es constitutivasD = εE e B = µH (va´lidas para
meios isotro´picos e lineares) para escrever
E · ∂D
∂t
=
ε
2
∂
∂t
(E · E) = ∂
∂t
(
1
2
E ·D
)
,
H · ∂B
∂t
=
µ
2
∂
∂t
(H ·H) = ∂
∂t
(
1
2
H ·B
)
,
de modo que
∇ · (E×H) = −E · J− ∂
∂t
(
1
2
E ·D+ 1
2
H ·B
)
. (97)
Definindo o vetor de Poynting
S ≡ E×H. (98)
e a densidade de energia eletromagne´tica
u ≡ 1
2
(E ·D+H ·B) , (99)
podemos reescrever (97) na forma de uma equac¸a˜o local de conservac¸a˜o da
energia, tambe´m conhecida como teorema de Poynting:
∂u
∂t
+∇ · S = −J ·E. (100)
Num meio linear e isotro´pico o vetor de Poynting e a densidade de energia
escrevem-se de modo mais simples como
S =
1
µ
E×B, (101)
u =
1
2
(
εE2 + µH2
)
=
1
2
(
εE2 +
1
µ
B2
)
. (102)
25
No va´cuo, onde ε = ε0 e µ = µ0 temos
S =
1
µ0
E×B, (103)
u =
1
2
(
ε0E
2 +
1
µ0
B2
)
=
ε0
2
(
E2 + c2B2
)
, (104)
onde usamos a relac¸a˜o
c2 =
1
ε0µ0
.
Integrando os termos do teorema de Poynting numa regia˜o de volume V
temos ∫
V
dV
∂u
∂t
+
∮
S
S ·A = −
∫
V
dV J ·E (105)
∂
∂t
∫
V
udV = (106)
onde usamos o teorema do divergente. Definindo UEM =
∫
V
udV a energia
eletromagne´tica envolvida pelo volume V , temos uma equac¸a˜o global para a
conservac¸a˜o de energia
dUEM
dt
= −
∮
S
S · dA−
∫
V
dV J · E, (107)
cuja interpretac¸a˜o f´ısica e´ a seguinte: um aumento (diminuic¸a˜o) da energia
eletromagne´tica armazenada nos campos existentes no interior de uma regia˜o V
do espac¸o pode ser motivada por dois fatores.
O primeiro fator e´ a existeˆncia de um influxo (efluxo) de energia atrave´s
da superf´ıcie S (que envolve V ), de forma que o vetor de Poynting representa
a densidade de fluxo de energia. O segundo fator, em condutores, representa
a dissipac¸a˜o de energia no interior de V devido ao efeito Joule (transformac¸a˜o
irrevers´ıvel de energia ele´trica em calor). Se o meio for um condutor oˆhmico de
condutividade ele´trica σ, enta˜o J = σE, e o termo relativo ao efeito Joule sera´
−σ ∫
V
E2dV < 0.
Em consequeˆncia, podemos associar o termo devido ao efeito Joule, que
e´ uma diminuic¸a˜o da energia do campo eletromagne´tico, a um aumento da
energia na˜o-eletromagne´tica, que chamaremos UMEC , tal que, para um sistema
de part´ıculas carregadas interagindo com campos ele´tricos tenhamos
dUEM
dt
=
∫
V
dV J · E, (108)
de modo que ha´ uma conservac¸a˜o de energia total (= mecaˆnica + eletromagne´tica)
para um sistema de part´ıculas e campos, escrita como
d
dt
(UEM + UMEC) = −
∮
S
S · dA. (109)
26
11 Conservac¸a˜o do Momentum Linear
11.1 Densidade da forc¸a de Lorentz
Os campos eletromagne´ticos teˆm, ale´m de energia, momentum linear. Para
mostrar este fato vamos inicialmente considerar a forc¸a de Lorentz sobre uma
part´ıcula com carga q e velocidade v, dada por (30):
F = q(E+ v ×B). (110)
Em geral, estamos interessados em sistemas onde haja uma distribuic¸a˜o (vo-
lume´trica) de carga ρ(r, t) e (superficial) de corrente J(r, t), para as quais (110)
da´ a forc¸a por unidade de volume, desde que fac¸amos as seguintes substituic¸o˜es:
dq → ρdV e
vdq = (Idt)v = Idℓ→ J(Adℓ) = JdV, (111)
ou seja, a forc¸a resultante sobre uma distribuic¸a˜o de cargas em movimento num
volume V sera´
F =
∫
V
dV (ρE+ J×B) =
∫
V
dV f , (112)
onde definimos tambe´m uma densidade de forc¸a de Lorentz:
f = ρE+ J×B. (113)
Usando a lei de Gauss ele´trica (26) para eliminar ρ e a lei de Ampe`re-Maxwell
(29) para eliminar J obtemos
f = ε0(∇ ·E)E+
(
1
µ0
∇×B− ε0 ∂E
∂t
)
×B. (114)
Usando
∂
∂t
(E×B) =
(
∂E
∂t
×B
)
+
(
E× ∂B
∂t
)
,
assim como a lei de Faraday (28) para escrever
∂B
∂t
= −∇×E,
temos que
∂E
∂t
×B = ∂
∂t
(E×B) +E× (∇×E),
que, substituida em (114), fornece
f = ε0 [(∇ ·E)E−E× (∇×E)]+ 1
µ0
[(∇ ·B)B−B× (∇×B)]−ε0 ∂
∂t
(E×B)
(115)
onde somamos o termo que conte´m ∇ ·B em vista dele ser nulo, gracas a` Lei
de Gauss magne´tica (27).
Usando uma fo´rmula da ana´lise vetorial
∇E2 = ∇(E · E) = 2(E · ∇)E+ 2E× (∇×E),
27
de modo que
E× (∇×E) = 1
2
∇E2 − (E · ∇)E.
Analogamente
B× (∇×B) = 1
2
∇B2 − (B · ∇)B.
donde podemos reescrever (115) como
f = ε0 [(∇ ·E)E+ (E · ∇)E] + 1
µ0
[(∇ ·B)B+ (B · ∇)B]
− 1
2
∇
(
ε0E
2 +
1
µ0
B2
)
− ε0 ∂
∂t
(E×B). (116)
Tomando a j-e´sima componente da densidade de forc¸a de Lorentz (117)
temos:
fj = ε0 [(∇ · E)Ej + (E · ∇)Ej ] + 1
µ0
[(∇ ·B)Bj + (B · ∇)Bj ]
− 1
2
∂
∂xj
(
ε0E
2 +
1
µ0
B2
)
− ε0 ∂
∂t
(E×B). (117)
11.2 Tensor tensa˜o de Maxwell
Vamos introduzir o tensor tensa˜o de Maxwell, denotado por σ, e que e´ um
tensor de segunda ordem com nove componentes (i, j = 1, 2, 3) dadas por
σij = ε0
(
EiEj − 1
2
δijE
2
)
+
1
µ0
(
BiBj − 1
2
δijB
2
)
. (118)
onde usamos a delta de Kronecker, definido como
δij =
{
1, i = j
0, i 6= j (119)
Quando dentro de uma somato´ria, a delta de Kronecker atua como um filtro,
retendo apenas o ı´ndice para o qual δij = 1. Por exemplo
3∑
j=1
δijAj = Ai, (120)
pois δij = 1 so´ se i = j.
Os ı´ndices i = 1,2, 3 referem-se a`s coordenadas x, y e z, respectivamente, da
mesma forma que para j. Por exemplo, tomando i = 1 e j = 1 a componente
do tensor (118) sera´
σ11 = σxx = ε0
(
ExEx − 1
2
δ11E
2
)
+
1
µ0
(
BxBx − 1
2
δ11B
2
)
= ε0
(
ExEx − 1
2
(E2x + E
2
y + E
2
z )
)
+
1
µ0
(
BxBx − 1
2
(B2x +B
2
y +B
2
z)
)
=
1
2
ε0
(
E2x − E2y − E2z )
)
+
1
2µ0
(
B2x −B2y −B2z)
)
(121)
28
Ja´ para i = 1 e j = 2 temos
σ12 = σxy = ε0
(
ExEy − 1
2
δ12E
2
)
+
1
µ0
(
BxBy − 1
2
δ12B
2
)
(122)
= ε0ExEx +
1
µ0
BxBy.
e assim por diante.
Antes de prosseguir, vamos ver (ou rever) algumas definic¸o˜es do ca´lculo veto-
rial e tensorial. O gradiente de um escalar e´ um vetor, cuja j-e´sima componente
e´
(∇ϕ)j = ∇ϕ · eˆj =
∂ϕ
∂xj
. (123)
Ja´ o divergente de um vetor e´ um escalar, e podemos escreveˆ-lo na forma de
uma somato´ria:
∇ ·E = ∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
=
3∑
i=1
∂Ei
∂xi
. (124)
De maneira ana´loga, o divergente de um tensor e´ um vetor, cuja j-e´sima com-
ponente e´ definida como
(∇ · σ)j =
3∑
i=1
∂σij
∂xi
. (125)
Usando (125) vamos calcular o divergente do tensor tensa˜o de Maxwell (118):
(∇ · σ)j =
3∑
i=1
{
ε0
[
∂
∂xi
(EiEj)− 1
2
δij
∂E2
∂xi
]
+
1
µ0
[
∂
∂xi
(BiBj)− 1
2
δij
∂B2
∂xi
]}
=
3∑
i=1
{
ε0
[
∂Ei
∂xi
Ej + Ei
∂Ej
∂xi
− 1
2
∂E2
∂xj
]
+
1
µ0
[
∂Bi
∂xi
Bj +Bi
∂Bj
∂xi
− 1
2
∂B2
∂xj
]}
= ε0
[(
3∑
i=1
∂Ei
∂xi
)
Ej +
(
3∑
i=1
Ei
∂
∂xi
)
Ej − 1
2
∂E2
∂xj
]
+
+
1
µ0
[(
3∑
i=1
∂Bi
∂xi
)
Bj +
(
3∑
i=1
Bi
∂
∂xi
)
Bj − 1
2
∂B2
∂xj
]
= ε0
[
(∇ ·E)Ej + (E · ∇)Ej − 1
2
∂E2
∂xj
]
+
+
1
µ0
[
(∇ ·B)Bj + (B · ∇)Bj − 1
2
∂B2
∂xj
]
(126)
29
Figura 13: Componentes do tensor tensa˜o de Maxwell
onde usamos a propriedade (120) nos termos contendo a delta de Kronecker,
assim como (124) e o operador
E · ∇ =
3∑
i=1
Ei
∂
∂xi
. (127)
Comparando (126) com (117) temos que
fj = (∇ · σ)j −
1
c2
∂Sj
∂t
, (128)
onde usamos (98) para introduzir o vetor de Poynting, e lembramos que c2 =
1/ε0µ0. Em termos simbo´licos reescrevemos (128) como
f = ∇ · σ − 1
c2
∂S
∂t
, (129)
De (113), para obter a forc¸a eletromagne´tica total que age sobre um volume
V no´s integramos esta expressa˜o:
F =
∫
V
dV f =
∫
V
dV∇ · σ − 1
c2
∫
V
dV
∂S
∂t
=
∮
S
σ · dA− d
dt
∫
V
dV
S
c2
, (130)
onde no´s usamos um ana´logo ao teorema do divergente para transformar a
integral de volume de ∇ · σ numa integral de superf´ıcie.
De (130) vemos que a integral∮
S
σ · dA =
∮
S
σ · ndA
tem dimenso˜es de forc¸a. Vamos escrever o vetor normal a` superf´ıcie S como
n =
3∑
i=1
nieˆi = n1xˆ+ n2yˆ + n3zˆ. (131)
30
Enta˜o a i-e´sima componente da integral sera´∮
S
(σ · dA)i =
3∑
j=1
∮
S
σijnjdA
Como nj e´ a componente da normal ao longo do eixo xj , concluimos que
σij e´ a i-e´sima componente da forc¸a por unidade de a´rea perpendicular ao eixo
xj [veja Fig. 13 para uma indicac¸a˜o de todas as componentes do tensor tensa˜o
agindo nas faces de um cubo]. As componentes diagonais do tensor tensa˜o
de Maxwell: σii representam presso˜es, ou seja, tenso˜es normais a` superf´ıcie
perpendicular ao eixo xi. Ja´ as componentes na˜o-diagonais σij , com i 6= j, sa˜o
tenso˜es de cizalhamento, pois correspondem a componentes da forc¸a que sa˜o
paralelas a` superf´ıcie na qual atua.
Pela definic¸a˜o (118) verificamos imediatamente que o tensor tensa˜o de Maxwell
e´ sime´trico, ou seja
σij = σji (132)
de modo que apenas seis componentes sa˜o independentes: treˆs presso˜es e treˆs
tenso˜es de cizalhamento.
11.3 Forc¸as entre as placas paralelas de um capacitor
Como um exemplo de aplicac¸a˜o do tensor tensa˜o de Maxwell para determinar
forc¸as em sistemas que envolvem cargas e/ou correntes ele´tricas, vamos consi-
derar um capacitor com placas paralelas de a´rea A separadas por uma distaˆncia
d. As placas sa˜o perpendiculares ao eixo x. Se d for muito menor do que as
dimenso˜es das placas podemos usar a aproximac¸a˜o de placas infinitas de modo
que o campo ele´trico entre elas e´ uniforme:
E =
q
ε0A
xˆ, (133)
onde q e´ o mo´dulo da carga das placas.
Como Ey = Ez = Bx = By = Bz = 0 as componentes diagonais do tensor
tensa˜o de Maxwell (118) sa˜o todas nulas. Ja´ as componentes diagonais sa˜o, de
acordo com (??), dadas por
σ11 = σxx = ε0
(
E2x −
1
2
E2x
)
=
q2
2ε0A2
, (134)
σ22 = σyy = ε0
(
E2y −
1
2
E2x
)
= − q
2
2ε0A2
, (135)
σ33 = σzz = ε0
(
E2z −
1
2
E2x
)
= − q
2
2ε0A2
, (136)
de modo que a representac¸a˜o matricial do tensor tensa˜o de Maxwell seja
(σij) =
q2
2ε0A2

 1 0 00 −1 0
0 0 −1

 (137)
Este resultado pode ser usado para determinar a forc¸a ele´trica entre as pla-
cas, que teˆm cargas q (em x = 0) e −q (em x = d). A forc¸a por unidade de a´rea
31
sobre a primeira placa e´ σ11n1, onde nˆ = xˆ e´ o respectivo versor normal, logo
n1 = 1. Integrando sobre toda a placa obtemos a forc¸a sobre ela:
F =
∫
σ11n1dA =
q2
2ε0A2
A =
q2
2ε0A
A forc¸a por unidade de a´rea sobre a segunda placa e´ tambe´m σ11n1, mas agora
a normal e´ nˆ = −xˆ, donde n1 = −1 e portanto a forc¸a sera´
F ′ = − q
2
2ε0A
= −F
de modo que as forc¸as entre as placas sa˜o atrativas.
11.4 Momentum linear eletromagne´tico
Pela segunda lei de Newton, a forc¸a sobre o sistema e´ igual a` variac¸a˜o temporal
do seu momentum linear mecaˆnico PMEC :
dPMEC
dt
= F, (138)
de modo que, em (130),
dPMEC
dt
=
∮
S
σ · dA− d
dt
∫
V
dV g, (139)
onde definimos a densidade de momentum linear do campo eletromagne´tico:
g ≡ S
c2
= ε0E×B, (140)
Portanto o momentum linear do campo eletromagne´tico e´ dado por
PEM =
∫
V
dV g, (141)
donde
d
dt
PMEC =
∮
S
σ · dA− d
dt
PEM . (142)
Considerando um momentum linear total do sistema (mecaˆnico + eletro-
magne´tico) temos
d
dt
(PMEC +PEM ) =
∮
S
σ · dA, (143)
ou seja, qualquer aumento no momentum linear total do sistema e´ igual ao
momentum linear trazido pelos campos eletromagne´ticos. Podemos interpre-
tar (143) como uma expressa˜o do balanc¸o de momentum linear num sistema
formado por cargas, correntes e os campos eletromagne´ticos respectivos.
Ale´m de momentum linear, os campos eletromagne´tico tambe´m teˆm momen-
tum angular. O momentum angular do campo e´
LEM =
∫
V
dV ℓ, (144)
32
onde ℓ e´ a densidade de momentum angular, definida como
ℓ = r× g = 1
c2
r× S, (145)
onde g e´ a densidade do momentum linear, dada por 140). Observe que mesmo
campos ele´tricos e magne´ticos esta´ticos possuem momentum linear e angular.
Para isso o produto E×B deve ser na˜o-nulo. No pro´ximo cap´ıtulo voltaremos
a este assunto.
12 Problemas
1. Capacitor de placas paralelas. Considere duas placas condutoras quadradas de
lado ℓ, separadas por uma distaˆncia d, e sem meio material entre elas. Se as
placas forem muito extensas (ℓ≫ d, podemos usar a aproximac¸a˜o de placas infi-
nitas e considerar o campo ele´trico E entre as placas como uniforme e apontando
numa direc¸a˜o perpendicular a`s placas. Usando a lei de Gauss ele´trica determine
o mo´dulo do campo ele´trico entre as placas e fora da regia˜o entre as placas.
2. (a) Campo magne´tico de um fio retil´ıneo. Usando a lei circuital de Ampe`re
determine o campo magne´tico produzido por um fio retil´ıneo infinitamente longo
conduzindo uma corrente I . (b) Soleno´ide. Seja umsoleno´ide cil´ındrico de raio
a e comprimento L, no qual sa˜o enroladas N espiras de forma compacta (para
evitar perda de fluxo magne´tico), percorridas por uma corrente ele´trica I . A
densidade de espiras e´, portanto, n = I/L (nu´mero de espiras por unidade de
comprimento). Na aproximac¸a˜o de soleno´ide infinito (para a qual L ≫ a) o
campo magne´tico no seu interior e´ uniforme, e fora do soleno´ide o campo e´
nulo. Use a lei circuital para obter o mo´dulo do campo magne´tico no interior
do soleno´ide.
3. Capacitor de placas paralelas preenchidas com um diele´trico. Considere um ca-
pacitor de placas extensas e paralelas de a´rea A, separadas por uma distaˆncia
d e preenchidas com um diele´trico de constante K. O capacitor e´ sujeito a uma
diferenc¸a de potencial ∆ϕ. (a) Use a lei de Gauss ele´trica para determinar o
deslocamento ele´trico entre as placas; (b) Ache o campo ele´trico e a polarizac¸a˜o
entre as placas; (c) Obtenha a densidade superficial das cargas de polarizac¸a˜o
nas superf´ıcies da laˆmina diele´trica; (d) Interprete fisicamente seu resultado.
4. Um capacitor de placas paralelas tem placas circulares de a´rea A, separadas
por uma distaˆncia d. Um fio fino retil´ıneo de comprimento d coincide com o
eixo das placas e as conecta no espac¸o entre as placas. O fio tem resiteˆncia
R e suas extremidades esta˜o conectadas a uma fonte de fem alternada E =
E′ sinωt. (a) Obtenha a corrente de conduc¸a˜o no fio e a corrente de deslocamento
entre as placas do capacitor; (b) Calcule a taxa de variac¸a˜o da carga nas placas
do capacitor bem como a corrente total no circuito; (c) Determine o campo
magne´tico entre as placas como func¸a˜o da distaˆncia r ao eixo das placas.
5. Soleno´ide com nu´cleo magne´tico Um soleno´ide muito longo de comprimento ℓ
tem n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente I . (a)
Considerando a presenc¸a de um nu´cleo magne´tico (mas na˜o ferromagne´tico), use
a lei de Ampe`re-Maxwell para determinar a intensidade magne´tica no interior
do soleno´ide; (b) Obtenha o campo magne´tico e a magnetizac¸a˜o no nu´cleo do
soleno´ide. Considere os casos paramagne´tico e diamagne´tico.
6. Um fio retil´ıneo infinito conduzindo uma corrente I e´ colocado a` esquerda de
uma espira retangular de comprimento ℓ e largura w, sendo que o comprimento e´
33
paralelo ao fio e separado de uma distaˆncia s deste. (a) Calcule o fluxo magne´tico
pela espira retangular, devido ao fio retil´ıneo; (b) Suponha que a corrente no
fio seja dada por I(t) = a + bt, onde a e b sa˜o constantes positivas. Ache o
mo´dulo e o sentido da fem induzida na espira. Se ela e´ feita de um metal com
condutividade σ e a´rea da sec¸a˜o reta A, calcule a corrente induzida na espira.
7. Uma espira retangular de dimenso˜es ℓ e w move-se com velocidade constante v,
afastando-se do fio retil´ıneo infinito pertencente ao plano da espira e conduzindo
uma corrente I . Se a resisteˆncia total da espira e´ R, determine a corrente
induzida na espira quando sua distaˆncia ao fio e´ igual a r.
8. Um capacitor tem duas placas circulares paralelas de raio R e separadas de
uma distaˆncia h, ligadas a fios conduzindo uma corrente I . (a) Obtenha o
vetor de Poynting como func¸a˜o da distaˆncia radial r; (b) Mostre que a taxa de
crescimento da energia eletrosta´tica no capacitor e´ igual a
∮
S
S · nˆ, onde S e´ a
superf´ıcie cil´ındrica lateral.
9. Um soleno´ide muito longo tem nu´cleo de ar, comprimento ℓ, raio r ≪ ℓ e n
espiras por unidade de comprimento. O soleno´ide e´ ligado a uma fonte de tensa˜o
tal que a corrente I que passa por ele aumenta a uma taxa constante α > 0. (a)
Usando a lei de Faraday, ache o campo ele´trico induzido na posic¸a˜o do soleno´ide;
(b) Calcule o vetor de Poynting nessa posic¸a˜o; (c) Mostre que a taxa de variac¸a˜o
da energia magne´tica no soleno´ide e´ I |E|, onde E e´ a fem induzida na posic¸a˜o
das espiras; (d) Usando os resultados dos ı´tens anteriores mostre que a taxa
de variac¸a˜o da energia magne´tica no soleno´ide e´ igual a
∮
S
S · nˆ, onde S e´ a
superf´ıcie cil´ındrica lateral.
10. Um condutor cil´ındrico de raio a, comprimento ℓ≫ a e condutividade σ trans-
porta uma corrente estaciona´ria I distribu´ıda uniformemente na sua sec¸a˜o reta.
(a) Ache o campo ele´trico dentro do condutor; (b) Determine o campo magne´tico
na borda do condutor; (c) Calcule o vetor de Poynting na borda; (d) Obtenha
a taxa com que a energia eletromagne´tica flui para o condutor e compare o
resultado com a taxa de dissipac¸a˜o de energia via efeito Joule.
11. (a) Mostre que as componentes da forc¸a de Lorentz podem ser escritas como
Fi = −
∂U
∂xi
+
d
dt
∂U
∂vi
, (i = 1, 2, 3),
onde definimos o potencial generalizado em termos dos potenciais eletromagne´ticos
U(r, t) = qϕ(r, t)− qA(r, t) · v
sendo q a carga ele´trica. (b) Mostre que as equac¸o˜es de movimento de uma
part´ıcula carregada de massa m num campo eletromagne´tico podem ser obtidas
a partir da seguinte Lagrangeana
L =
1
2
mv2 − U(r, t).
12. Considere os dois potenciais vetoriais A1 e A2 dados por (35) e (36), respecti-
vamente. Ache a transformac¸a˜o de Gauge χ(x, y) que os conecta.
13. Um soleno´ide infinitamente grande de raio a tem seu eixo ao longo da direc¸a˜o
z, e possui n espiras por unidade de comprimento, conduzindo uma corrente de
intensidade I . Determine o tensor tensa˜o de Maxwell neste caso. E´ conveniente
usar coordenadas cil´ındricas para resolver este problema, cujos vetores unita´rios
sa˜o:
rˆ = cos θxˆ+ sin θyˆ,
θˆ = − sin θxˆ+ cos θyˆ,
zˆ = zˆ,
34
Figura 14: O paradoxo do disco, de Feynman.
14. Considere uma esfera macic¸a de raio R uniformemente carregada com uma carga
total Q.
(a) Obtenha as componentes do tensor tensa˜o de Maxwell;
(b) Calcule a forc¸a resultante no hemisfe´rio superior.
15. Um cabo coaxial de comprimento ℓ e´ formado por um condutor interno de raio
a e um condutor externo de raio b. Uma extremidade do cabo esta´ conectada a
uma bateria e a outra a um resistor. O condutor interno tem uma carga λ por
unidade de comprimento e uma corrente estaciona´ria I , enquanto o condutor
externo tem carga e corrente opostas.
(a) Determine o momentum linear do campo eletromagne´tico;
(b) Supondo que a resisteˆncia do resistor seja aumentada, a corrente no cabo
ira´ diminuir, o que acarretara´ uma variac¸a˜o do campo magne´tico. Usando a lei
de Faraday, determine nese caso o campo ele´trico induzido;
(c) No caso do ı´tem (b), calcule a forc¸a exercida pelo campo induzido sobre os
condutores, e o momentum linear mecaˆnico do cabo.
16. O campo eletromagne´tico tem momentum angular. Uma experieˆncia proposta
pelo famoso f´ısico e preˆmio Nobel Richard Feynman ilustra este fato: considere
um soleno´ide infinitamente longo com n espiras por unidade de comprimento
e um disco pla´stico girante com m esferas meta´licas carregadas a ele coladas a
uma distaˆncia R do eixo [cfr. Fig. 14]. O disco pode girar sem atrito em torno
do eixo do soleno´ide. Quando a corrente ele´trica varia com o tempo, o disco
comec¸a a girar. De onde veio o momentum angular do disco? A resposta e´:
do momentum angular do campo eletromagne´tico. (a) Suponha que a corrente
ele´trica no soleno´ide varie a uma taxa constante α:
I(t) = αt.
Calcule o campo ele´trico induzido que atua nas esferas meta´licas como func¸a˜o
da distaˆncia r ate´ o eixo. (b) Determine o torque mecaˆnico sobre cada esfera e
obtenha o momentum angular mecaˆnico do disco.
17. Um soleno´ide muito comprido de raio R tem n espiras por unidade de com-
primento, percorridas por uma corrente I . Ha´ duas cascas cil´ındricas muito
compridas de comprimento ℓ: a primeira, dentro do soleno´ide e com raio a tem
carga Q distribuida uniformemente sobre sua superf´ıcie, e a outra casca, de raio
b, esta´ fora do soleno´ide e tem carga −Q.
(a) Calcule a densidade demomentum linear do campo eletromagne´tico;
(b) Calcule a componente z da densidade de momentum angular do campo
eletromagne´tico. Obtenha o momentum angular do campo.
35
(c) Se a corrente no soleno´ide for gradualmente reduzida, calcule o campo ele´trico
induzido, o torque e o momentum angullar mecaˆnico nos cilindros internos e
externo.
13 Respostas e sugesto˜es
1. E = q/ε0A entre as placas, E = 0 fora delas;
2. (a) B = µ0I/2πr; (b) B = µ0nI .
3. (a) D = σS (densidade de carga livre nas placas do capacitor); (b) E = σS/ε0κ,
P = σS(1− 1/κ); (c) σP = −σS(1− 1/κ).
4. (a)
IR =
E0
R
sinωt, Id =
ε0AE0ω
d
cosωt,
(b) Ic = Id e IT = IR + Ic; (c)
B =
µ0E0
2π
(
1
rR
sin ωt+
ε0πrω
d
cosωt
)
,
5. (a) H = nI ; (b) B = κmµ0nI , M = nI(κm − 1), que e´ positiva (negativa) se o
nu´cleo for paramagne´tico (diamagne´tico).
6. (a)
ΦB =
µ0Iℓ
2π
ln
(s+ w
s
)
(b)
E = −
µ0ℓb
2π
ln
(s+ w
s
)
, i =
µ0IℓbσA
4π(ℓ+ w)
ln
(s+ w
s
)
7.
i =
µ0Iℓ
2πR
vw
r(r + w)
.
8. (a) Sendo Q a carga nas placas do capacitor,
S = −
Qr
2π2R4ε0
dQ
dt
rˆ.
9. (a)
E = −
µ0nrα
2
φˆ
(b)
S = −
µ0n
2rIα
2
rˆ
10. (a) e (b)
E =
I
σπa2
zˆ, B =
µ0I
2πr
φˆ
(c)
S = −
I2
2π2σa3
rˆ
(d) I2ℓ/σπa2.
11. Detalhes no livro do Goldstein de Mecaˆnica Cla´ssica, 2a. Ed., pgs. 21 a 23.
12. χ(x, y) = 1
2
By(x− y)
36
13.
(σij) =
µ0n
2I2
2

 −1 0 00 −1 0
0 0 1

 ,
14. Este problema esta´ resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.2, pg. 245.
15. Este problema esta´ resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.3, pg. 247.
16. (a)
E(r) =
µ0R
2nα
2r
(b)
N(r) = rqE(r), LMEC =
1
2
µ0mqR
2nI
17. Este problema esta´ resolvido no livro do Griffiths, Exemplo 8.4, pg. 249.
Refereˆncias
[1] J. C. Maxwell,On Faraday’s Lines of Force, Camb. Phil. Soc. Trans. (1864),
pp 27-83 [1855-56].
[2] J. C. Maxwell, On Physical Lines of Force. Part 1: The theory of molecular
vortices applied to magnetic phenomena, Phil. Mag. XXI (1861), pp. 161-
175; On physical lines of force. Part 2. The theory of electrical vortices
applied to electric currents. Phil. Mag. XXI. (1861), pp. 281-291, 338-348;
On physical lines of force. Part 3. The theory of electrical vortices applied
to statical electricity. Phil. Mag. XXIII. (1862), pp. 12-24; On physical lines
of force. Part 4 The theory of electrical vortices applied to the the action of
magnetism on polarized light Phil. Mag. XXIII. (1862) pp. 85-95.
[3] J. C. Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Roy. Soc.
Proc. XIII. (1864), pp. 531-536; Phil. Trans. CLV. (1865), pp. 459-512; Phil.
Mag. XXIX. (1865), pp. 152-157. Este e diversos outros artigos escritos
por Maxwell esta˜o dispon´ıveis no artigo da Wikipedia sobre equac¸o˜es de
Maxwell (em ingleˆs).
[4] J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Clarendon Press,
Oxford, 1873). Pode ser acessado no site https://archive.org/details/
electricandmagne01maxwrich.
[5] D. J. Griffiths, ”Eletrodinaˆmica”, 3a. Edic¸a˜o, Pearson, Sa˜o Paulo, 2010.
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