4 Trabalho e energia eletrostáticas

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André do Nascimento Barbosa
4 Trabalho e energia eletrostáticas
Como estamos lidando fundamentalmente com uma força, temos que pensar também em outras quantidades que são corriqueiras no estudo da
mecânica. Vamos analisar agora o trabalho necessário para movimentar cargas quando estas estão sob ação de um campo e também a energia
armazenada uma vez que após fixar as partículas carregadas, o sistema final tem uma energia líquida bem definida.
Lembramos primeiro que o trabalho de uma força qualquer é dada pela integral de linha abaixo:
W =
C
F ·ⅆ r (1)
Vamos analisar a equação (1) no escopo da eletrostática e suas consequências. Vale lembrar também que o campo eletrostático tem natureza
conservativa, então podemos lançar mão de todo o desenvolvimento que fizemos de potencial elétrico e as conveniências desse resultado para
estudar a questão do trabalho da força elétrica.
4.1 Trabalho realizado para movimentar uma carga
Suponha que temos que movimentar uma carga que esteja sujeita à um campo elétrico arbitrário de um ponto A até B ao longo de um caminho
qualquer C. Sabemos que a força elétrica pode ser representada como o produto da carga pelo campo:
F = q ·E (2)
Preste atenção, queremos movimentar a carga que está sob ação deste campo, não será o campo em si que vai movimentar a carga. Pense no caso
de levantar um corpo sob ação da força da gravidade desde o solo até uma altura qualquer. Sabemos que, para manter o corpo à aquela altura, a
força necessária será a mesma que a força peso em magnetude porém com sentido oposto (Leis de Newton!). Aqui, teremos a mesma situação!
Estamos trabalhando contra o campo elétrico, que em analogia faria o papel da força da gravidade. Sendo assim, a força que irá posicionar a
carga terá um sinal oposto. Sendo assim, a integral do trabalho será
W = -q
C
E ·ⅆ r (3)
Entretanto, sabemos também que o campo elétrico pode ser representado como o gradiente do potencial mais um sinal negativo:
E = -∇V
Subistituindo a forma do campo em (3),
W = -q
C
E ·ⅆ r = q
C
∇V ·ⅆ r = q[V (B) - V (A)]
De forma compacta,
W = q ΔV (4)
Assim, o trabalho que devemos realizar para mover uma carga sob influencia de um campo deve ser dada pela equação (4). Podemos definir a
diferença de potencial a partir da equação (4):
ΔV = W
q
(d .d .p)
A a diferença de potencial entre dois pontos é igual ao trabalho por unidade de carga para transportar uma partícula em uma região com campo
elétrico. Considerando o ponto de referencia no infinito ( onde V(∞) = 0 ), teremos
W = q V (r) (5)
4.2 Energia eletrostática de cargas discretas
Agora, suponha uma situação onde queiramos juntar uma quantidade de cargas em uma determinada região. Considerando a condição (5),
sabemos que o trabalho realizado para colocar a primeira particula vai ser nulo:
W1 = 0
Este resultado é pelo fato de não existir nenhum campo elétrico previamente no lugar onde posicionamos a primeira carga. Para a segunda
partícula, teremos o fato que existirá o campo de interação entre a partícula um e dois, sendo assim, o trabalho será dado por
W2 = q2
4 πϵ0 q1|| r2 - r1 ||
Para a terceira carga, basta usar o princípio de superposição para os potenciais
W3 = q3
4 πϵ0 q1|| r3 - r1 || + q2|| r3 - r2 ||
Se continuarmos a usar o princípio de superposição até a última carga que queremos fixar, é fácil ver que este processo se repete:
Wn = qn
4 πϵ0 q1|| rn - r1 || + q2|| rn - r2 || + ... + qn-1|| rn - rn-1 ||
Assim, o trabalho total para reunir todas as cargas será a soma de Wn = ∑iWi. Por exemplo, o trabalho total para fixar 3 cargas será dado por
W = 1
4 πϵ0 q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q2|| r3 - r2 ||  = 14 πϵ0  q1 q2|| r2 - r1 || + q1 q3|| r3 - r1 || + q2 q3|| r3 - r2 || 
Para o caso de quatro cargas, é lógico que vamos seguir o mesma linha de pensamento. Primeiro, vamos escrever o trabalho para fixa-la:
W4 = q4
4 πϵ0 q1|| r4 - r1 || + q2|| r4 - r2 || + q3|| r4 - r3 ||
Somando cada uma das contribuições, vamos obter o seguinte resultado:
W = 1
4 πϵ0 q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q2|| r3 - r2 || + q4 q1|| r4 - r1 || + q2|| r4 - r2 || + q3|| r4 - r3 ||  =
W = 1
4 πϵ0  q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q3 q2|| r3 - r2 || + q4 q1|| r4 - r1 || + q4 q2|| r4 - r2 || + q4 q3|| r4 - r3 || 
A regra geral será dada pelo duplo somatório abaixo:
W = 1
2
1
4 πϵ0 i=1
n 
j=1
j≠i
n qi q j|| ri - r j ||
Como exemplo, vamos expandir ele até a quarta carga e compara-lo ao resultado anterior.
W = 1
2
1
4 πϵ0 i=1
n 
j=1
j≠i
n qi q j|| ri - r j || = 18 πϵ0 i=1
n qi q1|| ri - r1 || +i=1
n qi q2|| ri - r2 || +i=1
n qi q3|| ri - r3 || +i=1
n qi q4|| ri - r4 ||
= 1
8 πϵ0 q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q4 q1|| r4 - r1 || + + q1 q2|| r1 - r2 || + q3 q2|| r3 - r2 || + q4 q2|| r4 - r2 || +
q1 q3|| r1 - r3 || + q2 q3|| r2 - r3 || + q4 q3|| r4 - r3 || + q1 q4|| r1 - r4 || + q2 q4|| r2 - r4 || + q3 q4|| r3 - r4 || =
= 1
8 πϵ0 2 q2 q1|| r2 - r1 || + 2 q3 q1|| r3 - r1 || + 2 q4 q1|| r4 - r1 || + 2 q3 q2|| r3 - r2 || + 2 q4 q2|| r4 - r2 || + 2 q4 q3|| r4 - r3 || =
∴W = 1
4 πϵ0 q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q4 q1|| r4 - r1 || + q3 q2|| r3 - r2 || + q4 q2|| r4 - r2 || + q4 q3|| r4 - r3 ||
Obtivemos o mesmo resultado, como o esperado! Observe que contamos duas vezes cada contribuição, isso explica o fato de termos que dividir
por dois a nossa regra geral. Podemos ainda escrever a energia na seguinte forma abaixo:
2 4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb
W = 1
2

i=1
n
qi 
j=1
j≠i
n 1
4 πϵ0 q j|| ri - r j ||
Onde identificamos o termo entre parênteses como a soma dos potenciais de cada carga (princípio de superposição), de uma maneira mais
simplificada, obtemos finalmente
W = 1
2

i=1
n
qi V (ri) (6)
Que é o nosso resultado final para a energia em uma distribuição discreta de cargas. Observe que esta energia foi “armazenda” pelo fato de que
um trabalho externo foi realizado para coloca-las em suas posições.
4.3 Energia eletrostática de uma distribuição contínua de cargas
Aplicando um limite adequado na equação (6), obtemos a seguinte integral para a energia eletrostática:
W = 1
2

i=1
n
qi V (ri)⟹ 1
2
 V ⅆq '
entretanto, lembrando que a densidade de uma distribuição contínua é dada porⅆq 'ⅆV 'volume = ρ
Obtemos para a energia eletrostática a seguinte integral no volume:
W = 1
2

V '
V · ρ ⅆV 'volume (7)
Vamos desenvolver um pouco mais a equação (7) lançando mão da lei de Gauss. Lembrando do fato queρ = ϵ0 ∇ ·E
Subistituindo em (7), obtemos
W = ϵ0
2

V '
V ∇ ·E ⅆV 'volume
Para desenvolver a integral acima, vamos analisar o operador nabla aplicado em uma função de acordo com a regra do produto abaixo:∇ ·  f A = f ∇ ·A + A(∇ f )∴ f ∇ ·A = ∇ ·  f A - A(∇ f )
Integrando no volume a segunda linha deste desenvolvimento, obtemos

V
f ∇ ·A ⅆVvolume =
V
∇ ·  f A ⅆVvolume -
V
A(∇ f ) ⅆVvolume =
=
V
∇ ·  f A ⅆVvolume =
V
f ∇ ·A ⅆVvolume +
V
A(∇ f ) ⅆVvolume
Entretanto, sabemos do teorema de Gauss da análise vetorial que a integral do lado esquerdo pode ser substituida por

V
∇ ·  f A ⅆVvolume =
S
 f A ·ⅆS
Logo,
4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb 3

V
f ∇ ·A ⅆVvolume =
S
 f A ·ⅆS -
V
A(∇ f ) ⅆVvolume (8)
Vamos usar a equação (8) e reescrever (7):
W = 1
2

V '
V · ρ ⅆV 'volume = ϵ0
2

V '
V ∇ ·E ⅆV 'volume =
S '
V E ·ⅆS ' -
V '
E(∇V ) ⅆV 'volume
Lembrando que ∇V = -E,
W =
V '
E2 ⅆV 'volume +
S '
V E ·ⅆS ' (9)
Quando integramos sobre todo o espaço, a segunda integral desaparece (Por que?), então
W = ϵ0
2

Todo o espaço
E2 ⅆV (10)
Sugestão de leitura: Griffiths e Reitz.4.4 Exemplos
Agora, vamos aplicar as equações que encontramos e calcular a energia eletrostática de algumas distribuições discretas e contínuas de cargas.
Preste atenção que temos duas equações diferentes para o cálculo da energia eletrostática para distribuições continuas, vamos mostrar que,
apesar de uma abordagem diferente, podemos ver que acabamos obtendo o mesmo resultado. Uma questão a levantar é: Onde está armazenda
toda esta energia, afinal?
Exemplo 1: Energia eletrostática armazenada por quatro cargas de valor “q” dispostas em um quadrado de lado a.
Vamos utilizar o método desenvolvido para calcular a energia deste sistema. Primeiro, vamos desenhar um esquema que possa representar este
conjunto de cargas:
a
0 x
y
q
2
q
3
q
4
q
1
a
2
Cargas dispostas em um quadrado.
Solução:
Usando a equação (6), podemos calcular a energia para este conjunto de cargas diretamente. Sendo assim, temos
W = 1
2

i=1
4
qi V (ri) = 1
2

i=1
4
qi 
j=1
j≠i
4 1
4 πϵ0 q j|| ri - r j || =
4 4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb
= 1
8 πϵ0 j=1
j≠1
4
qi
q1|| ri - r1 || +j=1
j≠2
4
qi
q2|| ri - r2 || +j=1
j≠3
4
qi
q3|| ri - r3 || +j=1
j≠4
4
qi
q4|| ri - r4 || =
1
8 πϵ0 q2 q1|| r2 - r1 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q4 q1|| r4 - r1 || + + q1 q2|| r1 - r2 || + q3 q2|| r3 - r2 || + q4 q2|| r4 - r2 || +
q1 q3|| r1 - r3 || + q2 q3|| r2 - r3 || + q4 q3|| r4 - r3 || + q1 q4|| r1 - r4 || + q3 q4|| r3 - r4 || + q2 q4|| r2 - r4 || =
Usando as informações do esquema, obtemos para essa disposição de cargas
W = 1
8 πϵ0 q2 q1a + q3 q1a 2 + q4 q1a + q1 q2a + q3 q2a + q4 q2a 2 +
+ q1 q3
a 2
+ q2 q3
a
+ q4 q3
a
+ q1 q4
a
+ q3 q4
a
+ q2 q4
a 2
Somando os termos iguais
W = 1
4 πϵ0 q2 q1a + q3 q1a 2 + q4 q1a + q3 q2a + q4 q2a 2 + q4 q3a =
W = q24 + 2 
4 πϵ0 a J
Exemplo 2: Três cargas dispostas nos vértices de um quadrado, cargas com sinais trocados. Qual será o trabalho 
necessário para trazer uma quarta carga +q no vértice vago?
Como no exemplo anterior, vamos usar a equação de energia para o caso discreto. Aqui, temos o seguinte esquema para a disposição de cargas:
a
0 x
y
q2 = -q
q3 =q1 = q
a
2
Cargas dispostas em um quadrado.
Solução:
 Vamos calcular o potencial no ponto (a,a) usando o princípio de superposição:
V (a, a) =Vi = q
4 πϵ0 1a 2 - 2a
4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb 5
Sabendo que
W4 = q4 ·V (a, a)
Como resposta, vamos obter
W4 = q2
4 πϵ0 a 12 - 2 J
Qual seria a energia armazenada pelo conjunto de cargas inicialmente? Usando a equação (6),
W = 1
8 πϵ0 i=1
3
qi 
j=1
j≠i
3 q j|| ri - r j || = 18 πϵ0 q1 j=1
j≠1
3 q j|| r1 - r j || + q2 j=1
j≠2
3 q j|| r2 - r j || + q3 j=1
j≠3
3 q j|| r3 - r j || =
= 1
8 πϵ0 q1 q2|| r1 - r2 || + q3|| r1 - r3 || + q2 q1|| r2 - r1 || + q3|| r2 - r3 || + q3 q1|| r3 - r1 || + q2|| r3 - r2 || =
1
4 πϵ0 q1 q2|| r1 - r2 || + q1 q3|| r1 - r3 || + q2 q3|| r2 - r3 || = q
2
4 πϵ0 a -2 + 12
Wsistema = q2
4 πϵ0 a 12 - 2 J
Então, a energia armazenda pelo conjunto é identica ao trabalho realizado para fixar a quarta carga! Este resultado é interessante, pois temos
uma equivalência entre o trabalho e uma “energia potencial” contida no sistema anteriormente. Agora, qual o trabalho necessário para agrupar o
conjunto inteiro de cargas? Fixando a quarta carga, temos um adicional que é exatamente o dobro da energia anterior, sendo assim
Wtotal =Wsistema +W4 = 2 q2
4 πϵ0 a 12 - 2 J
Exemplo 3: Energia eletrostática de uma esfera oca carregada de densidade uniforme.
Neste tipo de exercicio, podemos utilizar as duas equações que temos para o cálculo da energia, não custa repetir elas abaixo:
W = 1
2

q'
V ·ⅆq
W = ϵ0
2

Todo o espaço
E2 ⅆV
Vamos resolver este problema das duas formas.
Solução:
Utilizando a primeira equação, basta substituir o potencial para uma esfera uniforme e integrar sobre a superfície (lembrando que é uma
simpificação do caso geral) que contém as cargas:
W = 1
2

Q
V ·ⅆq '
Lembrando que a densidade superficial de cargas é dada por ⅆq 'ⅆS ' = ρ
6 4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb
substituindo na integral para a energia
W = 1
2

S '
ρV ·ⅆS '
Lembrando que o potencial na superfície da esfera é dado por um valor constante:
V = Q
8 πϵ0 R
Substituimos este valor na integral da energia:
W = Q
8 πϵ0 R 
S '
ρ ·ⅆS '
A integral acima é trivial, ela vai dar a carga total da esfera oca! Sendo assim, a energia será
∴W = Q2
8 πϵ0 R J
Vamos utilizar a segunda integral e confirmar que este método pode ser usado da mesma maneira que o outro:
W = ϵ0
2

Todo o espaço
E2 ⅆV
Lembrando que o campo elétrico da esfera é dado por
E = 0 (dentro da esfera), E = Q
4 πϵ0 r3 r (fora da esfera)
Montando a integral,
W = ϵ0
2

Todo o espaço
E2 ⅆV = ϵ0
2

0
R (Edentro)2 4 π r2 ⅆ r + ϵ0
2

R
∞ (Efora)2 4 π r2 ⅆ r =
= 0 + ϵ0
2

R
∞
Q
4 πϵ0 r2 2 4 π r2 ⅆ r = Q28 πϵ0 
R
∞ 1
r2
ⅆ r = Q2
8 πϵ0 - 1∞ + 1R
W = Q2
8 πϵ0 R J
Obtemos portanto o mesmo resultado. É importante lembrar que para usarmos a segunda equação, temos que integrar sobre todo o espaço, por
isso i limite superior foi para infinito na integral!
4 Trabalho e energia eletrostáticas.nb 7