Livro Mecânica Teórica I

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Fiel a sua missão de interiorizar o ensino superior no estado Ceará, a UECE, como uma instituição que participa do Sistema Universidade Aberta do Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação 
na modalidade de educação a distância, e gerando experiências e possibili-
dades inovadoras com uso das novas plataformas tecnológicas decorren-
tes da popularização da internet, funcionamento do cinturão digital e 
massificação dos computadores pessoais. 
Comprometida com a formação de professores em todos os níveis e 
a qualificação dos servidores públicos para bem servir ao Estado, 
os cursos da UAB/UECE atendem aos padrões de qualidade 
estabelecidos pelos normativos legais do Governo Fede-
ral e se articulam com as demandas de desenvolvi-
mento das regiões do Ceará. 
M
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a 
I
Física
Física
Gerson Paiva Almeida
Mecânica Teórica I
U
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id
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e 
Es
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al
 d
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Ce
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- U
ni
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A
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 B
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ComputaçãoQuímica Física Matemática Pedagogia
Artes 
Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
Educação 
Física
História
9
12
3
Gerson Paiva Almeida
Mecânica Teórica I
Física
Pedagogia
2a Edição
Fortaleza
2014
ComputaçãoQuímica Física Matemática Pedagogia
Artes 
Plásticas
Ciências 
Biológicas
Geografia
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Dilma Vana Rousseff
Ministro da Educação
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prévia autorização, por escrito, dos autores.
Editora Filiada à
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Sumário
Apresentação ....................................................................................................5
Parte 1 - O Movimento Unidimensional e sua Representação Física ............7
Capítulo 1 - Descrição do Movimento Unidimensional ...................................9
1.1. Descrição física do movimento de um corpo ....................................9
1.2. Momento linear ou momentum ..........................................................9
1.3. Impulso ...............................................................................................10
1.4. Energia Cinética ................................................................................10
Capítulo 2 - O Movimento pela Descrição da Força .....................................13
2.1. Força dependente do tempo, F = F(t) ...............................................13
2.2. Força dependente da velocidade, F = F(ν) .......................................14
2.3. Força dependente da posição, F = F(x) ............................................16
Parte 2 - Movimento e Energia ........................................................................19
Capítulo 3 - Energia Potencial e Energia Total ..............................................21
3.1. Definição de energia potencial .........................................................21
3.2. Algumas conclusões sobre a energia potencial ..............................22
3.3. Posição em termos da energia potencial e energia total ...............23
3.4. Energia potencial na forma diferencial ............................................23
Capítulo 4 - Movimentos Oscilatórios .............................................................33
4.1. Resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem 33
4.2. Oscilações .........................................................................................39
4.3. Oscilador harmônico sem amortecimento ......................................43
4.4. Oscilador harmônico com amortecimento ......................................44
4.5. Oscilador harmônico forçado ...........................................................49
4.6. A resposta de oscilador linear às forças impulsivas ........................57
4.6.1 As funções descontínuas degrau e impulso ...........................58
4.6.3 Resposta a uma função impulso .............................................60
Parte 3 - Movimento Bi e Tridimensional e sua
Representação Física (Parte I)................................................................65
Capítulo 5 - Descrição de Movimentos Bi e Tridimensionais I .....................67
5.1. Derivada de vetores ..........................................................................67
5.2. Momentum angular e seus teoremas ..............................................71
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Capítulo 6 - Descrições de Movimentos Bi e Tridimensionais II ...................73
6.1 Projéteis ..............................................................................................73
6.2 Energia potencial ................................................................................86
6.3 Conservação da energia ...................................................................93
Parte 4 - Movimento Bi e Tridimensional e sua
Representação Física (Parte II)...............................................................93
Capítulo 7 - Movimento sob a ação de uma força central ............................95
7.1 O problema de Kepler ........................................................................95
7.2 Equações do movimento sob a ação de força central ....................96
7.3 Seções cônicas ................................................................................103
7.3.1 Elipse .......................................................................................103
7.3.2 Hipérbole .................................................................................105
7.3.4 As seções cônicas e as leis de Kepler ..................................106
7.4 Potencial radial efetivo para forças centrais ..................................108
Capítulo 8 - Espalhamento de Rutherford ....................................................1178.1. O modelo atômico e o espalhamento ............................................117
8.2. Espalhamento por repulsão por uma partícula pontual ................118
8.3 Derivação ..........................................................................................119
Sobre o Autor ................................................................................................130
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Apresentação 
Ter a oportunidade de escrever este livro foi, para mim, gratificante, pois 
nele pude expor os resultados didáticos da minha experiência de ensino-apre-
dizagem na disciplina Mecânica Teórica.
Expor claramente o tema foi o meu alvo, procurando focar em pontos 
que apresentaram maior complexidade no entendimento, identificados ao lon-
go da minha experiência na docência e, assim mitigar estas dificuldades de 
aprendizagem. 
Está é a primeira parte de um curso de Mecânica Teórica, parte esta 
que é usualmente destinada a alunos de Licenciatura em Física. A segunda 
parte é geralmente utilizada para alunos do Bacharelado. 
Para descrever fisicamente o movimento dos corpos, alguns tópicos 
relativos às equações diferenciais receberam atenção especial. Além disso, 
fiz uma discussão extensa da teoria relativa às forças centrais, sempre como 
intuito de propiciar ao leitor uma sólida compreensão da teoria física.
Apesar do meu esforço como autor, e dos esforços do revisor e do pes-
soal da editoração, é natural que alguns erros sejam identificados pelos lei-
tores, e por isso agradeço desde já àqueles que me enviarem suas valiosas 
contribuições que possibilitem correções, ou sugestões, quer sejam de ordem 
formal da teoria, quer sejam de ordem textual ou pedagógica.
A obra está organizada em quatro unidades de conteúdos, assim dis-
postos: Unidade 1: O Movimento Unidimensional e sua Representação Física, 
constando dos capítulos 1 – Descrição do Movimento Unidimensional, e 2 – O 
Movimento pela Descrição da Força; Unidade 2: Movimento e Energia, cons-
tando dos capítulos 3 – Energia Potencial e Energia Total, e 4 – Movimentos 
Oscilatórios; Unidade 3: Movimento Bi e Tridimensional e sua Representação 
Física (Parte I), constando dos capítulos 5 – Descrição de Movimentos Bi e 
Tridimensionais I, e 6 – Descrição de Movimentos Bi e Tridimensionais II; Uni-
dade 4: Movimento Bi e Tridimensional e sua Representação Física (Parte II), 
constando dos capítulos 7 – Movimento sob a Ação de uma Força Central, e 
8 – Espalhamento de Rutherford. 
Espero que o resultado dessa experiência seja positivo e proveitoso, 
lembrando que a leitura de outros textos é fundamental para o aprimoramento 
do processo de aprendizado.
Bom proveito!
O Autor
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Mecânica Teórica I 7
PARTE 1
O Movimento Unidimensional
e sua Representação Física
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Capítulo 1
Descrição do Movimento 
Unidimensional
Podemos dizer que o grande propósito do tema deste livro é mostrar ao leitor 
uma descrição física do movimento dos corpos, com aplicações da respectiva 
lei Física.
1. Descrição física do movimento de um corpo
A descrição física do movimento de um corpo significa determinar a posição e 
a velocidade do corpo em função do tempo.
Isto significa aplicar a segunda Lei de Newton do movimento a um cor-
po de massa m submetido à ação de uma força resultante F

. A modificação 
do movimento do corpo seguirá a seguinte relação:
 
2
2 , (1.1)
d rm F
dt
=

 (1.1)
onde r representa o vetor posição da partícula.
Para o movimento em uma dimensão, a equação pode ser escrita como:
 
2
2 . (1.2) 
d xm F
dt
= (1.2)
com x representando a posição do corpo medida sobre uma linha reta a partir 
de certo referencial inercial.
Em todo o texto deste livro consideraremos o movimento para a direita 
como sendo positivo, enquanto aquele dirigido para esquerda como sendo 
negativo.
Antes de prosseguirmos, é conveniente fazermos algumas definições 
que serão utilizadas durante todo o curso. São as definições de momentum 
linear, impulso e energia cinética.
2. Momento linear ou momentum
O momento linear (ou momentum, ou ainda quantidade de movimento) é uma 
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medida do movimento de translação de um objeto, sendo definida como o pro-
duto da massa, m, do objeto pela velocidade, v, do mesmo, definições essas 
feitas em uma dimensão, daí não suas representações estarem sem o rigor 
vetorial. Isto é:
 . (1.3)p mv= (1.3)
Se a velocidade do objeto mudar, o seu momento linear muda. Temos, 
então que
 
( )
dt
dp
dt
d mv
= (1.4)
Se a massa do objeto se mantiver constante, a equação pode ser es-
crita como:
 ou . (1.5)dp dv dpm F
dt dt dt
= = (1.5)
A equação (1.5) é uma forma geral de escrever a segunda lei de Newton, 
que também é valida para objetos que não tenham massa constante.
3. Impulso
Se um objeto sofre a ação de uma força F durante um intervalo de tempo dt, a 
sua quantidade de movimento mudará. Podemos escrever então que:
 . (1.6)dp Fdt= (1.6)
Portanto:
 , (1.7)
f f
i i
p t
p t
dp Fdt=∫ ∫ (1.7)
onde pi e pf representam os valores do momentum no instante inicial ti 
e instante final tf, respectivamente.
O segundo membro da equação (1.7) é a quantidade física chamada de 
Impulso, I, da força F.
Para uma força constante, podemos escrever o resultado da equação 
(1.7) simplesmente como:
 . (1.8)I F t p= ∆ = ∆ (1.8)
Isto é, Impulso I da força é igual à variação do momentum p∆ .
4. Energia Cinética
Ao multiplicarmos dp, na equação (1.6), por v, obtemos:
 . (1.9)vdp Fvdt= (1.9)
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Mecânica Teórica I 11
Mas lembrando que Fdt = d(mv) e usando o seguinte artifício matemáti-
co para :
( ) ( ) ,vdp vd mv mvdv mvdv mvdv d mv2
1
2
1 2= = = + = a k
a equação (1.6) pode ser escrita como:
 21 . (1.10)
2
d mv Fdx  = 
 
 (1.10)
Se integrarmos a equação (1.10) desde a posição inicial, xi, onde a ve-
locidade era vi, até a posição final, xf, onde a velocidade era vf, ficamos com:
21
2
f f
i i
v x
v x
d mv Fdx  = 
 ∫ ∫
 
2 21 1 . (1.11)
2 2
f
i
x
f i
x
mv mv Fdx∴ − = ∫
 (1.11)
O primeiro membro da equação (1.11) representa a variação da energia 
cinética, enquanto o segundo membro representa o trabalho da força F. Isto 
é, a Energia Cinética, Ec, é definida como:
 2
1 . (1.12)
2c
E mv= (1.12)
Podemos assim, conceituar a energia cinética de uma forma popular di-
zendo que ela é a energia do movimento. Como podemos ver pela definição, 
cada objeto em movimento possui energia cinética. Quanto mais rápido ele semover, maior é a sua energia cinética e, quando ele cessar o movimento, não 
terá mais energia cinética.
Esta última afirmativa não é, de fato, estritamente verdadeira, porque exis-
tem dois tipos de energia cinética: a externa e a interna. Mesmo quando um ob-
jeto está em repouso, seus átomos e moléculas estão em movimento, represen-
tado pela energia térmica e, portanto, possui uma certa quantidade de energia 
cinética interna. Entretanto, a energia cinética interna não será aqui abordada.
Atividades de avaliação
1. Num dado instante, a força que atua sobre uma partícula é F. Algum tempo 
depois, a força duplica. Qual é a relação entre as taxas de variação de mo-
mentum da partícula nos dois instantes?
2. O impulso I

 de uma força F

 que atua sobre uma partícula durante o 
instante de tempo t0 até o instante de tempo t é definido por:
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Gerson Paiva Almeida12
 .
o
t
t
I Fdt= ∫
 
 Mostre que o impulso é igual à variação de momentum: p I∆ =


. Prove que 
quando a força é constante, I F t= ∆
 
, onde ot t t∆ = − .
3. Em que condições uma força muito intensa, que atua durante um período de 
tempo muito curto, produz a mesma variação de momentum que uma força 
de pouca intensidade que atua durante um longo período de tempo? Faça 
um diagrama das forças como funções do tempo para explicar a resposta.
4. Enuncie as condições em que o tarbalho realizado por uma força é (a) zero, 
(b) positivo e (c) negativo.
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Capítulo 2
O Movimento pela 
Descrição da Força
A forma de resolver um problema de movimento depende especificamente da 
dependência de F

, que pode ser com o tempo, com a velocidade, e/ou com 
a posição. Em cada um dos casos a solução do problema requer uma técnica 
de resolução da equação diferencial aplicável ao problema. Em geral as téc-
nicas não diferem muito uma das outras, de modo que um número reduzido 
de aplicações será suficiente para resolver a grande maioria dos problemas. 
Vejamos alguns casos acompanhados de alguns exemplos.
2.1. Força dependente do tempo, F = F (t)
Quando uma força resultante aplicada a um corpo for dependente somente do 
tempo, a segunda lei de Newton na forma diferencial será escrita como:
 ( ) .m dt
d x F t2
2
= = (2.1)
A resolução da equação é relativamente simples. Ambos os membros 
são multiplicados por dt e, a seguir, faz-se a integração desde o instante inicial 
t0 até um instante final genérico t. Isto é:
( )
( ) .
m dt
d x dt F t dt
m dt
d x dt F t dt
to
t
to
t
2
2
2
2
`
= =
=# #
 
(2.2)
Lembrando que:
2
2 e ,
dx d x dvv
dt dt dt
= =
e substituindo em (2.2), obtemos:
( ) ,m dt
d x mdv F t dt
t
t
t
t
v
v
2
2
o oo
= =# ##
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Gerson Paiva Almeida14
onde foi considerado que nos instantes t0 e t as velocidades são v0 e v, que 
assim, obtemos:
 ( ) .mv mv F t dto
to
t
- = # (2.3)
Supondo que a integral do segundo membro possa ser resolvida, a 
equação (2.3) pode ser escrita como:
 ( ) .v v m F t dt
1
o
to
t
= + a k# (2.4)
Poderemos encontrar a função que descreve a dependência da posi-
ção em função do tempo, aplicando o mesmo procedimento de integração 
anterior. Isto é:
 ( ) ,
( )
v dt
dx v m F t dt
dx v dt m F t dt dt
1
1
o
t
t
o
t
t
o
o
`
= = +
= +
a
a
k
k
#
# (2.5)
Consideremos agora que no instante t0, a posição seja x0 e que no ins-
tante final t, a posição seja x, obtemos da equação (2.5):
 ( )
( ) ( ) .
x x vdt m F t dt dt
x x v t t m F t dt dt
1
1
o
t
t
t
t
t
t
o o o
t
t
t
t
o oo
o o
`
- = +
- = - +
a
a
k
k
# ##
# #
 
 
 (2.6)
O resultado mostra que, se for possível encontrar a integral de F(t)dt, 
será possível determinar a dependência temporal da posição.
2.2. Força dependente da velocidade, F = F (ν)
Para o caso em que a força seja dependente somente da velocidade, a se-
gunda lei de Newton na forma diferencial será escrita como:
( ) .m dt
d x F v2
2
= (2.7)
A resolução da equação diferencial (2.7) segue basicamente os passos 
descritos na seção para a força dependente do tempo. No entanto, para a for-
ça dependente da velocidade, o método de resolução da integral muda, como 
mostrado a seguir.
Escrevendo 2 2/ /d x dt dv dt= e substituindo na equação diferencial 
(2.7), obtemos:
( ) .m dt
dv F v= (2.8)
Em (2.7), podemos colocar as variáveis que dependem de v e t em 
membros diferentes, resultando:
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Mecânica Teórica I 15
,
( )
dvm dt
F v
=
que integrando, obtemos:
 , (2.9)( )
o o
v t
o
v t
dvm dt t t
F v
= = −∫ ∫ (2.9)
onde consideramos novamente que no instante t0 a velocidade corresponde a 
v0 e que no tempo final t a velocidade corresponde a v0. Se F(v) for conhecida, 
a integral em (2.9) poderá ser resolvida. 
Supondo que tenhamos encontrado o valor da integral no primeiro mem-
bro de (2.9), devemos novamente escrever que v = dx
dt
 e, a partir daí aplicar 
os procedimentos restantes iguais para caso da força dependente do tempo.
Exemplo 2.1
Um pára-quedista salta de um avião. Suponha que durante a queda an-
tes de abrir o pára-quedas, ele enfrente a resistência do ar. A resistência do ar 
é contrária ao movimento e, neste caso, funciona impedindo que a velocidade 
de queda aumente tão rapidamente quanto ela aumentaria se a queda fosse 
realmente livre. Pode-se dizer que a força de resistência do ar é proporcional a 
velocidade de queda (Fresist. ∝ ν), ou seja, Fresist. = αν , com α sendo o coeficien-
te de proporcionalidade. A questão é determinar a velocidade e a distância 
percorrida durante queda antes da abertura do pára-quedas.
Resolução:
Seguindo o enunciado, podemos escrever que a força resultante é dada 
pela soma da força de atração gravitacional e a força de resistência do ar. A 
atração gravitacional é para baixo, enquanto a resistência do ar é para cima. 
Um desenho esquemático é mostrado na figura 2.1.
Figura 2.1 – Desenho esquemático mostrando as forças que atuam no pára-quedista 
antes dele abrir.
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Gerson Paiva Almeida16
Por conveniência consideremos o sentido para baixo como positivo. As-
sim, a equação do movimento é:
 
2
2 (2.10)
d xm F
dt
= (2.10)
,
m
dt
d x mg v
m dt
dv mg v
2
2
`
`
a
a
= -
= -
que rearranjando e integrando, obtemos:
m mg v
dv dt
m mg v
dv dt
v
v
t
t
o o
`
a
a
- =
- =# #
 ( ) .ln
m mg v t tv
v
oo& a a- - = -@ (2.11)
Consideremos que v0 e t0 sejam ambos iguais a zero, obtemos para:
In mg
mg v
m t
mg
mg v
e
v
mg
e1
m t
m t&
`
a a
a
a
-
=-
-
=
= -
a
a
a
a
^
k
k
h
 
(2.12)
A equação (2.12) é a equação da velocidade para o pára-quedista. Para 
encontrar a equação da distância percorrida, substituiremos /dx dt v= em 
(2.12) e a seguir integraremos. O resultado é o expresso pela equação (2.13).
.x
mg
t m e 1m ta a= + -
a-^ h8 B (2.13)
2.3. Força dependente da posição, F = F (x)
Um dos problemas mais importantes relacionados aos movimentos definidos 
por uma força que apresenta uma dependência funcional de uma variável é 
aquela na qual a força é dependente da posição, ou seja, F = F(x).
Seguindo esta situação, podemos definira equação do movimento da forma:
( ) .m dt
d x F x2
2
= (2.14)
Como já mostramos antes, podemos escrever como:
( ) .m dt
dv F x= (2.15)
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Mecânica Teórica I 17
Se multiplicarmos ambos os membros da equação (2.15) por vdt, ob-
temos:
( )mvdv F x vdt= (2.16)
Agora, se lembrarmos que vdt = dx, substituirmos em (2.16) e depois 
integrarmos entre os instantes em que a velocidade varia desde v0 até v, fica-
mos com:
( ) .mv mv F x dx2
1
2
1
o
xo
x
2 2- = #
 (2.17)
Na realidade, já havíamos obtido o resultado expresso em (2.17) e ha-
víamos definido os dois termos do primeiro membro desta equação e também 
o segundo membro como energia cinética e o trabalho da força resultante.
A equação é a representação matemática de um importante resultado, 
conhecido como o teorema do trabalho-energia.
Atividades de avaliação
1. Um carro está se movendo a 105 km/h (29,2 m/s), quando o motorista come-
ça a frear com uma força crescente, de modo que a desaceleração aumenta 
com o tempo de acordo com a relação a(t) = ct, onde c = –2,67 m/s2. 
 a) Quanto tempo o carro leva para parar? 
 b) Qual a distância percorrida nesse processo?
2. Considere um objeto de massa que cai no ar, a partir do repouso, num 
local de gravidade g

 e sob a ação de uma força de arrasto D que aumenta 
linearmente com a velocidade D = bv, e tem sempre o sentido oposto a ela. 
A constante depende das características do objeto (sua forma e tamanho, 
por exemplo) e das propriedades do fluido (especialmente sua densidade). 
Ache a velocidade em função do tempo, v(t), do objeto.
3. A figura mostra uma partícula de massa m percorrendo a trajetória indicada 
do ponto A até o ponto B. Neste trajeto atua sobre a partícula uma força 
elástica dada por F k PO= −

, com k > 0. Calcule o trabalho realizado pela 
força elástica.
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 17 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida18
4. Um barco cuja velocidade inicial é v0 é desacelerado por uma força de atrito 
F = –beav.
 a) Determine o seu movimento;
 b) Determine o tempo e a distância necessária para que o barco pare.
5. Determine o movimento de uma partícula inicialmente em repouso e sujeita 
a ação da força F = Foe-γt cos(ωt + θ) Sugestão: escreva cos(ωt + θ) em 
termo de funções exponenciais complexas.
6. Uma partícula de massa desliza por um plano inclinado sob a ação da 
força de atração gravitacional. Se o movimento sofrer a ação de uma resis-
tência dada por F = kmv2, mostre que o tempo necessário para se mover 
por uma distância d depois de iniciar o movimento a partir do repouso é:
 ( ) ,
cosh
t
kgsen
ekd1
i
=
-
 onde Ɵ é o ângulo de inclinação do plano.
7. Um barco é desacelerado por uma força F(v). Sua velocidade decresce de 
acordo com v = C(t – t1)
2, onde C é uma constante e t1 é o tempo que ele 
leva para parar. Determine F(v).
8. Considere uma partícula de massa cujo movimento começa do repouso 
num campo gravitacional que pode ser considerado constante. Se a força 
de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade (F = kmv2) duran-
te todo o movimento, mostre que a distância s que a partícula cai aceleran-
do de v0 a v1 é dado por:
( ) .s v v k In g kv
g kv
2
1
o
o
1
1
2
2
" = -
-
< F
9. Uma partícula de massa acha-se sob a ação de uma força cuja energia 
potencial é V = ax2 - bx3. 
 a) Determine a força.
 b) A partícula parte da origem x = 0 com velocidade v0. Mostre que se 
|vo| < vc, onde vc é uma certa velocidade critica, a partícula permanecerá 
confinada a região próxima da origem. Determine vc.
10. Considere um pêndulo de comprimento l e uma bola de massa m presa ao 
seu fim, conforme mostra a figura ao lado. A massa se move dentro de um 
óleo com o valor de θ inicialmente decrescente. A bola realiza pequenas 
oscilações, mas o óleo resiste às oscilações com uma força proporcional 
à velocidade dada por / ( ) .F m g l l2res i= A bola é posta inicialmente na 
posição θ = α. Encontre o deslocamento angular θ e velocidade angular 
como função do tempo.
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PARTE
Movimento e Energia
2
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Mecânica Teórica I_NL2014.indd 20 23/05/17 12:51
Capítulo 3
Energia Potencial 
e Energia Total
Quando um carro é freado até parar, uma grande quantidade de energia ci-
nética deve ser convertida em outras formas de energia. Muito disso pode 
ser convertido em energia térmica, que é então dispersada pelo sistema de 
frenagem. Outro tipo de conversão estaria relacionada a um tipo de energia 
que vamos definir agora, que se chama energia potencial e está relacionada 
à posição relativa dos corpos.
3.1. Definição de energia potencial
Vamos considerar um corpo em movimento em uma região do espeço. Va-
mos escolher arbitrariamente um ponto x0 desta região. Podemos definir uma 
função U(x) que possui um valor único em cada ponto da região. O valor desta 
função associada a algum ponto x geral é simplesmente:
( ) ( ) .U x F x dx
xo
x
= - # (3.1)
Em outras palavras, U(x) é apenas a energia transferida para a região (ou 
seja, menos o trabalho realizado pela força), quando o corpo se move do ponto 
x0 até o ponto x. Naturalmente, o valor de U(x) no ponto x0 é zero, ou seja, U(x0) = 
0. Note que esta definição acima especifica unicamente U(x), já que o trabalho 
feito quando um corpo se move entre os dois pontos só pode ter um valor, pois 
só existe um único caminho para se ir da posição x0 até a posição x.
Retomando o teorema do trabalho-energia, descrito pela equação:
( )2
1 mv mv F x dx2
1
xo
x
2
0
2- = # (2.17)
observamos que a variação da energia cinética do corpo, quando ele se move 
do ponto x0 até o ponto x é igual ao trabalho feito sobre o corpo pela força du-
rante este processo. No entanto, comparando com a equação (3.1) que define 
a energia potencial, podemos ver que:
( ) ( ) ( )mv mv U U x U x2
1
2
1
02 0
2- = - = - (3.2)
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Gerson Paiva Almeida22
A equação (3.2) significa que o aumento da energia cinética do corpo, 
quando ele se move do ponto x0 até o ponto x, é igual à diminuição da função 
U(x) avaliada entre esses mesmos dois pontos. Outra maneira de dizer isso é:
( ) ( ) constantemv U x mv2
1 0 2
12
0
2+ = + = (3.3)
ou seja, a soma da energia cinética e da função U(x) permanece constante 
enquanto o corpo se move na região em que a força pode ser considerada 
com função da posição. Deve ficar claro, portanto, que a função U(x) repre-
senta alguma forma de energia, a energia potencial.
3.2. Algumas conclusões sobre a energia potencial
A discussão sobre a energia potencial feita na seção anterior nos leva a algu-
mas conclusões importantes:
1. Deve ser possível associar uma energia potencial, ou seja, uma 
energia que um corpo possui em virtude da sua posição, com uma 
força que só depende da posição.
2. Qualquer região do espaço que possui uma força para o qual pode-
mos definir uma energia potencial deve conservar a soma da energia 
cinética mais energia potencial, isto é, a soma da energia cinética 
mais energia potencial é uma constante.
3. O conceito de energia potencial não faz sentido se a força não puder 
ser definida como função da posição, já que a energia potencial em 
um determinado ponto não pode ser definida univocamente.
4. A energia potencial é definida apenas em relação a uma constan-
te aditiva arbitrária. Em outras palavras, o ponto no espaço em que 
podemos definir a energia potencial zero pode ser escolhido à von-
tade. Isto implica que apenas diferenças de energia potencial entre 
diferentes pontos no espaço têm um significado físico. Um exemplo 
disto é a definiçãode energia potencial gravitacional definida por U(x) 
= mgx, onde x representa a altura acima do solo. No entanto, pode-se 
muito bem escrever U = mg(x–x0), onde x0 é a altura de algum ponto 
de referência escolhido arbitrariamente (como por exemplo, o topo 
do Monte Everest, ou o fundo do Mar Morto).
5. A diferença de energia potencial entre dois pontos representa a ener-
gia líquida transferida para a região onde definimos a força quando 
um corpo se move entre estes dois pontos. Em outras palavras, a 
energia potencial não é, estritamente falando, uma propriedade do 
organismo – em vez disso, é uma propriedade da região dentro da 
qual o corpo se move.
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 22 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 23
3.3. Posição em termos da energia potencial e energia total
Retornando à equação (3.2):
( ) ( ),mv mv U U x2
1
2
1 0o2 2- - - (3.2)
vemos que podemos reescrevê-la em termos da energia total, ET, como:
( ) ( ) ( ) .mv U mv U x E U x2
1 0 2
1
o
2 2= + - = -x: D (3.4)
Logo:
( )v dt
dx
m E U x
2
T!= = - (3.5)
Isso quer dizer que podemos encontrar x se conseguirmos integrar a 
equação (3.5) depois de separarmos as variáveis dependentes de x, ou seja:
( )
.
m E U x
dx t t
2
T
x
x
o
o -
= -
6 @
# 
(3.6)
No caso, as condições iniciais serão determinadas a partir da x0 e ET.
É importante lembrar que na expressão (3.6) não consideramos os si-
nais .± Quando o leitor for resolver qualquer problema utilizando esta técnica 
é preciso lembrar-se deste detalhe e escolher o sinal + ou o sinal – conforme 
a condição do problema considerado.
3.4. Energia potencial na forma diferencial
Outro detalhe que pode ter passado despercebido pelo leitor é que da defini-
ção de energia potencial, dada por (3.1),
( ) ( ) ,U x F x dx
xo
x
=- # (3.1)
podemos ter uma definição adicional. Lembrando que, de acordo com 
(3.1), podemos escrever uma relação envolvendo a energia potencial na for-
ma diferencia, ou seja:
( )
( )
F x dx
dU x
=-
 
(3.7)
A equação (3.7) é uma expressão que define o significado físico da 
energia potencial. A energia potencial é uma função cuja derivada negativa é 
igual à força. Isso reforça o que foi dito anteriormente a respeito da definição 
da energia potencial gravitacional, que escrevemos como U(x) = mg(x – x0). 
Como podemos ver, se derivarmos a expressão, ficamos com:
( .dx
dU
dx
d mg x xo mg- =- - =-6 @ (3.8)
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 23 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida24
e, portanto, a adição da constante x0 não tem nenhuma importância na nossa 
definição de enegia potencial, pois a derivada da constante não terá influência 
no resultada da força que nós podemos sentir, a força de atração gravitacional. 
Vejamos um exemplo de aplicação da técnica definida acima.
Exemplo 3.1
Seja uma massa m ligada a uma mola de constante elástica k. Vamos 
determinar os possíveis tipos de movimentos.
Resolução:
Quando o corpo de massa m está sujeito a uma força elástica, a força 
sobre o mesmo é escrita como:
( ) .F x kx=- (3.9) 
A energia potencial é definida como:
( ) ( )U x F x dx
xo
x
=- #
Substituindo F(x) dado por (3.9) na expressão da energia potencial, obtemos:
( ) ] .U x kx dx kx kx kx2
1
2
1
2
1' ' '
xo
x
xo
x
o
2 2 2=- - = = -# (3.10)
Vamos considerar, por conveniência, que x0 seja igual a zero. Portanto,
( ) .U x kx2
1 2= (3.11)
Assim, para escrever x como função de t, vamos retomar (3.6),
( )
,
m Er U x
dx t t
2x
x
o
o -
= -
6 @
# (3.6)
que ao substituirmos nela a energia potencial dada por (3.11), vamos obter:
0 2
. (3.12)
2 1
2
x
o
T
dx t t
E kx
m
= −
 −  
∫ (3.12)
Para calcular a integral em (3.12) vamos chamar wω= k / m e definir:
senqθ= x k / 2Er (3.13)
de onde obtemos que:
,x
E
k
sen x
E
k
sen x
E
k
sen
2 2 2r r r
2
2
2
2
& &
i i i= =f p
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 24 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 25
e:
dx= cosqθdqθ
k
2Er
Assim, (3.12) torna-se:
/
/ /
( )
.
cos
cos
cos
cos
m E ksen Er
k
d k E
t t
Er
k
m k
Er k sen
d t t
m
k
d d t t
o t
2
2
1
2
2
2
2 2
2 1
1
r
r
o
x
o
o
o
o
oo
2
2
&
`
`
i
i i
i
i i
i
i i
~ i
i i ~
-
= -
-
= -
= = -
= +
i
ii
: D
#
#
##
 
(3.14)
Portanto, pondo (3.14) em (3.13), a massa terá um movimento descrito por:
( ) .x k
E sen t2 0~ i= =+
 
(3.15)
Observemos que, da mesma forma que escolhemos senθ sen . / 2 Tx k Eq = , po-
deríamos ter escolhido cosθ cos . / 2x k Eq = , de modo que seguindo os mesmos 
passos acima, chegaríamos a θ = θ0 – ωt e a solução seria:
( ) ( ) .cos cosx k
E t k
E t2 2o o~ i ~ i= - + = - (3.16)
Como as duas soluções são possíveis, podemos dizer que o movimen-
to da partícula será uma oscilação senoidal ou co-senoidal.
Uma função dependente de uma variável e de sua derivada primeira, 
que é constante para todas as soluções para uma equação diferencial de 
segunda ordem, denomina-se integral primeira da equação. 
A função (1/2)m(dx/dt)2+U(x) denomina-se integral da energia da equa-
ção m(dv/dt)=F(x).
O exemplo acima é relativamente fácil de ser resolvido, pois a função 
U(x), quando inserida na equação
[ ( )]
,
m Et U x
dx
2xo
x
-
#
permite uma solução analítica por um modo relativamente simples.
Em outras situações, entretanto, as funções potenciais podem ser muito 
complexas, sem a possibilidade de se resolver a equação da posição de forma 
analítica. Nesses casos, ainda é possível determinar os tipos de movimentos na 
região do potencial avaliado. Vejamos, por exemplo, o potencial mostrado na 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 25 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida26
Figura 3.1, na qual vemos uma função complexa que, talvez só possa ser re-
presentada por um polinômio de sexta ordem, ou ordem superior. Este potencial 
mostra uma região com um mínimo da função localizado em x0 e um mínimo 
local, em x5. Se considerarmos que a energia total seja ET só poderemos consi-
derar posições x para as quais ET – U(x) seja maior ou igual a zero.
A título de exemplo, avaliemos o caso em que a energia total seja igual a 
E1. Então a partícula estará confinada a região entre as posições x1 e x2. Para 
qualquer posição entre estes dois valores de x, a velocidade da partícula varia-
rá, de forma que (1/2)mv2 + U(x) = E1. Isso implica que quando x se aproxima de 
x1 ou de x2, a velocidade da partícula diminui gradativamente até zero. Assim 
se a partícula estiver inicialmente em x2, tenderá a se mover na direção de x1. 
Enquanto se dirige a x1, a sua velocidade aumenta gradativamente, atingindo 
um máximo quando passa por x0, a posição de potencial mais baixo da região. 
À medida que caminha para x1, depois de passar por x0, a sua velocidade 
diminui, até parar completamente na posição x1. A tendência será de que a 
partícula tenda a voltar para a posição x2, repetindo o tipo de movimento que 
teve quando ía para x1, mas com a velocidade dirigida na direção oposta.
Figura 3.1 – Gráfico de uma função potencial.
Vejam que se a energia total for a E1, os pontos x1 e x2 serão pontos de retorno 
do movimento. Se a energia total da partícula for E2, a partícula estará confinada a 
região entre as posições x3 e x4, podendo oscilar entre estas duas posições de uma 
maneira parecida a do caso em que a partícula tinha energia E1. Lembremos que, 
agora, os pontos x3 e x4 serão os pontos de retorno do movimento. 
No caso da partícula ter energia E3 ela pode tanto oscilar na região das 
proximidades de x0 quanto estar presa na posição de x5. Se sua energia for um 
pouco maior,digamos E4, ela tanto pode oscilar na região nas proximidades de 
x0, quanto oscilar na região entre x6 e x7. Se a energia for E5, a partícula poderá 
se mover da região com um x ligeiramente negativo, até uma região muito além 
de x7. Vejamos que se a energia for E5, só teremos um ponto de retorno, que é o 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 26 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 27
valor de x ligeiramente negativo. Por fim, se a energia total da partícula for E6 a 
partículas poderá se mover em todo o espaço do eixo x mostrado na Figura 3.1. 
Os pontos x0 e x5 são definidos como pontos de equilíbrio estável. Essa 
definição se dá pelo fato de que se uma partícula estiver parada num destes 
dois pontos e for deslocada ligeiramente da posição, tenderá a se mover de 
volta à posição de origem.
O movimento nas proximidades dos pontos de equilibrio estável podem 
ser considerados aproximadamente como movimentos harmônicos. Para de-
monstrar isso, consideremos que a função potencial tenha um mínimo nestes 
pontos de equilíbrio estável e que possa ser escrita a partir da expansão de 
U(x) em série de Taylor. Isto é:
( ) ( )
( )
| ( )
( )
| ( )
( )
| ( ) ...
U x U x dx
dU x
x x dx
d U x
x xo
dx
d U x
x xo
2
1
6
1
o x o xo
xo
2
2
2
3
3
3
o= + - + -
+ - +
c c
c
m m
m
(3.17)
A constante U(x0) pode ser desprezada ou definida como representando 
o nível de referência em que U(x0)=0, sem modificar o resultado físico da solu-
ção. Como x0 é um ponto de mínimo,
( )
| .dx
dU x
0xo = (3.18)
Com isso, a nossa solução fica:
( )
( )
| ( ) .U x dx
d U x
x x2
1
x o2
2
2
o, -
 (3.19)
Vamos agora chamar:
( )
( ) '.dx
d U x
k e x x x
o
o2
2
= - =c m
Com isto, o nosso resultado será:
( ') .U x kx2
1 '2, (3.20)
Como o leitor poderá se lembrar, este potencial representa o potencial para 
pontos próximos a x0 e é o mesmo do oscilador harmônico simples mostrado em 
(3.11). Se procurarmos uma solução para o movimento da partícula submetida a 
este potencial, veremos que ele será o de uma oscilação senoidal ou co-senoidal.
Exemplo 3.2
Uma partícula de massa m está sujeita à ação de uma força dada por 
F = –kx + kx3/a2, onde k e a são constantes. (a) Determinar U(x) e discutir os 
possiveis tipos de movimento que possam ocorrer; (b) Mostrar que se E = (1/4)
kx2, a posição como função do tempo pode ser encontrada a partir da conser-
vação da energia, isto é, resolvendo a equação:
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 27 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida28
 [ ( )]m Er U x
dx
2
x
x
0 -
#
(c) Mostrar a concordância da solução analítica com a discussão do 
item anterior.
Resolução:
A força F é dependente da posição x. Então podemos escrever:
( )
( )
( )
( ) ( / )
( ( ) ( )) |
( ) ( ) .
F x dx
dU x
dU F x dx
dU x kx kx a dx
U x U x kx k a
x
U x U x kx k
a
x kx k
a
x
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
( )
( )
x
x
V x
V x
o xo
x
o o
3 2
2
2
4
2
2
4
2
2
0
4
oo
&
`
`
`
=- - =
- = - +
- - = - +
= + - - +
a k
##
 
(3.21)
Em (3.21), x0 pode ser considerado como um ponto de referência. Para 
simplificar podemos definir x0 = 0 para o qual atribuímos o valor de U(x0) = 0. 
Com isso a expressão para o potencial fica:
( )U x kx k a
x
2
1
4
12
2
4
= - (3.22)
Para definirmos os possíveis movimentos de um corpo submetido à 
ação da força descrita acima, precisamos primeiro desenhar o gráfico para 
conjecturarmos os possíveis movimentos a partir da quantidade de energia do 
corpo. Para isto vamos definir os pontos críticos do gráfico.
Fazendo dU (x)/dx = 0, obtemos:
2
3
2 20 1 0 0 ou .
k xkx x kx x x a
a a
 
− = ⇒ − = ⇒ = = ± 
 
Para analisarmos se os pontos são de máximo ou de mínimo, vamos 
derivar uma segunda vez. Assim obtemos:
2 2
2 2
( ) 3 .d U x kxk
dx a
= −
Aplicando o valor de x à derivada segunda do potencial num ponto críti-
co obtemos um valor positivo se o ponto for de mínimo e um valor negativo se 
o ponto for de máximo. 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 28 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 29
Para x = 0, obtemos:
( )
,
dx
d U x
k k a k
0
3 0 0>2
2
2
=
= - = (ponto de mínimo)
O valor da função em x = 0 é U(x = 0) = 0.
Para x = a, obtemos:
( )
,dx
d U x a
k k a
a k3 2 0<2
2
2
2=
= - =- (ponto de máximo)
O valor da função em x = a vale:
( ) .U x a ka k
a
a ka2
1
4
1
4
32
2
4
2= = - =
Para x = –a, obtemos:
( )
( )
( )
,dx
d U x a
k k
a
a
k3 2 0<2
2
2
2=-
= -
-
-
=- (ponto de máximo)
O valor da função em x = –a vale:
( ) ( )
( )
( )
.U x a k a k
a
a
ka2
1
4
1
4
32
2
4
2=- = - -
-
-
=
Nos pontos de inflexão, a derivada segunda da função é igual a zero. Assim:
2 2
2 2
( ) 3 0 3 / 3.d U x kxk x a
dx a
= − = ⇒ = ±
Os valores da função nos pontos de inflexão são:
2 23 5 3 5 e .
3 36 3 36
U x a ka U x a ka
   
= + = = − =      
   
Com base na aná-
lise dos pontos de interesse, podemos esboçar o gráfico do potencial em 
função da posição. O esboço é o mostrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 – Esboço do gráfico da função potencial 𝑈𝑈 𝑥𝑥 =
1
2
𝑘𝑘 2 −
1
4
𝑘𝑘
4
𝑎𝑎
 x( ) x 2 para k = 
1 e a = 3. 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 29 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida30
Este gráfico, definido para k = 1 e a = 3, permite ver que se a energia 
for menor do que 2
1
4T
E ka= e se a partícula estiver entre os dois picos da 
função mostrada, a partícula só poderá ter um movimento oscilatório entre 
dois pontos de mesma altura nos dois lados do vale. A medida que a energia 
total se torna maior, o ponto máximo atingido pela partícula pode ser cada 
vez mais alto. Considerando-se que a partícula passe pela posição inicial 
x = 0 com uma velocidade inicial, ela poderá se dirigir tanto para a direita quan-
to para a esquerda, mas diminui sua velocidade a medida que sobe. 
No caso da energia total ser igual 2
1
4T
E ka= , a partícula diminuirá sua 
velocidade até que no ponto máximo terá velocidade igual a zero.
b) Suponhamos que 21
4T
E ka= , podemos calcular x se pudermos calcu-
lar a integral:
[ ( )]
.
m Er U x
dx t
2xo
x
-
=#
Assim,
1
22 2 4
2
0
1 1 1
2 4 2 4
xm kka kx x dx t
a
−
 − + =  ∫
1
2 22
0
 
2 2 2
xm a k xk dx t
a
−
  
 ∴ − =     
∫
12
0
 
2 2
xm k xa dx t
a
−
  
∴ − =  
  
∫
12 2
0
2 
2
xm a x dx t
ak
−
 −
∴ = 
 
∫
2 2
0
2 . (3.23)
2
xm a dx t
a xk
∴ =
−∫
Consultando uma tabela de integrais, podemos ver que:
2 2
0
1 arctgh , 
 
1 arcotgh , 
x
x x a
dx a a
xa x x a
a a
 <= −  >

∫
Para a energia considerada, se observarmos o gráfico, verificaremos 
que a partícula fica confinada aos pontos tais que a ≤ x ≤ a, ou seja, |x| ≤ a. 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 30 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 31
Com essa observação, podemos escolher a primeira solução para a integral 
anterior. Desta forma, ficamos com:
2 2
0
1 arctgh .
x dx xdx
a x a a
=
−∫
Finalmente, podemos colocar o resultado da integral acima na equação 
(3.23), de onde obtemos:
0
2 arctgh (3.24)
xm x t
k a
 
=  
 
 (3.24)
2 arctgh arctgh0 m x t
k a
 ∴ − = 
 
2 arctgh .m x t
k a
∴ =
Portanto,
( )
( )arctgh a
x t
m
k t x t atgh m
k
2 2&= =
 (3.25)
Assim, podemos ver que se 2
1
4T
E ka= , a integral
( )m Er U x
dx
2xo
x
-6 @
#
pode ser resolvida por métodos elementares e fornece o resultado de x(t) con-
dizente com a discussão do problema.
Vamos considerar a situação em que a força F não possa ser conside-
rada como a derivada apenas da função potencial, mas que tenha a contribui-
ção adicional de F', isto é:
'. (3.26)dUF F
dx
= − + (3.26)Podemos escrever (3.26) como:
' , (3.27)dUF F
dx
+ = (3.27)
e lembrar que: F = m dv ⁄ dt. Assim, (3.27) ficará:
'. (3.28)dv dUm F
dt dx
+ = (3.28)
Se multiplicarmos por U, ficaremos com:
' 2 '1 .
2
dv dU dv dx dU dv dU dmv v F v mv mv mv U F v
dt dx dt dt dx dt dt dt
 + = ⇒ + = + = + = 
 
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Gerson Paiva Almeida32
Ou seja,
( ) ' .dt
d E U F vc + = (3.29)
A equação (3.29) mostra que a energia mecânica não é mais constante 
com o tempo e que sua taxa variacional é igual a potência fornecida pela força F.
Atividades de avaliação
1. A função energia potencial para a força entre dois átomos em uma molécu-
la diatômica pode exprimir-se aproximadamente pela função
 ( ) ,U x x
a
x
b
12 6= -
 Em que a e b são constantes positivas e x a distância entre os átomos. 
Determinar (a) a distância de equilíbrio entre átomos, (b) a força entre eles 
e (c) a energia mínima necessária para romper a molécula (isto é, para 
separar os átomos até a distância x = ∞).
2. A assim chamada energia potencial de Yukawa
 ( )U r r
r U e /o o r ro=- -
 dá uma descrição bastante precisa da interação entre núcleons (isto é, 
nêutrons e prótons, os constituintes dos núcleos). A constante r0 vale apro-
ximadamente 1,5×10-15m e a constante U0 é cerca de 50 MeV. (a) Determi-
nar a expressão correspondente para a força de atração. (b) Para mostrar 
o curto alcance dessa força, calcular a razão de seus valores em r = 2r0, 4r0 
e 10r0, e o que assume em r = r0.
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Capítulo 4
Movimentos Oscilatórios
O fenômeno das oscilações é frequentemente encontrado no nosso cotidiano. 
São movimentos oscilatórios que vão desde as vibrações em escalas ma-
croscópicas, como as pulsações das estrelas, até as vibrações em escalas 
microscópicas, como as oscilações que ocorrem nos átomos e moléculas.
As características e leis que regem estes sistemas são, em geral, dife-
rentes umas das outras. No entanto, a formulação matemática, envolvendo 
equações diferenciais, usada para descrever as oscilações é a mesma. Este 
capítulo terá como foco a descrição destes movimentos, passando inicialmen-
te por uma explanação de soluções de algumas equações diferenciais usadas 
na descrição destes movimentos.
4.1. Resolução de equações diferenciais lineares de se-
gunda ordem
A forma mais geral de uma equação diferencial de segunda ordem é:
( ) ( ) ( ) ( ) .p t dt
d x q t dt
dx r t x s t2
2
+ + = (4.1)
Em (4.1), p(t), q(t), r(t) e s(t) são polinômios de x. Em nosso estudo, no 
entanto, não lidaremos com problemas em que estes termos sejam polinô-
mios. Os casos a serem estudados aqui serão exclusivamente aqueles em 
que p(t) e q(t), r(t) sejam constantes. Por conseguinte, a equação (4.1) pode 
ser escrita como:
( ),a dt
d x b dt
dx cx s t2
2
+ + = (4.2)
onde a, b e c são as constantes.
Iniciemos o nosso estudo considerando as equações diferencias em 
que o polinômio s(t) seja igual a zero; caso em que (4.2) é chamada de equa-
ção diferencial homogênea. Por outro lado, se s(t) não for igual a zero, (4.2) 
recebe o nome de equação diferencial não homogênea.
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 33 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida34
Portanto, a nossa equação diferencial a ser resolvida é da forma:
2
2 0. (4.3)
d x dxa b cx
dt dt
+ + =
 (4.3)
A estratégia aqui é iniciar com o caso mais simples e aumentar o grau 
de complexidade das equações à medida que ganharmos mais entendimento 
a respeito das mesmas. Assim, consideremos o caso em que temos a = 1.
Consideremos agora uma segunda simplificação; o caso em que b seja 
igual a zero. Assim, (4.3) será escrita como:
2
2 0. (4.4)
d x cx
dt
+ = (4.4)
É fácil encontrarmos uma solução relativamente simples para este pro-
blema. Por inspeção ou por tentativa, ou mesmo através de uma adivinhação 
ou palpite, podemos ver que, se tivermos um valor de x cuja derivada segunda 
seja igual ao produto de c por x, teremos encontrado nossa solução. Vem-nos à 
cabeça o fato de que quando derivamos uma função exponencial, encontramos 
novamente uma função exponencial. Se a derivada da função exponencial for 
derivada novamente, encontramos outra vez a função exponencial. Lembremos 
que quando a função exponencial está elevada a um expoente constante, a 
derivação desta função duas vezes resulta no valor do expoente ao quadrado 
multiplicado pela função exponencial. Podemos dar um palpite de que uma fun-
ção exponencial de t possa ser solução da nossa equação diferencial. 
Vejamos. Seja x = ept, onde p agora é uma constante. Derivando x uma 
vez e depois uma segunda vez, obtemos:
2
2
2 e .
pt ptdx d xpe p e
dt dt
= =
Portanto, se p2 = -c2 implica que x = ept é uma solução do nosso problema.
Mas por que x = ept é “uma solução” do nosso problema e não “a solu-
ção” do nosso problema? A resposta é porque x = e –pt também é solução!
Vejamos isso:
2
2
2 e .
pt ptdx d xpe p e
dt dt
− −= − =
O que nos dá o mesmo resultado de x = e pt. 
Se avaliarmos x = C1e 
pt, ou ainda x = C2e 
–pt, onde C1 e C2 são constantes, 
verificaremos que também são soluções.
Chegamos a um ponto onde é preciso fazer um enunciado muito im-
portante na resolução de equações diferenciais, conhecido como princípio da 
superposição. Este princípio diz: “Se x1(t) e x2(t) são duas soluções diferentes 
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Mecânica Teórica I 35
de uma equação diferencial linear e homogênea, então a solução da equação 
diferencial será:
( ) ( ) ( ) ( . )x t C x t C x t 4 51 1 2 2= + (4.5)
Este enunciado é de fato tão importante que, na prática, nós o utilizare-
mos na maioria dos problemas deste texto. O princípio da superposição nos 
dá, também, o que é usualmente chamado de solução geral da equação dife-
rencial linear homogênea.
Olhando a nossa solução geral do problema, poderíamos perguntar 
como se definem as duas constantes C1 e C2 da solução dada por (4.5). A res-
posta é que precisamos de duas condições para encontrá-las. Em geral estas 
duas condições são o valor da função x em um determinado instante e o valor 
da derivada de x em um determinado instante, ou seja:
( )
( )
.x t x e dt
dx t
vo o
o
o= =
Estas condições serão muito empregadas neste texto e são chamadas 
de condições iniciais do problema.
Muito frequentemente as condições iniciais são definidas em t=0, isto 
por ser mais fácil e conveniente para resolver os problemas. No entanto, esta 
não é uma condição necessária, isto é, pode-se, em algumas situações definir 
as condições inicias em t≠0.
Voltemos então à equação(4.3) para analisar o caso em que b seja di-
ferente de zero:
2
2 0. (4.3)
d x dxa b cx
dt dt
+ + =
 (4.3)
Embora a solução do tipo x = ept possa ainda funcionar, não será mais 
fácil de ser encontrada através de uma simples inspeção. Se tentarmos en-
contrar a solução por tentativas, é provável que levemos muito tempo na ta-
refa ou mesmo que acabemos desistindo e não encontrando uma solução.
É preciso então de um método de chegar às duas soluções (solução 
geral) de qualquer equação diferencial linear de segunda ordem com coefi-
cientes constantes. Isto não é difícil. Na realidade, o método consiste em uti-
lizar a mesma substituição anterior, em que tínhamos somente uma derivada 
segunda e um termo proporcional a x. Isso permitia que pudéssemos inferir o 
valor de p na exponencial e inseri-lo na possívelsolução. 
No entanto, temos agora um termo proporcional a derivada segunda de 
x adicionado à equação. Mas isso não muda em nada a validade de nossa in-
ferência como solução. O fato agora é que teremos que fazer algumas contas 
para determinar o valor de p para que ele possa ser inserido na nossa solução.
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Gerson Paiva Almeida36
Assim, vamos supor que x = ept continue sendo uma solução da equa-
ção diferencial dada por (4.3).
Como já calculado anteriormente:
2
2
2 e .
pt ptdx d xpe p e
dt dt
− −= − =
Substituindo estes resultados em (4.3), ficamos com:
.
( )
,
ap ept bpept ce
ap bp c e
ap bp c
0
0
0
pt
pt
2
2
2
&
`
+ + =
+ + =
+ + =
 
(4.6)
pois ept nunca é zero.
Assim, temos uma equação do segundo grau em p, dada por (4.6), cha-
mada de equação característica da equação diferencial que estamos que-
rendo resolver. Se pudermos encontrar as raízes desta equação, teremos en-
contrado a solução da nossa equação diferencial. Como há duas raízes para 
uma equação do segundo grau, esperamos poder determinar duas soluções 
diferentes para a equação diferencial (3.4). As raízes são:
2 2
1 1
4 4 .
2 2
b b ac b b acp e p
a a
− + − − − −
= =
Assim, com estas determinações de p, podemos encontrar a solução 
da equação diferencial. Utilizando o princípio da superposição, ficamos com:
( ) .x t A e A ep t p t1 21 2= + (4.7)
No entanto, os valores de p1 e p2 dependem do valor do discriminante que 
pode ser positivo, negativo ou zero, fazendo com que as raízes sejam (1) reais 
e distintas, para discriminante positivo; (2) imaginárias (ou complexas), para 
discriminante negativo e (3) repetidas (ou iguais), para discriminante zero. Ou 
seja, (1) reais e distintas: p1 ≠ p2 ; (2) imaginárias (ou complexas): p1 = k + ωi e 
p1 = k – ωi; e (3) repetidas (ou iguais): p1 = p2.
Vejamos um exemplo de cada um destes casos.
1) Raízes reais e distintas: Vamos encontrar a solução geral da equa-
ção diferencial:
2
2 6 3 0 .
d x dx x
dt dt
− − =
A equação característica desta equação diferencial é: p2 – 6p – 3 = 0, 
cujas raízes são: p1 = 3 + 2 3 e p2 = 3 – 2 3 , que são ambas reais. Assim, a 
solução geral é:
( ) ( ) ( ) ,x t C e t C e t3 31 2 3 2 2 3= + + -
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Mecânica Teórica I 37
que é uma solução real, desde que as constantes C1 e C2 sejam reais.
2) Raízes imaginárias (ou complexas): Vamos supor que resolvemos a 
nossa equação característica e encontramos duas raízes imaginá-
rias do tipo: p1 = k + ωi e p2 = k – ωi. 
Como supusemos uma solução da forma x = ept, a solução geral é:
( ) .x t B e B e( ) ( )k i t k i t1 2= +~ ~+ - (4.8)
Se as constantes B1 e B2 forem reais, esta solução geral dada por (4.8), 
não será real e, portanto, ela não representará uma situação física real. Mas 
(4.8) pode representar uma solução de uma situação real. Para isso, vamos 
escrever (4.8) na forma:
( ) ,x t B e e B e ekt it kt it1 2= +~ ~- (4.9)
e em seguida, escrever a parte exponencial complexa na fórmula de Euler eiθ 
= cosθ + i senθ. Ou seja:
( ) [ ] [ ] .cos cosx t B e t isen t B e t isen tkt kt1 2~ ~ ~ ~= + + - (4.10)
Considerando que as constantes B1 e B2 sejam reais e ambas iguais a 
1/2, ficamos com:
( ) [ ] [ ]
( ) .
cos cos
cos
x t e t isen t e t isen t
x t e t
2
1
2
1kt kt
kt`
~ ~ ~ ~
~
= + + -
=
 (4.11)
Por outro lado, se considerarmos que as constantes B1 e B2 sejam ima-
ginárias e iguais – i/2 e i/2, respectivamente, ficamos com:
( ) [ ] [ ]
( ) .
cos cosx t i e t isen t i e t isen t
x t e sen t
2 2
kt kt
kt`
~ ~ ~ ~
~
=- + + -
= (4.12)
Portanto, temos duas soluções, (4.11) e (4.12), que devem ser linear-
mente independentes. Assim a solução geral é uma combinação linear destas 
duas soluções. Isto é:
( ) .cosx t C e t C e sen tkt kt1 2~ ~= + (4.13)
3) Raízes repetidas (ou iguais):
O que acontece então, quando temos uma solução do tipo x = ept para 
a equação
2
2 0 (4.3)
d x dxa b cx
dt dt
+ + = (4.3)
e os dois valores de encontrados na equação característica
2 0 (4.6)ap bp c+ + = (4.6)
são iguais, isto é, o discriminante (b2 – 4ac) é zero? Ficamos obviamente com 
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Gerson Paiva Almeida38
duas soluções iguais, que, obviamente são a mesma solução. Em outras pa-
lavras, só temos em mãos uma única solução e precisamos encontrar a outra, 
pois temos uma equação diferencial de segunda ordem que deve ter duas 
soluções.
Vamos chamar a solução existente de x1(t). Lembremos da álgebra li-
near que se temos uma solução x1(t), então a multiplicação desta solução 
por uma constante também é uma solução, mas linearmente dependente da 
solução inicial. Isso nos dá a possibilidade de pensar que se multiplicarmos 
a solução x1(t) por uma função que dependa de t, o resultado pode ser uma 
função linearmente independente de x1(t). Investiguemos, pois este fato.
Chamemos x2(t) = g(t). Da equação característica (4.6) devemos ter os 
valores de p iguais a – b/2a. Assim:
( ) ( ) .x t g t e a
b t
2 2=
-
 (4.14)
Para que x2(t), dada por (4.14), seja uma solução, ela deve obedecer à 
equação diferencial. Logo, precisaremos da derivada primeira e segunda de 
x2(t) em relação a t. Estas derivadas são:
( ) ( )
( )dt
dx t
dt
dg t
e a
b g t e2
a
b t a
b t2 2 2= -
- - (4.15)
e
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4
b b b bt t t t
a a a ad x t d g t b dg t b dg t b dg te e e e
dt dt a dt a dt a dt
− − − −
= − − +
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) . (4.16)
4
b b bt t t
a a ad x t d g t b dg t be e g t e
dt dt a dt a
− − −
∴ = − +
Inserindo a derivadas (4.15) e (4.16) na equação original (4.3), ficamos com:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) .
a dt
d g t
e a
b
dt
dg t
e a
b g t e b dt
dg t
e a
b g t e
c g t e
4 2
0
a
b t a
b t a
b t a
b t a
b t
a
b t
2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
- + + -
+ =
- - - - -
-
c c
_
m m
i
(4.17)
Como em (4.17) o termo 2
bt
ae
−
 aparece em todas as parcelas, podemos 
colocá-lo em evidencia. E assim, obtemos:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )e a dt
d g t
a
b
dt
dg t
a
b g t b dt
dg t
a
b g t c g t
4 2 0
a
b t2
2
2
2
2
- + + - + =
-
c c ^m m h; E
Como 2
bt
ae
−
 ≠ 0, obtemos:
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Mecânica Teórica I 39
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) .
a
dt
d g t
b dt
dg t
b dt
dg t
a
b
a
b c g t
a
dt
d g t
a
b c g t
a dt
d g t
a b ac g t
4 2 0
4 0
4
1 4 0
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
`
`
+ - + + - + =
+ - + =
- - =
c a
a
m k
k
 (4.18)
Como em (4.18) aparece o discriminante (b2 – 4ac) e ele é igual zero, fato pelo 
qual temos duas raízes iguais, reescrevemos (4.1) como:
2
2
( ) 0. (4.19) d g ta
dt
=
 
(4.19)
Integrando (4.19), obtemos:
( ) ( )
( )
( )
dt
dg t
dt
d g t
dt k
dg t K dt
12
2
1`
= =
=
# constante 1 (k1) (4.20)
Integremos (4.20), obtemos:
( ) ( )g t dg t K dt1= = ##
g(t)=K1t+constante 2 (K2)
ou
g(t) = K1t+K2. (4.21)
A constante K2 que aparece em (4.21) pode agora ser ignorada, pois ela 
não muda a forma da função g(t). 
Chegamos então à conclusão de que a segunda solução, dada por 
(4.14) para a equação diferencial (4.3) é:
( ) ( ) .x t g t e K tea
b t a
b t
2 2 1 2= =- - (4.22)
Portanto, a solução geral para a equação diferencial (4.3) será, confor-
me (4.5) e (4.21), da forma:( ) ( ) ( ) ,x t C x t C x t C e C tea
b t a
b t
1 1 2 3 1 2 2 2= + = +- - (4.23)
onde a constante K1 que aparece em (4.22) foi incorporada à constante C2 de 
(4.23).
4.2. Oscilações
Vamos agora aplicar os conhecimentos na resolução de problemas físicos 
representados por equações diferenciais de segunda ordem. Daremos aten-
ção particular à resolução de problemas de oscilações mecânicas, embora o 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 39 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida40
tipo de resolução também possa ser aplicado ao problema de oscilações em 
circuitos elétricos que têm o mesmo tipo de equação diferencial para repre-
sentá-lo. O que muda são os termos que vem antes das derivadas. Vamos ver 
o caso de massas presas a molas. Na prática este tipo de situação pode ser 
encontrado nas suspensões de carros, em que a massa do carro fica suspen-
sa sobre os eixos por molas.
Comecemos com uma mola num estado normal em que não está dis-
tendida nem comprimida. Consideremos que nessa condição o seu compri-
mento finito seja L. Vamos denominar o comprimento que ela diminui de L 
quando é comprimida, ou o comprimento que ela aumenta quando é disten-
dida além de L, de x. Assim quando a mola não está distendida ou esticada, o 
valor de x é zero, como mostra o esquema da figura 4.1.
Figura 4.1 – Esquema de um sistema massa-mola mostrando a posição x = 0, quando 
a mola não está comprimida nem distendida, e uma posição genérica x num instante 
t, quando a mola está distendida.
Vamos desenvolver a equação diferencial que representará o desloca-
mento da massa m presa à mola.
Aplicando-se à massa uma força aplicadaF

 paralela ao plano horizontal de 
modo que a mola fique distendida (ou comprimida) até que o centro da massa 
fique na posição x = +x0 (ou até a posição x = –x0), denominada de posição ini-
cial do movimento. Em seguida, aplicadaF

 cessa e, a partir daí, a massa sofrerá, 
na horizontal, o efeito de uma força resultante F

 atuando sobre ela. 
De acordo com a segunda Lei de Newton, a força resultante será igual 
ao produto da massa pela sua aceleração. Isto é:
. (4.24)F ma= (4.24)
Em (4.24) não usamos a notação vetorial pelo movimento da massa ser 
apenas em uma direção, a horizontal, embora possa ocorrer nos dois senti-
dos, para a esquerda e para a direita.
Vamos utilizar a segunda Lei de Newton na forma da derivada segunda 
da posição, ou seja:
2
2 . (4.25)
d xF m
dt
=
 (4.25)
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 40 23/05/17 12:51
Mecânica Teórica I 41
Como F pode ser uma função do tempo, da velocidade, da posição, 
entre outras variáveis, então devemos escrever (4.25) na forma:
( , , )m dt
d x F t u x2
2
= (4.26)
Agora é preciso determinar todas as forças que atuam sobre a massa 
m. Neste livro, vamos considerar apenas as três forças principais, para o nos-
so problema do sistema massa-mola, que atuam sobre massa presas a molas: 
a forças elásticas, forças de arrastes ou de amortecimento e forças externas.
1) Força elástica 
Vamos descrever a força elástica, também conhecida como lei de 
Hooke, como representante da força que a mola exerce sobe a massa m. 
Esta força sempre estará presente nos nossos problemas em que uma mola 
atua sobre uma massa m. Como sabemos a força elástica sempre se opõe a 
distensão ou compressão da mola e é sempre escrita como:
 , (4.27)elásticaF kx= − (4.27)
sendo k de agora em diante denominada a constante da mola, tendo unidades 
N/m no Sistema Internacional de Unidades (SI). Os valores de k são sempre 
positivos.
2) Força de arraste
A força de arraste, ou força de amortecimento, dependendo do proble-
ma, pode ou não estar presente. A grande maioria dos problemas que resol-
vemos até agora sobre oscilações não contemplou a existência de forças de 
atrito. Isso foi feito principalmente porque supomos que o leitor, até aqui, não 
tinha conhecimentos matemáticos suficientes para enfrentar a solução que 
vamos ver a partir deste ponto. O arraste ou amortecimento em geral aconte-
ce quando há algum movimento. A sua presença implica sempre a diminuição 
ou dissipação do movimento existente. Isso quer dizer que ele age na direção 
contraria a direção do movimento. Atrito, de uma forma geral, pode ser consi-
derado um amortecimento. Assim, quando submetemos um pêndulo a oscilar, 
ele se mantém em oscilação por algum tempo. O que podemos observar, no 
entanto, é que a amplitude da oscilação vai diminuindo gradativamente, até o 
momento em que o pêndulo ficará completamente parado. Isso implica que 
existe atrito durante o movimento. Se não considerarmos este atrito, obtere-
mos a solução do sistema massa-mola do exemplo 3.1, mas é bom lembrar 
que aquela solução não levou em conta o fato de que o sistema massa-mola 
chegará ao repouso depois de algum tempo. Há, no entanto, uma restrição 
à inclusão do atrito na sua forma geral na equação do oscilador harmônico a 
ser utilizada aqui. Isso acontece porque na resolução das equações diferen-
ciais não obtemos uma solução simples quando o atrito é dado simplesmente 
Mecânica Teórica I_NL2014.indd 41 23/05/17 12:51
Gerson Paiva Almeida42
como proporcional à normal da força de contato. Ao invés disso, aplicaremos 
uma constatação que tem fundamento físico e que dá ao problema uma equa-
ção diferencial bastante simples de ser resolvida e que consegue, apesar da 
simplicidade da suposição, representar extremamente bem o problema físico 
observado. A suposição no caso é de que as forças de arraste são contrárias 
ao movimento e proporcional à velocidade do mesmo. Isto é:
 , (4.28)arraste
dxF b bv
dt
= − = − (4.28)
onde b é a constante de proporcionalidade, dada no SI por N.s/m. A existência 
de amortecimento em movimentos de oscilações mecânicas, em realidade, 
é muito comum, seja por fatores naturais de atrito, seja por necessidade de 
diminuição da amplitude sob a qual o movimento se realiza. Um exemplo que 
faz ver a necessidade da inclusão de amortecimento no movimento é o dos 
automóveis. Apoiados em molas sobre os eixos, a massa inferior do carro em 
contato com o chão tende a balançar muito enquanto anda nas pistas. Se a 
oscilação for grande, o pneu pode saltar do solo. No caso do pneu saltar do 
solo enquanto faz uma curva, o carro pode sair pela tangente à curva e produ-
zir um acidente, o que não é interessante para quem ocupa o veículo. Assim, é 
imperioso incluir uma forma de evitar a oscilação da suspensão. O que é feito 
com a adição de amortecedores.
3) Forças Externas
Forças externas são todas as outras forças feitas por agentes externos 
ao sistema massa-mola sobre a massa m. Denominaremos estas forças de 
F(t), pois as suposições a respeito delas são tais que o maior interesse é que 
as mesmas dependam somente do tempo.
Retornando a equação (4.26): 
( , , )m dt
d x F t u x2
2
= (4.26)
incluiremos todas as forças que definimos como de nosso interesse no estudo 
que vamos dar prosseguimento: a força elástica proporcional ao deslocamen-
to da massa, elásticaF ; a força de resistência (ou de arraste) proporcional à ve-
locidade, Farraste; e uma força qualquer que depende de t, F(t). Assim, podemos 
reescrever (4.26) como:
( ) .m dt
d x kx bv F t2
2
=- - + (4.29)
Vamos reescrever (4.29) como:
( ) .m dt
d x kx bv F t2
2
=+ + =
ou ainda como:
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Mecânica Teórica I 43
( ) .m dt
d x b dt
dx kx F t2
2
+ + =+ (4.30)
Esta maneira de escrever (4.30) é a forma geral da equação do movimentoque queremos determinar. Iniciaremos nosso estudo considerando F(t) = 0. 
Assim, teremos:
2
2 0. (4.31)
d x dxm b kx
dt dt
+ + = (4.31)
Após adquirirmos um conhecimento mais aprofundado da resolução da 
equação do movimento na forma de (4.32), retornaremos à forma de (4.30).
Quando estivermos de frente a um problema em geral nos será dado 
uma situação que corresponderá a uma condição física, na qual deverão ser 
dadas duas condições iniciais: um valor de posição e um valor de velocidade 
para um determinado tempo.
4.3. Oscilador harmônico sem amortecimento
Vamos começar a resolver problemas de oscilações com o caso mais sim-
ples, o sistema massa-mola, mostrado na figura 4.1, que consiste de uma 
mola de massa m presa a uma mola de constante elástica k. A mola é ini-
cialmente distendida por uma força aplicada, Faplicada, horizontalmente, de um 
comprimento x e depois largada. Não consideremos amortecimento, Farraste = 0 
nem influência de forças externas, Fexterna.
Assim, a equação do movimento será:
2
2 0, (4.32 )
d xm kx a
dt
+ = 
 (4.32a)
ou
2
2 0, (4.32 )
d x k x b
dt m
+ = (4.32b)
ou ainda
2
2
2 0, (4.32 )o
d x x c
dt
w+ = (4.32c)
onde ω0 é frequentemente chamado de frequência natural do sistema.
Aplicando a solução x = ept, vamos encontrar que p=±iω0. Esta solução é 
quase a mesma que encontramos no estudo da resolução das equações dife-
renciais de segunda ordem, na qual aparecem raízes imaginárias. A diferença 
é que aqui o valor imaginário de p não tem a parte real. O procedimento para 
encontrar as duas soluções, porém, é o mesmo. Neste caso, se seguirmos 
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Gerson Paiva Almeida44
o mesmo procedimento realizado naquele caso encontramos as seguintes 
soluções:
( ) ( ) ( ) .cosx t C t C sen to o1 2~ ~= + (4.33)
Lembrando a identidade trigonométrica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),cos cos cosA B A B sen A sen B+ = + (4.34a)
vamos tomar A = θ, e B = ωot reescrevê-la como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .cos cos cost t sen sen to o oi ~ i ~ i ~+ = + (4.34b)
Como podemos observar, (4.34b) ficará igual ao segundo membro de 
(4.33) se definirmos as constantes C1 e C2 como: C1 = D cos(θ) e C2 = D sen(θ). 
Assim, (4.33) ficará como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),cos cosx t D t Dsen sen to oi ~ i ~= + (4.35a)
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]cos cosx t D t sen sen to o` i ~ i ~= + (4.35b)
( ) ( ) .cosx t D to~ i= + (4.36)
Desta forma a expressão (4.33) foi escrita na forma da expressão (4.36), 
que nos mostra que a solução x (t) escrita em termos da soma de cossenos e 
senos é a mesma de um cosseno somado a um ângulo de fase θ.
Podemos observar ainda que a fase θ e as constantes C1 e C2 se rela-
cionam por:
( )
( )
,
cosC
C
D
Dsen
tg tg C
C
1
2 1
1
2
&
i
i
i i= = = - a k (4.37)
desde que C1,C2 e D não sejam nulos. E tomando os quadrados 
( )cosC D 012 2 2= e ( )C D sen2
2 2 2 i= , e adicionando-os, encontramos a seguin-
te relação entre C1, C2 e D:
( ) ( ) .cosC C D D sen D D C C12 22 2 2 2 2 2 12 22&i i+ = + = = + (4.38)
Podemos concluir que se tivermos um oscilador harmônico sem amor-
tecimento, as suas soluções serão sempre dadas em termos de senos e cos-
senos multiplicados pelas devidas constantes. Para encontrar as constantes, 
deveremos observar as condições iniciais do problema.
4.4. Oscilador harmônico com amortecimento
Vamos agora nos focar no significado físico das três soluções possíveis que 
encontramos nas equações diferenciais de segunda ordem. De acordo com o 
que vimos, encontramos três tipos de soluções possíveis: (1) reais e distintas: 
p1 ≠ p2; (2) imaginárias (ou complexas): p1 = k + ωi e p2 = k – ωi; e (3) iguais (ou 
repetidas): p1 = p2.
Estas raízes foram extraídas da equação característica ap2 + bp + c = 0, 
para a qual determinamos as raízes:
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2 2
1 2
4 4 e 
2 2
b b ac b b acp p
a a
− + − − − −
= =
Olhemos agora o que cada dessas raízes representam. Primeiro, va-
mos olhar o que significa cada um dos termos acima em relação à equação 
física. Comparando as duas relações:
2
2
20 e 0 ,
d x dxap bp c m b kc
dt dt
+ + = + + =
vemos que a = m, b = b e c = k.
Se substituirmos estes valores físicos nas equações de p1 e p2, ficamos com:
2 2
1 2
4 4 e ,
2 2
b b mk b b mkp p
m m
− + − − − −
= =
que podem ser reescritas como:
2 2
1 2 e .2 2 2 2
b b k b b kp p
m m m m m m
   = − + − = − − −   
   
Os termos destas raízes são tão freqüentes no nosso estudo, que mere-
cem recebem uma denominação especial. k/m já foi chamado de ωo. Agora va-
mos chamar b/2m de γ. Assim, com essa notação as raízes são escritas como:
p o1 2c c ~=- + - (4.39)
e
.p o2 2c c ~=- - - (4.40)
O termo 2 0c ~- de (4.39) e (4.40) também aparecerá muitas vezes. 
Como o mesmo é dado a partir da diminuição da freqüência natural de oscila-
ção do sistema, vamos chamá-lo de ω1, ou seja:
.o1 2~ c ~= - (4.41)
Finalmente podemos escrever as raízes como:
.p1 1c ~=- + (4.42)
e
.p2 1c ~=- - (4.42)
Feito isto, vamos agora avaliar os três tipos de raízes definidas acima.
Primeiro, para que as raízes sejam distintas e reais, devemos ter: 2 02!c ~ 
e 2 022c ~ . Neste caso, como vimos anteriormente, a solução para será:
.x C e C et t1 2o o
2 2
= +c c ~ c c ~- + - - + -_ _i i (4.43)
Segundo, para que as raízes sejam distintas e complexas, devemos ter 
2
0
2!c ~ e 2 022c ~ . Neste caso, a solução para x será:
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( ) ( ) .cosx C e t C e sen tt t1 1 2 1~ ~= +c c- - (4.44)
Terceiro, para que as raízes sejam iguais e reais, devemos ter 2 02c ~= . 
Que neste caso, a solução para x será:
.x C te C et t1 2= +c c- - (4.45)
Vamos observar o que acontece em cada uma destas soluções. Para 
um melhor entendimento destas condições vamos começar pelo caso em 
que as raízes são distintas e complexas, isto é, descritas pela equação (4.44). 
Para simplificar mais ainda, vamos considerar somente uma das soluções 
(uma parte da solução geral), a partir da qual poderemos entender perfeita-
mente o resultado final.
Avaliemos então: x(t) = C1e
–γt cos(ω1t).
A figura 4.2 mostra a função x(t) = cos(ω1t), para a qual escolhemos 
ω1 = 3. Ela representa uma oscilação co-senoidal. 
Figura 4.2 – Gráfico da função x(t) = cos(ω1 t) para ω1 = 3.
Já a figura 4.3 mostra a função x(t) = C1e
–γt cos(ω1t) para a qual definimos 
γ = 0,15. O gráfico continua sendo uma oscilação, mas a amplitude agora 
diminui gradativamente no decorrer do tempo. O que aconteceria se aumen-
tássemos o valor de γ ? Lembremos que γ = b/2m e que, portanto, aumentar o 
valor de γ implica em aumentar o valor de b, que é o coeficiente de resistência! 
A resposta está no gráfico da figura 4.4, para o qual definimos γ = 0,3.
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Figura 4.3 – Gráfico da função x(t)=C1 e
-γt cos(ω1t) para γ = 0,15.
Figura 4.4 – Gráfico da função x(t)=C1 e
-γt cos(ω1t) para γ = 0,3.
Como podemos ver a oscilação continua a existir, mas agora ela decresce 
mais rápido! Se continuarmos a aumentar o valor de γ, diminuiremos a amplitude 
das oscilações cai cada