Aula 09 Gráfico de funções de duas variáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO II - PROJETO NEWTON
AULA 09
Assunto:Gráfico de funções de duas variáveis, funções de três variáveis reais a valores reais,
superfícies de nível,funções limitadas
Palavras-chaves: gráfico, variáveis, superfícies de nível,funções limitadas
Gráfico de funções de duas variáveis
As curvas de nível e o correspondente mapa de contorno de uma função de duas variáveis f : A ⊂ R2 −→ R
ajudam a melhor compreender a ação de uma função. Outra ferramenta que também é utilizada para esse
propósito é o gráfico de f .
O gráfico de uma função f : A ⊂ R2 −→ R é o conjunto
Gf = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3; (x, y) ∈ Df}
Em geral o gráfico de f é uma superfície no R3 que tema a propriedade de que toda reta paralela ao eixo
z pode tocar tal superfície em apenas um ponto.
Não é fácil esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis. Consideraremos apenas casos de funções
em que é possível fazer os esboços do gráfico seguindo estes quatro passos:
1. Esboço da intersecção do gráfico com o plano xz
2. Esboço da intersecção do gráfico com o plano yz
3. curvas de nível e
4. curvas de contorno
O que são curvas de contorno de f : A ⊂ R2 −→ R?
A cada curva de nível de f corresponde a uma curva de contorno. A curva de contorno de f correspondente
a curva de nível f(x, y) = c é constituída pelos pontos do R3 que satisfaz
{
f(x, y) = c
z = c
ou ainda
{(x, y, c) ∈ Gf ; f(x, y) = c}
Esta curvas está sobre o gráfico de f e é projetada em f(x, y) = c no plano xy.
Exemplo 1 Esboce o gráfico da função dada
2
f(x, y) = x2 + y2 (ou) z = x2 + y2
• Intersecção com o plano xz
y = 0⇒ z = x2 (parábola)
• Intersecção com o plano yz
x = 0⇒ y = z2 (parábola)
• Curvas de nível
Imf = [0,+∞)
Temos que
x2 + y2 = 0⇒ x = y = 0
Portanto, (0, 0) é a curva de nível correspondente ao nível zero. Também temos que
c > 0, x2 + y2 = c⇒ x2 + y2 = (√c)2
Logo, são as circunferências de centro na origem e raio
√
c.
3
• Gráfico
Exemplo 2 Esboce o gráfico das seguintes funções
1. z = y2 − x2
• Intersecção com o plano xz
y = 0⇒ z = −x2 (parábola com concavidade para baixo)
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• Intersecção com o plano yz
x = 0⇒ y = z2 (parábola)
• Curvas de nível
Imf = R
Temos que
c = 0⇒ y2 − x2 = 0⇒ y2 = x2 ⇒ y = ±
√
x2 ⇒ y = ±|x| ⇒ y = |x| ou y = −|x|
Também temos que
c > 0, y2 − x2 = c (hipérbole que toca o eixo y em √c e −√c)
5
Finalmente temos que
c < 0, y2 − x2 = c (hipérbole que toca o eixo x em √c e −√c)
• Curvas de contorno
• Gráfico
2. f(x, y) = k, k constante
O gráfico de f é um plano paralelo ao plano xy que corta o eixo z em k
6
3. f(x, y) = x2
A função f independe da variável y
z = x2
• Intersecção com o plano xz
y = 0⇒ z = x2 (parábola)
• Intersecção com o plano yz
x = 0⇒ z = 0
7
• Curvas de nível
Imf = [0,+∞)
Temos que
c > 0, x2 = c⇒ x = √c ou x = −√c
• Curvas de contorno
• Gráfico
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De uma maneira análoga mostra-se que o gráfico de uma função que independe de uma variável é obtido
pelo deslocamento do gráfico da função de uma variável a qual ela é igual na direção do eixo correspon-
dente a variável ausente.
4. f(x, y) = y2
5. f(x, y) = sin y
6. f(x, y) = sinx cos y
7. f(x, y) = − 3y
x2 + y2 + 1
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Funções de três variáveis reais
O gráfico de uma função f : A ⊂ R3 −→ R de três variáveis reais a valores reais é o conjunto Gf definido
por
Gf = {(x, y, z, f(x, y, z)) ∈ R4 : (x, y, z) ∈ Df}
Assim, o gráfico de f é um subconjunto do R4, não sendo possível fazer um esboço do mesmo.
Para termos uma compreensão geométrica de uma função de três variáveis, podemos usar as suas superfí-
cies de nível, que é análogo as curvas de nível para funções de três variáveis.
Sejam f : A ⊂ R3 −→ R uma função de três variáveis e c ∈ Imf . O conjunto de todos os pontos de Df
que tem c como valor pela função f é a superfície de nível de f associada ao nível c é constituído pelos pontos
do domínio de f que satisfazem a equação
f(x, y, z) = c
Exemplo 3 Esboce as superfícies de nível da função dada
1. f(x, y, z) = z − x2 − y2
Imf = R
Temos que
c ∈ R, z − x2 − y2 = c⇒ z = x2 + y2 + c
Parabolóide com vértice no ponto (0, 0, c)
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2. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Imf = [0,+∞)
Temos que
c = 0, x2 + y2 + z2 = 0⇒ x = y = z = 0
Portanto, a superfície de nível de f correspondente ao nível zero é a origem.
c > 0, x2 + y2 + z2 = c
Esfera de centro na origem e raio
√
c.
Concluímos que as superfícies de nível de f é a origem e esferas (concêntricas) com centro na origem.
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Funções Limitadas
Uma função f : A ⊂ Rn −→ R é limitada se existe um número real positivo µ que satisfaz
|f(x1, x2, ..., xn)| ≤ µ
para qualquer (x1, x2, ..., xn) ∈ Df .
A condição anterior é equivalente a
−µ ≤ f(x1, x2, ..., xn) ≤ µ (∀(x1, x2, ..., xn) ∈ Df )
Assim, uma função limitada de duas variáveis reais a valores reais tem seu gráfico compreendido entre dois
planos paralelos ao plano xy, a saber, z = µ e z = −µ.
Observemos que toda função constante é limitada.
Exemplo 4 Mostre que cada uma das seguintes funções é limitada
1. f(x, y) =
x2
x2 + y2
.
Resolução:
x2 ≤ x2 + y2 ⇒ x
2
x+y2
≤ 1⇒
∣∣∣∣ x2x+y2
∣∣∣∣ ≤ 1
Portanto, f é limitada. Analogamente, a função g(x, y) =
y2
x2 + y2
é limitada.
2. f(x, y) =
x√
x2 + y2
.
Resolução:
∣∣∣∣∣ x√x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x||√x2 + y2| =
√
x2√
x2 + y2
=
√
x2
x2 + y2
≤
√
1 = 1
Portanto, f é limitada.
3. f(x, y) =
x
x2 + y2 + 1
.
Resolução:
12
∣∣∣∣ xx2 + y2 + 1
∣∣∣∣ = |x|x2 + y2 + 1 ≤ |x|x2 + y2 =
√
x2√
(x+ 1)2
=
√
x2
x2 + 1
1
x2 + 1
≤
√
1.1 = 1
Portanto, f é limitada. Analogamente, a função f(x, y) =
y
x2 + y2 + 1
é limitada.
4. f(x, y) =
xy
x2 + y2
;
Resolução:
∣∣∣∣ xyx2 + y2
∣∣∣∣ = |xy|x2 + y2 =
√
(xy)2√
(x2 + y2)2
=
√
x2y2
(x2 + y2)2
=
√
x2
x2 + y2
y2
x2 + y2
≤
√
1.1 = 1
Portanto, f é limitada. Na verdade, podemos mostrar que
∣∣∣∣ xyx2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 12
5. f(x, y, z) =
x(y + z)
x2 + y2 + z2
.
Resolução:
∣∣∣∣ x(y + z)x2 + y2 + z2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ xy + xzx2 + y2 + z2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ xyx2 + y2 + z2 + xzx2 + y2 + z2
∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣ xyx2 + y2 + z2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ xzx2 + y2 + z2
∣∣∣∣ = |xy|x2 + y2 + z2 + |xz|x2 + y2 + z2
≤ |xy|
x2 + y2
+
|xz|
x2 + z2
≤ 1 + 1 = 2
Portanto, f é limitada.
Exemplo 5 Mostre que a função
f(x, y) =
x
x2 + y2
não é limitada.
Resolução:
Se considerarmos apenas pontos do R2 da forma (x, 0) com x 6= 0, temos
f(x, 0) =
x
x2 + 02
=
x
x2
=
1
x
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Tomando x próximo de zero,
1
x
assume valores arbitrariamente grandes. Logo, f(x, y) não é limitada.
Proposição 1 Sejam, f, g : A ⊂ Rn −→ R e k ∈ R. Se f e g são limitadas, então kf, f + g, f − g, fg são
limitadas.
Demosntração:
Se f e g são limitadas, então existem números positivos µ1 e µ2 tais que
|f(x1, ..., xn)| ≤ µ1 e |g(x1, ..., xn)| ≤ µ2,
para quaisquer (x1, ..., xn) ∈ A. Logo,
• |kf(x1, ..., xn)| = |k||f(x1, ..., xn)| ≤ |k|µ1
• |f(x1, ..., xn) + g(x1, ..., xn)| ≤ |f(x1, ..., xn)|+ |g(x1, ..., xn)| ≤ µ1 + µ2
• |f(x1, ..., xn)− g(x1, ..., xn)| ≤ |f(x1, ..., xn)|+ |g(x1, ..., xn)| ≤ µ1 + µ2
• |f(x1, ..., xn)g(x1, ..., xn)| = |f(x1, ..., xn)||g(x1, ..., xn)| ≤ µ1µ2
Portanto, kf, f + g, f − g, fg são limitadas.
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