Avaliação I - Cálculo Diferencial e Integral II

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:956703)
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Prova 81769465
Qtd. de Questões 10
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Nota 10,00
A resolução de integrais requer a aplicação meticulosa de métodos analíticos e estratégias de simplificação, 
visando encontrar soluções que capturem com precisão os aspectos fundamentais das funções em estudo, sendo 
uma habilidade essencial em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.
Portanto, utilizando das técnicas e métodos desenvolvidos no estudo das integrais, assinale entre as opções a 
seguir, qual delas apresenta a primitiva da função f(x) = 4xex².
A 4xex² + c.
B 2xex² + c.
C 8xex² + c.
D 4ex² + c.
E 2ex² + c.
O cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma ampla gama de disciplinas, desde a física e a 
engenharia até a economia e as ciências naturais. Sua versatilidade e poder analítico permitem modelar e resolver 
problemas complexos que envolvem taxas de variação e acumulação contínua. Ele abrange dois aspectos 
principais: as integrais definidas e as indefinidas.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I. Uma integral definida tem limites de integração, enquanto uma integral indefinida não os tem.
II. A integral indefinida, tem como princípio, encontrar uma função cuja derivada seja igual à função original.
III. Um indicador que podemos usar para definir se a integral é definida ou indefinida, é o diferencial de 
integração, presente no final da integral. 
IV. As integrais indefinidas, resultam em uma família de funções cuja derivada é igual à função original.
É correto o que se afirma em:
A I, II, III e IV.
B II e III, apenas.
C II, III e IV, apenas.
D I e III, apenas.
E I, II e IV, apenas.
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No estudo do cálculo integral, destaca-se o método de integração por partes, derivado do princípio da derivação 
do produto de funções. Este método, em suma, envolve a transformação da integração de uma função complexa 
em duas ou mais integrais mais simples, tornando mais acessível o processo de resolução.
Sendo a integral
analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução dessa integral pelo método de integração 
por partes:
I. Devemos assumir inicialmente u = x².
II. Necessitaremos utilizar por três vezes o método para resolver a integral.
III. Na segunda vez que aplicamos o método, devemos utilizar o dv = e2x dx.
IV. A integral de e2x, deve ser resolvido pelo método da substituição. É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B I e II, apenas.
C I, III e IV, apenas.
D II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.
O método da substituição trigonométrica, como indica o seu nome, envolve a substituição de um termo na 
expressão original por uma função trigonométrica adequada. Esse método se assemelha ao método de 
substituição padrão, mas com o uso específico de funções trigonométricas para simplificar a integração. Em 
certos casos, é possível utilizar qualquer uma das duas substituições, porém, no caso das trigonométricas, estas 
apresentam estruturas peculiar e padronizada.
Desta forma, utilizando destas ideias, analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução da 
integral a seguir:
I. Está integral em particular, é um caso em que podemos aplicar qualquer um dos casos de substituição.
II. Para resolver pela substituição trigonométrica, devemos adotar inicialmente x = 2sen(y).
III. É possível resolver, substituindo de forma simples u = 4 - x².
IV. O método da substituição padrão falha, pois, ao derivar uma escolha apropriada para u, a integral não é 
simplificada.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C II e IV, apenas.
D I e II, apenas.
E II e III, apenas.
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No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano 
cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como na determinação da posição 
em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. Para 
resolver estas integrais, podemos recorrer a alguns métodos de resolução. Um deles é o método da integração por 
substituição.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
É correto o que se afirma em:
A I, III e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C II, III e IV, apenas.
D I e II, apenas.
E I, II e IV, apenas.
Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo das abscissas, 
surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao calcular a integral de tal 
função em um intervalo de integração, o resultado não apenas representa a área total sob o gráfico, mas também 
considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das abscissas. Desta forma, analise a representação 
gráfica de uma função f e sendo a, b, c e d, as áreas positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 
2), (2, 4) e (4, 6):
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a + b + c + d.
PORQUE
II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar o cálculo em quatro partes, respeitando 
as partes acima e abaixo do eixo das abscissas.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
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B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são falsas.
D A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e 
logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da 
diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, 
ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.
Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todo x e com f(1) = 2:
I. f(x) = 6x² - 6
II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2
III. f(x) = x³ - 6x² + 2x
IV. f(x) = 3x² - 2x - 3 É correto apenas o que se afirma em
A IV, apenas.
B II e III, apenas.
C II e IV, apenas.
D I, apenas.
E I e II, apenas.
No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos empregados 
para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a integração por substituição, 
por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração por substituição envolve a aplicação da 
mudança de variáveis u = g(x), facilitando a obtenção de uma integral imediata para resolver o problema. Por 
exemplo, considere a integral
Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição a ser 
utilizada:
A u = e2x
B u = dx.
C u = 2x4.
D u = x3.
E u = e2x^4.
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Em certo momento da aula, o professor desafiou os alunos a identificarem uma estratégia para resolver a integral 
apresentada a seguir
Aluno A: A integral pode ser resolvida, utilizando a integral por partes, sendo u = x² e dv = e3x³.
Aluno B: A integral pode ser resolvida, substituindo 3x³ por u, no método por substituição.
Aluno C: A integral pode ser resolvida, dividindo a integral em duas partes, podemos integrar separadamente x² e 
e3x³.
Analisando as propostas de resolução dos alunos A, B e C, assinale a alternativa correta:
A Apenas o aluno B está correto.
B Apenas o aluno C está correto.
C Os alunos A e C estão corretos.
D Apenas o aluno A está correto.
E Os alunos A e B estão corretos.
Frações parciais são uma técnica fundamental no cálculo integral, utilizada para decompor uma fração em uma 
soma de frações mais simples. Esse métodoé especialmente útil para integrar funções racionais do tipo f(x) = 
p(x)/q(x), tornando-as mais fáceis de serem manipuladas e integradas. Através da decomposição em frações 
parciais, é possível resolver integrais que seriam difíceis ou impossíveis de serem calculadas de outra forma.
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Considerando o polinômio q(x) = x · (x² + 4)³, este será decomposto em quatro partes.
PORQUE
II. O polinômio q(x) apresenta um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete por três vezes.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C As asserções I e II são falsas.
D A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
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