Cap18 - Propriedades elasto-plásticas do concreto

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Capítulo 18
PROPRIEDADES ELASTO-PLÁSTICAS DO 
CONCRETO
Lidia C. D. Shehata– UFF 
e COPPE-UFRJ
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
I t d ãIntrodução
• As relações entre tensões uniaxiais e deformações específicas no
concreto na direção de atuação das tensões e na direção perpendicular
a ela, necessárias para a determinação de esforços solicitantes e a
análise do comportamento das estruturas de concreto, são aquip q
abordadas para o caso de cargas de curta duração.
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
I t d ãIntrodução
• O comportamento do concreto submetido a tensões normais de
compressão e de tração só pode ser representado aproximadamente
pela lei de Hooke quando a tensão fica abaixo de determinado nível.
Nesse caso, as relações entre tensões normais e deformaçõesç ç
específicas são definidas pelo módulo de elasticidade longitudinal e
pelo coeficiente de Poisson do concreto. Abordam-se os parâmetros
que afetam estas grandezas e os métodos de ensaio para determiná-que afetam estas grandezas e os métodos de ensaio para determiná
las, bem como expressões para a avaliação aproximada do módulo de
elasticidade longitudinal a partir da resistência à compressão do
concretoconcreto.
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
Diagramas tensão normal-deformação 
ífiespecífica
• Como outras propriedades do concreto, os diagramas
t ã d f ã d t d t i d id dtensão-deformação do concreto numa determinada idade
dependem dos seus materiais constituintes, da proporção
e da interação dos mesmos bem como dos corpos-de-e da interação dos mesmos, bem como dos corpos-de-
prova e do método de ensaio usados para a obtenção
desses diagramas.g
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•Editor: Geraldo C. Isaia
Diagrama tensão normal de compressão-
d f ã ífideformação específica
• A forma e a dimensão da seção transversal, a relação
entre comprimento e essa dimensão, e a direção de
t ã â t i fl i d l i dconcretagem são parâmetros influenciadores relacionados
aos corpos-de-prova. O teor de umidade do corpo-de-
prova a velocidade de aplicação de tensão ouprova, a velocidade de aplicação de tensão ou
deformação, a restrição à deformação nas extremidades
do corpo-de-prova causada pela placa de carregamento, op p p p g
comprimento ao longo do qual se mede a deformação, o
diâmetro do prato transmissor de carga e a rigidez da
ã â t l ti di t dprensa são parâmetros relativos ao procedimento de
ensaio.
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•Editor: Geraldo C. Isaia
Diagrama tensão normal de compressão-
d f ã ífideformação específica
• Adotando-se corpo-de-prova e método de ensaio
padronizados, o diagrama obtido passa a depender
d t í ti d t D dapenas das características do concreto. De um modo
geral, os parâmetros que influenciam a resistência à
compressão influenciam também o diagrama tensão-compressão influenciam também o diagrama tensão-
deformação, embora em diferente grau, mas os
agregados, principalmente os graúdos, têm particularg g p p g p
influência no diagrama.
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
Diagrama tensão normal de compressão-
d f ã ífideformação específica
•
120
Tensão
120 
•
•
•
Tensão 
normal 
•(MPa)
• 80
•
40
2 4 6
Deformação específica (10-3)Deformação específica (10 )
Figura 1 - Diagramas tensão-deformação experimentais de concretos de diferentes resistências à 
compressão (HELLAND et al 1983 apud FIP 1990 p 13)
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
compressão (HELLAND et al., 1983, apud FIP, 1990, p.13).
Diagrama tensão normal de compressão-
d f ã ífideformação específica
•Várias curvas tensão-deformação têm sido propostas para
representar o comportamento do concreto submetido àrepresentar o comportamento do concreto submetido à
compressão, que são empregadas na análise não linear de
estruturas e servem de base para se chegar a curvas mais
simples usadas no dimensionamento dos elementos
estruturais. Elas podem diferir consideravelmente, em
particular no ramo descendente já que foram obtidas aparticular no ramo descendente, já que foram obtidas a
partir de ensaios, que nem sempre seguiram o mesmo
procedimento, de concretos com diferentes composições ep oced e to, de co c etos co d e e tes co pos ções e
materiais.
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Diagrama tensão normal de compressão-
d f ã ífideformação específica
•basalto
•diabásio
•gabro
•calcário
•quartizito
•Tensão 
•normal 
(MPa)
quartizito
•serpentina
•esteatite
•granulito
•matriz cimento
• Deformação específica (10-3)
Figura 2 - Curvas tensão-deformação de matriz de cimento e de concretos de alta 
resistência com agregados graúdos de diferentes mineralogias 
(AULIA & DEUTSCHMANN, 1999, p.145).
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
•Editor: Geraldo C. Isaia
(AULIA & DEUTSCHMANN, 1999, p.145).
Diagrama tensão normal de tração-
d f ã ífideformação específica
•Como no caso da de compressão, a curva tensão-
deformação de tração depende de vários parâmetros,
podendo se todavia para um determinado concreto obterpodendo-se, todavia, para um determinado concreto, obter
um ramo ascendente único desde que as deformações não
sejam medidas em trecho próximo às extremidades dosejam medidas em trecho próximo às extremidades do
corpo-de-prova, onde é aplicada a carga. O mesmo não
ocorre com o ramo descendente. No concreto simples
tracionado, a ruptura se dá com a formação de apenas
uma fissura e, depois do aparecimento da mesma, a região
fora do local da fissura pouco se deforma sendo a variaçãofora do local da fissura pouco se deforma, sendo a variação
de comprimento do corpo-de-prova praticamente igual à
abertura da fissura.
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Diagrama tensão normal de tração-
d f ã ífideformação específica
Tensão 
normal 
(MPa)
• Variação de comprimento (mm)
•Figura 3 - Diagramas tensão de tração-variação de comprimento na direção longitudinal 
•(em comprimento inicial de 120 mm) de concretos ensaiados por Li et al. (1998, p.572).
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Diagrama tensão normal de tração-
d f ã ífideformação específica
a
l
a
l
n
s
ã
o
 
n
o
r
m
a
n
s
ã
o
 
n
o
r
m
a
Deformação específica
T
e
n
Abertura de fissura
T
e
•
Figura 4 Diagramas tensão deformação e tensão abertura de fissura do concretoFigura 4 - Diagramas tensão-deformação e tensão-abertura de fissura do concreto 
submetido à tração (CEB-FIP MODEL CODE 1990 - CEB, 1993).
•Livro Concreto: Ciência e Tecnologia
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Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
ã
o
 
n
o
r
m
a
l
T
e
n
s
ã
Deformação específica
Reta definidora de Eci Reta definidora de EcsReta definidora de Eci Reta definidora de Ecs
•Figura 5 - Definição do módulo de elasticidade.
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Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
Q d 1 D i ã d t i ã d ód l d l ti id d•Quadro 1 - Denominação e determinação do módulo de elasticidade 
segundo diferentes métodos padronizados
Norma Denominação do E = (  )/(  )Norma Denominação do 
módulo
Ec = (c2 - c1)/(c2 - c1)
RILEM CPC8:1975 Secante c1= 0,5 MPa
c2= fc/3
ISO 1920-10:2010 Tangente c1= 0,5 MPa
c2= fc/3
ASTM C 469 02 Cordal  = tensão relativa a  = 50 x 10-6ASTM C 469-02 Cordal c1= tensão relativa a 1= 50 x 10 6
c2= 0,4 fc
NBR 8522:2008 Tangente inicial c1= 0,5 MPa (ou tensãocorrespondente à deformação de 50x10-6)
0 3 fc2= 0,3 fc
c1= deformação relativa a c1
c2= deformação relativa a c2
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Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
••c
•c2 Leitura de c2
• 60s • 60s a 90s• 60s• 60s
•c1
•Leitura de c1
•Figura 6 - Ciclos de carregamento e descarregamento para determinação de Eci segundo a 
ABNT NBR 8522:2008.
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Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
•Quadro 2 – Expressões para avaliação do módulo de elasticidade (Ec em GPa e fc em MPa).Quadro 2 Expressões para avaliação do módulo de elasticidade (Ec em GPa e fc em MPa).
Norma ou 
recomendação
Expressão Observações
CEB-FIP Model Code Eci= k (10,0 fcm1/3) Módulo tangente inicialCEB FIP Model Code
1990
Model Code 2010
(first complete draft)
Eci k (10,0 fcm )
= k [10,0 (fck +8)1/3]
0,7  k 1,2
depende do agregado
Módulo tangente inicial
12 MPa  fck 80 MPa
Idade 28 dias; para idade j :
Ecij= Eci (fcmj/fcm)1/2
IBRACON (2003) Eci= a1a2 5,60 fck1/2
0,7  a1 1,2
depende do agregado
0,9  a2 1,1
depende da consistência
Módulo tangente inicial
p
EN1992-1-1:2004 Ecs=k (11,0 fcm0,3)
= k [11,0 (fck +8)0,3]
0,7  k 1,2
Módulo secante c=0,40 fcm
12 MPa  fck 90 MPa
depende do agregado
NBR 6118:2007 Eci= 5,60 fck1/2 Módulo tangente inicial
15 MPa  fck 50 MPa
Idade j 7 dias, fck pode ser substituído por fckj para obter Ecij
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Idade j 7 dias, fck pode ser substituído por fckj para obter Ecij
ACI 318:2008 Ecs= 4,70 fck1/2 Módulo secante c=0,45 fck
Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
Ecij
(GPa)
fckj (MPa)
Figura 7 - Módulo de elasticidade tangente inicial de concretos com diferentes tipos de
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Figura 7 - Módulo de elasticidade tangente inicial de concretos com diferentes tipos de 
agregados graúdos e resistências (KLISZEWICZ & AJDUKIEWICZ, 2002, p.6).
Módulo de elasticidade longitudinal 
táti
2
1




cm
cmj
ci
cij
f
f
E
E 2
1




cm
cmj
ci
cij
f
f
E
E
estático
1,60
1 00
1,20
1,40
,
0,60
0,80
1,00
E
c
i
j
/
E
c
i
0,00
0,20
0,40
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60
fcmj/fcm
Traquito Gnaisse Gomes et al, 1996
Pereira Neto e Djanikian, 1996 Rel EPUSP, 1998 Castro et al, 1999
Ferrari et al, 1999 Silveira et al, 1999 Barbosa e Salvador Filho, 2000
CEB 1995
•Figura 8 - Comparação da relação experimental entre fcmj/fcm e Ecij/Eci com a dada pela 
ã E /E (f /f )1/2 li d F it t l (2001 13)
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expressão Ecij/Eci = (fcmj/fcm)1/2 realizada por Freitas et al. (2001, p.13).
Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
50,0
30 0
35,0
40,0
45,0
)
1
2
3
15,0
20,0
25,0
30,0
E
c
i
j
 
(
G
P
a
)
4
0,0
5,0
10,0
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0
fcmj (MPa)
consistência seca, brita de granito
consistência fluida, brita de granito
consistência plástica, brita de granito
consistência plástica, brita de gnaisse
•Figura 9 - Relação entre f j e E ij de concretos com diferentes composições, tipos de
1 5,12 fcm1/2 (NBR 6118:2007) 2 10,0 fcm1/3 (CEB-FIP MC 90)
3 4,25fcm1/2 (TIZATO & SHEHATA) 4 7,35fcm1/3 (TIZATO & SHEHATA)
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Figura 9 Relação entre fcmj e Ecij de concretos com diferentes composições, tipos de 
agregados graúdos e idades (GASPARELO, 1999).
Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
30
35
40
45
P
a
)
10
15
20
25
30
E
c
i
j
 
(
G
P
10
10 20 30 40 50 60
fcmj (MPa)
gnaisse Ecij=4 55fcmj 0^ 5gnaisse Ecij=4,55fcmj 0^,5
sienito Ecij=5,12*fcmj 0^,5
Ecij=8,22*fcmj 1^/3
•Figura 10 - Relação entre fcmj e Ecij de concretos com diferentes composições, tipos de 
agregados graúdos e idades, produzidos por concreteiras do Rio de Janeiro
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Módulo de elasticidade longitudinal 
tátiestático
1
1,1
1,2
0 7
0,8
0,9 Ecij/Eci
fcmj/fcm
(fcmj/fcm)^0,5
0,5
0,6
0,7
0 20 40 60 80 1000 20 40 60 80 100
j (dias)
•Figura 11 - Relações experimentais Ecij/Eci e fcmj/fcm, junto com (fcmj/fcm)1/2, dos concretos 
ensaiados por NUNES (2005).
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•Editor: Geraldo C. Isaia
Módulo de elasticidade longitudinal 
di â idinâmico
•A/C=0,30
•A/C=0,35
•A/C=0,45
•Ecdj/Ecij
j (dias)
•Figura 12 - Relação entre módulos de elasticidade longitudinais dinâmico e estático de 
concretos de alta resistência, para idades j iguais a ou menores que 28 dias 
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•Editor: Geraldo C. Isaia
•(MESBAH et al., 2002, p.40).
Coeficiente de PoissonCoeficiente de Poisson
•fcmj
(MPa)
•O B basalto
•● G granito
•▲O seixo▲O seixo
•
c
Figura 13 - Coeficiente de Poisson, correspondente à tensão igual a fcmj/3, de concretos 
com diferentes tipos de agregados graúdos e resistências
c
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com diferentes tipos de agregados graúdos e resistências 
(KLISZEWICZ & AJDUKIEWICZ, 2002, p.6).
Coeficiente de Poisson
40
30
35
40
M
P
a
)
 l
v
15
20
25
ã
o
 
n
o
r
m
a
l
 
(
 t
0
5
10
T
e
n
s
ã
-3 -2 -1 0 1 2 3
Deformação específica (10-3) 
•Figura 14 - Deformações nas direções longitudinal e transversal e deformação volumétrica 
medidas em ensaio de corpo-de-prova cilíndrico (dados de CARNEIRO, 2004).
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•Editor: Geraldo C. Isaia