EP13 - Tutor

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Probabilidade e Estat´ıstica – 1o. Semestre de 2015
Exerc´ıcio Programado 13 – Aulas 14, 15 – Versa˜o para o Tutor
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
1. Considere a func¸a˜o f(x) dada na figura abaixo.
Comenta´rios
Nesse tipo de exerc´ıcio, e´ importante chamar a atenc¸a˜o do aluno para as duas condic¸o˜es que uma
func¸a˜o deve satisfazer para ser uma func¸a˜o de densidade; em geral, o aluno esquece de verificar que
a func¸a˜o e´ na˜o negativa e so´ calcula a a´rea. Outro ponto importante e´ o processo de obtenc¸a˜o da
expressa˜o de f(x) : reta que passa por dois pontos. Estimule o aluno a fazer desenhos!
(a) Verifique que f(x) define uma func¸a˜o de densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria
cont´ınua X.
Soluc¸a˜o
• f(x) ≥ 0
• A a´rea total sob f(x) e´
1
2
× 5× 0.4 = 1
(b) Encontre a expressa˜o matema´tica para f(x).
Soluc¸a˜o
Chame atenc¸a˜o para o fato de que “dois pontos determinam uma reta”. Estimule o aluno
a “pensar” como obter a equac¸a˜o da reta, sem tentar lembrar de fo´rmulas decoradas. Para
0 ≤ x ≤ 4, f(x) e´ uma reta que intercepta o eixo vertical em y = 0; logo, o intercepto e´ zero e
a inclinac¸a˜o e´ ∆y∆x =
0,4
4 = 0, 1. Logo,
f(x) = 0, 1x 0 ≤ x ≤ 4
Para 4 ≤ x ≤ 5, f(x) e´ uma reta que passa pelos pontos (4; 0, 4) e (5, 0); isso nos da´ o seguinte
sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas:
0, 4 = a + 4b
0 = a + 5b
Subtraindo a primeira da segunda, obtemos que b = −0, 4. Substituindo esse valor na segunda
equac¸a˜o obtemos que a = 2. Logo
f(x) = 2− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 5
1
Rresumindo:
f(x) =
{
0, 1x 0 ≤ x < 4
2− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 5
(c) Calcule a mediana da distribuic¸a˜o.
Soluc¸a˜o
A mediana tem que ser menor que 4, pois a a´rea abaixo de 4 e´ 0, 8 > 0, 5. Ilustre esse resultado
em um gra´fico!
Como a a´rea abaixo de Q2 tem que ser 0,5 e essa a´rea e´ a a´rea de um triaˆngulo, resulta que
0, 5 =
1
2
×Q2 × (0, 1Q2) =⇒ 0, 1Q22 = 1 =⇒ Q22 = 10 =⇒ Q2 = ±
√
10
Como Q2 > 0, resulta que Q2 = +
√
10 = 3, 162 3.
2. O tempo de execuc¸a˜o T (em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por uma varia´vel
aleato´ria com distribuic¸a˜o uiniforme no intervalo [20;40].
(a) Determine a func¸a˜o de densidade de probabilidade de T.
Soluc¸a˜o
f(x) =
{
1
20 20 ≤ x ≤ 40
0 caso contra´rio
2
(b) Qual e´ o tempo me´dio de execuc¸a˜o desta tarefa?
Soluc¸a˜o
E(X) = 30 minutos
(c) Se uma pessoa ja´ gastou 25 minutos na execuc¸a˜o da tarefa, qual e´ a probabilidade de que ela
gaste menos de 30 minutos para terminar?
Soluc¸a˜o
O problema pede Pr(X < 30|X ≥ 25) :
Pr(X < 30|X ≥ 25) = Pr(25 ≤ X < 30)
Pr(X ≥ 25) =
5× 120
15× 120
=
5
15
=
1
3
3. Seja X ∼ N(5; 4). Calcule
(a) Pr(X < 3)
(b) Pr(X ≥ 1, 8)
(c) Pr(X < 6)
(d) Pr(X > 2, 5)
(e) Pr(X ≥ 5)
(f) Pr(1, 7 ≤ X ≤ 6, 3)
Comenta´rios
Na soluc¸a˜o de exerc´ıcios envolvendo a distribuic¸a˜o nornal, estimule o aluno a fazer o gra´fico,
sombreando a a´rea (probabilidade) desejada. E´ fundamental que o aluno explicite a equivaleˆncia
dos eventos envolvendo a normal padra˜o e a normal de interesse. Em geral, o aluno apenas
escreve a fo´rmula do escore padronizado, sem levar em conta o tipo de desigualdade e erra a
questa˜o.
Soluc¸a˜o
Pr(X < 3) = Pr
(
Z <
3− 5
2
)
= Pr(Z < −1) = Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0.5−0.34134 = 0.158 66
Figura 1: Pr(Z < −1)
Pr(X ≥ 1, 8) = Pr
(
Z ≥ 1.8− 5
2
)
= Pr(Z ≥ −1, 6) = 0, 5+tab(1, 6) = 0.5+0.44520 = 0.94520
3
Figura 2: Pr(Z ≥ −1, 6)
Figura 3: Pr(Z < 0, 5)
Pr(X < 6) = Pr
(
Z <
6− 5
2
)
= Pr(Z < 0, 5) = 0.5 + tab(0, 5) = 0.5 + 0.19146 = 0.69146
Pr(X > 2, 5) = Pr
(
Z >
2, 5− 5
2
)
= Pr(Z > −1, 25) = 0, 5+tab(1, 25) = 0.5+0.39435 = 0, 89435
Pr(X ≥ 5) = Pr(Z ≥ 0) = 0, 5
Pr(1, 7 ≤ X ≤ 6, 3) = Pr
(
1.7− 5
2
≤ Z ≤ 6.3− 5
2
)
= Pr(−1, 65 ≤ Z ≤ 0, 65)
= tab(0.65) + tab(1, 65) = 0.24245 + 0.45053 = 0.692 98
4. Seja X ∼ N(5; 4). Encontre o valor de k tal que
(a) Pr(X > k) = 0, 80
Na soluc¸a˜o deste exerc´ıcio e´ importante chamar atenc¸a˜o para a posic¸a˜o de k relativa a` me´dia
da distribuic¸a˜o. Estimule o aluno a fazer desenho! Como a a´rea a` direita de k e´ maior que 0,5,
k tem que ser menor que a me´dia; em termos da abscissa padronizada, esta deve ser negativa!
4
Figura 4: Pr(−1, 65 ≤ Z ≤ 0, 65)
Pr(X > k) = 0, 80⇐⇒ Pr
(
Z >
k − 5
2
)
= 0, 80⇐⇒ tab
(
−k − 5
2
)
= 0, 30
⇐⇒ 5− k
2
= 0, 84⇐⇒ k = 5− 2× 0.84 = 3, 32
Figura 5: Pr
(
Z > k−52
)
(b) Pr(|X − 5| < k) = 0, 80
Soluc¸a˜o
Pr(|X − 5| < k) = 0, 80⇐⇒ Pr
(∣∣∣∣X − 52
∣∣∣∣ < k2
)
= 0, 80
⇐⇒ Pr
(
|Z| < k
2
)
= 0, 80⇐⇒ Pr
(
−k
2
< Z <
k
2
)
= 0, 80
⇐⇒ 2× tab
(
k
2
)
= 0, 80⇐⇒ tab
(
k
2
)
= 0, 40
⇐⇒ k
2
= 1, 28⇐⇒ k = 2, 56
5
(c) Pr(X < k) = 0, 75
Soluc¸a˜o
k tem que ser maior que me´dia!
Pr(X < k) = 0, 75⇐⇒ Pr
(
Z <
k − 5
2
)
= 0, 75⇐⇒ 0, 5 + tab
(
k − 5
2
)
= 0, 75
⇐⇒ tab
(
k − 5
2
)
= 0, 25⇐⇒ k − 5
2
= 0, 67⇐⇒ k = 6, 34
(d) Pr(X < k) = 0, 05
Soluc¸a˜o
k tem que ser menor que a me´dia!
Pr(X < k) = 0, 05⇐⇒ Pr
(
Z <
k − 5
2
)
= 0, 05⇐⇒ Pr
(
Z > −k − 5
2
)
= 0, 05
⇐⇒ tab
(
−k − 5
2
)
= 0, 45⇐⇒ 5− k
2
= 1, 64⇐⇒ k = 5− 2× 1.64 = 1. 72
(e) Pr(X > k) = 0, 05
Soluc¸a˜o
k tem que ser maior que a me´dia!
Pr(X > k) = 0, 05⇐⇒ Pr
(
Z >
k − 5
2
)
= 0, 05
⇐⇒ tab
(
k − 5
2
)
= 0, 45⇐⇒ k − 5
2
= 1, 64⇐⇒ k = 5 + 2× 1.64 = 8, 28
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