EP8 e 9 Algebra Linear 1 gabarito

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 8 e 9 – EP8 e 9 
Gabarito 
 
Caros alunos, 
Nesta semana e na próxima vocês deverão se preparar para 1ª Avaliação 
Presencial. O conteúdo exigido para esta avaliação será o desenvolvido nas aulas 1 a 14. 
Então é hora de rever suas anotações, destaques feitos em todas as aulas e de fixar as 
definições, propriedades e resultados. 
A aula 17 apresenta exercícios resolvidos sobre os conteúdos das aulas 1 a 16, 
identifique os exercícios relativos às aulas 1 a 14 e tente resolvê-los. No caso de dúvidas, 
discuta com seus colegas, procure seus tutores. 
Esperamos de você uma ótima avaliação! 
 
 Marina Tebet, Aline Bernardes e Marcelo Rainha 
 
 
1. Determine valor (es) de m, se houver, para que o sistema 








242
232
mzyx
mzyx
zyx
tenha: 
a) Nenhuma solução 
b) Uma única solução 
c) Infinitas soluções 
 
Solução. 
 














1233
122
2
2
412
111
321
LLL
LLL
m
m  















 233
2 4
2
2
230
230
321
LLL
m
m














2
2
2
000
230
321
2 mm
m
. O sistema associado é 
.
02
223
232
2







mm
mzy
zyx
 
Logo, 
a) 
2m
 e 
1m
. 
b) Não existe m de modo que o sistema admita uma única solução. 
c) O sistema terá infinitas soluções se 
022 mm
, ou seja, para m = 2 ou m = -1. 
2. Considere a matriz 














t
t
t
A
. 
a) Calcule, por triangularização, o determinante de A. 
b) Determine t para que A seja inversível. 
c) Dê um valor para t e então calcule a matriz inversa de A, para este valor escolhido. 
 
Solução. 
a) 




466
135
113
t
t
t
 -




113
135
466
t
t
t
 -6 



113
135
6
)4(
11
t
t
t
-6









))((
)(
tt
t
t
t
t = -6









))((
)(
tt
t
t
t = -6(t + 2)





 ))(( tt
= 
= 
).)()((  ttt
 
b) 
.,,  ttt 
c) Faça, por exemplo, t = -1. Então .
366
145
112













A
 
 
























100
010
001
366
145
112
























100
010
00
366
145
1 212121
























103
01
00
030
0
1
2
5
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
























103
0
00
030
110
1
3
2
3
5
2
1
2
1
2
1























122
0
0
300
110
101
3
2
3
5
3
1
3
4
























3
1
3
2
3
2
3
2
3
5
3
1
3
4
0
0
100
110
101























3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
01
100
010
001
. Para t = -1, 
.01
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
2
1














A
 
 
3. Sejam 
)2,8,5(),1,3,1(  vu
 e 
).,5,3( mw 
Para que valores de 
m
 o vetor 
w
 
pertence ao plano gerado por 
u
 e 
?v
 
Solução. 
w
 pertence ao plano gerado por 
u
 e 
v
 se existe a, b reais tais que 
 (3, -5, m) = a(1, 3, -1) + b(-5, -8, 2). Daí, 








mba
ba
ba
2
583
35
 e m = 3. 
4. Determine uma base e calcule a dimensão do subespaço 
   cbabacbbacS ,,/2,3,,2
. 
 
Solução. S é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (0,1,0,1), 
(0,-1,1,2) e (2,0,-3,0). Como estes vetores são LI, eles formam uma base para S. Assim 
dimS = 3. 
 
5. Sejam 
   zeyx;z,y,xW 01
 e 
  02  zyx;z,y,xW
 subespaços de 
3
. 
(a) Determine
21 WW 
. 
(b) Dê uma base para 
21 WW 
. 
(c) Determine
21 WW 
. 
(d) 
21 WW 
 é soma direta? Justifique. 
Solução. 
(a) 
   y,x;y,x,xW1
 e 
   y,x;yx,y,xW2
. 
 Daí, 
      xxxxzyxeyxzyxWW ;2,,00;,,21 
, pois: 











xyxz
xy
zyx
yx
20
0 
 
(b) Como 
   2112 ,,xx,x,x 
, o conjunto {(1, -1,2)} é uma base para W1 W2. 
(c) Dado 
)1,0,0()0,1,1(),,(),,(,),,( 1 yxyxxzyxWzyx 
. Assim o conjunto 
{(1,-1,0),(0,0,1)} gera 
1W
, como este conjunto é LI, é uma base de 
1W
. 
Verifique que uma base para 
2W
 é {((1,0,1),(0,1,-1)}. Assim, temos que 
2dim 1 W
 
e 
2dim 2 W
. 
Então 
21dim WW 
 = 
1dimW
 + 
2dimW
 - dim
21 WW 
 = 2 + 2 – 1 = 3. 
Logo, 
3
21 WW
. 
(d) Embora 3 seja a soma de W1 e W2, ele não é soma direta deles, pois 
  00021 ,,WW 
. 
 
6. Considere os vetores 
 2,0,0u  1,0,1v
 e 
 0,0,3w
. 
(a) Escreva o vetor 
 8,0,5 v
como combinação linear de 
wevu,
 e diga de quantas 
formas é possível fazer isto? 
(b) Mostre que o plano
xz
, 
   z,x;z,,xW 0
, é um subespaço vetorial de 
.3
 
(c) Prove que o conjunto 
 wvu ,,
 gera W. 
(d) Verifique que o conjunto 
 wvu ,,
 não é uma base para este espaço, e extraia desse 
conjunto uma base para W. Justifique sua resposta. 
Solução. 
 
(a) 
 8,0,5 
 = a
 2,0,0
 + 
 1,0,1b
 + 
  






82
53
0,0,3
ba
cb
c
 o sistema é 
indeterminado e existirá uma infinidade de formas de escrever esta combinação linear. 
Uma das maneiras possíveis é 
 8,0,5 
 = (-5)
 2,0,0
 + 
 1,0,12
 + 
 0,0,31
. 
 (b) S é subespaço. S não é vazio pois (0,0, 0) pertence à S. 
 E as duas condições abaixo são satisfeitas. 
(i) Se (a, 0, c) e (e, 0, g) são elementos de S  (a, 0, c) + (e, 0, g) = (a + e, 0, 
c + g) é um elemento de S. 
 (ii) Se (a, 0, c) é um elemento de S e  um escalar, 
   c,,ac,,a  00 
 é um 
elemento de S. 
(c) Observe que todo vetor 
  Wzx ,0,
é combinação linear desses vetores; 
       0,0,3
3
1,0,102,0,0
2
,0,
xz
zx 
. Logo 
 wvu ,,
 gera W. 
(d) Note que o vetor v é combinação linear de u e w: 
     003200101
3
1
2
1 ,,,,,, 
. 
Concluímos que estes vetores não formam uma base para W pois não são LI. 
O conjunto 
 wu,
 é uma base para W pois 
(a) 
 wu,
gera W: 
     0,0,3
3
2,0,0
2
,0,
xz
zx 
 
(b) 
 wu,
e é LI: se 
      .00,0,00,0,32,0,0  baba
 
 
7. Considere o subespaço 
    0,1,2,1,1,0,1,1 U
do 
4
. Determine U  e uma base 
de U  . 
Solução. Um vetor v = (x, y, z, t) 

 U  se 
,-1) t).(1,1,0z, y, (x,
= 0 e 
 2,1,0)- t).(1,z, y, (x,
 = 0 
 Daí ,





02
0
zyx
tyxLogo, U  = {(x, y, -x+2y, x+y) | x, y 

}. 
Como (x, y, -x+2y, x+y) = x(1,0,-1,1) + y(0,1,2,1), e os vetores (1,0,-1,1) e (0,1,2,1) 
são LI, então uma base de U  é B = {(1,0,-1,1), (0,1,2,1)}. 
 
7. O produto interno em um espaço vetorial V é uma função: 
a. 
VVV  :,
 
b. 
 VV:,
 
c. 
VV  :,
 
d. 
V :,
 
e. 
 V:,
 
Resposta: b 
 
8. Considere os vetores 
)6,,1( mmu 
 e 
)1,6,(  mmv
 de 
3
. 
a) Determine todos os valores de 
m
 tais que os vetores 
u
 e 
v
 sejam ortogonais. 
b) Determine um valor de 
m
 tal que o ângulo formado pelos vetores 
u
 e 
v
 seja 
agudo (
0900 
). 
 
Solução: 
a) 
0,  vuvu
. Então, 
0)2)(3(6)1(6)6()1(, 2  mmmmmmmmvu
. 
Logo, 
3m
 ou 
2m
. 
 
b) Lembrando que 
||||.||||
,
cos
vu
vu 

, o ângulo 

 entre 
u
 e 
v
 é agulo se 
1cos0  
, 
isso implica em <u,v> > 0. Como foi pedido apenas um valor de m, podemos tomar 
m=3. Assim, 
)6,3,4(u
, 
)2,6,3( v
 e <u,v> = 6 > 0.