Sistemas de Controle I - Aula 03 - Modelagem no Domínio da Frequência b

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Aula 03
Modelagem no Domínio da 
Frequência
Ênio Prates Vasconcelos Filho
PUC-GO
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Tópicos
Δ Transformada de Laplace:
• Inversa e Direta;
Δ Função de Transferência;
• Função de Transferência em sistemas lineares Invariantes no tempo;
• Função de transferência de Circuitos Elétricos;
• Função de transferência de circuitos Mecânicos;
• Função de transferência de sistema Eletromecânicos;
Δ Circuitos Elétricos e Mecânicos Análogos;
Δ Linearização de sistemas não Lineares;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Até aqui
Δ O que são sistemas de controle;
Δ Características de um sistema de controle:
• Análise da Resposta Transitória;
• Estabilidade;
• Erros em regime permanente;
Δ Obtenção de esquemas que descrevem os sistemas de controle;
• Como identificar, de maneira simplificada, os componentes de um sistema
físico;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ O próximo passo do desenvolvimento de um modelo matemático é a
aplicação das leis básicas da física utilizadas na ciência e na engenharia;
Δ Funções de transferência no Domínio da Frequência;
Δ Equações de Estado no domínio do Tempo;
Sistemas de Controle II Sistemas de Controle I
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ Conjuntos de equações que representam a dinâmica de um sistema.
Δ A dinâmica de sistemas (mecânicos, elétricos, econômicos, térmicos) pode
ser descrita em termos de equações diferenciais.
Δ A obtenção de um modelo matemático razoável é a parte mais importante
de toda a análise.
Δ Uma vez obtido um modelo matemático do sistema, várias ferramentas
analíticas e de computador podem ser usadas para fins de análise e de
síntese.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ Simplicidade x Precisão
• Deve-se estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a
precisão dos resultados da análise.
• Os resultados obtidos na análise são válidos somente na medida em que o
modelo aproxima o comportamento real de um dado sistema dinâmico;
• Na obtenção de um modelo matemático linear a parâmetros concentrados
(modelo empregando equações diferenciais ordinárias) será sempre
necessário ignorar certas não-linearidades e a influência de parâmetros
distribuídos (dão origem a equações diferenciais parciais) que possam estar
presente no sistema físico;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ Simplicidade x Precisão
• Na solução de um novo problema, considera-se desejável construir
inicialmente um modelo simplificado de modo a se adquirir um conhecimento
básico e geral para a solução;
• Posteriormente, um modelo matemático mais complexo poderá ser então
elaborado e utilizado para uma análise mais detalhada;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ Uma equação diferencial pode descrever a relação entre a entrada e a saída
de um sistema;
Δ A forma da equação diferencial e seus coeficientes são uma formulação ou
descrição do sistema;
Δ Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua
saída, ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema;
Por exemplo: Seja a equação a seguir:
• uma equação diferencial geral de ordem n, linear e invariante no tempo;
• observamos que os parâmetros do sistema, que são os coeficientes, bem
como a saída, c(t), e a entrada, r(t), aparecem por toda a equação;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Modelo Matemático para um Sistema Físico
Δ É mais fácil entender o sistema se conseguirmos modelá-lo como a seguir:
Δ A entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas;
Δ Isso facilita a demonstração da interconexão de diversos subsistemas:
• Por exemplo, podemos representar interconexões em cascata, como
mostrado abaixo, em que uma função matemática, chamada função de
transferência, está no interior de cada bloco, e as funções em blocos podem
ser facilmente combinadas para produzir um sistema de controle;
• Essa “modelagem” facilita, a análise e o projeto;
• Esta conveniência não pode ser obtida com a equação diferencial;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ É difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na
forma de um diagrama de blocos;
Δ Assim, utilizaremos uma ferramenta matemática bastante útil na análise de
equações diferenciais:
• A transformada de Laplace!
Δ Essa ferramenta matemática nos permite trabalhar com equações
diferenciais de maneira algébrica (muito mais fácil...);
Δ Podemos então representar a entrada, a saída e o sistema na forma de
entidades separadas;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ A transformada de Laplace representa entrada, saída e sistema como
entidades separadas;
Δ A relação entre elas é algébrica;
Δ Transformada de Laplace:
Δ onde 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 é uma variável complexa;
Δ F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t);
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Transformada Inversa de Laplace
Δ Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante custoso, pois
envolve o cálculo de integrais complexas;
Δ Contudo, o conjunto de funções importantes para a área de controle é
pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas
funções e de suas transformadas;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Algumas Transformadas mais conhecidas:
Função Degrau
Função Impulso
Função Rampa
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Algumas propriedades:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Exemplo 1: Obtenha a transformada de Laplace para 𝑓 𝑡 = 𝐶𝑒−𝑏𝑡𝑢(𝑡)
• Pela tabela:
• ℒ 𝑓 𝑡 = ℒ 𝐶𝑒−𝑏𝑡𝑢(𝑡) = 𝐹 𝑠 = 𝐶
1
𝑠+𝑏
• Pela Definição:
Δ𝐹 𝑠 = 0
∞
𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 0
∞
𝐶𝑒−𝑏𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
Δ𝐹 𝑠 = 𝐶 0
∞
𝑒− 𝑏+𝑠 𝑡𝑢 𝑡 𝑑𝑡
Δ𝐹 𝑠 = 𝐶
1
𝑠+𝑏
|𝑡=0
∞ = 𝐶
1
𝑠+𝑏
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Obter a transformada inversa de Laplace de 𝐹 𝑠 =
1
𝑠+3 2
Δ Solução:
• Pela tabela:
• Pela propriedade:
• Temos então:
• Se: F(s)
1
𝑠2
→ 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡)
• e: F s + a =
1
(𝑠+𝑎)2
→ f(t) = 𝑒−𝑎𝑡𝑡𝑢(𝑡)
• Logo:
• ℒ−1
1
𝑠+3 2
= 𝑒−3𝑡𝑡𝑢(𝑡)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Transformada Inversa: Expansão em Frações Parciais
• A Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta matemática bastante útil
no cálculo da transformadas de Laplace;
• Objetivo matemático: Simplificar uma função, expandindo-a em funções de
menor grau;
• Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transformada de Laplace;
Δ Exemplo:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Transformada de Laplace
Δ Uso de Transformada de Laplace:
• Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a seguinte equação diferencial
para y(t) com todas as condições iniciais nulas:
Δ A transformada de Laplace para y(t) é:
Δ que leva a:
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Transformada de Laplace
Δ Resolvendo, por frações Parciais
Δ Logo:
Δ Fazendo a transformada Inversa:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ A função de transferência retrata a relação entre a saída e a entrada de um
sistema;
Δ Geralmente, as funções de entrada e saída se relacionam através de uma
equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
Δ Onde c(t) é a saída e r(t) é a entrada do sistema;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Dada a equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
Δ Calculando a transformada de Laplace:
Δ Se as condições iniciais forem nulas:
Δ Ou seja: G(s) é a Função de Transferência!
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Observe que a equação separa a saída, C(s), a entrada, R(s), e o sistema, na
razão entre polinômios em s:
Δ Chamamos essa razão, G(s), de função de transferência (FT) e a calculamos
com condições iniciais nulas;
Δ Representando a FT através de blocos:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ A FT de um sistema é um modelo matemático:
• Método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a
entrada à saída do sistema;
Δ A FT é uma propriedade do sistema:
• Independe do sinal de entrada
Δ A FT relaciona a entrada à saída, mas não fornece qualquer informação
quanto à estrutura física do sistema:
• Diferentes sistemas podem ter a mesma função de transferência
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída pode ser
estudada para várias formas de entrada a fim de entender a natureza do
sistema;
Δ Se a função de transferência for desconhecida, ela pode ser inferida
experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e
analisando o sinal de saída;
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Função de Transferência
Δ Quando a entrada é a função impulso, temos:
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠). 𝑅(𝑠)
Δ Logo,
𝑠𝑒 𝑅(𝑠) = 1 ⇒ 𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)
Δ cuja transformada inversa daria 𝑔 𝑡 ;
Δ Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e também sua função de
transferência;
Δ Portanto, é possível obter informação completa sobre as características de
um sistema excitando-o com um impulso unitário e medindo a sua
resposta:
• Na prática, seria um pulso de duração bastante curta
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Diagrama de Blocos:
• Representação gráfica das funções desempenhadas por cada um dos
componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles;
• Todas as variáveis são ligadas umas às outras através de blocos funcionais;
• O bloco traz a representação matemática da operação aplicada sobre a
entrada que leva à saída;
• A representação em diagramas de blocos de um sistema não é única;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Diagrama de Blocos (elementos):
Sistema de malha 
fechada
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Função de Transferência
Δ Diagrama de Blocos (Outro modelo):
Δ Como 𝑌 𝑠 = 𝐸 𝑠 𝐺(𝑠)
Δ e 𝐸 𝑠 = 𝑋 𝑠 − 𝐵 𝑠
Δ e 𝐵 𝑠 = 𝑌 𝑠 𝐻(𝑠)
Δ Temos: 𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠 − 𝑌 𝑠 𝐻(𝑠) 𝐺(𝑠)
Logo:𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠 𝐺 𝑠 − 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝐺 𝑠
∴ 𝑌 𝑠 1 + 𝐻 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑋 𝑠 𝐺 𝑠
∴
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐻 𝑠 𝐺 𝑠
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Exercício:
• Ache a função de transferência do sistema representado por:
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 2𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡)
Δ Solução:
• Tomando a transformada de Laplace:
• 𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠
• 𝑠 + 2 𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠
•
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
1
(𝑠+2)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Seja a função de transferência:
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
1
(𝑠+2)
Δ No Matlab:M
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Exemplo 2: Dada a função de transferência anterior, ache a resposta do
sistema para um degrau unitário; considere nulas as condições iniciais:
Δ Solução:
• 𝑥 𝑡 = 𝑢 𝑡 ;
• 𝐺 𝑠 =
1
𝑠+2
;
• 𝑋 𝑠 =
1
𝑠
;
• Como 𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠
𝑋(𝑠)
,
• temos: 𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑌 𝑠 =
1
𝑠
1
𝑠+2
=
1
𝑠(𝑠+2)
• Usando Frações Parciais, temos:
0,5
𝑠
−
0,5
(𝑠+2)
• Logo: 𝑦 𝑡 = 0,5 − 0,5𝑒−2𝑡
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência
Δ Exemplo 2 (cont):
• Solução total pelo MatLab:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Modelagem matemática de circuitos elétricos:
• Resistores, capacitores e indutores;
• Componentes são combinados em circuitos e encontramos a função de
transferência;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Rede RLC
• Problema: Encontrar a função de transferência que relaciona a tensão do
capacitor 𝑉𝐶(𝑠) com a tensão de entrada 𝑉(𝑠):
Δ Solução:
• Usando a LKT, temos:
• Como
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Função de Transferência de Circuitos Elétricos
A tensão em um capacitor é dada por: 𝑣𝑐 𝑡 =
1
𝐶
𝑞(𝑡)
Ou seja: 𝑞 𝑡 = 𝐶𝑣𝑐 𝑡
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Função de Transferência de Circuitos Elétricos
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Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Para simplificar, vamos considerar a transf. De Laplace das equações de
tensão da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais):
Δ Capacitor:
Δ Resistor:
Δ Indutor:
Δ Definimos, assim, a seguinte função de transferência:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Rede RLC:
Δ Podemos entender 𝑍(𝑠) como a soma das impedâncias e V(s) como a soma
das tensões;
Δ Assim: Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Tensões];R.I=V;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Resolvendo o problema anterior usando Impedâncias:
Δ Logo:
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Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Análise de Malha:
• Substitua elementos passivos por funções de impedância;
• Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transformadas De Laplace;
• Assuma uma corrente transformada e uma direção de corrente em cada
malha;
• Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha;
• Resolva as equações simultâneas para a saída;
• Forme a função de transferência;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
Pela LKT:
Δ 𝑣 𝑡 = 𝑖1 𝑡 𝑅1 + 𝐿
𝑑𝑖1(𝑡)
𝑑𝑡
− 𝐿
𝑑𝑖2(𝑡)
𝑑𝑡
1
Δ 0 = 𝑖1 𝑡 𝑅2 + 𝐿
𝑑𝑖1(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐶
 𝑖1(𝑡)𝑑𝑡 − 𝐿
𝑑𝑖2 𝑡
𝑑𝑡
2
Usando a transformada de Laplace, para obtermos as impedâncias:
Δ𝑉(𝑠) = 𝐼1(𝑠) 𝑅1 + 𝐿𝑠 − 𝐼2(𝑠) 𝐿𝑠 1
Δ 0 = 𝐼2(𝑠) 𝑅2 + 𝐿𝑠 +
1
𝐶𝑠
− 𝐼1(𝑠) 𝐿𝑠 2
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
Resolvendo (2)
Δ 𝐼1(𝑠) = 𝐼2(𝑠)
𝑅2+𝐿𝑠+
1
𝐶𝑠
𝐿𝑠
3
Substituindo (3) em (1):
Δ𝑉(𝑠) = 𝐼2(𝑠)
𝑅2+𝐿𝑠+
1
𝐶𝑠
𝐿𝑠
𝑅1 + 𝐿𝑠 − 𝐼2(𝑠) 𝐿𝑠
Resolvemos então para 𝐼2(𝑠)
Δ𝑉(𝑠) = 𝐼2(𝑠)
𝑅2𝑅1+𝑅1𝐿𝑠+
𝑅1
𝐶𝑠
+𝑅2𝐿𝑠+𝐿
2𝑠2+
𝐿
𝐶
𝐿𝑠
− 𝐼2(𝑠) 𝐿𝑠
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
=>𝑉(𝑠) = 𝐼2(𝑠)
𝑅2𝑅1+𝑅1𝐿𝑠+
𝑅1
𝐶𝑠
+𝑅2𝐿𝑠+𝐿
2𝑠2+
𝐿
𝐶
𝐿𝑠
− 𝐼2(𝑠) 𝐿𝑠
Logo:
Δ𝑉 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑅2𝑅1+𝑅1𝐿𝑠+
𝑅1
𝐶𝑠
+𝑅2𝐿𝑠+𝐿
2𝑠2+
𝐿
𝐶
−𝐿2𝑠2
𝐿𝑠
Δ∴ 𝑉 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑅2𝑅1+𝑅1𝐿𝑠+
𝑅1
𝐶𝑠
+𝑅2𝐿𝑠+𝐿
2𝑠2+
𝐿
𝐶
−𝐿2𝑠2
𝐿𝑠
Δ∴ 𝑉 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑅2𝑅1𝐶𝑠+𝑅1𝐿𝐶𝑠
2+𝑅1+𝑅2𝐿𝐶𝑠
2+𝐿𝑠
𝐶𝑠
𝐿𝑠
Δ𝑉 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑅2𝑅1𝐶𝑠+𝑅1𝐿𝐶𝑠
2+𝑅1+𝑅2𝐿𝐶𝑠
2+𝐿𝑠
𝐿𝐶𝑠2
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
=>𝑉 𝑠 = 𝐼2 𝑠
𝑅2𝑅1𝐶𝑠+𝑅1𝐿𝐶𝑠
2+𝑅1+𝑅2𝐿𝐶𝑠
2+𝐿𝑠
𝐿𝐶𝑠2
Logo:
Δ
𝐼2 𝑠
𝑉 𝑠
=
𝐿𝐶𝑠2
𝑅2𝑅1𝐶𝑠+𝑅1𝐿𝐶𝑠2+𝑅1+𝑅2𝐿𝐶𝑠2+𝐿𝑠
𝐼2 𝑠
𝑉 𝑠
=
𝐿𝐶𝑠2
𝐿𝐶 𝑅1 + 𝑅2 𝑠2 + (𝑅2𝑅1𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Encontre 𝐺 𝑠 =
𝐼2(𝑠)
𝑉(𝑠)
:
Δ Resposta:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Vocês:
Δ Determine a FT de
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
:
Δ Solução:
1
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Para Casa:
Δ Determine a FT de
𝐼3(𝑠)
𝑉(𝑠)
;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferênciade Circuitos Elétricos
Δ Amplificador Operacional
• Os amplificadores operacionais são amplificadores de acoplamento direto, de
alto ganho, que usam realimentação para controle de suas características
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Amplificador Operacional
• Características:
• Entrada diferencial: 𝑣2(𝑡) − 𝑣1(𝑡)
• Alta impedância de entrada: 𝑍𝑖 → ∞ (ideal)
• Baixa impedância de saída: 𝑍0 → ∞ (ideal)
• Alta constante de ganho de amplificação: A →∞ (ideal)
• A saída é dada por: 𝑣𝑜 = 𝐴(𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 )
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Função de Transferência de Circuitos Elétricos
Δ Amplificador Operacional Inversor
• Se 𝑣2(𝑡) está aterrado, o amplificador é chamado de inversor porque
passamos a ter: −𝐴𝑣1(𝑡)
Δ A função de transferência do amplificador operacional inversor é:
𝑣𝑜(𝑠)
𝑣𝑖(𝑠)
= −
𝑍2
𝑍1
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Δ Encontre a 𝐹 𝑡 =
𝑉𝑜(𝑡)
𝑉𝐼(𝑡)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo: Resposta
Δ Como a admitância de componentes paralelos se somam, Z1(s) é o inverso
da soma das admitâncias ou:
Δ Para Z2(s) as impedâncias se somam:
Δ Assim:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Funções de transferência de sistemas Mecânicos - Translação
Δ Para conhecimento, seguem as equações de sistemas Mecânicos
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo
Diagrama de Corpo Livre
Laplace
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exemplo:
Δ Utilizando as leis de Newton, igualamos a zero a soma de todas as forças:
Δ Aplicando Laplace:
Δ A FT do sistema é dada por:
DÚVIDAS?
Contatos: 
E-mail: eniopvf@gmail.com
Skype: eniopvf
Twitter: eniopvf
Bibliografia:
• NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010;
• OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4.ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 
2003;
• Carlos Alexandre – Prof. UFPE