Prova I

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Fundação Universidade de Brasília
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Cálculo II - Prova I - Turma D
27/09/2013
Justi�que todas suas respostas. !!!
Nome :................................................... Mat: ............................
• 1) Calcule o limn→∞ n
√
2n+4 + 3n−2.
Solução: an =
n
√
2n+4 + 3n−2 = n
√
24 2n +
1
32
3n =
n
√
3n
(
24
(2
3
)n
+
1
32
)
3
n
√
16 ≤ n
√
3n
(
24
(2
3
)n
+
1
32
)
≤ 3 n
√
17 ⇒ lim
n→∞
n
√
2n+4 + 3n−2 = 3.
• 2) Determine se a série 1 + 1.2
1.3
+ 1.2.3
1.3.5
+ 1.2.3.4
1.3.5.7
+ ..... tem limite
�nito ou in�nito.
Solução: an = an−1(
n
2n− 1), limn→∞
an+1
an
= lim
n→∞
n
2n− 1 = 1/2
1 +
1.2
1.3
+
1.2.3
1.3.5
+
1.2.3.4
1.3.5.7
+ ..... = L(finito).
• 3) Encontre a soma da série ∑∞n=1 11+2+3+...+n .
Solução:
1
1 + ...+ n
=
n(n+ 1)
2
,
∞∑
n=1
1
1 + ...+ n
=
∞∑
n=1
2
n(n+ 1)
= 2.
• 4) Mostre que toda série absolutamente convergente tem
limite �nito.
Solução: Verdadeira
Sabemos que ∀a ∈ R, a = (a+ |a|)− |a|, 0 ≤ (a+ |a|) ≤ 2|a|
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(an + |an|)−
∞∑
n=1
|an|) e
∞∑
n=1
(an + |an|) ≤ 2
∞∑
n=1
|an| <∞.
• 5) Determine se a série ∑∞n=1 n sin( 1n2 ) tem limite �nito ou
in�nito.
Solução: n sin(
1
n2
) =
n2
n
sin(
1
n2
) =
1
n
sin( 1
n2
)
1
n2
.
lim
n→∞
sin( 1
n2
)
1
n2
= 1 ⇒
∞∑
n=1
n sin(
1
n2
) =∞.