ApostilaTotal - Curso da UNICAMP

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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONTROLE DE PROCESSOS 
 
Material de Apoio 
Prof. Flávio Vasconcelos da Silva 
Profa. Ana Maria Frattini Fileti 
DESQ/FEQ/UNICAMP 
 
 1 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 Introdução 
 
 
A obtenção de energia através da 
matéria não era dominada pelo homem 
no início da sua evolução, assim toda a 
energia necessária para sua 
sobrevivência era fornecida por seu 
próprio trabalho ou pelo trabalho de 
animais domésticos. Com o advento das 
máquinas a vapor (século XVIII), essa 
realidade foi alterada drasticamente 
pondo o homem em uma nova posição 
de executor “mental” das tarefas. 
 
Nesse novo contexto, surgiu a 
necessidade natural de um esforço em 
tentar “controlar” esta nova fonte de 
energia, exigindo dele então muita 
intuição e experiência, além de expô-lo 
constantemente ao perigo devido à falta 
de segurança. 
 
Devido à baixa demanda, 
inicialmente esta nova tarefa foi 
satisfatoriamente executada. 
Entretanto, com o aumento acentuado 
da demanda, o homem viu-se obrigado 
a desenvolver técnicas e equipamentos 
capazes de substituí-lo, libertando-o de 
grande parte deste esforço braçal e 
mental. Surgindo, finalmente o conceito 
de controle automático. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NECESSIDADE 
DO CONTROLE 
AUTOMÁTICO 
 
Incapacidade de 
manter as condições 
de controle 
 
Aumentar a 
Produtividade 
- Quantidade elevada 
- Rapidez da operação 
- Confiabilidade 
- Segurança 
 
 
- Menor mão-de-obra. 
- Maior eficiência. 
- Redução de Custos. 
1.1.2 – Sinais de Processo 
 
Sinais analógicos e sinais digitais 
A transmissão analógica de 
informações é caracterizada por uma 
contínua variação na amplitude do 
sinal transmitido. Os órgãos sensoriais 
humanos registram os estímulos do 
ambiente, tais como: luz, som, sabor, 
etc., essencialmente sob a forma de 
sinais analógicos. 
Na engenharia de processos o sinal de 
4-20 mA é transmitido de forma 
analógica pura. Uma corrente 
proporcional ao valor medido de uma 
grandeza percorre o circuito entre o 
transmissor e o controlador. Mudanças 
na intensidade da corrente são 
imediatamente registradas por 
qualquer dispositivo presente no 
circuito. 
Um sinal analógico pode transportar 
muitas informações, como em um 
sinal acústico, onde se pode 
reconhecer o tom, a intensidade e o 
timbre. No caso do sinal de corrente 
de 4-20 mA, entretanto, somente a 
intensidade do sinal ou a sua presença 
ou ausência pode ser determinada. 
O sinal digital não varia 
continuamente, mas é transmitido em 
pacotes discretos de informação. A 
informação não é imediatamente 
interpretada devendo ser primeiro 
decodificada pelo receptor. Existem 
diferentes maneiras de transmiti-la; 
como pulsos elétricos que saltam entre 
dois diferentes níveis de tensão, em 
computadores e em barramento de 
campo, ou, como uma série de pulsos 
ópticos ou acústicos de diferentes 
durações, como ocorre no Código 
1.1 – Controle de Processos 
 
1.1.1 – Definição de Processo 
 
Processo pode ser definido como um 
conjunto de elementos, ativos e/ou 
passivos, organizados de forma tal a 
executar uma função determinada. 
Geralmente os processos realizam 
transformações físicas e/ou químicas 
em matérias ou objetos (matérias 
primas) para a obtenção de produtos, 
porém também existem processos de 
natureza biológica e econômica. 
Pode ser observado na Figura 1.1 que 
o processo (sistema) interage com o 
meio ambiente que o circunda 
através de sinais de entrada (ações) 
e saída (reações). 
Figura 1.1 – Processo e Meio Ambiente 
 
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Morse. 
Não há limitação quanto ao conteúdo 
do sinal, podendo este transmitir além 
do valor da variável medida, outras 
informações a respeito do sensor. 
Uma das vantagens da transmissão 
digital é a economia de uma conversão 
A/D no início da linha e uma D/A no 
final. A conversão A/D é feita através 
de uma amostragem do sinal 
analógico a intervalos regulares. A 
taxa de amostragem influencia na 
resolução da conversão, mas os custos 
de conversão aumentam, havendo um 
compromisso entre a precisão e custo 
na determinação da qualidade da 
conversão. 
 
Comunicação digital 
 
Na comunicação digital o sinal, 
composto de uma série de pulsos de 
tensão é enviado do transmissor para 
o receptor através de um meio de 
transmissão. Este pode ser um fio, 
fibra ótica ou ondas eletromagnéticas. 
A informação está contida nas 
mudanças entre dois níveis de tensão. 
Convencionalmente o nível alto de 
tensão representa o nível lógico 1 e a 
tensão baixo o nível lógico 0. Na Fig. 
1.2 é ilustrado este conceito. 
Figura 1.2 – Informação representada por 
uma série de níveis de tensão 
A unidade de informação, 
representada pelos valores 0 e 1, é 
denominada bit-binary digit. O sistema 
de numeração binário, que utiliza 
estes dois algarismos na sua 
representação, é usado nos 
microprocessadores. Um bit somente 
não é suficiente para o processamento 
de números e textos. Por isto se utiliza 
o byte, o bloco construtivo dos 
caracteres alfanuméricos (letras, 
números e outros símbolos), 
constituído de 8 bits, que possibilita a 
comunicação entre operador e o 
microprocessador. A comunicação, 
envolvendo dois parceiros, exige que 
ambos sejam capazes de interpretar o 
sinal. Para isto se utiliza os códigos de 
controle e de dados, que informam o 
que está sento transmitido e de que 
modo. Exemplos de códigos são: o 
ASCII (Americana Standard Code of. 
Informativo Interchange) , o ANSI 
(American National Standard Institute) 
e o RTU (Remote Terminal Unit). O 
código hexadecimal é principalmente 
utilizado no endereçamento de bancos 
de memória, tendo a vantagem de 
encurtar a representação numérica 
facilitando a programação. 
1.1.3 - Sistema de Controle 
 
Os Sistemas de Controle estão 
presentes nos mais variados 
segmentos da sociedade moderna. 
Aplicações cotidianas tais como: 
controle de temperatura, controle de 
níveis de iluminação, controle de 
níveis de líquidos, controle de 
velocidades, controle de fluxo de 
fluidos nas mais diversas aplicações, 
controle de posição de satélites, 
direcionamento de navios e aeronaves, 
direcionamento automático de mísseis 
e sistemas de rastreamento de alvos e 
 
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controles industriais (indústria 
química, siderúrgica, eletrônica, 
farmacêutica, etc.). Além de sistemas 
de controle naturais, como por 
exemplo, o equilíbrio da vida em 
ecossistemas. 
Definição do sistema de controle 
Um sistema de controle consiste de 
subsistemas reunidos com o propósito 
de controlar as saídas dos processos. 
Por exemplo, um forno produz calor 
como resultado do fluxo de 
combustível. 
Neste processo, subsistemas 
chamados de válvulas de combustíveis 
e atuadores de válvulas de 
combustíveis são usados para regular 
a temperatura de um ambiente, 
controlando a produção de calor do 
forno. Outros subsistemas tais como 
termostatos, que agem como 
sensores, medem a temperatura do 
ambiente. 
Na sua forma mais simples, o sistema 
de controle leva a uma saída ou 
reposta para um dado estímulo ou 
entrada. 
Por que controlar os processos? 
Os princípios e as leis científicas que 
regem o controle de processos não 
têm sido alterados. O que tem sofrido 
muitas mudanças e evolução é o 
hardware disponívelprocesso que eles 
controlam. Assim, este é um tipo de 
resposta bastante freqüente. 
Características de uma resposta 
sub amortecida. 
Utilizando a figura de uma resposta 
subamortecida apresentada a seguir 
serão definidos as características 
importantes deste tipo de resposta. 
1-Overshoot: é a razão A/B, onde B é 
o valor final da resposta e A é o valor 
máximo em que a resposta excede o 
seu valor máximo. O overshoot é uma 
função de ξ, e pode-se demonstrar 
que ele pode ser calculado por: 








−
−=
21
exp
ξ
πξ
overshoot 
2- Taxa de decaimento: É a razão 
C/A, a razão entre o valor acima da 
resposta final atingida por dois picos 
sucessivos. Ela é descrita por: 
2
2
)(
1
2
exp overshoot=








−
−=
ξ
πξ
decaimentodetaxa 
3-Período de oscilação: w fornece o 
valor da freqüência das oscilações 
(rad/tempo) de um sistema sub 
amortecido. 
O período de oscilação T (ou seja, o 
tempo passado entre dois picos 
sucessivos), é calculado pela relação 
fw π2= e f=1/T, onde f é a freqüência 
cíclica. Então: 
21
2
ξ
πτ
−
=T 
4- Período natural de oscilação: 
um sistema de segunda ordem com 
ξ=0 é um sistema sem 
amortecimento. Sua função de 
transferência é: 
)
1
)(
1
(
/
1
)(
2
2
ττ
τ
τ jsjs
K
s
K
sG pp
+−
=
+
= 
ou seja, tem dois pólos imaginários 
puros e vai oscilar continuamente com 
amplitude constante e freqüência 
natural igual a: 
τ
1=nw 
Assim, considerando Kp=1 teremos:
 
22
2
2
)(
nn
n
wsws
w
sG
++
=
ξ
 
Temos também a definição de 
freqüência natural amortecida dada 
por: 
21 ξ−= nd ww . 
O período cíclico correspondente Tn é 
dado por: πτ2=nT 
 
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5- Tempo de Estabilização ou 
Tempo de Resposta: a resposta de 
um sistema sub amortecido atingirá o 
seu valor final de forma oscilatória 
quando t→∞. Para questões práticas 
considera-se que a resposta atingiu o 
valor final quando está dentro da faixa 
de ± 5% ou ± 2% do valor final. O 
tempo de estabilização ou tempo de 
resposta pode ser dado diretamente 
pela equação: 
5%) (para 3 e 2%) (para 4 ττ=st 
6-Tempo de pico: É definido como o 
tempo onde ocorre o maior valor de 
sobressinal, dado por: 
d
p w
t
π= 
7-Tempo de subida: É definido como 
o tempo transcorrido para a resposta 
ir de 10% a 90% do seu valor final. O 
tempo de subida é um indicativo de 
quão rápido reaje o sistema a 
aplicação de um salto em sua entrada. 
Muitas vezes a redução excessiva do 
tempo de subida de um sistema a 
partir da sintonia dos parâmetros de 
um controlador pode provocar o 
aparecimento de um alto overshoot. 
Isto explica-se intuitivamente pelo fato 
que o sistema é "acelerado" de tal 
maneira que é difícil de "freiá-lo" o 
que leva a saída a ultrapassar de 
maneira significante o valor da 
entrada. O tempo de subida é dado 
por:
d
n
d
r w
w
w
tg
t






−
=
−
ξ
π 1
 
8-Constante de Tempo – A 
constante de tempo de um sistema de 
segunda ordem pode ser encontrada 
com a seguinte relação: 
nwξ
1
 
 
RAMPA UNITÁRIA. 
Como a transformada de Laplace da 
função rampa unitária é 2
1
s
, obtém-
se a saída do sistema: 
 
12
1
)( 222 ++
=
ss
K
s
sy p
ξττ 
A curva de resposta para perturbação 
rampa unitária em Sistemas de 2ª 
Ordem é apresentada na figura 
abaixo. 
 
Sistemas de 2ª Ordem 
provenientes de Sistemas 
Multicapacitivos. 
Observe as figuras abaixo: 
Fin
h1
h2
Tanque 1
Tanque 2
R1
R2
F1
F2
h2
Tanque 2
R2 F2
Fin
h1
Tanque 1
R1 F1
(a) Tanques Não Interativos
(b) Tanques Interativos
 
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Sistemas Não Interativos 
Sistemas capacitivos não interativos 
são descritos por um conjunto de 
equações diferenciais como 
apresentadas a seguir: 
)(
)(
122
2
2
111
1
1
tyKy
dt
dy
tfKy
dt
dy
pp
pp
=+
=+
τ
τ
 
O primeiro sistema afeta o segundo, 
mas não é afetado por ele. 
Temos, portanto, um conjunto de 
sistemas em série correspondentes às 
funções de transferência de primeira 
ordem: 
1)(
)(
)(
1
1
1
1
1 +
==
s
K
sF
sY
sG
p
p
τ
1)(
)(
)(
2
2
1
2
2 +
==
s
K
sY
sY
sG
p
p
τ
 
A função de transferência global é 
dada por: 
)()()( 21 sGsGsGp = 
( )
( )
21
'
2121
2
'22'
'
2
2
1
1
 e 
''2 ' 
 onde
1'2
)(
11
)(
ppP
pppp
P
p
p
p
p
p
p
KKK
ss
K
sG
s
K
s
K
sG
=
+==
++
=
++
=
τττζτττ
τζτ
ττ
 
A função de transferência global é 
dada por: 
)()()( 21 sGsGsGp = 
( )
( )
21
'
2121
2
'22'
'
2
2
1
1
 e 
''2 ' 
 onde
1'2
)(
11
)(
ppP
pppp
P
p
p
p
p
p
p
KKK
ss
K
sG
s
K
s
K
sG
=
+==
++
=
++
=
τττζτττ
τζτ
ττ
 
Indicando que a resposta geral é um 
sistema de segunda ordem com raízes 
reais e distintas, apresentando sempre 
uma resposta superamortecida ou 
criticamente amortecida. 
Sistemas Interativos 
Considerando o sistema na figura b 
acima e realizando o balanço de 
massa, teremos: 
2 Tanque 
1 Tanque 
21
2
2
1
1
1
FF
dt
dh
A
FF
dt
dh
A in
−=
−=
 
Assumindo que as resistências são 
lineares: 
2
2
2
1
21
1 e 
R
h
F
R
hh
F =
−
= 
01 1
1
2
2
1
22
22
121
1
11
=−





++
=−+
h
R
R
h
R
R
dt
dh
RA
FRhh
dt
dh
RA in
 
As equações devem ser solucionadas 
simultaneamente, caracterizando a 
interatividade. 
Em regime permanente teremos: 
 
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01 1
1
2
2
1
2
121
=−





+
=−
RPRP
inRPRPRP
h
R
R
h
R
R
FRhh
 
Sendo 
inRPininRPRP FFhhhhhh −=−=−= '
22
'
211
'
1 F 
( )
( ) ( )
( )
( )
222111
'
2121
2
21
2'
2
'
2121
2
21
2111'
1
'
2
1
2
22
'
1
1
2
'
1
'
2
'
111
'
1
1
2'
2
1
2
'
2
22
'
1
'
2
'
1
'
1
11
 e onde
)(
1
)(
)(
1
)(
0)(1)(
)()()(1
Laplace de Tranf. as Aplicando
01
RARA
sF
sRAs
R
sH
sF
sRAs
RRsR
sH
sH
R
R
sRAsH
R
R
sFRsHsHsRA
h
R
R
h
R
R
dt
dh
RA
FRhh
dt
dh
RA
pp
in
pppp
in
pppp
p
in
in
==
++++
=
++++
++
=
=











+++−
=−+
=−





++
=−+
ττ
ττττ
ττττ
τ
Também apresenta uma resposta 
superamortecida 
 
Proc. inerentemente de 2ª Ordem. 
Processos que apresentam inércia e 
são sujeitos à aceleração. Ocorrem 
raramente em processos químicos, 
normalmente são associados a 
movimento de sólidos e fluidos. 
Exemplo: Massa-Mola-Amortecedor 
 
Três elementos mecânicos envolvidos: 
Elemento de Inércia (massa) 
 dt
tyd
mtF
tmatF
)(
)(
)()(
2
=
=
 
Elemento de Elasticidade (mola) 
)()( tKytF = 
Elemento de Amortecimento 
dt
tdy
BtF
tBvtF
)(
)(
)()(
=
=
 
∑ = amForças .
 
Equilíbrio de forças: mola ↑ F(t) ↓ 
Amortecedor ↑ 
A função de transferência global é 
)()(
)(
)(
)()(
2
2
2
2
tFtKy
dt
dy
B
dt
tyd
m
dt
tyd
m
dt
dy
BtKytF
=++
=−−
 
 
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m
K
s
m
B
sKBsmssF
sY
sG
sFsKYsBsYsYms
++
=
++
==
=++
2
2
2
11
)(
)(
)(
)()()()(
Processos de 1ª Ordem com 
dinâmica de 2ª Ordem devido a 
presença de um sistema de 
controle. 
Os sistemas de segunda ordem, e de 
ordens maiores podem decorrer da 
presença de controladores. Como 
exemplo se pode utilizar um tanque 
com um controlador que mantém o 
nível agindo sobre a vazão de saída. 
Controlador
PI
h
Fin
V
Fo
h
Equação que representa a dinâmica 
deste sistema: 
'''
oin FF
dt
dh
A −= 
Para o controle da variável h podemos 
utilizar um controlador PI para 
manipular a variávelde entrada Fo: 
dtth
K
hKFF
t
I
c
cRPoo ∫++=
0, )(''
τ
 sendo RPhhh −=' Substituindo Fo 
na equação da dinâmica: 
'
0
)(''
'
in
t
I
c
c Fdtth
K
hK
dt
dh
A =++ ∫τ 
Aplicando TL teremos: 
A
K
K
A
K
K
K
A
ss
sK
ss
K
A
s
K
sG
sF
sH
ssF
K
sHss
K
A
sFsH
s
K
sHKsAsH
Ic
c
I
I
c
I
p
c
I
p
I
c
I
c
I
p
in
in
c
I
I
c
I
in
I
c
c
τξττ
τξττττ
ξττ
ττ
τ
τττ
τ
2
1
 e 
2 e onde
12
 
1
)(
)(
)('
)()('1
)()('
1
)(')('
2
22
2
'
'2
'
==
===
++
=
++
==
=





++
=++
 
A resposta apresentada depende dos 
valores de τI e Kc. 
5.4 – Sistemas de Ordem 
Superior 
Os processos com dinâmica maior que 
segunda ordem são freqüentes na 
indústria. Podem ser encontrados nas 
seguintes classes: 
• Processos de 1ª Ordem em série. 
• Processos com tempo morto. 
• Processo com Resposta Inversa 
 
Dinâmica de Sistemas com tempo 
Morto. 
Até o momento, foi considerado que 
os efeitos das alterações na variável 
de entrada eram observadas 
instantaneamente na variável de saída 
dos sistemas. Em sistemas reais esta 
consideração não é verdadeira, pois 
“todos” os sistemas possuem algum 
tempo morto entre a entrada e a 
saída. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para processos de 1a ordem com 
tempo morto: 
1
)('
)(
)(
+
==
ps
Kp
spG
sf
sy
τ
 e 
( )[ ]
[ ]
stde
tyL
tdtyL .
)(
−=−
 
Juntando em um bloco só: 
( )[ ]
[ ] 1
.
)(
)(
.
1 +
==− −
ps
eKp
sGp
tfL
tdtyL std
τ 
Para processos de 2a ordem com 
tempo morto: 
( )[ ]
[ ] 12
.
)(
)( 22
.
2 ++
==− −
ss
eKp
sGp
tfL
tdtyL std
ξττ 
 
Os sistemas com tempo morto são 
difíceis de controlar pois a saída do 
processo (valor medido da variável 
controlada) não contém informação 
sobre as variações ocorridas no 
instante atual!!! Processo “demora a 
sentir a perturbação”.Para facilitar 
cálculos da análise das raízes da 
função de transferência, podem-se 
fazer as seguintes aproximações 
(Padé): 
1a ordem: 
s
t
s
t
e
d
d
std
.
2
1
.
2
1
.
+
−
=−
 
2a ordem: 126
126
22
22
.
++
+−≈−
stst
stst
e
dd
ddstd
 
Dinâmica de Sistemas com Resposta 
Inversa. 
A figura abaixo apresenta o 
comportamento de um sistema que 
apresenta resposta inversa. 
Controlador
V
Fin, Tin
h
h
Q
Vapor
Fout , P
 
Considerando uma perturbação degrau 
na vazão de alimentação de água 
(fria) do sistema teremos: 
A alimentação de água fria causa uma 
redução da temperatura e 
conseqüentemente do volume de 
líquido na caldeira. A redução do nível 
ocorre de acordo com um sistema de 
1ª ordem. Com o fornecimento 
constante de calor, a produção de 
vapor permanece constante e o nível 
de líquido aumentará constantemente 
(integral) 
 
 47 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultados dos dois efeitos opostos é 
dado por: 
( )
( )11 1
2112
1
12
+
+−=
+
−
ss
KsKK
s
K
s
K
τ
τ
τ 
Se 12τK ) ⇒ força a resposta final do 
processo na direção oposta da inicial, 
ou seja: 
Baseado no diagrama de blocos, a 
resposta global é: 
( ) ( )
( )( ) )(.
11
)(
)(.
11
)(
21
211221
2
2
1
1
sf
ss
KKsKK
sy
sf
s
K
s
K
sy
++
−+−=






+
−
+
=
ττ
ττ
ττ
 
quando há a resposta inversa (ou seja, 
12 ττ −
−=
÷
−
−
−=
=−+−
2
1
21
2
21
2
1221
21
211221
0
)(
0
τ
τ
τ
τ
ττ
ττ
KK
KK
s
KK
KK
s
KKsKK
 
e se 
2
1
21 τ
τ
KK > ⇒ 0
2
1
21 
−
−=
τ
τ
τ
KK
KK
s ⇒ s (zero) tem 
parte real positiva ⇒ resposta inversa. 
zero > 0 não afeta estabilidade do 
sistema em malha aberta. Processo 
pode ser levado ã instabilidade pela 
presença deste zero, quando for 
colocado sob controle 
“feedback”!!!Esse tipo de sistema 
requer atenção especial para projeto 
de controle 
 
 48 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 Controle 
Feedback 
 (Realimentação) 
 
 
6.1 – Estrutura da Malha de 
Controle por Realimentação 
(Feedback) 
 
Estrutura da malha de controle SISO: 
Processo em Malha aberta: 
PROCESSO
m(s) y(s)
d(s)
 
Processo em Malha Fechada: 
Objetivo de Controle: manter o valor da 
variável controlada y em seu valor de 
referência (“set point”). 
Forma de agir do controle por 
realimentação: 
Medição da variável controlada, usando 
instrumentação apropriada (sensores e 
transmissores), ym. 
 
 49 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparação do valor medido com 
valor de referência, ySP, resultando no 
valor do erro: e= ySP – ym. 
O valor do erro é alimentado ao 
controlador, que ajusta o valor da 
variável manipulada (u ou c) de modo 
a reduzir o erro. Este ajuste é 
implementado através do elemento 
final de controle (instrumento 
atuador). 
Exemplo: 
AT
01
AC
I/P
x, V
x, F
x2, F2x1, F1
 
AT=sensor+transmissor de 
concentração de saída do tanque 
AC = Controlador da concentração de 
saída com manipulação da vazão de 
entrada 2. 
 
6.2 – Função de 
Transferência e Resposta de 
um Sistema em Malha 
Fechada 
 
Variável Dependente )(sy 
Variáveis Independentes )(sd e )(sySP 
Processo: )()()()()( sdsGdsmsGpsy += (1) 
Sensor: )()()( sysGmsym = (2) 
Controlador: )()()( sysyse mSP −= (3) 
e )()()( sesGcsc = (4) 
Elemento Final de Controle: 
)()()( scsGfsm = (5) 
Resposta da malha fechada no 
Domínio de Laplace 
A resposta da malha fechada no 
domímio de Laplace é representada 
por: 
)(
)()()()(1
)(
 
)(
)()()()(1
)()()(
)(
sd
sGmsGcsGfsGp
sGd
sy
sGmsGcsGfsGp
sGcsGfsGp
sy SP
+
+
+
+
=
 
Dois termos envolvidos: 
)(
)()()()(1
)()()(
sy
sGmsGcsGfsGp
sGcsGfsGp
SP+
 é o termo 
de controle supervisório, pois mostra o 
efeito de uma modificação no “set 
point” sobre a variável controlada; 
 
)(
)()()()(1
)(
sd
sGmsGcsGfsGp
sGd
+
 é o termo 
de controle regulatório, pois mostra o 
efeito de uma modificação na carga 
(ou distúrbio) sobre a variável 
controlada )(sy . 
 
 50 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) O denominador dos dois termos 
envolvidos é o mesmo: 
)()()()(1 sGmsGcsGfsGp+ , ou seja, 
produto de todas as funções de 
transferências da malha; 
2) O numerador é o produto das 
funções de transferências do caminho 
direto entre a variável controlada )(sy 
e a variável que sofre a modificação 
)(sd ou )(sySP . 
Exercício) Encontre a resposta em 
malha fechada do tanque de 
aquecimento abaixo esquematizado e 
construa seu diagrama de blocos. 
Dados: 
- Perturbações ocorrem somente na 
temperatura da corrente de entrada 
(Ti); 
- Controlador é do tipo Proporcional; 
- A válvula, o processo e a carga têm 
dinâmica de 1a ordem: 
 
 
as
K
sGp
+
=)( 
1
)(
+
=
s
Kv
sGf
Vτas
sGd
+
= τ1
)( 
Solução: 
Diagrama de blocos da malha fechada 
por controlador por realimentação: 
 
 
)()()( smTsTse SP −= 
Resposta em malha fechada: 
)(
1
1
1
 
)(
1
1
1
)(
sT
as
K
s
Kv
Kc
as
sT
as
K
s
Kv
Kc
as
K
s
Kv
Kc
sT
i
V
SP
V
V
++
+
++
++
+
++
=
τ
τ
τ
τ
 
OBS: não havendo perspectiva de 
mudança no “set point” o problema se 
torna regulatório e a resposta pode ser 
simplificada para: 
)(
1
1
1
)( sT
as
K
s
Kv
Kc
assT i
V ++
+
+=
τ
τ
 
6.3 – Ações de Básicas de 
Controle 
 
A busca da qualidade, eficiência e 
precisão nos processos industriais 
exige sistemas de controle em malha 
fechada sem a presença do operador 
humano, os quais são chamados de 
Controladores Automáticos. 
Os controladores industriais 
convencionais são classificados de 
 
 51 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
acordo com a ação de controle que 
executam: 
• Controladores ON-OFF; 
• Controladores Proporcionais; 
• Controladores Integrais; 
• Controladores Proporcionais-
Integrais; 
• Controladores Proporcionais-
Derivativos; 
• Controladores Proporcionais-
Integrais-Derivativos. 
AÇÃO DE CONTROLE ON-OFF 
 
 
PROCESSO 
r(t) 
u(t) y(t) 
realimentação 
e(t) 
 
 
 U1 
 
 U2 
relé 
 
Na ação de controle On-Off, o atuador 
tem somente duas posições fixas, isto 
é, Ligado/Desligado. Em outras 
palavras tem-se: 



=
0)( se 
0)( se 
)(
2
1
teU
teU
tu 
Por esta razão apresenta um custo 
relativamente baixo, aliado a 
simplicidade. 
Este tipo de função pode ser 
implementada como um simples 
comparador ou mesmo um relé físico. 
Nota-se que neste caso tem-se uma 
inconsistência em zero e, na presença 
de ruídos, tem-se chaveamentos 
espúrios quando o sinal e(t) for 
próximo de zero. 
Para evitar este tipo de problema, 
 
utiliza-se na prática o que chamamos 
de controlador liga-desliga com 
histerese mostrado na figura abaixo: 
 
Sendo o sinal de saída do controlador 
u(t) e a entrada o sinal de erro 
atuante. Nesta ação de controle a 
saída u(t) permanece num valor 
máximo ou num valor mínimo, 
dependendo do sinal do erro atuante, 
isto é, positivo ou negativo. O valor 
mínimo U2, ou é zero ou é U1. 
Na prática, deve-se implementar este 
controlador, considerando-se uma 
pequena diferença entre os valores 
positivos e negativos de erro. Isto 
significa que na transição do sinal de 
erro atuante, de um valor positivo (E1) 
para um valor negativo (E2), o 
controlador não será acionado 
exatamente no ponto e(t) = 0. Da 
mesma forma, o controlador será 
acionado na transição do sinal de erro 
atuante de um valor negativo para 
positivo. Isto cria um intervalo 
diferencial, conhecido como histerese, 
cuja finalidade é diminuir a freqüência 
de abertura e fechamento do 
controlador e, portanto aumentar a 
sua vida útil. 
O gráfico da figura abaixo mostra a 
curva de resposta em malha fechada e 
o respectivo sinal de controle para um 
sistema com controlador liga-desliga 
com histerese. Note que, em regime 
permanente, a saída do sistema 
apresenta uma oscilação em torno do 
valor de referência. Este fato denota 
 
 
 52 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a baixa precisão obtida com este tipo 
de controlador. A amplitude e a 
freqüência da oscilação são funções do 
intervalo [E1, E2]. A determinação do 
intervalo [E1, E2] deve ser feito 
levando-se em consideração a 
precisão desejada, os níveis de ruído e 
a vida útil dos componentes. 
 
 
 
u(t) 
y(t) 
0 
1 
0.5 
-0.5 
 
 
A ação de controle liga-desliga pode 
assim ser considerada a ação de 
controle mais simples e mais 
econômica. Entretanto, este tipo de 
ação possui limitações no que diz 
respeito ao comportamento dinâmico e 
em regime permanente do sistema em 
malha fechada. Suas aplicações 
restringem-se a sistemas onde não é 
necessário precisão nem um bom 
desempenho dinâmico. Como 
exemplos corriqueiros de aplicação 
deste tipo de controle temos: 
termostato da geladeira, controle de 
nível d'água a partir de "bóias". 
 
AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL 
Neste tipo de ação o sinal de controle 
aplicado a cada instante à planta é 
proporcional à amplitude do valor do 
sinal de erro: )()( teKtu C= 
Assim se, em um dado instante, o 
valor da saída do processo é menor 
(maior) que o valor da referência, i.e. 
e(t) >0 (e(t)Figura 6.3 – Ação integral com 
diferentes valores de τI. 
 
 54 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
erro. A ação derivativa é então dita 
antecipatória ou preditiva e tende a 
fazer com que o sistema reaja mais 
rapidamente. Este fato faz com que a 
ação derivativa seja utilizada para a 
obtenção de respostas transitórias 
mais rápidas, ou seja, para a melhora 
do comportamento dinâmico do 
sistema em malha fechada. Observe 
que no caso em que, em regime 
permanente, o sinal de erro é 
constante a ação derivativa será igual 
a zero, ou seja, esta ação atua apenas 
durante a resposta transitória. 
CONTROLADOR PID 
A combinação das ações proporcional, 
integral e derivativa apresentadas 
anteriormente para gerar um só sinal 
de controle, dá origem ao que 
chamamos de controlador 
proporcional-integral-derivativo ou 
simplesmente PID. O objetivo é 
aproveitar as características 
particulares de cada uma destas ações 
a fim de se obter uma melhora 
significativa do comportamento 
transitório e em regime permanente 
do sistema controlado. O sinal de 
controle gerado pelo controlador PID é 
assim genericamente dado como: 
]
)(
)(
1
)([)(
0 dt
tde
dtteteKtu D
t
I
C τ
τ
++= ∫ Eq. 1 
Desta forma tem-se três parâmetros 
de sintonia no controlador: o ganho 
proporcional KC(ação proporcional), o 
tempo integral τI (ação integral) e o 
tempo derivativo τD (ação derivativa). 
Apesar de termos a disponibilidade das 
três ações básicas, dependendo da 
aplicação não será necessário a 
utilização de uma ou mais destas 
ações. Basicamente temos quatro 
 
configurações possíveis de 
controladores a partir de uma 
estrutura PID: 
• proporcional (P) 
• proporcional-integral (PI) 
• proporcional-derivativo (PD) 
• proporcional-integral-derivativo 
(PID) 
A Banda Proporcional 
Na prática, por restrições de ordem 
física ou de segurança, não é possível 
a aplicação de sinais controle de 
amplitudes ilimitadas. Tem-se assim 
um limite máximo uMAX e um limite 
mínimo uMIN para a variável de 
controle. Assim, o sinal de controle 
pode ser genericamente definido 
como: 
)()]([)( twKtefKtu CC == 
Considerando-se os limites do 
controle, tem-se que o sinal que será 
efetivamente aplicado é descrito da 
seguinte forma: 





=
min
maxmin
max
min
max
)(
)( 
)(
 )()(
utw
utwu
utw
se
se
se
u
twK
u
tu C 
Assim, se max)( utwKC > ou se 
min)( utwKCa estabilidade relativa do sistema ao 
mesmo tempo que torna a resposta do 
sistema mais rápida devido ao seu 
efeito antecipatório. Considerando-se 
o mesmo sistema das figuras 
anteriores e fixando-se KC=1 e τI=2, a 
influência da ação derivativa na 
resposta do sistema pode ser 
observada na figura 6.8. 
É importante ressaltar que a equação 
1 constitui a versão clássica do 
controlador PID. Outras versões e 
variações existem, mas a filosofia de 
funcionamento, a partir da combinação 
dos efeitos das três ações básicas, é a 
mesma. 
 
6.3 – Efeito das Ações P,I e D 
na Resposta em Malha 
Fechada 
O que acontece com um processo de 
1a ou de 2a ordens quando se insere 
um controlador por retroalimentação? 
Qual a resposta )(sy frente a 
perturbação em degrau unitário? 
Análise matemática baseada na 
resposta do processo em malha 
fechada: 
)(
)()()()(1
)(
 
)(
)()()()(1
)()()(
)(
sd
sGmsGcsGfsGp
sGd
sy
sGmsGcsGfsGp
sGcsfsGp
sy SP
+
+
+
+
=
 
Simplificações: Dinâmicas da válvula e 
do sensor não influenciam a resposta: 
Gf(s)=1 e Gm(s)=1. 
)(
)()(1
)(
)(
)()(1
)()(
)( sd
sGcsGp
sGd
sy
sGcsGp
sGcsGp
sy SP +
+
+
=
 
Efeito da Ação Proporcional: 
Função de transferência da Ação de 
Controle P: Gc(s)=Kc 
Processo de 1a ordem: 
)(
1
)(
1
)( sd
s
Kd
sm
s
Kp
sy
pp +
+
+
=
ττ
 sendo 
1
)(
+
=
s
Kp
sGp
pτ
 e 
1
)(
+
=
s
Kd
sGd
pτ
 
Substituindo-se na equação geral 
simplificada, tem-se: 
)(
1
1
1
)(
1
1
1
)( sd
s
KpKc
s
Kd
sy
s
KpKc
s
KpKc
sy
p
p
SP
p
p
+
+
+
+
+
+
+
=
τ
τ
τ
τ
 
Figura 6.8 – PID - KC=4; Ti=1.5; Td=0.1 
(tracejado), 0.4(pontilhado), 2(contínuo) 
 
 58 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando-se o numerador e o 
denominador por (τp s+1), tem-se: 
)(
1
)(
1
)( sd
KpKcs
Kd
sy
KpKcs
KpKc
sy
p
SP
p ++
+
++
=
ττ
Dividindo-se o numerador e o 
denominador por (1+KpKc), tem-se: 
)(
1
1
1
)(
1
1
1
)( sd
KpKc
KpKcs
KpKc
Kd
sy
KpKc
KpKcs
KpKc
KpKc
sy
p
SP
p
+
++
++
+
++
+= ττ
Definindo-se: 
KpKc
Kd
Kd
KpKcKpKc
KpKc
Kp p
p +
=
+
=
+
=
1
'
1
'
1
'
τ
τ
Obtém-se como resposta do processo 
de 1a ordem com controle 
proporcional:
)(
1'
'
)(
1'
'
)( sd
s
Kd
sy
s
Kp
sy
p
SP
p +
+
+
=
ττ
 
Observações tiradas da equação 
obtida: 
Resposta em malha fechada continua 
sendo de 1a ordem em relação ao set-
point e ao distúrbio: 
Kp’1) pode passar a 
ser sub-amortecido (fator de 
amortecimento1, 
fator de amortecimentoaumentando-se Kc e 
diminuindo-se τi), a resposta do 
sistema sob controle passa a ser mais 
rápida, porém com maior overshoot e 
mais oscilações ⇒ cuidado na sintonia 
do controlador! 
 
 61 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito da ação derivativa: 
dt
tde
Kctu D
)(
)(' τ=
 
Função de Transferência da Ação de 
Controle Integral: sKcsGc Dτ=)( 
Processos de 1a ordem: 
1
)(
)(
)(
+
==
s
Kp
SGp
sm
sy
Pτ e 
1
)(
)(
)(
+
==
s
Kd
SGd
sd
sy
Pτ 
Resposta a problema supervisório: 
)(
)()()()(1
)()()(
)( sy
sGmsGcsGfsGp
sGcsGfsGp
sy SP+
=
 com 
sKcsGc Dτ=)( 
Considerando Gf(s) = Gm(s) = 1 e 
substituindo Gp(s) e Gc(s), tem-se: 
)(
1
1
1
)( sy
sKc
s
Kp
sKc
s
Kp
sy SP
D
p
D
p
τ
τ
τ
τ
+
+
+
=
 
Rearranjando, obtem-se: 
)(
1)(
)( sy
sKpKcp
sKpKc
sy SP
D
D
++
=
ττ
τ
 
Observações: 
A ação derivativa sozinha não muda a 
ordem da resposta do sistema; 
Considerando-se a constante de tempo 
da malha fechada τ = (τp+KpKcτD), 
verifica-se que esta é maior que a 
constante de tempo da malha aberta 
τp ⇒ a resposta da malha fechada é 
mais lenta; 
Aumentando-se o ganho do 
controlador Kc ou a constante de 
tempo derivativa τD , a constante de 
tempo da malha fechada τ aumenta, 
tornando mais lenta a resposta da 
malha fechada. 
Processos de 2a ordem: 
12
)(
12
)(
22
22
++
=
++
=
ss
Kd
sGd
ss
Kp
sGp
pp
pp
ξττ
ξττ
 
Resposta a Problema Supervisório: 
)(
)()()()(1
)()()(
)( sy
sGmsGcsGfsGp
sGcsGfsGp
sy SP+
= 
com sKcsGc Dτ=)( 
)(.
12
1
12
)(
22
22
sy
sKc
ss
Kp
sKc
ss
Kp
sy SP
D
pp
D
pp
τ
ξττ
τ
ξττ
++
+
++
= 
Rearranjando, obtém-se: 
( ) )(
12
)(
22
sy
sKpKcs
sKpKc
sy SP
Dpp
D
+++
=
+ τξττ
τ
 
onde Dp KpKcτξτξ += +2' =fator de 
amortecimento da malha fechada. 
Observações: 
Ação derivativa não altera ordem do 
processo. 
ξ’> ξ ⇒ o controlador com ação 
derivativa diminui a oscilação do 
sistema, pois com o aumento do 
ganho Kc ou da constante de tempo 
derivativa τD, aumenta-se ξ’ e portanto 
o sistema em malha fechada tende a 
se tornar sobreamortecido. 
 
 62 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efeitos da junção das ações P,I e D: 
Junção das ações P e I (Controle PI): 
A ação P apresenta desvio final, 
porém, no controlador PI o desvio é 
eliminado pela ação I; 
A ordem da resposta é aumentada em 
relação à ordem do processo em 
malha aberta (efeito ação I); 
Conforme o ganho do controlador Kc 
aumenta, a resposta em malha 
fechada se torna mais rápida (efeito 
ação P), porém mais oscilatória (efeito 
ação I). Tomar cuidado com a 
sintonia! 
Para um mesmo ganho Kc, se a 
constante de tempo integral τi 
decresce, a resposta se torna mais 
rápida, porém mais oscilatória (efeito 
ação I). 
Junção das ações P, I e D 
(Controlador PID): 
Qualitativamente o controlador PID 
tem as mesmas características 
dinâmicas do PI (listadas acima); 
A presença do termo derivativo traz 
um efeito estabilizador ao sistema. Ex: 
Quando se aumenta o ganho Kc para 
agilizar a resposta, haveria aumento 
de oscilação (efeito ação I), porém 
com a ação D a amplitude das 
oscilações não aumenta. 
 
 63 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 Análise de 
Estabilidade de 
Sistemas em 
Malha Fechada 
 
 
É facilmente observado que a presença 
de controladores e instrumentos muda a 
dinâmica do processo original. Por 
exemplo: um processo de 1a ordem 
pode adquirir comportamento oscilatório 
com controlador PI ou mesmo um 
processo de 2a ordem pode se tornar 
instável com controle PI se não for 
adequadamente sintonizado (Kc e τi). 
Seleção dos parâmetros de sintonia dos 
controladores deve ser realizada com 
base em análise de estabilidade. 
Há várias definições de estabilidade de 
um sistema dinâmico, uma muito 
utilizada é a de estabilidade BIBO 
(Bounded Input Bounded Output), isto 
é, um sistema dinâmico é dito ESTÁVEL 
se uma perturbação finita produz uma 
saída finita, independente do seu estado 
inicial. 
Uma perturbação finita é aquela que 
sempre permanece entre um limite 
superior e um limite inferior (e.g. 
senóide e degrau). 
 
 64 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função de transferência de um 
sistema tem pelo menos 1 pólo com 
parte real positiva, o sistema é 
instável. 
Exemplo - Estabilização de um 
processo instável através de 
controlador P: 
Elaborar diagrama da malha fechada e 
encontrar a função de transferência 
desta malha fechada. Baseado na 
resposta da malha fechada, encontrar 
a faixa de ganho do controlador, Kc, 
para qual o sistema em malha fechada 
se torna estável. 
Dado: Processo em malha aberta: 
)(
1
5
)(
1
10
)( sd
s
sm
s
sy
−
+
−
= 
Solução: 
Análise dos pólos: s-1=0 ou seja 
s=1⇒ pólo do sistema em malha 
aberta é positivo 
⇒ Sistema é instável. 
Comparando-se com função de 
transferência padrão de 1a ordem: 
1
)(
+
=
s
Kp
SGp
Pτ
 
Kp = -10, Kd = -5 → respostas opostas 
às entradas 
τp= -1 → processo instável. 
Resposta em malha fechada: 
)(
1
10
1
1
5
)(
1
10
1
1
10
)( sd
s
Kc
ssy
s
Kc
s
Kc
sy SP
−
+
−+
−
+
−=
 
Multiplicando-se numerador e 
denominador por (s-1), obtém-se a 
função de transferência em malha 
fechada: 
( ) ( ) )(
101
5
)(
101
10
)( sd
Kcs
sy
Kcs
Kc
sy SP −−
+
−−
=
 
Baseado na resposta em malha 
fechada, encontrar a faixa de Kc para 
qual o sistema em malha fechada se 
torna estável: 
Pólo da Função de transferência em 
malha fechada: 
( )
Kcp
Kcs
101
0101
−=
=−−
 
Sistema Estável se pólo 
10
1
 
 
 
 
 65 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Desestabilização de 
processo pela implementação de 
controlador PI: 
Processo de 2a ordem: 
125,0,5,0
22
1
)()(
2
2
===
++
==
pp eKp
ss
sGdsGp
ξττ
 
Achando os pólos: 
jpejp −−=+−= 11 21 
A resposta em malha aberta é 
oscilatória pois tem parte complexa e 
é estável pois a parte real é negativa 
Função de Transferência do 
controlador PI: 
( )
s
sKc
sGc
i
i
τ
τ 1
)(
+
= 
Sensor e elemento final de controle 
não têm dinâmica própria: 
Gm(s) = Gv(s) = 1 
Resposta em malha fechada (baseada 
no diagrama de blocos): 
( )
( )
( )
( )
( )
)(
22
1
1
22
1
 
)(
22
1
1
22
11
)(
2
2
2
2
sd
sss
s
Kc
ss
sy
sss
s
Kc
sss
sKc
sy
i
i
SP
i
i
i
i
++
+
+
+++
++
+
+
++
+
=
τ
τ
τ
τ
τ
τ
 
Rearranjando-se e fazendo problema 
supervisório (degrau no set-point): 
( )
)(
)2(2
1
)(
23
sy
Kc
sKcss
sKc
sy SP
i
i
i
τ
τ
τ
++++
+
= 
Equação característica (raízes do 
denominador): 
0)2(2 23 =++++
i
Kc
sKcss
τ
 
sendo valores aleatórios (sem sintonia 
adequada) para os parâmetros do 
controlador: Kc=100 e iτ =0,1 
E analisando os pólos: 
p1 =-7,185 
p2 =2,59+11,5j; 
p3 =2,59-11,5j 
p2 e p3 tem parte real positiva ⇒ 
sistema passa a ser instável com o 
controlador PI mal sintonizado ⇒ p2 e 
p3 tem parte complexa ⇒ oscila. 
Resposta da malha fechada frente a 
perturbação no set-point: 
 
Conclusão: Tem que haver critérios 
para a sintonia correta do controlador. 
Este não pode ser projetado na base 
do “chute”! 
7.1 – Análise de Estabilidade 
Através do Método da 
Substituição Direta 
 
 
 66 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoios = jω 
Método da substituição direta: eixo 
imaginário divide o plano complexo em 
regiões Estável e Instável. Sobre o 
eixo imaginário tem-se a parte real=0 
e portanto s = jω. 
Substituindo-se s = jω na equação 
característica e resolvendo, encontra-
se o valor crítico de ganho do 
controlador (Kccrit) para o qual o 
sistema se encontra no limite de 
estabilidade. Isto ocorre pois conforme 
o valor do ganho é alterado pelo 
projetista, os pólos da malha fechada 
se movem ao longo do plano 
complexo. 
Lembrete: ( )
( ) 33
22
1
ωω
ωω
jj
j
j
−=
−=
−=
 
Exemplo - Usando o método da 
substituição direta, determine o ganho 
crítico do sistema em malha fechada 
com a seguinte equação característica 
(polinômio do denominador igualado a 
zero): 
10s3+17s2+8s+1+Kc=0 
Solução: 
Substituindo-se s= jω na equação 
característica, tem-se: 
-10 jω3 - 17ω2 + 8jω + 1 + Kccrit = 0 
⇒ (1+ Kccrit - 17ω2) + j(8ω - 10ω3) = 0 
 parte real parte imaginária 
A equação acima é satisfeita se: parte 
real = 0 e parte imag.=0 
1+ Kccrit - 17ω2 = 0 e 8ω - 10ω3 = 0 
ω(8-10ω2) = 0 ⇒ ω = ± 8,0 
substituindo-se na parte real = 0, 
obtém-se: 1+ Kccrit – 17.0,8 = 0 ⇒ 
Kccrit = 12,6 
Portanto, Kc (ganho do controlador) 
tem que ser menor que 12,6 para que 
o sistema em malha fechada seja 
estável! 
7.2 – Critério de Estabilidade 
de Routh 
A estabilidade do processo pode ser 
testada sem que seja necessário 
resolver a equação característica para 
obtenção dos pólos. 
O método de Routh indicará a 
existente de pólos positivos, e é 
aplicável tanto a malhas fechadas 
quanto abertas, bastando, apenas, 
utilizar a equação característica 
apropriada. 
Para um processo de ordem N, tem-se 
a seguinte equação característica: 
nn
nn asasasa ++++ −
−
1
1
10 ...
 
onde N é positivo. Uma condição 
necessária (mas não suficiente) para 
estabilidade do processo é que todos 
os coeficientes na equação 
característica sejam positivos e não 
nulos. 
Caso esta condição seja obedecida, 
constrói-se a MATRIZ DE ROUTH: 
Considere a função característica: 
01
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6 aaaasasa assss ++++++
 
 
 67 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se todos os elementos da primeira coluna forem positivos o sistema é declarado 
estável. 
O número de mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna indica a 
quantidade de raízes positivas da equação característica. 
Acima temos um pequeno procedimento de escolha do método de análise de 
estabilidade sugerido por Seborg. 
 
 68 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 – Análise de Estabilidade 
através do Método do Lugar 
das Raízes (Root Locus) 
Os exemplos anteriores mostram a 
dependência direta de estabilidade do 
processo, em malha fechada, com o 
valor do ganho do controlador (Kc). 
Isto ocorre porque conforme o 
projetista altera o valor de Kc, ele 
automaticamente altera a localização 
dos pólos no plano complexo. 
 
Na figura acima é apresenta respostas 
da malha fechada frente a perturbação 
em degrau, em conseqüência da 
localização dos pólos no plano 
complexo. 
Pólos localizados à esquerda do eixo 
imaginário ⇒ resposta é estável; 
Pólos localizados à direita do eixo 
imaginário ⇒ (parte real > 0) ⇒ 
resposta é sempre instável; 
Pólos localizados sobre o eixo 
imaginário ⇒ ganho crítico, limite de 
estabilidade; 
Raízes com parte complexa ⇒ 
resposta é oscilatória; 
Raízes com parte complexa e parte 
real >0 ⇒ oscilatória e instável. 
“O lugar das raízes é um método 
gráfico, no qual as raízes da equação 
característica da malha fechada 
(1+Gp(s)Gc(s)Gm(s)Gf(s)=0) são 
graficadas no plano complexo, em 
função da variação de ganho do 
controlador (Kc).” 
 
Exercício:(Ex 15.6 Stephanopoulos) 
Encontre qualitativamente o gráfico do 
lugar das raízes de um processo de 2a 
ordem (ex: 2 tanques em série) com 
controle P: 
( )( )
1)()(
)(
11
)(
21
==
=
++
=
sGcsGm
KcsGc
ss
Kp
sGp
pp ττ
 
Solução: 
Eq. Característica: 
1+Gp(s)Gc(s)Gm(s)Gf(s)=0 
( )( ) 0
11
.
1
21
=
++
+
ss
KcKp
pp ττ
( )( ) 011 21 =+++ KpKcss pp ττ 
Análise: 
Quando Kc=0, a Eq. Característica. 
tem como raízes os pólos do processo 
em malha aberta: p1=-1/τp1 e 
p2=-1/τp2 
Quando Kc aumenta a partir do zero, 
as raízes da eq. caract. são dadas por: 
( ) ( )
21
21
2
2121
2,1 2
)1(4
pp
pppppp KpKc
p
ττ
ττττττ +−+±+−
=
 
 69 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que serão reais e negativos se 
( ) 0)1(4 21
2
21 〉+−+ KpKcpppp ττττ 
ou seja 
( )








−
+
〈 1
4
1
21
2
21
pp
pp
Kp
Kc
ττ
ττ
 
Quando 
( )








−
+
= 1
4
1
21
2
21
pp
pp
Kp
Kc
ττ
ττ
, tem-se 
duas raízes iguais: 
( )
21
21
2,1 2 pp
ppp
ττ
ττ +
−= 
Quando 
( )








−
+
〉 1
4
1
21
2
21
pp
pp
Kp
Kc
ττ
ττ
, as duas 
raízes serão distintas e complexas 
conjugadas: 
( ) ( )
21
21
2
2121
2,1 2
)1(4
pp
pppppp KpKcj
p
ττ
ττττττ +++−±+−
=
Verifica-se que a parte real é sempre 
negativa, porém a parte complexa 
depende do valor do ganho do 
controlador (Kc) e esta tende a infinito 
quanto 
Construir o gráfico do Lugar das Raízes 
baseado nesta análise: 
Raízes com parte complexa ⇒ 
resposta é oscilatória; 
 
Kc→ ∞. 
re 
im 
p2=-1/τp2 p1= -1/τp1 
Kc→ ∞. 
 
Exercício: 15.7 Stephanopoulos 
Construa o gráfico do Lugar das Raízes 
do reator, que possui Gp(s) como 
função de transferência, com controle 
proporcional. 
( )
( )( ) ( )35,485,245,1
25,298,2
)(
)(
)(
2 +++
+==
sss
s
sm
sy
sGp 
Solução: 
Equação característica da malha 
fechada: 1 + Gp(s)Gf(s)Gc(s)Gm(s)=0 
( )
( )( ) ( ) 0
35,485,245,1
25,298,2
1 2 =
+++
++ Kc
sss
s
 
Kc p1 p2 p3 p4 
0 -1,45 -2,85 -2,85 -4,35 
1 -1,71 -2,30+j0,9 -2,30-j0,9 -4,74 
5 -1,98 -1,71+j1,83 -1,71-j1,83 -5,87 
20 -2,15 -1,09+j3,12 -1,09-j3,12 -7,20 
50 -2,20 -0,48+j4,35 -0,48-j4,35 -8,61 
100 -2,24 +0,35+j5,40 +0,35-j5,40 -9,75 
 
Graficamente: 
 
re 
im 
 
 
 70 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 Métodos de 
Sintonia de 
Controladores 
PID 
 
 
8.1 – Projeto de Sistemas de 
Controle 
Projetar um sistema de controle 
significa encontrar um que realize uma 
dada tarefa. Se a característica da 
resposta dinâmica e/ou da resposta 
estacionária não é satisfatória deve-se 
adicionar um controlador ao sistema. 
Geralmente, o projeto de um sistema de 
controle não é direto e imediato, mas 
requer métodos de tentativas e erros. 
De uma maneira geral, a função de um 
sistema de controle realimentado é a de 
garantir que a resposta em malha 
fechada apresente um comportamento 
conforme o desejado, tanto em estado 
estacionário quanto em regime 
transiente. 
Algumas características comumente 
procuradas são: 
O sistema deve apresentar um 
comportamento estável em malha 
fechada. Tal característica pode ser 
avaliada através de procedimentos, 
 
 
 71 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
como o critério de Routh ou o método 
do Lugar das Raízes; 
O sistema deve ter apresentar 
alterações mínimas quando submetido 
a perturbações na carga, ou seja, deve 
apresentar um desvio mínimo ou nulo 
com relação ao valor desejado (set-
point); 
A resposta a alterações de set-point 
devem ser rápidas e suaves, 
garantindo uma estabilização rápida e 
sem muitas oscilações; 
O offset, quando desejado, deve ser 
eliminado. Esta característica é obtida 
através da introdução do termo 
integral no controlador; 
Deve-se evitar umaação de controle 
excessiva, ou seja, deve-se obter uma 
resposta com pouco ou nenhum sobre-
sinal (overshoot); 
Em outras palavras, procura-se um 
sistema de controle que seja robusto, 
isto é, que seja insensível a alterações 
nas condições de processo e a erros 
no modelo admitido para o processo. 
Tipicamente, é impossível atingir todos 
os critérios ao mesmo tempo, pois 
algumas especificações de controle são 
conflitantes. Por exemplo, um 
controlador PID que é utilizado para 
minimizar os efeitos de perturbações 
tendem a ter grandes overshoots para 
variações de set-point. Ainda, para se 
ter um sistema de controle robusto, é 
necessário um conjunto de parâmetros 
mais conservativo (menor valor de 
ganho proporcional, para evitar 
oscilações excessivas), mas em 
contrapartida pode-se piorar a 
performance do controlador em 
termos de tempo de resposta. 
 
Todo e qualquer sistema de controle 
em malha fechada necessita de 
sintonia, sendo este sistema de 
controle servo ou regulador. Ao 
processo de ajuste das características 
do controlador ou sistema para atingir 
a resposta desejada dá-se o nome de 
sintonia. 
Tendo-se o modelo matemático do 
sistema físico completo (incluindo-se 
sensores e atuadores) projeta-se um 
sistema de controle em malha 
fechada, tal que as especificações de 
projeto, previamente definidas, sejam 
alcançadas. O método de projeto 
consiste em se fazer simulações 
computacionais com o modelo 
matemático para testar o 
comportamento do sistema resultante 
em relação a vários sinais de teste e 
distúrbios. Geralmente, a primeira 
configuração obtida para o sistema de 
controle não é satisfatória e o sistema 
deve ser reprojetado e novamente 
analisado. 
Este processo de projeto e analise 
deve ser repetido até que obtenha um 
sistema de controle satisfatório. 
Obtido o sistema satisfatório, pode-se 
construir o protótipo do sistema físico 
com o controlador incorporado. Este 
processo de construção do protótipo é 
o inverso da modelagem matemática. 
O protótipo é um sistema físico que 
representa o modelo matemático com 
razoável precisão. 
Tendo-se o protótipo do sistema físico, 
deve-se realizar testes experimentais 
para verificar se é adequado. Caso não 
seja, o protótipo deve ser modificado e 
novamente testado. Este processo 
deve ser repetido até que se obtenha 
sucesso. 
 
 72 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.2 – Métodos de Sintonia de 
Controladores PID 
Existem diversos métodos para projeto 
de controladores PID. Geralmente, os 
métodos baseiam-se em processos de 
otimização, através de simulação, 
minimizando parâmetros de 
desempenho previamente definidos 
(como discutido em tópico anterior). 
Entre os métodos propostos, podem 
ser citados: 
Relações de sintonia: são métodos 
desenvolvidos empiricamente, e 
encontram larga aplicação, devido à 
grande facilidade e rapidez de 
sintonia; 
Técnicas baseadas em resposta 
freqüencial: estes métodos, em geral, 
utilizam-se de recursos como o 
Diagrama de Bode ou Diagrama de 
Nyquist para obtenção da sintonia do 
controlador; 
Simulação computacional: uma vez 
conhecido o modelo matemático, quer 
seja através de modelamento físico-
matemático ou através da 
identificação do sistema, é possível, 
através do uso de softwares, simular e 
observar o comportamento do sistema 
de controle em diversas condições. 
Este procedimento vem sendo 
bastante adotado para se obter um 
conjunto de parâmetros inicial para a 
sintonia do controlador. 
Sintonia em campo. 
Destes métodos, os três primeiros 
necessitam de algum modelo 
matemático (identificado ou 
determinado). Através destes 
métodos, é possível encontrar 
parâmetros convenientes para o 
 
controlador, antes da implementação 
em campo. Vale lembrar que muitas 
vezes estes valores obtidos são tidos 
como primeira estimativa, devendo-se 
considerar tentativa e erro 
posteriormente para refinar a resposta 
do processo (ajuste fino). 
Entretanto, esta restrição não invalida 
os procedimentos, uma vez que é 
melhor ter uma boa estimativa inicial 
do que nenhuma. Desta forma, reduz-
se razoavelmente o tempo necessário 
para a obtenção da sintonia da malha. 
Regra geral para projeto de PID 
De uma forma geral, para a sintonia 
em campo, ou ajuste fino dos 
controladores (projeto de 
controladores do tipo PID), visando-se 
obter a característica de resposta 
desejada, deve-se observar as 
seguintes regras: 
• Obter a resposta do sistema em 
malha aberta e definir o quê deve 
ser melhorado; 
• Adicionar um controlador 
proporcional para melhorar o tempo 
de subida rt (quanto maior o ganho 
proporcional, menor o tempo de 
subida, e maior a velocidade da 
resposta); 
• Adicionar um controlador derivativo 
para melhorar o sobre-sinal 
máximo; 
• Adicionar um controlador integral 
para eliminar o erro em regime; 
• Ajustar cada um das ações de 
controle Kc, τI e τD até que se 
obtenha a resposta geral desejada. 
Deve-se ter em mente que pode não 
 
 
 73 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ser necessário implementar todas as 
três ações de controles (proporcional, 
integral e derivativa) para se obter a 
resposta desejada do sistema. 
Existem, como mencionado 
anteriormente, diversos métodos 
baseados em diferentes condições e 
considerações. Dentre os métodos, 
serão apresentados aqui os métodos 
mais difundidos para sintonia através 
das relações de sintonia. 
8.3 – Relações de Sintonia 
Existem diversas relações de sintonia 
propostas na literatura. Em geral, 
utilizam um modelo de primeira ordem 
com tempo morto na identificação do 
processo, e são procedimentos simples 
e muitas vezes eficazes para a sintonia 
dos controladores. 
Os métodos mais comumente 
aplicados são: 
• Métodos baseados na curva de 
reação do processo; 
• Métodos baseados em critérios de 
integração do erro; 
• Método “Ultimate Gain” ou 
“Continuous Cycling” (Ziegler-
Nichols); 
• Método de Aström e Hägglund, ou 
método de autosintonia ou 
autotuning 
Métodos baseados na curva de 
reação de processo 
Estes métodos baseiam-se em um 
único experimento, com o sistema em 
modo manual, para a sintonia do 
controlador. São aplicáveis a 
processos estáveis e que não se 
 
tornam instáveis (não oscilatórios) em 
malha aberta. 
O objetivo do método é o de obter 
experimentalmente a resposta da 
planta a uma entrada do tipo degrau, 
para posterior identificação do modelo 
de primeira ordem com tempo morto: 
st
p
p de
s
K
sG −
+
=
1
)(
τ
 (FOPDT) 
 
Assim, aplica-se uma pequena 
perturbação degrau na saída do 
controlador, registrando-se a resposta 
y(t), conforme apresentado na figura 
abaixo. 
 
Vale ressaltar que se a resposta não 
exibe uma curva do tipo “S”, este 
método não se aplica. A curva tipo “S” 
pode ser caracterizada por três 
constantes: ganho, tempo de atraso 
(tempo morto) td e constante de 
tempo τ, de acordo com o modelo de 
primeira ordem com tempo morto. 
Desta maneira, os métodos propostos 
utilizam os métodos de identificação, 
utilizando modelos de primeira ordem 
com tempo morto, para a sintonia de 
controladores. 
Dentre os métodos baseados na curva 
de reação de processo, merecem 
destaque: 
 
 
 74 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Ziegler-Nichols: 
Este método utiliza o procedimento de 
identificação de sistemas proposto por 
Ziegler-Nichols para a obtenção dos 
parâmetros do modelo de primeira 
ordem com tempo morto: 
 
 
A partir do traçado da reta tangente 
ao ponto de inflexão, obtém-se o 
tempo morto e a constante de tempo, 
conforme apresentado na figura 
acima. O ganho é dado pela relação: 
Kp = (valor finalatingido pela 
resposta) / (amplitude do degrau 
aplicado) 
A partir da identificação do modelo de 
primeira ordem com tempo morto, 
Ziegler e Nichols sugeriram um 
conjunto de equações para 
determinação dos parâmetros Kc, τI e 
τD de acordo com a tabela 8.1. 
As relações são válidas para a função 
de transferência do controlador 






++= s
s
KsG D
I
Cc .
.
1
1.)( τ
τ 
As equações são válidas para: 
0,1longo do tempo, apresenta 
menor valor de overshoot e 
estabilização mais rápida. Já o critério 
IAE seria um critério de parâmetros 
intermediários, e conseqüentemente 
resposta também intermediária aos 
dois outros critérios. 
• Tipo de entrada (perturbação na 
carga ou no set-point) 
 
 78 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dependendo da função principal do 
controlador, o conjunto de parâmetros 
obtido pode ser diferente. 
Desta maneira, deve-se inicialmente 
definir a função do controlador, se é 
controle regulatório, sendo ajustado 
para, independentemente das 
perturbações na carga, manter uma 
condição fixa, ou se é controle servo, 
que deve ser ajustado para ter uma 
resposta satisfatória para alterações 
de set-point. 
A maioria das relações de sintonia 
apresentadas na literatura baseia-se 
na consideração de que o processo 
ajusta-se bem a um modelo de 
primeira ordem com tempo morto. 
Dependendo da função do controlador, 
diferentes relações são propostas. As 
relações para controle regulador e 
servo são apresentadas abaixo. 
 
Controlador para controle 
regulador (perturbações na carga) 
Controlador Proporcional (P) 
b
d
c
t
K
a
K 




=
τ
. 
 ISE IAE ITAE 
a 1,411 0,902 0,49 
b -0,917 -0,985 -1,084 
 
Controlador Proporcional-Integral (PI) 
1
.1
b
d
c
t
K
a
K 




=
τ
 
2
.
2
b
d
I
t
a





=
τ
ττ 
 
 ISE IAE ITAE 
a1 1,305 0,984 0,859 
b1 -0,959 -0,986 -0,977 
a2 0,492 0,608 0,674 
b2 0,739 0,707 0,68 
 
Controlador Proporcional-Integral-
Derivativo (PID) 
1
.1
b
d
c
t
K
a
K 




=
τ
 
2
.
2
b
d
I
t
a





=
τ
ττ
3
..3
b
d
D
t
a 




=
τ
ττ 
 
 ISE IAE ITAE 
a1 1,495 1,435 1,357 
b1 -0,945 -0,921 -0,947 
a2 1,101 0,878 0,842 
b2 0,771 0,749 0,738 
a3 0,56 0,482 0,381 
b3 1,006 1,137 0,995 
 
Controlador para controle servo 
(perturbações no set-point) 
Para a obtenção das relações de 
sintonia para perturbações no set-
point, foram feitas as seguintes 
considerações: o critério ISE não é 
adequado, uma vez que, para 
alterações no set-point, é indesejável 
que a resposta seja oscilatória demais 
(como por exemplo, na mudança de 
posição de um braço manipulador); 
O controlador proporcional, uma vez 
que apresenta offset, não é adequado 
para utilizar critérios de minimização 
de erros neste tipo de controle. 
 
 79 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as relações de sintonia 
propostas encontram-se abaixo. 
Controlador Proporcional-Integral (PI) 
1
.1
b
d
c
t
K
a
K 




=
τ
 





+
=
τ
ττ
d
I tba .22
 
 IAE ITAE 
a1 0,758 0,586 
b1 -0,861 -0,916 
a2 1,02 1,03 
b2 -0,323 -0,165 
 
Controlador PID 
1
.1
b
d
c
t
K
a
K 




=
τ
 





+
=
τ
ττ
d
I tba .22
 
3
..3
b
d
D
t
a 




=
τ
ττ 
 IAE ITAE 
a1 1,086 0,965 
b1 -0,869 -0,855 
a2 0,74 0,796 
b2 -0,13 -0,147 
a3 0,348 0,308 
b3 0,914 0,9292 
 
Algumas observações devem ser feitas 
quanto à utilização dos métodos 
baseados em critérios de integração 
do erro: 
1) As relações são válidas para a 
função de transferência do controlador 




++= sKcsG Dc .
1
1.)( τ
τ
 
2) As equações são válidas para 
0,1para executar as 
funções de medição e controle. 
Dentro dos objetivos específicos do 
controle de processos, destacam-se: 
• Aumento da produtividade 
• Aumento da qualidade dos produtos 
• Redução do consumo de energia 
• Redução de rejeitos (poluição) 
• Redução de produtos fora da 
especificação 
• Aumento da Segurança Operacional 
• Aumento do tempo de vida útil dos 
equipamentos 
• Aumento da Operabilidade da Planta 
Todos os motivos são vinculados à: 
qualidade, economia e segurança. 
O engenheiro de sistemas de 
controle 
Engenharia de sistemas de controle é 
um campo excitante onde o 
engenheiro se defronta com questões 
interdisciplinares e pode exercitar os 
seus talentos. O engenheiro de 
controle vai estar no topo de grandes 
projetos, engajado na fase conceitual 
de determinação ou implementação do 
desempenho total do sistema, funções 
de subsistemas, e a interconexão 
dessas funções, incluindo 
interfaceamentos, projetos de 
hardware e de software bem como 
testes das plantas e procedimentos. 
Muitos engenheiros estão engajados 
em uma área específica, como por 
exemplo, projeto de circuitos ou 
desenvolvimento de software. 
Entretanto, o engenheiro de sistemas 
de controle vai interagir com pessoas 
de inúmeras especialidades de 
engenharia e ciências relacionando-se 
em todos os níveis, desde a concepção 
do projeto até a instalação, testes e 
operação. O engenheiro de controle 
pode estar trabalhando com sensores 
e motores, mas também com sistemas 
 
 5 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eletrônicos, pneumáticos e hidráulicos. 
O veículo espacial é outro exemplo da 
diversidade requerida do engenheiro 
de sistemas. Os conceitos de mecânica 
orbital, propulsão, aerodinâmica, 
engenharia elétrica e engenharia 
mecânica estão todos envolvidos e 
entrelaçados. De forma que o 
engenheiro atuando na área de 
sistemas de controle vai ter a 
oportunidade de expandir o seu 
horizonte de conhecimentos e 
experiências bem além do currículo 
universitário. 
Terminologia utilizada em 
sistemas de controle 
Para facilitar o entendimento de 
alguns termos que a partir de agora 
serão utilizados, apresenta-se a 
seguir, de forma sucinta, suas 
definições: 
Variável do Processo (PV) 
Qualquer quantidade, propriedade ou 
condição física medida a fim de que se 
possa efetuar a indicação e/ou 
controle do processo (também 
chamada de variável controlada). 
Variável Manipulada (MV) 
É a grandeza que é operada com a 
finalidade de manter a variável 
controlada no valor desejado (também 
chamada de variável de controle). 
Set Point (SP) ou Referência 
É um valor desejado estabelecido 
previamente como referência de 
controle no qual o valor controlado 
deve permanecer. 
Distúrbio (Ruído) 
É um sinal que tende a afetar 
adversamente o valor da variável 
controlada (também chamado de 
Perturbação). O distúrbio pode ser: 
Distúrbio de set-point – utilizado para 
mudanças as condições de operação. 
O sinal de set-point é alterado e a 
variável manipulada é ajustada 
apropriadamente para alcançar a nova 
condição de operação. Tipo de 
perturbação freqüente no controle de 
servomecanismo (controle "servo"). 
Distúrbio na Carga – alterações 
inerentes ao comportamento dinâmico 
do processo. Perturbação freqüente no 
controle regulatório. O sistema de 
controle deve ser capaz de retornar o 
valor da variável controlado ao seu 
valor de referência. 
Desvio 
Representa o valor resultante da 
diferença entre o valor desejado e o 
valor da variável controlada (também 
chamado de Erro). 
Ganho 
Representa o valor resultante do 
quociente entre a taxa de mudança na 
saída e a taxa de mudança na entrada 
que a causou. 
1.1.4 - Tipos de Controle 
 
Controle manual 
A figura simplificada a seguir 
representa um tipo de controle 
intuitivo realizado diariamente na 
grande maioria de nossas casas 
(Controle de temperatura do 
chuveiro). Todo ser humano possui 
uma temperatura ideal da água 
 
 
 6 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
utilizada no banho (set point). Para se 
atingir e manter a temperatura 
(variável controlada) no valor 
desejado manipula-se a vazão de 
água. Este tipo de controle é, sem 
dúvida simples, e só é utilizado em 
operações rotineiras. Na indústria, de 
um modo geral, os controles são 
automáticos e o operador é substituído 
por um controlador que toma as 
decisões. 
Figura 1.3 – Controle Manual 
Controle automático 
O controle automático é caracterizado 
pela presença de três elementos: 
Sensor: dispositivo que transforma 
parte da energia contida num 
determinado ponto do processo num 
sinal representativo (geralmente 
proporcional) da variável que se mede 
(ou de outra relacionada com ela). 
Controlador: dispositivo que 
determina o sinal de controle a ser 
aplicado ao processo em função do 
sinal atuante (erro). 
Atuador: elemento final de controle 
transforma o sinal de controle (baixa 
potência) na variável manipulada 
(potência elevada) que age 
diretamente sobre o processo. 
Controle Auto-operado 
O controle auto-operado utiliza a 
energia necessária para movimentar a 
parte operacional diretamente do 
sistema controlado, através de uma 
região de detecção. Deste modo, este 
controle obtém toda a energia 
necessária ao seu funcionamento do 
próprio meio controlado. Este controle 
é largamente utilizado em aplicações 
de controle de pressão e menos 
comumente no controle de 
temperatura, nível, etc. 
Controle em Malha Aberta 
O controle em malha aberta consiste 
em aplicar um sinal de controle pré-
determinado ao sistema com o 
objetivo de se provocar na saída um 
determinado valor ou comportamento 
esperado. 
Como exemplo, podemos considerar 
um operador experiente manipulando 
uma resistência de aquecimento de 
um tanque. O tempo de 
funcionamento da resistência para que 
a temperatura da água do tanque 
alcance o valor estipulado, é 
determinado intuitivamente pelo 
operador. Apenas com muita sorte, a 
temperatura da água ao final do 
tempo pré-determinado será 
exatamente a desejada. Em geral, a 
temperatura da água ficará acima ou 
abaixo do valor desejado. Além das 
possíveis variações devido às 
oscilações na temperatura ambiente, 
na corrente elétrica, etc. 
A característica que distingue os 
sistemas de malha aberta é a sua 
inabilidade de compensar qualquer 
distúrbio que eventualmente se some 
ao sinal de acionamento do 
 
 
 7 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESVANTAGENS VANTAGENS 
• Imprecisão 
• Nenhuma adaptação 
• Variações externas 
• Dependência humana 
• Simples 
• Baratos 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESVANTAGENS VANTAGENS 
 Maior complexidade 
 Mais caro 
 Maior instrumentação 
 Maior conhecimento do 
processo 
 Maior a precisão do 
sistema 
 Menor efeito de 
 perturbações externas 
 Maior estabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
controlador ou à saída do processo. 
Sistemas em malha aberta são, 
portanto, simples, incapazes de 
promover compensação e são 
acionados somente pelo sinal de 
referência. Uma torradeira é um 
exemplo de sistema de controle em 
malha aberta, onde a variável de saída 
é a cor da torrada. O dispositivo é 
projetado pressupondo que a torrada 
será tão mais escura quanto mais 
tempo permaneça sob ação do calor. 
Mas a torradeira não mede a cor da 
torrada, e nem considera a espessura 
da fatia de pão. 
Controle em Malha Fechada 
Na figura 1.4 é apresentada a 
configuração básica de uma malha 
fechada. 
Figura 1.4 – Controle em malha fechada 
No controle em malha fechada, 
informações sobre o sinal de saída são 
utilizadas na determinação do sinal de 
controle, realizado a partir de uma 
realimentação da saída para a 
entrada. 
Para que ocorrapropuseram que, a 
partir dos valores da amplitude 
medida da oscilação do processo (a) e 
da amplitude da entrada do atuador, 
ou saída do controlador (d), ajustado 
pelo operador, é possível determinar o 
ganho crítico do processo modificado: 
a
d
Kcr .
.4
π
= 
Assim, a partir do ganho crítico e do 
período crítico, obtidos da maneira 
apresentada acima, é possível 
sintonizar o controlador PID, utilizando 
as mesmas relações de sintonia 
propostas no método “continuous 
cycling”. 
Como vantagens, o método apresenta: 
Um único experimento é necessário 
para a sintonia da malha, acelerando a 
obtenção dos parâmetros; 
Não é necessário atingir a situação 
extrema de se chegar ao limite de 
estabilidade. Característica importante 
para a segurança do processo. 
 
 
 82 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 – Controlador em Cascata 
Uma das técnicas para melhorar a 
estabilidade de um circuito complexo é 
o emprego do controle tipo cascata. 
Sua utilização é muito conveniente 
quando a variável controlada não pode 
manter-se no valor desejado, pôr 
melhores que sejam os ajustes do 
controlador, devido`as perturbações 
que se produzem em virtude das 
condições do processo. 
Como exemplo, considera-se o 
controle de temperatura de um forno à 
gás que é utilizado para aquecer uma 
corrente fria proveniente de um 
processo. A vazão de gás combustível 
é a variável manipulada e é sujeita à 
perturbações (oscilações) devido a 
variações de pressão. 
Em um sistema SISO mede-se a 
temperatura de saída e o controlador 
de temperatura (TC) envia um sinal 
para regular a válvula de controle. Se 
existir flutuações na pressão do gás 
combustível, a estratégia SISO não 
consegue detectá-las até que ocorra 
uma variação na variável controlada 
desviando-a do seu set-point (Tsp ). 
Um controlador em cascata pode ser 
projetado neste caso para compensar 
mais efetivamente as perturbações 
observadas na variável de controle 
(Figura 9.1). 
9 
 
 
 
 Controladores 
Avançados 
Multi-Malhas 
 
 
 
 83 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta estratégia a malha secundária 
(também chamada de malha escrava 
“slave”) é usada para ajustar a válvula 
de controle e assim manipular a vazão 
de gás combustível. O TC Controlador 
de Temperatura (malha primária ou 
mestre, “master”) envia um sinal, em 
termos de vazão de gás combustível 
desejada, para a malha secundária. 
Este sinal torna-se o set-point de 
vazão da malha secundária (FC). 
 
 
Na malha secundária, o controlador de 
vazão compara a vazão de gás 
combustível desejada com a vazão 
medida pelo transdutor de vazão (FT) 
e ajusta a abertura da válvula de 
controle adequadamente. 
A malha de controle interna (“slave”) 
pode responder imediatamente a 
flutuações na pressão de gás 
combustível assegurando que a 
quantidade apropriada de combustível 
seja utilizada. 
Para ser eficiente, a malha secundária 
deve ser rápida (apresentar pequeno 
tempo de resposta). Geralmente, usa-
se um ganho proporcional para a 
malha interna tão grande quanto 
 
possível. 
Na Figura 9.2 é apresentado o 
diagrama de blocos de uma malha de 
controle cascata. 
 
 
A implementação de uma estratégia 
de controle cascata requer dois 
controladores e dois sensores (no 
exemplo, vazão de gás combustível e 
temperatura). A temperatura é a 
variável controlada e a vazão de gás 
combustível é a variável de controle. 
O controle cascata pode melhorar o 
desempenho quando comparado a 
controle feedback convencional 
quando a perturbação afeta uma 
variável secundária que, por sua vez, 
afeta diretamente a saída primária que 
se deseja controlar no processo; ou se 
o ganho do processo secundário, 
incluindo o atuador, é não-linear. 
No primeiro caso, o controle cascata 
pode limitar o efeito sobre a variável 
primária da perturbação que entra na 
malha escrava. No segundo caso, a 
malha escrava pode limitar o efeito da 
variação de ganhos do processo 
secundário sobre a variável primária. 
Os modos de controle utilizados 
na estratégia em cascata são os 
mesmos de um feedback 
convencional. A princípio, a malha 
secundária não requer a ação integral, 
 
Figura 9.1 – Representação esquemática de 
um Controlador em Cascata. 
Figura 9.2 – Representação em Diagrama 
de Blocos de um controlador em Cascata. 
 
 84 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
apesar de ser desejável. 
Observando o diagrama de blocos 
apresentado na figura 9.2 pode-se 
deduzir a resposta dinâmica da malha 
de controle cascata: 
Resposta de um Controlador em Malha 
Feedback Convencional 
 = 0 (pólos do 
sistema feedback normal) 
 
Diagrama Cascata 
(pólos do sistema em cascata) 
Fazendo d1(s)=d2(s)=0 
 
 
 
Fazendo ySP1(s)=d1(s)=0 
 
 
 
 
 
Fazendo ySP1(s)=d2(s)=0 
 
 
 
Assim a resposta final em malha 
fechada é dada por: 
1
12121222
2221
2
12121222
22221
12121222
2121
1
)1(
 
1
)1(
 
1
d
GGGGGGGGGG
GGGGGd
d
GGGGGGGGGG
GGGGGdG
y
GGGGGGGGGG
GGGGG
y
mPPVCCmPVC
mPVC
mPPVCCmPVC
mPVCP
SP
mPPVCCmPVC
PPVCC
++
+
+
+
++
+
+
+
++
=
 
Alguns exemplos de controladores 
cascata aplicados em processos 
químicos são apresentados a seguir: 
 
 85 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLUNA DE DESTILAÇÃO 
 
 
 
 
 
Na coluna de destilação, os 
controladores de temperatura mantêm 
a vazão de vapor desejada para o 
refervedor e a vazão de refluxo 
desejada para o topo da coluna, 
independente de flutuações na pressão 
de suprimento. 
TROCADOR DE CALOR 
 
 
9.2 – Sintonia de Controlador 
em Cascata 
Considere uma metodologia de 
sintonia do sistema controlado em 
cascata mostrado na Figura 9.2. 
Aconselha-se sintonizar as malhas em 
separado seguindo as recomendações 
abaixo: 
1. Manter os controladores no manual. 
2. Sintonizar inicialmente a malha 
secundária. 
3. Identificar a função de transferência 
da malha secundária através da 
obtenção da sua resposta dinâmica 
frente a modificações na variável 
manipulada. 
4. Utilizar a metodologia de Ziegler 
Nichols para obter os parâmetros de 
sintonia do controlador secundário. 
 
 
 86 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Lembre-se que geralmente as malhas 
internas são mais rápidas, assim a 
ação derivativa não é necessária. 
Desta forma, os controladores PI são 
os mais apropriados para esta 
aplicação. A ação derivativa pode 
tornar a malha secundária 
demasiadamente sensível a ruídos de 
medição levando a malha a um 
comportamento oscilatório ou errado.” 
5. Realizar testes de desempenho e 
sintonia fina na malha secundária 
colocando-a em automático e 
realizando perturbações no set-point 
remoto (saída da malha de controle 
primária). A variável secundária deve 
responder suave e rapidamente a 
estas mudanças. 
6. Sintonizar a malha de controle 
primária. 
7. Manter a malha de controle 
secundária em automático. Realizar 
perturbações no set-point remoto 
(saída do controlador primário) para 
obter a dinâmica. Obter a função de 
transferência entre a saída do 
controlador primário e a variável 
primária. Verifique se a constante de 
tempo e o tempo morto são maiores 
que os valores encontrados para a 
malha de controle secundária. Se não 
forem maiores o controlador cascata 
não é adequado para este caso. 
Proponha outra estrutura e cascata ou 
considere o controlador feedforward. 
8. Utilizar as técnicas de sintoniaestudadas para determinar os 
parâmetros de sintonia do controlador 
primário, normalmente um controlador 
PID é utilizado. 
9. Ponha o controlador primário 
também em automático e teste seu 
 
desempenho para perturbações na 
carga 
9.3 – Estabilidade de 
Controladores Cascata 
Analisaremos aqui como a 
implementação de controladores 
cascata afeta a estabilidade e o 
desempenho de um sistema de 
controle. Assim considere um sistema 
cascata como mostrado na figura 
abaixo com controladores nas malhas 
master e slave. 
 
 
 
 
 
Pede-se para este sistema: 
1) Desenhar o diagrama de blocos de 
uma malha feedback para este 
processo; 
2) Determinar o ganho crítico deste 
sistema e sintonizar o controlador PI; 
3) Desenhar o diagrama de blocos de 
uma malha de controle cascata para 
este processo; 
4) Determinar o ganho crítico (se 
existir) para a malha secundária; 
5) Determinar o ganho crítico para a 
malha primária usando KC2=100. 
Baseado no ganho crítico, sintonizar o 
controlador PI da malha primária; 
 
 87 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Análise das malhas separadas: 
Malha secundária: Equação característica: 
 
Como Kc tem o mesmo sinal que Kp, este termo sempre será negativo 
independente do valor de Kc; 
Controle feedback sem cascata: 
 
 
 
 
 
 
 
 Kc s1 s2 s3 s4 
 0 0 -10 -2 -1 
 1 -1 -10,23 -0,88+1,08i -0,88-1,08i 
 5 -1 -11 -0,49+2,97i -0,49-2,97i 
 10 -1 -11,74 -0,12+4,17i -0,12+4,12i 
Kc 
Limite 
12 -1 -12 0+4,47i 0-4,47i 
 
Controle feedback com cascata: 
 
 
 
 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimando Kc =10 (a estimativa é alta porque a malha secundária não se torna 
instável) 
 
 Kc s1 s2 s3 s4 
 0 0 -110 -2 -1 
 1 -1,1 -0,0099+0,009i -0,009-0,009i -0,01 
 10 -1,1 -0,0092+0,04i -0,0092-0,044i -0,01 
 50 -1,11 -0,006+0,09i -0,006-0,09i -0,01 
 100 -1,11 -0,0018+0,138 -0,0018-0,13i -0,01 
Kc crítico 1000 -1,2 0,05+0,78 0,05-0,4i -0,01 
**Kc crítico é bem maior no esquema cascata 
Conclusão: O controle cascata, desde que bem projetado, agrega estabilidade ao 
processo em malha fechada. 
 
9.4 – Controladores Seletivos 
Frequentemente são encontradas 
situações em que duas ou mais 
variáveis possuem limitações de 
operação por razões de economia, 
eficiência ou segurança. Em outras 
situações, os sistemas de controle 
envolvem uma variável manipulada e 
várias variáveis controladas. Levando-
se em consideração um sistema SISO, 
a ação de controle seletiva é 
empregada de maneira adequada 
nestas situações utilizando seletores 
automáticos. As estratégias de seleção 
são empregadas nos seguintes casos: 
1. Proteção de equipamentos; 
2. Auctioneering (controle leiloeiro); 
3. Instrumentação redundante; 
4. Funções de controle não-lineares. 
Existem vários tipos de controladores 
seletivos. Segue-se a descrição de dois 
tipos mais populares: 
1. Controle Overrride 
(proteção dos equipamentos) 
2. Controle Auctioneering 
(controlador leiloeiro) 
 
Controle Override 
Durante a operação normal de uma 
planta, durante a partida ou parada de 
um processo é possível que situações 
de alto risco operacional ocorram 
podendo submeter os equipamentos a 
danos irreparáveis. Nestes casos é 
necessário mudar a ação normal de 
controle e prevenir que a variável de 
processo ultrapasse limites mínimo e 
máximo estipulados. 
 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nestas situações, utilizam-se as 
chaves seletoras (HSS – High Selector 
Switch e LSS – Low Selector Switch) 
para a seleção de sinal de controle 
entre controladores, como 
representado nos sistemas a seguir, 
definidos como controles override. 
 
a) Sist. de controle de uma caldeira 
Normalmente, a pressão do vapor de 
uma caldeira é controlada através da 
manipulação da vazão de descarga da 
mesma. Ao mesmo tempo, ao nível de 
água na caldeira não deve cair abaixo 
de um limite mínimo necessário para 
manter a serpentina de aquecimento 
imersa. De acordo com o sistema a 
seguir um controlador override, 
usando uma chave seletora de baixa, 
mantém a pressão da caldeira 
controlada em condições normais. 
Caso o nível caia abaixo do valor 
mínimo especificado a válvula da linha 
de descarga passa a ser comandada 
pelo controlador de nível. 
 
 
 
 
Figura 9.2 – Controle Override de uma 
Caldeira. 
b) Sistema de controle de uma 
unidade de compressão 
A descarga do compressor é 
controlada através de um sistema se 
controle de vazão. Para prevenir um 
aumento da pressão de descarga 
acima do valor máximo permitido 
utiliza-se um controlador override. A 
ação de controle é transferida da 
malha de vazão para a malha de 
pressão quando a pressão de descarga 
excede o valor máximo. 
 
 
 
Controle Auctioneering (Leiloeiro) 
Auctioneering é o termo usado para 
descrever a seleção do maior valor 
entre um conjunto de entradas em um 
sistema de controle. Um exemplo 
clássico de aplicação desta estratégia 
é o controle de temperatura de um 
reator catalítico tubular onde se 
processa uma reação altamente 
exotérmica de oxidação do o-xileno 
para produzir anidrido ftálico. Esta 
reação produz um perfil de 
temperatura ao longo do reator onde o 
maior valor de temperatura é 
conhecido como hot spot. O local onde 
ocorre o hot spot depende das 
condições da linha de alimentação do 
 
Figura 9.3 – Controlador Override de um 
Sistema de Compressão. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
reator (temperatura, vazão, 
concentração, etc) e da atividade 
catalítica. Além disso, a temperatura 
hot spot também depende da 
temperatura e da vazão do fluido 
refrigerante utilizado para resfriar o 
reator. 
O principal objetivo de controle deste 
sistema é manter a temperatura de 
hot spot abaixo do limite crítico 
definido. Portanto, é necessária uma 
estratégia que localize o hot spot e 
forneça a ação de controle apropriada. 
Isto é efetuado através da instalação 
de diversos sensores de temperatura 
ao logo do leito catalítico e utilizado 
um controlador Auctioneering para 
selecionar a temperatura mais alta que 
será usada para a malha de controle 
da vazão de refrigerante do reator. 
 
 
 
CONTROLADORES SPLIT-RANGE 
O controle split-range é uma 
montagem particular que utiliza no 
mínimo dois elementos finais de 
controle comandados simultaneamente 
pelo mesmo sinal. No split-range o 
sinal de saída do controlador é dividido 
normalmente entre duas válvulas de 
controle. Tais sistemas não são muito 
comuns em processos químicos, mas 
fornecem uma segurança adicional e 
uma otimização operacional. 
Neste tipo de controle têm-se 
basicamente as condições descritas a 
seguir: 
A primeira, quando se tem uma malha 
de controle com uma variável atuando 
dentro de uma faixa prefixada, a saída 
da variável desta faixa provocando a 
intervenção de uma segunda variável. 
Este tipo de controle pode ser aplicado 
na manutenção da temperatura do 
fluxo de saída de dois trocadores de 
calor ligados em serie (Figura 9.5). O 
processo é utiliza para aquecer um 
produto cuja vazão sofre muita 
variação. Quando houver vazão baixa, 
basta apenas um trocador de calor 
para aquecer o produto, e quando 
houver vazão alta, tem-se a 
necessidade de utilizar os dois 
trocadores de calor. 
 
 
Supondo que, do ponto de vista de 
segurança, as válvula devam fechar 
em caso de falta de ar; tem-se então o 
controlador de ação reversa (ao se 
aumentar a temperatura, diminui-se o 
sinal de saída). Se a vazãodo produto 
é baixa , atuara a válvula de vapor 
TCV-101B porque tem-se o sinal de 
saída do controlador compreendido 
entre 50 e 100% ( 9 - 15 PSI ). A 
medida que aumenta a vazão, o 
controlador de temperatura diminui o 
seu sinal de saída, até que, quando 
Figura 9.4 – Controlador Auctioneering de 
um reator catalítico. Figura 9.5 – Controlador Split-range 
aplicado em um sistema de trocadores de 
calor em série. 
 
 91 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tivermos o sinal menor que 50% (9 
PSI), a válvula TCV-101B permanecera 
totalmente aberta; tem-se, então o 
primeiro trocador trabalhando no 
máximo de seu rendimento, e tem-se 
a válvula TCV-101A começando a abrir 
e iniciando o funcionamento do 
segundo trocador. Quando ocorrer o 
máximo de vazão determinada, 
teremos duas válvulas totalmente 
abertas e os dois trocadores 
trabalhando no máximo de sua 
potência. 
Outra aplicação bastante 
representativa de uso de controlador 
split-range é o controle de pressão de 
um tanque através de uma injeção de 
N2 (Figura 9.6). 
 
 
Caso houvesse a necessidade de 
reduzir a pressão no tanque e o 
simples fechamento total da válvula de 
N2 não fosse suficiente para baixá-la, 
o controlador de pressão atuaria em 
uma válvula de purga para a 
atmosfera, baixando a pressão do 
vaso. 
Se a pressão estiver acima do seu set-
point, o controlador (PIC) reduzirá a 
admissão de N2. Quando PCV-101B 
estiver totalmente fechada, a pressão 
será reduzida pela abertura da válvula 
de purga PCV-101A. Esta ação sobre 
as válvulas é obtida dividindo-se a 
 
faixa do sinal de saída do controlador. 
Por exemplo, o sinal pneumático 
representado atuará em PCV-101B de 
3 a 9 psig, e em PCV-101A de 9 a 15 
psig, como apresentado na Figura 9.7. 
 
 
Figura 9.6 – Controlador Split-range 
aplicado em um vaso de pressão 
Figura 9.7 - Controlador Split-range 
aplicado em um vaso de pressão.uma ação frente às 
perturbações no sistema, o sinal de 
saída é comparado com um sinal de 
referência (set-point) e o desvio (erro) 
entre estes dois sinais é utilizado para 
determinar o sinal de controle que 
deve efetivamente ser aplicado ao 
processo. O controlador utiliza o sinal 
de erro para determinar ou calcular o 
sinal de controle a ser aplicado à 
planta. 
Considerando o mesmo exemplo da 
resistência, supõe-se que a 
temperatura desejada água no tanque 
é medida e o seu valor é comparado 
com uma referência pré-estabelecida. 
Se a temperatura for menor que a 
referência, então se aplica à 
resistência uma potência proporcional 
a esta diferença. Neste sentido, a 
temperatura da água tenderá a 
crescer diminuindo a diferença com 
relação à referência, tendendo a 
estabilizar no valor de referência ou 
em um valor muito próximo desta, 
garantindo ao sistema de controle uma 
boa precisão. 
Variações da temperatura ambiente 
(que fariam variar a temperatura da 
água dentro do tanque) seriam 
compensadas pelo efeito da 
realimentação, garantindo ao sistema 
capacidade de adaptação a 
perturbações externas. 
A realimentação é a característica do 
sistema de malha fechada que permite 
a saída ser comparada com a entrada. 
Geralmente a realimentação é 
produzida num sistema, quando existe 
uma seqüência fechada de relações de 
causa e efeito entre variáveis do 
sistema. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a realimentação se processa 
no sentido de eliminar a defasagem 
entre o valor desejado e o valor do 
processo, esta recebe o nome de 
realimentação negativa. 
1.1.5 - Diagrama de Blocos 
Um sistema de controle pode consistir 
de vários componentes, o que o torna 
bastante difícil de ser analisado. Para 
facilitar o seu entendimento e a fim de 
mostrar as funções desempenhadas 
por seus componentes, a engenharia 
de controle utiliza sempre um 
diagrama denominado “Diagrama de 
Blocos”. 
Diagrama de blocos de um sistema é 
uma representação das funções 
desempenhadas por cada componente 
e do fluxo de sinais. Assim, conforme 
pôde ser visto na figura 4, os 
componentes principais de um sistema 
são representados por blocos e são 
integrados por meio de linhas que 
indicam os sentidos de fluxos de sinais 
entre os blocos. Estes diagramas são, 
então, utilizados para representar as 
relações de dependência entre as 
variáveis que interessam à cadeia de 
controle. 
1.1.6 - Controle Feedback e 
Controle Feedforward 
Um controlador feedback realiza a 
ação de controle a partir da medição 
da variável controlada (ou da 
inferência desta) fazendo uma 
comparação com o valor de “set 
point”. Com base nesta diferença 
(erro) é calculado o valor dos sinais da 
variável manipulada. A variável 
manipulada é normalmente ajustada 
por válvulas de controle. 
Um aspecto relevante do controle em 
feedback é que não se necessita 
conhecer antecipadamente os 
distúrbios que afetam o processo e 
nem se precisa estabelecer as relações 
entre os distúrbios e seus efeitos sobre 
o processo. é que se tomam as 
atitudes de controle. 
O controle em feedback é o mais 
comum e o mais utilizado na prática. 
Enquanto o controle em feedback 
responde ao efeito de uma 
perturbação, o controle em feed 
forward responde diretamente às 
perturbações, proporcionando um 
controle antecipado. 
A partir da medição de distúrbios é 
que se encontra a melhor atitude de 
controle sobre a variável manipulada. 
Em geral esta técnica é mais complexa 
e cara do que a de controle feedback. 
Além disso, requer maior 
conhecimento sobre o processo, sendo 
utilizado para aplicações complexas e 
críticas. 
O controle feedforward apresenta as 
seguintes características: 
• Age antes que o distúrbio chegue ao 
sistema (vantagem) 
• Não introduz instabilidade ao 
sistema em malha fechada 
(vantagem) 
• Requerem identificação das 
possíveis variáveis distúrbios 
(desvantagem) 
• Requer o conhecimento do modelo 
do processo (relação entre distúrbio 
e o desvio) (desvantagem). 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O controle feedback apresenta as 
seguintes características: 
• Não necessita reconhecimento dos 
possíveis distúrbios (vantagem) 
• Não requer modelo do processo 
(vantagem) 
• Pode introduzir instabilidade ao 
sistema (desvantagem) 
• Ação sobre a manipulada só é 
tomada depois que o sistema sai do 
“set point” (desvantagem) 
• Mais usado industrialmente. 
1.1.7 - Análise de Resposta de 
Sistemas de Controle 
Os sistemas de controle são 
dinâmicos, respondendo a um estímulo 
de entrada passando por uma resposta 
transitória até alcançar a resposta de 
regime permanente, que geralmente 
assemelha-se à referência. Os três 
objetivos principais da análise e 
projeto de sistemas de controle são: 
produzir uma resposta transitória 
desejada, reduzir o erro em regime 
permanente e alcançar a estabilidade 
do controle. Questões inerentes ao 
projeto de um sistema de controle, 
tais como custo, sensibilidade de 
desempenho do sistema e variações 
de parâmetros são também 
relevantes. 
Resposta transitória. 
A resposta transitória é muito 
importante no desempenho global do 
sistema de controle. Características 
relacionadas à rapidez e oscilação 
devem ser bem definidas para que 
uma resposta transitória satisfatória 
seja alcaçada. 
Resposta de regime permanente 
A análise e projeto de sistemas de 
controle estão extremamente focados 
na reposta de regime permanente. A 
resposta do sistema deve retratar a 
referência, portanto a precisão da 
resposta de regime permanente é uma 
preocupação. De forma que a 
capacidade de identificar 
quantitativamente o erro em regime 
permanente, bem como de impor 
ações corretivas para a sua redução 
são aspectos importantes. 
 
1.2 – Projeto de um Sistema 
de Controle 
 
Normalmente, em um projeto de 
Sistema de Controle Realimentado, 
uma seqüência de procedimentos é 
realizada: 
1) Obter um sistema físico que 
corresponda aos requerimentos do 
projeto. 
Uma descrição qualitativa das diversas 
funções necessárias para que a planta 
realize os requerimentos do projeto. 
2) Desenhar um diagrama de blocos 
funcional. 
A descrição qualitativa é convertida 
em um diagrama de blocos que 
descreve as partes componentes do 
sistema, explicitando suas funções 
e/ou hardware requerido para o 
desempenho das etapas 
intermediárias. A interconexão dos 
blocos funcionais também é prevista. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Desenhar um esquema do sistema. 
Tendo definido os elementos 
necessários ao sistema, deve-se 
desenhar um esquema explicitando as 
características físicas de cada 
componente e de suas interconexões. 
4) Desenvolver o modelo matemático. 
Obtido pela aplicação das leis que 
governam os sistemas físicos. Três 
formas distintas de representação 
matemática das funções dos diversos 
elementos que compõem o projeto são 
normalmente utilizadas: equações 
diferenciais, funções de transferência e 
variáveis de estado. 
5) Reduzir o diagrama de blocos. 
A descrição da planta em diversos 
subsistemas leva a um diagrama com 
grande número de blocos. O próximo 
passo então é promover a redução do 
diagrama de blocos, onde o sistema 
como um todo passa a ser 
representado por um número reduzido 
de blocos. 
6) Proceder a análise e desenvolver o 
projeto. 
Com o diagrama de blocos reduzido a 
próxima fase é então de análise do 
projeto, onde se verifica se as 
especificações e o desempenho 
requeridos no projeto estão sendo 
atendidos. Nesta fase ajuste dos 
parâmetros do sistema são realizados, 
e se as especificações não são 
atendidas, entãohardware adicional 
deve ser incorporado ao projeto de 
forma a se alcançar o desempenho 
desejado. 
Sinais de teste são utilizados como 
referência, tanto na simulação 
matemática, como na fase de testes 
experimentais. Não é prática a escolha 
de sinais complicados de entrada para 
analisar o desempenho do sistema. 
Sinais de teste são normalmente 
simples tais como impulso, degrau, 
rampa, parábola e senóides. 
Objetivos
de
controle
Modelo
do
Processo
Estratégia
de
Controle
Seleção
de
Equipamentos
Instalação
do
Sistema
Ajuste
das
Configurações
Informação
dos
Processos
Teoria de
Controle de Processos
Princípios
Físicos e Químicos
Experiência de 
processos existentes
Gerenciamento
dos Objetivos
Dados do
Processo
Informação dos
Vendedores
Simulação
Simulação
Base de Informação
Ativ. do Engenheiro
SUCESSO
?
Figura 1.6 – Etapas do Desenvolvimento de um Sistema de Controle 
 
 11 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 – Modelo Matemático de 
um Sistema 
 
O método de experimentação é 
baseado em um princípio científico, 
entretanto apresenta limitações: 
• muito caro; 
• muito perigoso. O treinamento de 
operadores de plantas nucleares 
para reagir a situações perigosas 
em plantas nucleares reais pode ser 
inapropriado; 
• o sistema pode (ainda) não existir. 
Em vista destas limitações pode-se 
utilizar uma ferramenta bastante útil: 
A Modelagem de Sistemas. 
Um modelo de um sistema é uma 
ferramenta utilizada para responder 
questões sobre o sistema sem a 
necessidade da realização de um 
experimento. 
A palavra “modelo” é derivada do 
Latim e significa originalmente mold 
ou padrão. Os modelos tratados neste 
estudo são os modelos matemáticos. 
No caso de modelos matemáticos, as 
relações entre quantidades (distâncias, 
correntes, fluxos e outras) que podem 
ser observadas no sistema são 
descritas como relações matemáticas 
no modelo. Muitas das leis da natureza 
são modelos matemáticos neste 
sentido. 
Assim, o modelo pode ser utilizado 
para calcular ou decidir como o 
sistema terá reagido. Isto pode ser 
realizado analiticamente, por exemplo, 
pela resolução de equações 
matematicamente que descrevem o 
 
sistema e estudando uma resposta. 
Esta é a forma que tipicamente os 
modelos são utilizados, por exemplo, 
em mecânica e eletrônica. 
Com um poder computacional efetivo, 
um experimento numérico pode ser 
realizado no modelo. Isto é 
denominado de simulação. A 
simulação é então uma forma barata 
de experimentar o sistema. 
Entretanto, o valor dos resultados de 
simulação depende completamente na 
qualidade do modelo do sistema. 
Existem dois tipos básicos e diferentes 
para construção de modelos: 
(i) Modelagem física 
Baseia-se em dividir as propriedades 
do sistema em subsistemas que 
possuem comportamentos conhecidos. 
Para sistemas técnicos, isto significa 
que as leis da natureza que descrevem 
os subsistemas são utilizadas, em 
geral. 
(ii) Identificação 
Baseia-se em utilizar observações do 
sistema visando adequar as 
propriedades do modelo para as do 
sistema. Este princípio é 
freqüentemente utilizado como um 
complemento da modelagem física. 
Uma observação válida é que os 
modelos e simulação nunca podem 
substituir observações e experimentos, 
mas constituem-se em um importante 
e útil complemento. 
1.3.1 - Classificação de modelos 
matemáticos 
Os modelos matemáticos têm sido 
desenvolvidos para diferentes 
sistemas que podem apresentar 
 
 12 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
diferentes características dependendo 
das propriedades do 
sistema e das ferramentas utilizadas. 
Os modelos matemáticos podem ser 
classificados como: 
• Parâmetros concentrados x 
distribuídos 
Com parâmetros concentrados 
(lumped) as variações espaciais são 
desprezadas, as propriedades/estado 
do sistema são consideradas 
homogêneas em todo volume de 
controle e geram sistema de equações 
diferenciais ordinárias. Com 
parâmetros distribuídos, consideram-
se variações espaciais no 
comportamento das variáveis gerando 
um sistema de equações diferenciais 
parciais. 
Todo sistema real é distribuído. Se as 
variações espaciais são pequenas, 
aproxima-se por modelo a parâmetros 
concentrados. Para incluir 
características temporais e espaciais 
devem-se usar equações diferenciais 
parciais ou série de estágios com 
parâmetros concentrados. 
• Linear x não-linear 
Equações (e, portanto, modelos) são 
lineares se variáveis dependentes ou 
suas derivadas aparecem apenas no 1° 
grau. A manipulação de modelos 
lineares é muito mais simples. Um 
sistema é linear se a regra da 
superposição é aplicável. 
)()()( 2121 xJxJxxJ +=+ ou 
)()( 11 xkJkxJ = 
onde J é qualquer operador contido no 
modelo. 
• Contínuo x discreto 
Um modelo matemático que descreve 
a relação entre sinais de tempo 
continuo é denominado de contínuo no 
tempo. As equações diferenciais são 
freqüentemente utilizadas para 
descrever tal relação. Na prática, os 
sinais de interesse são mais 
freqüentemente obtidos na forma 
discreta, que é resultante de medidas 
de tempo discreto. Um modelo que 
expressa diretamente as relações 
entre os valores dos sinais dos 
instantes de amostragem é 
denominado de um modelo amostrado 
ou discreto. 
• Estático x dinâmico 
Estático (ou estacionário ou invariante 
no tempo): processo cujo valor das 
variáveis permanece constante no 
tempo (se as entradas permanecem as 
mesmas, as saídas permanecem 
inalteradas). O modelo é um sistema 
de equações algébricas. 
Dinâmico (ou transiente ou 
transitório): as variáveis variam no 
tempo, que é a variável independente. 
A solução completa consiste nos 
regimes permanente e transitório. O 
modelo é um sistema de equações 
diferenciais. 
• Determinístico x estocástico 
Denomina-se de modelo 
determinístico, um modelo que 
trabalha com relações exatas entre 
variáveis medidas e derivadas e 
expressas sem incerteza. 
Um modelo é estocástico se o modelo 
pode trabalhar também com conceitos 
de incerteza e probabilidade. 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2 - Métodos para obtenção das 
equações de um modelo 
Dependendo de como um modelo é 
obtido, ele pode ser enquadrado 
como: 
-teórico ou analítico: desenvolvido 
utilizando os princípios da Física e da 
Química; 
-empírico ou heurístico: utiliza 
observação direta dos dados 
operacionais do processo (relações de 
causa/efeito correlacionando dados de 
entrada/saída do processo); 
-por analogia: utiliza equações que 
descrevem um sistema análogo, com 
as variáveis identificadas por analogia 
em base individual. 
Para se poder empregar um modelo 
teórico há necessidade de ser 
conhecer certos parâmetros do 
processo, os quais usualmente devem 
ser avaliados a partir de experimentos 
físicos realizados no processo ou então 
obtidos de dados operacionais do 
processo. 
Os modelos teóricos possuem diversas 
vantagens sobre os empíricos: eles 
freqüentemente podem ser 
extrapolados sobre uma faixa maior de 
condições operacionais, além de 
permitirem inferir o valor de variáveis 
de processo não-medidas ou 
incomensuráveis. Por outro lado, os 
modelos empíricos são normalmente 
mais fáceis de gerar, muito embora, 
caso o processo seja não-linear, sejam 
válidos em uma faixa estreita, próxima 
ao ponto onde foram obtidos. 
1.4 – Referência Bibliográfica 
 
1. Lennart Ljung: System Identification 
- Theory for the User, 2nd ed, PTR 
Prentice Hall, Upper Saddle River, 
N.J., 1999. 
 
2. Stephanopoulos, G. Chemical 
process control: An introduction 
to theory and practice. 1.ed. New 
Jersey: Prentice-Hall International 
Inc, 1984. 696p. 
3. Seborg,D., Thomas, F. E., Duncan, 
A. M. Process Dynamics and Control. 
J. Wiley., New York, 1989. 
4. Coelho, L. S. Apostila do Curso de 
Controle de Processos, PUC-PR. 
 
 14 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 Modelagem 
Matemática e 
Linearização de 
Modelos 
 
 
2.1 – Desenvolvimento de 
Modelos Dinâmicos 
 
Objetivos da modelagem matemática: 
• Projeto de equipamentos 
• Simulação de Processos 
• Adaptação das condições operacionais 
da planta a novas especificações de 
mercado e novas leis ambientais 
• Projeto de sistema de Controle 
• Referência interna de controladores 
digitais 
• Otimização de processos 
• Detecção de falhas 
Tipos de representação de modelos 
matemáticos: 
a) Modelos de equações diferenciais 
b)Modelos de entrada saída (Modelos de 
função de transferência) 
 
 15 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos de equações diferenciais 
• São baseados nos Princípios de 
conservação de massa e energia. 
• Dão origem a equações diferenciais 
ordinárias e/ou parciais 
• Combinadas com uma ou mais 
equações algébricas que podem 
descrever relações termodinâmicas 
(equilíbrio), equações de estado (lei 
dos gases ideais ou a equação de 
Van der Waals), equações de taxa 
de transporte (taxas de 
transferência de massa, energia 
etc.), equações de taxas cinéticas 
(taxas de reações químicas), etc. 
As formas mais usadas de equações 
de balanço: 
Balanço de massa total: 
∑ ∑−=
entradasi saídasj
jjii FF
dt
Vd
: :
)( ρρρ
 
Balanço de massa para o componente 
A: 
rVFCFC
dt
VCd
dt
dn
j
saídasj
Aji
entradasi
Ai
AA ±−== ∑∑
::
)(
 
Balanço total de energia: 
WsQ
hFhF
dt
PKUd
dt
dE
saídasj
jjj
entradasi
iii
±±
±−=++= ∑∑
 
)(
::
ρρ
As variáveis que aparecem acima são: 
ρ:densidade 
V:volume do sistema 
F:vazão volumétrica de alimentação 
nA:número de moles do componente A 
CA:concentração molar de A 
(moles/volume) 
r:taxa de reação por unidade de 
volume para o componente A 
h:entalpia específica 
U, K, P:energias interna, cinética e 
potencial do sistema 
Q:quantidade de calor trocada pelo 
sistema com o meio ambiente por 
unidade de tempo (por condução, 
radiação ou reação) 
Ws:trabalho realizado por unidade de 
tempo 
Por convenção, uma quantidade é 
considerada positiva se entra no 
sistema e negativa se sai. 
Ordem do modelo: 
Sistema de ordem N → sistema 
descrito por equações diferenciais 
ordinárias com derivadas de ordem N. 
)t(fxa
dt
dx
a...
dt
xd
a
dt
xd
a 011N
1N
1NN
N
N =++++ −
−
−
 
ai = constantes do sistema 
f(t) = função distúrbio 
Casos Especiais muito freqüentes na 
Engenharia Química: 
1a ordem: (80% dos casos) 
)t(f.bxa
dt
dx
a 01 =+
 
Representação Padrão: 
)t(f.Kx
dt
dx
PP =+τ
 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τP=a1/a0 constante de tempo do 
processo 
KP=b/a0 ganho estático do processo 
2a ordem: 
)t(f.bxa
dt
dx
a
dt
xd
a 012
2
2 =++
 
Representação Padrão de 2a ordem: 
)t(f.Kx
dt
dx
..2
dt
xd
P2
2
2 =+τξ+τ
 
τP = a2/a0 
ξ = fator de amortecimento 
Kp=b/a0 ganho estático do processo 
2ξτ=a1/a0 
Exemplo 1 - Sistema de Aquecimento 
 
 
Existe um fluxo de massa de um fluxo 
e energia neste sistema. 
Balanço Total de Massa do sistema: 












−












=












tempo
saída na massa
 de Quantidade
tempo
entrada na massa
 de Quantidade 
tempo
massa 
 de Acúmulo
 
Considere Vm ρ= hAV = 
Considere Vm ρ= hAV = 
 t
V
F =
 
( )
FF
dt
hAd
in ρρρ −=
 
 
FF
dt
dh
A in −=
 (1) 
Balanço de Energia: 
O total de energia no tanque é dão 
pela expressão termodinâmica: 
PKUE ++= 
Como não há movimento e as 
influências devido ao desnível são 
desprezíveis temos: 
0==
dt
dP
dt
dK
 Assim:
dt
dU
dt
dE = 
Mas a entalpia é definida como 
VPUH += Para líquidos o termo VP é 
desprezível e 
dt
dH
dt
dU ≅ 
H é a entalpia total do líquido no 
tanque: 
)( refp TTAhCH −= ρ 
onde Cp é a capacidade calorífica do 
líquido no tanque e Tref é a 
temperatura de referência onde a 
entalpia específica do líquido é 
assumida igual a zero. 
Temos a equação de balanço de 
energia: 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












−
−












−












=












tempo
forecida 
 de Quantidade
 
tempo
sai que Energia
 de Quantidade
tempo
entra que Energia
 de Quantidade 
tempo
Energia 
 de Acúmulo
 
( )
Q
TTFC
TTCF
dt
TTAhCd
refp
refinpin
refp
+
+−−
−=
−
 
)( 
)(
(
ρ
ρ
ρ
 
( )
QTFCTCF
dt
hTd
AC pinpinp +−= ρρρ
( )
p
inin C
Q
FTTF
dt
hTd
A
ρ
+−=
 
p
inin C
Q
FTTF
dt
dh
AT
dt
dT
Ah
ρ
+−=+
Usando a equação 1 
p
ininin C
Q
FTTFFFT
dt
dT
Ah
ρ
+−=−+ )(
p
ininin C
Q
TFTFFTTF
dt
dT
Ah
ρ
++−−=
 
p
inin C
Q
TTF
dt
dT
Ah
ρ
+−= )( Equação 2 
 
Encontramos as equações de estado: 
FF
dt
dh
A in −=
 
 e 
 p
inin C
Q
TTF
dt
dT
Ah
ρ
+−= )(
 
Resumo: 
Variáveis medidas (saída ou estado): T 
e h (controladas) 
Variáveis de entrada: 
Distúrbios: Tin e Fin 
Variáveis de controle: Q e F 
Parâmetros: A, ρ e Cp. 
Elementos adicionais dos modelos 
matemáticos 
• Equações de taxas de transporte 
Descrevem as taxas de transferência 
de massa, energia e momento. São 
estudadas em cursos de fenômenos de 
transporte. Por exemplo, o calor 
fornecido pelo vapor no exemplo 
anterior é dado pela seguinte equação 
de transferência de calor: 
)( TTUAQ Vt −= 
Onde U = coeficiente global de 
transferência de calor 
At = área total de transferência de 
calor 
TV = temperatura do vapor 
• Equações de taxas cinéticas 
Usadas para descrever as taxas de 
reação química. A
RT
E
Cekr
−
= 0 
Onde: 
k0 = constante cinética 
E = energia de ativação da reação 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = constante dos gases ideais 
T,CA = Temperatura e concentração de 
A no líquido reacional. 
• Relações de equilíbrio de fase e 
reação 
Descrevem situações de equilíbrio 
alcançadas durante uma reação 
química por duas ou mais fases. 
(Termodinâmica) 
• Equações de estado 
Descrevem as relações entre as 
variáveis que descrevem o estado 
termodinâmico de um sistema. 
(Equação dos gases ideais e a equação 
de Van der Walls). 
Graus de Liberdade (f) 
f = V – E 
V = n°. de variáveis independentes do 
processo 
E = n°. de equações independentes do 
processo 
“Um processo será efetivamente 
controlado quando todos os graus de 
liberdade forem especificados”. 
Se f=0 (V=E) ⇒ o sistema já está 
definido ou totalmente especificado 
(não há como inserir controle) 
Se f0 (V>E) ⇒ o sistema tem 
soluções múltiplas e, portanto pode 
haver tantas malhas de controle 
quantos forem os graus de liberdade. 
Exemplo 2 – Reator CSTR 
Considere o reator CSTR abaixo: 
 
Suponha a reação exotérmica A→ B 
(1ª Ordem) 
 
Balanço Total de Massa do sistema: 
( )
FF
dt
Vd
in ρρρ −= 
sendo ρ = constante 
 
FF
dt
dV
in −=
 (1) 
Balanços de massa dos componentes 
A e B do sistema: 
( ) ( )
rVFCFC
dt
VCd
dt
nd
AinAin
AA −−==(2) 
( ) ( )
rVFC
dt
VCd
dt
nd
B
BB +−== 0 (3) 
 
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Usando a equação 2 temos: 
VCek
FCFC
dt
dV
C
dt
dC
V
A
RT
E
AinAinA
A
−
−
−=+
0 
 
VCekFC
FCFFC
dt
dC
V
A
RT
E
A
inAininA
A
−
−−
+−−=
0 
)(
 
A
RT
E
AAin
inA CekCC
V
F
dt
dC −
−−= 0)(
 (4) 
 
Balanço Total de Energia 
 
QFh
hF
dt
dH
dt
PKUd
dt
dE
ininin
−−
=≅++=
ρ
ρ)(
 
(5) 
Da termodinâmica temos que: 
),,( BA nnTHH = . Assim temos que: 
dt
dn
n
H
dt
dn
n
H
dt
dT
T
H
dt
dH B
B
A
A ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
 
e 
pVC
T
H ρ=
∂
∂
 A
A
H
n
H ~
=
∂
∂
 B
B
H
n
H ~
=
∂
∂
 
BA HH
~~
 e são as entalpias parciais 
molares de A e B respectivamente. 
)( 
)(
~
~
rVFCH
rVFCFCH
dt
dT
VC
dt
dH
BB
AinAinAp
+−+
−−+= ρ
 
Substituindo as eq. acima na eq. 5 
teremos: 
QFhhFrVFCH
rVFCFCH
dt
dT
VC
inininBB
AinAinAp
−−++−−
−−−=
ρρ
ρ
)(
)(
~
~
 
Sabe-se que: 
)( 
)()()(
~
TTCFHCF
TTCFThFThF
inpinininAAin
inpinininininininininin
−+=
−+=
ρ
ρρρ
)()(
~~
BBAA HCHCFTFh +=ρ
 
Substituindo na equação anterior e 
cancelando diversos termos temos: 
QrVHH
TTCF
dt
dT
VC
BA
inpinininp
−−
+−=
)(
)(
~~
ρρ
 
Sendo 
ppin
BAr
CC
HHH
=
=−=∆−
 e 
 e )()( i
~~
ρρ
 
tem-se: 
VC
Q
Cek
C
H
TT
V
F
dt
dT
p
A
RT
E
p
r
in
in
ρ
ρ
−
∆−+−=
−
0)(
 
(6) 
 
 
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 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
Variáveis de saída: V, CA, T 
Variáveis de entrada: CAin, Fin, Tin, Q, F 
Variáveis de controle: Q, F 
Distúrbios: CAin, Fin, Tin 
Parâmetros: ρ, Cp, (-∆Hr), k0, E, R 
 
Equações de estado: 
FF
dt
dV
in −=
 
A
RT
E
AAin
inA CekCC
V
F
dt
dC −
−−= 0)(
 
VC
Q
Cek
C
H
TT
V
F
dt
dT
p
A
RT
E
p
r
in
in
ρ
ρ
−
∆−+−=
−
0)(
 
 
Graus de liberdade: 
F = V – E = 8 – 3 = 5 
Três equações: BM, BMC, BE 
Dois controladores: F = f(CA) e Q = 
f(T) 
Três distúrbios. 
Exemplo 3 - Processo de Mistura 
 
Um balanço de massa total de um 
sistema de mistura será dado por: 












−












=












tempo
saída na massa
 de Quantidade
tempo
entrada na massa
 de Quantidade 
tempo
massa 
 de Acúmulo
( )
www
dt
Vd −+= 21
ρ
 (1) 
onde w1, w2 e w são as vazões 
mássicas. 
O Balanço de massa do componente A 
é dado por: 
( )
wxxwxw
dt
xVd −+= 2211
ρ
 (2) 
Que correspondem às equações no 
regime permanente: 
www −+= 210 
e 
xwxwxw −+= 22110 
 
Considerando ρ constante: 
( )
www
dt
Vd −+= 21ρ e 
( )
wxxwxw
dt
Vxd −+= 2211ρ (4) 
 
 21 
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Aplicando a propriedade de derivadas 
em 
( ) ( ) ( )
dt
xd
V
dt
Vd
x
dt
Vxd ρρρ +=
 
Substituindo em 4 tem-se: 
( ) ( )
wxxwxw
dt
xd
V
dt
Vd
x −+=+ 2211ρρ
(5) 
Substituindo 3 em 5 obtem-se: 
( ) ( )
xwxw
dt
xd
Vwwwx +=+−+ 221121 ρ
(6) 
Rearranjando as eq. 6 e 1 temos o 
seguinte sistema: 
Rearranjo de 6 
( ) ( )wwwxwxxwxw
dt
xd
V −+−−+= 212211ρ
 
( )
)()( 2211 xxwxxw
dt
xd
V −+−=ρ
 
)(
1
)(
1
2211 xxw
V
xxw
Vdt
dx −+−=
ρρ 
)(
1
21 www
dt
dV −+=
ρ 
2.2 – Metodologia de 
Linearização de Modelos 
 
Linearização 
Procedimento que consiste na 
aproximação do sistema não-linear ao 
comportamento linear. 
Considere e equação diferencial não 
linear apresentada: 
)(xf
dt
dx = onde f(x) é uma função não 
linear. 
Expandindo a função f(x) em Série de 
Taylor no ponto x(0) teremos: 
( )
( )
...
!
...
!2
!1
)()(
0
2
0
2
2
0
0
0
0
0
+−






+
+−






+
−





+=
n
xx
dt
fd
xx
dt
fd
xx
dt
df
xfxf
n
x
n
n
x
x
 
A partir dos termos de segunda ordem 
poderemos negligenciar a ação, pois 
estaremos adotando um valor x muito 
próximo do valor x0. Assim: 
00
0
)()( xx
dt
df
xfxf
x
−




+=
 
Exemplo: Considere o tanque: 
 
Considerando F0=h/R teremos a 
equação linear: 
oin FF
dt
dh
A −= inFh
Rdt
dh
A =+ 1
 
 
 22 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realisticamente se F0 for manipulada 
por uma válvula teremos: hF β=0 . 
Daí teremos: 
inFh
dt
dh
A =+ β
 
Equação não linear devido ao termo 
em raiz. 
Aplicando A Série de Taylor temos: 
( ) ( )00
0
hh
dt
hd
hh
x
−







+=
 
Substituindo na equação diferencial: 
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
22
22
22
hFh
h
h
dt
dh
A
h
hFh
h
h
dt
dh
A
Fh
h
h
h
h
dt
dh
A
in
in
in
ββ
β
β
β
βββ
−=+
+−=+
=−++
 
Considere um sistema com as 
seguintes condições: 
1/R=3 Fin = 10 m3/h h0 = 4m 
β = 6 portanto: 
2
3
2
3
4)1(
3
10
)(
)2
3(
4
)2
3(
5
32
8
)32(
10
)(
10
)(3]4)([2
1032
tt
eeth
ssssss
sH
s
sHssH
h
dt
dh
−−
+−=
+
+
+
=
+
+
+
=
=+−
=+
 
4
3
4
3
0
0
0
4)1(
3
8
)(
)4
3(
4
)4
3(
2
)(
2
)(
4
3
4)(
2
4
3
610
2
3
2
4
2
6
10
4.2
46
2
22
tt
in
eeth
sss
sH
s
sHssH
h
dt
dh
h
dt
dh
h
dt
dh
hFh
h
h
dt
dh
A
−−
+−=
+
+
+
=
=+−
=+
−=+
−=+
−=+ ββ
 
2,5
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Tempo (h)
A
ltu
ra
 (
m
et
ro
s)
Hlinear
Hnlinear
 
2.3 – Linearização de 
Sistemas Multivariáveis 
 
Sejam as equações abaixo não-
lineares: 
)x,x(f
dt
dx
)x,x(f
dt
dx
212
2
211
1
=
=
 
Ponto estacionário: (x1(0), x2(0)) 
Expansão por Série de Taylor 
truncada: 
 
 23 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
))0((
))0(())0(),0((),(
))0((
))0(())0(),0((),(
22
)0(),0(2
2
11
)0(),0(1
1
212212
22
)0(),0(2
2
11
)0(),0(1
1
211211
21
21
21
21
xx
x
f
xx
x
f
xxfxxf
xx
x
f
xx
x
f
xxfxxf
xx
xx
xx
xx
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+≅
−
∂
∂
+
−
∂
∂
+≅
 
Substituindo no Sistema não linear: 
))0((
))0(())0(),0((
))0((
))0(())0(),0((
22
)0(),0(2
2
11
)0(),0(1
1
212
2
22
)0(),0(2
2
11
)0(),0(1
1
211
1
21
21
21
21
xx
x
f
xx
x
f
xxf
dt
dx
xx
x
f
xx
x
f
xxf
dt
dx
xx
xx
xx
xx
−
∂
∂+
−
∂
∂+≅
−
∂
∂+
−
∂
∂+≅
 
em termos de variáveis desvio: 
,
212
,
111
,
1 xaxa
dt
dx +=
 
,
222
,
121
,
2 xaxa
dt
dx +=
 
onde: 
)0(),0(2
1
12
)0(),0(1
1
11
21
21
xx
xx
x
f
a
x
f
a
∂
∂=
∂
∂=
 )0(),0(2
2
22
)0(),0(1
2
21
21
21
xx
xx
x
f
a
x
f
a
∂
∂
=
∂
∂
=
 
Para sistemas dinâmicos com duas 
variáveis de estado (x1, x2) e que sofre 
a influência de mais variáveis 
independentes, como as manipuladas, 
m1 e m2 e a variável distúrbio, d: 
),,,,(
),,,,(
21212
2
21211
1
dmmxxf
dt
dx
dmmxxf
dt
dx
=
=
 
Fazendo-se o mesmo desenvolvimento 
anterior, obtém-se a aproximação 
linear dada por: 
,
1
,
212
,
111
,
212
,
111
,
1 dcmbmbxaxa
dt
dx ++++=
 
,
2
,
222
,
121
,
222
,
121
,
2 dcmbmbxaxa
dt
dx ++++=
 
Ponto estacionário = (x1(0), x2(0), 
m1(0), m2(0), d(0)) → representado 
por 0, onde: 
0
1
1
02
1
12
01
1
11
02
1
12
01
1
11
d
f
c
m
f
b
m
f
b
x
f
a
x
f
a
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
 
0
2
2
02
2
22
01
2
21
02
2
22
01
2
21
d
f
c
m
f
b
m
f
b
x
f
a
x
f
a
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
 
 
 24 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 Transformadas 
de Laplace3.1 – Definição 
 
É um método matemático utilizado para 
realizar a transformação de equações 
diferenciais em equações algébricas 
mais facilmente solucionáveis. 
 
[ ] ∫
∞
−⋅==
0
)()()( dtetfsFtfL st
 
onde: 
f(t) é a função no domínio do tempo 
f(t)=0 para t→
==== uyyy 
 
 
 28 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrar a resposta transiente de y(t) 
para um degrau unitário em u(t). 
[ ]
[ ]
ttt eeety
s
L
s
L
s
L
s
Lty
aaaaa
sasasasasasasa
sasaasasasas
s
a
s
a
s
a
s
a
ssss
s
adordenodoRaízes
ssss
s
sY
s
sU
Sendo
sUssU
sYssYsYssYs
uL
dt
du
L
yL
dt
dy
L
dt
yd
L
dt
yd
L
32
1
111
11111
4
2
4
3
43
2
3
3
32
2
2
3
211
2
1
3
1
4321
23
23
23
2
2
3
3
3
5
3
3
1
)(
3
3/5
 
2
3
1
13/1
)(
3
5
 3 1 
3
1
 26
23346
5611624
321)6116(
24
3,2,1,0:min
1
)6116(
24
)(
1
)( 
 unitáriodegrau em operturbaçã 
)(2)(4
)(6)(11)(6)( 
24
6116
−−−
−
−−−
+−+=




+
+
+



+
−



+
+


=
=−====
+++++++
+++++=+
+
+
+
+
+
+=
+++
+
−−−
+++
+=
=
+=
=+++
+


=
=+


+





+





Aplicação do Teorema do Valor 
Final 
Encontrar o valor final da função x(t) 
que possui a seguinte transformada de 
Laplace. 
[ ] [ ]




+++
=
+++
=
→
→∞→
ssss
s
ssFtf
ssss
sX
s
st
2340
0
234
33
1
lim
)(lim)(lim
33
1
)(
 
 
[ ] 1)(lim
133
1
lim
33
1
lim
230
2340
==



+++




+++
∞→→
→
tf
sss
ssss
s
ts
s
 
Exemplo 2 – Encontrar o valor final da 
função: 
[ ] [ ]
[ ] ∞=
−=





−−++
−+−
=
−−+−
−+−=
∞→
→
→∞→
)(lim
4.0
1
)2)(1)(2)(1(
896
lim
)(lim)(lim
)22)(2(
896
)(
2
24
0
0
232
24
tf
sssss
sss
s
ssFtf
sssss
sss
sX
t
s
st
 
 
 29 
 EQ817 – Controlede Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 Função de 
Transferência e 
Diagrama de 
Blocos 
 
 
4.1 – Função de Transferência 
 
Considere um sistema SISO-Single 
input Single Output, apresentado 
abaixo. O seu comportamento dinâmico 
pode ser convenientemente descrito por 
uma equação diferencial linear ou 
linearizada de ordem n. 
 
)(..... 011
1
1 tbfya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
equação 1 
onde f(t) e y(t) são as variáveis de 
entrada e saída do processo, 
respectivamente. 
As duas são descritas como variáveis 
desvio e estando o sistema inicialmente 
em regime permanente teremos: 
0...)0(
0
1
1
0
2
2
0
=





==





=


=
=
−
−
== t
n
n
tt dt
yd
dt
yd
dt
dy
y
 
 
 30 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, aplicando a Transformada de 
Laplace na eq. 1 teremos: 
)()()(
...)()(
01
1
1
sbfsyassya
sysasysa n
n
n
n
=++
+++ −
−
 
A função de transferência, G(s), 
relaciona a entrada com a saída da 
seguinte forma: 
01
1
1 ...
)(
)(
)(
)(
asasasa
b
sG
sf
sy
sG
n
n
n
n ++++
=
=
−
−
 
Se o processo possuir duas entradas, o 
modelo dinâmico é dado por: 
)()(
...
22110
11
1
1
tfbtfbya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
n
n
nn
n
n
+=+
++++ −
−
−
 
Assim com as mesmas condições 
iniciais, teremos: 
)(
......
 
)(
......
)(
2
01
1
1
2
1
01
1
1
1
sf
asasasa
b
sf
asasasa
b
sy
n
n
n
n
n
n
n
n
++++
+
+
++++
=
−
−
−
−
ou 
)()()()()( 2211 sfsGsfsGsy += 
A função de transferência pode assim 
ser diretamente definida: 
desvio variaveisem 
entrada da Laplace de datransforma
desvio variaveisem
saida da Laplace de datransforma
)( =sG 
Exemplo: Tanque de Aquecimento: 
pin
in
in
p
ininin
p
inin
CF
Q
TT
dt
dT
F
Ah
C
Q
TFTF
dt
dT
Ah
C
Q
TTF
dt
dT
Ah
ρ
ρ
ρ
+−=
+−=
+−= 
:equaçãoda Partindo
)(
 
''
'
1
 
 
Sendo 0
0
 : temospermanente regime o doConsideran
Desvio Variável
'
''''
KQTT
dt
dT
CF
K
F
Ah
e
QQQTTTTTT
CF
Q
TT
dt
dT
in
pinin
RPinRPininRP
pin
RP
RPinRP
+−=
==
−=−=−=
+−=
=
τ
ρ
τ
ρ 
)('
1
)(
1
1
)('
)(')()1)(('
)(')()(')('
Laplace de daTransforma a Aplicando
'
'
'
sQ
s
K
sT
s
sT
sKQsTssT
sKQsTsTssT
in
in
in






+
+





+
=
+=+
+=+
ττ
τ
τ
 
O diagrama de blocos deste sistema é 
assim definido: 
 
 
 31 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas das propriedades da função 
de transferência são: 
• a função de transferência é definida 
somente para sistemas lineares 
invariantes no tempo. A função de 
transferência não é definida para 
sistemas não-lineares; 
• todas as condições iniciais são 
selecionadas em zero; 
• a função de transferência é 
independente da entrada do 
sistema; 
• Como foi visto anteriormente, os 
efeitos ocorridos com as alterações 
de Q e Tin têm efeito acumulativo. 
Isto sempre ocorrerá para sistemas 
lineares devido ao Princípio da 
Superposição. 
• O modelo de FT nos habilita a 
determinar a resposta de saída para 
quaisquer mudanças nas variáveis 
de entrada de um processo. 
Exemplo: Voltando ao sistema de 
aquecimento, considere as seguintes 
condições: 
A=2 m2 h=5 m Fin=F=10 m3/h 
Tin = 25ºC U=200 kcal/m2ºC 
ρ=800 kg/m3 At=6,4 m2 
Cp = 0,8 kcal/kgºC. 
Apresentar a resposta transiente T(t) 
quando a Q(t) muda em perturbação 
degrau de 100 kcal/h para 150 kcal/h. 
2,0
8,0.800.5.2
4,6.200 ===
p
t
CAh
UA
K
ρ
 
h
F
Ah
in
1
10
5.2 ===τ 
)1(10 
]
)1(
1
[10)(')]('[
)1(
1050
)1(
2,0
)(
)('
)1(
)('
: temos0)( sendo
)('
)1(
)('
)1(
1
)('
'
'
t
i
i
e
ss
tTsT
ssss
sT
sQ
s
K
sT
sT
sQ
s
K
sT
s
sT
−−=
+
==
+
=
+
=
+
=
=
+
+
+
=
ll
τ
ττ
 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo (h)
T
em
pe
ra
tu
ra
 (º
C
)
 
4.2 – Pólos e Zeros de uma 
Função de Transferência 
De acordo com a definição de função 
de transferência, temos: 
)(
)(
)(
sf
sy
sG = 
Em geral, a função de transferência 
G(s) será a razão de dois polinômios: 
)(
)(
)(
sP
sQ
sG = 
Para sistemas fisicamente realizáveis, 
o polinômio Q(s) será sempre de 
ordem menor do que o P(s). 
As raízes do polinômio Q(s) são 
chamadas de zeros da função de 
transferência ou zeros do sistema cuja 
dinâmica é descrita pela função de 
transferência G(s). 
 
 32 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a variável s assume os valores 
dos zeros de Q(s), a função de 
transferência é igual a zero. 
As raízes do polinômio P(s) são 
chamadas de pólos da função de 
transferência, ou equivalentemente de 
pólos do sistema. Nos pólos de um 
sistema a função de transferência 
tende ao infinito. 
Se sabemos onde os pólos de um 
sistema estão localizados, podemos 
determinar as características 
qualitativas da resposta do sistema a 
uma entrada em particular sem 
cálculos adicionais. 
 
4.3 – Diagrama de Blocos 
 
Considere a representação: 
 
O diagrama de blocos pode ser 
utilizado para representar sistemas e 
subsistemas agrupados e conectados. 
Representação: 
• Setas – utilizadas para representar 
direções de fluxos de sinais. 
• Ponto de soma: local onde o sinal é 
somado algebricamente: 
• Ponto de bifurcação (Nó): local onde 
o sinal é compartilhado. 
 
• Ramo direto – definido pela direção 
Entrada-Saída passando pelo bloco 
G(s). 
• Ramo de Realimentação – definido 
pelo direção Saída-Entrada. 
• Ramo de Alimentação – Definido por 
um sinal paralelo ao ramo direto. 
 
 
 
 
 33 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Blocos em Cascata 
 
Exemplo: 
 
( ) ( ) ( ) 795
3
32
3
1
1
)(
23
2
+++
=
+++
=
sss
s
s
s
s
s
s
sGp 
• Blocos com Realimentação 
Considere o sistema com 
realimentação negativa: 
 
Para o ramo de realimentação a 
entrada é dada pelo sinal S(s) e a 
saída por S(s).H(s). Assim o ramo 
direto torna-se: 
Entrada = E(s) – S(s).H(s) e a Saída = 
S(s) 
Assim: 
 
)()(1
)(
)(
)(
)( 
))()(1)(()()( 
 )()()()()()(
)()()()()()( 
 
)()()(
)(
)(
1
1
11
11
11
1
sHsG
sG
sE
sS
sG
sHsGsSsEsG
sHsSsGsSsEsG
sSsHsSsGsEsG
sHsSsE
sS
sG
p +
==
+=
+=
=−
−
=
 
Exemplo: 
 
 
11
2
10)1(
2
)(
)]
1
2
(5[1
1
2
)( 
)()(1
)(
)(
)(
)( 
1
1
+
=
++
=
+
+
+=
+
==
ss
sG
s
s
ssG
sHsG
sG
sE
sS
sG
p
p
p
 
• Blocos em Cascata com ramos de 
realimentação 
 
)()]()()([1
)()()(
)(
)(
)( 
321
321
sHsGsGsG
sGsGsG
sE
sS
sGp +
== 
• Blocos em Paralelo 
Suponha o sistema de Alimentação: 
 
A Função de Transferência Global é 
dada por: 
 
)()(
)(
)(
)( 21 sGsG
sE
sS
sGp +==
 
 
 34 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 – Simplificação de Sistemas 
 
Consiste em reduzir blocos em cascata e realimentação a um único bloco 
Exemplo: Simplificar a conjunto abaixo: 
 
 
)())()()(()()()()(1
))()()(()(
)(
)()
)()()(1
))()()(()(
(1
)()()(1
))()()(()(
)(
)(
)( 
24321121
4321
2
121
4321
121
4321
sHsGsGsGsGsHsGsG
sGsGsGsG
sG
sH
sHsGsG
sGsGsGsG
sHsGsG
sGsGsGsG
sE
sS
sG
p
p
++−
+
=
−
+
+
−
+
==
 
Para um sistema com entradas múltiplas (sinais e referência e distúrbios) temos: 
 
Fazendo Ed(s) = 0 teremos: 
onde 
)()]()([1
)()(
)( 
121
21
sHsGsG
sGsG
sGp +
= (I)35 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo E(s) = 0 teremos: 
 
onde 
)()]()([1
)(
)( 
121
2
sHsGsG
sG
sGp −
= (II) 
A saída o sistema é definida pela soma as equações I e II. 
)(
)()]()([1
)(
)(
)()]()([1
)()(
)(S 
121
2
121
21 sE
sHsGsG
sG
sE
sHsGsG
sGsG
s d+
+
+
= 
 
 
 36 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 Dinâmica de 
Processos 
 
 
5.1 – Comportamento 
Dinâmico de um Sistema 
 
 
MODELO 
MATEMÁTICO 
Gp(s) 
E(s) 
 
Sinais 
Padronizados 
S(s) 
 
????? 
 
Sinais de testes: 
• Função Degrau 
• Função Rampa 
• Função Parábola 
• Função Impulso 
• Função Senoidal 
Resposta Transiente e Resposta 
Permanente. 
Resposta Transiente: estado inicial até o 
estado final 
Resposta Permanente: quando t → ∞. 
 
 37 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 – Sistemas de 1ª Ordem 
 
Um sistema de 1ª Ordem é definido 
como um sistema em que a saída é 
modelada por uma equação diferencial 
de 1ª Ordem: 
)(01 tbfya
dt
dy
a =+ Onde f(t) é a variável 
de entrada do sistema. 
Se a0≠0 tem-se: )(
00
1 tf
a
b
y
dt
dy
a
a
=+ 
Definindo: 
Constante de tempo (τp) = 
0
1
a
a
 e 
Ganho (Kp) = 
0a
b
 
A equação torna-se: )(tfKy
dt
dy
pp =+τ 
Em variáveis-desvio teremos: 
1)(
)(
)(
'
'
+
==
s
K
sF
sY
sG
p
p
τ Eq. 1. 
A equação 1 é conhecida como atraso 
de primeira ordem (first-order lag) ou 
atraso linear (linear lag) e possui uma 
característica autoregulatória. 
Entretanto, se na equação diferencial 
de 1ª ordem a0 = 0 teremos: 
)()( '
1
tfKtf
a
b
dt
dy
p== 
s
K
sF
sY
sG p
'
'
'
)(
)(
)( == Eq. 2 
Neste caso o processo é chamado de 
puramente capacitivo ou integrador. 
Os processos de 1ª ordem têm as 
seguintes características: 
• Capacidade de armazenamento de 
massa e energia. 
• Resistência associada ao fluxo de 
massa, energia e momento. 
• Em plantas químicas são os 
sistemas mais comuns. 
Será analisada, a seguir, a resposta do 
sistema a entradas do tipo degrau 
unitário e rampa unitária com 
amplitudes diversas para condições 
iniciais nulas. 
Resposta Dinâmica de sistemas de 
primeira ordem. 
DEGRAU UNITÁRIO. 
Como a transformada de Laplace da 
função degrau unitário é s
1 , 
substituindo ssF 1)(' = na equação 2, 
obtém-se: 
ss
K
sY
p
p 1
1
)('
+
=
τ
 
Expandindo-se )(' sY em frações 
parciais, tem-se: 
1
)('
+
−=
s
K
s
K
sY
p
ppp
τ
τ
 
 
 38 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando a transformada inversa de 
Laplace, obtém-se: 
( )01)( ≥




 −=
−
teKty p
t
p
τ
 (Eq. 3) para 
degrau unitário e 
( )01)( ≥




 −=
−
teAKty p
t
p
τ
 (Eq.4) para 
degrau de amplitude A 
Observa-se na equação 3 que y(t) é 
inicialmente nula e torna-se igual a 
AKp em t → ∞. 
 
Curva de resposta para perturbação 
degrau unitário em Sistemas de 1ª 
Ordem. 
Exemplo 1: Seja o sistema abaixo: 
Q
Tvapor
T
1
1
)(
)(
)(
)()()(
)(
+
==
=+
=+
=+
−=
=
ssT
sT
sG
sTsTssT
TT
dt
dT
UA
CV
UATUAT
dt
dT
CV
TTUA
dt
dT
CV
QQ
vapor
p
vapor
vapor
p
vaporp
vaporp
vaporlíquido
τ
τ
ρ
ρ
ρ
 
Constante de tempo → VELOCIDADE 
Ganho → SENSIBILIDADE 
RAMPA UNITÁRIA 
Como a transformada de Laplace da 
função rampa unitária é 2
1
s
, obtém-
se a saída do sistema: 
2
1
1
)(
ss
K
sY p
+τ
 
Expandindo Y(s) em frações parciais, 
tem-se: 
1
1
)(
2
2 +
+−=
Ts
T
s
T
s
sY 
Tomando a transformada inversa de 
Laplace, obtém-se: 
τττ
t
etty
−+−=)(
 Eq. 5 
O sinal de erro e(t) é dado por então: 
)1()()()( ττ
t
etytfte
−−=−= Eq. 6. 
Quando t tende a infinito, τ
t
e
−
 tende a 
zero, e portanto o sinal de erro e(t) 
tende a τ ou e(∞) = τ. 
 
 39 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva de resposta para perturbação 
rampa unitária em Sistemas de 1ª 
Ordem é representada na figura 
acima. 
5.3 – Sistemas de 2ª Ordem 
 
Um sistema de 2ª Ordem é definido 
como um sistema em que a saída é 
modelada por uma equação diferencial 
de 2ª Ordem: 
)(012
2
2 tbfya
dt
dy
a
dt
yd
a =++ Onde f(t) 
é a variável de entrada do sistema. 
Se a0≠0 tem-se: 
)(
00
1
2
2
0
2 tf
a
b
y
dt
dy
a
a
dt
yd
a
a
=++ 
Definindo 
τ2 = 
0
2
a
a
, 2ξτ = 
0
1
a
a
 e Kp = 
0a
b
 
Onde: 
τ = período natural de oscilação do 
sistema. 
ξ = fator de amortecimento. 
Kp = ganho do sistema. 
A equação torna-se: 
)(2
2
2
2 tfKy
dt
dy
dt
yd
p=++ ζττ 
Em variáveis-desvio teremos: 
12)(
)(
)(
22'
'
++
==
ss
K
sF
sY
sG p
ζττ
 Eq. 7 
 
DEGRAU UNITÁRIO 
Quando submetido a uma perturbação 
do tipo degrau unitário o sistema de 
segunda ordem torna-se: 
)12(
)(
22 ++
=
sss
K
sy p
ξττ Eq. 8. 
Os dois pólos da função de 
transferência são dadas pelas duas 
raízes do polinômio característico 
01222 =++ ss ξττ 
τ
ξ
τ
ξ 1
1
2 −
+−=p e τ
ξ
τ
ξ 1
2
2 −
−−=p 
Assim a equação 8 torna-se: 
)2)(1(
/
)(
2
pspss
K
sy p
−−
=
τ
 Eq. 9 
A forma da resposta y(t) vai depender 
da localização dos dois pólos, p1 e p2, 
no plano complexo. 
Pode-se distinguir três casos distintos: 
 
 40 
 EQ817 – Controle de Processos Material de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso A: Sistema super amortecido 
(ξ > 1, dois pólos distintos e reais) 
Neste caso a inversão da eq. 9 por 
expansão por frações parciais leva a: 
















−
−
+−−= −
τ
ξ
ξ
ξ
τ
ξτξ t
senh
t
eKty t
p 1
1
1cosh1)( 2
2
2/ 
(Eq.10) 
onde cosh(.) e senh(.) são as funções 
trigonométricas hiperbólicas definidas 
por: 
2
αα
α
−−= ee
senh e 
2
cosh
αα
α
−+= ee
 
Como no caso do sistema de 1ª ordem 
o ganho é dado por: 
)(
)(
entradadaioestacionárestado
saídadaioestacionárestado
K p ∆
∆
= 
Caso B: Sistema criticamente 
amortecido (ξ = 1, dois pólos iguais). 
Neste caso, a inversão da eq. 9 resulta 
em: 











 +−= − τ
τ
/11)( t
p e
t
Kty Eq. 11 
Caso C: Resposta sub amortecida 
(ξ