Aula_2_Trigonometria_1_2016

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“Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício 
do desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2016-1° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: PRO215AN/MEC215AN 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
 
AULA 2 
 
Conteúdo: Revisão de conceitos fundamentais 
Temas: Fundamentos da geometria: ponto, reta e plano. Revisão de trigonometria: ângulos, 
triângulos, trigonometria no triangulo retângulo, ângulos notáveis. 
Objetivo: Revisar conceitos de geometria plana. 
 
Geometria Plana 
Euclides (300 A.C.) é considerado o pai da geometria, pois foi o quem escreveu o livro Elementos 
de Euclides, onde ele descreve sobre geometria espacial (em três dimensões). 
A palavra geometria vem de Geo (terra) metria (medição), e é um ramo da matemática que estuda 
questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e as propriedades do espaço. Muitas 
vezes a geometria no espaço tridimensional é chamada de geometria euclidiana. 
Euclides, por meio de observações definiu postulados e axiomas, os quais veremos alguns a seguir. 
Noções primitivas 
As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio de definição. 
As noções primitivas são adotadas sem definição. 
Adotaremos sem definir as noções de ponto, reta e plano. De cada um desses entes vem 
conhecimento intuitivo decorrente da experiência e da observação. 
Ponto 
 Observação do ponto da natureza: grão de areia; uma estrela; a marca feita em um papel 
com a ponta de um lápis, etc. 
 Matematicamente esses exemplos têm uma propriedade física, seu tamanho, mas essa 
característica não é levada em consideração, pois dão apenas a ideia de ponto. 
 Geometricamente, entes primitivos são identificados pelas letras maiúsculas latinas. 
 São entidades 0D. 
Reta 
 Ideia de reta: linha horizontal, um barbante bem esticado, etc. 
 Graficamente só podemos representar uma parte da reta. 
 
 
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 A reta equivale a infinitos pontos, mas nem todos os pontos do espaço pertencem a uma 
mesma reta e é um subconjunto do espaço. 
 A notação é feita por letras minúsculas do alfabeto latino. 
 São entidades 1D. 
Plano 
 Observação: teto ou chão da sala, a lousa, a superfície de uma mesa, etc. 
 Assim como a reta e o ponto, o plano não tem representação precisa no mundo físico. 
 O plano é formado por um conjunto infinito de pontos e também de retas. 
 Nem todos os pontos do espaço pertencem a um mesmo plano. 
 São nomeados pelas letras minúsculas do alfabeto grego. 
 São entidades 2D. 
 
Segmento de reta 
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto de pontos 
que estão entre eles é um segmento de reta. 
Assim, dados A e B, A≠B, o seguimento de reta AB (indicado por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) é o que segue: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝐴, 𝐵} ∪ {𝑋|𝑋 está entre 𝐴 𝑒 𝐵} 
Os pontos A e B são as extremidades do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e os pontos que estão entre A e B são 
pontos internos do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
Se os pontos A e B coincidem (A = B), dizemos que o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é o segmento nulo. 
A um segmento de reta está associado um número real, positivo, que é sua medida (em módulo). 
Semirreta 
Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ com o conjunto dos pontos X 
tais que B está entre A, e X é a semirreta AB (indicada por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗). 
O ponto A é a origem da semirreta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗: 
 
 
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𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∪ {𝑋|𝐵 está entre 𝐴 𝑒 𝑋} 
Posições de duas retas em um plano 
 
 
Ângulos 
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de mesma 
origem, não contidas numa mesma reta (não colineares). 
𝐴�̂�𝐶 = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∪ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ são os lados dos ângulos 
O é a origem das semirretas, vértice do ângulo. 
*região angular é a reunião do ângulo com seus pontos internos (medida do ângulo). 
* dois ângulos congruentes = mesma medida. 
* dois ângulos adjacentes complementares = soma das medidas é igual a 90°. 
* dois ângulos suplementares = soma das medidas é igual a 180°. 
* ângulos opostos pelo vértice = lados de um são semirretas opostas em relação aos lados do 
outro. 
Polígonos 
Uma linha poligonal é uma curva plana formada por segmentos de retas consecutivos não 
colineares. Neste sentido, um polígono é uma linha poligonal fechada. 
Ex.: 
3 lados → triângulo 
4 lados → quadrilátero 
5 lados → pentágono, etc. 
* diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos, indicado 
na figura por d. 
 
 
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Triângulos 
Um triângulo é um polígono de três lados. 
→ O perímetro é a soma das medidas dos lados (a+b+c). 
→ A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. 
 
Classificação dos triângulos 
‒ Quanto à medida dos lados 
a) equilátero, quando tem os três lados congruentes. 
b) isósceles, quando tem dois lados congruentes. 
c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são congruentes. 
 
‒ Quanto à medida dos seus ângulos 
a) retângulo, quando possui um ângulo reto. 
b) acutângulo, quando possui os três ângulos agudos. 
c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso. 
 
 
A circunferencia trigonométrica 
É a circunferência de raio unitário, com centro na origem O (0,0) do plano cartesiano, sobre a 
qual podemos associar cada número real a um arco definido pelos pontos A (1,0) e P. 
 
 
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A circunferência é dividida em quatro quadrantes: I , II, III, IV no sentido anti-horário. 
As projeções do Ponto P sobre os eixos das ordenadas e das abscissas são consideradas funções 
trigonométricas. 
 Pode-se trabalhar com a circunferência em graus ou radianos. 
GRAUS: É o arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência. 
Uma volta completa na circunferência, produzirá um arco de 360º 
 RADIANO: É o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência na qual se 
encontra o arco a ser medido. No caso da circunferência trigonométrica de raio unitário, um 
Radiano é igual a 1. 
 Assim temos que p corresponde a 180º . 
Dessa relação podemos fazer a correspondência de Graus para Radianos. 
Seno no círculo trigonométrico 
Considerando um arco AP, em uma circunferência 
trigonométrica, cuja medida é o número real x, denomina-se 
SENO do arco AP o valor da ordenada do ponto P. (ou projeção 
do ponto P sobre o eixo das ordenadas) 
Os valores do SENO serão positivos nos Quadrantes I e II e 
negativos nos Quadrantes III e IV. 
 
Cosseno no círculo trigonométrico 
Considerando um arco AP, em uma circunferência 
trigonométrica, cuja medida é o número real x, denomina-se 
cosseno do arco AP o valor da abscissa do ponto P. 
Os valores do COSSENO serão positivos nos Quadrantes I e 
IV e negativos nos Quadrantes II e III. 
 
 
 
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Tangente no círculo trigonométricoConsideremos a reta r tangente à circunferência trigonométrica 
no ponto A (1,0) e perpendicular ao eixo das abscissas. A reta 
que passa pelo centro O da circunferência trigonométrica e pelo 
ponto P (do arco AP) intercepta a reta tangente r em um ponto 
T (1,t). Define-se como tangente do arco AP, cuja medida é o 
número real x, a ordenada do ponto T. 
A tangente será positiva nos Quadrantes I e III e negativa nos 
Quadrantes II e IV. 
 
Link para observação das funções trigonométricas: 
http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3_recursos/geogebra/circulo_trigo.
html 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
As relações que existem entre os lados do triângulo retângulo e os seus ângulos são chamadas 
de funções trigonométricas, entre elas estão o seno, cosseno e a tangente. 
Veja a figura abaixo. Nela, temos a hipotenusa representada por a, um dos catetos representados 
por b e o outro cateto representado por c. Temos ainda o ângulo reto, e os dois ângulos agudos, 
representados por α e β 
 
𝑠𝑒𝑛𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
 
Sen (soh) cos (cah) Tan (toa) 
Outras propriedades: 
 O seno do ângulo α é igual ao cosseno do ângulo β 
 O cosseno do ângulo α é igual ao seno do ângulo β 
 A tangente do ângulo α é igual à divisão de 1 pela tangente de β 
 A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo 
 
Ex.: 
sin𝛼 =
12
20
= 0,6 cos 𝛼 =
16
20
= 0,8 tan𝛼 =
12
16
= 0,75 
sin𝛽 =
16
20
= 0,8 cos𝛽 =
12
20
= 0,6 tan𝛽 =
16
12
=
4
3
 
 
 
 
 
 
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Teorema de Pitágoras 
 Usamos o teorema de Pitágoras na geometria e na trigonometria. 
Podemos usar para calcular distâncias entre pontos. 
 O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa. ” A hipotenusa é o lado mais longo do 
triângulo. 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Ex.: 
1) Determine o seno, cosseno e a tangente dos ângulos. 
 
𝑥2 = 52 + 122 sin𝛼 =
12
13
= 0,92 sin β =
5
13
= 0,38 
𝑥 = 13 cos 𝛼 =
5
13
= 0,38 cos𝛽 =
12
13
= 0,92 
 tan𝛼 =
12
5
= 2,4 tan𝛽 =
5
12
= 0,41 
 
2) Determinar x e y (sem 30°=1/2). 
sin30 =
𝑥
8
→ 𝑥 = 4 
Pitágoras: 82 = 42 + 𝑦2 → 𝑦 = √64 − 16 → 𝑦 = √48 → 𝑦 =
√16 ∗ 3 → 𝑦 = 4√3 
 
 
Ângulos Notáveis 30°, 45°, 60° 
 Os ângulos 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por aparecerem 
frequentemente em cálculos. Vamos determinar o seno, cosseno e 
tangente de cada um deles. Para isso, vamos considerar o triângulo 
equilátero ABC da figura abaixo: 
Podemos destacar algumas relações: 
 Cada lado do triângulo mede l; 
 AD é a bissetriz de BÂC; 
 AD é a mediana de BC, dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l/2 em D; 
A altura h pode ser escrita em função dos lados l, da seguinte forma: 
 
ℎ2 + (𝑙 2⁄ )
2
= 𝑙2 
 
 
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ℎ2 = −
𝑙2
4
+ 𝑙2 
ℎ2 =
−𝑙2 + 4𝑙2
4
 
ℎ2 = 3 4⁄ 𝑙
2 
ℎ =
√3
2
𝑙 
 
Determinação do seno, cosseno e tangente de 30° e 60° 
O seno de um ângulo é definido como a razão do cateto oposto a este ângulo pela hipotenusa do 
triângulo: 
 
 
 
O cosseno de um ângulo é definido pela razão entre o cateto adjacente a este ângulo pela 
hipotenusa do triângulo: 
 
 
 
A tangente de um ângulo é definida pela razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente a este 
ângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
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Determinação do seno, cosseno e tangente de 45° 
Para calcularmos o seno, cosseno e tangente de 45°, vamos considerar o quadrado mostrado na 
figura abaixo: 
 
A diagonal d forma com os lados l um ângulo de 45° e podemos escrever a 
diagonal d em função dos lados l: 
 
 
 
 
 
 
Vamos, agora, construir uma tabela com os ângulos notáveis: 
 
 
Ex.: 
 
a) cos 60° =
𝑦
80
 
𝑦 = 80 × cos 60° 
𝑦 = 80 ×
1
2
= 40 𝑐𝑚 
 
b) 𝑠𝑒𝑛 60 =
4
𝑥
→
√3
3
=
4
𝑥
 
𝑥√3 = 8 → 𝑥 =
8
√3
 
𝑥 =
8√3
3
 
 
 
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cos 60 =
𝑦
𝑥
→
1
2
=
𝑦
8√3
3
→
1
2
=
3𝑦
8√3
→ 8√3 = 6𝑦 → 𝑦 =
8√3
6
=
4√3
3
 
Lista de Exercícios 2 
1) Considere o triângulo retângulo representado abaixo e determine: 
a) sin𝛼 
b) cos 𝛼 
c) tan𝛼 
d) 
sin𝛼
cos𝛼
 
e) sin2 𝛼 + cos2 𝛼 
f) sin𝛽 
g) cos𝛽 
h) tan𝛽 
i) 
sin𝛽
cos𝛽
 
j) sin2 𝛽 + cos2 𝛽 
 
2) Dado o triângulo PQR, calcule: 
a) sin𝛽 
b) cos𝛽 
c) tan𝛽 
d) sin𝛼 
e) cos 𝛼 
f) tan𝛼 
 
3) Calcule os valores de x e 𝛼 no triângulo abaixo. 
 
4) Uma escada faz um ângulo de 30° com a parede vertical de um prédio, ao tocar o topo, 
distante 6 m do solo. Determine o comprimento da escada. 
5) Uma pessoa de 1,64m de altura observa o topo de uma árvore sob o ângulo de 30° com a 
horizontal. Conhecendo a distância de 6 m do observador até a árvore, calcular a altura da 
árvore (tan 30°=0,58). 
 
 
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