A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função lagrangiana-barreira relaxada

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Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 303 
A RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO ÓTIMO DE REATIVOS 
PELO MÉTODO DA FUNÇÃO LAGRANGIANA-BARREIRA RELAXADA 
 
 
Vanusa Alves de Sousa* 
Departamento de Engenharia Elétrica / EESC 
Universidade de São Paulo (USP) 
São Carlos – SP 
vsousa@sel.eesc.usp.br 
 
Edméa Cássia Baptista 
Departamento de Matemática / FC 
Universidade Estadual Paulista (UNESP) 
Bauru – SP 
 
Geraldo R. M. da Costa 
Departamento de Engenharia Elétrica / EESC 
Universidade de São Paulo (USP) 
São Carlos – SP 
 
* Corresponding author / autor para quem as correspondências devem ser encaminhadas 
 
Recebido em 05/2007; aceito em 02/2008 
Received May 2007; accepted February 2008 
 
 
Resumo 
 
Este artigo apresenta a aplicação do método da função Lagrangiana-barreira relaxada ao problema de despacho 
ótimo de reativos, o qual é um problema não-linear não convexo e de grande porte. Nesta abordagem as 
restrições de desigualdade são tratadas pela associação dos métodos de barreira modificada e primal-dual 
barreira logarítmica. Essas restrições são transformadas em igualdades através de variáveis auxiliares positivas e 
são relaxadas pelo parâmetro de barreira. Uma função Lagrangiana é associada ao problema modificado. As 
condições necessárias de primeira-ordem são aplicadas gerando um sistema não-linear o qual é resolvido pelo 
método de Newton. A relaxação das variáveis auxiliares resulta na expansão da região factível do problema 
original, permitindo atingir o limite das restrições de desigualdade. Testes numéricos nos sistemas CESP 53 
barras, o equivalente brasileiro sul-sudeste e o teste comparativo com o método primal-dual barreira logarítmica 
indicam que o método apresentado é eficiente na resolução do problema de despacho ótimo de reativos. 
 
Palavras-chave: programação não-linear; sistemas elétricos de potência; método primal-dual; 
método de Newton; relaxação das restrições. 
 
 
Abstract 
 
This work presents the application of the relaxed barrier-Lagrangian function method to the optimal reactive 
dispatch problem, which is a nonlinear nonconvex and large problem. In this approach the inequality 
constraints are treated by the association of modified barrier and primal-dual logarithmic barrier method. 
Those constraints are transformed in equalities through positive auxiliary variables and are perturbed by the 
barrier parameter. A Lagrangian function is associated to the modified problem. The first-order necessary 
conditions are applied generating a non-linear system which is solved by Newton’s method. The auxiliary 
variables perturbation result in an expansion of the feasible set of the original problem, allowing the limits of 
the inequality constraints to be reach. Numeric tests with the systems CESP 53 buses and the south-southeast 
Brazilian and the comparative test with the primal-dual logarithmic barrier method indicate that presented 
method is efficient in the resolution of optimal reactive dispatch problem. 
 
Keywords: nonlinear programming; power systems; primal-dual method; Newton’s method; 
perturbation of constraints. 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
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1. Introdução 
Desde a década de 80, a reestruturação do setor elétrico vem ganhando muita atenção em 
todo o mundo. Antes deste período a estrutura organizacional do setor era vertical e 
monopolizada, ou seja, a geração, a transmissão e a distribuição de energia, eram controladas 
por uma “autoridade” conforme Christie et al. (2000). Com a desverticalização do setor e o 
surgimento do ambiente competitivo, as ferramentas de otimização passaram a desempenhar 
um importante papel para as empresas de energia. 
No novo modelo do setor elétrico alguns problemas operacionais ainda não foram totalmente 
resolvidos. Pode-se citar, por exemplo, o problema de despacho ótimo de reativos (DOR) o 
qual é um problema de otimização não-linear e não convexo e de grande porte que determina 
um conjunto de variáveis ótimas de estado e controle da rede elétrica, a partir dos dados de 
carga e dos parâmetros do sistema elétrico de potência (SEP). O problema de DOR otimiza 
uma função objetivo enquanto satisfaz um conjunto de restrições físicas e operacionais 
impostas pelas limitações dos equipamentos e exigências de segurança. Pelo fato do DOR ser 
muito útil para análises e estudos nas atividades de operação e planejamento do SEP ele tem 
sido abordado por diversos pesquisadores, dos quais pode-se citar Huneault & Galiana 
(1991), Momoh et al. (1999) e mais recentemente Baptista et al. (2006), entre outros. 
O método de pontos interiores e suas variantes tem sido amplamente aplicados para resolver 
o problema de DOR como em Granville (1994), Costa (2002), Ramos et al. (2005), entre 
outros, devido a sua eficiência e robustez. Destaca-se que, na linha de pontos interiores para 
resolver problemas de programação não-linear (PNL) diversas abordagens têm sido 
propostas na literatura especializada, pode-se citar, entre outros, Breitfeld & Shanno (1996), 
Shanno & Vanderbei (2000), Forsgren et al. (2002), Byrd et al. (2003) e Akrotirianakis & 
Rustem (2005). 
Uma outra linha de técnicas para resolver problemas de PNL são os métodos Lagrangianos 
aumentados ou métodos de Multiplicadores e os métodos shifted-barrier como, por exemplo, 
Hestenes (1969), Powell (1969), Gill et al. (1988), Polyak (1992) e Conn et al. (1997). 
Ressalta-se o trabalho de Polyak (1992) o qual desenvolveu uma teoria de métodos da função 
barreira modificada (FBM) para resolver problemas de otimização restrita. Estes métodos 
combinam as melhores propriedades da função Lagrangiana clássica e da função barreira 
clássica (FBC). Em contraste com a FBC as FBM são definidas na solução; são suaves na 
vizinhança do ótimo; não vão para o infinito quando se aproximam do ótimo e representam 
explicitamente os multiplicadores de Lagrange. Além disso, a solução ótima encontrada no 
método da FBM pode, de fato, estar na fronteira da região factível, o que não acontece com a 
FBC, onde a solução somente pode estar próxima a fronteira, mas nunca alcançá-la. Uma 
característica interessante dos métodos baseados na FBM é de não precisarem de uma solução 
inicial factível, ao contrário dos métodos baseados na FBC que possuem essa desvantagem. 
O objetivo deste trabalho é aplicar uma abordagem baseada na FBM e no método de pontos 
interiores para resolver o problema de DOR com função objetivo não-linear e restrições 
lineares e não-lineares. O método trata as restrições de desigualdade pelo método de barreira 
modificada, resultando em um problema equivalente modificado. Uma função Lagrangiana é 
associada a esse problema. As condições necessárias de primeira-ordem são aplicadas e 
obtém-se um sistema não-linear que é resolvido pelo método de Newton. A solução obtida 
pelo método de Newton fornece as direções de busca para atualização das variáveis primais e 
duais. Os multiplicadores de Lagrange associados à função barreira modificada são 
atualizados pela regra proposta por Polyak (1992). A abordagem será aplicada a um exemplo 
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clássico e ao problema de DOR referente aos sistemas CESP 53 barras, o qual possui um 
total de 701 variáveis e 176 restrições sendo 96 de igualdade e 80 de desigualdade, e o 
equivalente brasileiro sul-sudeste o qual possui um total de 9025 variáveis e 2445 restrições 
sendo 1461 de igualdade e 984 de desigualdade. 
Este trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 apresenta-se a função barreira 
modificada, na seção 3 o método da função Lagrangiana-barreirarelaxada aplicado ao 
problema de DOR, na seção 4 o algoritmo, na seção 5 os testes e resultados e finalmente na 
seção 6 as conclusões do trabalho. 
 
2. A Função Barreira Modificada (Polyak, 1992) 
A função barreira modificada é uma combinação da função Lagrangiana clássica e da função 
barreira clássica. Comparadas com as FBC, as FBM e suas derivadas são definidas na 
solução, não tendem para o infinito, são suaves na vizinhança do ponto ótimo e representam 
explicitamente as estimativas dos multiplicadores de Lagrange. Em contraste com a função 
Lagrangiana clássica, a FBM é estritamente convexa na vizinhança da solução. O método de 
barreira modificada transforma o problema restrito em um equivalente irrestrito, e resolve 
uma seqüência de problemas irrestritos até atingir o ótimo. 
Em seu trabalho, Polyak, apresenta três tipos de FBM: uma para a FBC de Carrol, outra para 
a FBC de Frisch e a Função Barreira Shifted. Neste trabalho utiliza-se a função barreira 
modificada de Frisch, isto é, a logarítmica. Estas funções são definidas através da relaxação 
do conjunto de restrições factíveis. 
Considere um problema de programação não-linear somente com restrições de desigualdade: 
j
Minimizar f (x)
sujeito a : h (x) 0, j 1, , r≥ = … (1) 
em que nx∈ℜ representa o vetor das variáveis do problema e as funções f e hj, j=1,...,r, são 
duas vezes continuamente diferenciáveis. 
Aplica-se uma relaxação na restrição de desigualdade usando o parâmetro de barreira, µ, e 
obtém-se um problema modificado, o qual é desenvolvido no Apêndice A. 
1
j
Minimizar f (x)
sujeito a : ln( h (x) 1) 0, j 1, , r−µ µ + ≥ = …
 (2) 
Ao problema (2) associa-se uma função Lagrangiana: 
r
1
j j
j 1
L f (x) ln( h (x) 1)−
=
= −µ ρ µ +∑ , (3) 
em que x pertence ao interior da região factível relaxada, isto é: 
{ }n
jx | h (x)∈ℜ ≥ −µ , (4) 
e ρj, j=1,...,r, são as estimativas não negativas dos multiplicadores de Lagrange na solução 
ótima. A função Lagrangiana (3) é denominada função barreira modificada. 
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Aplicando-se as condições necessárias de primeira ordem na função (3), em relação à x, com 
ρj, j=1,...,r, e µ constantes, obtém-se: 
( )
r
1
j
j 1
f (x) h(x) 1 h(x) 0−
=
⎡ ⎤∇ − ρ µ + ∇ =⎣ ⎦∑ . (5) 
Aplica-se o método de Newton para resolver o sistema de equações não-lineares (5) e obtém-
se o seguinte sistema de forma simplificada: 
2
xx xL(x, , ) x L(x, , )∇ ρ µ ∆ = −∇ ρ µ 
em que ∆x é o vetor de busca. 
O vetor x é atualizado por: 
k 1 kx x x+ = + σ∆ , (6) 
em que o tamanho do passo σ > 0 é encontrado através da regra de Goldstein-Armijo 
conforme Nocedal & Wright (1999). 
As estimativas dos multiplicadores de Lagrange são atualizadas por meio da regra de Polyak 
(1992), a qual é desenvolvida no Apêndice B. 
( )k 1 k k k 1 k
j j jh (x )+ +ρ = µ ρ + µ . 
 
3. O Método da Função Lagrangiana-Barreira Relaxada Aplicado ao Problema de DOR 
Considere o seguinte problema de DOR: 
i
j
Minimizar f (x)
sujeito a : g (x) 0 i 1,2,...,m n
h (x) 0 j 1,2,..., r
= = <
≥ =
. (7) 
O vetor nx∈ℜ , x (t,V, )= θ , representa as variáveis de estado e de controle do sistema, t os 
taps dos transformadores, V a magnitude da tensão e θ é o ângulo de fase da tensão. A 
função objetivo f(x) representa as perdas de potência ativa na transmissão; o vetor g(x) é o 
conjunto das equações de balanço do fluxo de potência e h(x) é o conjunto das restrições 
funcionais, que representam as gerações de potência reativa nas barras de controle de reativo 
e os limites nas magnitudes das tensões e dos transformadores. As funções f(x), g(x) e h(x) 
do problema de DOR são apresentadas no Apêndice C. 
Transforma-se a restrição de desigualdade do problema (7) em igualdade acrescentando-se 
uma variável auxiliar, como segue: 
i
j j
j
Minimizar f (x)
sujeito a : g (x) 0, i 1, ,m
h (x) s 0, j 1, , r
s 0, j 1, , r
= =
− = =
≥ =
…
…
…
 (8) 
sendo a variável sj, j=1,...,r, denominada de variável de excesso. 
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Aplica-se uma relaxação na condição de não-negatividade do problema (8) usando o 
parâmetro de barreira, µ. Essa relaxação resulta na expansão da região factível do problema 
original. 
i
j j
j
Minimizar f (x)
sujeito a : g (x) 0, i 1, ,m
h (x) s 0, j 1, , r
s , j 1, , r
= =
− = =
≥ −µ =
…
…
…
 (9) 
Como apresentado na seção 2, a função barreira modificada (Polyak, 1992) é utilizada para 
transformar o problema (9) no seguinte problema modificado: 
( )
i
j j
1
j
Minimizar f (x)
sujeito a : g (x) 0, i 1, ,m
h (x) s 0, j 1, , r
ln s 1 0, j 1, , r−
= =
− = =
µ µ + ≥ =
…
…
…
 (10) 
Associa-se ao problema (10) a seguinte função Lagrangiana: 
r m r
1
j j i i j j j
j 1 i 1 j 1
L(x,s, , ) f (x) ln( s 1) g (x) (h (x) s )−
= = =
λ π = −µ ρ µ + − λ − π −∑ ∑ ∑ (11) 
em que ρj, j=1,...,r, são as estimativas dos multiplicadores de Lagrange, λ e π são os vetores 
dos multiplicadores de Lagrange associados as duas primeiras restrições. 
As condições necessárias de primeira-ordem são aplicadas sobre função Lagrangiana (11), 
gerando um sistema de equações não-lineares, como segue: 
x
s
L(x,s, , ) 0
L(x,s, , ) 0
L(x,s, , ) 0
L(x,s, , ) 0
λ
π
∇ λ π =⎧
⎪∇ λ π =⎪
⎨∇ λ π =⎪
⎪∇ λ π =⎩
 (12) 
ou, 
( )
T T
x 1
1
j j
i
j j
f (x) J(x) J (x) 0
s 1 0, j 1, , r
g (x) 0, i 1, , m
(h (x) s ) 0, j 1, , r
−
⎧∇ − λ − π=
⎪
−ρ µ + + π = =⎪
⎨
− = =⎪
⎪− − = =⎩
…
…
…
 (13) 
em que: T
x 1 x mJ(x) ( g (x),..., g (x))= ∇ ∇ , e T
1 x 1 x 2 x rJ (x) ( h (x), h (x),..., h (x))= ∇ ∇ ∇ . 
O sistema de equações não-lineares (13) é resolvido utilizando-se o método de Newton. A 
aplicação do método de Newton gera as direções de busca (∆x, ∆s, ∆λ, ∆π), as quais serão 
utilizadas para a atualização das variáveis do problema, e resulta num sistema matricial, que, 
pode ser representado de forma simplificada como: 
W d L∆ = −∇ (14) 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
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em que: 
T T
xx 1
1
L I J(x) J (x)
I S 0 I
W
J(x) 0 0 0
J (x) I 0 0
⎛ ⎞∇ − − −
⎜ ⎟
− µ −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
, 
é a matriz Hessiana da função Lagrangiana com: 
1 2
1
1 2
r
( s 1) 0
S
0 ( s 1)
−
−
⎛ ⎞ρ µ +
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ρ µ +⎝ ⎠
, 
( )Td x , s , ,∆ = ∆ ∆ ∆λ ∆π e 
( )
T T
x 1
1
j j
i
j
f (x) J(x) J (x)
s 1 j 1, , r
L
g (x) i 1, ,m
(h(x) s ) j 1, , r
−
⎡ ⎤∇ − λ − π
⎢ ⎥
−ρ µ + + π =⎢ ⎥
∇ = ⎢ ⎥
− =⎢ ⎥
⎢ ⎥− − =⎣ ⎦
…
…
…
 
é o vetor gradiente. Verifica-se que o sistema continua determinado para sj = 0, j=1,..., r. 
Os vetores das variáveis x, s, λ e π são atualizados da seguinte forma: 
k 1 k k
px x x+ = +α ∆ 
k 1 k k
ps s s+ = +α ∆ (15) 
k 1 k k
d
+λ =λ +α ∆λ 
k 1 k k
d
+π =π +α ∆π 
em que pα e dα são os passos utilizados na atualização das variáveis primais e duais, 
respectivamente. 
Neste trabalho adotou-se para o cálculo do passo máximo a estratégia utilizada por Monteiro 
& Adler (1989 a,b). O passo é obtido encontrando o menor elemento positivo entre o mínimo 
tamanho de passo de todos os componentes do vetor da variável auxiliar e este menor 
elemento é comparado ao valor 1. Escolhe-se o menor entre eles. O objetivo do passo primal 
é manter as variáveis primais dentro dos seus limites. O passo dual é calculado de forma que 
cada componente do vetor dual π permaneça com seu respectivo sinal, isto é: 
p s 0, s 0
smin min , 1
s∆ < >
⎛ ⎞
α = ⎜ ⎟∆⎝ ⎠
, (16) 
d 0
min min , 1
∆π<
⎛ ⎞π
α = ⎜ ⎟∆π⎝ ⎠
. (17) 
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O parâmetro de barreira µ é atualizado segundo Melman & Polyak (1996), por: 
( )k 1 k 1 r+µ = µ − δ , (18) 
em que r é o número de restrições de desigualdade do problema e 
( )( )1
j jmax 1 s 1 , j 1, , r para s 0−δ = µ + = >… . 
As estimativas dos multiplicadores de Lagrange ρ são atualizadas pela regra de Polyak 
(1992), da seguinte forma: 
( )k 1 k 1 k k 1 k 1
j j js+ + + +ρ = µ ρ +µ . (19) 
 
4. Algoritmo 
O método da função Lagrangiana-barreira relaxada pode ser apresentado pelo seguinte 
algoritmo: 
1. Dado o problema (7), construa a função Lagrangiana (11); 
2. Faça k=0 e dê uma estimativa inicial para k k k k kd (x , s , , )= λ π , k 0ρ > , e k 0µ > ; 
3. Determine o gradiente e a matriz Hessiana da função Lagrangiana, e resolva o sistema 
(14); 
4. Calcule os passos primais e duais. Atualize as variáveis do problema. Faça k=k+1; 
5. Atualize o parâmetro de barreira µ e as estimativas dos multiplicadores de Lagrange, 
ρ, utilizando (18) e (19) respectivamente. 
6. Se o critério de parada está satisfeito então pare. Caso contrário vá para o passo 3; 
 
Um ponto inicial factível para o problema original não é obrigatório, mas a condição s > −µ 
deve ser satisfeita e na solução s 0≥ e 0π ≥ . 
O critério de parada é um teste para verificar a convergência do algoritmo, da seguinte 
forma: 
k
1 1
k
2 2
k
3 3
ν ≤ ξ
ν ≤ ξ
ν ≤ ξ
 ou 
k
1
k
2 2
g(x )
∞
≤ ξ
ν ≤ ξ
 
em que: 
( )
{ }
1
k k 1 k
2
3 j
g(x) ,
f (x ) f (x ) 1 f (x ) ,
max h (x) , j 1, , r.
∞
−
ν =
ν = − +
ν = = …
 
Se os critérios k k k
1 1 2 2 3 3, eν ≤ ξ ν ≤ ξ ν ≤ ξ estão satisfeitos, então a factibilidade primal e dual 
escalar estão garantidas, o que significa que na iteração k tem-se uma solução que satisfaz as 
condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) com precisão ξ1. Quando problemas numéricos 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
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impedem a verificação destas, o algoritmo pára assim que a factibilidade das restrições de 
igualdade é alcançada e as mudanças no valor da função objetivo e das variáveis são 
desprezíveis. Valores típicos para as tolerâncias são ξ1=10-3, ξ2=10-2 e ξ3=10-1. 
 
5. Testes e Resultados 
Para comprovar a eficiência do método da função Lagrangiana-barreira relaxada (FLBR), 
este foi aplicada a um exemplo apresentado por Baptista et al. (2004), ao problema de DOR 
referente aos sistemas CESP 53 barras e equivalente brasileiro sul-sudeste e comparado ao 
método primal-dual barreira logarítmica (PDBL), este último e sua implementação computa-
cional são apresentados em Sousa et al. (2004). No exemplo ilustrativo são apresentados dois 
testes com o método da FLBR, um com o ponto inicial interior e outro com ponto inicial 
exterior ao conjunto factível. No problema de DOR a função objetivo utilizada foi a de 
perdas de potência ativa na transmissão que é uma função não-linear, não convexa e não 
separável. A implementação computacional foi realizada em linguagem Fortran. 
 
A – Exemplo Ilustrativo 
Considere o seguinte problema de PNL: 
( ) ( )4 2
1 1 2
1 2
2
1 2
2
Minimizar x 2 x 2x
sujeito a : x x 3 0
x x 0
1,5 x 2
− + −
+ − =
− ≤
≤ ≤
 (20) 
A função Lagrangiana associada ao problema (20) é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 2 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 2
1 2
3 3 1 2 1 1 2 1
2 2 2 3 2 3
L x , x ,s, , x 2 x 2x ln s 1 ln s 1
ln s 1 x x 3 x x s
x s 2 x s 1,5
− −
−
λ π = − + − −µρ µ + −µρ µ +
−µρ µ + − λ + − − π − + −
π + − − π − −
 (21) 
As condições necessárias de primeira-ordem são aplicadas à função Lagrangiana (21), 
gerando um sistema de equações não-lineares, como segue: 
( )1 2 1 2 3 1 2 3L x , x ,s ,s ,s , , , , 0∇ λ π π π = 
em que: 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3
1 1 2 1 1
1 2 1 2 3
1
1 1 1
1
2 2 2
1
3 3 3
1 2
2
1 2 1
2 2
2 3
4 x 2 2 x 2x 2x
4 x 2x
s 1
s 1
L s 1
(x x 3)
(x x s )
(x s 2)
(x s 1,5)
−
−
−
⎡ ⎤− + − −λ − π
⎢ ⎥− − −λ − π − π − π⎢ ⎥
⎢ ⎥−ρ µ + − π
⎢ ⎥
⎢ ⎥−ρ µ + − π
⎢ ⎥∇ = ⎢ ⎥ρ µ + − π
⎢ ⎥
− + −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − +
⎢ ⎥
− + −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
 (22) 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 311 
O método de Newton é aplicado ao sistema de equações não-lineares (22) para determinar 
os fatores de correção das variáveis 1x∆ , 2x∆ , 1s∆ , 2s∆ , 3s∆ , ∆λ , 1∆π , 2∆π e 3∆π 
resultando em: 
W d L∆ = −∇ 
em que: 
1 2 1 2 3 1 2 3d ( x , x , s , s , s , , , , ),∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆λ ∆π ∆π ∆π 
W é a matriz Hessiana da função Lagrangiana, dada por: 
1 1 1 2
2 1 2 2
2 2
x x x x 1
2 2
x x x x
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
3 3
1
L L 0 0 0 1 2x 0 0
L L 0 0 0 1 1 1 1
0 0 ( s 1) 0 0 0 1 0 0
0 0 0 ( s 1) 0 0 0 1 0
W
0 0 0 0 ( s 1) 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2x 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0
−
−
−
⎡ ⎤∇ ∇ − −
⎢ ⎥
⎢ ⎥∇ ∇ − − −
⎢ ⎥
⎢ ⎥−µρ µ + −
⎢ ⎥
−µρ µ + −⎢ ⎥
=⎢ ⎥µρ µ +⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥
− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −
⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
 
com: 
1 1
1 2 2 1
2 2
2 2
x x 1 1
2 2
x x x x
2
x x
L 12(x 2) 2 2
L 4
L 8
∇ = − + − π
∇ = ∇ = −
∇ =
 
Os vetores das variáveis x, s, λ e π são atualizados usando (15). O parâmetro de barreira µ e 
o vetor das estimativas dos multiplicadores de Lagrange, ρ, são atualizados utilizando (18) e 
(19), respectivamente. 
A Tabela 1 apresenta o processo de convergência do método da função Lagrangiana-barreira 
relaxada aplicado ao problema (20), para um ponto inicial factível. Na Tabela 1, It. é o 
número da iteração, F. Ob. é o valor da função objetivo. Os valores iniciais: das variáveis de 
folga s1 = -x1
2+x2; s2 = -x2+2; s3 = x2-1,50 e dos multiplicadores de Lagrange associados às 
restrições de igualdade e desigualdade, λ = 0; π1 = -ρ1/((s1/µ)+1); π2 = -ρ2/((s2/µ)+1); 
π3 = ρ3/((s3/µ)+1), respectivamente. As equações para calcular os valores iniciais de s1, s2, s3, 
π1, π2 e π3 são obtidas do sistema (13). Neste exemplo as tolerâncias foram de ξ1 = 10-4, 
ξ2 = 10-2 e ξ3 = 10-1. 
A Tabela 2 mostra os valores dos multiplicadores de Lagrange durante o processo de 
otimização. 
 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
312 Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 
Tabela 1 – Convergência do método da FLBR aplicado ao problema (20). 
It. F. Ob. x1 x2 s1 s2 s3 µ αp αd 
0 7,950 1,100 1,900 0,690 0,100 0,400 0,950 - - 
1 4,435 1,316 1,684 -9,31e-10 0,316 0,184 0,491 0,806 1,000 
2 4,610 1,303 1,697 -2,65e-4 0,303 0,197 0,289 1,000 1,000 
3 4,612 1,303 1,697 1,406e-4 0,303 0,197 0,190 1,000 1,000 
 
Tabela 2 – Valores dos multiplicadores de Lagrange durante o processo de otimização. 
It. λ π1 π2 π3 ρ1 ρ2 ρ3 
0 0 -2,230 -0,005 0,007 3,850 0,006 0,010 
1 4,303 -3,281 -0,004 0,008 3,850 0,004 0,007 
2 4,512 -3,851 -0,002 0,005 3,854 0,002 0,004 
3 4,509 -3,857 -0,001 0,003 3,851 0,001 0,002 
 
Observa-se que o problema convergiu em 3 iterações com a restrição de desigualdade 
(x1
2 - x2 - s1 ≤ 0) ativa na solução. 
Para uma melhor visualização do processo de convergência do método para o problema (20), 
apresenta-se a Figura 1. Verifica-se na Figura 1, que a partir de um ponto inicial factível, o 
método procura um ponto na região factível relaxada, a seguir retorna a região factível e 
caminha pelo interior até atingir a solução ótima do problema, mantendo satisfeitas a restrição 
de igualdade e a restrição canalizada da variável x2 durante todo o processo de otimização. 
 
 
Figura 1 – Convergência para o ponto inicial na região factível. 
 
A Tabela 3 apresenta o processo de convergência do método da função FLBR aplicado ao 
problema (20), para um ponto inicial infactível, isto é, na região factível relaxada. Neste 
exemplo as tolerâncias foramde ξ1 = 10-4, ξ2 = 10-2 e ξ3 = 10-1. 
x1 
x2 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 313 
Tabela 3 – Convergência do método FLBR aplicado ao problema (20). 
It. F. Ob. x1 x2 s1 s2 s3 µ αp αd 
0 11,586 1,600 2,500 -0,060 -0,500 1,000 1,600 - - 
1 4,422 1,324 1,676 -7,20e-4 0,324 0,176 0,768 1,000 0,521 
2 4,611 1,303 1,697 4,24e-4 0,303 0,197 0,415 1,000 1,000 
3 4,611 1,303 1,697 -7,50e-12 0,303 0,197 0,190 0,151 1,000 
 
A Tabela 4 mostra os valores dos multiplicadores de Lagrange durante o processo de otimização. 
 
Tabela 4 – Valores dos multiplicadores de Lagrange durante o processo de otimização. 
It. λ π1 π2 π3 ρ1 ρ2 ρ3 
0 0 -4,000 -0,007 0,006 3,850 0,005 0,010 
1 2,341 -3,794 -0,000 0,009 3,854 0,003 0,008 
2 4,509 -3,854 -0,003 0,006 3,850 0,002 0,006 
3 4,506 -3,850 -0,001 0,004 3,850 0,001 0,003 
 
Observa-se que o problema convergiu em 3 iterações com a restrição de desigualdade 
(x1
2 - x2 - s1 ≤ 0) ativa na solução. A Figura 2 apresenta o processo de convergência do 
método para os dados da Tabela 3, nota-se um comportamento semelhante ao da Figura 1 
com exceção do ponto inicial. 
 
 
Figura 2 – Convergência para o ponto inicial na região factível relaxada. 
 
B – Sistema CESP 53 Barras 
O sistema brasileiro equivalente CESP 440 KV de geração e transmissão com 53 barras 
possui as seguintes características: 1 barra de referência, 8 barras de controle de reativos, 
44 barras de carga, 65 linhas de transmissão e 19 transformadores com taps variáveis. 
x1 
x2 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
314 Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 
O problema de DOR associado ao sistema CESP 53 barras é composto por uma função 
objetivo, 96 equações não-lineares, 8 inequações não-lineares canalizadas de potência 
reativa, 19 restrições canalizadas de tap e 53 restrições canalizadas de tensão. Com um total 
de 701 variáveis e uma matriz Hessiana da função Lagrangiana de ordem 540. 
A Tabela 5 apresenta um resumo do processo de convergência do método FLBR, com o 
número da iteração, o valor da função objetivo, a maior violação das restrições de igualdade 
( iErro max g (x)= i=1,2,...,m) e os passos primais e duais respectivamente. Para o método 
FLBR o tempo de processamento foi de 0,12 segundos. A Tabela 6 mostra um resumo do 
processo de convergência do método PDBL com tempo de processamento de 0,15 segundos. 
A solução inicial do sistema CESP 53 barras foi a mesma para os dois métodos. O parâmetro 
de barreira inicial foi µ=0,01 e µ=0,001 para os métodos FLBR e PDBL, respectivamente. 
 
Tabela 5 – Convergência do método FLBR aplicado ao sistema CESP 53 barras. 
It. F. Ob. Erro αp αd 
0 2,289 8,465 - - 
1 2,145 0,201 0,95 0,95 
2 2,083 0,049 1,00 1,00 
3 2,037 0,069 1,00 1,00 
4 2,034 6,0e-4 1,00 1,00 
 
Tabela 6 – Convergência do método PDBL aplicado ao sistema CESP 53 barras. 
It. F. Ob. Erro αp αd 
0 2,289 8,465 - - 
1 2,179 0,433 1,000 0,580 
2 2,123 0,020 1,000 1,000 
3 2,063 0,017 1,000 1,000 
4 2,032 0,012 1,000 1,000 
5 2,037 1,0e-4 1,000 1,000 
 
Destaca-se das Tabelas 5 e 6 que para o sistema CESP 53 barras o método da FLBR em 
relação PDBL convergiu com uma iteração a menos, com o mesmo tempo de processamento 
por iteração. Para os dois métodos o estado final do sistema CESP 53 barras apresenta duas 
magnitudes de tensão próximas aos seus limites superiores e todas as restrições canalizadas 
de tensão, tap e de potência reativa estão dentro de seus limites. A solução final obedece às 
restrições do sistema, satisfazendo o critério de parada com as seguintes tolerâncias para 
ξ1 = 10-3, ξ2 = 10-3 e ξ3 = 10-1 p.u, para uma potência de base de 100 MVA. 
 
C – Sistema equivalente brasileiro sul-sudeste 
O sistema equivalente brasileiro sul-sudeste possui as seguintes características: uma barra de 
referência; 111 barras de controle de reativo; 675 barras de carga; 1065 linhas de transmissão 
e 86 transformadores com taps variáveis. 
O problema de DOR associado ao sistema brasileiro com 787 barras é composto por uma 
função objetivo, 1461 equações não-lineares, 111 inequações não-lineares canalizadas de 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 315 
potência reativa, 86 restrições canalizadas de tap e 787 restrições canalizadas de tensão. Com 
um total de 9025 variáveis e uma matriz Hessiana da função Lagrangiana de ordem 7056. 
As Tabelas 7 e 8 apresentam um resumo do processo de convergência do sistema equivalente 
brasileiro sul-sudeste para os métodos FLBR e PDBL, respectivamente. A solução inicial do 
sistema foi a mesma para os dois métodos. O parâmetro de barreira inicial foi µ=0,001 e 
µ=0,001 e o tempo de processamento foi de 7,05 e 13,11 segundos para os métodos FLBR e 
PDBL, respectivamente. 
 
Tabela 7 – Convergência do método FLBR aplicado ao sistema sul-sudeste. 
It. F. Ob. Erro αp αd 
0 18,155 35,998 - - 
1 17,585 24,414 0,320 0,210 
2 17,114 13,119 0,430 0,450 
3 16,987 6,263 0,520 0,240 
4 16,953 3,769 0,390 0,550 
5 17,004 1,060 0,720 0,510 
6 16,736 0,313 0,680 0,510 
7 16,578 0,102 0,670 0,610 
8 16,360 0,010 0,930 0,800 
9 16,312 0,003 0,770 0,590 
 
Tabela 8 – Convergência do método PDBL aplicado ao sistema sul-sudeste. 
It. F. Ob. Erro αp αd 
0 18,155 35,998 - - 
1 17,948 35,111 0,02 0,06 
2 17,458 30,468 0,13 0,00 
3 17,083 22,728 0,25 0,15 
4 16,810 12,654 0,44 0,01 
5 16,855 11,460 0,09 0,02 
6 16,938 10,656 0,07 0,00 
7 16,766 10,617 0,02 0,00 
8 16,676 10,426 0,07 0,00 
9 16,339 2,881 0,70 0,03 
10 16,315 1,576 0,45 0,08 
11 16,307 0,508 0,66 0,00 
12 16,321 0,337 0,33 0,00 
13 16,298 0,177 0,47 0,01 
14 16,397 0,066 0,63 0,00 
15 16,311 0,002 1,00 0,00 
16 16,310 0,001 1,00 0,00 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
316 Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 
Observa-se que para o método FLBR o problema convergiu em 9 iterações, com 24 
restrições de desigualdade de magnitudes de tensão e 5 restrições de desigualdade de 
potência reativa ativas na solução. 
Analisando o processo de convergência do sistema equivalente brasileiro sul-sudeste para os 
dois métodos, conclui-se que o método da FLBR teve um melhor desempenho que o PDBL 
quanto ao número de iterações e tempo de processamento. 
Para os dois métodos o estado final do sistema equivalente brasileiro sul-sudeste apresenta 
todas as restrições canalizadas de tensão, tap e de potência reativa dentro de seus limites, e a 
solução final obedece às restrições do sistema, satisfazendo o critério de parada com as 
seguintes tolerâncias para ξ1 = 10-2, ξ2 = 10-2 e ξ3 = 10-3 p.u, para uma potência de base de 
100 MVA. 
Ressalta-se que, o método da FLBR aplicado a um problema de otimização ou ao DOR 
convergirá desde que a solução inicial obedeça a condição de relaxação ( s > −µ ), as 
estimativas dos multiplicadores de Lagrange ρ iniciais sejam positivas e o parâmetro de 
barreira µ definido corretamente para o problema. 
 
6. Conclusões 
O artigo apresenta a resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da 
função Lagrangiana-barreira relaxada. Essa abordagem é baseada na associação dos métodos 
de barreira modificada e PDBL. A condição necessária de primeira-ordem da função 
Lagrangiana barreira relaxada é resolvida pelo método de Newton. 
O método da FLBR apresentou um bom desempenho para os sistemas testados e no teste 
comparativo com o método PDBL. Além disso, destaca-se que suas principais vantagens são 
o processo de otimização pode iniciar-se fora da região factível do problema originale poder 
atingir, de fato, o limite das restrições de desigualdade. 
 
Agradecimentos 
Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e a FAPESP 
(Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo apoio financeiro. 
 
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– Part II: Convex Quadratic Programming. Mathematical Programming, 44(1), 43-66. 
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In: Optimization [edited by R. Fletcher], Academic Press, New York, 283-298. 
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(23) Shanno, D.F. & Vanderbei, R.J. (2000). Interior-point methods for nonconvex nonlinear 
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Optimal Power Flow Problem. IEEE Power Engineering Society General Meeting. 
CD Rom ISBN 0-7803-8466-0. Denver – CO, USA. 
 
Apêndice 
 
A – Função Barreira Modificada 
O desenvolvimento da FBM é apresentado, para esse propósito considere o seguinte 
problema de programação não-linear. 
j
Minimizar f (x)
sujeito a : h (x) 0, j 1, , r≥ = … (23) 
em que nx∈ℜ representa o vetor das variáveis do problema e as funções f e hj, j=1,...,r, são 
duas vezes continuamente diferenciáveis. 
A fim de obter a definição da FBM o problema (23) passará por várias modificações. 
Primeiro, o parâmetro de barreira é adicionado à restrição de desigualdade. 
 
Minimizar f (x)
sujeito a h(x)µ + ≥ µ
 (24) 
Segundo, a restrição de desigualdade é dividida e elevada pelo parâmetro de barreira. 
Minimizar f (x)
sujeito a [1 (h(x) / )] (1)µ µ+ µ ≥
 (25) 
Na seqüência a função ln(.) é aplicada a restrição de desigualdade, resultando em: 
Minimizar f (x)
sujeito a ln[1 (h(x) / )] 0µ + µ ≥
 (26) 
Uma função Lagrangiana é associada ao problema, desta forma a FBM é definida. 
f (x) ln[1 (h(x) / )] for h(x)
F(x, , )
caso contrário
−ρµ + µ ≥ −µ⎧µ ρ = ⎨ ∞⎩
 (27) 
 
B – Regra para Atualização da Estimativa do Multiplicador de Lagrange 
Para atualizar as estimativas dos multiplicadores de Lagrange ρ, adota-se o esquema 
proposto por Polyak (1992). Com esse objetivo, constrói-se a FBM associada ao problema 
(23), como segue: 
1F f (x) ln( h(x) 1)−= −ρµ µ + (28) 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 319 
e a função Lagrangiana clássica associada ao problema (23): 
L f (x) h(x)= −ρ (29) 
A seguir, determinam-se os respectivos gradientes das equações (28) e (29): 
1F f (x) [ ( h(x) 1)] h(x)−∇ = ∇ − ρ µ + ∇ (30) 
L f (x) h(x)∇ =∇ −ρ∇ (31) 
Seja xk+1 um ponto que é solução do método de Newton, sistema (14), e que é usado para 
atualizar as estimativas dos multiplicadores de Lagrange. Aplicando-se as condições 
necessárias de primeira ordem na função (28), em relação à xk+1, com ρk e µk constantes, com 
uma iteração de atraso (ou seja, utiliza-se xk+1 para atualizá-los), obtém-se: 
k 1 k k k 1 k k 1f (x ) [ (h(x ) )] h(x )+ + +∇ = ρ µ +µ ∇ (32) 
Agora, aplicando as condições necessárias de primeira ordem e substituindo xk+1 em (31), 
mas após ter ocorrido a atualização de µ e ρ, tem-se: 
k 1 k 1 k 1f (x ) h(x )+ + +∇ = ρ ∇ (33) 
Finalmente, comparando (32) e (33), chega-se no seguinte esquema para atualizar a 
estimativa do multiplicador de Lagrange associado a FBM: 
k 1 k k k 1 k[h(x ) ]+ +ρ = ρ µ +µ (34) 
 
C – Problema de Despacho Ótimo de Reativos 
O problema de DOR apresentado em (7) pode ser reescrito utilizando as equações do fluxo 
de potência, a função objetivo e as demais restrições, conforme Monticelli (1983). 
Minimizar km
(k,m) NL
f (t,V, )
∈
θ∑ 
sujeito a iP (t,V, ) 0∆ θ = i = 1, ..., NBCCR 
 jQ (t,V, ) 0∆ θ = j = 1, ..., NBC 
 lll
Q Q (t,V, ) Q≤ θ ≤ l = 1, ..., NBCR (35) 
 oo ot t t≤ ≤ o = 1, ..., NT 
 pp pV V V≤ ≤ p = 1, ..., NB 
em que: 
- V e θ são os vetores da magnitude e fase da tensão respectivamente; 
- t é o tap do transformador; 
- kmf (t,V, )θ é a função de perdas de potência ativa na transmissão na linha km, dada por: 
2 2
km km k m k m km
(k,m) NL
f (t,V,) g (V V 2V V cos )
∈
θ = + − θ∑ (36) 
Sousa, Baptista & Costa – A resolução do problema de despacho ótimo de reativos pelo método da função Lagrangiana-barreira relaxada 
320 Pesquisa Operacional, v.28, n.2, p.303-320, Maio a Agosto de 2008 
as equações de balanço do sistema elétrico são dadas por: 
 
1. Potência ativa para as barras de carga e de controle de reativo: 
G C
k k k km
m
2
km k km k m km km km km
P (t,V, ) P P P (t,V, );
P (t,V, ) (t V ) g (t V )V (g cos b sen )
∈Ω
∆ θ = − − θ
θ = − θ + θ
∑
 (37) 
 
2. Potência reativa para as barras de carga: 
G C
k k k km
m
2 sh
km k km km k m km km km km
Q (t,V, ) Q Q Q (t, V, );
Q (t,V, ) (t V ) (b b ) (t V ) V (b cos g sen )
∈Ω
∆ θ = − − θ
θ = − + + θ − θ
∑
 (38) 
 
3. Limite na geração de potência reativa para as barras de controle de reativo: 
2 sh
k k km km k m km km km km
m
Q (t,V, ) (t V ) (b b ) (t V ) V (b cos g sen )
∈Ω
θ = − + + θ − θ∑ (39) 
 
- kmg , kmb e sh
kmb são a condutância, a susceptância e a susceptância shunt da linha, 
respectivamente; 
- G
kP e C
kP são as potências ativas, geradas e consumidas, respectivamente; 
- G
kQ e C
kQ são as potências reativas, geradas e consumidas, respectivamente; 
- kQ e kQ são os limites mínimos e máximos de geração de potência reativa; 
- kV e kV são os limites mínimos e máximos das magnitudes das tensões; 
- it e it são os limites mínimos e máximos dos taps variáveis dos transformadores; 
- Ω é o conjunto de todas as barras vizinhas à barra k, incluindo ela mesma; 
- NL é o número total de linhas de transmissão; 
- NB é o número de barras do sistema elétrico; 
- NBC é o número de barras de carga; 
- NBCR é o número de barras de controle de reativo; 
- NBCCR é o número de barras de carga e de controle de reativos; 
- NT é o número de transformadores com tap variável. 
 
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