Circuitos Elétricos e Fotônica

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ESTO001-17 – Circuitos Elétricos e Fotônica Lista 5 
 
 
 
Circuitos Elétricos e Fotônica – Lista 5 – Exercícios 
 
Exercícios de Fotônica (Separados por Tópicos) 
 
 
 Óptica de raios. Reflexão e Refração. 
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar n = 1. 
 
1) Obtenha a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat. 
 
2) Obtenha a lei de refração (lei de Snell) a partir do princípio de Fermat. 
 
3) Um feixe laser se propaga no ar (n1 = 1) e incide na superfície de uma lâmina de vidro 
(n2 = 1,5) de espessura d = 2 cm. O ângulo de incidência  = 35 graus. Calcule o caminho 
óptico do feixe no interior da lâmina. 
Re:  = 3,25 cm 
 
4) Um raio de luz incide em uma interface arvidro. Se o índice de refração do vidro é 
1,7, encontre o ângulo incidente , tal que o ângulo refratado seja  /2. 
Re:  = 63,6 
 
5) Um tanque metálico retangular está cheio com um 
líquido de índice de refração desconhecido. Um observador 
O, com os olhos no nível da superfície, consegue enxergar 
até a extremidade E do tanque. O raio de luz que refrata em 
direção ao observador está ilustrado na figura ao lado. Se D 
= 85,0 cm e L = 1,10 m, qual o índice de refração do 
líquido? 
Re: n = 1,26 
 
6) Na figura ao lado, um poste vertical de 2,0 m de 
altura se estende do fundo de uma piscina até um 
ponto 50,0 cm acima da superfície da água. A luz solar 
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incide formando um ângulo  = 55. Qual o 
comprimento da sombra do poste no fundo da piscina? 
(Considere o índice de refração da água 4/3). 
Re: L = 1,065 m 
 Reflexão Interna Total 
 
7) Uma fonte pontual emite raios de luz em todas as direções. A fonte está localizada 
80cm abaixo da superfície de uma piscina com água (n = 4/3). Encontre o diâmetro do 
círculo na superfície da piscina através do qual a luz emerge da água. 
Re: D = 181,4 cm 
 
8) Um raio luz incide perpendicularmente à face ab do 
prisma de vidro (n = 1,52) ao lado. Encontre o maior 
valor possível para o ângulo , tal que o raio sofra 
reflexão interna total (perpendicular) na face ac para: 
a) o prisma imerso em ar; b) o prisma imerso em água 
(n = 4/3). 
Re: a)  (Max) = 48,9 ; b)  (Max) = 28,7 
 
 Ondas. Polarização. 
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar n = 1. A velocidade 
da luz no espaço livre c0 = 3108 m/s e a permissividade 0 = 8,851012 F/m. 
 
1) Um diodo laser emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre (vácuo). 
Ache o valor numérico do número de onda na água (n = 1,33). 
Re: κ = 1/λ = 2,1 m1 
 
2) Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, 
respectivamente  e  + ,  e  + . Mostre que as razões  e  são 
aproximadamente iguais. Considere que as ondas se propagam no vácuo. 
 
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3) Mostre que:    )(exp)]exp(ˆˆ[ tkziibyxEe E 
)]cos(ˆ)cos(ˆ[    tkzbytkzxE . Considere 
0E e b reais. 
 
4) Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está 
orientado na direção z e seu módulo é dado por 15
0 0cos 10 [( 0,65 ) ]zE E x c t  . Considere 
as dimensões no SI. Determine: 
(a) A frequência angular da luz; (b) O comprimento de onda; (c) O índice de refração do 
vidro; (d) a direção e sentido de propagação da onda. 
Re: a)  = 1015 rad/s; b)  = 390 nm; c) n = 1,54 ; d) +x 
 
5) Considere uma onda com uma velocidade de fase 3108 m/s e uma frequência de 
61014 Hz. 
a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30 graus? 
b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em 106 s? 
c) Quantas ondas passaram nesse tempo? 
Re: a) d = 41,7 nm ; b)  = 2,161011 graus; c) N = 600.000.000 ondas 
 
6) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, tem o vetor campo elétrico 
descrito por )cos(ˆ   tzxE V/m. Considere as dimensões no SI. 
Determine: 
a) O número de onda; 
b) A fase inicial; 
c) A direção de polarização; 
d) A direção do vetor campo magnético H; 
e) A direção e sentido do vetor de Poynting S; 
f ) O índice de refração do meio. 
Re: a) k = 2107 rad/m e κ = 3,2x106 m-1 ; b)  ; c) x ; d)- y ; e) z ; f) n = 1,5 
 
7) Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo 
elétrico nas direções x̂ , ŷ e ẑ dadas por ]})[(cos{ tczEx  
 V/m e 
 zy EE . Considere as dimensões no SI. Determine: 
a) A amplitude do campo elétrico da onda; 
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b) A direção e sentido do fluxo de energia; 
c) A frequência em Hz; 
d) O comprimento de onda. 
Re: a) E0 = 10 V/m; b) z ; c) f= 41014 Hz; d)  = 750 nm 
 
8) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, propaga-se em um pedaço de 
vidro. O vetor campo elétrico dessa onda é dado por: 


















t
xy

cosˆE V/m. Considere as unidades no SI e x̂ , ŷ e ẑ os 
versores nas direções das coordenadas x, y e z, respectivamente. Determine: 
a) A direção de polarização; 
b) A direção do vetor campo magnético H; 
c) A direção e o sentido do vetor de Poynting S; 
d) O número de onda no vácuo. 
Re: a) y ; b) -z ; c)  x ; d) k0 = 8,38 rad/m e κ = 1,33μm-1 
 
 Potência e Irradiância. 
 
1) Um transmissor de ondas de rádio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. 
Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. 
Re: Nph = 2,16  1030 fótons por segundo 
 
2) Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão 
(1 2) 0 0S E H , onde  )(exp tkzie  0EE e  )(exp tkzie  0HH . 
 
3) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado 
em uma área circular de 10 m de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do 
campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade 
c = 
3108 m/s e a permissividade 
 = 8,851012 F/m. Expresse os resultados em unidades 
SI. Re: E0 = 2,2105 V/m 
 
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4) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio 
recebe um sinal de irradiância 10 W/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da 
onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre 
um hemisfério, qual a potência da onda transmitida? 
Re: a) E0 = 87 mV/m; b) 230 A/m; c) 6,28 kW 
 
5) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632,8 nm e potência 3 mW. O 
feixe diverge com um ângulo  = 0,17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a 
irradiância do feixe a uma distância d = 40 m do laser? Considere que o laser é substituído 
por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b) 
Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m? 
 
 
 
 
Re: a) 82,6 W/m2; b) 1,7 MW 
 
 Polarizadores. Lei de Malus. 
 
1) Um feixe laser de potência óptica P = 100 mW está linearmente polarizado na direção 
ŷ . Esse feixe se propaga na direção x̂ e incide em um polarizador linear com eixo de 
transmissão formando um ângulo de 30 graus com o eixo ŷ . Calcule a potência óptica do 
feixe transmitido pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. 
Re: P = 75 mW 
 
2) Uma onda plana randomicamente polarizada incide perpendicularmente em um 
polarizador linear. A irradiância da onda incidente I = 300 mW/cm2. Calcule a irradiância 
da luz transmitida pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. 
Re: I = 150 mW/cm2 
 
 
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3) Um feixe laser colimado está linearmente polarizado na direção y 
e se propaga em um sistema contendo dois polarizadores. Os 
ângulos dos eixos de transmissão dos polarizadores em relaçãoao 
eixo y são 1 = 70 e 2 = 90. Se a irradiância do feixe incidente é 
43 W/m2, qual a irradiância do feixe transmitido pelo sistema? 
Re: I = 4,4 W/m2 
 
4) Um feixe de luz linearmente polarizado na direção vertical ( ŷ ) passa através de um 
sistema de dois polarizadores lineares. Com relação à direção ŷ , o eixo de transmissão 
do primeiro polarizador faz um ângulo  e o eixo de transmissão do segundo polarizador 
faz um ângulo de 90. Se 10% da potência óptica incidente é transmitida pelo sistema, 
qual o ângulo  ? 
Re:  = 20 ou 70 
 
 Fibras Ópticas 
 
1) A abertura numérica de uma fibra óptica é definida como NA an sin , com n o 
índice de refração do meio externo que envolve a fibra e a o semi-ângulo de abertura do 
cone de aceitação. Mostre que, para uma fibra com perfil de índice tipo degrau, NA = 
2 2 1 2
1 2( )n n , com n e n os índices do núcleo e da casca da fibra respectivamente. 
 
2) Uma fibra óptica tem diâmetro d = 50 m, índice do núcleo n = 1,460 e da casca n = 
1,457. Quantas reflexões ocorrem em cada metro de fibra para o modo de mais alta 
ordem? 
Re: 1284 reflexões/m 
 
3) Considere uma fibra óptica multimodo de comprimento L = 1 km, com perfil de índice 
tipo degrau, índice do núcleo n = 1,48 e índice da casca n = 1,46. 
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(a) Dado um pulso óptico na entrada, calcule o alargamento temporal (t) do pulso na 
saída. Sugestão: Calcule o tempo ( mint ) de propagação do pulso no modo fundamental. 
Em seguida, calcule o tempo ( MAXt ) de propagação no modo de ordem mais alta possível. 
O alargamento temporal minttt MAX  . 
(b) Considerando que dois pulsos ópticos consecutivos devem estar separados no tempo 
de pelo menos 2t para serem lidos na saída, calcule a taxa temporal máxima de pulsos 
(Bits/segundo, onde cada pulso representa um Bit) que pode ser transmitida através dessa 
fibra. 
Re: a) 67,6 ns ; b) 7,40 MBits/s 
 
4) Uma fibra óptica com perfil de índice tipo degrau tem índices do núcleo n = 1,48 e da 
casca n = 1,46. O diâmetro do núcleo é de 2 m. Calcule o comprimento de onda de 
corte no vácuo ( c ), tal que para c  somente um modo guiado existe na fibra. 
Re: c = 634 nm 
 
5) O coeficiente de atenuação de uma fibra óptica para um certo comprimento de onda é 
 3 dB/km. Considere a potência óptica na entrada da fibra INP = 10 mW. Calcule a 
potência OUTP na saída para os seguintes comprimentos L da fibra: 
a) L = 1 km ; b) L = 2 km 
Re: a) POUT = 5 mW ; b) POUT = 2.5 mW 
 
6) O coeficiente de atenuação de uma fibra óptica para um certo comprimento de onda é 
 10 dB/km. Considere que a potência óptica na entrada da fibra INP = 1 W. Calcule a 
potência OUTP na saída para os seguintes comprimentos L da fibra: 
a) L = 1 km ; b) L = 2 km ; c) L = 3 km 
Re: a) POUT = 100 mW ; b) POUT = 10 mW ; c) POUT = 1 mW 
 
7) A potência óptica incidente em uma fibra óptica monomodo por um laser de diodo 
operando com  = 1300 nm é de aproximadamente 1 mW. O fotodetector na saída da 
fibra requer uma potência mínima de 10 nW para fazer a detecção do sinal. A fibra tem 
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um coeficiente de atenuação de 0,4 dB/km. Qual é o máximo comprimento da fibra que 
pode ser usado sem ter de se inserir um repetidor/regenerador de sinal no sistema? 
Re: L = 125 km 
 
8) Um sinal óptico de 4 mW de potência é inserido em um cabo de fibra óptica com 3 km 
de comprimento. Esse cabo é formado emendando-se três fibras de 1 km de comprimento 
cada. O coeficiente de atenuação da fibra é  = 1 dB/km e a perda de potência em cada 
emenda é de 0,5 dB. Qual a potência óptica na saída da fibra? 
Re: POUT = 1,59 mW 
 
 Interferência 
 
1) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo 
elétrico nesse ponto são tEE cos  e )cos(   tEE  , ambas na mesma direção 
e sentido. Escreva a expressão do campo resultante (amplitude e fase). 
Re: E = 1,81E0 cos(t + 25) 
 
2) Duas fontes pontuais de ondas de rádio S e S , separadas por uma distância d = 2 m, 
estão radiando em fase com  = 0,50 m. Um detector percorre um caminho circular de 
raio dr  em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um 
plano que contém o eixo (x) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta? 
 
 
 
Re: 16 máximos 
 
3) Dois feixes de luz colimados de frequência  = 5,64  1014 Hz se propagam em um 
meio com índice de refração n = 1,5. Os feixes têm vetores de propagação k1 = k x̂ e k2 = 
k ŷ (i.e., se propagam em direções ortogonais) e interferem em uma região do espaço. 
Calcule o número de franjas por milímetro (franjas/mm) do padrão de interferência na 
direção K = k1  k2. 
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 Re: N = 3988 franjas/mm. 
 
4) Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz branca. Se a franja 
clara de primeira ordem da componente infravermelha (780 nm) coincide com a franja 
clara de segunda ordem da componente violeta, qual o comprimento de onda dessa 
última? 
Re: VIO = 390 nm. 
 
5) Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância entre as fendas é de 
0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 m. A franja brilhante de 3ª ordem 
forma-se a uma distância de 15 mm da franja de ordem 0. Calcular o  da luz utilizada. 
Re:  = 500 nm. 
 
6) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento 
de onda  = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância d (na direção do 
feixe incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine d. 
Re: d = 19 m 
 
7) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. Um dos 
espelhos é então movido 25 m e observa-se que 90 franjas claras passam no processo. 
Determine o comprimento de onda da luz incidente. 
Re:  = 556 nm 
 
8) Considere um filme fino depositado sobre uma lente, como ilustra a figura abaixo. Um 
feixe de luz colimado com 0 = 532 nm incide perpendicularmente à superfície da lente. 
Calcule a espessura d do filme para que as ondas refletidas na 1ª interface (onda 1) e na 2ª 
interface (onda 2) interfiram destrutivamente. 
 
 
 
 
Lente: n = 1,5 
Filme: n = 1,3 
Ar: n = 1 
d 
(1) (2) 
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Re: d = 102 nm 
 
9) Um interferômetro de Michelson é utilizado para 
medir o índice de refração do ar na temperatura e 
pressão ambientes. Para isso, uma célula de vidro de 
comprimento d = 10 cm é inserida em um dos braços 
do interferômetro. (Despreze a espessura das paredes 
de vidro da célula). Luz de comprimento de onda  = 
590 nm é utilizada. Considere que a célula está 
inicialmente cheia de ar. Em seguida, o ar é 
bombeado para fora da célula, fazendo-se vácuo no 
seu interior. Sabendo que 129 franjas claras passam 
nesse processo, calcule o índice de refração do ar 
com 6 dígitos significativos. 
Re: nAR = 1,00038. 
 
 
 Difração 
 
1) Um feixe laser colimado com  = 550 nm incide em uma fenda estreita. Numa tela 
situada a 5 m observa-se um padrão de difração, sendo que a distância do primeiro 
mínimo ao máximo brilhante central é de 30 mm. Qual é a largura da fenda? 
Re: b = 92 m 
 
2) Um feixe de luz colimado de comprimento de onda  = 633 nm incide normalmente 
em uma fenda de largura 0,5 mm. Uma lente de distância focal 50 cm, colocada 
imediatamente após a fenda, focaliza a luz difratada em uma tela colocada no plano focal 
da lente. Calcule a distância do primeiro mínimo de irradiância com relação ao centro do 
padrão de difração (máximo central). 
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Re: 633 m 
 
3) Um feixe laser colimado incide sobre uma rede de difração que tem 500 linhas por mm. 
Em um anteparo colocado a 1 m darede, o máximo central e o de primeira ordem estão 
separados por 30 cm. Determinar o comprimento de onda do laser. 
Re:  = 575 nm 
 
4) A luz de um laser incide sobre uma rede de difração com 5310 linhas/cm. O máximo 
central e o de primeira ordem estão separados por 0,49 m num anteparo distante 1,72 m 
da rede. Determinar o comprimento de onda do laser. 
Re: 516 nm 
 
5) Um feixe laser colimado ( = 633 nm) emerge através de uma abertura circular de 
diâmetro 0,5 cm. Estimar o diâmetro do feixe a 10 km do laser. 
Re: 3,09 m 
 
6) Qual o tamanho do telescópio (raio de abertura) necessário para resolver a imagem de 
duas estrelas cuja separação linear é de 100 milhões de km e cuja distância à Terra é de 10 
anos luz? (Considere  = 500 nm). 
Re: 28,9 cm 
 
7) O telescópio de Monte Palomar tem um espelho de 508 cm de raio. a) Qual a distância 
a que devem ficar dois objetos na superfície da Lua para serem observados pelo 
telescópio, segundo o critério de Rayleigh? b) Calcular essa distância se os objetos fossem 
observados apenas com o olho. Considere  = 500 nm; Distância Terra–Lua: 384.400 km; 
Diâmetro do olho: 4 mm. 
Re: a) 23 m ; b) 58,6 km 
 
8) Duas manchas solares aparecem na superfície do sol a uma distância de 90 km entre 
elas. Qual deve ser o diâmetro do espelho de um telescópio situado na terra para resolver 
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essas duas manchas segundo o critério de Rayleigh? Considere  = 550 nm e a distância 
Terra-Sol de 8 minutos-luz. 
 Re: 1,07 m 
 
 Semicondutores 
 
1) Considere uma pastilha de Silício com as dimensões descritas abaixo, na temperatura T 
= 300 K. Dados: 
in = 1.5  1010 cm3, 
n = 1350 cm2/Vs e p = 480 cm2/Vs 
a) Se a pastilha é de Si puro (intrínseco), qual deve ser a diferença de potencial (V) que 
deve ser aplicada para circular uma corrente de 1 A ? 
b) Se a pastilha é de Si tipo N, com DN = 5  1014 cm3 (i.e., adição de 1 átomo de 
impureza para cada 108 átomos de Si) qual deve ser a diferença de potencial que deve ser 
aplicada para circular uma corrente de 1 A ? 
a) 1370 V; b) 56 mV 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma barra de semicondutor tipo N de silício tem comprimento L = 3 mm. As faces 
conectadas aos terminais são metalizadas e têm dimensões de (50100) m. A 
concentração de impurezas doadoras é de 5  1012 cm–3 e a concentração de átomos de 
silício é de 5  1022 cm–3. Considere T = 300 K. A concentração intrínseca do silício 
in = 
1.5  1010 cm–3, a mobilidade dos elétrons n = 1350 cm2/(V.s) e a mobilidade das 
lacunas p = 480 cm2/(V.s). A carga elementar e = 1.6  10–19 C. 
a) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores majoritários? 
b) Qual a corrente que flui através da barra devido aos portadores minoritários? 
a) 180 A; b) 576 pA 
100 m 
50 m 
3 mm 
V = ? 
i = 1 A 
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3) Determine a variação da tensão nos terminais de um diodo correspondente a uma 
variação de 20:1 na corrente que circula através dele. Considere T = 300 K, o fator de 
idealidade  = 2 e a corrente que circula através do diodo muito maior que a corrente de 
saturação reversa (i >> Si ). 
Re: V = 155 mV 
 
4) Qual deverá ser o valor da resistência R na figura abaixo para que a corrente através do 
diodo seja de 0,20 mA? Considere uma queda de tensão de 0,7 V no diodo de silício. 
Re: R = 19.8 k 
 
 
 
 
 
 
5) O LED da figura abaixo opera com um queda de tensão de 2 V e tem especificação de 
potência máxima de 100 mW. Calcule o valor mínimo da resistência R que impede o LED 
de se queimar. 
27.2  
 
 
 
 
 
 
 
 
L = 3 mm 
+ 1000 V 
i 
R 
10 k 10 k 
+ 12 V 
+ 30 V 
24  
6  
24  
12  
R 
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6) A figura abaixo ilustra a resposta espectral de um fotodiodo de Si com área ativa de 2 
mm2. A corrente de saturação reversa si = 5 nA, T = 300 K e o fator de idealidade  = 1. 
Considere o fotodiodo uniformemente iluminado com luz de comprimento de onda  e 
irradiância I. 
a) Se  = 600 nm e I = 10 mW/cm2, estime a tensão nos terminais do fotodiodo se ele é 
operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais em circuito aberto. 
b) Se  = 950 nm e I = 100 mW/cm2, estime a corrente que circula pelo fotodiodo se ele é 
operado no modo fotovoltaico, considerando seus terminais curto-circuitados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re: a) V = 250 mV ; b) i =  1.2 mA 
 
7) Considere um cristal de GaAs puro. O cristal está em equilíbrio térmico na temperatura 
ambiente T = 300 K e a concentração intrínseca 
in = 1.8  106 cm3. Devido à energia 
térmica, pares elétrons-lacuna são produzidos constantemente, existindo um equilíbrio 
entre as taxas de geração (G) e de recombinação (R), i.e., G = R. Considere: 1) A taxa de 
recombinação R = rnp, com r  2  1010 cm3/s o parâmetro de recombinação elétron-
lacuna, n a densidade de elétrons livres e p a densidade de lacunas; 2) 50% das 
recombinações são radiativas. Assuma por simplicidade que os fótons emitidos têm a 
energia do bandgap Eg = 1.42 eV. 
a) Calcule a densidade de potência óptica (em Watts/cm3) emitida pelo cristal; 
b) Determine a frequência da luz emitida; 
c) A qual faixa do espectro eletromagnético pertence essa radiação? 
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Re: a) 7.361017 W cm3 ; b) 3.431014 Hz ; c) Infravermelho 
 
8) O que é um LED? Quais suas principais características? 
Re: Um LED é essencialmente uma junção pn feita de um material semicondutor de 
bandgap direto. Para operação, a junção deve ser polarizada diretamente. A injeção de 
uma corrente elétrica através da junção aumenta a taxa de recombinação elétron-lacuna, 
com conseqüente emissão de fótons (no caso das recombinações radiativas). A energia do 
fóton emitido GEh  , com GE a energia do gap.