Raciocinio Logico

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Raciocínio Lógico 
 
 
 
 
 
Módulo I 
 
 
 
Estruturas Lógicas 
 
 
Sentenças ou Proposições 
 CONCEITO 
As sentenças ou proposições são os elementos que na linguagem escrita ou falada 
expressam uma idéia. Só consideraremos as que são bem definidas, isto é, aquelas que 
podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. 
 Essas sentenças, geralmente, são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s, ... 
 Considere os exemplos a seguir: 
p : Mônica é inteligente. 
q : Cláudia é brasiliense. 
r : 7 > 3. 
s : 8+2 ≠ 10. 
Tipos de Sentenças 
 Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em: 
a) Declarativas ou afirmativas: São as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. 
Exemplo: Cássio é o melhor goleiro do Brasil. 
b) Interrogativas: São aquelas sentenças em que se questiona algo. 
Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. 
Exemplo: Lula estava certo em cancelar o visto do repórter do New York Times? 
c) Imperativas ou ordenativas: São as proposições em que se ordena alguma coisa. 
Exemplo: Mude a geladeira de lugar. 
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Sentenças Abertas 
 Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. 
São as chamadas sentenças abertas. 
 
 Exemplos 
 1 - p(x): x + 4 = 9 
 A sentença matemática x + 4 = 9 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. 
 Obviamente, apenas um deles é verdadeiro, x = 5, tornando a sentença verdadeira. Porém existem 
infinitos números que podem fazer com que a proposição torne-se falsa, como, por exemplo, x = -5. 
 2 - q(x): x < 3 
 Da mesma maneira, na sentença x < 3, obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. 
 Porém, alguns são verdadeiros, como x = -2. Já outros valores são falsos, como x = +7. 
Modificador 
 A partir de uma proposição podemos formar uma outra proposição usando o modificador “não” (~), que 
será a sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto à proposição. 
 
 Exemplo: 
 p : Jacira tem 3 irmãos. 
 ~p : Jacira não tem 3 irmãos. 
 É fácil verificar que: 
 . quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 
 . quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira. 
 
 Para se classificar facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizaremos as chamadas tabelas-
verdade. 
 
 Para a negação, tem-se: 
 
 
 Alguns matemáticos utilizam o símbolo ¬ para o modificador negação.Por exemplo, a negação da frase 
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“O Brasil possui um grande time de futebol” pode ser representada como “¬ O Brasil possui um grande time 
de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”. 
Sentenças abertas 
 Exemplo 
 1 – A negação da sentença aberta “y ≥ +5” corresponde a: 
a) y ≥ -5 
b) y ≤ +5 
c) y < +5 
d) y < -5 
e) y ≤ -5 
Resolução: 
i) Algumas sentenças, ditas como abertas, também podem ter a sua sentença negativa. Portanto, é possível 
negar a sentença “y ≥ +5”. 
ii) Dizer que um número não é maior o u igual a + 5 é o mesmo que dizer que o número é menor que +5. 
Portanto, a resposta da questão é a letra "c". 
Conectivos 
 Para se compor novas proposições, definidas como compostas, a partir de outras proposições simples, 
usamos os conectivos. 
 Os conectivos mais usados são: “e” (Λ), “ou” (V), “se...então” (→) e “se e somente se” (↔). 
 Exemplos: 
a) Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país. 
b) Professor Fábio é esperto ou está doente. 
c) Se eu comprar um carro, então eu venderei meu carro antigo. 
d) Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo. 
 Conectivo “e” (Λ) 
Sejam os argumentos: 
p : -3 é um mesmo inteiro, e 
q : a cobra é um réptil. 
 Com os argumentos acima, podemos compor uma sentença fechada, que expressa os dois argumentos: 
 “-3 é um número inteiro e a cobra é um réptil.” 
 A sentença acima pode ser representada como p Λ q, podendo receber um valor lógico, verdadeiro ou 
falso. 
Se “p” e “q” são duas proposições, a proposição “p Λ q” será chamada conjunção. 
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 Observe que uma conjunção “p Λ q” só é verdadeira quando “p” e “q” são verdadeiras. 
 Para a conjunção tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
Proposições Compostas 
Exemplo 
 
Considere a proposição "Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito." Como Pedro não é bonito, 
então: 
a) “Pedro é estudioso e trabalhador”. 
b) “Pedro é estudioso ou trabalhador”. 
c) “Pedro não é estudioso ou não é trabalhador”. 
d) “Pedro é estudioso e não é trabalhador”. 
e) “Pedro não é estudioso e não é trabalhador”. 
Resolução: 
i) p: “Pedro é estudioso e trabalhador” e q: “Pedro é bonito”. 
ii) A proposição principal fica reduzida a p ou q. 
iii) Como a proposição p ou q é uma afirmação verdadeira, temos que se q é falsa, 
pela definição do conectivo “ou”, só resta afirmar que p é verdadeira, ou seja, “Pedro é 
estudioso e trabalhador”. 
Resposta: letra “a”. 
Conectivo “ou” (V) 
 O conectivo “ou” pode ter dois significados: 
a) “ou” inclusivo: 
 Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. 
 (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente). 
b) “ou” exclusivo: 
 Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. 
 (Se Elisabete for paulista, não será carioca e vice-versa). 
Iremos estudar o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou mais características, como 
o exemplo da letra “a”, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características. 
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Sejam: 
p : é um número inteiro. 
q : O Brasil é pentacampeão mundial de futebol. 
 
 A partir de p e q podemos compor: 
p v q : é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. 
 
 Se “p” e “q” são duas proposições, a proposição “p v q” será chamada adjunção ou disjunção. 
 Observe que uma adjunção “p v q” é verdadeira quando uma das proposições formadoras “p” ou “q” é 
verdadeira. 
 Para a adjunção tem-se a seguinte tabela-verdade. 
 
Proposições Compostas 
Exemplo: 
Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é paulista. 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
Resolução: 
i) Considerando p: “Pedro é pedreiro” e q: “Paulo é paulista”, a proposição composta do enunciado torna-se 
“não p ou q”. 
ii) Devemos, então, através de tabelas-verdade, descobrir uma proposição composta que tenha os mesmos 
valores lógicos da proposição composta original. 
iii) Observa-se que a proposição “não p ou q” é equivalente à “p se q”, ou seja, é equivalente à se Pedro é 
pedreiro, então Paulo é paulista. 
Resposta: letra “a”. 
 
 
 
Outros Conectivos Lógicos 
“Se... então” ( → ) 
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Sejam as proposições abaixo: 
p : 5 x 4 = 20. 
q : 3 é um número primo. 
A partir de p e q podemos compor: 
p → q : Se 5 x 4 = 20, então 3 é um número primo. 
 CONCEITO 
Se “p” e “q” são duas proposições, a proposição “p → q” é chamada 
subjunção ou condicional. 
Considere a seguinte subjunção: 
“Se fizer sol, então irei à praia”. 
 Podem ocorrer as situações: 
I - Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 
II - Fez sol e não fui a praia. (Eu menti) 
III- Não fez sol e não fui à praia (Eu disse a verdade) 
IV - Não fez sol e fui à praia (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, 
poderia ir ou não ir à praia) 
 Observe que uma subjunção “p → q” somente terá como falso quando a primeira proposição “p” é 
verdadeira e a segunda “q” é falsa. 
 Para a subjunção tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
 Existem outras maneiras de se ler “p → q”: 
“p é condição suficiente para q”, ou ainda, “q é condição necessária para p”. 
 Sejam: 
p : 18 é divisível por 6 
q : 18 é divisível por 2 
 Podemos compor: 
p → q : Se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler: 
“18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2”, ou ainda 
“18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”. 
 Outro exemplo: 
 
 Sejam:~ 
 7 
p : 4 > 2 
q : 4 ≠ 1 
p → q : Se 4 > 2, então 4 ≠ 1 
“4 > 2” é condição suficiente para” 4 ≠ 1” e “4 ≠ 1” é condição necessária para 
“4 > 2”. 
Proposições Compostas - Conectivo "Se, então" 
 Exemplo: 
 
Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina 
não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo, 
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. 
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. 
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. 
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. 
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. 
Resolução: 
i) Carina é amiga de Carol implica Carmem é cunhada de Carol. 
ii) Carmem não é cunhada de Carol. 
iii) Carina não é cunhada de Carol implica Carina é amiga de Carol 
Do item ii), podemos concluir no item i) que Carina não é amiga de Carol. 
Analisando as alternativas, a única possível é a letra B. 
Resposta: letra b. 
“Se e somente se” (↔) 
 Sejam: 
P : 16 ÷ 2 = 8, 
q : 2 é um número primo. 
A partir de p e q podemos compor: 
p ↔ q : 16 ÷ 2 = 8 se e somente se 2 é um número primo. 
 Se “p” e “q” são duas proposições, a proposição “p ↔ q” é chamada bijunção ou bicondicional que 
também pode ser lida como: 
“p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”. 
 Considere, agora, a seguinte bijunção: 
“Irei à praia, se e somente se, fizer sol”. 
 
 Podem ocorrer as situações: 
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I - Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 
II - Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 
III - Não fez sol e fui à praia. (Eu menti) 
IV - Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 
 Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas 
verdadeiras. 
 Para a bijunção tem-se a seguinte tabela-verdade: 
 
 Devemos lembrar que “p ↔ q” é o mesmo que “(p → q) Λ (q → p)”. 
 Assim, dizer “Hoje é sábado se e somente se amanhã é domingo”. 
é o mesmo que dizer: 
 “Se hoje é sábado então amanhã é domingo e se amanhã é domingo então hoje é sábado”. 
 CONCEITO 
Diremos que “p equivale a q” (p ↔ q) quando estamos considerando a 
relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔, que 
denota uma operação entre duas ou mais proposições, que resulta numa nova 
proposição. 
 Exemplos 
1 – Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: 
a) p1 : 2 + 5 = 7 ou 2 + 5 = 6 
Temos que p → q, com p(V), q (F), portanto p1 (V). 
b) p2 : Se 2 + 4 = 8, então 2 + 6 = 9 
Temos que p → q, com p(F), q(F), portanto p2 (V). 
2 – Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: 
 “se x2 - 14x + 48 = 0, então x - 2 = 4”. 
Como x
2
 - 14x + 48 = 0 x = 6 ou x = 8 e x - 2 = 4 x = 6, tem-se: 
I - (VV) substituindo x por 6 temos o valor lógico V. 
II - (VF) substituindo x por 8 temos o valor lógico F. 
III - (FV) não se verifica. 
IV - (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor lógico de V. 
3 – Sejam as proposições: 
p : Joana é graciosa. 
q : Fátima é tímida. 
 9 
Dar as sentenças verbais para: 
a) p →~q 
Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. 
b) ~(~pvq) 
É falso que Joana não é graciosa ou é Fátima é tímida. 
Propriedade de Proposições 
Uma proposição composta interligada pelo conectivo "se, então" pode ser reescrita de outra maneira, mas com 
o mesmo significado. 
A proposição "p implica em q" pode ser rescrita como "não q implica em não p". 
Exemplo 
 
1 - Duas grandezas x e y são tais que: 
“se x = 3 então y = 7”. 
Pode-se concluir que: 
a) se x ≠ 3 então y ≠ 7 
b) se y ≠ 7 então x ≠ 3 
c) se y = 7 então x = 3 
d) se x = 5 então y = 5 
e) nenhuma das conclusões acima é válida. 
Resposta: letra b. 
Tautologia 
 As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com V são chamadas logicamente verdadeiras 
ou tautologias. 
 
Proposições logicamente falsas (Contradição) 
 As proposições que apresentam a tabela-verdade somente com F são chamadas logicamente falsas ou 
contradições. 
PROPRIEDADES 
 
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TEOREMA CONTRA-RECÍPROCO 
“p q” equivale a ~q ~p 
Exemplos 
1 – “Se um número inteiro é par, então seu quadrado é par”, que equivale a: 
“Se o quadrado de um número inteiro não é par, então o número inteiro não é par”. 
2 – Consideremos agora a definição de função injetora: 
 “Uma função f de A em é injetora se e somente ( x1, x2 A)(x1 ≠ x2 f(x1) f(x2))” que 
equivale a: 
 “Uma função f de A em é injetora se e somente ( x1, x2 A)(x1 = x2 f(x1) = f(x2))” 
Proposições Compostas 
Exemplo 
Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que: 
a) todos não-artistas são não-atletas 
b) nenhum atleta é não-artista 
c) nenhum artista é não-atleta 
d) pelo menos um não-atleta é artista 
e) nenhum não-atleta é artista 
Resposta: letra d. 
 
Módulo II 
 
 
 
Lógica de Argumentação 
 
 
Lógica da Argumentação 
 CONCEITO 
 Um argumento é uma série concatenada de afirmações com o fim de 
estabelecer uma proposição definida. 
 Nos períodos de férias, recessos ou feriados haverá sempre um Ministro em exercício na Presidência da 
Corte para resolver assuntos urgentes. 
 
 Existem vários tipos de argumento. Interessa-nos discutir os chamados dedutivos. Esses são geralmente 
vistos como os mais precisos e persuasivos, provando categoricamente suas conclusões; podem ser válidos ou 
inválidos. 
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 Argumentos dedutivos possuem três estágios: premissas, inferência e conclusão. Entretanto, antes de 
discutir tais estágios detalhadamente, precisamos examinar os alicerces de um argumento dedutivo: 
proposições. 
Proposições 
 CONCEITO 
 Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o 
significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para 
transmitir esse significado. 
 Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, uma falsa). “Um 
número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição expressa de modo diferente. 
 Infelizmente, é muito fácil mudar acidentalmente o significado das proposições apenas reorganizando-as. 
A dicção da proposição deve ser considerada como algo significante. 
 É possível utilizar a lingüística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado. 
Premissas 
 Argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de “assunções-base”. São as chamadas 
premissas; é a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, são as razões para 
se aceitar o argumento. Entretanto, algoque é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode 
ser a conclusão de outro, por exemplo. 
 As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente 
encarada como algo suspeito e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento. 
 A apresentação das premissas de um argumento, geralmente, é precedida pelas palavras “Admitindo 
que...”, “Já que...”, “Obviamente se...” e “Porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas 
premissas antes de proceder com a argumentação. 
 Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem 
afirmações falsas em vez de admitirem que não entendem por que algo é “óbvio”. Não hesite em questionar 
afirmações supostamente “óbvias”. 
Inferência 
 Umas vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do 
processo chamado inferência. 
 Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para se chegar a outras novas. Se 
a inferência for válida, a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser 
empregada em novas inferências. 
 Assim, inicialmente, apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da 
argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. 
 Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos, os quais serão analisados neste 
estudo. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “conseqüentemente...” ou “isso 
implica que...”. 
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Conclusão 
 Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando 
provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no 
contexto de um argumento em particular. 
 A conclusão se respalda nas premissas e é inferida a partir delas. Esse é um processo sutil que merece 
explicação mais aprofundada. 
 
Premissas e Conclusão 
 Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a 
uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas 
falsas, chegando a conclusões falsas. 
 O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar 
a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: 
– Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. 
– Premissa: Lontras são peixes. 
– Conclusão: Logo, lontras vivem no oceano. 
 Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: partir de premissas verdadeiras, inferir de modo correto, 
e chegar a uma conclusão falsa. 
 Podemos resumir esses resultados numa tabela de “regras de implicação”. O símbolo “à” denota 
implicação; “A” é a premissa, “B” é a conclusão. 
 
 
 
– Se as premissas são falsas e a inferência válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2). 
– Se a premissa é verdadeira e a conclusão falsa, a inferência é inválida (linha 3). 
– Se as premissas e inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). 
 
 Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão é 
verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. 
 Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado “argumento consistente”. 
Esses obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras. 
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Exemplo de Argumento 
 A seguir, está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 
1 – Premissa: Todo evento tem uma causa. 
2 – Premissa: O Universo teve um começo. 
3 – Premissa: Começar envolve um evento. 
4 – Inferência: Isso implica que o começo do Universo envolveu um evento. 
5 – Inferência: Logo, o começo do Universo teve uma causa. 
6 – Conclusão: O Universo teve uma causa. 
 A proposição da linha 4 foi inferida das linhas 2 e 3. A linha 1, então, é usada em conjunto com a 
proposição 4 para inferir uma nova proposição (linha 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa 
forma levemente simplificada) como sendo a conclusão. 
Argumentos 
 Verificar se é válido o seguinte argumento: 
- Se hoje é dia 30, Roberto recebe seu salário. 
- Roberto não recebeu seu salário. 
___________________________________ 
- Logo, não é dia 30. 
 Construindo uma tabela-verdade para os argumentos em questão, temos que quando as premissas são 
verdadeiras, a conclusão também é verdadeira. 
Com isto, temos: 
a - ( ) que o argumento é válido. 
b - ( ) que o argumento não é válido. 
Reconhecendo Argumentos 
 O reconhecimento de argumentos é mais difícil que das premissas ou conclusão. Muitas pessoas 
abarrotam textos de asserções sem sequer produzir algo que possa ser chamado argumento. 
 Algumas vezes os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer 
quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso. 
 Para piorar a situação, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia 
é verdadeira, Jesus ou foi um louco, um mentiroso, ou o Filho de Deus”. 
 Isso não é um argumento; é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para 
embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas. 
 Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein 
acreditava em Deus, disséssemos: “Einstein afirmou que „Deus não joga dados' porque cria em Deus”. 
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 Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é; trata-se de uma explicação da afirmação de 
Einstein. Para perceber isso, lembre-se que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma 
“Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein cria em Deus, por isso afirmou que „Deus não joga dados'”. 
 Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria 
estar provando. 
 Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos. 
Falácias 
 Há um certo número de “armadilhas” a ser evitado quando se está construindo um argumento dedutivo; 
elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas 
como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que 
torna o argumento inconsistente ou inválido. (Além da consistência do argumento, também se podem criticar 
as intenções por detrás da argumentação.) 
 Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Freqüentemente parecem válidos e 
convincentes; às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. 
Silogismo 
 CONCEITO 
Nos períodos de férias, recessos ou feriados haverá sempre um Ministro em 
exercício na Presidência da Corte para resolver assuntos urgentes. 
Exemplos 
1 - Tenho um Escort ou tenho um Focus, não tenho um Escort Tenho um Focus. 
 (Obs.: O símbolo é chamado de traço de asserção é usado entre as premissas e a conclusão). 
 Este silogismo também pode ser representado como: 
Tenho um Escort ou tenho um Focus 
Não tenho um Escort 
Logo, tenho um Focus. 
 Chamando de P a proposição: "Tenho um Escort", escreve-se: P: Tenho um Escort. Chamando de C a 
proposição: "Tenho um Focus", escreve-se: C: Tenho um Focus. 
 Das proposições P e C resulta a proposição "Tenho um Escort ou tenho um Focus ". 
 Denotamos: P v C: Tenho um Escort ou tenho um Focus. 
 A negativa da proposição P, tem-se a premissa "Não tenho um Escort".Escreve-se: ~P: Não tenho um 
Escort (é o mesmo que dizer: "não possuo um carro denominado Escort"). 
 Reescrevendo o argumento, obtemos: 
 P v C, ~P C 
 15 
 Ou 
 P v C 
 ~P 
 Logo, C 
Argumentos e Silogismo 
 Seja o argumento: 
- Se 17 é um número primo, temos que 17 não é divisor de 119. 
- 119 é um número divisível por 17. 
____________________________________ 
Com isto, temos que 17 não é primo. 
 Construindo a tabela-verdade para este caso, temos que quando as premissas são verdadeiras, a conclusão 
é verdadeira portanto: 
a) ( ) o argumento é um silogismo. 
b) ( ) o argumento não é um silogismo. 
Uso das Tabelas-Verdade 
 Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento 
é válido ou não. 
 Uma outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ..., Pn C é válido ou não, por 
meio das tabelas-verdade, é construir a "condicional associada": 
 (P1 Λ P2 Λ P3 Λ ... Λ Pn) C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. 
 Se essa condicional associada é tautológica, o argumento é válido. Não sendo tautológica, o argumento 
dado é um sofisma (ou uma falácia). 
 Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não-válidos com 
conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não¬-
validade de um argumento. 
 
Exemplos 
1 - Testar a validade do argumento: P → C, ~P ~C. 
 Construindo a tabela-verdade, temos: 
 16 
 
 Observe que nas linhas 3 e 4 as premissas são ambas verdadeiras. Veja que na linha 4 a conclusão 
também é verdadeira. Mas na linha 3, a conclusão é falsa. Portanto, o argumento dado é um sofisma, ou seja, 
não é válido. 
2 - Testar a validade do argumento: P v (CvR), (C v R) → ~P ~P. 
 
 Construindo a tabela-verdade, temos: 
 
 Observe as colunas P das premissas e veja que nas linhas 5, 6, 7 e 8 as premissas são 
ambas verdadeiras. Veja, também, a coluna da conclusão e observe que em todas as linhas 
em que as premissas são verdadeiras, a conclusão também é verdadeira. Portanto, o 
argumento é válido. 
Silogismo ou Falácia 
 Usando uma tabela-verdade, dizer se o argumento abaixo é um silogismo ou é uma falácia: 
- Se 5 não é um número primo, então 13 não é um número ímpar. 
- Acontece que 5 é um número primo. 
_____________________________________ 
Com isto, temos que 13 é um número ímpar. 
 Ao construir a tabela-verdade, tem-se na segunda linha: V e V para as premissas e F para a conclusão. 
Portanto: 
a) ( ) a conclusão é falsa e o argumento é um sofisma. 
b) ( ) a conclusão não é falsa e o argumento não é um sofisma. 
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Módulo III 
 
 
Diagramas Lógicos 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
Introdução 
 
 Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de 
temas mais teóricos, inclusive daqueles de outras áreas, como a Lógica Matemática. 
 Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o estudo de 
afirmações ou sentenças lógicas argumentativas. 
 Ao afirmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas que nem toda fruta é uma banana, 
podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn: 
 
 Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas e que o 
conjunto das frutas contém o conjunto da banana. Podemos, ainda, representar que banana frutas e que 
frutas banana. 
 Em termos de Lógica Matemática, podemos afirmar isso de algumas maneiras, como “Toda banana é 
uma fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas”. 
 Tipos de relações entre conjuntos 
 Existem, fundamentalmente, três situações possíveis que relacionam dois tipos de conjuntos numéricos 
ou não numéricos: 
I – Um conjunto A contém o conjunto B ou o conjunto B está contido no conjunto A A B v (B A). 
II – Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum A B ≠ ζ . 
III – Os conjuntos A e B não possuem uma parte de seus elementos em comum A B = ζ. 
 Observações 
 18 
a) Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos anteriores: Os conjuntos 
estão contidos em outros conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou 
todos os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum. 
b) Não nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem descritos de formas 
diferentes, como por exemplo: 
A = conjuntos dos números pares 
B = conjuntos dos números escritos na forma 2n. 
A = B. 
Conjunto Pertencente a Outro Conjunto 
 O conjunto B está contido no conjunto A, completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação 
inversa: O conjunto A está contido no conjunto B. 
 
 Exemplos: 
1 – Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão. 
2 – O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro. 
3 – Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural. 
Exemplo de Diagramas Lógicos utilizando Teoria dos Conjuntos 
 1 - No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua 
inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as 
línguas inglesa e francesa é: 
a) 778 
b) 120 
c) 658 
d) 131 
Conjuntos Possuem uma Parte dos Elementos em Comum 
 19 
 
 
 Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. 
 Em termos de Lógica Matemática, podemos dizer que algum elemento de A é elemento do conjunto B e 
vice-versa. 
 Exemplo 
1 – Motocicletas e automóveis possuem rodas; as primeiras possuem duas rodas e os últimos possuem quatro 
rodas. 
 Observação: existem vários elementos comuns, como as rodas. 
Exemplo de conjunto com elementos em comum 
 Seja A o conjunto das cores da bandeira nacional. A afirmação correta é: 
a) azul A. 
b) preto A. 
c) verde A. 
d) branco A. 
e) vermelho A. 
Os Conjuntos não Possuem Elementos em Comum 
 
 Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lógica, podemos 
afirmar que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. 
 Exemplo 
 Indicar o diagrama que melhor representa a relação entre os conjuntos citados: 
 FUSCAS, CARROS, RIOS 
 20 
 
 
 Como todo fusca é um carro e não existe relação nenhuma entre carros e rios, o diagrama que melhor 
representa a situação é o primeiro: 
 
Exemplo de conjuntos sem interseção 
 Numa turma de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos 
não falam nem inglês e nem alemão? 
a) 17. 
b) 13. 
c) 7. 
d) 10. 
e) 34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
Módulo IV 
 
 
 
Análise Combinatória: Binômio de Newton, Arranjos, 
Permutação e Combinação. 
 
 
Números binomiais 
Introdução 
FATORIAL 
 Existem, em Matemática, alguns símbolos e expressões numéricas que são usadas para simplificar a 
representação de alguns números. 
 Por exemplo, conhece-se da aritmética básica, a potenciação, uma forma de representar o produto de um 
número por si mesmo, uma certa quantidade de vezes. 
 Como no caso de 54, que corresponde ao produto do número 5por si mesmo, 4 vezes, isto é, 54 = 5 . 5 . 
5 . 5 = 625. 
 No estudo da análise combinatória, ou seja, dos arranjos simples, das permutações simples e das 
combinações, existe a necessidade de se representar o produto de um número pelos números menores que ele 
até o menor número inteiro positivo, isto é, o número 1. Desta forma, define-se o número fatorial da seguinte 
forma: 
 
 CONCEITO 
Nos períodos de férias, recessos ou feriados haverá sempre um Ministro em 
exercício na Presidência da Corte para resolver assuntos urgentes. 
 Conforme a definição, podemos determinar alguns fatoriais: 
0! = 1 
1! = 1 . 0! = 1 . 1 = 1 
2! = 2. 1! = 2. 1 
3! = 3. 2! = 3 . 2 . 1 . 
4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2! = 4. 3. 2 . 1 
5! = 5. 4! = 5 . 4 . 3! = 5 . 4 . 3 . 2! = 5. 4 . 3 . 2 . 1 
6! = 6. 5! = 6 . 5. 4! = 6 . 5 . 4 . 3! = 6. 5 . 4 . 3 . 2! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
 E assim por diante até o n-ésimo termo: 
 n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)! =... . E assim por diante, até podermos 
definir uma expressão para fatorial como: 
 22 
 n! = n.(n-1).(n-2). ... .3.2.1 (n>2) 
NÚMEROS BINOMIAIS 
 CONCEITO 
As sentenças ou proposições são os elementos que na linguagem escrita ou 
falada expressam uma idéia. Só consideraremos as que são bem definidas, 
isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, 
denominadas declarativas. 
 Se os números naturais n e k são tais que n < k, então, por definição = 0. Isto significa que não se 
usa e nem se estuda o binomial de uma ordem menor que a classe, como por exemplo: que pela 
definição é igual à zero. 
Exemplos: 
 
Propriedades dos números binomiais 
 I - Os números binomiais possuem o mesmo valor, com n ≥ k. 
 Quando se calcula o binomial de um número com uma classe k e o binomial de outro número com uma 
classe complementar em relação à ordem, isto é, igual a n-k; os valores encontrados são iguais. 
 Por exemplo: possuem o mesmo valor. 
 
 
 23 
 II – A relação de Stifel 
 
, com n, k N. 
TRIÂNGULO DE PASCAL (ou Tartaglia) 
 CONCEITO 
É uma tabela formada por números binomiais dispostos de 
tal forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se 
na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma 
coluna. 
 
 Obs.: Uma maneira de construir o triângulo é calcular os números pela definição. Pode-se, 
entretanto, construir o triângulo sem calcular cada um dos binomiais. Basta notar que: 
a) O primeiro elemento de cada linha é sempre 1. 
b) O último elemento de cada linha é sempre 1. 
c) Os demais elementos de cada linha são obtidos usando a relação de Stifel, pois 
ou seja: a soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma linha é igual ao binomial situado na linha 
seguinte e na maior coluna. 
Assim, de (a), (b) e (c), tem-se: 
 
 e assim por diante. 
 24 
Propriedades 
 I - Em qualquer linha, a partir da segunda, dois binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais, por 
serem binomiais complementares. 
 II - A soma de todos os binomiais de uma linha é igual a uma potência de 2, cujo expoente é a ordem da 
linha. 
 
 III - A soma dos binomiais de uma coluna de ordem k, a partir do primeiro binomial da coluna, é igual 
ao binomial situado na coluna seguinte à direita, e que se encontra na linha seguinte da última parcela. 
 
 IV - A soma dos binomiais de uma diagonal (qualquer paralela ao lado oblíquo do triângulo), a partir do 
primeiro binomial da diagonal, é igual ao binomial situado na linha seguinte e na mesma coluna da última 
parcela. 
 
Arranjos - Introdução 
Tipos de agrupamento 
 CONCEITO 
 Um agrupamento de elementos é qualquer conjunto, ordenado ou não, formado por esses 
elementos. A análise combinatória classifica os agrupamentos em dois tipos fundamentais: 
os agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos - os arranjos - e os 
agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos - as combinações. 
 
 
1
o
 Tipo de Agrupamento 
 Os alunos de uma escola de ensino médio fizeram um bolão, apostando nos três primeiros colocados do 
campeonato brasileiro de futebol de 2.004. Observemos as apostas dos alunos Ricardo e Emanuel: 
Ricardo: 
 25 
 
 
Emanuel: 
 
 
 Apesar de os dois terem apostado nos mesmos clubes, suas apostas são diferentes, pois a ordem das 
colocações é diferente. 
 Isto é, nesse tipo de agrupamento a ordem deve ser considerada. 
 Um agrupamento em que se deve observar a ordem dos elementos é aquele em que quando se modifica a 
ordem dos elementos, obtém-se outro conjunto. 
Por exemplo, no conjunto {L, A, M, A}, pode-se obter dois elementos distintos quando se troca a ordem das 
letras L e M: MALA e LAMA. 
2
o
 Tipo de Agrupamento 
 Os alunos do primeiro ano colegial fizeram uma votação para eleger uma comissão de três representantes 
da classe. O regulamento foi estabelecido da seguinte maneira: em cada cédula o eleitor deveria escrever 
apenas três nomes de candidatos; não haveria cargos distintos na comissão, isto é, todos os eleitos teriam 
funções idênticas. Observemos os votos dos alunos Lúcia e Émerson. 
Lúcia: 
 
Émerson: 
 
 Observe que esses alunos votaram na mesma comissão, pois a ordem de apresentação dos nomes não 
necessita ser considerada. 
Arranjos simples 
 Com os elementos do conjunto A = {a, b, c, d}, abaixo seguem todas as seqüências possíveis de três 
elementos distintos: 
 26 
(a, b, c) (a, b, d) (a, c, d) (b, c, d) 
(a, c, b) (a, d, b) (a, d, c) (b, d, c) 
(b, a, c) (b, a, d) (c, a, d) (c, b, d) 
(b, c, a) (b, d, a) (c, d, a) (c, d, b) 
(c, a, b) (d, a, b) (d, a, c) (d, e, b) 
(c, b, a) (d, b, a) (d, c, a) (d, b, c) 
 CONCEITO 
 Tais seqüências são chamadas de "arranjos simples dos quatro elementos de 
I tomados três a três". Isto é, um arranjo simples de três elementos de A é 
qualquer seqüência formada por três elementos distintos de A. 
 Observe que dois arranjos simples quaisquer se diferenciam ou pela ordem dos elementos ou pela 
natureza dos elementos que os compõem 
 Por exemplo: 
 . (a, b, c) ≠ (b, c, a) (diferem pela ordem dos elementos) 
 . (a, b, c) ≠ (a, b, d) (diferem pela natureza dos elementos) 
 O número de arranjos simples de quatro elementos distintos tomados três a três é indicado pelo símbolo 
A4,3 e pode ser calculado pelo princípio fundamental de contagem. Devemos distribuir os quatro elementos 
do conjunto I em três casas, sem repetição: 
 
 De uma forma genérica, podemos definira arranjo simples, como: 
 CONCEITO 
Seja A = {a1, a2, a3,..., an} um conjunto formado por n elementos e seja p um número natural 
não-nulo tal que p ≤ n. Chama-se "arranjo simples de p elementos de A" toda seqüência 
formada por p elementos de A distintos. 
 Exemplos: 
 a) Os arranjos simples dos elementos do conjunto I = {5, 6, 7, 8} tomados dois a dois são: 
(5,6) (6,5) (5,7) (7,5) 
(5,8) (8,5) (6,7) (7,6) 
(6,8) (8,6) (7,8) (8,7) 
 O número de arranjos simples de quatro elementos tomados dois a dois é indicado por A4,2 e pode ser 
calculado pelo princípio fundamental de contagem. 
 Devemos distribuir os quatro elementos de I em duas casas, sem repetição: 
 
 27 
 b) Quatro clubes A, B, C e D disputam as finais de um torneio de basquetebol. Ao final do certame as 
classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos A, B, C e D considerados 
quatro a quatro, ou seja: 
(A, B, C, D) (B, A, C,D) (C, A, B, D) (D, A, B, C) 
(A, B, D, C) (B, A, D, C) (C, A, D, B) (D, A, C, B) 
(A, C, B, D) (B, C, A, D) (C, B, D, A) (D, B, A, C) 
(A, C, D, B) (B, C, D, A) (C, B, A, D) (D, B, C, A) 
(A, D, B, C) (B, D, A, C) (C, D, B, A) (D, C, A, B) 
(A, D, C, B) (B, D, C, A) (C, D, A, B) (D, C, B, A) 
 O número de arranjos simples de quatro elementos tomados quatro a quatro, isto é, A4,4, pode ser 
calculado pelo princípio fundamental de contagem: 
 
 
Expressão geral para o cálculo de arranjos simples 
 Cálculo do número de arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p 
 Seja I = {a1, a2, a3,..., an} um conjunto formado por n elementos e seja p um número natural não nulo, 
p ≤ n. O número de arranjos simples dos n elementos de I tomados p a p, isto é, An,p pode ser calculado pelo 
princípio fundamental de contagem: 
 Assim, temos que An,p = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3) ... . [n - (p - 1)] ou An,p = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3) ... . (n - p 
+ 1). 
Exemplos 
1 - Calcular A6,4. 
 A6,4 = 6 . 5 . 4 . 3 = 360. 
2 - Para que valores naturais de n existe o número An,3? 
 O símbolo An,3 indica o número de seqüências de três elementos distintos escolhidos dentre n elementos. 
Logo, o menor n natural possível é 3; se n fosse menor que 3, não poderíamos formar uma seqüência com três 
elementos distintos. Logo, 
 3 - Se n é um número natural e n ≥ 3, então a expressão + 2 é igual a: 
a) 3n 
b) n 
c) 2n 
d) 2 
e) . 
 28 
+ 2 = = (n-2) + 2 = n -2 + 2 = n. 
Cálculo do número de arranjos simples através de fatoriais 
 Expressão numérica para o cálculo de fatoriais 
 Vimos que o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é dado por: 
An, p = n(n - 1).(n - 2) . ... . (n-p+1) 
 Com o auxílio dos fatoriais podemos apresentar essa fórmula de uma maneira mais simples. Para 
entender a transformação que será feita, vejamos antes alguns casos particulares. 
 Consideremos a igualdade A7,3 = 7 . 6 . 5. Multiplicando e ao mesmo tempo dividindo o segundo 
membro dessa igualdade por 4!, a sentença continuará verdadeira e teremos: 
A7,3 = 7 . 6 . 5 . = 7 . 6 . 5 . 
 Assim sendo, o numero A7,3 pode ser expresso através de fatoriais por . 
 Consideremos a igualdade A8,2 = 8 . 7. Multiplicando e ao mesmo tempo dividindo o segundo membro 
dessa igualdade por 6!, teremos: 
A8,2 = 
 Com isto, o número A8,2 poderá ser escrito pela fórmula . 
Generalização 
O arranjo simples de p elementos, de um conjunto I, é dada pela expressão An,p, com p ≤ n, sendo calculada 
pela expressão: An,p = 
Exemplo 
 Resolver a equação An, 3 = 6n. 
 Temos como condição de existência que n N e n ≤ 3. 
An, 3 = 6n = 6n = 6n n . (n-1) . (n-2) = 6n (n-1) . (n-
2) = 6 n
2
 –n -2n + 2 = 6 n2 - 3n – 4 = 0 
 29 
 Solucionando a equação n
2
 - 3n – 4 = 0 por soma e produto, obtemos: 
 
 Temos como solução desta equação de 2
o
 grau, os valores n = -1 (que não vale para fatorial) e n = 4 O 
valor de n é igual a 4. 
Permutações - Introdução 
 Tomando o conjunto A = {a, b, c}. Os arranjos simples dos três elementos de A tomados três a três são: 
(a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a). 
 Cada um desses arranjos é chamado de "permutação simples dos elementos de A". Isto é, uma 
permutação simples dos elementos de A é qualquer seqüência de elementos distintos formada por todos os 
elementos de A. Observe que duas dessas permutações se diferenciam apenas pela ordem dos elementos. 
 Por exemplo, temos: (a, b, c) ≠ (b, a, c) diferem pela ordem dos elementos. 
Seja A= {a1, a2, a3,..., an} um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples dos n elementos de 
A todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n. 
Exemplos: 
 1 - As permutações simples dos três elementos do conjunto A = {1, 2, 3} são: 
(1, 2, 3) (1, 3, 2) 
(2, 1, 3) (2, 3, 1) 
(3, 1, 2) (3, 2, 1) 
 Isto é, são todos os arranjos simples dos três elementos de A tomados três a três, pois poderíamos 
considerar permutações tomadas de 2 em 2 elementos. 
Por exemplo: (2, 3), (1, 2), (3, 1). 
 2 - Quantas permutações simples podemos formar com os elementos do conjunto A = {a, e, i, o, u}? 
 O número de permutações simples de quatro elementos distintos, que indicamos por P4 é igual ao número 
de arranjos simples desses quatro elementos tomados quatro a quatro. Isto é: 
 
 Algumas dessas permutações são: (a, e, i, o, u) (a, e, o, i, u) (a, i, o, u, e). 
Fórmula geral para o cálculo de permutações simples 
 30 
 Tomando A= {a1, a2, a3,..., an} um conjunto com n elementos, consideramos que o número de 
permutações simples dos n elementos de A, que indicamos por Pn, é igual ao número de arranjos simples 
desses n elementos tomados n a n. Isto é 
 
 Significa dizer que permutação é um caso particular de arranjos simples, onde o número de elementos 
considerados é igual ao número do conjunto estudado. 
 Assim, temos que: 
 Pn = n! 
 Exemplos 
 1 - De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana? 
 O número de filas é igual ao número de permutações simples desses cinco elementos, isto é: 
 P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. 
 Logo, podem ser formadas 120 filas. 
 2 - De quantas maneiras diferentes podemos dispor, numa mesma prateleira de uma estante, quatro 
livros de matemática e três livros de física, de modo que livros de mesma matéria permaneçam juntos? 
 Podemos dispor os livros de matemática antes dos de física ou os de física antes dos de matemática. Isto é: 
 
 
 Temos então como resposta: 4! . 3! + 3! . 4! = 288. 
 Assim, os livros podem ser dispostos na prateleira de 288 modos diferentes. 
 3 - Com a palavra MARTELO: 
a) quantos anagramas podemos formar? 
Um anagrama da palavra MARTELO é a própria palavra ou qualquer outra que se obtém trocando a ordem de 
suas letras. Assim, o número de anagramas da palavra MARTELO é igual ao número de permutações simples 
de sete letras distintas, isto é: P7 = 7! = 5040. 
b) quantos anagramas começam por M? 
Fixando-se a letra M na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições 
posteriores: 
 31 
 P6 = 6! = 720 
 Logo, há 720 anagramas que começam por M. 
c) quantos anagramas começam por M e terminam por O? 
d) Fixando-se as letras M e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras 
para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias: 
P5 = 5! = 120 
Portanto há 120 anagramas que começam por M e terminam por O. 
e) quantos anagramas começam por vogal? 
f) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada 
na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas posições posteriores: 
P6 = =3! . 6!=2160 
Assim, há 2160 anagramas que começam por vogal. 
g) quantos anagramas terminam por consoante? 
Há quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: M, R, T ou L. Para cada consoante 
fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores: 
P6.4 = 720 . 4 = 2880 
Assim, há 2880 anagramas que terminam por consoante. 
Permutação com elementos repetidos 
Vamos determinar o número de anagramas da palavra BANANA: 
 Essa palavra é composta por seis letras. Se todas as letras fossem distintas, então teríamos 6!, ou seja, 720 
anagramas. Como há letras repetidas, onúmero de anagramas é menor do que 6!. 
 Para calcular esse número, vamos indexar (colocar índice) as letras iguais: B A1 N1 A2 N2 A3, para 
podermos raciocinar com essas letras, como se fossem elementos distintos. 
 Consideremos um anagrama dessa palavra, por exemplo: B A1 A2 A3 N1 N2. 
 Quantas permutações podemos efetuar com essas letras, sem alterar esse anagrama? 
 Note que, quando permutamos as letras iguais, o anagrama não se altera. Por exemplo: 
 B A2 A3 A1 N1 N2 e B A3 A2 A1 N2 N1 são anagramas iguais. 
 Assim sendo, o número de permutações que podem ser feitas sem alterar o anagrama é: 
 3! 2! Número de permutações de A1 A2 A3 multiplicado pelo número de permutações de N1N2. 
 Repetindo esse raciocínio para cada anagrama da palavra BANANA, observamos que em todos os 
anagramas dessa palavra, obtemos como resultado o valor 3! . 2!. Porém, o valor total de todas as 
permutações da palavra é igual a: 
 32 
 
 A palavra BANANA possui 60 anagramas. 
Cálculo do número de permutações com elementos repetidos 
 Considerando um conjunto de elementos onde existam: 
n1 elementos iguais a a1, 
n2 elementos iguais a a2, 
n3 elementos iguais a a3, 
. 
. 
. 
nk elementos iguais a ak, 
de modo que n1 + n2 + n3 + ... + nk = n (o número total de elementos do conjunto) e ai ≠ aj se i ≠ j, isto é: 
n elementos 
 
 O número de permutações desses n elementos é indicado por e calculado por: 
 
 Significa dizer que uma permutação de n elementos, onde existam alguns dos n elementos repetidos, o 
cálculo do número total de permutações simples é dado pelo quociente entre o número total de permutações 
pelo produto dos fatoriais das quantidades dos elementos que se repetem. 
 Exemplo 
 Determinar o número de anagramas da palavra TARRAFA que começam pela letra A. 
 Fixando uma letra A na primeira posição, sobram as letras T, R, R, A, F e A, que devem ser distribuídas 
nas seis posições posteriores: 
 
 Obs.: Neste caso não multiplica-se o resultado por 3, pois existem três letras “A” e nem multiplica-se o 
resultado por 2, apesar de existirem duas letras “R”. 
Combinação simples 
 Dado o conjunto I = {a, b, c, d}, formemos todos os subconjuntos de I com três elementos: 
 33 
 {a,b,c} {a, b, d} {a,c,d} {b,c,d} 
 Tais subconjuntos são chamados de "combinações simples dos quatro elementos de I tomados três a três". 
Ou seja, uma combinação simples de três elementos de I é qualquer subconjunto de I formado por três 
elementos. 
 Observe que duas combinações simples quaisquer se diferenciam apenas pela natureza dos elementos e 
não pela ordem de apresentação desses elementos. 
 Exemplos 
 a) {a, b, c} ≠ {a, b, d} (diferem pela natureza dos elementos) 
 b) {b, c , d} ≠ {c, b, d} (a ordem dos elementos não altera o conjunto) 
 CONCEITO 
 Seja I = {a1, a2, a3,..., an} um conjunto formado por n elementos e seja p 
n, tal que p N. Chama-se combinação simples de p elementos de I todo 
subconjunto de I formado por p elementos. 
 Exemplos 
 1 - Descrever todas as combinações simples que podem ser formadas com os elementos do conjunto I = 
{a, b, c, d, e} tomados dois a dois. 
 Devemos obter todos os subconjuntos de I formados por dois elementos: 
 {a, b} {a, c} {a, d} {a, e} {b, c} {b, d} {b, e} {c, d} {c, e} {d, e}. 
 Note, portanto, que obtivemos dez combinações. O número de combinações dos cinco elementos tomados 
dois a dois é indicado por C5,2. 
 C5,2 = 10. 
 
 2 - Descrever todas as combinações simples que podem ser formadas com os elementos do conjunto I = 
{a, b, c, d, e} tomados um a um. 
 Devemos obter todos os subconjuntos unitários de I: {a} {b} {c} {d} {e} 
 Assim sendo, temos que C5,1= 5. 
Cálculo de combinações simples 
 O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é indicado por Cn, p. A combinação 
simples de n elementos gera p! arranjos simples de p elementos: Com isto, o valor das combinações simples 
está relacionado com o número de arranjos simples e pode ser obtido através da expressão: 
 
 34 
Exemplos 
 1 – Calcular C6,4: 
 Utilizando a expressão geral, obtemos: 
 
 2 – Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas? 
 As comissões formadas devem ter 3 pessoas, por exemplo: A, B, C. 
Invertendo-se a ordem dessas pessoas, obtemos a mesma comissão. Portanto, o problema é de combinação. 
 
 
Exemplos 
 1 - Para que valores de n existe o número Cn,3 ? 
 
 Existe tal número para qualquer n, n N e n ≥ 3. 
 
 2 - Resolver a equação Cn,2 = 10. Resolução 
 Condição de existência: n N e n ≥ 2. 
Cn,2 = 10 = 10 = 10 = 10 n2 – n = 20 n2 – n – 
20 = 0. 
 Resolvendo a equação acima por soma e produto, obtemos: 
 35 
 
 Temos dois números que somados dão +1 e que multiplicados resultam em -20: Os números são n = -4 
(não é válido) e n = +5. 
n = +5. 
Critério para diferenciar arranjo de combinação 
 Quando tentamos resolver um problema de análise combinatória, nos deparamos com a seguinte questão: 
os agrupamentos mencionados no problema são arranjos ou combinações? Para eliminar essa dúvida, vamos 
agir da seguinte maneira: construímos um dos agrupamentos sugeridos pelo problema e, a seguir, mudamos a 
ordem de apresentação dos elementos desse agrupamento: 
 I - Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupamento diferente do original, 
então esse agrupamento é um arranjo. 
 II - Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupamento igual ao original, então 
esse agrupamento é uma combinação. 
Exemplo 
 Quantos triângulos ficam determinados pelos pontos distintos A, B, C, D, E da circunferência abaixo? 
 Um triângulo fica determinado por três pontos (vértices do triângulo) não-colineares (não-pertencentes a 
uma mesma reta). Como não existem três pontos colineares dentre os pontos A, B, C, D, E, qualquer 
agrupamento de três pontos distintos determina um triângulo. 
 Agora, a dúvida: um agrupamento de três pontos para determinar um triângulo é um arranjo ou uma 
combinação? 
 Vamos aplicar o critério diferenciador entre arranjo e combinação. 
 
 Formemos um agrupamento de três pontos distintos e, a seguir, mudemos a ordem de apresentação de 
seus elementos: 
 Triângulo ABC = Triângulo BAC. 
 Como a mudança na ordem das letras não altera o triângulo, temos que esses agrupamentos são 
combinações. Logo, o número de triângulos é dado por C5,3, isto é: 
 
Permutação circular 
 Uma reunião de presidentes de países da América do Sul será realizada em uma mesa redonda. 
Participarão dessa reunião os presidentes da Argentina (A), do Brasil (B), do Chile (C), do Paraguai (P) e do 
 36 
Equador (E). Uma preocupação do Itamarati é com a disposição dos presidentes em tomo da mesa. Em 
quantas ordens diferentes podem ser dispostos os presidentes em volta da mesa? Para podermos raciocinar, 
vamos imaginar uma determinada disposição, como a mostrada ao lado. 
 Tal disposição dos elementos A, B, C, P e E em torno da mesa é uma permutação circular desses cinco 
elementos. Note que, se girarmos no sentido horário: 
I - partindo de A, obteremos a permutação em linha ABCPE; 
II - partindo de B, obteremos a permutação em linha BCPEA; 
III - partindo de C, obteremos a permutação em linha CPEAB; 
IV - partindo de P, obteremos a permutação em linha PEABC; 
V - partindo de E,obteremos a permutação em linha EABCP. I 
 Isto é, as cinco permutações em linha, ABCPE, BCPEA, CPEAB, PEABC e EABCP, correspondem à 
uma única permutação circular. 
Cálculo do número de permutações circulares de n elementos distintos 
 Seja I = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos. O número de permutações circulares desses 
n elementos é indicado por Pe(n) e calculado como apresentamos a seguir. 
 Consideremos uma determinada permutação circular desses n elementos. 
 Tal permutação circular corresponde a n permutações em linha, se girarmos no sentido horário. São elas: 
. partindo de a1, temos a1, a2, a3, ..., an-1, an; 
. partindo de a2, temos a2, a3, ..., an, a1; 
. partindo de a3, temos a3, ..., an, a1, a2. 
 Assim por diante até a n-ésima permutação: 
. partindo de an, temos an, a1, a2, a3, ..., an-1. 
 Vemos então que n permutações simples em linha correspondem a uma única permutação circular. 
Podemos por isso relacionar o número de permutações simples em linha com o número de permutações 
circulares de n elementos distintos, através da seguinte regra de três: 
 
Exemplos 
 1 - Algumas crianças estão brincando de roda, isto é, dão-se as mãos formando uma roda. É possível 
formar rodas com essas crianças em 720 disposições diferentes. Quantas crianças estão brincando? 
 Seja n o número de crianças. Devemos ter: 
 37 
 Pc(n) = 720 (n-1)! = 720 Como o único fatorial que resulta em 720 é 6!, temos: (n-1)! = 6! 
n – 1 = 6 n = 6 + 1 n = 7. 
 Sete crianças formarão a roda. 
 2 – Em quantas posições diferentes seis pessoas podem se sentar em volta de uma mesa redonda? 
 Pc(n) = (6-1)! = 5! = 120. 
 Logo, são possíveis 120 posições. 
 
 38 
Módulo V 
 
 
 
Probabilidades: Eventos, Probabilidade da União de Eventos, 
Regra da Multiplicação. 
 
 
Probabilidades - Introdução 
 Ricardo, Emanuel e Sandra participam de um sorteio de um automóvel. O regulamento desse sorteio 
permite que cada participante envie tantas cartas quantas quiser e estabelece que será sorteada uma única carta 
dentre as enviadas por todos os participantes. 
 Hoje é dia do sorteio. Sabe-se que foram enviadas 10.000 cartas. Dentre essas, Ricardo enviou apenas 
uma. Emanuel enviou dezesseis e Sandra enviou duzentas cartas. Qual é a chance de cada um ser sorteado? 
 Se entre as 10.000 cartas há apenas 1 carta de Ricardo, então dizemos que sua chance é 1 em 10.000, isto 
é, . 
 Se entre as 10.000 cartas há 16 cartas de Emanuel, então dizemos que sua chance é 17 em 10.000, isto 
é, 
 Se entre as 10.000 cartas há 200 cartas de Sandra, então dizemos que sua chance é 200 em 10.000, isto é, 
 
 Cada uma das razões é chamada de probabilidade de ser sorteada ou Ricardo ou 
Emanuel ou Sandra, respectivamente. 
 Assim sendo, probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer um resultado. 
Experimento aleatório 
 
Lançando um dado não viciado e anotando o número da face voltada para cima, obtemos um experimento 
aleatório, pois, antes de ocorrer, é impossível se prever o resultado e, ocorrendo várias vezes, nas mesmas 
condições, pode apresentar resultados diferentes. 
 O estudo das probabilidades é, na verdade, o estudo dos fenômenos aleatórios, sob o olhar matemático. 
Outros exemplos: 
 39 
a) o lançamento de uma moeda. 
b) o sorteio de uma carta de um total de 10.000 cartas. 
Espaço amostral de um experimento aleatório 
 
Exemplo 
 Quando lançamos um dado não viciado e anotamos o número da face voltada para cima, o espaço amostral 
é: 
A = {1;2;3;4;5;6} 
Eventos 
 
Exemplo 
Quando lançamos um dado não viciado e anotamos o número da face voltada para cima, são exemplos de 
eventos: 
. sair o número 5. 
. sair um número ímpar. 
. sair um múltiplo de três. 
Probabilidade 
 
Este número, p(E), será calculado da maneira mais objetiva possível: 
 40 
p(E) = 
Exemplo 
Lançando-se um dado não viciado, calculemos a probabilidade de sair, na face voltada para cima, um número 
ímpar. 
Resolução: 
Espaço amostral → A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 
Evento (ser número ímpar) → E = {1; 3; 5}. 
Temos que: n(A) = 6, n(E) = 3. 
Logo, a probabilidade de sair um número par é: 
 
Exemplos: 
1 - Lançando-se um dado não viciado, e anotando-se o número da face voltada para cima, qual é a 
probabilidade de sair um número múltiplo de três? 
i) Espaço amostral → A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 
ii) Evento (múltiplo de três) → E = {3; 6}. 
 
2 - Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho completo (52 cartas). Qual é a probabilidade da 
mesma ser um ás? 
i)Os números de elementos do espaço amostral e do evento que nos interessa são, portanto: 
n(A) = 52 
n(E) = 4 (quatro ases) 
3 - Numa urna há nove bolas: três azuis, quatro brancas e duas pretas. Retira-se uma primeira bola, que não é 
branca. Ao retirar uma segunda bola ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser branca? 
i) Ao se retirar a primeira bola, sobram oito bolas, das quais quatro são brancas. Portanto, temos que: 
n(A) = 8 
n(E) = 4 
4 - Numa urna há dez bolas: cinco verdes numeradas de 1 a 5 e cinco azuis numeradas de 6 a 10. Retirando-se 
uma bola ao acaso, calcule a probabilidade de ela ser verde ou possuir um número par. 
i) Neste caso, o espaço amostral e, os eventos que nos interessam são: 
ii) Espaço amostral → A = {V1;V2;V3;V4;V5;A6;A7;A8;A9;A10}. 
iii) Evento (verde ou par) → E = {V1; V2; V3; V4; V5; A6; A8; A10}; logo: 
n(A) = 10 
n(E) = 8 
Eventos complementares 
 41 
 Seja E o espaço amostral de um experimento aleatório e seja A um evento de E. Chama-se “evento 
complementar” de A, que se indica por, o evento que satisfaz as seguintes condições: 
 
Exemplo: 
 No lançamento de um dado, considere o evento A formado pelos resultados menores do que 3. O 
complementar de A é formado por todos os resultados maiores ou iguais a 3. Isto é: 
A = {1,2} e =(3,4,5,6}. 
Propriedades da probabilidade 
I – P(ø) = 0 (A probabilidade do evento impossível é nula). 
II – P(E) = 1 (A probabilidade de todo o evento espaço amostral é unitária, isto é, corresponde ao evento 
certo). 
III – 0 ≤ P( ) ≤ 1 (A probabilidade de qualquer evento A está contida no intervalo de 0 a 100%). 
IV – P(A) = 1 – P(Á) e P( ) = 1 – P(A). (A probabilidade de evento A é complementar em relação à 
unidade e vice-versa). 
Exemplos: 
1 – Uma urna contém exatamente dez etiquetas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma etiqueta da urna. Qual é a 
probabilidade de se obter? 
a) um número maior que 10? 
b) um número menor do que 11? 
O espaço amostral do evento é E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. 
a) O evento que queremos é A = {x E/x>10} Ø= . 
Logo, A é evento impossível. Portanto P(A) = 0. 
b) O evento que queremos é B={x E/x<11}=1. 
Logo, B é um evento certo, pois B=E. Portanto P(B)=1. 
2 – Uma urna contém n bolas. Retira-se uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bola vermelha é dada 
por . Qual é o número de bolas que a urna pode conter? 
Seja E o espaço amostral do experimento: E = {x/x é bola urna}. 
Seja A o evento: A = {y E/y é bola vermelha}. 
É dado que P(A) = . 
Sabemos toda probabilidade está no intervalo de 0 a 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 0 ≤ n – 9 ≤ 3 9 ≤ n ≤ 12. 
Assim, o número máximo de bolas que a urna pode conter é doze. 
Probabilidade condicional 
 42 
 
Ou seja, a probabilidade de ocorrer um evento A dado que ocorreu o evento B, é dada pelo quociente entre a 
probabilidade da intersecção dos dois eventos pela probabilidade do evento B. 
Exemplo: Jogando um dado e sabendo que ocorreu um número maior que 3, qual é a probabilidade deser um 
número ímpar? 
 Neste caso, calcula-se a probabilidade de ocorrer um número ímpar, sabendo-se que deve ocorrer um número 
maior que 3. 
Conseqüência: 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S não vazio e sabendo que P(A|B) é dada por , 
podemos calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos, como: 
P(A B) = P(B) . P(A|B). 
Analogamente, temos que P(A B) = P(A) . P(A|B) 
Exemplo: Ao jogar um dado, qual é a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e ímpar: 
A: evento “número ímpar” A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ao se jogar um dado é: . 
B: evento “número maior que 3” Neste caso, procuramos a probabilidade de ocorrer um número maior 
que 3, dado que é ímpar Só obtemos o número 5. Com isto, a sua probabilidade é dada por: 
Calculando, agora, a probabilidade da intersecção dos dois eventos, temos: 
 
Resposta: letra c. 
Probabilidade da união de eventos 
 
 43 
Eventos mutuamente exclusivos 
 
 
Exemplo: 
Considere o experimento aleatório de lançar um dado não viciado e anotar o número da face voltada para 
cima, e sejam os eventos: 
a) sair um número par; 
b) sair um número ímpar. 
Temos, neste caso, que: 
Espaço amostral → A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
E1 = {2; 4; 6} 
E2 = {1; 3; 5} 
Como E1 E2 = Ø e E1 U E2 = A; concluímos que E1 e E2 são mutuamente exclusivos. 
 
Propriedade 
Considerando o exemplo do item anterior, temos que: 
 
Exemplo: 
1 - Lançando-se uma moeda não viciada três vezes, qual é a probabilidade de sair coroa pelo menos uma vez? 
Considere os eventos: 
 44 
E1 - sair coroa pelo menos uma vez; 
E2 - sair cara todas as vezes. 
Note que E1 e E2 são eventos complementares. 
Calculemos inicialmente p(E2); e teremos: 
 
Como: 
 
Regra da multiplicação 
Sejam dois eventos E1 e E2, em relação a um mesmo experimento aleatório. 
 
 
Onde: p(E1) = probabilidade de ocorrer E1. 
p(E2/E1) = probabilidade de ocorrer E2 sendo que ocorreu E1. 
 
Exemplos: 
1 - Uma urna contém nove bolas: três brancas, três pretas e três azuis. Retirando-se duas bolas ao acaso e sem 
reposição, qual é a probabilidade de elas serem ambas brancas? 
i) Os eventos que nos interessam aqui são: 
Evento E1 → a primeira bola ser branca. 
Evento E2 → a segunda bola ser branca; logo: 
p(E1;E2) = p(E1) p(E2/E1), ou seja: 
 
2 - Lançando-se duas moedas, não viciadas, sucessivamente, qual é a probabilidade de sair uma cara e uma 
coroa? 
 45 
1o modo: 
São duas possibilidades. 
1
a
 possibilidade: cara e depois coroa: 
Evento E1 → sair cara na primeira moeda. 
Evento E2 → sair coroa na segunda moeda. 
p(E1;E2) = 
2
a
 possibilidade: coroa e depois cara 
Evento E3 → sair coroa na primeira moeda. 
Evento E4 → sair cara na segunda moeda. 
p(E3;E4) = 
Com isto, temos que a probabilidade em questão é: 
p(E1;E2) + p(E3;E4) = 
2
o
 modo 
Lançando-se duas moedas, os resultados possíveis são: 
A = {(cara; cara), (cara; coroa), (coroa; cara), (coroa; coroa)}. 
O evento é: 
E = {(cara; coroa), (coroa; cara)}. 
Logo, a probabilidade pedida é: 
 
3 – Jogando-se um dado e uma moeda, ambos não viciados, qual é a probabilidade de sair um número ímpar e 
sair coroa na moeda? 
Resolução: 
Neste caso, temos os seguintes eventos: 
E1 → sair número ímpar no dado. 
E2 → sair coroa na moeda. 
 
Produto de probabilidades 
 
 Seja E um espaço amostral finito e não vazio. Sejam A e B eventos de E. 
 Sabe-se que P(B|A) = . 
 Dividindo o numerador e o denominador dessa fração por n(E), temos que: 
 
 46 
Temos, então que a probabilidade da interseção de dois eventos A e B é igual ao produto da probabilidade do 
evento A pela probabilidade condicional do evento B dado que o evento A aconteceu. 
Observação: Se A e B são eventos independentes, então: 
P(A B) = P(A). P(B). 
Exemplo 
1 – Uma urna contém precisamente sete bolas: quatro azuis e três vermelhas. Retira-se, ao acaso, uma bola da 
urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra-
se sua cor. Calcular a probabilidade de: 
a) sair uma bola azul e depois uma bola vermelha. 
Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda seja vermelha. A probabilidade de a primeira 
bola sair azul é e a probabilidade de a segunda bola sair vermelha é . Assim, a probabilidade de 
obtermos a seqüência: 
A e V é: P . (Pelo conceito de multiplicação de probabilidades). 
b) saírem duas bolas de cores diferentes. 
Temos duas seqüências possíveis, com as respectivas probabilidades: 
A e V, P1= ou (+) V e A, P2 = 
Assim, a probabilidade total é P = P1 + P2 =