Apostila de Física Experimental 3

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Faculdades de Engenharia Mecânica, Civil, Química, 
Petróleo e Gás 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
LABORATÓRIO 2015 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este material foi desenvolvido pela equipe de professores de Física 
Geral e Experimental da Universidade Santa Cecília. 
 
Coordenador: Prof. Sc. M. Luis Fernando Ferrara 
 
Professores: Prof. Dr. Djalmir Correa Mendes 
 Profª. Maria Valéria Barbosa 
 Prof. Vanildo Assis D’Antonio 
 Profª. Sc. M. Walkiria Reche da Silva 
 Prof. Sc. M. Rafael Urbaneja Sanchez 
 Prof. Luis Fernando Nogueira 
 Prof. Sc. M. Mario Eduardo de Matos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
 “OSCILAÇÕES AMORTECIDAS” 
1.1. FUNDAMENTO TEÓRICO 
1.1.1. INTRODUÇÃO 
Pode-se afirmar que tudo ao nosso redor, desde grandes estruturas (grandes edificações) até 
estruturas microscópicas (moléculas), estão em vibração constante. Portanto, compreender o 
processo vibratório é fundamental para entender a natureza e aplicar esse conhecimento na solução 
de nossos problemas em tecnologia ou ciência. 
Apenas para facilitar a compreensão desse movimento vibratório, por questões didáticas, vamos 
analisar o seguinte movimento: 
Imagine uma mola ideal, sobre um plano horizontal livre de atrito, com uma extremidade fixa, e um 
corpo preso à outra extremidade dessa mola. O conjunto é abandonado sem deformação da mola, 
conforme Figura 1.1.. 
 
Figura 1.1. – A mola não apresenta deformação alguma. 
Nesta condição as forças que atuam sobre o corpo são exclusivamente: força Peso ( P

) e a e força 
de reação Normal ( N

) aplicada pelo plano horizontal. 
 
Figura 1.2. –Sem deformação da mola a força resultante sobre o corpo é nula ( 0R   ). 
Como o corpo permanece em estado de repouso prolongado, concluímos que a resultante das forças 
sobre o corpo é nula, ou seja, o corpo se encontra em equilíbrio (estático). 
Para melhor analisar o movimento vamos estabelecer um eixo horizontal (eixo x), orientado para a 
direita, com origem (x = 0) na posição de equilíbrio do corpo. 
 
Figura 1.3. – Eixo x, horizontal, orientado para a direita, com origem na posição de equilíbrio do 
corpo. 
A partir destas condições vamos esticar (deformar) a mola, até levar o corpo para uma posição 
qualquer, em que a posição será dada por x = A. 
Para provocar o deslocamento do corpo para essa posição (x = A), teremos que aplicar uma força 
sobre o corpo, no sentido de seu deslocamento, que chamaremos força aplicada pelo operador 
( operadorF

), isso implica em que estaremos realizando um Trabalho Mecânico sobre o corpo, que é 
armazenado pelo sistema massa mola na forma de Energia Mecânica (Energia Potencial Elástica). 
Por outro lado, à medida que é deformada, a mola exercerá sobre o corpo uma força de natureza 
elástica ( elásticaF

), dada pela Lei de Hooke 
xkFelástica

. (Lei de Hooke) 
onde k é a constante elástica da mola (determina a dificuldade em deformar a mola) e x

 determina a 
posição do corpo (a deformação da mola). Essa força é dita força de restituição porque tende sempre 
a levar o corpo para a posição de equilíbrio (x = 0). 
 
Figura 1.4. – (a) Sem deformação (x = 0) a força elástica tem intensidade nula. (b) 
Independentemente de ser esticada ou comprimida, quando a mola sofre uma variação em seu 
 
 
5 
comprimento natural (deformação), de x, ela aplicará sobre o corpo uma força de restituição de 
intensidade F elástica = k.x 
Vamos admitir a condição em que a força aplicada pelo operador ( operadorF

) tenha a mesma 
intensidade do que a força elástica ( elásticaF

), e que o corpo esteja em repouso. Nessa condição o 
corpo se encontra em equilíbrio, embora o sistema possua Energia Potencial Elástica armazenada 
devido ao Trabalho Mecânico realizado pelo operador sobre o sistema massa mola. 
 
 
Figura 1.5. – Enquanto o corpo estiver “preso” pela mão do operador a força resultante sobre o corpo 
ainda será nula ( 0R
  ). 
Mas, logo que abandonarmos o corpo (logo que o operador deixar de aplicar força, 0
 operadorF ), 
tendo em vista que na direção vertical somente temos força Peso ( P

) e a e força de reação Normal 
( N

) aplicada pelo plano horizontal que, como já vimos, se equilibram, fazendo com que a força 
resultante na direção vertical seja nula (motivo pelo qual muito embora continuem agindo Peso ( P

) e 
força de reação Normal ( N

), de agora em diante, nesta descrição, deixarão de ser representadas) a 
força resultante sobre o corpo será exclusivamente a força elástica ( elásticaF

), aplicada pela mola. 
 
Figura 1.6. – No máximo afastamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio (x = A), a força 
resultante é a força elástica ( elásticaF

), e o corpo está em repouso instantâneo. 
Sob ação dessa resultante, a força elástica ( elásticaF

), o corpo descreverá o seguinte movimento: 
a partir do repouso, o corpo tenderá a voltar para a posição de equilíbrio com o aumento do módulo 
de sua velocidade já que a força resultante, e portanto a aceleração, está no mesmo sentido de sua 
velocidade. 
 
Figura 1.7. – A partir do repouso, o corpo tenderá a voltar para a posição de equilíbrio com o 
aumento do módulo de sua velocidade, já que a força resultante e portanto a aceleração está no 
mesmo sentido de sua velocidade. 
Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio, força resultante e aceleração, ambas, são nulas, 
mas como o corpo adquiriu velocidade (o sistema converteu Energia Potencial Elástica em Energia 
Cinética) ele passa pela posição de equilíbrio (agora equilíbrio dinâmico) 
 
Figura 1.8. – Ao passar pela posição de equilíbrio (x = 0) a força resultante é nula ( 0Felástica
  ) e o 
módulo da velocidade é máximo. 
 
 
6 
e começa a comprimir a mola numa fase de diminuição do módulo de sua velocidade, já que nesta 
condição, a força resultante ( elásticaF

), de restituição, e, portanto a aceleração, têm sentido oposto 
ao sentido da velocidade. 
 
Figura 1.9. – O corpo passa pela posição de equilíbrio, e começa a comprimir a mola, entrando num 
processo de diminuição do módulo de sua velocidade, porque a força resultante ( elásticaF

), e, 
portanto a aceleração, têm sentido oposto ao sentido da velocidade. 
 
Na ausência de atrito, conforme a hipótese inicial, o corpo atingirá o repouso instantâneo quando 
ocupar a posição x = - A, isto é, quando a mola estiver comprimida de A, condição simétrica ao início 
do movimento. Nessa posição, a força resultante sobre o corpo ( elásticaF

) terá alcançado 
sua intensidade máxima ( F elástica

máxima) e consequentemente o modulo de sua aceleração 
também será máximo, e apontará para o ponto de equilíbrio (x = 0). 
 
 
Figura 1.10. – Na posição x = -A a velocidade do corpo será nula, a força resultante sobre o corpo 
( elásticaF

)terá alcançado sua intensidade máxima ( F elástica

máxima), e conseqüentemente o modulo 
de sua aceleração também será máximo. 
Nessas condições o corpo será acelerado de volta para a posição de equilíbrio. Novamente o corpo 
passa pela posição de equilíbrio, onde alcançará sua velocidade máxima, agora no sentido positivo 
do eixo x (alongamento da mola), No ponto de equilíbrio (x = 0), novamente forçaresultante e 
aceleração, ambas, são nulas. A partir dessa posição, com o alongamento da mola, a força elástica 
(de restituição) se opõe ao sentido do movimento, diminuindo o módulo da velocidade até que o 
móvel atinge novamente o repouso instantâneo quando x = A, retornando à condição inicial do 
movimento. A partir daí todo o movimento se repete indefinidamente (na ausência de forças 
dissipativas). 
Nessas condições dizemos que o corpo realiza um movimento harmônico simples (MHS). 
 
1.1.2. A CINEMÁTICA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
A descrição acima é meramente qualitativa e tem o objetivo de nos introduzir ao movimento. 
Agora temos condições de efetuar uma análise mais detalhada. 
Vamos voltar à condição apresentada na Figura 1.6. (para t = 0, x = A, v = 0) e vamos aplicar a 2ª lei 
de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) ao problema: 
elásticaFtetanresulF
dt
xd
m
 2
2
 
Mas, como nosso problema é unidimensional (o movimento se realiza somente na direção x) é mais 
simples escrever 
x.kelásticaFtetanresulF
dt
xd
m 
2
2
 
 
 
7 
ou ainda 
x.k
dt
xd
m 2
2
 
ou ainda 
x.
m
k
dt
xd 2
2
 
E a solução geral para essa equação diferencial de 2ª ordem é: 
]t.[sen.b]t.cos[.a)t(x )m/k( 2/1)m/k( 2/1  
Temos que lembrar que as constantes a e b são determinadas a partir das condições iniciais do 
problema. Em nosso problema, no instante inicial t0 = 0, x(t =0) = A e v(t = 0) = 0. 
A primeira condição implica em que 
Asenbatx mkmk  )]0.([.)]0.(cos[.)0( )/( 2/1)/( 2/1 
mas como 
1)]0.(cos[. )/( 2/1 mka 
e 
0)]0.([. )/( 2/1 mksenb 
 
então a = A 
 
A segunda condição implica em que se 
]t.[sen.b]t.cos[.a)t(x )m/k( 2/1)m/k( 2/1  
e 
dt
])t.[sen.b]t.cos[.a(d
dt
dx)t(v )m/k(
2/1)m/k( 2/1  
então 
])t.cos[.b]t.[sen.A.()m/k()t(v )m/k( 2/1)m/k( 2/12/1  
e para t0 = 0 
0)])0.(cos[.b)]0.([sen.A.()m/k()0t(v )m/k( 2/1)m/k( 2/12/1  
mas como 
0)]0.([. )/( 2/1  mksenA 
e 
1)]0.(cos[ )/( 2/1 mk 
então 
0b.)m/k()0t(v 2/1  
ou seja b = 0 
de modo que a solução particular da equação diferencial para nosso problema é 
]t.cos[.A)t(x )m/k( 2/1 
Um detalhe importante é que, como sabemos, a função cosseno é periódica, de periodicidade 2π, 
logo o período do movimento é dado por: 
 
 
8 
m
k
T 2 
ou 
k
m
.T 2 
assim, podemos escrever que 
)t.
T
cos(.A)t(x 2 
ou seja, a função horária do espaço, que descreve o movimento como uma função do tempo, mostra 
que as condições do evento vão se repetir nos instantes t = 1T, 2T, 3T ...indefinidamente, claro na 
ausência de forças dissipativas. 
Por outro lado como o módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo do deslocamento máximo 
do corpo, medido a partir da posição de equilíbrio, é A, que é a deformação da mola no instante t0 = 
0, e que chamamos de amplitude do movimento. É importante perceber pelo equacionamento 
desenvolvido que o período (
k
m
.T 2 ) só depende do corpo (m) e da mola (k), e não depende 
da amplitude do movimento, ou seja, qualquer que seja a deformação inicial da mola, o período do 
movimento será o mesmo. 
A freqüência do movimento, definida por 
T
1f  
e indica o número completo de oscilações por unidade de tempo. Ela é medida em Hertz, (1Hz = 1/s). 
Para nosso oscilador, a freqüência 
k
mT
f
2
11  
 
ou 
 
m
k
.f 2
1 
que é chamada de freqüência própria ou natural do sistema. 
 
Podemos, também, definir a freqüência angular, ou pulsação, do sistema (ω), como: 
m
k
..f.  2
122  , ou
m
k 
medida em radianos por segundo (rad/s). 
 
Então podemos escrever que: 
)t.cos(.A)t(x  
Naturalmente, a partir da função horária do espaço, podemos escrever a função horária da 
velocidade do corpo: 
)t.(sen..A
dt
)t.cos(.A(d
dt
dx)t(v   
 
 
9 
Como o módulo do valor máximo da função seno é 1, o módulo da velocidade máxima do corpo será 
.Avmax  
e, claro, a partir da função horária da velocidade do corpo podemos escrever a função horária da 
aceleração do corpo: 
)t.cos(..A
dt
))t.(sen..A(d
dt
dv)t( 2   
e, novamente, como módulo do valor máximo do cosseno é 1, o módulo da aceleração máxima do 
corpo será 
2
max .A  
A Figura 1.11. apresenta os diagramas horários do espaço, da velocidade e da aceleração para um 
corpo em MHS com as seguintes características: A = 0,50 m; m = 5 Kg e k = 20 N/m. 
Conseqüentemente teremos: T = 3,14 s ; f =0,32 Hz e ω =2,00 rad/s. 
 
Figura 1.11. – Exemplo e diagramas horários de MHS. 
É fácil perceber que o espaço e a velocidade estão defasados de π/2 radianos ─ a explicação 
matemática é simples: 
inicialmente temos que 
)t.cos(.A)t(x  
e temos, também, que 
 
)t.(sen..A)t(v  
mas, com o auxílio da trigonometria: 
)xcos()x(sen
2
  
ou então 
)
2
xcos()x(sen  
então podemos escrever que 
)
2
t.cos(..A)t(v   
 
 
10 
isso implica em que a velocidade está ”adiantada” em relação ao espaço de π/2 radianos, ou seja, a 
velocidade é máxima quando o espaço é zero, e o espaço é máximo quando a velocidade é zero. 
Raciocínio semelhante podemos fazer entre espaço e aceleração. Vejamos: 
temos que )t.cos(.A)t(x  e também que )t.cos(..A)t( 2   
logo 
)t(v.)t( 2  
o que significa que espaço e aceleração estão em oposição de fase (diferença de fase de π 
radianos), ou seja quando o espaço é máximo positivo a aceleração é máxima negativa e vice versa. 
1.1.3. A DINÂMICA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
O “Princípio da conservação da Energia” nos garante que a soma de todas as energias de um 
sistema fechado permanece constante no tempo. 
Em nosso sistema massa-mola, livre da ação de forças dissipativas, a única modalidade de energia 
envolvida é a Energia Mecânica, e a Energia Mecânica de um sistema é soma da Energia Cinética e 
Energia Potencial do sistema. 
A Energia Cinética é definida como: 
2
)
dt
dx
.(m
2
v.mE
22
c  
Uma vez que a coordenada de alturas do corpo permanece constante a Energia Potencial 
Gravitacional permanecerá constante, de modo que só interessará considerar a Energia Potencial 
Elástica 
Então podemos escrever que: 
dx
dU
F elástica  
e como 
x.kelásticaF  
então 
dx
dU
x.k  , ou dx.x.kdU  
e portanto 
x
dx.x.k
x
dx.x.kU
00
, logo 
2
2x.kU  
Como dissemos antes, a ausência de forças dissipativas garante que a Energia Mecânica do sistema 
permanece constante no tempo. Portanto: 
tetancons
2
x.k
2
)
dt
dx
.(m
UEE
22
ct  
a equação acima deixa clara a conversão contínua entre energia cinética e potencial. 
Como a energia total é constante, podemos determiná-la na condição de maior conveniência. A 
condição mais interessante corresponde ao momento em que o corpo é abandonado (v = 0) no ponto 
de abscissa A (Figura 1.6.). 
 
 
Figura 1.6. – No máximo afastamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio (x = A), a força 
resultante é a força elástica ( elásticaF

), e o corpo está em repouso instantâneo. 
 
 
11 
nessa condição como a velocidade é nula  0
2
v.mE0v
2
c  
e como 
2
A.k
2
x.kUAx
22
 
e portanto 
tetancons
2
A.k
2
A.k0UEE
22
ct  
A Figura 1.12., abaixo, apresenta a conservação da Energia Mecânica do e a conversão contínua 
entre Energia Cinética e Potencial, para um oscilador harmônico simples com as seguintes 
características: A = 0,50 m; m = 5 Kg e k = 20N/m. 
Balanço de Energias no MHS
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0,00 0,16 0,31 0,47 0,63 0,79 0,94 1,10 1,26 1,41 1,57 1,73 1,88 2,04 2,20 2,36 2,51 2,67 2,83 2,98 3,14
tempo (s)
E
 (J
) Ec(t)
U(t)
E(t)
 
Figura 1.12. - A figura apresenta a conservação da Energia Mecânica e a conversão contínua entre 
Energia Cinética e Potencial, para um oscilador harmônico simples. 
O estudo do MHS é fundamental para a compreensão dos fenômenos oscilatórios porque para a 
maioria dos sistemas oscilatórios que apresentam posição de equilíbrio com deslocamentos 
pequenos em torno dessa posição de equilíbrio e na ausência de forças dissipativas (ou quando 
podem ser negligenciadas), a força resultante obedece à Lei Hooke. 
 
1.1.4. O OSCILADOR AMORTECIDO 
Como dissemos acima o conhecimento do MHS é fundamental para o desenvolvimento técnico e 
científico, no entanto, nos sistemas existentes no mundo real, além da força de restituição sempre 
estão presentes forças que provocam a perda de energia do sistema (as chamadas forças 
dissipativas). Por ação dessa perda de energia, o sistema tem suas características de oscilação 
modificadas. 
Vamos imaginar, então, uma situação em que o sistema massa mola perca Energia Mecânica pela 
ação de uma força dissipativa, por exemplo, devido ao atrito do corpo preso à mola em contato com 
o apoio horizontal, ou devido à força de resistência do ar aplicada sobre o corpo durante seu 
movimento. Podemos ainda imaginar que o corpo preso à mola execute seu movimento no interior de 
um fluido de viscosidade mais alta, por exemplo, algum tipo de óleo. É natural imaginar que após 
algum tempo o sistema atinja a condição de repouso prolongado. 
A essa condição chamamos Oscilador Amortecido. 
Vamos aplicar a 2ª lei de Newton (Princípio Fundamental da Dinâmica) ao problema, 
F adissipativelásticatetanresul
dt2
d 2 FFxm 
  
 
 
12 
 
considerando novamente uma situação de movimento unidimensional: 
F adissipativelásticatetanresul
dt2
d 2 FFxm  
com 
x.kelásticaF  
Em nosso caso a força resultante dissipativa tem origem no atrito do corpo com o ar, e da 
experiência, sabemos que para velocidades baixas as forças de atrito são geralmente proporcionais 
à velocidade, ou seja: 
dt
dx
.bF atritoF adissipativ  com b representando o coeficiente de atrito. 
Logo, teremos: 
dt
dx
.bx.kFxm tetanresul
dt2
d 2  
ou 
dt
dx
m
x.
m
k
dt
xd 2
2
 
fazendo 
m
k
0  (a frequência angular própria, ou natural, do MHS) 
e 
 (que chamaremos de coeficiente de amortecimento) teremos: 
dt
dx
.2x.x 02
dt2
d 2   , ou 
0x.
dt
dx
..2x 02
dt2
d 2   
Da teoria de equações diferencias sabemos que essa equação diferencial linear de segunda ordem 
com coeficientes constantes admite soluções da forma 
e t.)t(x  
com 
0..2 022    
logo 
2
.2 0.4).2( 2
2
  , ou 
  02 2 
de onde é fácil perceber que a solução vai depender do sinal de  022  
A) quando 002
2  
ou melhor quando  022  
 
 
13 
teremos o chamado amortecimento subcrítico ou sobreamortecido: nesta condição, a 
deformação diminui exponencialmente em função do tempo e o corpo não retorna à posição de 
equilíbrio. 
 
B) quando 002
2  
e portanto  022  
teremos o chamado amortecimento crítico: nesta condição o corpo pára na posição de equilíbrio 
sem completar uma oscilação. 
 
C) finalmente, quando 002
2  
e então  022  
teremos o chamado movimento subamortecido: nessa condição teremos 
).i).1) 20( 220( 220.(1 202
2     
e portanto 
).i 20( 21    , 
e 
).i 20( 22    
fazendo 
teremos 
  .i1  e  .i2  
então, como e t.)t(x  
 )e t.e t.()t(x  21  
 )()t(x e t)..i(e t)..i(    
).().()t(x e t..ie t.e t..ie t.    
 
 
14 
ou 
).)t(x e t..ie( t..ie t.    
por outro lado temos a relação trigonométrica 
  sen.icose .i  
desse modo, como t.sen.it.cose t..i   
e t.sen.it.cost.sen.it.cose t..i   
 
então )t.sen.it.(cos)t.sen.it.(cos)e t..ie( t..i    
ou seja t.cos.)e t..ie( t..i  2 
de modo que a equação ).)t(x e t..ie( t..ie t.    pode ser reescrita como 
t.cos..A)t(x e t.  
A Figura 1.12., abaixo, apresenta a variação da deformação em função do tempo (x(t)) e a envoltória 
( e t. ) para um oscilador com as seguintes características (próximas ao experimento a ser 
realizado) 
 
 
Figura 1.12. – A figura, apresenta a variação da deformação em função do tempo (x(t)) e a envoltória 
( e t. ) para um oscilador amortecido. 
É bastante interessante observar que as deformações nos pontos de inversão do movimento do 
corpo vão diminuindo com o tempo. 
O intervalo de tempo para que a deformação se reduza de um fator 1/e é constante para cada 
movimento e é chamado de vida media da oscilação ( ) dado por: 
b
m2 
que é o inverso do coeficiente de amortecimento (
m.2
b ). 
Note que o movimento resultante é periódico com período (T) dado por 
 
 
15 
2
0
2 )
2
(
.2T 

 
 , ou 
2
0
2 )
m.2
(
.2T 

 
 
portanto se o coeficiente de atrito (b for nulo (não consideramos atrito), naturalmente, o período do 
movimento coincide com o período próprio do oscilador. Mas, na medida em que o coeficiente de 
atrito aumenta, o denominador da expressão acima diminui, e conseqüentemente o período do 
movimento aumenta (e é claro a freqüência diminui). 
 
1.1.5. OSCILAÇÕES FORÇADAS 
A título apenas de aprofundamento, vamos considerar uma situação bastante comum que consiste 
de um oscilador sob ação de uma força externa (F(t)), não dissipativa — é o caso, por exemplo, do 
movimento de uma suspensão de um veículo que passa por uma pista repleta de valas, ou da 
vibração do bloco de um motor devido a um eixo deformado, ou a ação intermitente do vento sobre 
uma grande estrutura — e esta situação damos o nome de oscilações forçadas. 
 
Nessas condições o Princípio Fundamental da Dinâmica nos assegura que 
)t(Fx.kFx.m tetanresul
dt2
d 2  , ou 
)t(Fx.kx.m
dt2
d 2  
É claro que a força externa pode apresentar infinitas dependências com o tempo, no entanto visando 
aliar simplicidade e funcionalidade, vamos admitir que 
)t.wcos(.F)t(F 0 
Não devemos esquecer que a pulsação (w) da força externa é um parâmetro exclusivamente 
associado à ação externa e não deve ser confundido com a freqüência própria do oscilador (w0), 
 
claro que em algumas situações particulares esse valores podem até coincidir, mas apenas 
numericamente. 
Inicialmente vamos “testar” se a função )t.wcos(.C)t(x  é uma solução particular da equação 
diferencial escrita a partir do Princípio Fundamental da Dinâmica, então... 
)wtcos(.C.w.mx.m 2
dt2
d 2  
)wtcos(.C.kx.k  , e 
)t.wcos(.F)t(F 0 
desse modo teremos 
)wtcos(.F)wtcos(.C.kwtcos(.C.w.m 02  , logo 
0
2 FC.kC.w.m  , e portanto a solução proposta é solução do problema desde que2
0
w.mk
F
C

 
 
 
16 
lembrando que 
m
k
w0  ou seja w20.mk  , então 
)ww.(m
F
C
22
0
0

 
Dessa forma a solução proposta é 
)t.wcos(.
)ww.(m
F)t(x 22
0
0

 
a equação acima mostra que a massa oscila na mesma freqüência (w) da força externa, no entanto a 
elongação depende tanto da ação externa quanto da freqüência própria do oscilador. Mostra também 
que à medida que a freqüência da força externa (F(t)) se aproxima da freqüência própria ou natural 
do oscilador (o denominador daquela equação — )ww.(m 220  — tende a zero) a amplitude do 
movimento do oscilador aumenta tendendo ao infinito, o que na prática representa a destruição do 
oscilador (dizemos então que o oscilador entrou em ressonância). 
Em ressonância, a amplitude de oscilação do sistema pode aumentar a ponto de levar à destruição 
do próprio sistema. 
É importante destacar que todas as estruturas, desde estruturas microscópicas (como redes 
cristalinas) até grandes estruturas (como grandes navios, aviões, edifícios ou pontes). podem oscilar, 
apresentando uma, ou mais, freqüências próprias. Se esses corpos entrarem em oscilação 
solicitados por forças externas de freqüência próxima à freqüência natural do corpo, ainda que de 
pequena intensidade, podem entrar em processo de aumento de amplitude de oscilação ate atingir a 
ruptura de sua estrutura. 
Essa é a explicação para o colapso da Tacoma Narrows Bridge, nos Estados Unidos, em Julho de 
1940. 
Filmes e fotos do período, mostram que a ponte entrou em oscilação devido à ação do vento que 
soprou em rajadas, com freqüência próxima à da estrutura da ponte, por algumas horas. Como 
conseqüência a amplitude de oscilação da ponte aumentou até que, em algumas horas, a ponte ruiu. 
 
Figura 1.13. – A figura apresenta dois momentos do colapso da Tacoma Narrows Bridge, nos 
Estados Unidos, em Julho de 1940, cuja explicação se fundamenta no modelo de oscilações 
forçadas. 
Apesar desse exemplo desastroso, existem inúmeras aplicações tecnológicas do fenômeno de 
ressonância, até mesmo na medicina, que utiliza a ressonância para desfazer cálculos renais — o 
cálculo renal entra em vibração por ação de ultra-sons de freqüência próxima à sua freqüência 
própria de vibração. Por ressonância, a amplitude de vibração da estrutura do cálculo aumenta até a 
destruição dessa estrutura; finalmente os fragmentos do cálculo renal são expelidos do rim pela 
urina. 
 
 
 
 
 
17 
1.2. APRESENTAÇÃO DO EXPERIMENTO 
 
1.2.1. OBJETIVO 
 
Observação e análise do movimento de oscilação amortecido realizado por um corpo preso à 
extremidade de uma mola, e que se desloca verticalmente no interior de um fluido, e determinação 
experimental da vida média ( ) do movimento. 
 
1.2.2. PROCEDIMENTO 
 
No interior de um béquer contendo água, coloca-se em oscilação um corpo preso à extremidade de 
uma mola. 
 
 
 
 
 
Verifique, inicialmente, que durante o movimento a elongação máxima da mola vai diminuindo em 
função do tempo. 
 
 
Em seguida, com o auxílio de um cronômetro, vamos determinar o período do movimento. 
Como o período do movimento é relativamente pequeno, para sua determinação experimental vamos 
medir o tempo (Δt) necessário para que o corpo execute, por exemplo, 5 (cinco) oscilações 
completas. Desse modo, o período (T) será 
 
 
18 
5
tT  
Determinado o período do movimento, sabemos que, a partir do instante inicial t=0, a cada meio 
período (T/2) o oscilador estará em pontos de inversão de seu movimento (veja a série de figuras 
anexas) o que com o auxílio de uma régua nos permite medir qual a deformação da mola em cada 
um desses instantes. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Dessa forma a cada instante de inversão do movimento (0; T/2; 2T/2; 3T/2;.....; 6T/2), teremos 
determinado a correspondente deformação da mola (A0; A1; A2;......;A6). 
Com esses dados lançados em tabela (Tabela x(cm) x t(s)) constroem-se dois diagramas: 
inicialmente o diagrama das deformações da mola (x(cm)) em função do tempo (t(s)) em papel 
milimetrado; e em seguida, o diagrama das deformações da mola (x(cm)) em função do tempo (t(s)) 
em papel monolog. Finalmente, em ambos os diagramas determinamos o vida média ( ) do 
movimento. 
 
1.2.3. SIMULAÇÃO DO EXPERIMENTO 
Imaginemos que realizamos um experimento de oscilador amortecido de massa m = 0,20 Kg, 
constante elástica da mola K = 35 N/m e amplitude inicial A0 = 0,05 m. 
Medimos o tempo ( t ) necessário para que o oscilador realize cinco oscilações completas: vamos 
admitir que o tempo medido foi 
s95,0t  
desse modo o período de oscilação é s19,0
5
95,0
5
tT   
Agora vamos medir a deformação da mola para os instantes T/2 = 0,095 s; 2T/2= 0,19 s; 3T/2 = 
0,285 s e assim sucessivamente enquanto for possível medir a deformação da mola. 
Dessa forma teremos 
 
 
A partir dessa tabela vamos construir o diagrama x(cm) x t(s) em papel milimetrado. O resultado 
obtido... 
 
 
20 
 
A partir desse diagrama vamos nos propor determinar o coeficiente de amortecimento (  ) para o 
movimento. Sabemos que 
t.cos..A)t(x e t.0  
e que nos pontos de inversão do movimento 1t.cos  , portanto nos pontos de inversão do 
movimento e t.0e t.0 .A)1.(.A)t(x    
 
 
 
 
21 
veja que quando 
1
t  a expressão acima fica 
).A)1(x e
1
.(0   (Não esqueça! Estamos assumindo que o valor de 
1
t  ) 
logo 718282,2
0A
0e 10
e
1
.A.A)1(x   
e como em nosso exemplo A0= 5 cm, então cm84,1)
1(x  
ou seja, no instante 
1
t  a deformação da mola será │x│= 1,84 cm. 
Portanto, quando em nosso diagrama identificarmos o ponto (o instante) em que a deformação 
assuma o valor │x│= 1,84 cm, poderemos afirma que nesse instante teremos 
1
t  . 
Identificando esse ponto em nosso diagrama... 
 
Ora, como 
s29,01t   , então 
1s45,3  
Sabemos também que 
m.2
b , e como m = 0,200 Kg = 200 g,então 
)200.(2
b
m.2
b
s45,3 1   
logo o coeficiente de atrito s
g1380b  
Agora vamos analisar esse problema de outro ponto de vista... 
 
 
22 
 
O diagrama acima mostra (na linha cheia) a variação da deformação da mola do oscilador e na linha 
pontilhada a exponencial de amortecimento... 
 
Se trabalharmos com os módulos das deformações esse diagrama teria a forma 
 
assim a exponencial de amortecimento será ajustada com maior número de pontos experimentais o 
que diminui o erro experimental. 
A partir dessa curva (a exponencial de amortecimento) podemos construir a tabela abaixo: 
 
 
 
23 
 
 
Agora vamos construir o diagrama │x│(cm) x t(s) 
Como se trata de uma exponencial é preferível construir esse diagrama em papel monolog 
 
 
 
24 
 
Sendo: 
)e.Alog())t(xlog(.A)t(x t.0e t.0    , então 
elog.t.AlogelogAlog))t(xlog( 0t.0    
e fazendo 
1
t  
e).log1.(Alog))1t(xlog( 0   
 
Então, graficamente, teremos: 
 
ou seja, pelo emprego desse método, chegamos a que 
s28,01t   
e conseqüentemente 
 
 
25 
1s50,3
28,0
1
t
1  
e como 
m.2
b , e como m = 0,200 Kg = 200 g,então 
)200.(2
b
m.2
b
s50,3 1   
logo o coeficiente de atrito 
s
g
1400b  
 
1.3. EXERCÍCIOS 
 
1.3.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma dada mola, estendendo-se a 16,0 cm além de sua 
posição de repouso. 
(a) Qual é a constante da mola? 
(b) O bloco é removido e um corpo com 0,500 kg é suspenso da mesma mola. Se esta for então 
puxada e solta, qual o período de oscilação? 
 
SOLUÇÃO: 
 
No equilíbrio, a força exercida pela mola ( tema mesma intensidade do peso da massa 
( ), então 
 
O período é 
 
 
2) Um corpo com a massa de 3,00 Kg é suspenso de uma mola que lhe fez aumentar o comprimento 
de 15,0 cm. Em seguida, o corpo é puxado para baixo de 20,0 cm e abandonado. Após 5 oscilações 
completas verificou-se que a elongação se reduziu a 5 % do valor inicial. 
Determine: 
 
(a) O período do movimento; 
 
(b) A pulsação do movimento; 
 
(c) O fator de amortecimento; 
 
(d) A viscosidade do fluido. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
A função horária do movimento é 
 
Como a cada período o valor de se repete então podemos escrever que em t= 5T 
 
 
26 
 
portanto 
 
 
 
 
e como no equilíbrio 
 
 
e como a freqüência natural de oscilação é 
 
então 
 
 
 
e como a freqüência de oscilação do oscilador amortecido é 
 
 
então 
 
 
 
portanto T=0,781 s (a) w= 8,05 rad/s (b) =0,767 s-1 (c) 
e como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdades de Engenharia Mecânica, Civil, Química, 
Petróleo e Gás 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“OSCILAÇÕES AMORTECIDAS” 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
1) Um corpo de massa m, está pendurado numa mola vertical de constante elástica 1800 N/m. 
Quando o corpo é puxado para baixo 2,5 cm em relação à posição de equilíbrio, e depois 
abandonado, o corpo oscila com frequência 5,5 Hz. 
a) Determine a massa do corpo; 
b) Determine a deformação da mola, em relação ao seu comprimento natural, quando o corpo estiver 
em equilíbrio; 
c) Escreva a função horária da posição para esse movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere o sistema oscilatório representado na figura. O corpo M tem massa 1,5 kg e a mola tem 
constante elástica k = 6 N/m. O sistema é abandonado após a mola sofrer um alongamento de 12 
cm. Sabendo que o coeficiente de atrito é igual a 0,2096 kg/s, obtenha: 
a) A equação das posições do movimento. 
b) O número de oscilações executadas pelo sistema durante o intervalo de tempo necessário para 
que a amplitude se reduza a um terço do seu valor inicial. 
c) Qual a posição do corpo no instante t = 12 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
3) Considere o oscilador amortecido da figura caracterizado por m = 250 g, k= 85 N/m e b = 70 g/s. 
a) Qual o período do movimento? 
b) Qual o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduzam para 
metade do valor inicial? 
c) Se o sistema for iniciado com uma amplitude de 20 cm qual a posição do corpo após 7s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um gongo pode ser tratado matematicamente como um sistema em oscilações harmônicas 
amortecidas e cuja frequência de oscilação pode ser dada pelo tom do som emitido e o volume do 
som pelo valor da amplitude ao quadrado. Bate-se num determinado gongo com uma peça metálica. 
Após 9.0 s, o volume do som diminuiu para 85 % do volume inicial. Qual o tempo que é necessário 
deixar passar para que o volume do som diminua para 25 % do valor inicial ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
5) Em um sistema massa-mola amortecido, de amplitude inicial A = 20 cm e massa 800g, foram 
obtidas as medidas de deformação da mola a partir do instante t = 0 de meio em meio período (T/2), 
apresentada na tabela abaixo. Com base nessas informações: 
a) Construa um diagrama cartesiano mostrando a variação de posição desse corpo; 
b) Determine a pulsação, a frequência e o período do movimento desse corpo; 
c) Escreva a função horária da posição para esse movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdades de Engenharia Mecânica, Civil, Química, 
Petróleo e Gás 
 
 
 
 
 
 
 
 
“OSCILAÇÕES AMORTECIDAS” 
ATIVIDADE PRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
FOLHA DE DADOS 
 
PROCEDIMENTO 
1) Encher o béquer com água até um nível que permita a 
realização do experimento (é importante uma lâmina de 
água de ao menos 12 cm). Montar o equipamento conforme 
a figura anexa, colocando sobre o suporte de pesos 
massores de massa total 200 g 
 
2) Regular a posição da haste móvel de modo que, com o 
conjunto massa mola em equilíbrio, a posição do corpo seja 
aproximadamente a profundidade média da lâmina de água. 
 
1) Com o auxílio de uma haste (ou mesmo de uma caneta) 
deslocar a massa oscilante até próximo ao fundo, 
abandonar o corpo e observar o movimento — cuide para o 
movimento do corpo ocorra apenas na direção vertical; isso 
pode ser obtido se você apoiar a caneta próximo ao eixo de 
simetria do sistema e ao retirar a caneta o movimento não 
traga perturbações. 
 
 
 
2) Verifique se a massa oscilante não sai da lâmina de água 
durante seu movimento. 
 
 
 
 
 
 
3) Se tudo estiver dentro das condições do experimento fixe 
a régua no suporte conforme a figura ao lado. Defina uma 
posição (uma cota) no corpo que irá funcionar como 
indicador de posição. Ajuste a posição da régua de modo 
que facilitar sua leitura. Note que a deformação da mola 
será obtida sempre pelo afastamento da posição de 
referência no corpo em relação à sua posição inicial. 
Atenção a essas leituras! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
4) Inicialmente com o auxílio de um cronômetro meça o tempo que o oscilador leva para completar 
cinco oscilações completas 
 
5) Logo o período de oscilação é 
 
6) Agora, de acordo com a teoria, o objetivo é determinar a deformação da mola para instantes 0 s; 
T/2; 2.T/2; 3.T/2 e assim sucessivamente até que o oscilador entre em repouso prolongado. Esses 
instantes são: 
 
7) Então faremos o seguinte: com a haste leve o corpo para posição inicial (escolhida por você). 
Nesse instante (t0 → A0) 
 
8) Em seguida você vai abandonar o corpo e medir a deformação da mola em t1= T/2, e somente em 
t1= T/2. 
Nesse instante (t1 → A1) 
 
11) O próximo passo e reiniciar o processo, isto é, leve o corpo para posição inicial (aquela, 
escolhida por você). Abandone o corpo e meça a deformação da mola em t2= 2.T/2, e somente em 
t2= 2.T/2 
Nesse instante (t2 → A2) 
 
 
12) Repita o processo até a condição em que o oscilador atinja a condição de repouso prolongado. 
Ao final do processo você completará a tabela abaixo: 
 
 
 
 
34 
 
 
APRESENTAÇÃO DOS DADOS OBTIDOS: 
1) Tabela da deformação da mola em função do tempo, para construção do diagrama 
 
Com esses dados construa, em papel milimetrado o diagrama deformação da mola (x) em função do 
tempo (t) (folha fornecida ao fim deste guia de relatório) 
 
2) Diagrama da deformação da mola (x) em função do tempo (t) 
A partir desse diagrama vamos determinar o coeficiente de amortecimento ( ) para o movimento. 
Sabemos que 
te tAtx .cos...0)(  
e que nos pontos de inversão do movimento 1t.cos  , portanto nos pontos de inversão do 
movimento e tAe tAtx ..0)1.(..0)(   
quando t = 1/ a expressão acima fica 
)
1
.(
.0)
1( eAx 
 
logo 
718282,2
01
.01.0)
1( A
e
AeAx  
e como em nosso experimento 
 
 
 
 
então 
 
 
 
 
 
35 
 
 
como quando x assume o valor acima pelo diagrama temos que 
 
 
então 
 
e como  = b/2m, com 
 
logo o coeficiente de atrito 
 
 
2) Agora vamos construir o diagrama deformação da mola (x) em função do tempo (t), em papel 
monolog. (folha fornecida ao fim deste guia de relatório) 
Conforme discutido na teoria vamos construir a tabela abaixo 
 
A partirdesse diagrama e aplicando o apresentado na teoria chegamos a que 
 e consequentemente 
e como  = b/2m, com 
 
logo o coeficiente de atrito 
 
 
CONCLUSÃO(ÕES): Qual dos dois métodos de determinação do coeficiente de viscosidade do 
fluido é mais confiável? Porque? 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 
 
36 
 
 
 
Diagrama da deformação da mola (x) em função do tempo (t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
Diagrama da deformação da mola (x) em função do tempo (t) 
 
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO 2: 
“ONDAS ELETROMAGNÉTICAS” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
“ONDAS ELETROMAGNÉTICAS” 
2.1. FUNDAMENTO TEÓRICO 
2.1.1. INTRODUÇÃO 
A natureza da luz foi tema de discussão científica por dezenas de anos. 
Isaac Newton (1642-1727) postulava que a luz era constituída de um feixe de partículas, enquanto o 
físico holandês Christian Huygens (1629-1695) assumia que a luz era um tipo de movimento 
ondulatório. 
Atualmente a ciência assume que todas as propriedades conhecidas da luz podem ser explicadas 
através de quatro equações fundamentais, conhecidas como as equações de Maxwell (físico James 
Clerk Maxwell (1831-1879)). 
Ele baseou-se na hipótese de que a luz visível, assim como outras formas de radiação, tal como a 
luz ultravioleta, ondas de rádios, de TV, microondas, etc., são ondas formadas por campos elétricos 
e magnéticos, que foram denominadas ondas eletromagnéticas, e que se propagam no espaço, 
inclusive no vácuo. 
 
Figura 2.1 – Algumas figura ilustres que contribuíram para o desenvolvimento do eletromagnetismo. 
 
Uma onda eletromagnética consiste de um campo elétrico ( E

) e um campo magnético ( B

) que 
oscilam em direções perpendiculares um ao outro e de modo que a direção de propagação desta 
onda é perpendicular aos campos E

 e B

 (veja Fig.1), por isto estas ondas são denominadas 
transversais. 
 
Figura 2.2 – Esquema de propagação de uma onda eletromagnética de acordo com Maxwell. 
 
 
40 
Como sabemos, todas as ondas podem ser descritas em termos de sua velocidade, freqüência, 
comprimento de onda e amplitude como ilustrado na figura Fig.2. 
 
 
Figura 2.3 – Parâmetros das ondas. 
 
O comprimento de onda λ (letra grega lambda) é a distância entre dois máximos ou mínimos 
sucessivos. Conseqüentemente λ tem unidade de comprimento. 
A freqüência f é o número de cristas de ondas que passam em um dado ponto de referência por 
unidade de tempo. Freqüentemente usa-se a unidade denominada hertz (Hz), 1Hz = 1 s-1. A 
freqüência de 10 Hz significa que 10 cristas da onda passam por segundo em um dado ponto de 
referência. 
O período T é o tempo de duração de uma onda completa, assim se por um dado ponto, em um 
segundo, passam f ondas, o tempo de duração de cada onda é 
f
T
onda sn
tempo
o
1 
Por outro lado, para um movimento unidimensional com velocidade constante, sempre podemos 
escrever 
t
s
v 
 
Então aplicando a definição de período (T) e de comprimento de onda (λ) podemos escrever 
f
Tt
s
v . 
 esta relação é chamada EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ONDA 
A luz e todos os outros tipos de radiação eletromagnética têm velocidade de propagação constante 
que é igual a c = 2,9979246 x 108 m/s, no vácuo. Este resultado pode ser mostrado a partir das 
equações de Maxwell. No entanto para efeito de aplicação em exercícios podemos usar c = 3,00 108 
m/s. 
A amplitude, A, de uma onda é a “altura” da crista de onda. Pode-se mostrar, também que a energia 
por unidade de volume armazenada em uma onda (a intensidade de onda) é proporcional ao 
 
 
41 
quadrado da amplitude (A2). Assim a intensidade luminosa, ou brilho de uma onda luminosa é 
proporcional a A2. 
Pode-se mostrar também, a partir das equações de Maxwell, que toda onda eletromagnética 
transporta energia. Um bom exemplo disso está na importância do Sol para a vida na Terra. A 
energia produzida no Sol chega à Terra pela propagação de ondas eletromagnética através do 
espaço interplanetário. 
 
Figura 2.4 – Ilustração mostrando regiões do espectro de ondas eletromagnéticas e algumas 
particularidades em termos de ordem de grandeza dos comprimentos de onda. 
 
2.1.2. EQUAÇÕES DE MAXWELL 
Uma das previsões mais importantes formulação de Maxwell para o eletromagnetismo é da 
existência de ondas eletromagnéticas − campos elétricos e magnéticos que se propagam no espaço 
e no tempo. 
Através das leis de Maxwell, Tabela 1, é possível descrever este fenômeno e concluir que os campos 
elétrico e magnético se propagam no espaço com velocidade constante e independente do 
referencial. 
Tabela 1 - As equações de Maxwell na forma integral e diferencial 
 
 
 
42 
2.1.3. A EQUAÇÃO DE ONDA ELETROMAGNÉTICA E SUA VELOCIDADE 
A partir das equações de Maxwell pode-se deduzir um conjunto de equações que descrevem a 
propagação das ondas eletromagnéticas. Essas equações estão apresentadas na Tabela 2. 
 
 
Tabela 2 – Equações, derivadas a partir das equações de Maxwell, que prevêm a propagação das 
ondas eletromagnéticas 
No caso geral, as soluções destas equações são complexas (trata-se de resolver um sistema de seis 
equações diferenciais de segunda ordem, no espaço e tempo). 
No entanto no caso de uma onda se propagando no vácuo estas equações têm soluções 
relativamente simples. 
 
com.............................................................. 
.2k  
e f..2  
onde 
k = número de onda; 
 = comprimento da onda eletromagnética; 
f = freqüência 
ω = freqüência angular. 
 
Fig 2.5. - Propagação de uma onda eletromagnética 
Observe nesta figura que os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si. 
As ondas eletromagnéticas geradas por campos, da forma demonstrada nas equações acima, são 
denominadas ondas planas. Como os campos elétrico ( E

) e magnético ( B

) são transversais à 
direção de propagação da onda, essas ondas são do tipo transversais. 
Neste aspecto, elas são análogas às ondas geradas em uma corda de instrumento musical. As 
ondas geradas pelos campos elétrico ( E

) e magnético ( B

) neste caso, são do tipo linearmente 
polarizadas e monocromáticas ( f..2  fixa), mas em geral as ondas eletromagnéticas são não 
planas, não são polarizadas e nem monocromáticas. 
 
 
43 
Das equações acima também se pode mostrar que a velocidade de propagação da onda é igual a 
c
.
1
v
00
  
onde 0 e 0 são, respectivamente, as permitividades (ou permissividades) magnética e elétrica no 
vácuo. 
Destas análises, a conclusão mais significativa para nós é que os campos elétrico e magnético (as 
ondas eletromagnéticas) se propagam no espaço com velocidade constante e independente do 
referencial. 
Resumo: 
Nos anos que antecederam a unificação alcançada através das equações de Maxwell, os físicos 
consideravam que a natureza da luz não estava relacionada à natureza da eletricidade ou 
magnetismo. 
Maxwell demonstrou com sua teoria unificada, não só o comportamento ondulatório dos fenômenos 
eletromagnéticos, como também que ondas eletromagnéticassão geradas sempre que cargas 
elétricas são aceleradas. Portanto, o modelo apresentado por Maxwell se revelou capaz de explicar 
que ondas eletromagnéticas podem ser geradas por circuitos de corrente alternada. 
Essas previsões puderam ser confirmadas mais tarde, após a construção do primeiro transmissor-
receptor de rádio, por Hertz (em 1887), logo após a morte de Maxwell. 
 
 
2.2. EXERCÍCIOS 
 
2.2.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcular a freqüência das seguintes ondas eletromagnéticas: 
a) microondas (λ = 1 cm), 
 
b) radiação infravermelha (λ = 1 mm), 
 
Resolução: 
 
a) Dado que f.v  (equação fundamental da onda), onde v = c = 3.108 m/s e λ = 1 cm = 1.10-2 m, 
então 
Hz10.3
10.1
10.3cf 10
2
8
  
 
b) Dado que f.v  (equação fundamental da onda), onde v = c = 3.108 m/s e λ = 1 mm = 1.10-3 m, 
então 
 
Hz10.3
10.1
10.3cf 113
8
  
 
 
2) Certa comunidade pretende construir uma instalação para converter radiação solar em energia 
elétrica. A potência necessária é 1 Mw, e o sistema a ser montado tem uma eficiência de 30 %. Qual 
deve ser a área efetiva da instalação, com uma superfície perfeitamente absorvedora, supondo-se 
que o fluxo de energia solar seja constante e igual a 1 kw/m2? 
Resolução: 
 
 
 
 
44 
Se a eficiência (o que se aproveita do total) é 30% = 0,30 então 
T
6
TT
u
P
w10.1
P
Mw1
P
P
3,0  
Logo 
3,0
w10.1P
6
T  
Dado que Área
Potencia)enciafluxodepot(  e como o fluxo (constante) é Ф = 1 kw/m2 = 1.103 w/m2 
Assim 2233
3
6
3
6
m10.33,310....333,010.
3
1)
10.1
1).(
3,0
10.1(
)10.1(
)
3,0
10.1(
PA   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdades de Engenharia Mecânica, Civil, Química, 
Petróleo e Gás 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ONDAS ELETROMAGNÉTICAS” 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
1) A luz, (onda eletromagnética visível), compreende comprimentos de onda de 4.000 a 7.000 Ǻ. 
Exprima esses comprimentos em microns, milímetros e centímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual a freqüência de uma onda luminosa cujo comprimento de onda é 6.000 Ǻ? Qual a freqüência 
dos raios X cujo comprimento de onda é 3 Ǻ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O comprimento de onda das ondas emitidas por uma estação de rádio é 300 metros. Qual a 
freqüência dessas ondas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
4) A velocidade de propagação de uma onda ou radiação eletromagnética, no ar, é cerca de 3,0×105 
km/s. A tabela a seguir mostra, em metros, a ordem de grandeza do comprimento de onda associado 
a algumas radiações eletromagnéticas. 
 
Como você classifica uma onda eletromagnética de freqüência 2,5×109 Hz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma onda luminosa de comprimento de onda 6400 Å (vermelho) (1 Å (Angstron) = 1.10-10 m = 
1.10-8 cm) se propaga no vácuo (c = 3.108 m/s). Determine: 
a) A frequência dessa radiação; 
b) O período dessa radiação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
6) Os limites do espectro visível são dados como submúltiplos do metro por 400 nm (luz violeta) e por 
700 nm (luz vermelha). Escreva: 
a) Estes limites em Angstron; 
b) Os limites de frequência da luz visível em MHz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcular a frequência das seguintes ondas eletromagnéticas: 
a) luz amarela (λ= 580 nm); 
b) luz ultravioleta (λ= 100 nm); 
c) raios X (λ= 1 pm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Considere uma microonda com comprimento de onda 1 cm propagando-se no vácuo. Calcule: 
a) A frequência dessa onda eletromagnética; 
b) O período das oscilações eletromagnéticas; 
c) A frequência angular das oscilações eletromagnéticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
9) A onda luminosa, de maior frequência à qual se refere o exercício 6 passa a se propagar no vidro, 
isto é, sofre refração. A velocidade de propagação da luz no vidro é vvidro= 2,6.10
8 m/s. Nessas 
condições, determine: 
a) A frequência dessa radiação; 
b) O período dessa radiação; 
c) O comprimento de onda dessa radiação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Escreva relação matemática que permite a determinação da velocidade de uma onda 
eletromagnética, a partir de características elétricas e magnéticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Determinar: 
 
a) A uma distância de 150 km de um transmissor de ondas de rádio, quanto tempo depois você 
observaria uma onda emitida pela antena? 
b) Se a radiação fosse uma onda de rádio emitida pelo Sol? Dado que DSol Terra = 1 UA (Unidade 
Astronômica) = 150.000.000 km. 
c) Se a radiação fosse uma fonte radio estelar a 500 anos-luz? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO 3: 
“INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELÉTRICAS” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
“INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELÉTRICAS” 
3.1. FUNDAMENTO TEÓRICO 
3.1.1. INTRODUÇÃO 
3.1.1.1. CORRENTE ELÉTRICA 
Em determinados materiais (condutores metálicos), sob determinadas condições (quando 
submetidos a uma tensão elétrica), se estabelece uma movimentação sistemática de elétrons de um 
átomo para outro: este fenômeno é chamado corrente elétrica. 
Podemos dizer que cargas elétricas em movimento ordenado formam uma corrente elétrica, ou seja, 
corrente elétrica é o fluxo (movimento organizado) de portadores de carga elétrica através de um 
meio condutor. 
A intensidade da corrente elétrica (i) é por definição: 
dt
dqi  
de modo que 
)()(
)(
).(
).().( Aampére
ssegundo
Ccoulomb
dtunid
dqunidiunid  
O vidro, porcelana, borracha, são exemplos de isolantes, apresentam grande dificuldade à passagem 
da corrente elétrica, nestes materiais os elétrons estão fortemente presos aos seus núcleos. 
São bons condutores: prata, cobre, alumínio, ou seja, os materiais metálicos, isto porque, 
normalmente possuem elétrons fracamente presos aos núcleos. 
Os condutores metálicos apresentam grande quantidade de elétrons livres. Quando um condutor (fio 
metálico) é conectado aos terminais de uma pilha (ou gerador), os elétrons livres (elétrons da última 
camada) são forçados a se movimentar em um sentido, estabelecendo uma corrente elétrica. 
3.1.1.2. TENSÃO ELÉTRICA 
Para estabelecer uma corrente elétrica através de um condutor, existe uma condição específica: é 
necessária uma diferença de potencial elétrico entre seus terminais. 
De forma bastante simples, para fazer isso seria ligar um dos terminais do condutor a uma grande 
esfera condutora eletrizada positivamente, e o outro terminal do condutor a outra grande esfera 
condutora eletrizada negativamente — era esse o método de obtenção de correntes elétricas no 
início dos estudos sobre eletromagnetismo. O grande inconveniente deste processo elementar está 
no curtíssimo tempo de duração dessa corrente elétrica, já que os elétrons da esfera eletrizada 
negativamente se esgotam muito rapidamente — o que representava a maior dificuldade dos 
pesquisadores no início dos estudos sobre eletromagnetismo. 
Atualmente, para manter correntes elétricas por períodos de tempo mais longos empregamos o que 
poderíamos chamar de “bombas de cargas elétricas”, que são dispositivos que conseguem manter o 
processo descrito acima por longos períodos, isto é, consegue m sustentar por mais tempo uma 
diferença de potencial elétrico. 
Estes dispositivos são as chamadas por fontes de tensão elétrica, geradores elétricos, ou forças 
eletromotrizes (fem). Os exemplos mais comuns são baterias e pilhas.Figura 1 – Ilustração representando uma bateria e pilhas. 
 
 
52 
3.1.1.3. BIPOLOS ELÉTRICOS 
Um bipolo elétrico é um componente elétrico qualquer que possui dois pólos ou terminais acessíveis, 
isto é, aos quais podem ser ligados outros componentes elétricos na formação de um circuito 
elétrico. É representado esquematicamente da forma apresentada na Figura 2. 
 
Figura 2 – Representação esquemática de um bipolo elétrico. 
 
Em função do sentido convencional da corrente elétrica que percorre o bipolo (ou da polaridade da 
tensão elétrica aplicada) os bipolos elétricos são classificados em bipolos geradores (ativos) ou 
bipolos receptores, (passivos). 
3.1.1.3.1. BIPOLOS ATIVOS 
Os chamados bipolos geradores (ativos) se caracterizam por transformar qualquer modalidade de 
energia em energia elétrica. Por isso, são componentes ativos num circuito elétrico. 
Exemplos: 
 Pilhas: transformam energia química em energia elétrica; 
 Dínamos: transformam energia mecânica em energia elétrica. 
É importante observar (Figura 3) que nos bipolos geradores (ativos), a corrente elétrica tem sentido 
convencional que vai do pólo de menor potencial elétrico para o pólo de maior potencial elétrico. 
 
Figura 3 – Sentido convencional da corrente elétrica no bipolo gerador (ativo). 
 
3.1.1.3.2. BIPOLOS PASSIVOS 
Os bipolos receptores (passivos) se caracterizam por transformar energia elétrica em outras 
modalidades de energia. Por isso, são componentes passivos num circuito elétrico. 
Exemplos: 
 Resistores; transformam energia elétrica em energia térmica; 
 Motores elétricos: transformam energia elétrica em energia mecânica. 
Observe (Figura 4) que nos bipolos receptores (passivos), a corrente elétrica tem sentido 
convencional que vai do pólo de maior potencial elétrico para o pólo de menor potencial elétrico, ou 
seja, o sentido convencional da corrente elétrica é contrário ao sentido da tensão elétrica sobre ele. 
 
Figura 4 – Sentido convencional da corrente elétrica no bipolo receptor (passivo). 
É importante destacar que em determinados circuitos elétricos, geradores podem passar a operar 
como receptores, devido a eventuais mudanças no sentido de corrente elétrica (ou tensão elétrica) 
impostas pelo circuito. Nestas condições esse componente é classificado como receptor ativo. 
No entanto, por ser elementos passivos, receptores nunca podem atuar geradores. 
A seguir vamos abordar diversos bipolos freqüentemente empregados em circuitos elétricos. 
3.1.1.3.3. POLARIDADE DE BIPOLO 
Muitos tipos de bipolos não se comportam da mesma forma quando inseridos com diferentes 
orientações num mesmo trecho de circuito elétrico, ou seja, não se comportam de forma 
eletricamente simétrica: dizemos então que esse bipolos são polarizados (ou assimétricos). Um 
bipolo polarizado deve ser instalado num determinado trecho de circuito com orientação específica — 
se o bipolo polarizado for instalado de forma inadequada não funcionará da forma prevista, podendo 
até mesmo sofrer danos ou danificar outros componentes do circuito. 
 
 
53 
São bipolos sempre polarizados: 
 Diodos (LEDs, diodos normais ou de outros tipos); 
 Transistores. 
 
 
Figura 5 - Ilustração mostrando o primeiro transistor construído. 
 
3.1.1.3.4. CAPACITORES 
Capacitores constituem um caso particular — alguns tipos 
são polarizados, outros não. Um tipo especial de capacitor, 
polarizado, é o capacitor eletrolítico, representado na 
Figura 6. 
A diferença deste tipo de capacitor para os demais, além 
de geralmente apresentar altos valores de capacitância (da 
ordem de micro ou mili Farads), o que permite maior 
capacidade de armazenamento de cargas elétricas, é a 
polarização das placas. Ao contrário dos capacitores 
comuns que são conectados em qualquer disposição (os 
terminais não têm polaridade) e com qualquer tipo de 
tensão elétrica (AC ou DC) o capacitor eletrolítico só pode 
ser ligado a tensões elétricas do tipo DC, com a placa ou 
terminal positivo ligado ao ponto de maior potencial elétrico 
do trecho de circuito (pólo positivo) e placa ou terminal 
negativo ligado ao ponto de menor potencial elétrico do 
trecho de circuito (pólo negativo), conforme Figura 7. Se 
ligarmos um capacitor eletrolítico em tensão elétrica 
alternada (AC) ou com polarização invertida ele explode 
podendo provocar acidente. 
 
Figura 6 - Representações 
esquemáticas de capacitor 
eletrolítico. 
 
Figura 7 - Ilustração apresentado 
a forma adequada de ligar um 
capacitor eletrolítico (polar)
 
3.1.1.3.5. RESISTORES 
Por outro lado, resistores são bons exemplos de componentes não-polarizados (ou simétricos): seu 
comportamento elétrico não se altera qualquer que seja o sentido em que a corrente elétrica flua 
através deles. 
Observação: Existem os “resistor packages” (pentes de resistores) que por apresentarem 
configurações de conexões internas não-simétricas, do ponto de vista de instalação operam como 
bipolos polarizados. 
 
 
 
 
 
 
 
54 
3.1.1.3.6. CURVAS CARACTERÍSTICAS 
Uma curva característica é um diagrama cartesiano 
em que no eixo horizontal (eixo x) são lançados os 
valores da intensidade de corrente que percorre o 
bipolo, e no eixo vertical (eixo y) os 
correspondentes valores de tensão elétrica 
aplicados ao bipolo. 
A utilidade das curvas características está no fato 
de permitir a identificação imediata da função 
(características) do bipolo. 
 
 
Figura 8 – Alguns exemplos de curvas 
características.
 
3.1.2. CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Circuitos elétricos são associações de bipolos, componentes elétricos, tais como fontes de tensão 
(geradores elétricos), resistores, capacitores, diodos, etc... com um objetivo prático definido. 
Neste momento, vamos admitir circuitos elétricos simples (um único percurso para a corrente 
elétrica) compostos de apenas fontes de tensão e resistores. 
3.1.2.1. FONTES DE TENSÃO 
Fontes de tensão são bipolos ativos capazes de estabelecer, no circuito, uma determinada diferença 
de potencial dando origem a uma corrente elétrica. 
Como afirmamos anteriormente, num circuito elétrico, a diferença de potencial elétrica(ou força 
eletromotriz – fem) é condição fundamental para a circulação dos elétrons pela fiação até os 
aparelhos elétricos. 
Exemplos de fontes de tensão: pilhas, baterias, alternadores e dínamos. 
No S.I. a unidade de tensão elétrica é o volt, abreviado por V. 
A seguir é apresentado um exemplo de um circuito elétrico simples. 
 
Figura 9 – Esquema representando um circuito elétrico simples. 
onde, 
 R - resistência do circuito, em ohms (Ώ); 
 f.e.m – força eletromotriz, em volts (V); 
 i - intensidade de corrente em ampéres (A). 
As baterias e pilhas fornecem tensão contínua perfeitamente retificada, ou seja, não há variação da 
diferença de potencial com o tempo, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
55 
 
Figura 10 – Diagrama representando a variação temporal de uma tensão elétrica contínua. 
Os alternadores, por outro lado, fornecem tensão alternada e senoidal, conforme a figura abaixo. 
 
Figura 11 – Diagrama representando a variação temporal de uma tensão elétrica alternada. 
Neste caso, a diferença de potencial varia de forma periódica, apresentando uma fase positiva e uma 
negativa. Esta é a forma de energia elétrica fornecida pelas empresas de distribuição de energia 
elétrica para consumo residencial e industrial. 
3.1.2.2. RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
Ao aplicar uma tensão elétrica e conseqüentemente estimular a circulação de portadores de carga 
elétrica estabelecendo uma corrente elétrica em um condutor, pode-se observar que, para um 
mesmo valor de tensão aplicada, a condutores de diversos materiais, a corrente elétrica apresentará 
diferentes intensidades. Isso se deve a características intrínsecas de cada condutor. 
A resistência de um condutor pode ser entendida comouma oposição que o condutor apresenta à 
circulação de corrente elétrica, ou à circulação de elétrons. 
Dizemos que cada condutor apresenta diferente resistência elétrica em função de suas 
características microscópicas e macroscópicas. 
Características microscópicas 
As características microscópicas que influenciam o deslocamento dos elétrons livres são: 
 a forma de organização dos íons da rede cristalina; 
 o espaçamento disponível para o movimento dos elétrons livres; 
 sua velocidade média de arrasto; 
 número de íons e de elétrons livres disponíveis por unidade de volume. 
Como podemos ver, os aspectos microscópicos estão ligados à estrutura da rede cristalina, ao 
número de elétrons livres do material e à movimentação destes elétrons livres no condutor: quando 
os elétrons livres são estimulados a movimentar-se pela aplicação de uma tensão elétrica ocorrerão 
choques entre esses elétrons livres e a rede cristalina, o que caracteriza a dificuldade ao 
deslocamento dos elétrons. 
Características macroscópicas: 
 comprimento; 
 área da sua seção transversal; 
 temperatura. 
Todos estes fatores irão caracterizar a resistência elétrica do corpo condutor. 
3.1.2.2.1. RESISTORES LINEARES E NÃO LINEARES 
A resistência de um condutor é definida como a razão entre a tensão elétrica aplicada ao corpo e a 
corrente elétrica que o atravessa. 
i
U
R  
de modo que )()(
)(
).(
).().(  ohm
Aampére
Vvolt
iunid
Uunid
Runid
 
 
 
56 
Existe um grande número de condutores cuja resistência não depende da tensão aplicada: são os 
resistores ôhmicos. A lei de Ohm estabelece que nos resistores ôhmicos a tensão elétrica é 
proporcional à intensidade da corrente elétrica. A constante de proporcionalidade é a resistência do 
condutor. Ou seja 
.tan constR
iN
U N
iM
U M
iP
U P  
 
 
Figura 12 - Curva característica de um resistor ôhmico. 
Um resistor de cobre é um resistor ôhmico, mas há resistores que não são ôhmicos. 
Estes componentes, os resistores não ôhmicos ou não lineares, têm como principal característica 
variar a resistência de acordo com a mudança de tensão, temperatura, grau de iluminação, entre 
outras grandezas físicas. Recebem nome específico em função de suas características funcionais: 
 
Light Dependent Resistor ou Resistor Dependente de Luz (LDR) 
Um LDR (Light Dependent Resistor ou Resistor Dependente de Luz) altera sua resistência de acordo 
com a intensidade de luz recebida, devido ao efeito fotoelétrico. Em ausência e luz o LDR apresenta 
alta resistência entre os terminais. Com o aumento de iluminação, a resistência do LDR diminui. 
Este dispositivo é empregado na detecção de variação de luminosidade para o controle de alarmes, 
de lâmpadas de acendimento noturno, etc. 
 
Termistores (NTC) 
Os termistores são os sensores de temperaturas utilizados em termostatos e termômetros. A 
resistência desses elementos varia com a mudança de temperatura. 
 
Varistores 
Os varistores estão, de modo geral, associados à proteção de fontes e circuitos de alimentação. Seu 
funcionamentos se baseia na forte condução, ou seja, na queda brusca da resistência provocada 
pelo aumento de tensão elétrica. Basicamente é construído colocando-se entre duas placas 
metálicas um dielétrico (não confundir com capacitores) que, com o aumento da tensão, e atingindo a 
tensão limite (tensão de ruptura), tem sua resistência reduzida a quase zero. Cada varistor é 
projetado para uma a tensão de ruptura específica conforme a necessidade. 
 
3.1.2.2.2. DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA DO ELEMENTO RESISTORE 
Resistência Nominal 
É a resistência especificada pelo fabricante (de modo geral vem inscrita no corpo do resistor) 
Resistência Aparente 
É determinada experimentalmente. 
Inicialmente levanta-se a curva característica (diagrama tensão elétrica versus corrente elétrica) do 
elemento. Podemos ilustrar dois casos distintos: 
— Resistência Aparente de resistor ôhmico ou linear 
A curva característica se apresenta da seguinte forma: 
 
 
57 
 
 
 
Figura 13 - Curva característica de resistor ôhmico ou linear. 
 
Como a curva característica é uma reta então 
.tan constR
iN
U N
iM
U M
iP
U P  
— Resistência Aparente de resistor não ôhmico ou não linear 
A curva característica se apresenta da seguinte forma: 
 
 
Figura 14 - Curva característica de resistor não ôhmico ou não linear. 
Como a curva característica não mais é uma reta então definimos a resistência do elemento em cada 
ponto, assim 
RPi P
U P
P tan 
RMi M
U M
M tan 
RNi N
U N
N tan 
Esses valores são chamados resistência aparente do elemento nos pontos, respectivamente, P, M e 
N. 
 
 
58 
3.1.3. MEDIDORES ELÉTRICOS 
Os instrumentos básicos utilizados para medidas 
elétricas são o amperímetro e o voltímetro, cujo 
funcionamento se baseia no galvanômetro. 
Galvanômetro é o nome genérico dado a um 
instrumento capaz de detectar a passagem uma 
corrente elétrica. Eles se baseiam nos efeitos 
magnéticos produzidos pela passagem das correntes 
elétricas a ser medidas. 
Sabemos que a passagem de uma corrente elétrica 
por um condutor, gera um campo magnético à sua 
volta. 
Se este condutor for enrolado na forma de uma 
espira (ou várias delas), o efeito magnético será 
idêntico ao de um imã. Este é o princípio de 
funcionamento básico do galvanômetro: uma bobina 
muito leve formada de muitas espiras de fio de cobre 
(fino) montada de tal maneira que quando passa uma 
corrente por ela, um torque de origem magnética é 
gerado, causando a deflexão de uma agulha, 
conforme mostrado na figura abaixo. 
É importante observar o sentido correto de entrada e 
saída da corrente elétrica indicado pelo fabricante 
porque ao invertermos o sentido da corrente, a 
agulha sofrerá deflexão no sentido oposto e isso 
pode causar danos ao aparelho. 
Como a deflexão da agulha é proporcional à 
intensidade da corrente elétrica que passa pela 
bobina, na ausência de corrente elétrica, o ponteiro 
se posiciona no “zero” do galvanômetro. A bobina é 
calculada de maneira tal que se tenha deflexão 
máxima para a maior corrente permitida (com uma 
boa segurança) pela resistência elétrica da bobina. 
Como sabemos, a corrente elétrica, ao passar por 
um condutor, dissipa calor. Se a corrente for muito 
alta, o condutor será aquecido e, dependendo da 
situação, o fio da bobina poderá se romper, 
“queimando” o aparelho. Por isso, devemos ter muito 
cuidado ao utilizarmos um galvanômetro. 
Tendo definido os valores zero e máximo, 
constrói-se uma escala linear. 
Os galvanômetros têm algumas limitações 
práticas intrínsecas. Inicialmente, devido à 
existência da bobina, eles apresentam uma 
resistência interna cujo valor dependerá da 
forma como ele é construído. Em segundo 
lugar, eles estão limitados a medir correntes 
de uma ordem de grandeza bastante 
pequena. Em geral, os galvanômetros 
encontrados em laboratórios medem 
correntes de fundo de escala (uma leitura 
com a agulha totalmente defletida) da ordem 
de 1mA, ou até menores. 
 
Figura 15 – Ilustração representando um 
galvanômetro. 
 
3.1.3.1. AMPERÍMETRO 
Um amperímetro é um galvanômetro com a escala ampliada. 
Por exemplo, se dispomos de um galvanômetro com 100A de fundo de escala e desejamos 
construir um outro instrumento que meça até 1mA, deveremos colocar em paralelo com o 
galvanômetro uma resistência chamada de shunt que desvie o excesso (no caso 0,9 mA) .O circuito 
está indicado na Figura 12. 
 
Figura 16 – Ilustração representando a ampliação da escala do galvanômetro e o circuito 
equivalente. 
Importante! O amperímetro deve ser instalado em série com o trecho de circuito em que 
pretendemos medir a intensidade da corrente elétrica. 
 
 
59 
3.1.3.2. VOLTÍMETRO 
Um voltímetro é construídopela associação em série de um resistor RS com um galvanômetro. A 
diferença de potencial total UV aplicada sobre a associação se divide entre o resistor e o 
galvanômetro na razão direta de suas resistências RS e RG. A tensão UG aplicada sobre os terminais 
do galvanômetro é apenas uma fração da tensão total UV aplicada sobre a associação; se 
soubermos em que proporção UV se divide entre UG e US poderemos determinar quanto vale a 
tensão total UV medindo a parte dela que atua sobre o galvanômetro. 
 
Figura 17 - Construção de voltímetro com galvanômetro e resistor em série. 
Importante! O voltímetro deve ser instalado em paralelo com o trecho de circuito em que 
pretendemos medir tensão elétrica. 
3.2. APENDICE(S) 
3.2.1. RESISTORES ELÉTRICOS 
 São dispositivos utilizados para limitar a passagem da corrente elétrica nos circuitos; 
 São feitos com material condutor de alta resistividade elétrica; 
 Transformam a energia elétrica em energia térmica (efeito Joule) 
3.2.1.1. TIPOS DE RESISTORES QUANDO À RESISTÊNCIA 
a) Fixos: o valor da resistência elétrica é preestabelecido; 
b) Ajustáveis: o valor da resistência elétrica pode ser escolhido e ajustado dentro de uma faixa de 
valores. Geralmente são usados para calibração de circuitos elétricos e eletrônicos. Exemplo: 
trimpots; 
c) Variáveis: o valor da resistência elétrica pode ser variado dentro de uma faixa de valores. São 
usados para controle de parâmetros em circuitos elétricos e eletrônicos. Exemplo: potenciômetros, 
reostatos. 
3.2.1.2. TIPOS CONSTRUTIVOS DE RESISTORES 
a) RESISTOR DE FIO 
Descrição geral: 
 Consiste basicamente de um tubo cerâmico (ou vidro) que serve de suporte a um fio condutor 
de alta resistividade enrolado (níquel-cromo) sobre este tubo; 
 O comprimento e o diâmetro do fio determinam sua resistência elétrica; 
 Os terminais são soldados nas extremidades do fio; 
 Aplicada uma camada de material isolante para proteção. 
Características: 
 Robustos; 
 Suportam altas temperaturas; 
 Geralmente na cor verde; 
 Especificações impressas no seu corpo (resistência, tolerância e potência nominal). 
Valores: 
 Baixas resistências (Ω a kΩ); 
 Alta potência (de 5w a 1000kw); 
 Alta tolerância (10% a 20%). 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Figura 18 – Ilustração representando resistores de fio. 
 
b) RESISTOR DE FILME DE CARBONO (DE GRAFITE) 
Descrição geral: 
 Tubo cerâmico (ou de vidro) coberto por um filme (película) de carbono; 
 O valor da resistência elétrica é obtido mediante a formação de um sulco no filme, produzindo 
uma fita 
espiralada cuja largura e espessura define o valor da sua resistência; 
 Os terminais são soldados na extremidade do filme; 
 Aplicada uma camada de material isolante para proteção. 
 
Figura 19 – Ilustração representando resistores de Carbono. 
Características: 
 Potência nominal está associada ao tamanho; 
 Geralmente na cor bege; 
 Especificações impressas através do código de cores. 
Valores: 
 Grande faixa de valores de resistências (Ω a 10mΩ), com mesmo tamanho; 
 Baixa potência (até 3w); 
 Média tolerância (5% a 10%). 
c) RESISTOR DE FILME METÁLICO 
Descrição geral: 
 Semelhante ao de carbono; 
 Tubo cerâmico coberto por um filme de uma liga metálica (níquel-cromo). 
Características: 
 Geralmente na cor azul; 
 Potência associada ao seu tamanho; 
 Especificações impressas através do código de cores. 
Valores: 
 Grande faixa de resistências (Ω até MΩ); 
 Baixa potência (até 7W); 
 Baixa tolerância - mais precisos (1% a 2%); 
 Outras cores: de potência (marrom) e de precisão (verde escuro). 
 
 
61 
d) POTENCIÔMETRO 
Descrição geral: 
 É um resistor variável de 3 terminais, sendo 2 ligados às extremidades da resistência e um 
ligado a um cursor móvel; 
 Entre os extremos: resistência fixa; 
 Entre um extremo e o cursor: resistência variável; 
 Uma haste é acoplada ao cursor para permitir variação da resistência. 
Características: 
 Usados em circuitos para variar grandezas controladas por corrente ou tensão elétrica. 
Exemplos: volume de som, contraste de cores em TV, temperaturas, etc. 
Valores: 
 De Ω a MΩ. 
 
Figura 20 – Ilustração representando esquema de ligação de potenciômetro. 
 
Figura 21 – Ilustração representando diversos tipos de potenciômetros. 
e) TRIMPOTS: 
Descrição geral: 
 É um resistor ajustável cujo cursor é acoplado a uma 
base plana giratória vertical ou horizontal, dificultando o acesso 
manual; • usados em circuitos em que não se deseja mudança 
freqüente da resistência. Exemplos: circuitos para ajuste ou 
calibração (uso interno). 
 
f) REOSTATOS: 
Descrição geral: 
 Os reostatos são resistores de fio variáveis ou 
ajustáveis; 
 Sua resistência varia em função do comprimento do fio 
utilizado entre os contatos móvel (cursor) e fixo. 
 
Figura 22 – Ilustração 
representando Trimpots. 
 
Figura 23 – Ilustração 
representando um reostato. 
 
 
 
 
 
 
62 
3.2.2. VALORES COMERCIAIS DE RESISTORES 
Os resistores são fabricados e vendidos com valores nominais padronizados. A tabela abaixo 
apresenta as raízes das séries de valores comerciais de resistores. Todos os valores comerciais 
encontrados são múltiplos das raízes das séries de valores. 
Série I – Resistores de 5%, 10% e 20% de tolerância 
10 12 15 18 22 27 33 39 
47 56 68 82 
Série II – Resistores de 2% e 5% de tolerância 
10 11 12 13 15 16 18 20 
22 24 27 30 33 36 39 43 
47 51 56 62 68 75 82 91 
Tabela 1 – Tabela dos valores raízes de resistores comerciais. 
Exemplo: Resistores da Série I, raiz 27, podem ter valores como: 0,27Ω; 270Ω; 27kΩ; 270kΩ; etc. 
3.2.2.1. CÓDIGO DE CORES PARA RESISTORES 
 Os resistores são fabricados em valores padronizados (resistência nominal); 
 Os valores padronizados são determinados a partir de séries de valores (raízes), dos quais 
são determinados os múltiplos e submúltiplos; 
 O código de cores determina o valor padrão (resistência nominal) dos resistores a partir dos 
anéis coloridos impressos no corpo do resistor; 
 Normalmente os resistores vêm com 4 anéis coloridos; 
 Os resistores de precisão possuem 3 algarismos significativos e vêm com 5 anéis impressos; 
 Em geral, o primeiro anel a ser lido é aquele mais próximo a um dos terminais do resistor, 
desde que não seja da cor preto, ouro ou prata; 
 A tolerância representa percentualmente a faixa de variação admissível para o valor da 
resistência do resistor. 
 
Tabela 2 – Tabela de cores para resistores comerciais. 
A leitura dos anéis deve ser efetuada a partir do anel mais próximo a uma das extremidades do 
resistor. 
 
 
 
63 
 
Exemplo: Um resistor apresenta código de cores de 4 
anéis, respectivamente: amarelo, violeta, laranja, 
prata. Então isso indica que: 
1º algarismo (significativo): amarelo  4 
2º algarismo (significativo): violeta  7 
3º algarismo (múltiplo de 10): laranja  1000 
4º algarismo (tolerância): prata ( ± 10% 
Portanto a resistência nominal desse resistor é: 47kΩ ± 10% (resistência admissível de 42300Ω a 
51700Ω). 
 
3.3. APRESENTAÇÃO DO EXPERIMENTO 
3.3.1. OBJETIVO 
Desenvolver práticas básicas de medidas elétricas e verificar experimentalmente a primeira lei de 
Ohm. 
3.2.2. PROCEDIMENTO 
1) Monte o arranjo experimental conforme Figura ao lado, onde o bipolo objeto de estudo é o resistor 
R1 (resistor de carvão), de valor de resistência nominal 47 . 
2) Anote o valor da resistência nominal desse resistor de carvão; 
R1=_________, 
3) Instale o voltímetro de forma a medir a tensão elétrica entre os pontos A e B (a tensão elétrica no 
gerador que é a mesma que no resistor R1); 
4) Instale o amperímetro de forma a medir a intensidade da corrente elétrica no resistor R1; (Observe 
a sugestão apresentada na ilustração abaixo) 
 
5) Varie, a partir de zero,