Teoria de Galois em Equações

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Galois' Theory
of Algebraic Equations
Apesar do título, o principal assunto dessas palestras não é a álgebra, muito menos a história, como se poderia concluir a partir de uma olhada no índice, mas sim a metodologia. O objetivo delas é transmitir ao público, que originalmente consistia em estudantes de graduação em matemática, uma ideia de como a matemática é criada. Para um projeto tão ambicioso, a experiência individual de qualquer matemático, exceto os maiores antes do trabalho de Galois, seria insuficiente. Também é instrutiva, do ponto de vista metodológico, a relação entre a teoria geral, desenvolvida por Cardano, Tschirnhaus, Lagrange e Abel, e as tentativas de Viète, de Moivre, Vandermonde e Gauss em exemplos significativos, como as chamadas equações ciclotômicas, que surgem da divisão do círculo em partes iguais. Trabalhos nessas duas direções estão estreitamente entrelaçados como temas em um contraponto, até sua resolução no trabalho de Galois. Finalmente, a teoria algébrica das equações agora é um assunto encerrado, que atingiu maturidade completa há muito tempo; portanto, é possível fazer uma avaliação justa de seus vários aspectos. Isso não se aplica, é claro, à teoria de Galois, que ainda inspira pesquisas originais em várias direções, mas essas palestras tratam da teoria das equações e não da teoria dos campos de Galois. A evolução da teoria de Galois para a moderna teoria de Galois está fora do escopo deste trabalho; certamente preencheria outro livro como este.
Como consequência da ênfase na evolução histórica, a exposição dos fatos matemáticos nestas palestras é genética ao invés de sistemática, o que significa que se busca retraçar a concatenação de ideias seguindo (grosseiramente) sua ordem cronológica de ocorrência. Portanto, resultados que são logicamente próximos podem estar espalhados em capítulos diferentes, e alguns tópicos são discutidos várias vezes, em pequenas partes, ao invés de serem apresentados em um relato definitivo único. A recompensa esperada por essas circunlocuções é que o leitor possa, com sorte, obter uma melhor compreensão dos mecanismos internos da teoria, que a fizeram evoluir como evoluiu.
Claro que, para evitar discussões muito prolixas, os trabalhos dos matemáticos do passado — especialmente do passado distante — foram de certo modo modernizados quanto à notação e terminologia. Embora a consideração de conjuntos de números e suas propriedades fosse claramente estranha aos padrões de pensamento até o século XIX, seria fútil ignorar o fato de que a teoria dos conjuntos (ingênua) agora permeia todos os níveis da educação matemática. Portanto, o uso livre será feito das definições de algumas estruturas algébricas básicas, como campo e grupo, ainda que isso reduza algumas das descobertas mais originais de Gauss, Abel e Galois. Com exceção dessas definições e alguns fatos elementares da álgebra linear necessários para esclarecer algumas provas, a exposição é completamente autossuficiente, como se espera de um tratamento genético de um tópico elementar.
É uma sorte para aqueles que desejam estudar a teoria das equações que sua longa evolução esteja bem documentada: obras originais de Cardano, Viète, Descartes, Newton, Lagrange, Waring, Gauss, Ruffini, Abel, Galois estão facilmente disponíveis em publicações modernas, algumas até em traduções para o inglês. Além dessas obras originais e das de Girard, Cotes, Tschirnhaus e Vandermonde, eu me baseei em várias fontes, principalmente na Nota histórica de Bourbaki [6] para o esboço geral, em "Science Awakening" de Van der Waerden [62] para os tempos antigos e em "Galois Theory" de Edwards [20] para as provas de algumas proposições no trabalho de Galois.
Para exposições sistemáticas da teoria de Galois, com aplicações à solução de equações algébricas por radicais, o leitor pode recorrer a qualquer um dos ótimos relatos existentes, como o livreto clássico de Artin [2], a monografia de Kaplansky [35], os livros de Morandi [44], Rotman [50] ou Stewart [56], ou aos capítulos relevantes de livros de álgebra de Cohn [14], Jacobson [33], [34] ou Van der Waerden [61], e provavelmente a muitos outros que desconheço. Nas palestras presentes, no entanto, o leitor encontrará um tratamento completo das equações ciclotômicas após Gauss, do teorema de Abel sobre a impossibilidade de resolver a equação geral de grau 5 por radicais, e das condições para a resolução das equações algébricas após Galois, com provas completas. A perspectiva difere da encontrada nas referências citadas em que é estritamente utilitária, focando (embora em menor grau que os artigos originais) no problema concreto em questão, que é resolver equações. Incidentalmente, é impressionante observar, em comparação, o tipo de malabarismos necessários para aplicar a teoria moderna de Galois à solução de equações algébricas.
Os exercícios no final de alguns capítulos apontam para algumas extensões da teoria e ocasionalmente fornecem a prova de algum fato técnico mencionado no texto. Eles nunca são indispensáveis para uma boa compreensão do texto. Soluções para alguns exercícios selecionados são fornecidas no final do livro.
Esta monografia é baseada em um curso ministrado na Université Catholique de Louvain de 1978 a 1989, e foi publicada pela primeira vez pela Longman Scientific & Technical em 1988. É uma versão muito expandida e completamente revisada das minhas "Lições sobre a Teoria das Equações", publicada em 1980 pelas edições Cabay (agora extintas) em Louvain-la-Neuve. A redação da edição Longman foi reformulada em alguns lugares, mas nenhuma alteração significativa foi feita no texto.
Sou profundamente grato a Francis Borceux, que me convidou para dar minhas primeiras palestras em 1978, aos muitos estudantes que as suportaram ao longo dos anos, e aos leitores que compartilharam comigo suas opiniões sobre a edição de 1988. Suas críticas valiosas e comentários encorajadores foram fundamentais na minha decisão de preparar esta nova edição para publicação.
Ao longo das várias versões deste texto, tive o privilégio de receber ajuda de vários amigos, em particular de Pasquale Mammone e Nicole Vast, que leram partes do manuscrito, e de Murray Schacher e David Saltman, por conselhos sobre o uso do inglês (americano). A todos eles, meus sinceros agradecimentos.
Índice
Prefácio vii
Capítulo 1 Equações Quadráticas 1
1.1 Introdução 1
1.2 Álgebra Babilônica 2
1.3 Álgebra Grega 5
1.4 Álgebra Árabe 9
Capítulo 2 Equações Cúbicas 13
2.1 Disputas de Prioridade sobre a Solução das Equações Cúbicas 13
2.2 Fórmula de Cardano 15
2.3 Desenvolvimentos a partir da Fórmula de Cardano 16
Capítulo 3 Equações Quárticas 21
3.1 A Artificialidade das Equações Quárticas 21
3.2 Método de Ferrari 22
Capítulo 4 A Criação dos Polinômios 25
4.1 A Ascensão da Álgebra Simbólica 25
4.1.1 L'Arithmetique 26
4.1.2 In Artem Analyticem Isagoge 29
4.2 Relações entre Raízes e Coeficientes 30
Capítulo 5 Uma Abordagem Moderna aos Polinômios 41
5.1 Definições 41
5.2 Divisão Euclidiana 43
5.3 Polinômios Irredutíveis 48
5.4 Raízes 50
5.5 Raízes Múltiplas e Derivadas 53
5.6 Raízes Comuns de Dois Polinômios 56
Apêndice: Decomposição de Frações Racionais em Somatórios de Frações Parciais 58
Capítulo 6 Métodos Alternativos para Equações Cúbicas e Quárticas 61
6.1 Vitte sobre Equações Cúbicas 61
6.1.1 Solução Trigonométrica para o Caso Irredutível 61
6.1.2 Solução Algébrica para o Caso Geral 62
6.2 Descartes sobre Equações Quárticas 64
6.4 Método de Tschirnhaus 67
6.3 Soluções Racionais para Equações com Coeficientes Racionais 65
Capítulo 7 Raízes da Unidade 73
7.1 Introdução 73
7.2 A Origem da Fórmula de De Moivre 74
7.3 As Raízes da Unidade 81
7.4 Raízes Primitivas e Polinômios Ciclotômicos 86
Exercícios 94
Apêndice: Leibniz e Newton sobre a Soma de Séries 92
Capítulo 8 Funções Simétricas 97
8.1 Introdução 97
8.2 Método de Wacing 100
8.3 O Discriminante 106
Exercícios 112
Apêndice: Somatório de Euler da Série de Recíprocos de Quadrados Perfeitos 110
Capítulo 9 O Teorema Fundamentalda Álgebra 115
9.1 Introdução 115
9.2 Teorema de Girard 116
4.3 Prova do Teorema Fundamental 119
Capítulo 10 Lagrange 123
10.1 A Teoria das Equações Ganha Forma 123
10.2 Observações de Lagrange sobre Métodos Anteriores 127
10.3 Primeiros Resultados da Teoria dos Grupos e da Teoria de Galois 138
Exercícios 150
Capítulo 11 Vandermonde 153
11.1 Introdução 153
11.2 A Solução de Equações Gerais 154
11.3 Equações Ciclotômicas 158
Exercícios 154
Capítulo 12 Gauss sobre Equações Ciclotômicas 167
12.1 Introdução 167
12.2 Preliminares Teóricas dos Números 168
12.3 Irredutibilidade dos Polinômios Ciclotômicos de Índice Primo 175
12.4 Os Períodos das Equações Ciclotômicas 182
12.5 Solubilidade por Radicais 192
12.6 Irredutibilidade dos Polinômios Ciclotômicos 196
Apêndice: Construção com Régua e Compasso de Polígonos Regulares 200
Exercícios 206
Capítulo 13 Ruffini e Abel sobre Equações Gerais 209
13.1 Introdução 209
13.2 Extensões Radicais 212
13.3 Teorema de Abel sobre Irracionalidades Naturais 218
13.4 Prova da Insolubilidade de Equações Gerais de Grau Superior a 4 225
Exercícios 227
Capítulo 14 Galois 231
14.1 Introdução 231
14.2 O Grupo de Galois de uma Equação 235
14.3 O Grupo de Galois sob Extensão de Campo 254
14.4 Solubilidade por Radicais 264
14.5 Aplicações 281
Apêndice: Descrição de Galois dos Grupos de Permutações 295
Exercícios 301
Capítulo 15 Epílogo 303
Apêndice: O Teorema Fundamental da Teoria de Galois 307
Exercícios 315
Soluções Selecionadas 317
Bibliografia 325
Índice 331
Capítulo 1
Equações Quadráticas
1.1 Introdução
 Como a solução de uma equação linear aX=b envolve apenas uma divisão, ela dificilmente se enquadra na teoria algébrica das equações. Por isso, é adequado iniciar essas discussões com as equações quadráticas, representadas como
Dividindo ambos os lados por a, a equação é reduzida para
 A solução dessa equação é conhecida: quando adicionamos a ambos os lados, aparece o quadrado de x, e a equação pode ser reescrita como
(Este procedimento é chamado de "completar o quadrado".) Os valores de x são facilmente obtidos:
 Essa fórmula é tão conhecida que pode ser surpreendente perceber que a solução das equações quadráticas não podia ser expressa dessa forma antes do século XVII. Mesmo assim, os matemáticos resolveram equações quadráticas durante cerca de 40 séculos antes. O objetivo deste primeiro capítulo é dar um breve panorama dessa “pré-história” da teoria das equações quadráticas.
 A primeira solução conhecida de uma equação quadrática data de cerca de 2000 a.C.; em uma tábua babilônica, lê-se (veja Van der Waerden):
Subtraí da área o lado do meu quadrado: 14.30.
Pegue 1, o coeficiente. Divida-o em duas partes: 30. Multiplique 30 e 30: 15.
Adicione 14.30, e 14.30.15 tem a raiz 29.30.
Você adiciona 29.30 ao 30, que você multiplicou por si mesmo: 30, e esse é o lado do quadrado.
 Esse texto claramente fornece um procedimento para encontrar o lado de um quadrado (digamos x) quando a diferença entre a área e o lado (ou seja, é dada; em outras palavras, ele fornece a solução para .
 No entanto, pode parecer estranho a aritmética utilizada pelos babilônios. Isso pode ser explicado pelo fato de que a base numérica deles era 60; portanto, 14.30 realmente significa 14 . 60 + 30, ou seja 870. Além disso, eles não tinham um símbolo para indicar a ausência de um número ou para indicar que certos números eram entendidos como frações. Por exemplo, quando 1 é dividido por 2, o resultado indicado como 30 realmente significa 30 . 60 - , ou seja, 0,5. O quadrado desse 30 é então 15, o que significa 0,25, e isso explica por que a soma de 14.30 e 15 é escrita como 14.30.15; em notação moderna, a operação é 870 + 0,25 = 870,25.
Após resolver as ambiguidades notacionais, parece que o autor resolve corretamente a equação x² - x = 870, obtendo x=30. A outra solução x=−29 é desconsiderada, pois os babilônios não tinham números negativos.
Essa falta de números negativos levou os babilônios a considerar vários tipos de equações quadráticas, dependendo dos sinais dos coeficientes. Existem três tipos no total:
onde a e b representam números positivos. (O quarto tipo x2 + ax + b = 0 não era abordado pelos babilônios).
Os babilônios não poderiam ter escrito esses vários tipos nessa forma, já que não usavam letras no lugar de números, mas pelo exemplo acima e outros exemplos numéricos contidos na mesma tábua, parece evidente que os babilônios conheciam a solução de:
E de 
Não se sabe como eles chegaram a essas soluções, pois em todos os exemplos existentes, apenas o procedimento para encontrar a solução é descrito, como no exemplo acima. É muito provável que eles já tivessem encontrado a solução para problemas geométricos, como encontrar o comprimento e a largura de um retângulo, quando o excesso do comprimento sobre a largura e a área são dados. Deixando x e y denotarem, respectivamente, o comprimento e a largura do retângulo, esse problema equivale a resolver o sistema: 
Eliminando y, esse sistema resulta na seguinte equação para x:
Se x é eliminado em vez de y, obtemos:
Por outro lado, as equações (1.2) e (1.3) são equivalentes ao sistema (1.1) ao definir
 ou 
Eles provavelmente deduziram sua solução para equações quadráticas (1.2) e (1.3) a partir da solução do sistema correspondente (1.1), que poderia ser obtido como se segue: deixe z ser a média aritmética de x e y.
Em outras palavras, z é o lado do quadrado que tem o mesmo perímetro que o dado retângulo:
Compare então a área do quadrado (ou seja, z2) com a área do retângulo ().
Temos:
Isso resolve de uma vez as equações quadráticas
Observando os vários exemplos de equações quadráticas resolvidas pelos babilônios, nota-se um fato curioso: o terceiro tipo não aparece explicitamente. Isso é ainda mais intrigante em vista da ocorrência frequente nas tábuas babilônicas de problemas como o de encontrar o comprimento e a largura de um retângulo quando o perímetro e a área do retângulo são dados; o que equivale à solução do sistema
Eliminando y, esse sistema leva a . Então, por que os babilônios resolveram o sistema (1.4) e nunca consideraram equações como 
Uma pista pode ser descoberta na solução do sistema (1.4), que provavelmente foi obtida comparando o retângulo com lados x e y ao quadrado com perímetro a/2:
Então se define , onde , e termina como antes.
Qualquer que seja o método, a solução obtida é
atribuindo assim um valor para x e um valor para y, enquanto é claro para nós que x e y são intercambiáveis no sistema (1.4): teríamos dado dois valores para cada uma das quantidades desconhecidas e encontrado
Na formulação babilônica, no entanto, x e y não são intercambiáveis: eles são o comprimento e a largura de um retângulo, então existe uma condição implícita de que . Segundo S. Gandz, o tipo foi sistematicamente e propositalmente evitado pelos babilônios, porque, ao contrário dos outros tipos, ele possui duas soluções positivas (que são o comprimento x e a largura y do retângulo). A ideia de dois valores para uma única quantidade provavelmente era muito embaraçosa para eles, e teria parecido aos babilônios como um absurdo ilógico, uma mera insensatez.
No entanto, essa observação de que equações algébricas de grau maior que 1 possuem várias soluções intercambiáveis é de importância fundamental: é a pedra angular da teoria de Galois, e teremos a oportunidade de ver para que outras finalidades ela será usada por Lagrange e matemáticos posteriores.
Como André Weil comentou em relação a outro tópico [69, p. 104]:
"Isso é muito característico na história da matemática. Quando existe algo que realmente incomoda e não pode ser compreendido, geralmente merece a atenção mais cuidadosa porque algum tempo depois uma teoria importante poderá emergir disso."
1.3 Álgebra Grega
Os gregos estavam, em geral, avançados em relação aos babilônios na história da matemática, pois estavam começando a ver o valor das provas. Antes deles, muitos matemáticos estavam contentes com uma abordagem dedutiva, mas nunca tinham construídoum modelo matemático amplo - um modelo que foi finalmente ilustrado pelo famoso trabalho de Euclides, "Os Elementos".
A principal contribuição dos gregos para a álgebra durante este período clássico é fundamental. Eles descobriram que a ideia ingênua de número (isto é, número inteiro ou racional) não é suficiente para lidar com magnitudes geométricas. Por exemplo, não existe um segmento de linha que possa ser usado como unidade de comprimento para medir a diagonal e o lado de um quadrado em números inteiros: a razão entre a diagonal e o lado (isto é, √2) não é um número racional, ou, em outras palavras, a diagonal e o lado são incomensuráveis.
A descoberta dos números irracionais foi feita entre os seguidores de Pitágoras, provavelmente entre 430 e 410 a.C. (veja Knorr [39, p. 49]). Frequentemente, é atribuída a Hipaso de Metaponto, que teria sido afogado no mar por apresentar um claro contraexemplo à doutrina pitagórica de que “todas as coisas são números.” Contudo, não há registro direto sobre isso, e como a descoberta foi feita ainda é matéria de conjectura. Acredita-se amplamente que as primeiras magnitudes que foram demonstradas como incomensuráveis são a diagonal e o lado de um quadrado, e a reconstrução a seguir da prova foi proposta por Knorr [39, p. 27]:
Assuma que o lado AB e a diagonal AC do quadrado ABCD sejam ambos medidos por um segmento comum; então AB e AC representam números (= inteiros) e os quadrados sobre eles, que são ABCD e EFGH, representam números quadrados. Pela figura, é claro (contando triângulos) que EFGH é o dobro de ABCD, então EFGH é um número quadrado par e seu lado EF, portanto, é par. Conclui-se que EB também representa um número, sendo EBKA um número quadrado.
Como o quadrado ABCD claramente é o dobro do quadrado EBKA, os mesmos argumentos mostram que AB é par, sendo que A'B' representa um número.
Agora vemos que A'B' e A'C' (= EB), que são as metades de AB e AC, ambos representam números; mas A'B' e A'C' são o lado e a diagonal de um novo (menor) quadrado, então podemos repetir os mesmos argumentos acima.
Iterando esse processo, vemos que os números representados por AB e AC são infinitamente divisíveis por 2. Isso é obviamente impossível, e essa contradição prova que AB e AC são incomensuráveis.
Este resultado obviamente mostra que números inteiros não são suficientes para medir comprimentos de segmentos. O nível correto de generalidade é o de razões de comprimentos. Impulsionados por essa descoberta, os gregos desenvolveram novas técnicas para operar com razões de magnitudes geométricas de maneira logicamente coerente, evitando o problema de atribuir valores numéricos a essas magnitudes. Assim, eles criaram uma "álgebra geométrica," que é ensinada metodicamente por Euclides em "Os Elementos."
Por outro lado, os babilônios parecem não ter tido consciência das dificuldades teóricas decorrentes dos números irracionais, embora esses números fossem, obviamente, inevitáveis no tratamento de problemas geométricos: eles simplesmente os substituíram por aproximações racionais. Por exemplo, a seguinte aproximação de √2 foi encontrada em uma tábua babilônica: 1.24.51.10, ou seja, 1 + 24·60⁻¹ + 51·60⁻² + 10·60⁻³ ou 1,41421296296296..., que é precisa até a quinta casa decimal.
Embora Euclides não trate explicitamente de equações quadráticas, a solução dessas equações pode ser detectada sob uma roupagem geométrica em algumas proposições dos Elementos. Por exemplo, a Proposição 5 do Livro II afirma [30, v. I, p. 382]:
Se uma linha reta for dividida em segmentos iguais e desiguais, o retângulo contido pelos segmentos desiguais do todo, juntamente com o quadrado sobre a linha reta entre os pontos de seção, é igual ao quadrado sobre a metade.
Na figura acima, a linha reta AB foi dividida em segmentos iguais em C e segmentos desiguais em D, e a proposição afirma que o retângulo AH, junto com o quadrado LG (que é igual ao quadrado sobre CD), é igual ao quadrado CF. (Isso é claro pela figura, já que o retângulo AL é igual ao retângulo DF).
Se entendermos que os segmentos desiguais nos quais a linha reta AB = a é dividida são desconhecidos, parece que esta proposição fornece o núcleo da solução do sistema
De fato, definindo ("a linha reta entre os pontos de seção"), isso afirma que . Então, segue que
Assim como na álgebra babilônica. Em proposições subsequentes, Euclides também ensina a solução de
o que equivale a ou . Ele retorna ao mesmo tipo de problemas, mas de forma mais elaborada, nas proposições 28 e 29 do Livro VI (Compare Kline [38, pp. 76–77] e Van der Waerden [62, p. 121]).
Os matemáticos gregos do período clássico alcançaram, assim, um nível muito alto de generalidade na solução de equações quadráticas, já que consideravam equações com coeficientes reais (positivos). No entanto, a álgebra geométrica, que era o único método rigoroso de operar com números reais antes do século XIX, é muito difícil. Ela impõe limitações rígidas que não são naturais do ponto de vista da álgebra; por exemplo, uma grande habilidade no manejo de proporções é necessária para ir além do grau dois.
Para avançar na teoria das equações, era necessário pensar mais em fórmulas e menos na natureza dos coeficientes. Embora matemáticos gregos posteriores, como Herão e Diofanto, tenham dado alguns passos nessa direção, ainda havia muito a ser feito.
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