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TP e Lista de Exercícios para CÁLCULO III Prof. Sérgio 2º semestre/2015 1. Em um tanque, estão dispersos homogeneamente 40 kg de sal em 300 litros de água. Abrimos uma torneira para alimentar o tanque de água limpa a 10 L/min e drenamos o tanque, também a 10 L/min. a) Que função S(t) dá a quantidade de sal no tanque no instante t? (40e t/30 ) b) Quanto sal há no tanque após 30min? (14,7 kg) c) Com que velocidade o sal deixa o tanque no instante t = 30min? (0,5 kg/min) 2. Uma cidade tem 5 bilhões de cédulas monetárias em papel-moeda em circulação. Trinta milhões delas são levadas diariamente aos bancos para depósitos e essa mesma quantidade é devolvida pelos bancos à comunidade. Em virtude de uma mudança de regime, o Governo decidiu emitir outro tipo de cédula, e assim, sempre que uma cédula velha chega aos bancos, ela é destruída e substituída pela cédula nova. Quanto tempo levará para que 90% do papel-moeda em circulação sejam substituídos? (384 dias) 3. Um corpo, inicialmente a 25 ºC, é colocado numa estufa com temperatura constante de 200 ºC e, após 20 min, o corpo aqueceu 55 ºC. a) Ache T(t) = temperatura do corpo após t minutos; (R: T(t) = 200175e0,0189.t) b) Qual a temperatura do corpo após 40 e 60 min? (R: 117,8 e 143,7 ºC) c) Quanto tempo leva para o corpo atingir 160 ºC? (R: 78 min) d) A que velocidade está subindo a temperatura do corpo após 1 hora? (R: 1,06 ºC/min) 4. Problemas ambientais têm afetado determinada espécie de ave e elas vêm perecendo a uma taxa proporcional à sua própria população. Um pesquisador estimou 5000 aves no final de 2000, e após um ano, apenas 4500 delas. Calcule: a) A função Q(t) que dá a quantidade de aves, t anos após o final de 2000; (R.: Q = 5000e 0,1054.t ) b) A quantidade de aves prevista para o final de 2005. (R.: 2952 aves aprox) c) Ao final de 2005, com qual velocidade as aves estão perecendo? (R.: 311 aves/ano) 5. Calcule: 1. (3 2 ) D x y dxdy onde 1 3 . 1 1 x D y x R.: 128/3 2. 2(6 1) D x y dxdy onde 0 1 1 3 x D y R.: 10 3. 2 2( ) D x y x dxdy onde D é a porção do primeiro quadrante do interior da circunferência de centro (0,0) e raio 2. R.: 8 3 2 4. ( ) D x yz dxdydz , onde D é o sólido: 0 1x ; 0 y x ; 0 10z xy . R.: 39 14 5. 2 2( 1) D x y zdxdydz , onde D é o interior do cilindro (de altura 10, base centrada na origem e de raio 4) situado nos dois primeiros octantes. R. 3600 6. O paralelepípedo da figura tem densidade volumétrica de carga elétrica em cada ponto (x,y,z) dada por 2 2 2( , , )x y z x y z (em 3/C mm ). Calcule a quantidade de carga elétrica neste paralelepípedo. (as dimensões estão em mm) (R.: 3080 C ) 7. Calcule o centro de massa da placa plana abaixo com densidade superficial de massa ( , )x y x y . (R.: 11 9 28 4 ( , ) ) 8. Calcule o centro de massa da placa D abaixo, com densidade superficial de massa constante. R.: 20 8 24 3 24 3 , 9. Considere a metade superior da esfera de centro na origem e raio 2, e admita que cada ponto seu tem densidade 2 2 2( , , ) 1x y x x y z . Calcule seu centro de massa. R. 39 50 (0,0, ) Caros Alunos, Espero não ter errado em nenhuma resposta! Este é o nosso TP para a P2. Resolva-a em papel sulfite ou almaço e o entregue no dia de nossa prova. Bons estudos! Sérgio. x z y 5 4 6 x y 1 3 D x y 1 D 1 2
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