02 Números Inteiros

Prévia do material em texto

NÚMEROS INTEIROS 
 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Números Inteiros 
Os números inteiros são os números positivos e negativos, que não apresentam parte decimal e, o 
zero. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ. 
Não pertencem aos números inteiros: as frações, números decimais, os números irracionais e os 
complexos. 
O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira: 
 
Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números intei-
ros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+). 
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo. 
A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (ℕ). 
Todo número inteiro possui um antecessor e um sucessor. Por exemplo, o antecessor de -3 é -4, já o 
seu sucessor é o -2. 
Representação na Reta Numérica 
Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica. Nesta representação, a 
distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma. 
Os números que estão a uma mesma distância do zero, são chamados de opostos ou simétricos. 
Por exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, conforme assina- 
lado na figura abaixo: 
 
Subconjuntos de ℤ 
O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois está contido no conjunto dos núme- 
ros inteiros. Assim: 
 
Além do conjunto dos números naturais, destacamos os seguintes subconjuntos de ℤ: 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
ℤ* : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção do zero. ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...} 
ℤ+ : são os números inteiros não-negativos, ou seja ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
ℤ _ : é o subconjunto dos números inteiros não-positivos, ou seja ℤ_= {..., -4,-3,-2,-1, 0} 
ℤ*+ : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção dos negativos e do zero. ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...} 
ℤ*_ : são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {..., -4,-3,-2,-1} 
Operações Entre Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. 
Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, 
como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, 
entre outras situações. 
As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de regras matemáticas 
envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Devemos também dar ênfase ao estudo do módulo 
de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo, observe: 
Vamos determinar o módulo dos números a seguir: 
Módulo de + 4 = |+4| = 4 Módulo de –6 = |–6| = 6 Módulo de –10 = |–10| = 10 Módulo de +20 = 
|+20|=20 
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses. 1ª propriedade → sinais 
iguais: soma e conserva o sinal. 
2ª propriedade → sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo. 
+ 5 + 6 = + 11 →1ª propriedade 
+ 9 + 10 = +19 → 1ª propriedade 
– 6 + 2 = – 4 → 2ª propriedade 
+ 9 – 7 = +2 → 2ª propriedade 
– 3 – 5 = –8 →1ª propriedade 
–18 – 12 = –30 → 1ª propriedade 
Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses. Para eliminarmos os parênte-
ses devemos realizar um jogo de sinal, observe: 
+ ( + ) = + 
+ ( – ) = – 
– ( + ) = – 
– ( – ) = + 
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade. 
+ (+9) + (–6) → + 9 – 6 → + 3 
– (– 8) – (+6) → +8 – 6 → +2 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
+ (– 14) – (– 8) → –14 + 8 → – 6 
– (+ 22) − (– 7) → –22 + 7 → –15 
– ( + 9 ) + (– 12) → – 9 – 12 → – 21 
Todos os números positivos, negativos e o zero pertencem aos conjunto dos números inteiros Antes 
de tratarmos das operações com números inteiros, devemos recordar quais elementos fazem 
parte desse conjunto. Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os números positivos, nega- 
tivos e o zero. Sendo assim: 
Z = {… - 3, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4...} 
As operações com números inteiros estão relacionadas com a soma, subtração, divisão e multiplica- 
ção. Ao realizar alguma das quatro operações com esses números, devemos também operar o sinal 
que os acompanha. 
Adição de números inteiros: Na adição de números inteiros, somam-se as parcelas: Sinais iguais na 
soma ou na subtração: some os números e conserve o sinal. 
Regra do sinal: (+) + (+) = + 
(–) + (–) = – 
Exemplos: 
+ 2 + 5 = + 7 
+ 10 + 22 = + 32 
– 5 – 4 = – 9 
– 56 – 12 = – 68 
Sinais diferentes: conserve o sinal do maior número e subtraia. Regra do sinal: 
(+) + (–) = – → Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração. (–) + (+) = – → 
Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração. Exemplos: 
3 – 4 = – 1 → O maior número é o quatro; logo, o sinal no resultado foi negativo. 
– 15 + 20 = + 5 → O maior número é o vinte; logo, o sinal no resultado foi positivo. Multiplicação e divi-
são de números inteiros: 
Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo. 
Regra do sinal: (+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação (–) . (–) = (+) → Operação de Multiplica-
ção 
(+) : (+) = (+) → Operação de Divisão (–) : (–) = (+) → Operação de Divisão 
Exemplos: 
(+ 2) . (+ 4) = + 8 
(- 4) . (- 10) = + 40 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
(- 20) : (- 2) = + 10 
(+ 15) : (+ 3) = + 5 
Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal negativo 
Regra do sinal: (+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação (–) . (+) = (–) → Operação de Multiplica-
ção 
(+) : (–) = (–) → Operação de Divisão 
(–) : (+) = (–) → Operação de Divisão Exemplos: 
(+ 6) . (– 7) = – 42 
(– 12) . (+ 2) = – 24 
(+ 100) : (– 2) = – 50 
(– 125) : (+ 5) = - 25 
Em relação à multiplicação e à divisão, podemos estabelecer a seguinte regra geral: 1 – Se os dois 
números possuírem o mesmo sinal, o resultado será positivo. 
2 – Se os dois números possuírem sinais diferentes, o resultado será negativo. 
A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvol- 
vimento da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos: 
 
As operações de subtração envolvendo os números Inteiros requerem algumas situações teóricas 
que relacionam os possíveis sinais operatórios. Para realizar a subtração entre os números inteiros 
precisamos ter conhecimento sobre o módulo de um número. Módulo de um número inteiro é calcu- 
lado obtendo o seu valor real. Observe: 
Módulo de +1: representado por |+1| = 1 
| – 3| = 3 
| – 7| = 7 
Regras operatórias: 
Sinais iguais: soma e conserva o sinal. 
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo. Operações sem parênteses 
+ 10 – 7 = + 3 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo) 
 
3 – 3 = – 6 (Sinais iguais: soma e conserva o sinal) 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
+ 20 – 30 = – 10 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo) 
– 12 + 3 = – 9 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo) 
– 9 + 9 = 0 (operação entre números opostos, resultado sempre será 0) 
– 25 + 24 = – 1 (Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior módulo) Operações com parên-
teses 
Nesse caso, as operações de subtração podem ser resolvidas eliminando os parênteses, isso será 
feito aplicando algumas regras que envolvem jogo de sinal, observe: 
 
Eliminado os parênteses, passa a valer as regras operatórias: 
(+10) – (–23) = +10 + 23 = + 33 
(+20) – (+12) = +20 – 12 = + 8 
(–32) + (–5) = – 32 – 5 = – 37 
(–27) – (–30) = –27 + 30 = + 3 
Em um jogo de somar, as fichas são amarelas ou vermelhas. 
Ao tirarmos uma ficha temos que adicionar o número tirado, se a ficha for amarelao número é posi-
tivo e se a ficha for vermelha o número é negativo. 
 
Ganha aquele jogador que conseguir ter maior quantidade de pontos. Eduardo e Mônica começaram 
a jogar. Eduardo na primeira rodada ficou com +16 pontos, retirounas rodadas seguintes as fichas 
19,12,52,48, Qual é a situação de Eduardo. 
Vamos fazer os cálculos: 
 
Portanto, Eduardo ao final do jogo estava com – 97 pontos. Com os cálculos acima podemos concluir 
que: 
Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o 
sinal será o mesmo das parcelas. 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Exemplo: (+ 5) + (+ 4) = + 9 
(- 5) + (- 4) = - 9 
Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parce-
las e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto. 
Exemplo: (- 5) + (+ 4) = - 1 
A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO. Exemplo: (+ 10) + (- 10) = 0 
Simplificando a escrita: 
 
Propriedades da Adição: 
► Propriedade do fechamento (+15) + (+8) = +23 
(-34) + (+20) = -14 
(-60) + (+60) = 0 
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
► Propriedade Comutativa (+20) + (-43) = -23 
(-43) + (+20) = -23 
(+20) + (-43) = (-43) + (+20) 
A ordem das parcelas não altera a soma 
Propriedade Associativa 
[(+10) + (-6)] + (-80) (+10) + [(-6) + (-80)] = 
= (+4) + (-80) = -76 (+10) + (-86) = -76 
Numa adição de três ou mais parcelas, podemos associar as parcelas de formas diferentes, que os 
resultados serão iguais. 
► Elemento Neutro 
(-32) + 0 = 0 + (-32) = -32 
(+250) + 0 = 0 + (+250) = +250 
O zero é o elemento neutro da adição. 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos nega-
tivos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algu-
mas regras envolvendo jogo de sinais. 
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes. Quando realizamos a multiplicação: 
5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais 
diferentes, iremos utilizar a mesma ideia. 
(+5) * (– 2) 
(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais) 
– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado) (+5) * (– 2) = –10 
O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de: 
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–). 
Produto de dois números inteiros com sinais iguais. 
Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos. Va-
mos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40 
Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90 
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de: Valor 
absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+). 
Elemento Neutro 
O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1. 
Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo. 
Exemplo: 
(– 4) * 1 = – 4 
(+ 5) * (+ 1) = 5 
(–10) * (+1) = – 10 
(+ 9) * ( 1 ) = + 9 
A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicar-
mos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra: 
 
Segundo o dicionário Aurélio, divisão significa “partir ou distinguir em diversas partes; separar as di- 
versas partes de.” 
Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação. Devemos, em primeiro lugar, 
relembrar o jogo de sinais: 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
- Divisão de números com mesmo sinal = + 
- Divisão de números com sinais diferentes = - 
Numa divisão exata de dois números inteiros, o quociente é um número inteiro e o resto é igual a 
zero. 
 
O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais 
diferentes é um número inteiro de: 
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos. Sinal: negativo (-). 
O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais 
iguais é um número inteiro de: 
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos. Sinal: positivo (+). 
Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme 
a regra: 
- : + = - 
+ : + = + 
- : - = + 
Observações: 
Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero 
seja 15. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________