itc2004cap5 - Números Cardinais e Aritmética Cardinal

5 N¶ umeros Ca rdinais e Aritm ¶ etica Ca rdinal O conceito de n¶ umero cardinal ¶ e intro duzido. Semelhan» cas e diferen» cas entre p ro- p riedades de n¶ umeros cardinais ¯nitos e trans¯nitos s~ ao exibidas no curso da explo ra» c~ ao da a ritm¶ etica ca rdinal | adi» c~ ao, multiplica» c~ ao e exp onencia » c~ ao . O cap ¶ ³tulo termina com uma nota hist¶ orica sob re a hip¶ otese do cont ¶ ³nuo (generaliza da). 5.1 O conceito de n¶ umeros ca rdinais De mo do be m natural, o conceito de n¶ umero entrou em nossa s vidas b em cedo. F o mos capazes de notar, p o r exemplo, a simila ridade e ntre tr ^ es ma» c~ as e tr ^ es la ranjas, e a distin» c~ ao entre dois dedos e quatro dedos. Emb o ra tiv ¶ essem os um conceito de n ¶ umero, a maio ria de n¶ os n~ ao tinha uma de¯ni» c~ ao p recisa de n¶ umero. Soub emos, p or ex emplo, que 2+3 = 5 , 3 4 , 6 £ 7= 4 2 , etc. Isto nos leva a acreditar que n ~ ao p r ecis amos sab er o que um n ¶ umero realme nte ¶ e; o que devemos saber s~ ao a igualdade e a or dem entre n¶ umeros, e como calcula r c om eles | exatamente do mo do como jogado res de xadrez n~ ao se p re ocupam com o que um cavalo ¶ e, mas sim como ele des empenha. P ortanto, n~ ao de¯niremos aqui o que um n¶ umero cardinal ¶ e, 1 mas ap enas intro duzi-lo-emos como um conceito p rim itivo relativo ao \tamanho" de conjuntos. As regras imp o rtantes guiando este novo conceit o s ~ ao C-1. Cada conjunto A est¶ a asso ciado a um n ¶ umer o ca rdinal, denotado p o r card A ,e pa ra c a da n¶ umero cardinal a , existe um conjunto A com card A = a . C-2. card A =0 se e somente se A = ¿ . C-3. Se A ¶ e um conjunto ¯nito n~ ao vazio, i.e., A »f 1 ; 2 ;::: ;k g pa ra algum k 2 N , ent~ ao card A = k . 1 T alvez o leitor deva ser info r mad o que ¶ ep o s s ¶ ³vel de¯nir os n ¶ umeros ca r di nais como os \ordina is iniciais" (V eja p¶ ag i na 138 de S-Y.T . Lin & Y-F. Li n, Set Theory: An Intuitive Approach. Houghton Mi²in C o., Boston, 197 4 ) . 89 90 N ¶ umeros Cardinais e Ari t m ¶ etica Card inal C-4. P a ra quaisquer dois c onj untos A e B , card A = card B , A » B . As regras C-1 e C- 3 de¯nem os n¶ umeros cardinais de c onjuntos ¯nitos | on ¶ umero car- dinal de um conjunto ¯nito ¶ eon ¶ umero de elementos naquele conjunto . Em tratamentos axiom ¶ aticos da teo ria dos con j unt os, C-1 e C-4 s~ ao habitualment e postulados c o m o um axioma, chamado a x ioma da ca rdinalidade . O iniciante p ode achar C-1 e C-4 dif ¶ ³ceis de serem aceitos, p ois estas regras n~ ao dizem m uito acerca de card A quando A ¶ eu m conjunto in¯nito. Esta di¯culdade ser¶ a sup erada gradualmente enquanto avan» ca rmos | t a lc o m oq u a n d ool e i t o rn ~ ao sabia o que ¶ era c¶ alcu lo, at¶ e que chegasse µ am e t a d ed e seu curso. Neste momento, p odem os dizer, grosso mo do , que o n¶ umero cardinal de um conjunto ¶ e a p rop riedade que o conjunto tem em comum com os conjuntos que s~ ao equip o ten tes a ele. 5.1.1 Ex erc ¶ ³cios 1. Mostre que o os n¶ umeros naturais s~ ao n ¶ umeros cardinais. 2. D ^ ee x e m p l o sd et r ^ es n¶ umeros ca rdinais q ue n~ ao s~ ao n¶ umer o s naturais. 5.2 Ordena» c~ ao dos n¶ u meros ca rd inais | O T eo rema de SchrÄ oder-B ernstein Chama remos o n ¶ umero ca r di n al de um conjunto ¯nito de n¶ umero car dinal ¯nito ,e o n¶ umero ca rdinal de um conjunto in¯nito de um n¶ umer o ca rdinal trans¯nito .A s r e g r a s C - 2eC - 3d as e » c~ ao anterio r mostram que os n ¶ umeros cardinais ¯nitos s~ ao p recisamente os inteiros n~ ao negativos. Assim, os n¶ umeros cardinais ¯nitos tem uma o rdem natural herdada: 0 1 2 ¢¢¢ +1 ¢¢¢ . Pa ra dois n¶ umeros ca rdinais trans¯nitos quaisquer, a regra C-4 nos diz quando eles s~ ao iguais e quando n ~ ao s~ ao. Mas n~ ao esta rem o s s atisfeitos com ape na s isto; quando eles fo ram difer entes, gosta r ¶ ³amos de sab er qual deles ¶ e \meno r" que o outro. De¯ni» c~ ao 5.1 Sejam A e B conjuntos. Ent~ ao dizemos que card A ¶ e meno r que card B , e denotamos isto p o r card A card B , quando A ¶ e equip otente a um sub conjunto de B , mas o conjunto B n~ ao ¶ e equip otente a nenhum sub conjunto de A . Emb o ra esta de¯ni» c~ ao seja p roj etada pa ra ordena r n¶ umeros cardinais, ela se aplica a n¶ umero s car dinais ¯nitos ta mb¶ em, e quando aplicada a n ¶ umeros ca rdinais ¯nitos o re- sultado ¶ e o mesmo que a ordem natural tradicional mencionada acima. Exemplo 5.1 card N card R . Demonst ra» c~ ao . Como o conjunto N ¶ e um sub conjunto de R , N ¶ e equip otente a um sub conjunto de R , N » N ½ R ,m a sp e l aS e » c~ a o 4. 4, Cap ¶ ³tulo 4, s a b emos que o conjunto N ¶ umeros Cardinais e Aritm ¶ etica Cardina l 91 in¯nito R ¶ en ~ ao enumer¶ avel. Po rtanto, R n~ ao ¶ e equip otente a nenhum sub conjunto de N .P e l a D e ¯ n i » c~ ao 5.1, temos card N card R . At¶ ea g o r a , n ~ ao nos ¶ e cla r o como dois n¶ umeros cardinais se compa ram quando o conjunto A ¶ e equip otente a um sub conjunto de B e o c onjunto B ¶ e e quipotente a um sub conjunto de A . Georg C antor conjet urou que, neste ca so, card A dever ia ser igual a card B . Mais ta rde, nos anos 1890's, esta conjetura foi demonstrada, indep endente- mente, p or amb os F. Bernste in no semin¶ ario de Cantor, e por E. SchrÄ oder, b aseado em um c¶ alculo l¶ ogico. Este resultado celeb rado ¶ e ago ra conhec ido geralmente p o r T eo rema de SchrÄ oder- Bernstein. T eo rema 5.1 (T eorema de SchrÄ oder-Bernstein) Se A e B s~ ao conjuntos, tai s que A ¶ e equip otente a um sub conjunto de B e B ¶ e equip otente a um sub conjunto de A , ent~ ao A e B s~ ao equipote ntes. Demonstraremos p rimeir amente o seguinte caso esp ecial do T eorema 5.1, do qual o T eo rema 5.1 segue facilmente. Lema 5.1 Se B ¶ e sub conjunto de A ee x i s t eu m ai n j e » c~ ao f : A ! B ,e n t ~ ao A e B s~ ao equip o ten tes. Demonst ra» c~ ao .S e B ¶ e A ,e n t ~ ao a fun» c~ ao identidade em A ¶ eu m at a l h . Sup onhamos que B ¶ e um sub conjunto p r¶ oprio de A , e seja C o conjunto S n ¸ 0 f n ( A ¡ B ) , sendo f 0 af u n » c~ ao identidade em A e, pa ra cada int eiro p ositivo k ep a r ac a d a x 2 A , f k ( x )= f ( f k ¡ 1 ( x )) .P a r a c a d a z em A ,d e ¯ n a h ( z ) como segue: h ( z )= ½ f ( z ) se z 2 C z se z 2 A ¡ C Observe que A ¡ B ¶ e um sub conjunto de C , f ( C ) ½ C , e que se m e n s~ ao dois inteiros n~ ao negativos distintos, digamos m ,e n t ~ ao f m ( A ¡ B ) e f n ( A ¡ B ) s~ ao disjuntos. P ois, c aso contr ¶ ario, exist em x e x 0 em A ¡ B tais que f m ( x )= f n ( x 0 ) , o que aca rreta f n ¡ m ( x )= x 2 B \ ( A ¡ B ) , uma contr a di» c~ ao. Finalmente, p ela de¯ni» c~ ao de h ep e l a ¶ ultima observa» c~ ao , temos h ( A )=( A ¡ C ) [ f ( C ) = " A ¡ [ n ¸ 0 f n ( A ¡ B ) # [ f Ã [ n ¸ 0 f n ( A ¡ B ) ! = " A ¡ [ n ¸ 0 f n ( A ¡ B ) # [ Ã [ n ¸ 1 f n ( A ¡ B ) ! = A ¡ ( A ¡ B ) = B 92 N ¶ umeros Cardinais e Ari t m ¶ etica Card inal Destas observa» c~ oes e do fato de que f ¶ e injeto ra, se gue que h : A ! B ¶ eu m ab i j e » c~ ao. Isto completa a demonst ra» c~ ao do lema. A p r incipal id ¶ eia por detr¶ as da demonst ra» c~ ao acima p o de ser visualizad a no seg u i nte diagrama ilustrativo, em que o r et ^ angulo inteiro rep resenta o conjunto A : Figura 17. Demonst ra» c~ ao do T eo rema 5.1 .S e j a m A 0 e B 0 subc onjuntos de A e B , re sp ectivament e, tais que A » B 0 e B » A 0 ,e s e j a m f 0 : A » B 0 e g 0 : B » A 0 duas bije» c~ oes. Seja f : A ! A 0 dada p or f ( x )= g 0 ( f 0 ( x )) , que ¶ e uma inje» c~ ao. P ortanto, p elo lema acima, existe uma bije» c~ ao h : A » A 0 .C o n s e q Ä uentemente, a comp osi» c~ ao g ¡ 1 0 ± h : A » B ,d a s duas bije» c~ oes h : A » A 0 e g ¡ 1 0 : A 0 » B ,¶ eu m ab i j e » c~ ao. 2 ¶ E conve niente esc rever card A · card B como signi¯cando card A card B ou card A = card B . O seguinte corol ¶ ario ¶ e uma conseq Ä u^ encia imediata do T eo rema de SchrÄ oder-Bernstein. Co rol¶ ario 5.1 Se A e B s~ ao conjuntos tais que card A · card B e card B · card A ent~ ao card A = card B . At¶ e o momento, conhecemos muito p ouco sob re n ¶ umeros ca rdinais trans¯ nitos, porque v i m o s a p e n a sd o i st a i s n ¶ umeros ca rdinais, card N e card R . Nat ur alm e nt e , gost ar ¶ ³amos de sab e r se h¶ ao u t r o sn ¶ umer os cardinais trans¯ n it os. A resp osta a esta quest~ ao ¶ ed a d a na pr ¶ oxima se» c~ ao | e x iste na ver dade um sup rimento ilimitado de n¶ umeros ca rdinais trans¯nitos distintos. Uma outra ques t~ ao imp o rtante ¶ ee s t a : S e m e n s~ ao dois n¶ umeros cardinais ¯nitos distintos, ent~ ao ou m ou n ;¶ ei s t ot a m b ¶ em verdadeiro para n ¶ umeros cardinais trans¯nitos? A resp osta ¶ e a¯rmativa, mas a demons tra» c~ ao dep ende de um resultado do pr ¶ oximo cap ¶ ³tulo, e ¶ e p ortanto adiada at¶ e o T eorema 6.1 do Cap ¶ ³tulo 6. 2 Esta demonstra» c~ ao e o lema p r ece dente fora m adotados de R.H. Cox, \A Pro of of the Schroeder- Bern stein Theo rem", America n Mathematica l Monthl y , 75 , No. 5 (1968 ), 508. N ¶ umeros Cardinais e Aritm ¶ etica Cardina l 93 5.2.1 Ex erc ¶ ³cios 1. Seja n um n¶ umero cardinal ¯nito qualquer. Demonstre que n ca rd N . 2. Seja a um n¶ um ero ca rdinal trans¯nito qualquer. Demonstre que card N · a . Assim, card N ¶ eom e n o rn ¶ umero cardinal trans¯nito. 3. Sejam A e B dois conjuntos. Demonstre que card A · card B se e somente se e xiste uma injec~ ao f : A ! B . 4. Sejam A , B e C conjuntos. Demonstr e que (a) Se card A · card B e card B · ca rd C ent~ ao card A · card C . (b) Se card A ca rd B e ca rd B card C ent ~ ao card A card C . 5. Demonstre que se A e B s~ ao conjuntos tais que A ½ B en t~ ao card A · card B . 6. Demonstre que se A , B e C s~ ao conjuntos tais que A ½ B ½ C e A » C ,e n t ~ ao A » B . 5.3 N¶ umero c a rdinal d e um conju nto das pa rtes | Te o r e m a d e C a n t o r Seja X um conjunto. Reco rde mos que o conjunto das partes } ( X ) ,d e X ,¶ e o conjunto de to dos os sub conjuntos de X (Se» c~ ao 2.2, Cap ¶ ³tulo 2 ). O p r¶ oprio Geo rg Canto r de mo n strou que card X card } ( X ) . A signi¯c^ anc i a deste teorema ¶ e que ele prov ^ eu mm o d od e contruir uma longa seqÄ u^ encia de novos n¶ u meros ca rdinais trans¯nitos. Po r exemplo, temos card R ca rd } ( R ) card } ( } ( R )) ¢¢ ¢ : T eo rema 5.2 (T eorema de Cant o r) Se X ¶ e um conjunto, card X card } ( X ) . Demonst ra» c~ ao .S e X = ¿ ,e n t ~ ao card ¿ =0 1=c a r d } ( ¿ ) . Po rtanto, resta p r o var oc a s oe mq u e X 6 = ¿ . Nes te caso, a fun» c~ ao g : X ! } ( X ) ,d a d ap o r g ( x )= f x g2 } ( X ) ,p a r at o d o x 2 X ,¶ e injeto ra. Logo, o conjunto X ¶ e e quipotente ao sub conjunto ff x gj x 2 X g de } ( X ) ou, e quivalente mente, card X · card } ( X ) . A pa rtir disto, pa ra mostrar que ca rd X card } ( X ) ,¶ e su¯ci ente mostra r que X n~ ao ¶ e equip otente a } ( X ) . Assuma, em contr¶ ario, que exista uma bije» c~ ao f : X » } ( X ) ; nosso prop¶ osit o ¶ e mostrar que esta s up osi» c~ ao leva a uma contradi» c~ ao. Considere o conj unto S = f x 2 X j x 6 2 f ( x ) g , que consis te daqueles elementos de X que n~ ao est~ ao em suas imagens sob f . Como S 2 } ( X ) e f : X » } ( X ) , existe um elemento e 2 X tal que f ( e )= S . Ou e 2 S ou e 6 2 S . Caso 1 . e 2 S . Segue, p ela de¯ni» c~ ao de S , que e 6 2 f ( e ) ;i s t o ¶ ei m p o s s ¶ ³vel, p ois f ( e )= S e e 6 2 S . Caso 2 . e 6 2 S . 94 N ¶ umeros Cardinais e Ari t m ¶ etica Card inal Como f ( e )= S ,t e m o s e 6 2 f ( e ) . Conseq Ä uente mente , p ela de¯ni» c~ ao de S , e 2 S ep o r t a n t o e 2 f ( e ) . I st o novamen te ¶ ei m p o s s ¶ ³vel. Uma contradi» c~ ao foi obtida e a demonst ra» c~ ao do T eo rema de Canto r est¶ ac o m p l e t a . Em vista do T eorema de Canto r, um a quest~ ao b em natural a surgir foi, Existe um n¶ umer o ca rdinal x tal que card N card } ( N )? Esta quest~ ao, c ha m ada o p roblema do cont ¶ ³nuo ,c a p t u r o uaa t e n » c~ ao de Cantor e outros matem¶ aticos p o r muito temp o. Ve r emos m ais sobre este p roblema na Se» c~ ao 5.8. 5.3.1 Ex erc ¶ ³cios 1. Demonstre que n~ ao existe um n¶ umero cardinal maio r de to dos. 2. Sejam A e B conjuntos. Demons tre que se A » B ent ~ ao card } ( A )=c a r d } ( B ) . 3. Seja A um conjunto enumer¶ avel. Demonstre que o conjunto das pa r tes de A , } ( A ) , ¶ en ~ ao enume r ¶ avel. 5.4 Adi» c~ ao de n ¶ umeros ca rdina is J¶ ae x i s t eu m aa r i t m ¶ e t i c ap a r an ¶ umeros ca rdinais ¯nitos. P or exemplo , se k e l s~ ao dois n¶ umeros cardinais ¯nitos, a soma k + l e o p ro duto kl tem seus signi¯cados tradi- cionais. T enta remos a g ora generalizar estes conceitos de mo do a cob rir os n ¶ umeros ca rd inais trans¯ nitos tamb¶ em; ou sej a, desenvolver uma a ritm¶ etica que se aplica a to dos os n¶ umeros ca rdinais, ¯nitos ou trans¯nitos, que p reserve os signi¯cados e p rop riedades tradicionais da a ritm¶ etica dos n¶ umeros cardinais ¯nitos. De¯ni» c~ ao 5.2 Sejam a e b n¶ umeros cardinais. A soma cardinal de a e b ,d e n o t a d ap o r a + b ,¶ eon ¶ umero ca rdinal card( A [ B ) , em que A e B s~ ao conjuntos dis juntos tais que card A = a e card B = b . P ara mostra r que a De¯ni» c~ a o 5.2 est¶ a b e m-de¯nida , o leito r deveria primeiro observ a r que pa ra quaisqu er d ois n ¶ umeros ca rdinais a e b (n~ ao nec essa riamente distintos), p ela regra C-1 da s e» c~ ao 5.1, existem conjuntos X e Y tais que a = card X e b =c a r d Y , sendo os conjuntos X e Y n~ ao nece ssa riame nte disjuntos. Mas isto n~ ao nos causa nenhum p roblema, p ois p odemos selecionar A = X £f 0 g e B = Y £f 1 g ;e n t ~ ao A » X , B » Y e A \ B = ¿ . Logo a + b =c a r d ( A [ B ) ei s t o ¶ e de¯nido de maneira ¶ unica; p ois se existem outros conjuntos disjunt o s A 0 e B 0 tais que A 0 » A e B 0 » B ent~ ao, p elo T eo rema 4.6 do Cap ¶ ³tulo 4 , temos ( A 0 [ B 0 ) » ( A [ B ) ou, equivalent emente, card( A 0 [ B 0 )=c a r d ( A [ B ) . Desta forma, acabamos de de monstra r o seguinte teorema: N ¶ umeros Cardinais e Aritm ¶ etica Cardina l 95 Te o r e m a 5 . 3 Sejam a e b n¶ umeros cardinais. Ent~ ao (a) Existem conjuntos disjuntos A e B tais que card A = a e card B = b . (b) Se A , B , A 0 e B 0 s~ ao conjuntos tais que card A 0 = card A , card B 0 = card B , A \ B = ¿ ,e A 0 \ B 0 = ¿ ,e n t ~ ao card( A 0 [ B 0 )=c a r d ( A [ B ) . O seguinte exemplo mostra que a De¯ni» c~ ao 5.2 concorda com a soma o rdin¶ ar i a de dois n¶ umeros naturais, quando aplicada a dois n ¶ umer os ca rdinais ¯nitos. Exemplo 5.2 Encontre a soma cardinal 4+3 dos dois n¶ umeros ca rdinais ¯nitos 4 e 3 . Solu» c~ ao. Como N 7 = N 4 [f 5 ; 6 ; 7 g , card N 4 =4 , card f 5 ; 6 ; 7 g =3 , e os conjuntos N 4 e f 5 ; 6 ; 7 g s~ ao disjuntos, temos 4+3 = c a r d ( N 4 [f 5 ; 6 ; 7 g ) =c a r d N 7 =7 o que coincide com a soma o rdin¶ aria de dois inteiros. Como a uni~ ao de c onj unt os ¶ e c omutativa e asso ciativa, tem os as seguintes p ro- p riedades corresp ondentes acerca da soma cardinal. Te o r e m a 5 . 4 Sejam x , y ,e z n¶ umeros cardinais quaisquer. Ent~ ao (a) x + y = y + x (Comutatividade). (b) ( x + y )+ z = x +( y + z ) . (As so ciatividade). Seguindo Geo rg Canto r, os s ¶ ³mb olos @ 0 (leia-se ale ph 3 zero ; @ ¶ e a primeira letra do alfab eto hebr aico) e c tem sido usados pa ra denota r, resp ectivamente, o n¶ umero ca rdinal de um conjunto enume r ¶ av el e o n¶ umero cardinal do continuum 4 , continuum signi¯cando o conjunto dos n ¶ umeros reais. Em outras palavras, @ 0 = card N e c =c a r d R . Exemplo 5.3 Encontre a soma cardinal @ 0 + @ 0 . Solu» c~ ao. Sejam N p e N i , resp ectivamente, os conjuntos de n¶ umer os naturais pa res en ¶ umeros naturais ¶ ³mpares. Ent ~ ao, N p e N i s~ ao subc onjuntos de N enumer¶ aveis e disjuntos, e a uni~ ao deles ¶ e N .C o n s e q Ä uentemen te, pela De¯ni» c~ ao 5.2, @ 0 + @ 0 = card N p +c a r d N i =c a r d ( N p [ N i ) = card N = @ 0 3 Pronuncia-se como \¶ alef ". (N. do T.) 4 Ta m b ¶ em chamado cardi nal do cont ¶ ³nuo. (N. do T.) 96 N ¶ umeros Cardinais e Ari t m ¶ etica Card inal O resultado do Exemplo 5.3 ¶ e uma p ropri edade distintiva dos n¶ um eros ca rdinais trans¯nitos; para n ¶ umeros ca rdina is ¯nitos, n + m = n ¶ e verdadeiro ap enas se m =0 . O leito r p o deria demonstrar, como exerc ¶ ³cio, que c + c = c . Exemplo 5.4 Encontre a soma cardinal @ 0 + c . Solu» c~ ao. J¶ a ap rende mos, do Exem plo 4.3, S e» c~ ao 4.2, do Cap ¶ ³tulo 4, que o int erva lo aberto ]0 ; 1[ e o conjunto R ,d o sn ¶ umeros reais, s~ ao equip otentes. Po rtanto, card ]0 ; 1[ = card R = c .S e j a S = N [ ]0 ; 1[ .E n t ~ ao, como N e ]0 ; 1[ s~ ao disjun tos, card S = @ 0 + c . P or outro lado, como R » ]0 ; 1[ ½ S e S » S ½ R , p elo T eorema de SchrÄ oder-Berns tein (T eorema 5. 1) , t em os S » R .P o r t a n t o , @ 0 + c = c . 5.4.1 Ex erc ¶ ³cios 1. Demonstre que x +0 = x para to do n¶ ume ro ca rdinal x . 2. Sejam x e y dois n¶ umero s ca rdinais. Demons tre que x + y = y + x . 3. Sejam x , y ,e z n¶ umeros cardinais. Demonstre que ( x + y )+ z = x +( y + z ) . 4. Seja n um n¶ umero cardinal ¯nito qualquer. Demonstre que (a) n + @ 0 = @ 0 (b) n + c = c . 5. Demonstre que c + c = c . 6. Sejam x , y e z n¶ umeros ca r dinais. (a) D emonst re que se x · y ent ~ ao x + z · y + z . (b) Mostre, atrav¶ e s de um exemplo, que a parte (a) acima n~ ao ¶ e ver dadeira se \ · " fo r substi tu ¶ ³do p o r \ ". 5.5 Multipl ica» c~ ao de n ¶ umeros ca rdina is De¯niremos agora a multiplica» c~ ao de n¶ umeros cardinais de mo do que, para n¶ ume ros ca rd i n ais ¯nitos, o resultado coincida com a multiplica» c~ ao or din¶ aria de inteiros n~ ao neg- ativos. De¯ni» c~ ao 5.3 P ara quaisquer dois n¶ umeros cardinais a e b ,o p ro duto ca rdinal ab ¶ e de¯nido como s endo o n ¶ umero car dinal do p ro duto ca rte siano A £ B , s endo card A = a e card B = b . Pa ra ver que a De¯ni» c~ ao 5 .3 ¶ e indep endente da esc olha dos rep res entantes A e B , sej am X e Y conjuntos tais que A » X e B » Y .E n t ~ a o , p e l oT e o r e m a4 . 7d o Cap ¶ ³tulo 4, A £ B » X £ Y ep o r t a n t o card( A £ B )=c a r d ( X £ Y ) . ¶ Et a m b ¶ em claro que esta de¯ni» c~ ao d¶ a a resp osta certa quando a e b s~ ao n ¶ umeros ca rdinais ¯nitos. Como a multiplica» c~ ao de inteiros n~ ao negativos nos ¶ e fam ilia r, n osso interesse principal aqui ¶ e op r o d u t od en ¶ ume ro s c a rdinais trans¯nitos, e o produto de um n¶ umero cardinal ¯nito N ¶ umeros Cardinais e Aritm ¶ etica Cardina l 97 po r um n ¶ umero cardina l trans¯nito. Primeiramente, lis temos uma conseqÄ u^ encia f¶ acil da De¯ni» c~ ao 5.3 Te o r e m a 5 . 5 Sejam x , y e z n¶ umeros cardinais quaisquer. Ent~ ao (a) xy = yx (Comutatividade). (b) ( xy ) z = x ( yz ) (Asso ciatividade). (c) x ( y + z )= xy + xz (Distributividade). Demonst ra» c~ ao .E x e r c ¶ ³cio. Exemplo 5.5 Seja x um n¶ umero cardinal a rbitr¶ ario. Calcule (a) 1 x . (b) 0 x . (c) @ 0 @ 0 . Solu» c~ ao. Seja A um conjunto t a l que card A = x . ( a )C o m oo p r o d u t oc a r t e s i a n o f 1 g£ A ¶ e e quipotente a A ,t e m o s 1 x = x . (b) Como ¿ £ A = ¿ ,t e m o s 0 x =0 . (c) Como N £ N » N (T eo rema 4.10, Cap ¶ ³tulo 4), temos @ 0 @ 0 = @ 0 . Exemplo 5.6 Demonstre que cc = c , sendo c = card R . Solu» c~ ao. Como o conjunto R dos n ¶ umeros reais e o intervalo ab erto unit¶ ario ]0 ; 1[ ,d e n¶ umeros reais, tem o me smo n¶ umero cardinal c , p ar a m o st r ar q u e cc = c ,¶ e su¯cien te mostrar que existe uma inje» c~ ao do p ro duto ca rtesiano ]0 ; 1[ £ ]0 ; 1[ no intervalo ]0 ; 1[ . P ara este p rop¶ osito, usaremos o fato de que cada x 2 ]0 ; 1[ ¶ e representado p or sua expans~ ao decimal in¯nita ,d ef o r m aq u e ,p o re x e m p l o ,on ¶ umero 1 2 ser ¶ a 0 ; 4999 ::: mas n~ ao 0 ; 5 . Deste mo do, teremos uma ¶ unica express~ ao pa ra c a da n¶ umero e m ]0 ; 1[ . Ago ra, deixa rem o s ao leitor veri¯ca r que a fun» c~ ao f :] 0 ; 1[ £ ]0 ; 1[ ! ]0 ; 1[ , de¯nida p or f (0 ;x 1 x 2 x 3 ¢¢¢ ; 0 ;y 1 y 2 y 3 ¢¢¢ )=0 ;x 1 y 1 x 2 y 2 ¢¢¢ ¶ e injetora. Isto completa a demonstra» c~ ao de que cc · c . A demonstra» c~ ao de que cc ¸ c ¶ e deixada ao leito r. 98 N ¶ umeros Cardinais e Ari t m ¶ etica Card inal 5.5.1 Ex erc ¶ ³cios 1. Demonstre o T eo r ema 5.5. 2. Sejam x , y ,e z n¶ umeros cardinais tais que x · y . Demons tre que xz · yz . 3. Demonst re ou refute a seguinte prop o s i» c~ ao: Se x , y ,e z s~ ao n ¶ um eros ca rdinais tais que x e z 6 =0 ,e n t ~ ao xz y z . 4. Seja n um n¶ umero cardinal ¯nito, n 6 =0 . Demonstre que n @ 0 = @ 0 . 5. Sejam x e y n¶ umeros cardinais. Demonstre que (a) Se xy =0 ent ~ ao x =0 ou y =0 . (b) Se xy =1 ent~ ao x =1 e y =1 . 6. Mostre que a fun» c~ ao f :] 0 ; 1[ £ ]0 ; 1[ ! ]0 ; 1[ , de¯nida p o r f (0 ;x 1 x 2 x 3 ¢¢¢ ; 0 ;y 1 y 2 y 3 ¢¢¢ )=0 ;x 1 y 1 x 2 y 2 ¢¢¢ da demonstra» c~ ao no Exemplo 5.6, ¶ eb i j e t o r a . 5.6 Exp onencia» c~ ao de n¶ umeros ca rdinais Sejam a e b dois n¶ umeros cardina is, ¯nitos ou trans¯nitos. De mo do a da r um signi¯cado satisfat¶ orio a b a ( leia-se : a -¶ esima p ot ^ enci a de b ), examin a remos primeiramente o caso ¯nito: 2 3 =2 ¢ 2 ¢ 2 e, de mo do geral, n m = n ¢ n ¢¢ ¢ ¢¢ n ( m fatores). P o der ¶ ³amos gen eralizar este concei to ao caso trans¯nito, intro duzindo \p ro dutos cartesiano s generalizados", mas existe uma ab o rdagem que funciona sem refer^ encia a p ro dutos ca rtesianos gene raliza- dos. Sejam A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n element os. Quantas fun» c~ oes existem de A em B (vej a P r oblema 9 , Exerc ¶ ³cios 3.4.1)? Como cada elemento de A tem n escolha s pa ra sua imagem, e est a sele» c~ ao da imagem p o de ser feita indep endentemente m v e z e s( u m av e z p a r ac a d ae l e m e n t od e A ), a resp osta ¶ e n ¢ n ¢¢ ¢ ¢¢ n = n m . Este conceito ¶ e generalizado como segue: De¯ni» c~ ao 5.4 Sejam a e b n¶ umeros cardinais com a 6 =0 .S e j a m a e b conjuntos tais que card A = a e card B = b . Denote o conjunto de to das as fun» c~ oes de A em B po r B A . De¯nimos b a =c a r d B A . Antes de aceita r a de¯ni» c~ ao 5.4, precisamos veri¯car que e sta de¯ni» c~ ao ¶ e inde p ende nte da escolha dos representantes A e B . O seguinte teorema ¶ e o que p recisamos. Te o r e m a 5 . 6 Sejam A , B , X e Y conjuntos tais que A » X , B » Y .E n t ~ ao B A » Y X . Demonst ra» c~ ao .S e j a m g : A » X e h : B » Y duas bije» c~ oes. Ent~ ao de¯nimos a fun» c~ ao Ã : B A ! Y X

itc2004cap5 - Números Cardinais e Aritmética Cardinal

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