Aula 12 - Propriedades de um paralelogramo

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3o bimestre
Aula 12
Ensino Fundamental:
Anos Finais
Matemática
Propriedades de um 
paralelogramo
● Propriedades de congruências em 
um paralelogramo.
● Compreender que os lados opostos 
de um paralelogramo são 
congruentes;
● Compreender que as diagonais de 
um paralelogramo se intersectam 
em seus pontos médios.
A figura ao lado representa uma bandeira em um 
mastro, formada pelo quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷. Nesse 
quadrilátero, os lados 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 são paralelos, 
assim como os lados 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶.
a) Quais elementos do quadrilátero são 
representados pelos segmentos 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷?
b) Os ângulos 𝐶 መ𝐴𝐵 e 𝐴 መ𝐶𝐷 são congruentes, 
assim como os ângulos 𝐶 መ𝐴𝐷 e 𝐴 መ𝐶𝐵. O que 
justifica essa congruência?
Para começar
5 minutos
VIREM E CONVERSEM
a) Temos que 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 representam as diagonais do 
quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷.
b) Os ângulos 𝐶 መ𝐴𝐵 e 𝐴 መ𝐶𝐷 são congruentes pois, como os 
𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 são paralelos, a diagonal 𝐴𝐶 funciona como uma 
transversal, logo, os ângulos 𝐶 መ𝐴𝐵 e 𝐴 መ𝐶𝐷 são alternos 
internos. Da mesma forma, os ângulos 𝐶 መ𝐴𝐷 e 𝐴 መ𝐶𝐵 são 
congruentes pois são alternos internos em relação às 
paralelas 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 e à transversal 𝐴𝐶.
Resolução
Para começar
Ângulos alternos internos são pares de ângulos formados entre 
duas retas paralelas, em lados opostos de uma transversal.
Paralelogramos
O quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 visto no início da aula é um 
paralelogramo. 
No paralelogramo ao lado, tem-se:
● 𝐴𝐵 é paralelo a 𝐷𝐶, e 𝐴𝐷 é paralelo a 𝐵𝐶;
● ෠𝐵 ≡ ෡𝐷 e መ𝐴 ≡ መ𝐶;
● Os ângulos internos não opostos são 
suplementares (soma igual a 180º).
Foco no conteúdo
Um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados 
opostos paralelos e os ângulos internos opostos 
congruentes.
1. Retângulo
Paralelogramo cujos ângulos internos são todos retos.
2. Losango 
Paralelogramo com todos os lados congruentes.
3. Quadrado 
Paralelogramo com todos os lados congruentes e todos 
os ângulos internos retos.
Casos particulares de paralelogramos
Foco no conteúdo
Pause e responda
O quadrilátero 𝑃𝑄𝑀𝑁 da figura 
ao lado é um paralelogramo?
Reconhecimento de paralelogramos
SIM NÃO
Pause e responda
O quadrilátero 𝑃𝑄𝑀𝑁 da figura 
ao lado é um paralelogramo?
Reconhecimento de paralelogramos
SIM NÃO
● Pode-se verificar essa propriedade traçando-se a diagonal 𝐵𝐷 no paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 
obtendo-se dois triângulos: 𝐴𝐵𝐷 e 𝐶𝐷𝐵.
● Tem-se 𝐴෡𝐷𝐵 ≡ 𝐷 ෠𝐵𝐶 e 𝐴 ෠𝐵𝐷 ≡ 𝐶෡𝐷𝐵 (pares de ângulos alternos internos).
● E, ainda, 𝐵𝐷 ≡ 𝐵𝐷 (lado comum).
● Pelo caso de congruência ALA, tem-se que Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐶𝐷𝐵 e, portanto, 𝐴𝐵 ≡ 𝐷𝐶 e 𝐴𝐷 ≡ 𝐵𝐶, 
confirmando que os lados opostos do paralelogramo são congruentes.
Propriedades dos paralelogramos
Foco no conteúdo
1. Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
UM PASSO DE CADA VEZ
● Pode-se verificar essa propriedade traçando-se as diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 no paralelogramo 
𝐴𝐵𝐶𝐷, obtendo-se os triângulos 𝐴𝑀𝐵 e 𝐶𝑀𝐷.
● Tem-se 𝐵 መ𝐴𝐶 ≡ 𝐷 መ𝐶𝐴 e 𝐴 ෠𝐵𝐷 ≡ 𝐶෡𝐷𝐵 (pares de ângulos alternos internos).
● E, ainda, 𝐴𝐵 ≡ 𝐷𝐶 (lados opostos do paralelogramo – propriedade anterior). 
● Pelo caso de congruência ALA, tem-se que Δ𝐴𝑀𝐵 ≡ Δ𝐶𝑀𝐷 e, portanto, 𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀 e 
𝐵𝑀 ≡ 𝐷𝑀, confirmando que o ponto 𝑀 de intersecção das diagonais é o ponto médio delas.
Propriedades dos paralelogramos
Foco no conteúdo
2. As diagonais de um paralelogramo intersectam-se 
em seus pontos médios.
UM PASSO DE CADA VEZ
Pause e responda
Os valores de 𝑥 e 𝑦 no 
paralelogramo ao lado são 
respectivamente iguais a:
Propriedades dos 
paralelogramos
10 cm e 6,5 cm 10,2 cm e 6,75 cm
10,5 cm e 6,75 cm 10,2 cm e 6,5cm
3 minutos
Pause e responda
Os valores de 𝑥 e 𝑦 no 
paralelogramo ao lado são 
respectivamente iguais a:
Propriedades dos 
paralelogramos
10 cm e 6,5 cm 10,2 cm e 6,75 cm
10,5 e 6,75 cm 10,2 cm e 6,5 cm
3 minutos
Considere o paralelogramo ABCD, ilustrado 
na figura. 
Sabendo que o ângulo A෡BC mede 85º, 
determine as medidas 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
Na prática
Veja no livro!Atividade 1
5 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
Resolução
● Como ABCD é um paralelogramo, os ângulos 
opostos A෡DC e A෡BC são congruentes, logo, 
tem-se que 𝑥 = 85°.
● O ângulo B෡AD e o ângulo A෡BC são não opostos 
do paralelogramo, logo, são suplementares:
● 𝑦 + 85° = 180° ⇒ 𝑦 = 95°
● O ângulo externo de medida 𝑧 e o ângulo A෡BC
são alternos internos, logo, 𝑧 = 85°.
Portanto, 𝒙 = 𝟖𝟓°, 𝒚 = 𝟗𝟓° e 𝒛 = 𝟖𝟓°.
Na prática Veja no livro!Atividade 1
Considere as seguintes afirmações sobre paralelogramos e classifique como V (verdadeira) 
ou F (falsa), justificando as falsas:
I. ( ) Os lados opostos de um paralelogramo são sempre paralelos.
II. ( ) Em um paralelogramo, os lados opostos são sempre congruentes. 
III. ( ) Os quatro ângulos internos de um paralelogramo são congruentes.
IV. ( ) As diagonais de um paralelogramo encontram-se no ponto médio.
V. ( ) Se um quadrilátero tem um par de ângulos internos congruentes, então ele é um 
paralelogramo.
Na prática Veja no livro!Atividade 2
5 minutosVIREM E CONVERSEM
I. ( V ) Os lados opostos de um paralelogramo são sempre paralelos.
II. ( V ) Em um paralelogramo, os lados opostos são sempre congruentes.
III. ( F ) Os quatro ângulos internos de um paralelogramo são congruentes.
Justificativa: Em um paralelogramo, são necessariamente congruentes os ângulos internos 
opostos, não os quatro ângulos internos.
IV. ( V ) As diagonais de um paralelogramo encontram-se no ponto médio.
V. ( F ) Se um quadrilátero tem um par de ângulos internos congruentes, então ele é um 
paralelogramo.
Justificativa: Para que um quadrilátero seja um paralelogramo, é necessário que 
os lados opostos sejam paralelos e que os ângulos opostos sejam congruentes.
Resolução
Na prática Veja no livro!Atividade 2
O quadrilátero ABCD a seguir é um paralelogramo.
a) Se o perímetro do paralelogramo é de 27 cm, qual o valor de 𝑥?
b) Sabendo que que a diagonal AC = 8 cm, qual a medida do segmento AE?
Na prática Veja no livro!Atividade 36 minutos
TODO MUNDO ESCREVE
Na prática Veja no livro!Atividade 3
6 minutos
a) Como os lados opostos de um paralelogramo são congruentes, tem-se:
DC = AB = 2𝑥 e BC = AD = 𝑥
Logo, como o perímetro de ABCD é igual a 27 cm, então:
AB + BC + DC + AD = 27 ⇒
2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 27 ⇒
6𝑥 = 27 ⇒
𝒙 = 𝟒, 𝟓 cm
Resolução
Resolução
b) Como as diagonais AC e BD do paralelogramo 
encontram-se no ponto médio E, tem-se:
AE = EC
Logo, como AE + EC = AC e dado que AC = 8 cm, 
tem-se que:
AE + EC = 8 ⇒
AE + AE = 8 ⇒
2AE = 8 ⇒
𝐀𝐄 = 𝟒 cm
Na prática Veja no livro!Atividade 3
● Quais características um quadrilátero deve ter para ser classificado como um 
paralelogramo?
● Quais propriedades dos paralelogramos podem ser explicadas usando as noções 
de triângulos congruentes?
Encerramento
3 minutos
COM SUAS PALAVRAS
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 
2023. 
ROSENSHINE, B. Principles of instruction: research-based strategies that all teachers should know. 
American Educator, v. 36, n. 1, Washington, 2012. pp. 12-19. Disponível em: 
https://www.aft.org/ae/spring2012. Acesso em: 14 maio 2025.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019. Disponível em: 
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-
etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf. Acesso em: 14 maio 2025.
Identidade visual: imagens © Getty Images.
Referências
https://www.aft.org/ae/spring2012
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/02/Curriculo_Paulista-etapas-Educa%C3%A7%C3%A3o-Infantil-e-Ensino-Fundamental-ISBN.pdfA seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras,
que ampliam as possibilidades de prática, de retomada e 
aprofundamento do conteúdo estudado.
Aprofundando
B
C
D
E
A 10
24
20
16
14
1. (UPE 2021 - Adaptada) No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos 
AB e BC são, respectivamente, 4 cm e 6 cm. Qual a medida, em cm, do perímetro do 
paralelogramo?
Aprofundando Veja no livro!
B
C
D
E
A 10
24
20
16
14
1. (UPE 2021 - Adaptada) No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos 
AB e BC são, respectivamente, 4 cm e 6 cm. Qual a medida, em cm, do perímetro do 
paralelogramo?
Aprofundando Veja no livro!
Como os lados opostos do paralelogramo são 
congruentes, então:
● DC = AB = 4 cm;
● AD = BC = 6 cm.
Logo, o perímetro P de ABCD é calculado como:
P = AD + DC + DC + AB ⇒
P = 6 cm + 4 cm + 6 cm + 4 cm = 20 cm
Portanto, o perímetro do paralelogramo 𝐀𝐁𝐂𝐃 é 
igual a 20 cm.
(UPE 2021 - Adaptada) Resolução
Aprofundando Veja no livro!
B
C
D
E
A 7
11
10
9
8
2. (UCS 2016 – Adaptada) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, em que os 
segmentos orientados BD e AC representam duas forças, sendo BD = 9 e AC = 16 . Assinale a 
alternativa que contém a afirmação correta sobre a medida do segmento AE.
Aprofundando Veja no livro!
B
C
D
E
A 7
11
10
9
8
2. (UCS 2016 – Adaptada) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, em que os 
segmentos orientados BD e AC representam duas forças, sendo BD = 9 e AC = 16. Assinale a 
alternativa que contém a afirmação correta sobre a medida do segmento AE.
Aprofundando Veja no livro!
Como as diagonais BD e AC do paralelogramo 
encontram-se no ponto médio E, temos que AE = EC.
Logo, como AE + EC = AC e dado que AC = 16, tem-se 
que:
AE + EC = 16 ⇒
AE + AE = 16 ⇒
2AE = 16 ⇒
AE = 8
Portanto, o segmento 𝐀𝐄 tem medida igual a 8.
(UCS 2016 – Adaptada) Resolução
Aprofundando Veja no livro!
Para professores
Slide 2
Habilidade: (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da 
identificação da congruência de triângulos. (SÃO PAULO, 2019)
Slide 4
Dinâmica de condução: utilize as animações para construir a resolução de forma gradativa.
Slide 5
Dinâmica de condução: verifique se os estudantes compreendem por que os ângulos não 
opostos são suplementares. Mostre que é possível sobrepor os lados paralelos e observar 
que, assim, os ângulos não opostos formam um ângulo raso, com medida de 180º.
Slide 6
Dinâmica de condução: utilize as animações para construir os conceitos de forma gradativa.
Slide 8
Expectativas de respostas: espera-se que os estudantes identifiquem que o quadrilátero 
𝑃𝑄𝑀𝑁 não é um paralelogramo, pois os ângulos opostos não são congruentes. Desta forma, 
os lados opostos não seriam paralelos, o que é uma característica fundamental dos 
paralelogramos.
Slide 9
Dinâmica de condução: utilize as animações para apresentar a demonstração da 
propriedade de forma gradativa.
Slide 10
Dinâmica de condução: caso necessário, revise o conceito de ponto médio, explicando 
que é o ponto que divide um segmento em duas partes de mesma medida. Utilize as 
animações para demonstrar a propriedade de forma gradativa.
Slide 14
Dinâmica de condução: verifique se os alunos entendem por que o ângulo de medida 𝑧 e o 
ângulo 𝐴 ෠𝐵𝐶 são alternos internos, justificando que, como 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 são paralelos, o lado 𝐵𝐶
funciona como uma transversal. Portanto, esses ângulos formam um par de ângulos alternos 
internos congruentes. Utilize as animações para construir a resolução de forma gradativa.
Slide 16
Dinâmica de condução: utilize as animações para construir a resolução de forma gradativa.
Slide 20
Expectativas de respostas: na primeira pergunta, espera-se que os estudantes 
respondam que, para que um quadrilátero seja classificado como um paralelogramo, ele 
deve ter os lados opostos paralelos e os ângulos internos opostos congruentes. Na 
segunda pergunta, espera-se que os alunos mencionem que as propriedades do 
paralelogramo explicadas usando as noções de triângulos congruentes são: a propriedade 
de que os lados opostos do paralelogramo são congruentes e a propriedade de que as 
diagonais do paralelogramo se intersectam em seus pontos médios.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4: Resolução
	Slide 5: Paralelogramos
	Slide 6: Casos particulares de paralelogramos
	Slide 7: Reconhecimento de paralelogramos
	Slide 8: Reconhecimento de paralelogramos
	Slide 9: Propriedades dos paralelogramos
	Slide 10: Propriedades dos paralelogramos
	Slide 11: Propriedades dos paralelogramos
	Slide 12: Propriedades dos paralelogramos
	Slide 13
	Slide 14: Resolução
	Slide 15
	Slide 16: Resolução
	Slide 17
	Slide 18: Resolução
	Slide 19: Resolução
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23: (UPE 2021 - Adaptada) No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos AB e BC são, respectivamente, 4 cm e 6 cm. Qual a medida, em cm, do perímetro do paralelogramo?
	Slide 24: (UPE 2021 - Adaptada) No paralelogramo ABCD da figura, as medidas dos segmentos AB e BC são, respectivamente, 4 cm e 6 cm. Qual a medida, em cm, do perímetro do paralelogramo?
	Slide 25: (UPE 2021 - Adaptada) Resolução
	Slide 26: (UCS 2016 – Adaptada) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, em que os segmentos orientados complemento BD e complemento AC representam duas forças, sendo BD é igual a 9 e AC é igual a 16 . Assinale a alternativa que contém 
	Slide 27: (UCS 2016 – Adaptada) Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, em que os segmentos orientados complemento BD e complemento AC representam duas forças, sendo BD é igual a 9 e AC é igual a 16. Assinale a alternativa que contém a
	Slide 28: (UCS 2016 – Adaptada) Resolução
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