Atividade 1 - professor

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Prof. Dr. Leandro Blass – Interpolação 
Cálculo Numérico – Resolução de problemas 
 
 
Obs. Essa atividade não precisa ser entregue, serve como verificação da aprendizagem. 
 
1 - Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada foi calculado a iluminação 
em casos de incidência normal sobre uma superfície situada a distâncias 
conhecidas, quando para cada distância foi calculada a iluminação, conforme a 
tabela a seguir (FRANCO, 2006). 
 
 
 
Usando o polinômio de interpolação de 2º grau, calcular a iluminação, quando a 
superfície estiver situada a 1.60 m da lâmpada. 
 
Interpolação polinomial 
Usando os 3 primeiros pontos 
2
0 00 0 0
2
1 11 1 1
2
2 22 2 2
2
( )1
( )1
( )1
( )1
n
n
n
n
n nn n n
a f xx x x
a f xx x x
a f xx x x
a f xx x x
     
     
     
     
     
     
          
2
2102 )( xaxaaxp  
 
)()( 0
2
0201002 xfxaxaaxp  
)()( 1
2
1211012 xfxaxaaxp  
)()( 2
2
2221022 xfxaxaaxp  
Escrito na forma matricial: 
 
2
0 00 0
2
1 11 1
2
2 22 2
( )1
( )1
( )1
a f xx x
a f xx x
a f xx x
     
     
     
     
     
     
          
 
0
1
2
1 1,25 1,5625 128
1 1,50 2,25 88,39
1 1,75 3,0625 65,30
a
a
a
     
    
    
         
 
 
1) L2 = - L1 + L2 
 2) L3 = - L1 + L3 
3) L3 = -L2 * (0,5 / 0,25) + L3 
 
 
2
2 0 1 2
2
2
2
2
( )
( ) 573,85-521,88 132,16
( ) 573,85-521,88 1,60 132,16 1,60 77,1716
p x a a x a x
p x x x
p x
  
 
   
 
 
 
 
Interpolação por Lagrange 
Usando os 3 pontos 
 
Forma de Lagrange 
 
0 0 1 1 2 2P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n x L x f x L x f x L x f x     
 
 
 
 
 
2
0
2
0
j
j
j i
i
i j
j
j i
x x
L x
x x









= 
Encontrando os Li’s: 
 
 
 
 
   
   
   
   
2
0
1 2 2
0 2
0 1 0 2
0
1,5 1,75
8 26 12,15
1,25 1,50 1,25 1,75
j
j
j i
i j
j
j i
x x
x x x x x x
L x x x
x x x x
x x





     
     
     



 
 
 
 
 
   
   
   
   
2
0
0 2 2
1 2
1 0 1 2
0
1,25 1,75
16 48 35
1,50 1,25 1,50 1,75
j
j
j i
i j
j
j i
x x
x x x x x x
L x x x
x x x x
x x





     
      
     



 
 
 
 
   
   
   
   
2
0
0 1 2
2 2
2 0 2 1
0
1,25 1,50
8 22 15
1,75 1,25 1,75 1,50
j
j
j i
i j
j
j i
x x
x x x x x x
L x x x
x x x x
x x





     
     
     



 
     
   
0 0 1 1 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P ( ) 128 8 26 21 88,39 16 48 35 65,30 8 22 15
P ( ) 132.16 521.88 573,85
P ( ) 132.16 1.6 521.88 1.6 573,85 77,1716
n x L x f x L x f x L x f x
x x x x x x x
x x x
x
     
         
  
   
 
Interpolação por Newton 
Usando os 3 primeiros pontos 
 
O polinômio geral resultante será: 
 
2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )P x d d x x d x x x x      
 
Onde os sd ' são determinados por: 
 
0 0 0
1 1 0
2 2 1 0
1 2 1 0
[ ] ( )
[ , ]
[ , , ]
[ , ,........, , , ]n n n
d f x f x
d f x x
d f x x x
d f x x x x x
 



 
1 2 1 1 2 1 0
1 2 1 0
0
( ) ( )
[ , ]
[ , ] [ , ]
[ , , ]
[ , , ] [ , , ]
[ , , , ]
[ , ,..., , ] [ , ,..., , ]
[ , ,........, , , ]
i j
i j
i j
i j j k
i j k
i k
i j k j k l
i j k l
i l
n n n n
n n
n
f x f x
f x x
x x
f x x f x x
f x x x
x x
f x x x f x x x
f x x x x
x x
f x x x x f x x x x
f x x x x x
x x
  


 

 


 




 
 


 
Resultando na expressão: 
 
 0 0[ ] 128d f x  
 
   1 0
1 0 1
1 0
88,39 128 39,61
[ , ] 158,44
1,50 1,25 0,25
f x f x
d f x x
x x
  
     
 
 
   2 1
1 2
2 1
65,30 88,39
[ , ] 132,16
1,75 1,50
f x f x
f x x
x x
 
  
 
 
 2 1 1 0
2 0 1 2
2 0
92,36 158,44[ , ] [ , ]
[ , , ] 132,16
1,75 1,25
f x x f x x
d f x x x
x x
  
   
 
 
 
2
2
2
2
( ) 128 158,44( 1,25) 132,16( 1,25)( 1,50)
(1,60) 128 158,44 (1,60 1,25) 132,16 (1,60 1,25) (1,60 1,50)
(1,60) 128 158,44 (0,35) 132,16 (0.35) (0,10)
(1,60) 77,1716
P x x x x
P
P
P
     
        
     
