calculo numerico interpolação

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Celina Jarletti 
 
 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Em situações cotidianas pode ocorrer somente o conhecimento de uma 
tabela com valores numéricos apresentando duas ou mais informações em um 
intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 
Havendo necessidade de conhecer algum valor relacionado com as 
mesmas informações e que não esteja nesses dados apresentados, o cálculo 
numérico surge como recurso para avaliação por meio da interpolação e da 
extrapolação. 
A procedência e a forma de obtenção desses dados são fatores 
importantíssimos para a escolha do procedimento a ser utilizado. 
Serão apresentados alguns procedimentos de interpolação e suas 
condições de empregabilidade, com exemplo ilustrativo e cálculos do processo. 
A extrapolação será apresentada como o ajuste dos dados numéricos a 
uma curva escolhida dentre um grupo de possíveis funções, com o emprego do 
método dos mínimos quadrados (MMQ). Serão também apresentados exemplos 
com detalhamento dos cálculos ao longo dos temas desenvolvidos. 
TEMA 1 – INTERPOLAÇÃO 
Técnica de cálculo numérico que consiste em buscar uma função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 
como aproximação em substituição da função desconhecida 𝑓𝑓(𝑥𝑥) geradora dos 
dados tabelados. 
A escolha da função de interpolação é realizada dentre as funções simples 
e contínuas no conjunto dos Reais, podendo ser a função linear (equação de 
reta), ou uma polinomial, ou alguma função trigonométrica (senos e cossenos). 
A interpolação é empregada com duas condições: 
a. Quando o valor desejado para determinação for interno ao intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] 
da tabela de dados; 
b. Quando os dados tabelados são provenientes de algum estudo elaborado 
e complexo, e a determinação de algum valor de interesse exigiria 
processos de cálculos de difícil resolução. 
Destaca-se que as técnicas de interpolação são aplicáveis somente a 
dados confiáveis, ou seja, normalmente apresentados em apêndices de livros, 
ou catálogos técnicos. Esses dados devem ter sido obtidos mediante 
 
 
3 
consideração de uma teoria bem fundamentada e desenvolvida ao longo de 
estudos. 
Conceito de Interpolação: 
Considerando 𝑛𝑛 + 1 pontos distintos de uma tabela, denotados por 
𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 denominados nós da interpolação, e os valores da função 
nestes pontos 𝑓𝑓(𝑥𝑥0),𝑓𝑓(𝑥𝑥1), … , 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛). A interpolação apresenta uma 
função 𝑔𝑔(𝑥𝑥) tal que: 𝑔𝑔(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0), 𝑔𝑔(𝑥𝑥1) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), ... , 𝑔𝑔(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛), 
ou seja, nos nós de interpolação os valores obtidos pela função 
interpoladora 𝑔𝑔(𝑥𝑥) são iguais aos valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) apresentados na 
tabela de valores. (Jarletti, 2018, p. 102). 
TEMA 2 – INTERPOLAÇÃO LINEAR 
Processo de interpolação empregado com frequência. 
Utiliza apenas dois pontos da tabela de valores conhecidos, o ponto 
anterior e o ponto posterior ao valor que se deseja avaliar. Esse fato leva a 
resultados que podem conter erros consideráveis devido à não avaliação do 
comportamento da função original 𝑓𝑓(𝑥𝑥) que poderia ser analisado considerando 
todos os pontos da tabela de dados. 
A avaliação é feita mediante emprego de equação de reta passando por 
dois pontos conhecidos (𝑥𝑥1;𝑦𝑦1) e (𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2). A quantidade 𝑦𝑦 é determinada para o 
valor de 𝑥𝑥 pretendido através de: 
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
Exemplo: 
Considere a tabela que relaciona data e população de uma cidade. 
Tabela 1 – Relação entre data e população de uma cidade 
Ano 1970 1980 1990 2000 2010 
População 20.000 22.450 25.328 29.017 33.415 
Estimar a população desse município nos anos de 1984 e 2003. 
Solução: 
a. Para o ano de 1984: 
Os pontos considerados são (1980; 22450) (imediatamente anterior) e 
(1990; 25328) (imediatamente posterior), em que a abscissa do ponto 
representa o ano, e a ordenada do ponto representa a população local. Deseja-
 
 
4 
se calcular a população (y) no ano de 1984 (x), então usando a equação da reta 
que passa por dois pontos: 
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
𝑦𝑦 − 22450 =
25328 − 22450
1990 − 1980
. (1984 − 1980) 
𝑦𝑦 = 22450 +
(2878) . 4 
10
= 23610,2 
O resultado obtido representa a quantidade de pessoas, ocasionando 
aceitáveis somente valores numéricos inteiros. Promovendo arredondamento, 
obtém-se a estimativa de 23610 habitantes no ano de 1984. 
b. Similarmente para o ano de 2003: 
Os pontos considerados são (2000; 29017) e (2010; 33415). Utilizando a 
equação da reta que passa por dois pontos: 
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 =
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
𝑦𝑦 − 29017 =
33415 − 29017
2010 − 2000
. (2003 − 2000) 
𝑦𝑦 = 29017 +
(4398) . 3 
10
= 30336,4 ≅ 30336 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝 
O processo de cálculo é bastante simples, porém apresenta o 
inconveniente de ser refeito para cada valor a ser interpolado, e utilizar somente 
dois pontos da tabela, tornando a estimativa menos refinada. 
TEMA 3 – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
É um processo melhor para realizar interpolação. 
Neste caso, a função interpoladora é um polinômio com forma dada 
por: 
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎2. 𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1. 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0. 
O grau do polinômio interpolador pode ser menor ou igual a 𝑛𝑛 tendo 
𝑛𝑛 + 1 pontos na tabela de valores. 
A interpolação polinomial atende a condição 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) = 𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑘𝑘 =
0, 1, 2, … ,𝑛𝑛 que leva ao sistema, com 𝑛𝑛 + 1 equações e 𝑛𝑛 + 1 variáveis. 
⎩
⎨
⎧𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥0 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥0
2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥0𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥12 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥1𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
… … … … … …
𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥𝑛𝑛2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)
 
Usando a notação matricial, vem: 
 
 
5 
�
1 𝑥𝑥0 … 𝑥𝑥0𝑛𝑛
1 𝑥𝑥1 … 𝑥𝑥1𝑛𝑛
… … … …
1 𝑥𝑥𝑛𝑛 … 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛
� . �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1
…
𝑎𝑎𝑛𝑛
� = �
𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
…
𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)
� 
A matriz dos coeficientes é denominada matriz de Vandermonde e terá 
det (𝐴𝐴) ≠ 0 desde que os valores de 𝑥𝑥𝑘𝑘 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑛𝑛 sejam 
distintos, o que leva a um sistema possível e determinado (solução 
única). (Jarletti, 2018, p. 104) 
Exemplo: 
Considere a tabela dada a seguir que apresenta ângulos com um 
determinado funcional. Qual polinômio pode ser usado para relacionar essas 
informações? Que valores correspondem a 20° e 35°? 
Tabela 2 – Ângulos com um determinado funcional. 
𝑥𝑥 0 𝜋𝜋/6 ou 30° 𝜋𝜋/4 ou 45° 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 0,000 0,328 0,560 
Solução: 
Número de pontos da tabela = n+1 =3 
Grau do polinômio interpolador = n = 2 
Então: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
Para 𝑥𝑥 = 0 tem-se: 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 . (0) + 𝑎𝑎2. (0)2 = 0 
Para 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋/6 tem-se: 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1.
𝜋𝜋
6
+ 𝑎𝑎2 . �
𝜋𝜋
6
�
2
= 0,328 
Para 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋/4 tem-se: 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 .
𝜋𝜋
4
+ 𝑎𝑎2 . �
𝜋𝜋
4
�
2
= 0,560 
Tem-se o sistema linear de equações: 
 �
𝑎𝑎0 = 0
𝑎𝑎1. 0,524 + 𝑎𝑎2 . 0,274 = 0,328
𝑎𝑎1 . 0,785 + 𝑎𝑎2 . 0,617 = 0,560
 solução: 𝑎𝑎0 = 0; 𝑎𝑎1 = 0,452; 𝑝𝑝 𝑎𝑎2 = 0,333 
Com o conhecimento dos coeficientes, pode-se escrever o polinômio 
interpolador: 0,452 𝑥𝑥 + 0,333𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) . 
O polinômio foi determinado com valores de ângulos tomados em 
radianos. 
Usando regra de três simples, vem para 20°: 
180° → 𝜋𝜋
20° → 𝑥𝑥 
 
 
6 
𝑥𝑥 =
𝜋𝜋 . 20
180
=
𝜋𝜋
9
≅ 0,349 
𝑝𝑝(𝑥𝑥 = 20°) = 0,452 . 0,349 + 0,333 . 0,3492 ≅ 0,198 
 No ângulo de 35°, a função tabelada é estimada por: 
𝑥𝑥 =
𝜋𝜋 . 35
180
≅ 0,611 
𝑝𝑝(𝑥𝑥 = 35°) = 0,452 . 0,611 + 0,333 . 0,6112 ≅ 0,400 
A resolução do sistema linear de equações foi um processo simples de 
ser efetuado para conhecer os coeficientes do polinômio interpolador. Esse único 
polinômioé utilizado para avaliar 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em diferentes valores de 𝑥𝑥. A pequena 
quantidade de pares de pontos da tabela de dados é um facilitador do processo. 
No exemplo que relaciona ano com população de uma cidade, ocorre uma 
dificuldade devido aos valores tabelados serem elevados. Um recurso possível 
é promover um ajuste na escala das datas, tornando os valores menores. O ano 
de 1970 poderia ser substituído por 7, o ano 1980 sendo substituído por 8 e 
assim sucessivamente. Isso se tornaria a matriz de Vandermonde contendo 
elementos menores. A solução seria demasiado longa, visto que o sistema de 
equações é de ordem 5, e uma rotina computacional poderia ser utilizada para 
realizar os cálculos. 
Se a matriz dos coeficientes for mal condicionada, a solução obtida para 
o polinômio interpolador pode levar, nos nós de interpolação, a valores diferentes 
dos tabelados da função original. 
TEMA 4 – POLINÔMIO INTERPOLADOR POR LAGRANGE E POR NEWTON 
Como recurso para evitar os problemas citados, é possível utilizar outros 
procedimentos para determinar o polinômio interpolador. 
4.1 Forma de Lagrange 
Lagrange apresenta uma forma alternativa para determinar o polinômio 
interpolador sem a resolução de sistemas de equações lineares cujas incógnitas 
são os coeficientes dos termos do polinômio. 
Considerando 𝑛𝑛 + 1 pontos distintos de uma tabela de valores, escritos 
na forma (𝑥𝑥𝑖𝑖;𝑦𝑦𝑖𝑖) em que 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) e 𝑖𝑖 = 0, 1, 2, … ,𝑛𝑛. 
 
 
7 
O polinômio interpolador de grau ≤ 𝑛𝑛 pode ser escrito da seguinte 
forma: 
𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0 . 𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1 . 𝐿𝐿1(𝑥𝑥) + ⋯+ 𝑦𝑦𝑛𝑛 . 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �𝑦𝑦𝑘𝑘 . 𝐿𝐿𝑘𝑘(𝑥𝑥)
𝑛𝑛
𝑘𝑘=0
 
Em que: 𝐿𝐿𝑘𝑘(𝑥𝑥) =
∏ (𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑛𝑛
𝑗𝑗=0
𝑗𝑗≠𝑘𝑘
∏ (𝑥𝑥𝑘𝑘−𝑥𝑥𝑗𝑗)𝑛𝑛𝑗𝑗=0
𝑗𝑗≠𝑘𝑘
 
Nota: O símbolo ∏ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑗𝑗)𝑛𝑛𝑗𝑗=0
𝑗𝑗≠𝑘𝑘
 denota o produtório dos termos (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑗𝑗) 
sendo 𝑗𝑗 o índice que identifica cada valor de x da tabela. (Jarletti, 2018, 
p. 107) 
Exemplo: 
Determinar o polinômio interpolador pela forma de Lagrange para a tabela 
de valores abaixo: 
Tabela 3 – Tabela de valores para determinar um polinômio interpolador 
𝑥𝑥 0 𝜋𝜋/6 ou 30° 𝜋𝜋/4 ou 45° 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 0,000 0,328 0,560 
 
Solução: 𝑝𝑝2(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦0. 𝐿𝐿0(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦1. 𝐿𝐿1(𝑥𝑥) + 𝑦𝑦2. 𝐿𝐿2(𝑥𝑥) 
𝐿𝐿0(𝑥𝑥) =
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1). (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)
(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1). (𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥2)
=
�𝑥𝑥 − 𝜋𝜋6� . (𝑥𝑥 −
𝜋𝜋
4)
�0 − 𝜋𝜋6� . (0 −
𝜋𝜋
4)
=
𝑥𝑥2 − 1,3090𝑥𝑥 + 0,4112
0,4112
 
𝐿𝐿1(𝑥𝑥) =
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)
(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)
=
(𝑥𝑥 − 0). (𝑥𝑥 − 𝜋𝜋4)
�𝜋𝜋6 − 0� . (
𝜋𝜋
6 −
𝜋𝜋
4)
=
𝑥𝑥2 − 𝜋𝜋4 𝑥𝑥
−0,1370
 
𝐿𝐿2(𝑥𝑥) =
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)
(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)
=
(𝑥𝑥 − 0). (𝑥𝑥 − 𝜋𝜋6)
�𝜋𝜋4 − 0� . (
𝜋𝜋
4 −
𝜋𝜋
6)
=
𝑥𝑥2 − 𝜋𝜋6 𝑥𝑥
0,2056
 
Calculando 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 0 .�
𝑥𝑥2 − 1,3090𝑥𝑥 + 0,4112
0,4112
� + 0,328 .�
𝑥𝑥2 − 𝜋𝜋4 𝑥𝑥
−0,1370�
+ (0,560)�
𝑥𝑥2 − 𝜋𝜋6 𝑥𝑥
0,2056 �
 
Resultando 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ≅ 0,333𝑥𝑥2 + 0,452 𝑥𝑥 
Com a determinação do polinômio interpolador, pode-se determinar o 
valor do funcional 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em qualquer ponto interno a tabela de dados numéricos. 
 
 
 
8 
Observe a mesma expressão do polinômio interpolador. Verifica-se que a 
forma de Lagrange é um recurso para determinar o polinômio de interpolação 
sem necessidade de resolver um sistema de equações lineares. 
4.2 Forma de Newton 
O polinômio interpolador pode ser obtido mais facilmente por um operador 
de diferenças divididas. Esse procedimento foi desenvolvido por Newton. 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑0 + 𝑑𝑑1. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑑𝑑2. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) + ⋯+ 𝑑𝑑𝑛𝑛(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) … (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑛𝑛−1) 
Os 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐 𝑖𝑖 = 0, 1, . . ,𝑛𝑛 são as diferenças divididas (de ordem 𝑖𝑖) 
calculadas por: 
𝑑𝑑0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 
𝑑𝑑1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
 
𝑑𝑑2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1)
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0
 
 
Exemplo: 
Determinar o polinômio interpolador pela forma de Newton, para a tabela 
apresentada a seguir. 
Tabela 4 – Dados para determinar o polinômio interpolador 
𝑥𝑥 0 𝜋𝜋/6 ou 30° 𝜋𝜋/4 ou 45° 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 0,000 0,328 0,560 
 
Solução: 
𝑑𝑑0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 0 
Cálculo das diferenças divididas de ordem um: 
𝑑𝑑1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0
=
0,328 − 0
𝜋𝜋
6 − 0
= 0,626 
𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
=
0,560 − 0,328
𝜋𝜋
4 −
𝜋𝜋
6
= 0,886 
 
 
9 
Cálculo da diferença dividida de ordem dois: 
𝑑𝑑2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1)
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0
=
0,886 − 0,626
𝜋𝜋
4 − 0
= 0,331 
O polinômio interpolador é dado por: 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑0 + 𝑑𝑑1. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑑𝑑2. (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0). (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 0 + 0,626(𝑥𝑥 − 0) + 0,331(𝑥𝑥 − 0) �𝑥𝑥 −
𝜋𝜋
6
� 
𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 0 + 0,452𝑥𝑥 + 0,331𝑥𝑥2 
Nota: ao observar a expressão obtida para o polinômio interpolador, 
verifica-se uma pequena diferença no coeficiente do termo quadrático. Nos 
processos anteriores, o valor obtido foi 0,333𝑥𝑥2 e neste procedimento resultou o 
valor 0,331 𝑥𝑥2. A diferença nas avaliações, a partir da terceira casa após a 
vírgula, ocorreu devido a arredondamentos realizados nos processos e aos 
dados da tabela que envolve valores irracionais (𝜋𝜋
6
 𝑝𝑝 𝜋𝜋
4
). 
TEMA 5 – EXTRAPOLAÇÃO OU REGRESSÃO COM AJUSTE DE CURVAS 
É o procedimento empregado quando: 
a. Os valores tabelados podem conter erros inerentes, provenientes de 
algum experimento ou pesquisa. Não há como corrigir nem detectar os 
possíveis erros contidos nos dados; 
b. Deseja-se estimar valores para a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tabelada em pontos internos 
e/ou externos ao intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] conhecido. 
A ideia é ajustar esta função tabelada a outra função que seja uma “boa 
aproximação” e que permita “extrapolar” com certa margem de 
segurança. 
A escolha da função de ajuste ou de regressão ou extrapolação vem 
da consideração dos dados da tabela, que devem ser plotados em uma 
representação cartesiana, chamada de diagrama de dispersão. 
Observando o diagrama de dispersão é possível visualizar como os 
pontos estão dispersos (ou um pouco esparramados) nas 
proximidades do gráfico da função a ser escolhida como a função de 
ajuste. (Jarletti, 2018, p. 112). 
O problema de ajuste de curvas tem a seguinte definição: dada uma 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) contínua em um intervalo [𝑎𝑎;𝑏𝑏] com dados representados 
em uma tabela, e escolhidas as funções 𝑔𝑔1(𝑥𝑥); 𝑔𝑔2(𝑥𝑥); … ; 𝑔𝑔𝑛𝑛(𝑥𝑥) todas 
contínuas em [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], determinar 𝑛𝑛 constantes 𝛼𝛼1; 𝛼𝛼2; … ; 𝛼𝛼𝑛𝑛 de modo 
que 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼1.𝑔𝑔1(𝑥𝑥) + 𝛼𝛼2.𝑔𝑔2(𝑥𝑥) + ⋯+ 𝛼𝛼𝑛𝑛.𝑔𝑔𝑛𝑛(𝑥𝑥) se aproxime ao 
máximo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [𝑎𝑎;𝑏𝑏]. 
 
 
10 
A questão da proximidade pode ser avaliada em valores numéricos por 
meio do desvio, que é a diferença entre o valor da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) e o valor 
da aproximação 𝜑𝜑(𝑥𝑥) para todo ponto da tabela de valores. Os 
resultados para os desvios podem ser positivos ou negativos e 
poderíamos pensar que cálculos feitos de forma majorada seriam 
compensados por valores calculados a menor. Esta ideia somente é 
válida para desvios pequenos em alguma aproximação de ajuste de 
curva. (Jarletti, 2018, p. 114) 
O traçado da curva da função de ajuste deve passar suficientemente 
próximo de todos os pontos do diagrama de dispersão, que pode ser mensurado 
por meio do cálculo do resíduo, que é a soma dos quadrados dos desvios em 
todos os pontos. Quanto menor o valor do resíduo, melhor será a aproximação, 
ou seja, melhor a curva se ajustará aos dados tabelados. Essa ideia define o 
Método dos Mínimos Quadrados. 
𝑅𝑅 = �|𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) − 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑖𝑖)|2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
A função de ajuste 𝜑𝜑(𝑥𝑥)é obtida por escolha entre funções simples 
contínuas nos Reais. 
5.1 Ajuste polinomial 
Considerando a forma polinomial: 
𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1. 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2. 𝑥𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛−1. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑦𝑦 
É possível determinar os coeficientes de cada termo do polinômio de grau 
𝑛𝑛 pela resolução do sistema de equações, denotado na forma matricial: 
�
�
𝑐𝑐 �𝑥𝑥𝑖𝑖
�𝑥𝑥𝑖𝑖 �𝑥𝑥𝑖𝑖2
… �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛
… �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+1
… …
�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛 �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+1
… …
… �𝑥𝑥𝑖𝑖2𝑛𝑛
�
�
 . �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1…
𝑎𝑎𝑛𝑛
� = 
�
�
�𝑦𝑦𝑖𝑖 
�𝑥𝑥𝑖𝑖 . 𝑦𝑦𝑖𝑖
…
�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛.𝑦𝑦𝑖𝑖
�
�
 
Essa formulação geral pode ser empregada para diversas funções, tal 
como na regressão linear (polinômio de primeiro grau) e polinômios de qualquer 
grau. 
Exemplo: 
Considerando a tabela de dados a seguir, verifique qual das curvas melhor 
se ajusta aos valores. Após fazer a escolha da função de ajuste, estime o valor 
quando 𝑥𝑥 = 2,7 e 𝑥𝑥 = 4,4. 
 
 
11 
a. Equação do primeiro grau: regressão linear; 
b. Equação de segundo grau (quadrática). 
Tabela 5 – Dados de uma função 
𝑥𝑥 1 2 3 4 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 2 4 7 11 
 
Solução: 
a. Regressão linear: 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1. 𝑥𝑥 
�
𝑐𝑐 �𝑥𝑥𝑖𝑖
�𝑥𝑥𝑖𝑖 �𝑥𝑥𝑖𝑖2
� . �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1� = �
�𝑦𝑦𝑖𝑖 
�𝑥𝑥𝑖𝑖 .𝑦𝑦𝑖𝑖
� 
Calculando: 
𝑐𝑐 = 4 𝑛𝑛ú𝑐𝑐𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑏𝑏𝑝𝑝𝑡𝑡𝑎𝑎 
�𝑥𝑥𝑖𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 
�𝑥𝑥𝑖𝑖2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 
�𝑦𝑦𝑖𝑖 = 2 + 4 + 7 + 11 = 24 
�𝑥𝑥𝑖𝑖 . 𝑦𝑦𝑖𝑖 = 1 . 2 + 2 . 4 + 3 . 7 + 4 . 11 = 75 
Substituindo vem: 
� 4 1010 30� . �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1� = �
24
75� 
Com solução: 𝑎𝑎1 = 3 e 𝑎𝑎0 = −1,5 
 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = −1,5 + 3𝑥𝑥 = 𝜑𝜑1(𝑥𝑥) 
Tabela 6 – Solução 
𝑥𝑥 1 2 3 4 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 2 4 7 11 
𝜑𝜑1(𝑥𝑥) 1,5 4,5 7,5 10,5 
 
 
12 
 
Calculando o Resíduo: 
𝑅𝑅1 = �|𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) − 𝜑𝜑1(𝑥𝑥𝑖𝑖)|2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
𝑅𝑅1 = |2 − 1,5|2 + |4 − 4,5|2 + |7 − 7,5|2 + |11 − 10,5|2 
𝑅𝑅1 = 1,000000 
b. Regressão para 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1. 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2. 𝑥𝑥2 
�
�
𝑐𝑐 �𝑥𝑥𝑖𝑖 �𝑥𝑥𝑖𝑖2
�𝑥𝑥𝑖𝑖 �𝑥𝑥𝑖𝑖2 �𝑥𝑥𝑖𝑖3
�𝑥𝑥𝑖𝑖2 �𝑥𝑥𝑖𝑖3 �𝑥𝑥𝑖𝑖4
�
�
. �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
� =
�
�
�𝑦𝑦𝑖𝑖
�𝑥𝑥𝑖𝑖 .𝑦𝑦𝑖𝑖
�𝑥𝑥𝑖𝑖2 . 𝑦𝑦𝑖𝑖
�
�
 
Utilizando os valores já conhecidos e calculando os ainda faltantes: 
�𝑥𝑥𝑖𝑖3 = 13 + 23 + 33 + 43 = 100 
�𝑥𝑥𝑖𝑖4 = 14 + 24 + 34 + 44 = 354 
�𝑥𝑥𝑖𝑖2.𝑦𝑦𝑖𝑖 = 12. 2 + 22. 4 + 32. 7 + 42. 11 = 257 
Substituindo na forma matricial, vem: 
�
4 10 30
10 30 100
30 100 354
� . �
𝑎𝑎0
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
� = �
24
75
257
� 
Resultando para as incógnitas: 𝑎𝑎0 = 1; 𝑎𝑎1 = 0,5 𝑝𝑝 𝑎𝑎2 = 0,5, e para a 
função de regressão ou de ajuste: 
𝜑𝜑2(𝑥𝑥) = 1 + 0,5 𝑥𝑥 + 0,5 𝑥𝑥2 
Utilizando a equação acima, pode-se construir a tabela com os valores 
em cada ponto. 
Tabela 7 – Tabela com os valores de cada ponto 
𝑥𝑥 1 2 3 4 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 2 4 7 11 
𝜑𝜑2(𝑥𝑥) 2 4 7 11 
 
 
13 
 
Calculando o Resíduo: 
𝑅𝑅2 = �|𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) − 𝜑𝜑2(𝑥𝑥𝑖𝑖)|2
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
O resíduo será nulo porque todos os valores do funcional de ajuste 𝜑𝜑2(𝑥𝑥) 
apresentaram valores idênticos aos valores tabelados. 𝑅𝑅2 = 0 
Comparando as equações de ajuste por meio dos resíduos, obtém-se: 
Quadro 1 – Equação de ajuste e resíduo 
Equação de ajuste Resíduo 
𝜑𝜑1(𝑥𝑥) = −1,5 + 3𝑥𝑥 𝑅𝑅1 = 1 
𝜑𝜑2(𝑥𝑥) = 1 + 0,5 𝑥𝑥 + 0,5 𝑥𝑥2 𝑅𝑅2 = 0 
 
Neste caso, o polinômio dado por 𝜑𝜑2(𝑥𝑥) = 1 + 0,5 𝑥𝑥 + 0,5 𝑥𝑥2 é a melhor 
equação de ajuste, e é a escolhida para estimar valores dentro e fora da tabela 
de valores. 
Para 𝑥𝑥 = 2,7 resulta: 𝜑𝜑(2,7) = 1 + 0,5 . 2,7 + 0,5 . 2,72 = 5,995 
Para 𝑥𝑥 = 4,4 obtém-se: 𝜑𝜑(4,4) = 1 + 0,5 . 4,4 + 0,5 . 4,42 = 12,880 
NA PRÁTICA 
Os métodos de interpolação remontam aos tempos de Keppler, que teve 
acesso a um conjunto de observações astronômicas da posição dos planetas no 
céu. Interpolando a posição entre os pontos observados, ele pôde determinar a 
trajetória dos planetas em torno do Sol. Newton usou esses dados e a técnica 
de interpolação para deduzir as Leis da Gravidade. 
Em engenharia, encontramos alguns exemplos do uso da interpolação: 
a. no cálculo estrutural com tabelas de cisalhamento com valores espaçados 
por metro; 
b. Propriedades como calor específico, densidade ou massa específica, 
volume específico, viscosidade em fluidos etc. 
 
 
14 
Eventualmente torna-se necessário encontrar algum valor entre dois 
pontos da tabela. 
Em Ciências Exatas, a extrapolação é usada em análise de circuitos 
elétricos. Realizam-se testes necessários para entender o funcionamento nas 
condições ambientais de entrada e mensura-se a saída. Com esses dados, é 
possível construir uma equação e extrapolar o funcionamento do circuito em 
condições extremas, impossíveis de simular em laboratório. 
Em aplicações relacionadas à estatística, a extrapolação de funções é 
indispensável, sendo usada em ramos do conhecimento na previsão de efeitos 
propagados ao longo do tempo ou em condições fora do controle do avaliador. 
Outra ocorrência é em situação de planejamento para atender à 
necessidade de produção de determinada quantidade de peças em alguma 
indústria onde dados conhecidos provêm da informação de produção (com erros 
inerentes na coleta de dados) ao longo de um determinado tempo de avaliação. 
FINALIZANDO 
As técnicas para interpolação e extrapolação são de emprego frequente 
nas Ciências Exatas. A escolha de uma metodologia adequada à origem dos 
dados (com referencial científico confiável ou com erros inerentes) levará aos 
resultados estimativos requeridos. 
Todos os resultados obtidos mediante o emprego desses procedimentos 
são valores aproximados por meio das técnicas de cálculo numérico. 
 
 
 
15 
REFERÊNCIAS 
BARROSO, L C et ali. Cálculo numérico. São Paulo: Harbra Editora, 1983 
BARROSO, L. C. Cálculo numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: 
Harbra, 1987. 
BURIAN, R., HETEM JUNIOR, A. Cálculo numérico. Rio de Janeiro: LTC, 2007 
BURDEN, R.; FAIRES, J. D. Análise numérica. 8. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2008. 
CASTANHEIRA, N. P; ROCHA, A.; MACEDO, L. R. D. de. Tópicos 
de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
JARLETTI, A. C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2017. 
KOPCHENOVA, N V.; MARON, I. A. Computational Mathematics. Moscou: Mir 
Publishers, 1975. 
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico, aspectos teóricos e 
computacionais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2014 
SPERANDIO, D. Cálculo numérico. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.