DP 02 - Teoria das Estruturas

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UNIP CONTEÚDOS ACADÊMICOS BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TEORIA DAS ESTRUTURAS 53B6_15601_20252 CONTEÚDO Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE Usuário JOAO VICTOR CASTRO RODRIGUES Curso TEORIA DAS ESTRUTURAS Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE Iniciado 14/09/25 19:36 Enviado 14/09/25 19:36 Status Completada Resultado da 5 em 5 pontos tentativa Tempo decorrido 0 minuto Resultados Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas exibidos respondidas incorretamente Pergunta 1 0,5 em 0,5 pontos (Hibberle, 2012 Adaptado) pórtico a seguir serve de suporte para uma ponte. Supondo El=constante, as reações de apoio horizontais valerão, em módulo (sugestão: utilize método das forças): 6tf/m C 10m 5m 5m A D Resposta Selecionada: 7,5tf e 7,5tf C. Respostas: 0,13tf e 0,13tf a. b. 2,5tf e 0,17tf 7,5tf e 7,5tf d. 7,5tf e 0,13tf e. Otf e Otf Comentário Resposta: da resposta: Comentário: Solução: Por tratar-se de pórtico hiperestático de grau 1, deveremostransformá-lo na combinação de dois casos de estruturas isostáticas - uma submetida ao carregamento real (caso 0) e outra submetida a uma carga virtual unitária aplicada horizontalmente no apoio D. 6tf/m 6tf/m B B 10m 10m 10m = 5m 5m 5m 5m + 5m 5m Caso (0) Caso (1) 1 deslocamento no ponto D será dado pela soma da combinação dos casos (0) e (1) com a combinação do caso (1) consigo mesmo. A segunda parcela dessa soma (caso (0) consigo mesmo) deverá ser multiplicada por X, que representará a reação de apoio em D. Essa incógnita será descoberta igualando-se aquela soma a zero, já que, na verdade, não há deslocamento em D no caso real. As expressões de momentos para caso (0) e caso (1) são: Caso (0) Caso (1) M(x)=-5 -5 6tf/m -5 10m -5 10m 5m 5m M(x)=-x 5m 75 5m M(x)=-5+x Otf 1tf 30tf T30tf Otf Otf Cálculo de [caso(1).caso(0)]: 10 = 10 0 0 1 150x² 2 15x³ 3 10 0 (-7500+5000) Cálculo de 1 [caso(1).caso(1)]: 5 10 o 5 10 5 0 0 0 Então, como deslocamento real é zero, teremos: 2500 + 333,333 Dada a simetria da estrutura e do carregamento, as reações horizontais em A e valerão, portanto, em módulo, 7,5tf. Pergunta 2 0,5 em 0,5 pontosOs valores, em módulo, dos momentos e reações de apoio da seguinte viga (de El constante), são, respectivamente (sugestão: utilize o método das forças): 1tf/m A 4m Resposta Selecionada: 1,33tf.m e 2tf e. Respostas: 2,67tf.m e 4tf a. b. 2,67tf.m e 2tf 1,33tf.m e 1tf C. d. 1,33tf.m e 4tf 1,33tf.m e 2tf e. Comentário da Resposta: E resposta: Comentário: Solução: Trata-se de uma viga com grau de hiperestaticidade igual a 3. Porém, como só atua sobre ela carga vertical, as reações de apoio horizontais serão zero e recaímos num sistema A situação real será decomposta nos seguintes casos: Caso (0) Caso (1) Caso (2) + 4m + 4m 4m As expressões de momentos serão: Caso (0) Caso (1) Caso (2) 4x M(x)=-1 + A 4m + 4m A A 4m M(x)=x Cálculo de 10 [caso(0).caso(1)] 32 0 Cálculo de [caso(0).caso(2)] 4 10,667 0 Cálculo de 11 [caso(1).caso(1)] 4 21,333 Cálculo de [caso(1).caso(2)]8 El Cálculo de [caso(2).caso(1)] = [caso(1).caso(2)] Cálculo de [caso(2).caso(2)] 0 sistema linear, já que El é constante, fica: -32 + 21,333.X1 8.X₂ = 0 10,667 8.X1 + = 0 Resolvendo-se sistema, obtém-se: = 2tf (reações de apoio em Ae dada a simetria) X₂ = 1,33tf.m (momento em A e dada a simetria) Pergunta 3 0,5 em 0,5 pontos diagrama de momentos fletores do seguinte pórtico, de El constante, é (sugestão: utilize método das forças e integre as funções utilizando a tabela de Kurt-Beyer): 4tf/m 5tf 5m C 3m 3m A D 9,97tf.m Resposta Selecionada: 1,07tf.m 9,97tf.m 1,07tf.m e. 6,11tf.m 0 9,97tf.m Respostas: 1,07tf.m 1,07tf.m 8,70tf.m a. 6,11tf.m 9,97tf.m 1,07tf.m 1,07tf.m 9,97tf.m b. 08,22tf.m 8,22tf.m 8,22tf.m 8,22tf.m C. 0 8,22tf.m 1,68tf.m 11,78tf.m d. 9,97tf.m 1,07tf.m 9,97tf.m 1,07tf.m e. 6,11tf.m Comentário da Resposta: E resposta: Comentário: Solução: pórtico tem grau 2 de hiperestaticidade. Devemos, então, suprimir duas vinculações. Faremos isso retirando provisoriamente apoio fixo. Com isso, teremos as três seguintes condições: CASO (0) 50 MOMENTOS (tf.m) 4tf/m 5tf 0 B 5m 50 3m 3m A D 65 CASO (1) 3 MOMENTOS (tf.m) 3 3 5m C 3m 3m A D 1 CASO (2) MOMENTOS (tf.m) 5 5m 5 3m 3m A D 1 Com esses dados, calculamos os deslocamentos virtuais: CASO (0) I CASO (1) [A10] 65 50 50 3 3 3 dx + 0 dx + dx 3 3 5 5 3 3 1 497,5 Note que na primeira integral é a parcela de 50tf.m que é multiplicada por 2 (confira na tabela de Kurt Beyer), já que é esse lado do trapézio que coincide com lado do triângulo onde se situa cateto vertical (3tf.m). CASO (0) I CASO (2) 65 50 50 5 dx + 5 0 0 dx + dx 3 5 3 3 3 5Repare que os sinais negativos devem-se ao fato de que as figuras estão em lados opostos ao eixo horizontal. CASO (1) I CASO (1) 1 3 3 3 3 3 3 . dx + dx + dx 3 3 5 5 3 3 1 63 CASO (1) CASO (2) 3 3 3 5 dx 5 0 + dx 5 + dx 3 3 3 3 5 1 60 CASO (2) CASO (1) : A combinação do caso (1) com caso (2) é idêntica à combinação do caso (2) com o caso (1). Portanto: 60 CASO (2) I CASO (2) 0 0 5 5 dx + dx + 5 5 dx 3 3 3 3 5 5 1 116,6667 sistema de equações dos somatórios dos deslocamentos horizontais e verticais resulta, então: 1175 60 + 116,6667 (II) Cancelando El nas equações e resolvendo sistema, obtém-se: = 3,3222tf e X₂ 11,7800tf Com esses valores, que correspondem à reação horizontal e vertical, respectivamente, no apoio D, obtemos as reações no ponto A: RHA = 1,6778tf e RVA = 8,2200tf Com esses valores, obtemos os diagramas de M e V: ESFORÇOS CORTANTES 8,220tf 11,780tf 1,678tf MOMENTOS FLETORES 9,967tf.m 1,067tf.m 9,967tf.m 1,067tf.m 7,382tf.m 6,107tf.m 0Portanto, a alternativa que corresponde ao diagrama de MOMENTOS FLETORES é a alternativa "e". Pergunta 4 0,5 em 0,5 pontos Os valores das reações verticais de apoio da seguinte viga (de El constante) em e D são, respectivamente (sugestão: utilize o método dos deslocamentos): 190-fundo-branco.jpg Resposta Selecionada: 1,754tf; 5,181tf; 8,469tf e 4,596tf a. Respostas: 1,754tf; 5,181tf; 8,469tf e 4,596tf a. b. 0,246tf; 0,181tf; 8,469tf e 4,596tf 1,754tf; 5,181tf; 0,469tf e 0,404tf C. d. 0,246tf; 0,181tf; 0,469tf e 0,404tf e. 4,596tf; 8,469tf; 5,181tf e 1,754tf Comentário da Resposta: A resposta: Comentário: Solução: Primeiro devemos identificar grau de deslocabilidade da estrutura e enrijecer os nós deslocáveis. 191-fundo-branco.jpg sistema a ser resolvido será, portanto: questionario_2_21.jpg Passemos a analisar os subsistemas: 192-fundo-branco.jpg Os momentos de engastamento perfeito são: questionario_2_22.jpg Devemos, agora, somar as parciais de um lado e do outro dos apoios internos: questionario_2_23.jpg Agora analisa-se caso (1), referente ao giro unitário virtual no ponto 1: 193-fundo-branco.jpg Os valores dos coeficientes de rigidez para caso (1) são obtidos com auxílio do quadro 3. Como El é constante para todos os tramos (vãos), e por se tratar de uma viga, utilizaremos um artifício para simplificar nossos cálculos: igualaremos El a 1. questionario_2_24.jpg Como coeficiente de rigidez sobre ponto 1 é formado por dois componentes, devemos somá-los. Então, K11 = 1 + 0,6667 = 1,6667 tf.m/rad 194-fundo-branco.jpg questionario_2_25.jpgE o coeficiente de rigidez sobre ponto 2 será: = 0,6667 + 2 = 2,667tf.m/rad Agora, podemos montar sistema: questionario_2_21.jpg Resolvendo-o, obtemos: = -0,6538 rad e D₂ = 0,2692 rad. Em seguida, determinamos os momentos sobre os apoios: Apoio A: = 2tf.m + 0,5tf.m/rad.(-0,6538)rad = 1,673tf.m (anti-horário) Apoio B (à esquerda): + = -2tf.m + = -2,6538tf.m (hor.) Apoio (à direita sofre influência de ambos os giros): + + = 3tf.m + + + = 2,6538tf.m (anti-horário) Apoio (à esquerda sofre influência de ambos os giros): + + = -3tf.m + + + = -3,0385tf.m (horário) Apoio (à direita): + K22-b3.D2 = 2,5tf.m + 2tf.m/rad.0,2692rad = 3,0385tf.m (anti- hor.) Apoio D: BD = + = -2tf.m + 1tf.m/rad.0,2692rad = -2,2308tf.m (horário) Graficamente, teremos: 195-fundo-branco.jpg Finalmente, obtemos as reações de apoio: 196-fundo-branco.jpg Pergunta 5 0,5 em 0,5 pontos valor, em módulo, do momento sobre apoio intermediário da viga a seguir, de inércia e módulo de elasticidade constantes, é (sugestão: utilize método dos deslocamentos): 100kN/m 20kN/m A 3m B 5m C Resposta Selecionada: 81,25 kN.m C. Respostas: a. 50 kN.mb. 31,25 kN.m 81,25 kN.m C. d. 112,5 kN.m 37,5 kN.m e. Comentário da Resposta: resposta: Comentário: Solução: Primeiro devemos identificar o grau de deslocabilidade da estrutura e enrijecer os nós deslocáveis. Sistema hipergeométrico G.D.=1 barra 1 barra 2 A 1 Sendo grau de deslocabilidade igual a 1, sistema será resolvido utilizando-se a equação: Caso (0) Momento de engastamento perfeito CASO (0) BAO 100kN/m 20kN/m A 3m 5m RV10-b1 RV10-b2 Como estamos interessados apenas no momento sobre apoio intermediário, calcularemos apenas os valores de ß10-b1 e b2, referentes ao momento de engastamento perfeito: -112,5kN.m e Então, = -112,5+62,5 = -50kN.m Caso (1) Giro unitário CASO (1) 0=1 KA1 Kc1 A 1 1 5m 3m K11-b2 RVA1 RV11-b1 RV11-b2 RVC1 Novamente, por estamos interessados apenas no momento, obteremos apenas valor de K11. Pela tabela de deformações unitárias, temos: K11-b1 = 3EI/L = 3EI/3 = El kN.m/rad K11-b2 = 3EI/L = 3EI/5 kN.m/rad Então, K11 El + 3EI/5 = 8EI/5 kN.m/rad Portanto, valor de D1 será: = 0 -50 + 8EI/5 31,25 kN.m/rad Substituindo esse valor nas condições, por exemplo, à esquerda do apoio teremos:Ou seja, valor do momento em B será, em módulo, 81,25kN.m. Pergunta 6 0,5 em 0,5 pontos valor, em módulo, da força normal na barra BD da treliça internamente hiperestática indicada abaixo, construída com barras de EA constante, é (sugestão: utilize método das forças): 2m C 20tf 2m 2m A D 2m Resposta Selecionada: b. 11,213 tf Respostas: a. 1,121 tf b. 11,213 tf 0,089 tf d. 0,892 tf e. 8,918 tf Comentário da Resposta: B resposta: Comentário: Solução: grau de hiperestaticidade interna Portanto, a força na barra hiperestática será obtida a partir da equação: 10 = 0 Primeiro, transformamos sistema hiperestático num isostático equivalente: B 2m C 20tf B 2m C 20tf B 2m C 1 2m 2m = 2m 2m + 2m 2m 1 A D A D A D 2m 2m 2m A figura a seguir apresenta caso (0) e caso (1), com suas respectivas forças normais nas barras, obtidas pelo método dos nós:Caso (0) Caso (1) 0 20tf B 0,707tf 1 0 28.284tf -20tf 0,707tf 1 0,707tf 20tf 0 D A D A 0,707tf 20tf 20tf Observação: sinal negativo indica que a força é de compressão. Por tratar-se de uma treliça, utilizaremos a forma de somatório do método das forças: Д = 1/(EA) Σ Para facilitar processo de cálculos, elaboramos o seguinte quadro: Barra (tf) (tf) Li (m) AB 0 0,707 2 0 1 BC 0 0,707 2 0 1 CD -20 0,707 2 -28,284 1 DE 0 0,707 2 0 1 28,284 -1 -80 DB 0 -1 0 -108,284 9,657 valor de X1, que corresponde à força na barra suprimida (BD), será: + 0 = 11,213 tf Pergunta 7 0,5 em 0,5 pontos Sendo a viga a seguir constituída de dois tramos com inércias diferentes (tramo AB: I; tramo BC: e módulo de elasticidade comum a ambos, valor, em módulo, da reação de apoio vertical em será (sugestão: utilize método dos três momentos): 10tf 5tf/m A C 2m 2m B 6m 21 Resposta Selecionada: 25,806 tf e. Respostas: 2,322 tf a. b. 5,804 tf C. 13,929 tf d. 20 tf25,806 tf e. Comentário da Resposta: E resposta: Comentário: Solução: sistema resume-se ao exposto na figura a seguir: M₀=0 L1 L₂ 10tf I 5tf/m A 2m 2m 6m 21 a1L1 a2L2 Com auxílio do quadro de rotações nos apoios, obtemos os valores de = = = A expressão dos três momentos fica, portanto: 0 4 6 10 45 14 195 2 I I 21 I I Com esse valor, obtêm-se as parciais de reações de apoio que, somadas às parciais devidas aos carregamentos, determinam as reações finais: 13,929 tf.m A 4m 6m 4m 6m 15tf 15tf A 4m 6m 8,482tf A reação no apoio B será, portanto, 25,806tf. Pergunta 8 0,5 em 0,5 pontos Os valores dos momentos, em módulo, nos apoios A e na viga abaixo de El constante são, respectivamente (sugestão: utilize método dos três momentos): questionario_2_37.jpg Resposta Selecionada: 203,205 kN.m e 218,590 kN.m C. Respostas: 520,833 kN.m e 450 kN.m a.b. 520,833 kN.m e 520,833 kN.m 203,205 kN.m e 218,590 kN.m C. d. 203,205 kN.m e 203,205 kN.m 218,590 kN.m e 218,590 kN.m e. Comentário da Resposta: resposta: Comentário: Solução: Como apoio um engastamento, criamos um tramo adicional fictício à esquerda de A, com comprimento igual a zero, que torna a rigidez desse tramo infinita e mantém a condição de engastamento em Temos, então: questionario_2_38.jpg Portanto, de forma fictícia, teremos três tramos. Então deveremos aplicar método dos três momentos duas vezes. Primeira aplicação: questionario_2_39.jpg Com auxílio do quadro de rotações nos apoios, obtemos os valores de A expressão dos três momentos fica, portanto: questionario_2_40.jpg Segunda aplicação: questionario_2_41.jpg Com auxílio do quadro de rotações nos apoios, obtemos os valores de A expressão dos três momentos fica, portanto: questionario_2_42.jpg Assim, resolvendo o sistema composto pelas duas equações, obtemos: kN.m e Pergunta 9 0,5 em 0,5 pontos (Sussekind, 1990 adaptado) Considerando que a viga contínua a seguir tenha El constante, os valores, em módulo, dos momentos fletores sobre seus apoios A, e D são, respectivamente (sugestão: utilize método de Cross, com precisão mínima de 0,1): 2tf/m A 8m 6m C 8m DResposta Selecionada: Otf.m; 11,519tf.m; 6,975tf.m e 12,514tf.m C. Respostas: 0 tf.m; 11,519tf.m; 6,975tf.m; e Otf.m a. b. 11,519tf.m; 6,975tf.m; 12,514tf.m e Otf.m Otf.m; 11,519tf.m; 6,975tf.m e 12,514tf.m d. 0,36tf.m; 0,64tf.m; 0,57tf.m; e 0,43tf.m 0,57tf.m; 0,43tf.m; 0,36tf.m; e 0,64tf.m e. Comentário da Resposta: resposta: Comentário: Solução: Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: 2tf/m 2tf/m 2tf/m 8m 6m 8m D 0 -qL²/8 qL²/12 -qL²/12 qL²/12 -qL²/12 -16tf.m 6tf.m -6tf.m 10,667tf.m -10,667tf.m Cálculo dos coeficientes de rigidez: = 3EI/8 KBC = 4EI/6 KCD = 4EI/8 Cálculo dos fatores de distribuição: = 3EI/8 / (3EI/8 + 4EI/6) = 0,36 = / (3EI/8 + 4EI/6) = 0,64 = 4EI/6 / + 4EI/8) = 0,57 = 4EI/8 / + 4EI/8) = 0,43 Processo de Cross: C A D -16 6 -6 10,667 -10,667 3,6 6,4 3,2 -12,4 12,4 -4,484 -3,383 -1,692 -2,242 -7,284 7,284 0,807 1,435 0,718 -11,593 11,593 -0,409 -0,309 -0,155 -0,205 -6,975 6,975 -12,514 0,074 0,131 0,06630kN/m 20kN/m A 3m B 3m C 2m E 4m D Resposta Selecionada: 24,04kN.m; 27,12kN.m e 3,08kN.m e. Respostas: 0 kN.m; 24,04kN.m, 10,11kN.m; e 5,06kN.m a. b. 27,12kN.m; 24,04kN.m e 10,11kN.m 27,12kN.m e 24,04kN.m d. 24,06kN.m; 27,12kN.m e 1,55kN.m 24,04kN.m; 27,12kN.m e 3,08kN.m e. Comentário da Resposta: E resposta: Solução: Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: 20kN/m 30kN/m A 3m 3m C 0 -qL²/8 qL²/12 -22,5kN.m 22,5kN.m -22,5kN.m Cálculo dos coeficientes de rigidez: KAB = 3EI/3 = El KBC = 4EI/3 KCD = 4EI/4 El KBE Cálculo dos fatores de distribuição: = El / + 4EI/3 + 2EI) 0,23 = 4EI/3 / (El + 4EI/3 + 2EI) = 0,31 = 2EI / + 4EI/3 + 2EI) = 0,46 = 4EI/3 / (4EI/3 + 0,57 = / (4EI/3 + = 0,43 Processo de Cross: B 0,23 A C 0,31 0.57 -22,5 22,5 -22,5 0,43 0,46 -1,47 0 6,41 12,85 0 -23,97 -2,95 -1,99 -9,68 9,69 -0,07 -2,95 26,92 -1,00 9,68 -24,04 -0,13 0,29 0,57 0,43 -0,09 48OK Domingo, 14 de Setembro de 2025 19h36min21s GMT-03:00