CENTRÓIDE OU CENTRO DE MASSA GEOMÉTRICO

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UTFPR - PATO BRANCO
GRADUAÇÃO - ENGENHARIA MECÂNICA
ALANA TECCHIO GALON
VITOR EBRAIN
CENTRÓIDE OU CENTRO DE MASSA GEOMÉTRICO
PATO BRANCO
2024
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ALANA TECCHIO GALON
VICTOR EBRAIM
CENTRÓIDE OU CENTRO DE MASSA GEOMÉTRICO
TRABALHO APRESENTADO COM O OBJETIVO DE
APRENDIZAGEM E APROVAÇÃO NA MATÉRIA DE
ESTÁTICA DO CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Paulo Rogerio Novak
PATO BRANCO
2024
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SUMÁRIO
RESUMO…………………………………………………………………………. 5
1 INTRODUÇÃO …………………………..…………………………………… 6
2 CORPOS SIMPLES ……………………………………………………………. 7
2.1 Cálculo dos centróides ………………………………………………..... 8
2.2 Simetria dos elementos …………………………………………………. 9
2.3 Procedimentos para a escolha do elemento de integração …………… 10
3 CORPOS COMPOSTOS ………………………………………………………. 10
3.1 Teorema de Pappus …………………………………………………… 12
4 CONCLUSÃO………………………………………………………………….. 13
5 REFERÊNCIAS ………………………………………………………………… 14
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RESUMO
O centro de gravidade é um ponto central onde se concentra o peso de um sistema
de pontos materiais, podendo ser calculado geometricamente para substituir o peso total
do sistema para que seja igual ao peso total a todos os demais pontos materiais. Com o
objetivo de determinar o centróide de uma área delimitada por uma função, é necessário
avaliar o uso de integral para o cálculo de sua área, a ordem do elemento de integração,
a continuidade de sua função, a escolha das coordenadas e encontrar a coordenada do
centróide como em figuras envolvendo áreas compostas, é preciso também apresentar a
equação e as variáveis necessárias para determinar o centróide. Por resultado então
pode-se calcular onde estaria seu centro de gravidade que nos possibilita inúmeras
conclusões sobre a estrutura, tendo como um exemplo permitir determinar seu
movimento para as forças que agem sobre ela ou em uma ideia mais abrangente calcular
como seu equilíbrio seria afetado por forças adversas nos ajudando a entender esse
sistema.
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INTRODUÇÃO
O centro de gravidade é o ponto central onde se pode presumir que se localiza o peso
resultante de um sistema de diversos outros pontos materiais, como estamos no planeta
Terra e estamos sob ação de uma força gravitacional temos que cada ponto possui um
peso específico. Como exemplificado abaixo:
(1.01)
Fonte: Meriam (2009)
Os pesos desses pontos materiais são compreendidos como um sistema de forças
paralelas que podem ser substituídos por um único ponto geometricamente calculado
para que o peso resultante seja igual ao peso total a todos os demais pontos materiais.
Para encontrar as coordenadas ( x, y, z ) para o ponto devemos utilizar o seguinte
princípio:
Wr = ∑ dW
O somatório dos momentos dos pesos em relação aos eixos, é então igual ao momento
do peso resultante das forças gravitacionais no eixo desejado.
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Deste modo para determinar as coordenadas no eixo x do ponto, somamos os momentos
em relação ao eixo y:
xWr = x1W1 + x2W2 + … + xnWn
De mesmo modo para para y:
yWr = y1W1 + y2W2 + … + ynWn
Já no ponto z os pesos não possuem nenhum momento, então obtemos suas
coordenadas a partir de pontos fixos em relação ao eixos x, tais quais sofrem de uma
rotação de 90° em torno de seu próprio eixo. Realizando este somatório:
zWr = z1W1 + z2W2 + … + znWn
2 CORPOS SIMPLES
Integração no cálculo de centro de massa - Um corpo rígido é formado por um número
infinito de partículas, que possuem um peso infinitesimal que para ser calculado
necessita utilizar da operação de integração no cálculo em função de seu volume, onde
considerando suas localizações nos eixos ( x, y e z), com um peso dW será então
associado a dV, onde existirá um γ que representará o peso específico do corpo.
Portanto dW = γdV.
(2.01)
Fonte: Merriam (2009)
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2.1 CÁLCULO DOS CENTRÓIDES
Um centróide pode ser calculado de três formas diferentes:
1. Linhas - Para uma barra esguia ou um fio de determinado comprimento L onde
o corpo se aproxima de um segmento de linha, já que sua área de seção transversal e sua
massa específica são constantes ao longo da barra, portanto as coordenadas do centro de
massa serão as mesmas do centróide C do segmento de linha, sendo escritas de forma:
(2.11)
Fonte: Meriam (2009)
2. Áreas - Quando um corpo possui uma determinada massa específica e uma
espessura pequena porém constante e uniforme, podemos determinar uma área de sua
superfície. Novamente estes dados são tratados como constantes podendo determinar a
localização do centro de massa como equivalente a do centróide C da superfície. Suas
equações podem ser determinadas de forma:
(2.12)
Fonte: Meriam (2009)
3. Volume - Para um corpo qualquer de massa específica e volume V, possui uma
massa determinada a partir de dm = p dV. A massa especifica s e cancela se for
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equivalente(constante) em todo o corpo portanto as coordenadas do centro de massa
continuam sendo as mesmas do centróide, sendo sua fórmula descrita como:
(2.13)
Fonte: Meriam (2009)
2.2 SIMETRIA DOS ELEMENTOS
Os centróides de algumas formas podem ser simétricos em determinados planos,
podendo assim ser expressos de forma total ou parcial por meio desta condição. Desta
forma teremos o centróide sobre tal eixo.
(2.21)
Fonte: Meriam (2009)
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2.3 PROCEDIMENTOS PARA A ESCOLHA DO ELEMENTO DE INTEGRAÇÃO
1. Ordem do elemento - É recomendada a escolha sempre para que a integração se
torne mais simples possível, ou seja, um elemento de primeira ordem terá apenas
uma integração necessária para se calcular a área.
2. Continuidade - Pode-se escolher preferencialmente um elemento que percorra a
maior parte da figura, cuja função integrada seja contínua.
3. Eliminar termos de ordem superior - Estes termos são facilmente descartados por
termos de ordem inferior ( definição de integral).
4. Escolha dos melhores sistemas de coordenadas - Como uma ideia direta sempre se
torna mais viável a escolha das coordenadas mais simples para o desenvolvimento
de uma integral. Como exemplo o uso de coordenadas polares para integrar uma
região circular.
5. Coordenadas do centróide - É essencial que seja usada as coordenadas do centróide
do elemento para que o braço de alavanca para quando se calcula o momento para este
elemento.
3 CORPOS COMPOSTOS
Há situações em que é mais simples repartir uma figura, onde seus centros de massa são
mais facilmente localizáveis. Usamos para estes casos o princípio de momentos onde
tratamos cada parte dividida como um elemento finito no espaço.
Tal princípio se dá por:
(m1 + m2 + m3 +...+ mn)X = m1x1 + m2x2 + m3x3 +... + mnxn
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onde (x1, x2, x3, …, xn) são as coordenadas de seus respectivos centros de massa e X a
coordenada do respectivo centro de massa do elemento.
De forma para qualquer corpo com N partes:
(3.01)
Fonte: Meriam (2009)
Isto também é válido para o cálculo das linhas, áreas e volume onde “m” das funções
acima são substituídos respectivamente por L, A e V…
Em figuras reais é capaz de existirem espaços vazios, furos ou deformidades que
também são avaliadas na hora do cálculo onde por vez é calculada como área de massa
negativa.
Para aproximarmos a área do possível para ser calculado seguimos os seguintes
métodos de aproximação. A área a ser calculada deve ser dividida em faixas e as faixas
devem ser multiplicadas por as respectivas coordenadas (x, y) do seu centróide para
obter seus momentos em relação a ele, o somatório desses momentos nos revelará o
ponto do centróide:
(3.02)
Fonte: Meriam (2009)
No caso de um volume podemos utilizar da mesma ideia, porém, reduzindo a ideia de
volume
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para apenas a de uma área. Imaginando essa faixa como uma área que vale AΔx, que é
igual ao valor referente a ΔV, sendo esta área a representação do volume do corpo e a
coordenada x do centróide da área sob a curva:
x̅= ((∑(A-Δx))/(∑ A Δx))
3.1 TEOREMA DE PAPPUS
Existe um método que simplifica o cálculo para áreas de revoluções de curvas em
relação a um eixo que não interrompe o plano em que está a curva, onde seu segmento
de linha com tamanho L que integradogera a área da figura:
A = 2π x dL ou A = 2π y dL tal que a area é igual a A = 2πL(x̅) ou A = 2πL(ȳ)∫ ∫
No caso de um volume gerado teremos algo muito similar onde o volume será:
V= 2π y dA ou V= 2π x dA onde o volume é determinado por V= 2πA(x̅) ou V =∫ ∫
2πA(ȳ).
Caso haja uma linha que possua grau menor a 2π podemos substituir na equação 2π
pelo grau proposto.
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4 CONCLUSÃO
O centro de gravidade é um ponto geométrico central onde pode ser calculado
para substituir o peso total do sistema para que seja igual ao peso total a todos os
demais pontos materiais, dado a análise feita vemos que pode ser calculado a partir de
integrações referentes a sua forma ( linear, área ou volumétrica ) o que nos permite com
maior facilidade calcular esse ponto.
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5 REFERÊNCIAS
MERIAM, J.L e KRAIGE, L.G. ... Mecânica para Engenharia: Estática. 6. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2009. 173-201 p. v. 1.
HIBBELER, R.C.. Mecânica para Engenharia: Estática. 10. ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2005. 371-407 p. v. 1.
ABNT NBR 6023, Informação e documentação - Referências -
Elaboração.