Função e Conjunto - MTM

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Conjuntos e Funções
MÓDULO 7
CONQUISTA
MATEMÁTICA
MMatemática
astigada
A
DA
MM atemática
astigada
1
Aula 30 - Conjuntos
O que são?
Conjuntos são grupos ou coleções de números,
objetos, coisas ou pessoas. 
Os planetas do sistemas solar são um exemplo
perfeito de conjunto (P):
Os dias da semana também representam um conjunto
(S):
Na linguagem matemática usamos duas palavras para
se referir a conjuntos, uma delas é "elemento".
Dizemos, por exemplo, que Domingo é um elemento
do conjunto de dias da semana. Também usamos a
palavra "pertence", dizemos que Domingo pertence
ao conjunto de dias da semana.
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno,
Urano, Netuno}
S = {Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta,
Sábado, Domingo}
Domingo∊S O símbolo "∊" 
significa pertence.
Representações de conjuntos
Além da representação vista acima em que ficam
dispostos entre chaves os elementos do conjunto,
podemos dispor os elementos dentro de uma região
fechada.
Essa representação recebe o nome de Diagrama de
Venn.
A B C
1
4
6
7
0
2
4
6
8
10
20
30
40
50
Uma outra forma é representar os conjuntos por uma
propriedade de seus elementos:
A = { x | x é um dia da semana }
B = { y | y é um número par }
C = { z | z é múltiplo de 10 }
O símbolo " | " 
significa tal que.
Imagine que você começa uma coleção de figurinhas
(F), no momento inicial você tem um total de zero
figurinhas, então o seu conjunto vazio de figurinhas
pode ser representado por: F = { } ou F = 
Nomenclatura de alguns conjuntos
Dois dias após o inicio da coleção você ganha a sua
primeira figurinha, e então você fica com um conjunto
unitário de figurinhas, ou seja, com um único
elemento. F = {Figurinha 1} 
Alguns conjuntos possuem número finito de
elementos enquanto outros possuem infinitos
elementos:
B = {x | x é um número impar} é um conjunto de
infinitos elementos. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }
C = {x | x é um número impar menor que 100} é um
conjunto de finitos elementos.
C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... , 95, 97, 99}
Conjunto universo de um estudo
Pensa que você está olhando para as estrelas no céu e
decide contá-las, ao fazer isso o universo dos números
de contagem das estrelas, seria: N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Note que, apesar de um conjunto infinito, é um
conjunto bem definido, ou seja, você não pode
contar, por exemplo, 9,5 estrelas ou -4 estrelas, você
está limitado ao conjunto N de contagem.
Outro exemplo, se eu te perguntar em qual mês é
seu aniversário, seu conjunto de possíveis respostas
também fica limitado ao conjunto de meses do ano:
M = {Janeiro, Fevereiro, Março, .. }
Agora temos o conjunto dos meses do ano, um
conjunto também bem definido e finito.
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Aula 30 - Conjuntos
Para entender o que são subconjuntos, considere aqui
o conjunto de todos os 200 alunos de uma escola (E)
que tem 4 salas (A, B, C e D) e cada sala tem 50
alunos.
E = {Aluno 1, Aluno 2, ... , Aluno 199, Aluno 200} 
A = {Aluno 1, Aluno 2, ... , Aluno 49, Aluno 50} 
B = {Aluno 51, Aluno 52, ... , Aluno 99, Aluno 100} 
C = {Aluno 101, Aluno 102, ... , Aluno 149, Aluno 150} 
D = {Aluno 151, Aluno 152, ... , Aluno 199, Aluno 200} 
Subconjuntos
Dizemos, por exemplo, que B é um subconjunto de E,
pois todos os alunos da sala B fazem parte da escola
e, consequentemente, todos os alunos do conjunto B
pertencem ao conjunto E.
B ⊂ E 
O símbolo " ⊂ " 
significa está
contido em; é
subcojunto de
"B" é subconjunto de E
"B" está contido em E
Não podemos usar o símbolo de pertence com
conjuntos e não podemos usar o símbolo de contido
com elementos.
Cuidado!
Aluno 2 ⊂ E 
B∊E 
Essas representações
são incorretas.
Não represente o conjunto vazio com as chaves e
uma bolinha cortada dentro, também é algo errado.
F = { } Essa representação é incorreta.
Igualdade entre conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se:
A ⊂ B e B ⊂ A
N = {1, 2, 3, 4, 5} e M = {4, 3, 2, 1, 5} são iguais
União de conjuntos (∪)
A união de conjuntos, representada por ∪, é um novo
conjunto formado por elementos que estão em A ou
estão em B: A ∪ B = {x | x∊A ou x∊B}
Exemplos:
A = {2, 3, 4} e B = {9, 10} 
A ∪ B = {2, 3, 4, 9, 10}
C = {10, 11} e D = {9, 10} 
C ∪ D = {9, 10, 11}
Note que não precisamos repetir os elementos que
aparecem nos dois conjuntos.
Na representação do diagrama de Venn, toda a
região hachurada representa a união entre os
conjuntos. Atenção, a região que pertence aos dois
conjuntos sempre será representada uma única vez!
Propriedades da união de conjuntos
A ∪ B = B ∪ A
Se A ⊂ B então A ∪ B = B
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∪ A = A
Intersecção de conjuntos (∩)
A intersecção de conjuntos, representada por ∩, é
um novo conjunto formado por elementos que estão
em A e estão em B:
A ∩ B = {x | x∊A e x∊B}
Exemplos:
A = {2, 3, 4} e B = {2, 10} 
A ∩ B = {2}
C = {15, 11} e D = {9, 10} 
C ∩ D = { }
Note que se não houver elementos em comum o
conjunto intersecção é vazio.
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Aula 30 - Conjuntos
Na representação de diagrama de Venn, toda a região
hachurada representa a intersecção entre os conjuntos.
Propriedades da intersecção de
conjuntos
A ∩ B = B ∩ A
Se A ⊂ B então A ∩ B = A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ∩ A = A
Diferença de conjuntos ( - )
A diferença de conjuntos, representada por -, é um
novo conjunto formado por elementos que estão em
A e não estão em B.
A ∩ B = {x | x∊A e x∊B}
Exemplos:
A = {2, 3, 4} e B = {2, 10} 
A - B = {3, 4}
C = {15, 11} e D = {9, 10} 
C - D = {15, 11}
Na representação de diagrama de Venn, toda a
região hachurada representa a diferença entre os
conjuntos.
Note que se não houver elementos em comum o
conjunto intersecção é vazio.
A - B
Propriedade: 
Se A ≠ B, então A - B ≠ B - A.
B - A
Propriedade: 
Se A ≠ B, então A - B ≠ B - A.
C - D
Propriedade: 
Se C ∩ D = { }, então C - D = C.
D - C
Propriedade: 
Se D ∩ C = { }, então D - C = D.
E - F
F - E
Propriedade: 
Se F ⊂ E, então F - E = { }.
Conjunto Complementar
Pense, por exemplo, no conjunto dos dias da semana
como sendo nosso conjunto universo (U).
U = {Segunda, Terça, Quarta,
Quinta, Sexta, Sábado, Domingo}
Se você pensar em dois conjuntos separados:
A = {Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta}
A' = {Sábado, Domingo}
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Aula 30 - Conjuntos
Dizemos que o conjunto A' é complementar do
conjunto A. Ao fazer a união de A com A' chegamos
ao conjunto universo. Complementar é sempre o
conjunto que falta para chegarmos ao conjunto
universo.
Abaixo a região hachurada representa o conjunto A'
que é complementar de A em relação ao universo U.
Conjuntos disjuntos Conjuntos não disjuntos
São conjuntos que não
possuem elementos
em comum.
São conjuntos que
possuem elementos em
comum.
Problemas para identificar a quantidade
de elementos de um conjunto finito.
Uma pesquisa foi realizada com 350 pessoas para
avaliar a eficácia de um anúncio de
 divulgação de dois novos produtos, A e B. Ao final
da pesquisa, constatou-se que, dos entrevistados,
precisamente: 
• 280 conheciam o produto A; 
• 80 conheciam os dois produtos; 
• 20 não conheciam nenhum dos dois produtos. 
De acordo com esses dados, quantas pessoas
entrevistadas conheciam apenas o produto B?
Resolução 
Por meio de um diagrama de Venn representamos os
conjuntos: 
• U, o conjunto universo das pessoas entrevistadas; 
• A, o conjunto das pessoas entrevistadas que
conhecem o produto A; 
• B, o conjunto das pessoas entrevistadas que
conhecem o produto B.
Primeiro passo:
O conjunto A ∩ B, aquele das pessoas que
conhecem os dois produtos, possui 80 elementos.
Para nos orientar, escrevemos o número 80 na
 região correspondente a A ∩ B:
Segundo passo:
O conjunto A possui 280 elementos, porém, na
primeira etapa, já foram consideradas 80 pessoas
desse total, faltando, portanto, 200 pessoas para
completar o conjunto.
O número 200 deve ser escrito na região que
corresponde a A - B.
Terceiro passo:
A região que corresponde a (A ∪ B)e é a das
pessoas que não conhecem nenhum dos dois
produtos. Nessaregião, escrevemos o número
 20:
20
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Aula 30 - Conjuntos
Quarto passo:
A região que corresponde ao conjunto B - A é
a das pessoas que conhecem apenas o produto B. 
O número x de elementos desse conjunto é o que
procuramos:
Como o conjunto universo U tem 350 elementos,
obtemos: 
Logo, 50 pessoas conheciam apenas o produto B.
20 + 200 + 80 + x = 350 
x = 50 
Existe uma segmentação lógica para os números em
conjuntos que será apresentada a seguir.
Conjuntos Numéricos
1) Conjunto dos números naturais ℕ
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}*
O asterisco (*)
significa um
conjunto de
elementos não
nulos.
2) Conjunto dos números inteiros ℤ
ℤ = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
ℤ = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}*
Representa o conjunto dos números naturais e seus
elementos opostos.
3) Conjunto dos números racionais ℚ
ℚ = {x | x é da forma a/b, com a e b∊ℤ}
Exemplos:
4 3 -1
5 12 15
; ;
5) Conjunto dos números irracionais ℚ'
É todo número decimal com infinitas casas decimais
e não periódicas.
Exemplos:
π = 3,141596... = 1,41421...
OBS: Um número irracional não pode ser
representado como uma razão entre dois números
inteiros.
i) Toda raiz não exata é um número irracional
Propriedades dos números irracionais 
∊ℚ'
∊ℚ'
∊ℚ'
ii) A soma e a diferença de um número racional com
um número irracional é um número irracional. 
= 1 + 2,23606.... = 3,23606...
2 - π = 2 - 3,141596 = -1,141596...
iii) O produto e o quociente de um número racional
com um número irracional é um número irracional. 
∊ℚ'
∊ℚ'
3
4
∊ℚ'
15
6) Conjunto dos números reais ℝ é a união dos
conjuntos ℚ e ℚ'
ℚ' ℝℚℤℕ
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
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https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
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https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%A4
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
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Aula 30 - Conjuntos
O Eixo Real
A seguir uma representação do eixo real, em que aparecem os números inteiros. Porém, vale notar que entre os
números inteiros aparecem os números racionais e irracionais, construindo-se assim todo o universo dos números
reais em uma ordem crescente.
Intervalos Reais
{ x∊ℝ | a ≤ x ≤ b } ou [a, b]
{ x∊ℝ | a ≤ x a } ou ]a, + [
{ x∊ℝ | xParlamentares de Inquéritos
(CPIs): a do futebol e a do caixa 2. Dos 320
deputados presentes, 190 votaram a favor da
instalação da CPI do futebol; 200 pela instalação da
CPI do caixa 2; 90 votaram a favor da instalação das
duas comissões; e x deputados foram contrários à 
instalação das CPIs.
(UFPB) A Secretaria de Saúde do Estado da
 Paraíba, em estudos recentes, observou que o
número de pessoas acometidas de doenças como
gripe e dengue tem assustado bastante a
 população paraibana. Em pesquisas realizadas
com um universo de 700 pessoas, constatou-se que
10% tiveram gripe e dengue, 30% tiveram apenas
gripe, e 50% tiveram gripe ou dengue. O número
 de pessoas que tiveram apenas dengue é: 
a) 350 
b) 210 
c) 70 
d) 280 
e) 140
(PUC-RS) Em uma escola, numa turma de 20
estudantes, 16 jogam futebol, 12 jogam
 voleibol, e 2 não praticam esporte algum. 
O número de alunos dessa turma que joga
somente futebol é: 
a) 4 
b) 6 
c) 10 
d) 12
(FUVEST) Um caixa automático de banco só trabalha
com notas de 5 e 10 reais. Um usuário fez um saque
de R$ 100,00. Pode-se concluir que entre as notas
retiradas: 
a) o número de notas de R$ 10,00 é par. 
b) o número de notas de R$ 10,00 é ímpar. 
c) o número de notas de R$ 5,00 é par. 
d) o número de notas de R$ 5,00 é ímpar. 
e) o número de notas de R$ 5,00 é par e o
 número de notas de R$ 10,00 é ímpar.
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Aula 30 - Conjuntos
Questão 13
Questão 14
Questão 17
Questão 16
Questão 15
(PUC - RJ) Numa pesquisa de mercado, verificou-se
que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos
produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas
 pessoas não usam o produto B e que 2 dessas 
pessoas não usam o produto A, qual é o
 número de pessoas que utilizam os produtos A e
B?
O texto a seguir é base para as próximas duas
questões
(ENEM) Se compararmos a idade do planeta Terra,
avaliada em 4,5 bilhões de anos, com a de uma
pessoa de 45 anos, então, quando começaram a
florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42
anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas
 últimas quatro horas e, há cerca de uma
 hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos
de um minuto, percebeu o ruído de máquinas e 
de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa
do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta
segundos que se produziu todo o lixo do planeta! 
O texto permite concluir que a agricultura começou
a ser praticada há cerca de
a) 365 anos. 
b) 460 anos. 
c) 900 anos. 
d) 10.000 anos. 
e) 460.000 anos. 
Na teoria do Big Bang, o universo surgiu há cerca de
15 bilhões de anos, a partir da explosão e
 expansão de uma densíssima gota. De acordo
com a escala proposta no texto, essa teoria situaria
o início do universo há cerca de: 
a) 100 anos.
b) 150 anos. 
c) 1.000 anos 
d) 1.500 anos. 
e) 2.000 anos.
(UNIRIO) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de
três revistas "A", "B" e "C", descobriu-se que 81
pessoas leem, pelo menos, uma das revistas; 61
pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas
leem duas das três revistas. Assim sendo, o número
de pessoas mais bem informadas dentre as 81 é: 
a) 3 
b) 5 
c) 12 
d) 29 
e) 37
(UFGGO) A afirmação “Todo jovem que gosta de
matemática adora esportes e festas” pode ser
representada segundo o diagrama:
M = {jovens que gostam de matemática}
E = {jovens que adoram esportes}
F = {jovens que adoram festas}
a)
b)
c)
d)
e)
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Aula 30 - Conjuntos
Questão 18
Questão 19
Questão 21
Questão 20
(UNESP) Um determinado CD (compact disc) contém
apenas três músicas gravadas. Segundo a ficha
desse CD, os tempos de duração das três gravações
são, respectivamente, 16:42 (dezesseis minutos e
quarenta e dois segundos), 13:34 e 21:50. O tempo
total de gravação é: 
a) 51:06. 
b) 51:26.
c) 51:56. 
d) 52:06. 
e) 53:06.
(PUCMG) O diagrama em que está sombreado o
conjunto (A∪C)-(A∪B) é:
a) 
b) 
c)
d)
(UFAL) Na figura abaixo têm-se representados os
conjuntos A, B e C, não disjuntos.
A região sombreada representa o conjunto 
a) C - (A∩B) 
b) (A∩B) - C
c) (A∪B) - C
d) A∪B∪C
e) A∩B∩C
(ENEM 2004) Um fabricante de cosméticos decide
produzir três diferentes catálogos de seus
produtos, visando a públicos distintos. Como alguns
produtos estarão presentes em mais de um
catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve
fazer uma contagem para diminuir os gastos com
originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3
terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele
verifica que 
C1 e C2 terão 10 páginas em comum; 
C1 e C3 terão 6 páginas em comum; 
C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4
também estarão em C1.
Efetuando os cálculos correspondentes, o
fabricante concluiu que, para a montagem dos três
catálogos, necessitará de um total de originais de
impressão igual a:
a) 135. 
b) 126. 
c) 118.
d) 114.
e) 110.
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Aula 30 - Resoluções
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Aula 30 - Resoluções
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Aula 30 - Resoluções
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
O Plano Cartesiano
O plano cartesiano é a união de uma reta real na
vertical (eixo y) e uma na horizontal (eixo x), onde a
origem (Ponto O) é o encontro dessas retas e
também onde inicia a contagem das posições:
Positiva: para direita e para cima;
Negativa: para esquerda e para baixo.
O x
y
Para localizar um ponto no plano cartesiano, basta
fornecer as coordenadas (x, y) do ponto no plano.
Note que cada ponto é único.
Exemplo: P(3, 5)
O x
y
P(3,5)
3 no eixo x (abscissa);
5 no eixo y (ordenada).
Podemos falar que o ponto P tem as seguintes
coordenadas:
A representação P(3,5) é chamada de par
ordenado.
O x
y
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
Igualdade entre pares ordenados
Se dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais,
então: 
a = c e b = d
Exercício:
Se os pares ordenados (5, 6) = (2m+1, 2m+2)
determine o valor de m.
5 = 2m+1 e 6 = 2m+2
4 = 2m 4 = 2m
m = 2 m = 2
O que são funções?
Exemplos:
a) Em um termômetro, a temperatura é dada em
função do comprimento da coluna de mercúrio (ou
de álcool), isto é, cada comprimento c da coluna está
associada uma única temperatura.
b) O preço de uma peça de tecido é dado em função
da metragem desse tecido, isto é, cada metragem
associa-se um único preço.
c) Ao despejar água em uma piscina, o nível da
superfície da água em relação ao fundo da piscina é
dado em função da quantidade de água despejada,
isto é, para cada quantidade de água despejada é
associado um único nível da superfície da água.
É uma relação de dependência entre duas ou
mais coisas.
Exemplo prático:
Em um mercado, cada pacote de arroz custa 12
reais. Podemos montar uma função para o custo
total (C) em reais em função única da quantidade de
pacotes (q) adquiridos: C = 12•q
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Note que para 2 pacotes temos: C = 12•2 = 24
Podemos também descobrir quantos pacotes podem
ser comprados a partir de um valor, por exemplo 240
reais: 240 = 12•q
q = 20
Definição de função com conjuntos
numéricos
Sendo A = {1, 2, 3, 5} e B = {-2, -1, 0, 8, 9}, a
relação R de A em B, que associa um elemento x de
A ao elemento x - 3 de B, pode ser obtida pela
tabela:
Observe que o elemento 5 de A não tem
correspondente em B, pois 5 - 3 = 2 e 2 não
pertence a B.
Outra forma de representar essa relação é pelo
diagrama de flechas a seguir:
O conjunto A é chamado conjunto de partida.
O conjunto B é chamado de conjunto de chegada
(Contra-Domínio).
Um conjunto Domínio em A é formado a partir dos
elementos que possuem correspondente em B.
Um conjunto Imagem em B é formado pelos
elementos que possuem correspondente em A.
Nesse caso: Imagem = {-2, -1, 0}
 Domínio = {1, 2, 3}
Função
Vamos considerar uma relação f de A em B tal que
qualquer elementode A esteja associado, através de
f, a um único elemento de B:
Essa propriedade caracteriza um tipo particular de
relação, ao qual damos o nome de função de A em
B. Assim, definimos:
Sejam A e B conjuntos não vazios. 
Uma relação f de A em B é função se, e somente se,
qualquer elemento de A está associado, através de f,
a um único elemento de B. Adotaremos a notação 
f : A B para indicar que f é uma função de A em
B.
Destacamos que, como uma função f : A B é um
tipo particular de relação, temos: 
• O domínio da função é o próprio conjunto de
partida, isto é, D(f) = A; 
• O contradomínio da função é o conjunto 
 CD(f) = B; 
• O conjunto imagem da função é o conjunto 
 Im(f) = {y ∊ B | (x, y) ∊ f }.
Exemplos:
a) A relação g, abaixo, é uma função de M em N,
pois qualquer elemento de M tem, através de g, um
único correspondente em N.
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
D(g) = M = {1, 2, 3, 4} 
CD(g) = N = {3, 4, 5, 7, 8, 9} 
Im(g) = {3, 4, 5, 7}
b) A relação g, abaixo, é uma função de M em N,
pois qualquer elemento de M tem, através de g, um
único correspondente em N.
D(h) = M = {1, 2, 3, 4} 
CD(h) = N = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Im(h) = {3}
Contraexemplos:
a) A relação s, abaixo, não é função de M em N, pois
existe elemento em M (o elemento 4) que não está
associado, através de s, a algum elemento de N.
b) A relação t, abaixo, não é função de M em N, pois
existe elemento em M (o elemento 1) que está
associado, através de t, a mais de um elemento de N.
Representação algébrica de uma função.
Lembra da relação de preço gasto (C) em função
quantidade de pacotes de arroz (q)?
Uma representação poderia ser: C(q) = 12•q
De uma maneira genérica, podemos indicar por f(x)
uma função que depende de x.
Exemplos:
f(x) = x + 3
g(x) = 2x²
h(x) = 9x³ + 5x²
Domínio de uma função:
Algumas expressões algébricas possuem restrição e
podem afetar o domínio de uma função, por exemplo:
a) Não podemos dividir por zero.
Determinar o domínio da função:
3 + x
f(x) = x - 8
D(f) = ℝ - {8}
b) Raízes de índice par são sempre positivas.
Determinar o domínio da função:
x+3f(x) = D(f) = {x∊ℝ | x > -3}
Raízes de uma função
Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de
variável real, y = f (x), todo número r do domínio de
 f tal que f (r) = 0.
a) Determinar as raízes da função:
f(x) = 6x -12
6x - 12 = 0 x = 2
2 é raiz da função.
https://pt.wiktionary.org/wiki/%E2%84%95
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
b) Determinar as raízes da função:
As raízes de uma função dada seu gráfico ocorre
quando a função toca ou cruza o eixo x:
Raízes = {-6, -3, 0, 3, 6}
Crescente
Constante
Decrescente
x
y
Tipos de função
1) Crescente: Quando aumentarmos o valor em x, o
valor em y aumenta também.
2) Constante: Mesmo mudando o valor de x, o valor
em y continua sempre igual.
3) Decrescente: Quando aumentarmos o valor em x,
o valor em y diminui.
Tipos de função
1) Injetora: Cada elemento do conjunto de chegada
tem uma única correspondência no conjunto de
partida, os elementos recebem uma única flecha.
Mesmo que sobre elementos no conjunto de chegada,
a função pode ser injetora.
É injetora
Não é injetora
2) Sobrejetora: Não sobra elementos no conjunto
de chegada, ou seja, o contradomínio é igual a
imagem. Mesmo que um elemento receba duas
flechas a função pode ser sobrejetora, o importante
é não sobrar elementos.
Não é sobrejetora
É sobrejetora
3) Bijetora: É uma função injetora e sobrejetora ao
mesmo tempo. Não pode sobrar elementos no
conjunto de chegada e também não pode ter
elementos recebendo duas flechas no conjunto de
chegada.
 É bijetora
MM atemática
astigada
19
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 4
Questão 1
PARTE 0 - QUESTÕES DA AULA 31
(UNIFOR 2020) Uma pessoa pegou um táxi para ir ao
trabalho. A distância de casa ao trabalho é de 12 km.
Na ida, ela pagou R$ 29,10, na bandeira 1. Na volta
para casa à noite, ela pegou um táxi novamente e
pagou R$ 33,90, na bandeira 2, pelo mesmo trajeto.
O acréscimo, por quilômetro rodado, da bandeira 1
para a bandeira 2 foi de
a) R$ 0,45
b) R$ 0,40
c) R$ 0,38
d) R$ 0,35
e) R$ 0,30
(FGV 2020) No final do ano 2012, José Carlos
comprou um carro 0km. Devido à depreciação, dois
anos depois da compra, o valor do carro era
R$46.000,00 e, cinco anos após a compra, ele valia
R$40.000,00. Admitindo que o valor do carro
decresça linearmente com o tempo, pode-se afirmar
que o valor do carro 0km era de:
a) R$50 000,00 
b) R$48 000,00
c) R$47 500,00 
d) R$46 500,00 
e) R$46 000,00
Questão 2
Questão 3
(ENEM 2012) O gráfico fornece os valores das ações
da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num
dia em que elas oscilaram acentuadamente em
curtos intervalos de tempo.
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam
o mesmo volume de ações, porém em horários
diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
Com relação ao capital adquirido na compra e
venda das ações, qual investidor fez o melhor
negócio?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(ENEM PPL 2013) Um trabalhador possui um cartão
de crédito que, em determinado mês, apresenta o
saldo devedor a pagar no vencimento do cartão,
mas não contém parcelamentos a acrescentar em
futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é
demitido. Durante o período de desemprego, o
trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e
também não tem como pagar as faturas, nem a
atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a
cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por
conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir
um novo emprego, já completados 6 meses de não
pagamento das faturas, o trabalhador procura
renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução
do saldo devedor.
MM atemática
astigada
20
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 7
Questão 5
Questão 6
Com base no gráfico, podemos constatar que o
saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a
taxa de juros são 
a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês. 
b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês. 
c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês. 
d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês. 
e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês. 
(ENEM 2013) Deseja-se postar cartas não
comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e
uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar
uma carta não comercial pelos Correios:
O valor total gasto, em reais, para postar essas
cartas é de 
a) 8,35. 
b) 12,50. 
c) 14,40. 
d) 15,35. 
e) 18,05.
(ENEM PPL 2014) Uma fundição de alumínio utiliza,
como matériaprima, lingotes de alumínio para a
fabricação de peças injetadas. Os lingotes são
derretidos em um forno e o alumínio, em estado
líquido, é injetado em moldes para se solidificar no
formato desejado. O gráfico indica as curvas de
resfriamento do alumínio fundido no molde para três
diferentes fluidos refrigerantes (tipo I, tipo II e tipo
III), que são utilizados para resfriar o molde, bem
como a curva de resfriamento quando não é utilizado
nenhum tipo de fluido refrigerante. A peça só pode
ser retirada do molde (desmolde) quando atinge a
temperatura de 100 °C. Para atender a uma
encomenda, a fundição não poderá gastar mais do
que 8 segundos para o desmolde da peça após a
sua injeção.
Com a exigência para o desmolde das peças
injetadas, qual(is) fluido(s) refrigerante(s) poderá(ão)
ser utilizado(s) no resfriamento? 
a) Qualquer um dos fluidos do tipo I, II e III. 
b) Somente os fluidos do tipo II e III. 
c) Somente o fluido do tipo III. 
d) Não será necessário utilizar nenhum fluido
refrigerante. 
e) Nenhum dos fluidos refrigerantes indicados
atende às exigências.
(ENEM PPL 2015) O gráfico mostra a variação
percentual do valor do Produto Interno Bruto (PIB)
do Brasil, por trimestre, em relação ao trimestre
anterior:
De acordo com o gráfico, no período considerado, o
trimestre em que o Brasil teve o maior valor do PIB
foi o
a) segundo trimestre de 2009.
b) quarto trimestre de 2009.
c) terceiro trimestre de 2010.
d) quarto trimestre de 2010.
e)primeiro trimestre de 2011.
MM atemática
astigada
21
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 8
Questão 9
(ENEM PPL 2015) Doenças relacionadas ao
saneamento ambiental inadequado (DRSAI) podem
estar associadas ao abastecimento deficiente de
água, tratamento inadequado de esgoto sanitário,
contaminação por resíduos sólidos ou condições
precárias de moradia. O gráfico apresenta o número
de casos de duas DRSAI de uma cidade:
O mês em que se tem a maior diferença entre o
número de casos das doenças de tipo A e B é 
a) janeiro. 
b) abril.
c) julho. 
d) setembro. 
e) novembro.
(ENEM 2019) Nos seis cômodos de uma casa há
sensores de presença posicionados de forma que a
luz de cada cômodo acende assim que uma pessoa
nele adentra, e apaga assim que a pessoa se retira
desse cômodo. Suponha que o acendimento e o
desligamento sejam instantâneos.
O morador dessa casa visitou alguns desses
cômodos, ficando exatamente um minuto em cada
um deles. O gráfico descreve o consumo acumulado
de energia, em watt × minuto, em função do tempo t,
em minuto, das lâmpadas de LED dessa casa,
enquanto a figura apresenta a planta baixa da casa,
na qual os cômodos estão numerados de 1 a 6, com
as potências das respectivas lâmpadas indicadas.
A sequência de deslocamento pelos cômodos,
conforme o consumo de energia apresentado no
gráfico, é
a) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4
b) 1 → 2 → 3 → 1 → 4 → 1 → 4 → 4
c) 1 → 4 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 2 → 3
d) 1 → 2 → 3 → 5 → 4 → 1 → 6 → 1 → 4
e) 1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1 → 6 → 1 → 4
MM atemática
astigada
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 4
Questão 5
Questão 2
Questão 1
PARTE 1 - EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Quais das seguintes correspondências, f, g, h ou t,
representam funções?
Um granjeiro utilizou 200 metros lineares de tela
para cercar um terreno retangular.
a) Obter a lei y = f (x) que expressa a área y, em
metro quadrado, do terreno em função da medida x,
em metro, de um dos lados desse terreno.
b) No contexto do problema, qual é o domínio da
função f obtida no item a?
Questão 3
Qual dos gráficos representa uma função de 
 A = [2, 6] em B = [1, 5]?
O Ministério da Economia de certo país divulgou o
balanço da inflação em determinado ano,
apresentando o seguinte gráfico, em que y
representa a taxa percentual de inflação no mês x.
PARTE 2 - EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
a) Qual foi a taxa percentual de inflação no mês 4?
b) Qual foi a menor taxa percentual de inflação
nesse período?
c) De quantos por cento aumentou a inflação do
mês 1 para o mês 3?
d) A taxa de inflação é função do tempo? Por quê?
Um restaurante cobra de seus clientes um preço
fixo por pessoa: R$ 15,00 no almoço e R$ 12,00 no
jantar. Certo dia, dos 120 clientes que
compareceram a esse restaurante, x foram
atendidos no jantar. Se foram gastos R$ 6,00 no
preparo de cada refeição, a expressão que define o
lucro L, em reais, obtido nesse dia, em função de x,
é:
a) L(x) = 120x + 720
b) L(x) = 1.440x + 720
c) L(x) = -6x + 1.440
d) L(x) = -4x + 720
e) L(x) = -3x + 1.080
Questão 6
No plano cartesiano abaixo, está representado o
gráfico de uma função f. Quais são as raízes de f ?
a) Qual era o número de bactérias no início da
contagem, isto é, no instante zero?
b) Em quanto aumentou o número de bactérias da
quinta para a sexta hora?
c) Em quanto aumentou o número de bactérias da
terceira para a quinta hora?
d) O número de bactérias é função do tempo? Por
quê?
e) Estime o número de bactérias no instante 
 5h 12 min após o início da contagem.
MM atemática
astigada
23
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 9
Questão 7
Um biólogo, ao estudar uma cultura de bactérias,
contou-as num determinado instante, ao qual
chamou de instante zero. No final de cada uma das
seis horas seguintes, fez nova contagem das
bactérias. Os resultados dessa experiência estão
descritos no gráfico abaixo.
PARTE 3 - EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
(ENEM) Um estudo sobre o problema do
desemprego na Grande São Paulo, no período 1985-
1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apresentou o
seguinte gráfico sobre taxa de desemprego.
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no
período considerado,
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a
menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi
decrescente.
d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego
esteve entre 8% e 16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período
compreendido entre 1988 e 1991.
(ENEM 2017) No primeiro ano do ensino médio de
uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha
na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13
meninos na turma, e para a quadrilha foram
formados 12 pares distintos, com postos por uma
menina e um menino. Considere que as meninas
sejam os elementos que compõem o conjunto A e
os meninos, o conjunto B, de modo que os pares
formados representem uma função f de A em B.
Com base nessas informações, a classificação do
tipo de função que está presente nessa relação é
a) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao
conjunto A está associado um menino diferente
pertencente ao conjunto B.
b) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma
menina pertencente ao conjunto A e um menino
pertencente ao conjunto B, sobrando um menino
sem formar par.
c) f é injetora, pois duas meninas quaisquer
pertencentes ao conjunto A formam par com um
mesmo menino pertencente ao conjunto B, para
envolver a totalidade de alunos da turma.
d) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer
pertencentes ao conjunto B formam par com uma
mesma menina pertencente ao conjunto A.
e) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do
conjunto A forme par com dois meninos
pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino
ficará sem par.
Questão 8
MM atemática
astigada
24
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 11
Questão 10
(ENEM) Em uma prova de 100 m rasos, o
desempenho típico de um corredor padrão é
representado pelo gráfico a seguir:
Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a
velocidade do corredor é aproximadamente
constante?
a) Entre 0 e 1 segundo.
b) Entre 1 e 5 segundos.
c) Entre 5 e 8 segundos.
d) Entre 8 e 11 segundos.
e) Entre 12 e 15 segundos.
Em 1975, a população tinha um tamanho
aproximadamente igual ao de:
a) 1960
b) 1963
c) 1967
d) 1970
e) 1980
(ENEM) O número de indivíduos de certa população é
representado pelo gráfico abaixo
Questão 12
(ENEM) Um dos aspectos utilizados para avaliar a
posição ocupada pela mulher na sociedade é a sua
participação no mercado de trabalho. O gráfico
mostra a evolução da presença de homens e
mulheres no mercado de trabalho, entre os anos de
1940 e 2000.
Da leitura do gráfico, pode-se afirmar que a
participação percentual do trabalho feminino no
Brasil
a) teve valor máximo em 1950, o que não ocorreu
com a participação masculina.
b) apresentou, tanto quanto a masculina, menor
crescimento nas três últimas décadas.
c) apresentou o mesmo crescimento que a
participação masculina, no período de 1960 a 1980.
d) teve valor mínimo em 1940, enquanto que a
participação masculina teve o menor valor em 1950.
e) apresentou-se crescente desde 1950 e, se
mantida a tendência, alcançará, a curto prazo, a
participação masculina.
MM atemática
astigada
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Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 15
Questão 14
Questão 13
(ENEM 2012) O dono de uma farmácia resolveu
colocar à vista do público o gráfico mostrado a
seguir, que apresenta a evolução do total de vendas
(em Reais) de certo medicamento ao longo do ano
de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que
ocorreram, respectivamente, a maior e a menor
venda absolutas em 2011 foram:
a) março e abril.
b) março e agosto.
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro.
e) junho e agosto.
(ENEM 2012) A figura a seguir apresenta dois
gráficos com informações sobre as reclamações
diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de
Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em
uma dada semana. O gráfico de linha tracejada
informa o número de reclamações recebidas no dia,
o de linha contínuaé o número de reclamações
resolvidas no dia. As reclamações podem ser
resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um
dia para serem resolvidas.
O gerente de atendimento deseja identificar os dias
da semana em que o nível de eficiência pode ser
considerado muito bom, ou seja, os dias em que o
número de reclamações resolvidas excede o número
de reclamações recebidas.
Disponível em: http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado
no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi
muito bom na
a) segunda e na terça-feira.
b) terça e na quarta-feira.
c) terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo.
e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
(ENEM 2012) O gráfico mostra a variação da
extensão média de gelo marítimo, em milhões de
quilômetros quadrados, comparando dados dos
anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados
correspondem aos meses de junho a setembro. O
Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o
verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua
como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo
quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de
oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar
e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando
derretimento crescente do gelo.
Com base no gráfico e nas informações do texto, é
possível inferir que houve maior aquecimento
global em
a) 1995.
b) 1998.
c) 2000.
d) 2005.
e) 2007.
MM atemática
astigada
26
Aula 31 - Conceitos Inicias e Funções
Questão 18
Questão 17
Questão 16
(ENEM PPL 2018) Para garantir segurança ao dirigir,
alguns motoristas instalam dispositivos em seus
carros que alertam quando uma certa velocidade
máxima (v ), pré-programada pelo usuário de 
 acordo com a velocidade máxima da via de tráfego,
é ultrapassada. O gráfico exibido pelo dispositivo no
painel do carro após o final de uma viagem fornece a
velocidade (km/h) do carro em função do tempo (h).
De acordo com o gráfico, quantas vezes o
dispositivo alertou o motorista no percurso da
viagem? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
máx
Em qual(is) medição(ões) a liberação de GH na
corrente sanguínea em uma sessão de intensidade
máxima foi maior que a liberação de GH ocorrida
nas demais intensidades?
a) Apenas na medição feita logo após a sessão de
treinamento.
b) Apenas na medição feita 1 hora após a sessão de
treinamento.
c) Apenas na medição feita 2 horas após a sessão
de treinamento.
d) Nas medições feitas logo após e 1 hora após a
sessão de treinamento.
e) Nas medições feitas logo após, 1 hora após e 2
horas após a sessão de treinamento.
(ENEM 2017) GH é a sigla que denomina o hormônio
do crescimento (do inglês growth hormone),
indispensável para retardar o processo de
envelhecimento. À medida que envelhecemos, a
liberação desse hormônio na corrente sanguínea vai
diminuindo. Estudos têm demonstrado, porém, que
alguns métodos de treinamento aumentam a
produção de GH. Em uma pesquisa, dez homens
foram submetidos a sessões de 30 minutos de
corrida, em uma esteira, em diferentes intensidades:
muito leve, leve, moderada e máxima. As dosagens
de GH, medidas por coletas de sangue feitas antes e
logo após as sessões, e também 1 hora e 2 horas
após o término, são fornecidas no gráfico.
(ENEM 2017) Uma empresa de entregas presta
serviços para outras empresas que fabricam e
vendem produtos. Os fabricantes dos produtos
podem contratar um entre dois planos oferecidos
pela empresa que faz as entregas. No plano A,
cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de 
 R$ 500,00, além de uma tarifa de R$ 4,00 por cada
quilograma enviado (para qualquer destino dentro
da área de cobertura). No plano B, cobra-se uma
taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00, porém a
tarifa por cada quilograma enviado sobe para 
 R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o
plano A por um período de 6 meses. Contudo, ao
perceber que ele precisará enviar apenas 650
quilogramas de mercadoria durante todo o período,
ele resolveu contratar o plano B. 
Qual alternativa avalia corretamente a decisão final
do fabricante de contratar o plano B?
a) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o
plano A custaria.
b) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 1500,00 a menos do que o
plano A custaria.
c) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 1000,00 a mais do que o plano
A custaria.
d) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 1300,00 a mais do que o plano
A custaria.
e) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano
B custará ao todo R$ 6000,00 a mais do que o
plano A custaria.
MM atemática
astigada
27
Aula 31 - Resoluções
a) Sabemos que o perímetro do terreno é 200 m.
Indicando por x a medida, em metro, de um lado do
terreno, as outras dimensões, em metro, serão:
x, (100 - x) e (100 - x).
Assim, a área y desse terreno é dada por: 
a) f é função de A em B, pois todo elemento de A
está associado, através de f, a um único elemento de
B.
b) h é função de C em D, pois todo elemento de C
está associado, através de f, a um único elemento de
D.
c) g não é função de M em N, pois existe elemento
em M (o elemento 8) que não está associado,
através de g, a algum elemento de N.
d) t não é função de P em Q , pois existe elemento
em P (o elemento 4) associado, através de t, a mais
de um elemento de Q.
x
x - 100
x - 100
x
f (x) = (100 - x) • x, ou seja, f(x) = -x² + 100x
b) Fora de qualquer contexto, o domínio da função
f(x) = - x² - 100x seria o conjunto ℝ; porém, no
contexto do problema, os valores de x estão restritos
às possíveis medidas de um lado do terreno. Como o
perímetro do terreno é 200 m, temos: 0em 2000.
b) ERRADA. A participação percentual do trabalho
feminino no Brasil teve o maior crescimento
percentual nas últimas 3 décadas. O gráfico
apresenta maior inclinação no período de 1970 a
2000.
c) ERRADA. A participação percentual do trabalho
feminino no Brasil cresceu no período de 1960 a
1980 enquanto que a masculina decresceu.
d) ERRADA. A participação percentual do trabalho
feminino no Brasil teve valor máximo em 1950 e não
em 1940.
e) CORRETA. A participação percentual do trabalho
feminino no Brasil foi crescente desde 1950,
enquanto a masculina foi decrescente.
Questão 13 - Alternativa E
Olhando no gráfico, o maior pico foi em junho,
enquanto o menor valor aconteceu em agosto.
Questão 14 - Alternativa B
Analisando o enunciado do problema e o gráfico,
observamos que a linha tracejada representa as
reclamações recebidas e a linha contínua representa
as reclamações resolvidas. Se nós desejamos
identificar os dias em que o número de reclamações
resolvidas excedeu as reclamações recebidas,
basta procurar no gráfico os dias em que a linha
contínua atingiu maiores picos em relação à linha
tracejada. No gráfico, podemos constatar que tal
fato ocorreu apenas na terça e na quarta. Portanto,
são esses os dias em que o nível de eficiência foi
muito bom. Sendo assim, a alternativa correta é a
letra b.
MM atemática
astigada
29
Aula 31 - Resoluções
Questão 15 - Alternativa E
Quando o gelo marítimo tiver sua menor extensão,
maior será o aquecimento, pois o gelo atua como
sistema de resfriamento da Terra. De acordo com o
gráfico, a menor extensão será em 2007.
O alerta ocorre apenas quando passa da velocidade
máxima, o que ocorre no gráfico duas vezes.
Cuidado: Tem um ponto em que toca a velocidade
máxima, mas não ultrapassa e portanto não toca o
alarme.
Questão 16 - Alternativa B
Antes: Igual.
Logo após: Foi maior.
1h após: Foi maior.
2h após: Fica igual novamente.
Questão 17 - Alternativa D
O plano A custará: 6 . 500 + 4 . 650 = 5600
reais, enquanto o plano B custará: 
 6 . 200 + 6 . 650 = 5100 reais.
A decisão foi boa para o fabricante, o plano B
custará 5600 – 5100 = 500 a menos que A.
Questão 18 - Alternativa A
MM atemática
astigada
30
Aula 32 - Funções de 1º e 2º grau
É toda função do tipo:
f(x) = ax + b, com a ≠ 0
Gráfico da função afim:
f(x) = 2x - 2
x y
0 -2
1 0
2 2
3 4
O gráfico de toda função afim é uma reta
Intersecção com o eixo Ox
1 2 3
-2
2
4
x
y
Exemplo:
f(x) = x - 5
Intersecta o x quando y = 0, (f(x) = 0).
0 = x - 5 x = 5
Intersecção com o eixo Oy
Exemplo:
f(x) = 3x - 18
Intersecta o y quando x = 0.
f(0) = 3•0 - 18 y = 18
O a é chamado de coeficiente angular.
O b é chamado de coeficiente linear.
Note que se a = 0, temos f(x) = b, que é uma função
constante.
Importante: Precisamos apenas de 2 pontos para
determinar o gráfico de uma reta. É muito útil pegar
os pontos de cruzamento com os eixos para construir
os gráficos, veremos isso a seguir.
Tipos de gráfico
f(x) = ax + b
crescente, se a>0 decrescente, se a0 decrescente a0 o
vértice representa
um ponto de mínimo.
Quando a32 - P2
(ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi gerada
pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z,
conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano
cartesiano da figura, é dada pela lei:
onde C é a medida da altura do líquido contido na
taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na
figura, representa o vértice da parábola, localizado
sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do
líquido contido na taça, em centímetros, é 
a) 1.
b) 2. 
c) 4.
d) 5.
e) 6.
Questão 2
(ENEM 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma
tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a
tampa de concreto têm contornos de um arco de
parábola e mesmas dimensões. Para determinar o
custo da obra, um engenheiro deve calcular a área
sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo
horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da
parábola como eixo vertical, obteve a seguinte
equação para a parábola: y = 9 - x², sendo x e y
medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é
igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões
são, respectivamente, iguais à base e à altura da
entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto,
em metro quadrado?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Questão 1
Para que fique mais adequada essa representação,
devemos ter
a) a > 0 e b² - 4ac > 0 
b) a >0 e b² - 4ac 0
e) agráfico mostra a evolução da população
brasileira desde 1950 até 2010, e a extrapolação
(previsão) até o ano 2050, representada pela linha
tracejada, foi feita com base nos censos
demográficos realizados até 2010.
MM atemática
astigada
38
Questão 12
Aula 32 - Funções de 1º e 2º grau
Questão 13
Questão 10
Pelo gráfico apresentado, o intervalo em que se
observa aumento da população é
a) 1950 a 2010.
b) 1950 a 2040.
c) 1950 a 2050.
d) 2010 a 2040.
e) 2040 a 2050.
(ENEM 2019) Uma empresa tem diversos
funcionários. Um deles é o gerente, que recebe 
 R$1.000,00 por semana. Os outros funcionários são
diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana,
recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. 
Chamando de X a quantidade total de funcionários
da empresa, a quantia Y, em reais, que esta empresa
gasta semanalmente para pagar seus funcionários é
expressa por:
a) Y = 80X + 920.
b) Y = 80X + 1 000.
c) Y = 80X + 1 080.
d) Y = 160X + 840.
e) Y = 160X + 1 000.
Questão 11
(ENEM 2020) O gráfico apresenta a evolução do
crescimento de uma determinada árvore, plantada a
partir de uma muda com 1 metro de altura. Nessa
evolução, a altura da árvore, em metro, é descrita
em função do tempo, medido em ano.
No período de 1 ano, contado a partir do instante em
que a árvore tinha dois anos e meio de plantio, a
variação da altura dessa árvore, em metro, teve valor
compreendido entre
a) 0,55 e 0,65.
b) 0,65 e 0,75.
c) 1,05 e 1,15.
d) 1,25 e 1,35.
e) 1,45 e 1,55.
(ENEM 2020) Uma empresa de chocolates
consultou o gerente de produção e verificou que
existem cinco tipos diferentes de barras de
chocolate que podem ser produzidas, com os
seguintes preços no mercado:
• Barra I: R$ 2,00;
• Barra II: R$ 3,50;
• Barra III: R$ 4,00;
• Barra IV: R$ 7,00;
• Barra V: R$ 8,00.
Analisando as tendências do mercado, que incluem
a quantidade vendida e a procura pelos
consumidores, o gerente de vendas da empresa
verificou que o lucro L com a venda de barras de
chocolate é expresso pela função L(x) = –x² + 14x –
45, em que x representa o preço da barra de
chocolate. 
A empresa decide investir na fabricação da barra de
chocolate cujo preço praticado no mercado renderá
o maior lucro. Nessas condições, a empresa deverá
investir na produção da barra
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
(ENEM 2020) Por muitos anos, o Brasil tem figurado
no cenário mundial entre os maiores produtores e
exportadores de soja. Entre os anos de 2010 e 2014,
houve uma forte tendência de aumento da
produtividade, porém, um aspecto dificultou esse
avanço: o alto custo do imposto ao produtor
associado ao baixo preço de venda do produto. Em
média, um produtor gastava R$ 1200,00 por hectare
plantado, e vendia por R$ 50,00 cada saca de 60
kg. Ciente desses valores, um produtor pode, em
certo ano, determinar uma relação do lucro L que
obteve em função das sacas de 60 kg vendidas.
Suponha que ele plantou 10 hectares de soja em
sua propriedade, na qual colheu x sacas de 60 kg e
todas as sacas foram vendidas.
Disponível em: www.cnpso.embrapa.br. Acesso em: 27 fev. 2012 (adaptado).
Qual é a expressão que determinou o lucro L em
função de x obtido por esse produtor nesse ano?
a) L(x) = 50x – 1 200
b) L(x) = 50x – 12 000
c) L(x) = 50x + 12 000
d) L(x) = 500x – 1 200
e) L(x) = 1200x – 500
MM atemática
astigada
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Questão 16
Aula 32 - Funções de 1º e 2º grau
Questão 14
Questão 15
(ENEM 2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou
o relatório de gastos públicos realizados pelo
município. O documento mostra que foram gastos 
 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior
gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e
que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de
dezembro (mês 12). A curva que modela esses
gastos é a parábola y = T(x), com x sendo o número
correspondente ao mês e T(x), em milhar de real. A
expressão da função cujo gráfico é o da parábola
descrita é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
(ENEM 2020) A exposição a barulhos excessivos,
como os que percebemos em geral em trânsitos
intensos, casas noturnas e espetáculos musicais,
podem provocar insônia, estresse, infarto, perda de
audição, entre outras enfermidades. De acordo com
a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer
som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de
intensidade do som) já pode ser considerado nocivo
para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da
medição do ruído produzido, durante um dia, em um
canteiro de obras.
Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve
acima de 55 decibéis?
a) 5
b) 8
c) 10
d) 11
e) 13
(ENEM 2020) Um administrador resolve estudar o
lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da
receita e do custo de produção de seus itens, em
real, em função da quantidade de itens produzidos. 
O lucro é determinado pela diferença: 
 Receita – Custo. O gráfico que representa o lucro
dessa empresa, em função da quantidade de itens
produzidos, é:
a) d)
b) e)
c) 
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40
Aula 32 - Funções de 1º e 2º grau
(ENEM 2020) Uma pessoa precisa comprar 15 sacos
de cimento para uma reforma em sua casa. Faz
pesquisa de preço em cinco depósitos que vendem
o cimento de sua preferência e cobram frete para
entrega do material, conforme a distância do
depósito à sua casa. As informações sobre preço do
cimento, valor do frete e distância do depósito até a
casa dessa pessoa estão apresentadas no quadro.
A pessoa escolherá um desses depósitos para
realizar sua compra, considerando os preços do
cimento e do frete oferecidos em cada opção. Se a
pessoa decidir pela opção mais econômica, o
depósito escolhido para a realização dessa compra
será o:
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
Questão 17
Questão 18
(ENEM 2020) O consumo de espumantes no Brasil
tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas
do seu processo de produção consiste no
envasamento da bebida em garrafas semelhantes às
da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no
interior da garrafa é constante e cessa quando
atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a
variação da altura do líquido em função do tempo, na
garrafa indicada na imagem?
a) 
b) 
c)
d)
e)
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Aula 32 - Resoluções
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