Aula 18 - Estatistica - Aula 05

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Pacote de Teoria e Exercícios para Analista do BACEN – Área 2 
Estatística – Prof. Alexandre Lima 
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Estatística 
Aula 05 
Amostragem 
 
1 Amostragem ............................................................................................................................ 2 
1.1 Técnicas de Amostragem ........................................................................................... 2 
1.1.1 Amostragem Aleatória Simples ....................................................................................... 3 
1.1.2 Amostragem Estratificada ................................................................................................ 5 
1.1.3 Amostragem Sistemática.................................................................................................. 5 
1.1.4 Amostragem por Conglomerados .................................................................................... 5 
1.1.5 Amostragem por Voluntários ........................................................................................... 5 
1.2 Estatísticas e Estimativas ........................................................................................... 7 
1.3 Teorema Central do Limite ........................................................................................ 8 
1.4 Distribuições Amostrais ............................................................................................ 13 
1.4.1 Distribuição Amostral da Média ................................................................................... 13 
1.4.2 Distribuição Amostral de uma Proporção ..................................................................... 18 
1.4.3 Graus de Liberdade de uma Estatística ......................................................................... 18 
1.4.4 Distribuição Amostral de S
2
 .......................................................................................... 19 
1.4.5 Distribuição t de Student ............................................................................................... 22 
1.4.6 Distribuição F de Snedecor ........................................................................................... 23 
2 Resumo 26 
3 Exercícios de Fixação ......................................................................................................... 29 
4. Gabarito 33 
5. Resolução dos Exercícios de Fixação ........................................................................... 34 
APÊNDICE 46 
 
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1 Amostragem 
 
A inferência estatística consiste nos métodos usados para tomar 
decisões ou tirar conclusões acerca de uma população. Esses métodos 
utilizam a informação contida em uma amostra da população. 
 
A inferência estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: estimação 
de parâmetros e testes de hipóteses. Como exemplo de um problema de 
estimação de parâmetros, suponha que um engenheiro naval esteja analisando 
o limite de resistência (LR) – é uma das propriedades mecânicas do aço – de 
um determinado tipo de aço usado na construção de submarinos. Na prática, 
as medições dos parâmetros LR de chapas de aço distintas não são 
exatamente iguais, e isto ocorre porque podem existir pequenas diferenças 
entre os lotes de matéria-prima utilizados no processo de fabricação, erros de 
medida, etc. Admita que o engenheiro esteja interessado na estimação do LR 
médio das chapas de aço. Para tal, usará dados de uma amostra que lhe 
permitam calcular um número que seja uma estimativa razoável (de acordo 
com algum critério estatístico) da verdadeira média da população. Veremos em 
aula posterior que é possível estabelecer a precisão da estimativa. 
 
Considere agora a situação em que duas alíquotas diferentes, a1 e a2, possam 
ser usadas no cálculo de um determinado tributo. O governo conjectura que a1 
resulte em uma arrecadação maior que aquela que pode ser obtida com a2. O 
teste estatístico de hipóteses serve para resolver problemas desta natureza. 
Nesse caso, a hipótese seria que a arrecadação média usando a alíquota a1 é 
maior que a arrecadação média usando a alíquota a2. Aqui o problema não é 
estimar a arrecadação média; em vez disso, o foco está na tirada de 
conclusões acerca de uma hipótese estabelecida. 
 
Esta aula é, de fato, uma “transição” entre os tópicos Estatística 
Descritiva/Teoria de Probabilidades (já vistos nas aulas anteriores) e a 
Inferência Estatística. 
 
1.1 Técnicas de Amostragem 
 
Uma população consiste na totalidade das observações em que estamos 
interessados. 
 
Uma amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de 
uma população. 
 
Em problemas de inferência estatística, os conjuntos de dados serão as 
amostras retiradas das populações sob investigação. É preciso assegurar que 
a amostra seja representativa da população. Isto quer dizer que, a não ser 
por pequenas discrepâncias inerentes ao acaso, que sempre acontecem em 
maior ou menor grau no processo de amostragem, a amostra deve ter as 
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mesmas características básicas da população, no que diz respeito à(s) 
variável(is) de interesse. 
 
Sendo assim, é importante saber quando temos uma amostra representativa 
ou não. Se ela não for representativa, o trabalho do estatístico ficará 
comprometido e os resultados serão provavelmente incorretos. 
 
Há dois tipos de amostragem: a probabilística e a não probabilística. A 
amostragem será probabilística se todos os elementos da população 
tiverem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à 
amostra. Caso contrário, a amostragem será não probabilística. Segundo essa 
definição, a amostragem probabilística implica um sorteio com regras bem 
determinadas. 
 
As técnicas da inferência estatística pressupõem que as amostras 
utilizadas sejam probabilísticas, o que muitas vezes não é possível. 
Entretanto, o bom senso indicará quando o processo de amostragem, mesmo 
não sendo probabilístico, pode ser, para efeitos práticos, considerado como tal. 
 
A utilização de uma amostragem probabilística assegura que a 
amostra seja representativa, pois o acaso será o único responsável por 
eventuais diferenças entre população e amostra, o que é levado em conta 
pelos métodos da inferência estatística. 
 
Uma amostra não representativa é uma amostra viciada e o vício inerente aos 
dados dessa amostra é o vício de amostragem. A sua utilização pela 
inferência estatística levará a resultados que não correspondem à realidade. 
Pode-se evitar que isso ocorra por meio de uma coleta adequada dos 
elementos que constituirão a amostra. 
 
Serão explicadas na sequência algumas técnicas de amostragem probabilística 
importantes na prática e que poderão ser cobradas na sua prova: amostragem 
aleatória simples, amostragem sistemática, amostragem por conglomerados e 
amostragem estratificada. 
 
1.1.1 Amostragem Aleatória Simples 
 
A amostragem mais usada é a amostragem aleatória simples também 
chamada de casual simples, simples ao acaso, casual, simples, 
elementar, randômica, etc., em que selecionamos ao acaso, com ou 
sem reposição, os itens da população que farão parte da amostra. 
 
A amostragem aleatória é equivalente a um sorteio lotérico. Nela, 
todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer 
à amostra, e todas as possíveis amostras têm também igual 
probabilidade de ocorrer. 
 
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Sendo N o número de elementos da população e n o número de elementos da 
amostra, cada elemento da população tem probabilidade n/N (fração de 
amostragem) de pertencer à amostra. Por outro lado, existem nNC , 
(combinação de N elementos tomados n a n) possíveis amostras, todas 
igualmente prováveis. 
 
A seleção de uma amostra é um experimento aleatório e cada observação na 
amostra é o valor observado de uma variável aleatória. 
 
Seja X a variável aleatória que representa o resultado de uma seleção de uma 
observação proveniente de uma população. Faça f(x) denotar a função 
densidade de probabilidade de X. Admita que cada observação na amostra seja 
obtida independentemente, sob condições inalteradas. Ou seja, as observações 
para a amostra são obtidas observando-se X independentemente, sob 
condições inalteradas, isto é, n vezes. Faça Xi denotar a variável aleatória que 
representa a i-ésima observação da amostra. Então X1, X2, ..., Xn é uma 
amostra aleatória e os valores numéricos obtidos (observações) são denotados 
por x1, x2, ..., xn. As variáveis aleatórias em uma amostra aleatória são 
independentes, com a mesma distribuição de probabilidades f(x), tendo em 
vista as condições idênticas sob as quais cada observação é obtida. A função 
densidade conjunta da amostra aleatória é )x(f)...x(f).x(f)x,...,x,x(f n21n21 = . 
 
As variáveis aleatórias )X,...,X,X( n21 são uma amostra aleatória de tamanho n, 
se (i) os Xi´s forem variáveis aleatórias independentes e (ii) cada Xi tiver a 
mesma distribuição de probabilidade. 
 
O principal objetivo de tomar uma amostra aleatória é obter informação sobre 
parâmetros desconhecidos de uma população. Considere, por exemplo, que 
desejamos ter uma idéia da proporção de pessoas no Brasil que preferem uma 
determinada marca de água mineral (suponha que a população seja composta 
por pessoas que tomam água mineral). Seja p o valor desconhecido dessa 
proporção. Como é impraticável questionar cada indivíduo da população para 
se determinar o verdadeiro valor de p, optamos por fazer uma inferência em 
relação à verdadeira proporção p. Neste caso, selecionamos uma amostra 
aleatória (de um tamanho apropriado) e usamos a proporção observada pˆ de 
pessoas nesta amostra que tenham escolhido a marca de água mineral em 
questão. 
 
A proporção da amostra, pˆ , é calculada dividindo o número de indivíduos na 
amostra que preferem a marca de água mineral pelo tamanho total, n, da 
amostra. Deste modo, pˆ é uma função dos valores observados na amostra 
aleatória. Como podemos obter várias amostras diferentes a partir de uma 
população, tem-se que o valor de pˆ variará de amostra para amostra. Conclui-
se que pˆ é uma variável aleatória. Tal variável aleatória é denominada 
estatística ou estimador. 
 
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1.1.2 Amostragem Estratificada 
 
A amostragem estratificada é usada quando a população divide-se em 
sub-populações (estratos) razoavelmente homogêneos. A amostragem 
estratificada consiste em se especificar quantos itens da amostra 
serão retirados de cada estrato. A seleção em cada estrato deve ser 
aleatória. 
 
Por exemplo, considere que a população de uma universidade tenha a seguinte 
composição: 10% de professores, 15% de funcionários e 75% de alunos. 
Então uma amostra estratificada proporcional teria 10% de professores, 15% 
de funcionários e 75% de alunos. 
 
1.1.3 Amostragem Sistemática 
 
Os elementos da população apresentam-se ordenados e são retirados 
periodicamente (de cada k elementos, um é escolhido). 
 
1.1.4 Amostragem por Conglomerados 
 
A amostragem por conglomerados é usada quando a população pode 
ser subdividida em subpopulações (conglomerados) heterogêneos 
representativos da população. A amostragem é feita sobre os 
conglomerados e não mais sobre os indivíduos da população. Ou seja, 
a amostragem é realizada em duas etapas: 1) seleção aleatória de 
conglomerados e 2) seleção aleatória dos elementos. 
 
1.1.5 Amostragem por Voluntários 
 
Ocorre, por exemplo, no caso da aplicação experimental de uma nova 
droga em pacientes, quando a ética obriga que haja concordância dos 
escolhidos. 
 
Neste curso, enfocaremos a amostragem aleatória, porque, salvo menção 
em contrário, as técnicas estatísticas que veremos nas aulas 
subseqüentes pressupõem a utilização de uma amostragem aleatória 
ou algum processo que lhe seja equivalente. 
 
Exemplo (AFPS/2002/ESAF) Assinale a opção correta em referência ao 
significado do termo amostragem aleatória simples. 
 
A) Refere-se a um método de classificação da população. 
B) Refere-se à representatividade da amostra. 
C) É um método de escolha de amostras. 
D) Refere-se a amostras sistemáticas de populações infinitas. 
E) Refere-se à amostragem por quotas. 
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Resolução 
 
Análise das alternativas: 
 
A) A amostragem aleatória simples (AAS) não é um método de classificação da 
população. A AAS é um método de amostragem probabilística ⇒ FALSA. 
B) A utilização de uma amostragem probabilística é a melhor estratégia para 
se garantir a representatividade da amostra, pois o acaso será o único 
responsável por eventuais discrepâncias entre população e amostra, o que é 
levado em conta pelos métodos de análise da Inferência Estatística. Não 
obstante o fato da AAS ser uma técnica de amostragem probabilística, o seu 
significado está diretamente associado à sua característica randômica, sendo 
por isso equivalente a um sorteio lotérico ⇒ FALSA. 
C) A AAS é um método de amostragem ⇒ VERDADEIRA. 
D) A amostragem sistemática é uma técnica probabilística de amostragem 
diferente da AAS. Por exemplo, em uma linha de produção, podemos, a cada 
cem itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção 
diária. Assim, na amostragem sistemática, os elementos da população se 
apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita 
periodicamente ⇒ FALSA. 
E) Esta opção é evidentemente absurda. Sem maiores comentários ⇒ FALSA. 
 
GABARITO: C 
 
Exemplo (ICMS-RJ/2011/FGV) A respeito das técnicas de amostragem 
probabilística, NÃO é correto afirmar que 
 
A) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes 
grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados. 
B) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em 
subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-
se obter uma amostra aleatória em cada grupo. 
C) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, 
sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem 
selecionados. 
D) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a 
estratificar aleatoriamente os grupos selecionados. 
E) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam 
ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. 
 
Resolução 
 
Análise das alternativas 
 
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A) na amostragem por conglomerado a população é dividida em diferentes 
grupos, extraindo-se uma amostra apenas dos conglomerados selecionados ⇒ 
correta (vide comentários acima). 
B) na amostragem estratificada, se a população pode ser dividida em 
subgrupos que consistem em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória em cada grupo ⇒ correta (vide comentários 
acima). 
C) na amostragem aleatória simples se sorteia um elemento da população, 
sendo que todos os elementos têm a mesma probabilidade de serem 
selecionados ⇒ correta (vide comentários acima). 
D) na amostragem por voluntários a população é selecionada de forma a 
estratificar aleatoriamente os grupos selecionados ⇒⇒⇒ incorreta, pois não há 
estratificação aleatória dos grupos selecionados. Na amostragem por 
voluntários deve haver a concordância dos escolhidos. 
E) na amostragem sistemática os elementos da população se apresentam 
ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente ⇒ 
correta (vide comentários acima). 
 
GABARITO: D 
 
1.2 Estatísticas e Estimativas 
 
Uma estatística é qualquer função das observações de uma amostra. 
 
Nós já trabalhamos com estatísticas neste curso. Nas aulas anteriores, 
estudamos, por exemplo, a média X e a variância S2 de um conjunto de dados. 
A partir desta aula, usaremos as notações X e x para o estimador e para a 
estimativa da média de uma população, respectivamente. De forma análoga, 
2S e 2s denotam, respectivamente, o estimador e a estimativa da variância de 
uma população. 
 
Obtemos estimativas dos parâmetros de uma população, tais como média e 
variância, por meio de estatísticas. Em problemas de inferência, é conveniente 
ter um símbolo para denotar o parâmetro de interesse. Usaremos a letra grega 
θ (teta) para representar o parâmetro. O objetivo da estimação é chegar a 
uma estimativa de θ com base nos dados da amostra. Um valor numérico de 
uma estatística amostral será usado como a estimativa. 
 
Em geral, se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidades 
f(x), caracterizada por um parâmetro desconhecido θ, e se n21 X,...,X,X for uma 
amostra aleatória de X, então a estatística 
 
(1) )X,...,X,X(gˆ n21=Θ 
 
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é denominada estimador de θ. Note que Θˆ é uma variável aleatória, porque é 
uma função de variáveis aleatórias. Após a amostra ter sido selecionada, Θˆ 
assume um valor numérico particular Eˆ , chamado de estimativa de θ. 
 
Uma estimativa pontual de um parâmetro θ da população é um único valor 
numérico Eˆ de uma estatística Θˆ . 
 
Exemplo. Seja uma variável aleatória normal X com média desconhecida µ. A 
média da amostra é um estimador da média desconhecida µ da 
população. Isto é, Xˆ =µ . Depois da amostra ter sido selecionada, o valor 
numérico x é a estimativa de µ. Assim, se 231 =x , 312 =x , 293 =x e 264 =x , 
então a estimativa de µ é 
 
25,27
4
26293123
x =
+++
= . 
 
Note que o resultado obtido acima é mera aplicação da fórmula 
 
4
XXXX
X 4321
+++
= 
 
que define o estimador da média amostral. 
 
1.3 Teorema Central do Limite 
 
Vimos que as distribuições de Poisson e a Binomial têm a distribuição normal 
como o seu caso limite. Será que isto acontece com outras distribuições? 
 
Teorema Central do Limite (TCL) (*). Considere n variáveis aleatórias 
independentes e identicamente distribuídas n21 X,...,X,X com média finita µ e 
variância σ2. Seja a soma n21n X...XXS +++= , com média µ= n)S(E n e variância 
2
n n)S(Var σ= . Então a variável aleatória padronizada 
 
n
nS
)S(Var
)S(ES n
n
nn
σ
µ−
=
−
 
 
é assintoticamente normal (isto é, tende para a normal quando n tende 
para infinito) com média nula e desvio-padrão igual a um (normal padrão ou 
reduzida). 
 
Ou seja, 
 
)zZ(Pz
n
nS
P n ≥→





≥
σ
µ−
, 
 
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em que Z é a variável aleatória N(0,1). 
 
A aproximação da binomial pela normal é um exemplo de aplicação do TCL 
(vista em aula anterior). 
 
(*) Também chamado de “Teorema do Limite Central” ou “Teorema Limite 
Central”. 
 
A demonstração do TCL não será dada, pois está fora do escopo do curso. Não 
obstante, podemos testar a validade do TCL “na prática”. Para tal, basta rodar 
uma simulação em um software estatístico. Foi o que fizemos. As quatro 
próximas figuras mostram os histogramas correspondentes às seguintes 
realizações (todas com 1024 observações): 
 
• Uma variável aleatória uniforme X1; 
• S2 = X1+X2, em que X1 e X2 são variáveis aleatórias uniformes e 
identicamente distribuídas (IID); 
• S10 = X1+X2+...+X10, em que X1,X2,...,X10 são variáveis uniformes IID; e 
• S50 = X1+X2+...+X50, em que X1,X2,...,X50 são variáveis uniformes IID. 
 
 
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
100
200
300
400
500
600
Uma variável aleatória uniforme
 
 
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
200
400
600
800
1000
1200
Soma de 2 variáveis aleatórias uniformes
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Soma de 10 variáveis aleatórias uniformes
histograma
curva normal
 
 
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Soma de 50 variáveis aleatórias uniformes
histograma
curva normal
 
 
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Observe que o histograma de S10 é bem ajustado pela curva normal. O mesmo 
comportamento ocorre para o histograma de S50. Reparou que o histograma de 
S2 tem um formato triangular? Isso não acontece por acaso. Mas discutir 
porquê isso tem de ser assim está fora do nosso programa ... não fique 
preocupado porque isso não cairá na prova. 
 
Exemplo (TCE-ES/2001/ESAF) Sejam X1, X2, ..., X200 variáveis aleatórias 
idênticas e independentemente distribuídas com densidade comum do tipo 
gama, i.e. com densidade (x>0): 
 





−
π
= x
3
1
exp
x3
1
)x(f 
 
Seja Y = X1 + X2 + ... +X200 e φ(w) a função de distribuição normal padrão. 
Assinale a opção que dá a aproximação do Teorema Central do Limite de P(Y ≥ 
294). 
 
A) φ(0,25) 
B) φ(0,20) 
C) φ(0,75) 
D) 1 - φ(0,75) 
E) 1 - φ(0,25) 
 
Resolução 
 
A variável aleatória X com função densidade de probabilidade 
 
b/x1a
a
ex
)a(b
1
)x(f −−
Γ
= , 0x > , 
 
tem distribuição gama com parâmetros 0a > e 0b > . A distribuição gama tem 
média ab e variância 2ab . 
 
O enunciado forneceu a densidade 
 
3/x2/1
2/1
ex
3
1
x
3
1
exp
x3
1
)x(f −−
π
=




−
π
= . 
 
Logo os parâmetros a e b que caracterizam a distribuição gama acima são 
 
2/11a −=− ⇒ 2/12/11a =−= e 3b = . 
 
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Assim, 5,132/1ab)X(E =×== e 5,492/1ab)X(Var 2 =×== . 
 
Seja Y = Sn. O TCL afirma que a variável transformada 
 
)Y(
)Y(EY
n
nSn
σ
−
=
σ
µ−
 
 
tende para a normal padrão quando n → ∞. A variável Y tem média E(Y) = 
n.E(X) = nab = 200 x 1,5 = 300 e variância Var(Y) = n.Var(X) = 200 x 4,5 = 
900 ⇒ σ(Y) = 9001/2 = 30. 
 
20,0
5
1
30
6
30
300294
)Y(
)Y(EY
Z −=
−
=
−
=
−
=
σ
−
= . 
 
Desta forma, P(Y ≥ 294) = P(Z ≥ -0,20). As duas figurasque se seguem 
ilustram que a área sob a normal padrão à direita de z=-0,20 (P(Z ≥ -0,20)) é 
equivalente à área sob a normal padrão à esquerda de z=0,20 (P(Z ≤ 0,20)). 
Como P(Z ≤ 0,20) = φ(0,20) e P(Z ≥ -0,20) = P(Z ≤ 0,20), concluímos que P(Z 
≥ -0,20) = φ(0,20). 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
P(Z > -0,2)
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
P(Z < 0,2)
 
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GABARITO: B 
 
O TCL também é verdadeiro sob condições mais gerais. Por exemplo, ele vale 
quando n21 X,...,X,X são variáveis independentes com a mesma média e 
variância, mas não necessariamente identicamente distribuídas. 
 
E se X1,X2,...,Xn forem variáveis aleatórias normais e independentes, com E(Xi) 
= µi e Var(Xi) = σ2i para i =1, 2, ..., n? Você está lembrado da propriedade 
reprodutiva da distribuição normal vistas em aula anterior? Não nos custará 
nada relembrá-las, pois são importantes para a prova! Então vamos lá. Seja 
 
Y = X1 + X2 + ... + Xn. 
 
Então Y tem média 
 
E(Y) = µ1 + µ2 + ... + µn 
 
e variância 
 
Var(Y) = σ21 + σ22 + ... + σ2n. 
 
1.4 Distribuições Amostrais 
 
Uma estatística possui uma distribuição de probabilidades, pois é uma variável 
aleatória. Chamamos a distribuição de probabilidades de uma estatística 
de distribuição amostral. 
 
1.4.1 Distribuição Amostral da Média 
 
Se a população é infinita ou se a amostragem é feita com reposição, então os 
valores da amostra podem ser considerados observações de variáveis 
aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidades da 
população, portanto com a mesma média µ e a mesma variância σ2 da 
população. 
 
A média X da amostra aleatória )X,...,X,X( n21 é dada por 
 
(2) 
n
X...XX
X n21
+++
= . 
 
Então, o valor esperado de X é 
 
(3) =




 +++=
n
X...XX
E)X(E n21 
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( ) ( ) ( ) µ=µ×=+++=
n
n
XE
n
1
...XE
n
1
XE
n
1
n21 
 
e a variância de X 
 
(4) =




 +++=
n
X...XX
var)Xvar( n21 
( ) ( ) ( )
nn
n
]Xvar...XvarX[var
n
1 2
2
2
n212
σ
=
σ×
=+++= . 
 
Vemos, portanto, que a média em torno da qual devem variar os 
possíveis valores da estatística X é a própria média da população. 
Além disso, a variância com que se dispersam os possíveis valores da 
estatística X é n vezes menor do que a variância da população de onde 
é retirada a amostra. De (4), resulta que 
 
(5) 
n
)X(
σ
=σ . 
 
Exemplo (AFPS/2002/ESAF) O desvio-padrão da média para uma amostra 
de tamanho 100 é 30. A fim de tornar o desvio-padrão da média igual a 15, o 
que deveríamos fazer? 
 
A) Aumentar o tamanho da amostra para 200. 
B) Aumentar o tamanho da amostra para 150. 
C) Diminuir a amostra para 50. 
D) Aumentar o tamanho da amostra para 400. 
E) Aumentar o tamanho da amostra para 300. 
 
Resolução 
 
Dados: 30)X( =σ e 100n = . O que fazer para obter 15)'X( =σ ? 
 
Primeiramente, devemos descartar a opção C, pois é absurda. Aprendemos 
que o desvio-padrão de X é n vezes menor que o desvio-padrão da 
população, ou seja, n/)X( σ=σ . Portanto, o tamanho da amostra deve 
aumentar para que o desvio-padrão diminua. A relação 
 
2
)X(
n2n4'n
)'X(
σ
=
σ
=
σ
=
σ
=σ 
 
mostra que é necessário que n seja multiplicado por 4 a fim de tornar o 
desvio-padrão da média igual a metade do valor anterior. Logo n’= 4 x 100 = 
400. 
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GABARITO: D 
 
Exemplo (IBGE/2010/Cesgranrio) Para que o erro padrão da média 
amostral X seja reduzido à metade, deve-se 
 
A) multiplicar o tamanho da amostra por 2. 
B) multiplicar o tamanho da amostra por 4. 
C) multiplicar o tamanho da amostra por 16. 
D) dividir o tamanho da amostra por 2. 
E) dividir o tamanho da amostra por 4. 
 
Resolução 
 
Erro padrão é sinônimo de desvio padrão. Vimos que a fórmula do erro padrão 
da média amostral é n/)X( σ=σ . Queremos que o novo desvio padrão da 
média amostral ( )X('σ ) seja reduzido a metade, ou seja, 2/)X()X(' σ=σ . Para 
tal, basta fazer n4'n = : 2/)X(n2/n4/)X(' σ=σ=σ=σ . 
 
GABARITO: B 
 
No caso de amostragem aleatória simples sem reposição de populações finitas, 
em que a independência entre os Xi não se verifica, demonstra-se que 
 
1N
nN
n
)X(Var
2
−
−
×
σ
= 
 
em que N é o número de elementos da população e o fator )1N/()nN( −− é 
chamado de fator de população finita. Observe que esse fator tende a um 
quando o tamanho da população tende ao infinito. Além disso, sendo esse 
fator menor que 1, tem-se que )X(2σ será menor para populações finitas que 
para populações infinitamente grandes. 
 
Exemplo (Analista Judiciário/TRF da 1ª Região/2001/FCC) Uma 
amostra aleatória simples sem reposição de tamanho n é tomada de uma 
população de tamanho N. Determine a variância da média amostral, sabendo 
que a variância populacional é σ2. 
 
A) 
)1N(n
)nN(2
−
−σ
 
B) 
)1N(n
N2
−
σ
 
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C) 
)nN(n
)1N(2
−
−σ
 
D) 
)1N(n
2
−
σ
 
E) 
)nN(
N2
−
σ
 
 
Resolução 
 
Se a população é infinita ou se a amostragem é feita com reposição a variância 
da média amostral X é dada por 
 
n
)Xvar(
2σ
= , 
 
em que σ2 denota a variância populacional e n é o tamanho da amostra. 
 
No caso de amostragem aleatória simples sem reposição de populações finitas, 
temos que 
 
1N
nN
n
)X(Var
2
−
−
×
σ
= 
 
em que N é o número de elementos da população e o fator 
 
1N
nN
−
−
 
 
é o fator de população finita. Logo, a alternativa A é a única opção correta. 
 
GABARITO: A 
 
Se a distribuição da população for normal, a distribuição amostral de 
X será também normal para qualquer tamanho da amostra (veja a 
figura a seguir), porque, conforme visto, a soma de variáveis normais 
independentes também é uma variável normal. 
 
 
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Por outro lado, se a distribuição da população não for normal, mas a 
amostra for suficientemente grande, resultará, do TCL, que a distribuição 
amostral de X será aproximadamente normal (vide a próxima figura), 
pois o valor de X resultará de uma soma de um número grande de variáveis 
aleatórias independentes. É razoável estender esta conclusão para o caso da 
amostragem sem reposição de populações finitas, porém suficientemente 
grandes. 
 
Na prática, a distribuição de X (dada uma amostra de apenas quatro ou cinco 
elementos) é bem aproximada pela normal desde que a população tenha 
distribuição simétrica ou próxima da normal. 
 
 
 
 
 
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1.4.2 Distribuição Amostral de uma Proporção 
 
Considere uma população em que a fração de elementos portadores de certacaracterística é p, 0<p<1. Sejam f e n/fpˆ = as estatísticas que representam a 
freqüência e a proporção (ou freqüência relativa) com que foi observada a 
característica em uma amostra de tamanho n proveniente dessa população, 
respectivamente. 
 
Podemos considerar, para cada elemento da amostra, a ocorrência de um 
sucesso, caso a característica desejada seja verificada, e de um fracasso, caso 
contrário. Então a probabilidade de ocorrência de sucesso para cada elemento 
da amostra é p. Se a população é infinita ou a amostragem é feita com 
reposição, p é constante para todos os elementos da amostra, e os resultados 
observados para todos eles serão independentes. Neste caso, a distribuição 
amostral da estatística f será uma distribuição binomial de parâmetros n 
(tamanho da amostra) e p com média 
 
(6) np)f(E = 
 
e variância 
 
(7) )p1(np)f(Var −= . 
 
A freqüência relativa pˆ terá média 
 
(8) ,p
n
np
)f(
n
1
n
f
)pˆ(E ==µ=




µ= 
 
e variância 
 
(9) 
n
)p1(p
n
)p1(np
)f(
n
1
n
f
)pˆ(Var
2
2
2
2 −=
−
=σ=




σ= . 
 
Observe que a distribuição de pˆ é binomial com valores entre 0 e 1, com 
intervalos de 1/n. 
 
Sendo a amostra suficientemente grande, podemos aproximar as distribuições 
de f e pˆ por distribuições normais de mesma média e desvio-padrão. Na 
prática, em geral, considera-se que essa aproximação possa ser feita se np≥5 e 
n(1-p)≥5. 
 
1.4.3 Graus de Liberdade de uma Estatística 
 
Afirmamos nas aulas anteriores que a variância de uma amostra pode ser 
calculada pela fórmula 
 
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∑
=
−=
n
1i
2
i
2 )XX(
n
1
S 
 
desde que o tamanho n da amostra seja suficientemente grande. E se a 
amostra for pequena? Como ficaria a fórmula de S2? Neste caso, a variância 
amostral seria dada por 
 
(10) ∑∑
==






−
−
−
=−
−
=
n
1i
22
i
n
1i
2
i
2 X
1n
n
X
1n
1
)XX(
1n
1
S . 
 
O porquê de usar (n–1) em vez de n no denominador da expressão acima será 
apresentado na próxima aula. Não obstante, podemos antecipar para o leitor 
que a necessidade dessa correção está relacionada com o número de graus 
de liberdade da variância amostral. 
 
Considere, por exemplo, a estatística n/)X...XX(X n21 +++= . Ela possui n 
graus de liberdade porque n valores Xi livres devem ser considerados no 
cálculo da estatística. Por outro lado, a estatística 2S , por usar X em vez do 
parâmetro populacional µ, tem um grau de liberdade a menos. Note que o 
cálculo de 2S admite que já se conheça o valor de X , para o qual já foram 
usados todos os valores da amostra. Contudo, quando usamos novamente 
todos os valores da amostra para determinar 2S , esses valores têm apenas n–
1 graus de liberdade, pois, dados quaisquer n–1 deles, o valor restante estará 
determinado, pois já sabemos o valor da média X ; assim, o valor restante não 
é livre. 
 
1.4.4 Distribuição Amostral de S2 
 
Faça n=ν (leia-se “ni”) em (10). A distribuição amostral da estatística definida 
por (10), 
 
∑
ν
=
−
−ν
=
1i
2
i
2 )XX(
1
1
S , 
 
está relacionada com as distribuições tipo 2χν , que são as qui-quadrado com ν 
graus de liberdade, desde que a população seja normalmente dstribuída. 
 
Seja a amostra aleatória )X,...,X,X( 21 ν de uma população normal de média µ e 
desvio-padrão σ. Então a estatística 
 
(11) ∑∑
ν
=
ν
=
ν =





σ
µ−
=χ
1i
2
i
1i
2
i2 Z
X
 
 
tem distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade. A variável Zi em (11) 
é a variável aleatória normal padrão. Logo, a variável 2χν é a soma dos 
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quadrados de ν variáveis aleatórias normais padronizadas 
independentes. 
 
Pode-se demonstrar que 
 
(12) ( ) 1ZE 2 = . 
 
Segue-se que 
 
(13) ( ) ( ) ( ) ( ) ν=+++=





=χ ν
ν
=
ν ∑ 22221
1i
2
i
2 ZE...ZEZEZEE , 
 
ou seja, a média de uma variável qui-quadrado com ννν graus de 
liberdade é igual a ννν. 
 
Também pode-se provar que 
 
(14) ( ) ν=χν 2Var 2 , 
 
isto é, a variância de uma qui-quadrado com ννν graus de liberdade é 
igual a 2ννν, e que a moda de 2χν é (ν-2), para ν > 2. Além disso, como a 
variável 2χν resulta de uma soma de variáveis independentes e identicamente 
distribuídas (IID), então, de acordo com o TCL, a família de distribuições do 
tipo 2χν tende à distribuição normal quando o número de graus de 
liberdade aumenta. Na próxima figura, você pode observar a qui-quadrada 
com 4 graus de liberdade na cor azul, a qui-quadrada com 10 graus de 
liberdade na cor preta e a qui-quadrada com 20 graus de liberdade na cor 
vermelha. Repare que a curva vermelha é semelhante a uma normal. 
 
 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
X
4
X
10
X
20
 
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Propriedade (aditividade). A soma de duas variáveis independentes 2
1
χ ν e 
2
2
χ ν é uma variável 
2
21
χ ν+ν , ou seja, é uma variável 
2χ com ν1+ν2 graus de 
liberdade. 
 
Você encontrará no apêndice a Tabela III que fornece o valor de 2χν em função 
da área da cauda superior da respectiva distribuição. 
 
Assim, por exemplo, se entramos na Tabela qui-quadrado com p=10% e ν = 3, 
leremos o valor 251,6χ 23 = . Isto significa que a probabilidade da variável 
2
3χ ser 
maior que 6,251 é igual a 10%. 
 
O conhecimento das distribuições 2χν nos leva à determinação da distribuição 
amostral da estatística 2S , conforme a seguir. Pode-se demonstrar que a 
estatística 
 
(15) ∑∑
ν
=
ν
=
−
σ
=





σ
−
1i
2
i2
1i
2
i )XX(
1XX
 
 
tem distribuição 2 1χ −ν . Logo, podemos escrever 
 
2
2
1i
2
i
2
2
1
S)1(
1
)XX(
1
σ
−ν
=
−ν
−
×
σ
−ν
=χ
∑
ν
=
−ν 
 
ou 
 
(16) 2 1
2
2
1
S −νχ−ν
σ
= . 
 
Portanto, (16) mostra que a variância de uma amostra com ν = n elementos 
extraída de uma população normal é uma variável aleatória 2 1−νχ multiplicada 
pela constante )1/(2 −νσ . 
 
Lembrando a relação (13), temos que 
 
(17) .)1(
1
)(E
1
)S(E 2
2
2
1
2
2 σ=−ν
−ν
σ
=χ
−ν
σ
= −ν 
 
Por outro lado, usando (14), obtemos 
 
(18) .
1
2
)1(2
)1(
)var(
)1(
)Svar(
4
2
4
2
12
4
2
−ν
σ
=−ν×
−ν
σ
=χ
−ν
σ
= −ν 
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1.4.5 Distribuição t de Student 
 
Considere a média de uma amostra de n observações retiradas de uma 
população normal de média µ e desvio-padrão σ. Aprendemos que a 
distribuição amostral de X é normal, com média µ e desvio-padrão n/σ , e 
que a estatística 
 
(19) .
n/
X
Z
σ
µ−
= 
 
segue a normal padrão. 
 
Se usarmos em (19) o desvio-padrão da amostra, obteremos uma estatística 
cuja distribuição não é mais normal. De fato, conforme mostrou Student, a 
estatística 
 
(20) .
n/S
X
t
µ−
= 
 
distribui-se simetricamente, com média zero, porém não normalmente. Paragrandes amostras, S deve ser próximo de σ, e as correspondentes 
distribuições t de Student devem estar próximas da normal reduzida 
(padrão). Note que a estatística (20) possui (n–1) = ν graus de liberdade, o 
que justifica a sua representação por tn-1. A próxima figura mostra os gráficos 
das variáveis t1, t5 e normal padrão. Note que a densidade de t5 está mais 
próxima da normal do que a densidade de t1. 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
normal
t
1
t
5
 
 
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A Tabela IV do Apêndice fornece valores de t em função de diversos valores do 
número de graus de liberdade ν e de probabilidades críticas, correspondentes 
ao dobro da área sob a cauda à direita (ou à esquerda, tanto faz, pois a 
distribuição é simétrica) na respectiva distribuição. Assim, por exemplo, 
entrando-se na Tabela com a probabilidade p = 0,1 e ν = GL = 7, lemos o 
valor crítico t7 = 1,895. Isso significa, dada a simetria da distribuição t, que P(-
1,895<t7<1,895) = 1-0,1 = 0,9 e que P(t7>1,895) = P(t7<-1,895) = 0,1/2= 
0,05. 
 
A expressão (20) pode ser reescrita como 
 
(21) .
S
Z
Sn/
X
t 1n
σ
=
σ
×
σ
µ−
=− 
 
Substituindo a raiz quadrada de (16) em (21), obtemos 
 
(22) 
2
1n
1n
1n
Zt
−
− χ
−
= 
 
ou 
 
(23) 
2
v
v
Zt
χ
=ν 
 
se fizermos n-1 = ν em (22). A equação (23) nos mostra a relação existente 
entre as distribuições t de Student e qui-quadrado. 
 
1.4.6 Distribuição F de Snedecor 
 
Vimos em aula anterior que a variável aleatória F com n1 graus de liberdade no 
numerador e n2 graus de liberdade no denominador, denotada por 
21 n,n
F , é 
definida como 
 
(24) 
2
2
n
1
2
n
n,n
n/
n/
F
2
1
21 χ
χ
= 
 
em que as variáveis 2n1χ e 
2
n2
χ são independentes. A figura a seguir ilustra uma 
variável F com 5 graus de liberdade no numerador e 3 graus de liberdade no 
denominador. 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
F
 
 
 
Sejam 
1n11211
X,...,X,X uma amostra extraída de uma população normal ),(N 211 σµ 
e 
2n22221
X,...,X,X uma amostra oriunda de outra população normal ),(N 222 σµ . 
Considere que as populações sejam independentes. Sejam 21S e 
2
2S as 
variâncias das amostras associadas às populações 1 e 2, respectivamente. 
Então a razão 
 
(25) 
2
2
2
2
2
1
2
1
/S
/S
σ
σ
 
 
Tem distribuição F, com n1-1 graus de liberdade no numerador e n2-1 graus de 
liberdade no denominador, pois 
 
1n,1n
2
2
1n
1
2
1n
2
22
2
1n
2
2
2
11
2
1
2
n1
2
2
2
1
21
2
1
2
1
F
1n
1n
)1n(
)1n(
S
S
−−
−
−
−
−
=
−
χ
−
χ
=
σ−
χσ
σ−
χσ
= . 
 
O corpo da Tabela V do apêndice (distribuição F) dá os valores de F que 
determinam caudas à direita com probabilidades p para diversos pares de 
valores n1=GL1 e n2=GL2. Por exemplo, entrando-se na Tabela com a 
probabilidade p = 5% =0,050, e GL1 = GL2 = 5, lemos o valor fc = 5,05. Logo, 
P(F>5,05) = 5% = 0,050. 
 
Exemplo (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF) Considere as n 
variáveis aleatórias iid, isto é, independentes e identicamente distribuídas 
X1,X2,...,Xn com distribuição N(µ,σ2). Considere ainda ∑==
n
1i i
n/XX e 
∑= −−=
n
1i
2
i
2 )1n/()XX(s . Dessa maneira o quociente entre as variáveis aleatórias 
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independentes 22 /)X(n σµ− e s2/σ2 é uma variável aleatória: 
 
A) “t” de Student com n-1 graus de liberdade. 
B) Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade dividida pelo seu número de 
graus de liberdade. 
C) Qui-quadrado com 1 grau de liberdade. 
D) F com n-1 graus de liberdade no numerador e 1 grau de liberdade no 
denominador. 
E) F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de liberdade no 
denominador. 
 
Resolução 
 
A questão cobra se o candidato conhece a distribuição da estatística 
 
1n
XX
n/
X
s
)X(n
n
1i
2
i
2
2
2
2
2
−






σ
−






σ
µ−
=
σ
σ
µ−
∑ =
. 
 
 
Ora, a média amostral X é normal, pois X1, X2 ,..., Xn têm distribuição N(µ,σ2). 
Assim, o numerador 
 
2
n/
X






σ
µ−
 
 
tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, pois trata-se do 
quadrado de uma variável aleatória normal reduzida. A estatística 
 
∑= 




σ
−n
1i
2
iX X 
 
tem distribuição 2 1nχ − . Sabe-se que uma variável aleatória F com n1 graus de 
liberdade no numerador e n2 graus de liberdade no denominador é dada por 
 
2
2
n
1
2
n
n,n
n/
n/
F
2
1
21 χ
χ
= . 
 
Portanto, a variável aleatória 
 
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1n
XX
1
n/
X
n
1i
2
i
2
−






σ
−






σ
µ−
∑ =
 
 
tem distribuição F com 1 grau de liberdade no numerador e n-1 graus de 
liberdade no denominador. 
 
GABARITO: E 
 
2 Resumo 
 
- Uma população consiste na totalidade das observações. 
 
- Uma amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de 
uma população. 
 
- Os elementos de uma amostra aleatória são independentes. 
 
- Uma estatística é qualquer função dos valores de uma amostra. 
 
- Uma estimativa de um parâmetro populacional θ é um único valor numérico 
Eˆ , que é obtido de uma estatística Θˆ . Por exemplo, seja θ a média 
populacional µ. Então n/XXˆ i∑==Θ é o estimador e n/xxEˆ i∑== é a 
estimativa de µ. Ou seja, o estimador é a fórmula e a estimativa é aplicação da 
fórmula ao conjunto dos valores que compõe a amostra. 
 
- TCL: sejam n variáveis aleatórias IID n21 X,...,X,X com média µ e variância σ
2. 
Seja a soma n21n X...XXS +++= . Então a variável aleatória padronizada 
 
n
nSn
σ
µ−
 
 
tende para a normal padrão quando n tende para infinito. 
 
- Propriedade reprodutiva da normal: Sejam X1,X2,...,Xn variáveis 
aleatórias normais e independentes com E(Xi) = µi e Var(Xi) = σ2i, i = 1, 2, ..., 
n e Y = X1 + X2 + ... + Xn. Então Y é normal com média E(Y) = µ1 + µ2 + ... + 
µn e variância Var(Y) = σ21 + σ22 + ... + σ2n. 
 
- A média amostral X tem média µ e variância n/2σ , em que µ e 2σ 
denotam a média e a variância populacionais, respectivamente. Portanto, a 
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média de X é a própria média populacional µµµ e a variância de X é n 
vezes menor que a variância da população σ2. 
 
- A estatística f (frequência amostral) é binomial com média np e 
variância )p1(np − , em que p denota a probabilidade de sucesso e n é o 
tamanho da amostra. 
 
- A estatística n/fpˆ = (proporção amostral) é binomial com média p e 
variância n/)p1(p − . 
 
- Seja a amostra )X,...,X,X( 21 ν de uma população normal com média µ e 
desvio-padrão σ. Então a estatística∑
ν
=
ν 





σ
µ−
=
1i
2
i2 Xχ 
 
é uma variável aleatória qui-quadrado com ννν graus de liberdade. A variável 
2
νχ tem média ννν e variância 2ννν. 
 
- A soma de duas variáveis independentes 2
1
χ ν e 
2
2
χ ν é uma variável 
2
21
χ ν+ν , ou 
seja, é uma variável 2χ com ν1+ν2 graus de liberdade. 
 
- Variância amostral: 2
1i
2
i
1i
2
i
2 X
1
X
1
1
)XX(
1
1
S 





−ν
ν
−
−ν
=−
−ν
= ∑∑
ν
=
ν
=
. 
 
- Relação entre a variância amostral S2 e 2 1χ −ν (p/ população normal!): 
2
1
2
2
1
S −νχ−ν
σ
= ⇒ S2 é qui-quadrado com ννν-1 graus de liberdade. 
 
- A média da variância amostral S2 é igual à variância da população .2σ 
 
- A variável 
n/S
X
t 1n
µ−
=− tem distribuição t de Student. Esta distribuição é 
simétrica e tem média nula. 
 
- 
2
2
n
1
2
n
n,n
n/
n/
F
2
1
21 χ
χ
= é a variável aleatória F com n1 graus de liberdade no numerador 
e n2 graus de liberdade no denominador. 
 
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- 1n,1n2
2
2
1
21
F
S
S
−−= ⇒ a razão entre as variâncias amostrais das populações 
independentes 1 e 2 é uma variável F com n1-1 graus de liberdade no 
numerador e n2-1 graus de liberdade no denominador. 
 
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3 Exercícios de Fixação 
 
1. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Seja X1, X2, ... uma sucessão 
de variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média µ e 
variância σ2, tendo a propriedade de qualquer número finito delas são 
independentes. Então, para cada z 
 
),z(z
n
nX...X
Plim n1
n
Φ=






<
σ
µ−++
→∞
 
 
onde )(zΦ é uma função de distribuição: 
 
A) Normal reduzida. 
B) Normal. 
C) Qui-quadrado. 
D) Log-normal. 
E) Binomial. 
 
2. (Analista Técnico da SUSEP/2002/ESAF) Sejam X1, ..., X12 variáveis 
aleatórias uniformemente e independentemente distribuídas no intervalo (0;1). 
Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite 
de 
 
.7XP
12
1i
i






>∑
=
 
 
A tabela apresentada a seguir dá valores da função de distribuição F(x) da 
distribuição normal padrão aproximada a duas casas decimais. 
 
x F(x) 
0,0 0,50 
0,5 0,69 
1,0 0,84 
1,5 0,93 
2,0 0,98 
 
A) 0,50 
B) 0,31 
C) 0,07 
D) 0,02 
E) 0,16 
 
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3. (Analista Técnico da SUSEP/2001/ESAF) O tempo de vida útil de uma 
pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 
horas e desvio-padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se 
esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição 
um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e 
independentemente distribuídos. Seja ψ(x) a função de distribuição da normal 
padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central 
do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 
1.100 horas de uso contínuo. 
 
A) 1-ψ(1) 
B) ψ(1) 
C) ψ(2) 
D) 0,5 
E) ψ(2)- ψ(1) 
 
4. (Analista Ministerial MPE-PE/2006/FCC) Seja a média de uma amostra 
aleatória simples com reposição, de tamanho 64, retirada de uma população 
Normal com média 200 e variância 400. Usando o fato de que P(Z>1,64) = 
0,05, onde Z é a Normal Padrão, o valor de a para que P(|X -µ|≤a) = 0,90 é 
igual a 
 
A) 6,4 
B) 5,2 
C) 4,8 
D) 4,1 
E) 3,6 
 
(ANAC/2009/CESPE/adaptada) Considere que U1, U2 e U3 sejam cópias 
independentes de uma distribuição uniforme, com média igual a 6 e variância 
igual a 3. Com base nessas informações, julgue os próximos itens (5 a 8) 
acerca da soma S = U1 + U2 + U3. 
 
5. A soma S segue uma distribuição uniforme, com média igual a 18 e 
variância igual a 9. 
 
6. De acordo com o teorema limite central, se µ e σ são, respectivamente, a 
média e o desvio padrão de S, então a variável 
3
3
S
Z
σ
µ−
= segue uma 
distribuição normal padrão. 
 
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7. A média correspondente à variável transformada 6
3
S
W −= é igual a zero, e 
a variância igual a 1. 
 
8. O valor esperado de S2 é superior a 300. 
 
(ANPEC/2009/adaptada) Sobre variáveis aleatórias indique se as 
afirmativas 9 e 10 são corretas ou falsas: 
 
9. Se X possui distribuição Normal com média µ e variância σ2, então Z = aX + 
b possui distribuição Normal com média aµ e variância (a)2σ2. 
 
10. Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são 
independentes. 
 
(ANPEC/2009/adaptada) Sejam X1,X2,...,Xn variáveis aleatórias 
independentes e normalmente distribuídas com média µ e variância 1. Defina 
as variáveis aleatórias ∑
=
−=
n
1i
i
1 XnX e ∑
=
=
n
1i
2
iXZ . Julgue 11 a 14 os itens a seguir. 
 
11. Se R = X1, quando X1>0, P(R≤1) = Φ(1-µ)/(1-Φ(0-µ)), em que Φ(c) é a 
função distribuição de uma variável aleatória Normal padrão. 
 
12. Z é uma variável aleatória com distribuição χ2 com n graus de liberdade. 
 
13. Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nµ e 
variância n. 
 
14. A variável aleatória 
n
Z
Y
W ii = , em que Yi = (Xi - µ) possui distribuição F 
com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n. 
 
15. (INÉDITA) O gráfico da distribuição t de Student, com 9 graus de 
liberdade, está representado na figura abaixo. Podemos afirmar que o valor de 
t1 para o qual a área sombreada à direita de t1 é de 0,05 é: 
 
t1-t1 
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A) 2,6850 
B) 2,2622 
C) 1,8331 
D) 3,6897 
E) 1,2297 
 
16. (Analista Técnico/SUSEP/2002/ESAF) Seja X uma variável aleatória 
com valor esperado µ e desvio padrão σ>0. Pode-se afirmar que 
 
A) pelo menos 75% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
B) pelo menos 80% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
C) pelo menos 90% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
D) pelo menos 95% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
E) apenas com o conhecimento de µ e σ não é possível fazer afirmação sobre o 
percentual de realizações de X que cairão no intervalo [µ-2σ;µ+2σ]. 
 
17. (Analista Ministerial MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma variável aleatória 
assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, respectivamente. 
Seja µ a média de X. Então o limite superior de P[|X - µ| ≥ 12 ], obtido pela 
desigualdade de Tchebysheff, é dado por 
 
A) 0,40 
B) 0,25 
C) 0,20 
D) 0,12 
E) 0,10 
 
18. (Engenharia/BNDES/2011/Cesgranrio) Ao medir-se a temperatura de 
um forno, em graus Celsius, em diversos momentos, obteve-se uma amostra 
com variância igual a 225. Se cada uma das medidas de temperatura for 
convertida para graus Fahrenheit, utilizando-se a fórmula 32C
5
9
F += , o valor 
da nova variância amostral será 
 
(A) 257 
(B) 405 
(C) 437 
(D) 729 
(E) 761 
 
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4. Gabarito 
 
1 – A 
2 – E 
3 – A 
4 – D 
5 – E 
6 – E 
7 – C 
8 – C 
9 – F 
10 – F 
11 – F 
12 – F 
13 – V 
14 – F 
15 – C 
16 – A 
17 – B 
18 – D 
 
 
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5. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
1. (Analista Técnico da SUSEP/2006/ESAF) Seja X1, X2, ... uma sucessão 
de variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média µ e 
variância σ2, tendo a propriedade de qualquer número finito delas são 
independentes. Então, para cada z 
 
),z(z
n
nX...X
Plim n1
n
Φ=






<
σ
µ−++
→∞
 
 
onde )(zΦ é uma função de distribuição: 
 
A) Normal reduzida. 
B) Normal. 
C) Qui-quadrado. 
D) Log-normal. 
E) Binomial. 
 
Resolução 
 
Sejam n21 X,...,X,X variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com média µ e variância σ2. De acordo com o TCL, se 
n21n X...XXS +++= , então 
 
n
nS
)S(Var
)S(ES n
n
nn
σ
µ−
=
−
 
 
é assintoticamente normal (isto é, tende para a normal quando n tende 
para infinito) com média nula e desvio-padrão igual a um (normal padrão ou 
reduzida). 
 
Ou seja, 
 
)z()zZ(Pz
n
nS
Plim n
n
Φ=<=





<
σ
µ−
∞→
, 
 
em que Z é a variável aleatória N(0,1). 
 
O TCL também é verdadeiro sob condições mais gerais. Por exemplo, ele vale 
quando n21 X,...,X,X são variáveis independentes com a mesma média e 
variância, mas não necessariamente identicamente distribuídas. 
 
GABARITO: A 
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2. (Analista Técnico da SUSEP/2002/ESAF) Sejam X1, ..., X12 variáveis 
aleatórias uniformemente e independentemente distribuídas no intervalo (0;1). 
Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite 
de 
 
.7XP
12
1i
i






>∑
=
 
 
A tabela apresentada a seguir dá valores da função de distribuição F(x) da 
distribuição normal padrão aproximada a duas casas decimais. 
 
x F(x) 
0,0 0,50 
0,5 0,69 
1,0 0,84 
1,5 0,93 
2,0 0,98 
 
 
A) 0,50 
B) 0,31 
C) 0,07 
D) 0,02 
E) 0,16 
 
Resolução 
 
As variáveis aleatórias IID 1221 X,...,X,X têm distribuição uniforme no intervalo 
(0,1), conforme ilustrado pela figura abaixo. 
 
1
0 1
f(x)
x
 
 
Sabemos que: 2/1
2
)10(
2
)ba(
)X( i =
+
=
+
=µ e 12/1
12
)01(
12
)ab(
)X( i
2 =
−
=
−
=σ . 
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Seja o somatório n21n X...XXS +++= . O TCL afirma que, no limite (isto é, 
quando somamos um número infinito de variáveis aleatórias IID), vale 
 
)z(z
n
nS
Plim n
n
Φ=





≤
σ
µ−
∞→
. 
 
A questão pede que 






≤−=






> ∑∑
==
12
1i
i
12
1i
i 7XP17XP seja calculado usando uma 
versão “truncada” (ou aproximada) do TCL para n = 12. Observe que 
 
167
12
12
1
5,0127
n
n7
z =−=
×−
=
σ
µ−
= . 
 
Logo, 
 
( ) ( ) 16,084,010,110,1ZP =−=Φ−≈> . 
 
GABARITO: E 
 
3. (Analista Técnico da SUSEP/2001/ESAF) O tempo de vida útil de uma 
pilha é uma variável aleatória com distribuição do tipo contínuo, média de 40 
horas e desvio-padrão de 20 horas. Usa-se a pilha até que sua energia se 
esgote quando é substituída por uma nova. Suponha que se tenha à disposição 
um estoque de 25 pilhas com tempos de vida com essas características e 
independentemente distribuídos. Seja ψ(x) a função de distribuição da normal 
padrão. Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central 
do Limite para a probabilidade de que com as 25 pilhas se obtenha pelo menos 
1.100 horas de uso contínuo. 
 
A) 1-ψ(1) 
B) ψ(1) 
C) ψ(2) 
D) 0,5 
E) ψ(2)- ψ(1) 
 
Resolução 
 
Pelo menos 1.100 horas de uso contínuo ⇒ 100.1)X...XX(S 252125 ≥+++= , ou 
seja, o somatório dos tempos de vida útil das 25 pilhas tem de ser, no mínimo, 
1.100 horas. 
 
Dados: µ = 40 h, σ = 20 h e n = 25. 
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1
2520
4025100.1
n
n100.1
z =
×−
=
σ
µ−
= 
 
( ) ( )110,1ZP)100.1S(P 25 ψ−≈>=≥ . 
 
GABARITO: A 
 
4. (Analista Ministerial MPE-PE/2006/FCC) Seja a média de uma amostra 
aleatória simples com reposição, de tamanho 64, retirada de uma população 
Normal com média 200 e variância 400. Usando o fato de que P(Z>1,64) = 
0,05, onde Z é a Normal Padrão, o valor de a para que P(| X -µ|≤a) = 0,90 é 
igual a 
 
A) 6,4 
B) 5,2 
C) 4,8 
D) 4,1 
E) 3,6 
 
Resolução 
 
Note que podemos reescrever P(| X -µ|≤a) = 0,90 da forma 
 
 
P{-a ≤ X -µ ≤a} = 0,90 
 
ou 
 
P{ µ -a ≤ X ≤ µ + a} = 0,90. 
 
A Fig. abaixo ilustra a probabilidade acima. 
 
 
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Dados do enunciado: n = 64, µ = 200, σ2 = 400 e P(Z>1,64) = 5%. 
 
64,1
n
)a(
z =
σ
µ−+µ
= ⇒ 64,1
6420
a
= ⇒ 10,4a = . 
 
GABARITO: D 
 
(ANAC/2009/CESPE/adaptada) Considere que U1, U2 e U3 sejam cópias 
independentes de uma distribuição uniforme, com média igual a 6 e variância 
igual a 3. Com base nessas informações, julgue os próximos itens (5 a 8) 
acerca da soma S = U1 + U2 + U3. 
 
5. A soma S segue uma distribuição uniforme, com média igual a 18 e 
variância igual a 9. 
 
Resolução 
 
Antes de discutir se a variável aleatória S = U1 + U2 + U3 tem ou não 
distribuição uniforme, vamos calcular a média e a variância de S. 
 
Média: 
 
E(S) = S = E(U1 + U2 + U3) = E(U1) + E(U2) + E(U3) = 3x6 = 18. 
 
Variância: 
 
var(S) = var(U1 + U2 + U3) = var(U1) + var(U2) + var(U3) = 3x3 = 9, pois a 
variância da soma de variáveis independentes é igual à soma das 
variâncias individuais. 
 
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Agora, precisamos analisar a distribuição de S e todo cuidado é pouco ... há 
uma propriedade da distribuição normal, denominada propriedade 
reprodutiva que diz o seguinte: 
 
⇒ Se U1, U2, ..., Un forem variáveis aleatórias normais e independentes, 
com E(Ui) = µi e var(Ui) = 2iσ para i = 1, 2, ..., n, então 
 
S = c1U1 + c2U2 + ... + cnUn, 
 
em que c1, c2, ..., cn, são constantes, será uma variável aleatória normal com 
 
S = c1µ1 + c2µ2 + ... + cnµn, 
 
e 
 
var(S) = .... 2222
2
2
2
1
2
1 nnccc σσσ +++ 
 
Repare que as variáveis U1, U2, ..., Un precisam ser normais, para que valha 
a propriedade reprodutiva. Na questão, U1, U2 e U3 são variáveis 
uniformes. Observe que não há uma propriedade reprodutiva para a 
distribuição uniforme. Portanto, não podemos afirmar que S = U1 + U2 + U3 
tem distribuição uniforme. Aliás, isto contraria a “intuição”, uma vez que o TCL 
diz que a distribuição de probabilidades da soma de um número infinito de 
variáveis aleatórias uniformesIID converge para a distribuição normal. Sendo 
assim, o item está ERRADO. 
 
É possível determinar a distribuição de S = U1 + U2 + U3, em que U1, U2 e U3 
são cópias independentes de uma distribuição uniforme. Contudo, este cálculo 
depende do conhecimento do conceito de função característica, que não foi 
mencionado pelo programa do concurso. Prefiro não ensinar para vocês, pois 
não precisamos deste conceito para resolver a questão. 
 
GABARITO: ERRADO 
 
6. De acordo com o teorema limite central, se µ e σ são, respectivamente, a 
média e o desvio padrão de S, então a variável 
3
3
S
Z
σ
µ−
= segue uma 
distribuição normal padrão. 
 
Resolução 
 
O TCL diz que a distribuição de probabilidades da soma de um número infinito 
de variáveis aleatórias IID converge para a distribuição normal. A soma de 3 
variáveis aleatórias uniformes IID não é normal ⇒ ERRADO. 
 
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GABARITO: ERRADO 
 
7. A média correspondente à variável transformada 6
3
S
W −= é igual a zero, e 
a variância igual a 1. 
 
Resolução 
 
( ) ,06
3
18
6
3
)S(E
6E
3
S
E6
3
S
EW)W(E =−=−=−




=




 −== 
 
( ) 1
9
9
9
)Svar(
svar
3
1
6
3
S
var)Wvar(
2
====




 −= ⇒ item CORRETO. 
 
GABARITO: CERTO 
 
8. O valor esperado de S2 é superior a 300. 
 
Resolução 
 
22 S)S(E)Svar( −= ⇒ 3333249189S)Svar()S(E 222 =+=+=+= ⇒ item CORRETO. 
 
GABARITO: CERTO 
 
(ANPEC/2009/adaptada) Sobre variáveis aleatórias indique se as 
afirmativas 9 e 10 são corretas ou falsas: 
 
9. Se X possui distribuição Normal com média µ e variância σ2, então Z = aX + 
b possui distribuição Normal com média aµ e variância (a)2σ2. 
 
Resolução 
 
222 a)Xvar(a)Zvar( σ== , 
 
mas b)X(aE)Z(E += ⇒ afirmativa FALSA. 
 
GABARITO: F 
 
10. Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são 
independentes. 
 
Resolução 
 
Lembre que independência implica covariância nula; a recíproca, porém, não é 
verdadeira ⇒ afirmativa FALSA. 
 
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GABARITO: F 
 
(ANPEC/2009/adaptada) Sejam X1,X2,...,Xn variáveis aleatórias 
independentes e normalmente distribuídas com média µ e variância 1. Defina 
as variáveis aleatórias ∑
=
−=
n
1i
i
1 XnX e ∑
=
=
n
1i
2
iXZ . Julgue 11 a 14 os itens a seguir. 
 
11. Se R = X1, quando X1>0, P(R≤1) = Φ(1-µ)/(1-Φ(0-µ)), em que Φ(c) é a 
função distribuição de uma variável aleatória Normal padrão. 
 
Resolução 
 
Se R = X1, P(R≤1) = P[Z*≤(1-µ)/σ] = P[Z*≤(1-µ)/1] = Φ(1-µ) ⇒ afirmativa 
FALSA. 
 
Nota: Z* denota a variável aleatória normal reduzida. 
 
GABARITO: F 
 
12. Z é uma variável aleatória com distribuição χ2 com n graus de liberdade. 
 
Resolução 
 
Seja a amostra aleatória )X,...,X,X( n21 de uma população normal de média µ e 
desvio-padrão σ2. Então a estatística 
 
∑
=






σ
µ−
=
n
1i
2
i2
n
X
χ 
 
tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. A variável 2nχ é a 
soma dos quadrados de n variáveis aleatórias normais reduzidas 
independentes. Note que ∑
=
=
n
1i
2
iXZ não é uma soma de variáveis aleatórias 
normais reduzidas. Portanto, o item é FALSO. 
 
GABARITO: F 
 
13. Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nµ e 
variância n. 
 
Resolução 
 
Dado: 12 =σ 
n
)X(
2
2 σ=σ 
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n1nn
n
n)X(n)Xn( 2
2
2222 =×=σ=
σ
×=σ=σ ⇒ VERDADEIRO. 
 
GABARITO: V 
 
14. A variável aleatória 
n
Z
Y
W ii = , em que Yi = (Xi - µ) possui distribuição F 
com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n. 
 
Resolução 
 
Define-se a variável F com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de 
liberdade no denominador, ou, simplesmente 
21 n,n
F por 
 
2
2
n
1
2
n
n,n
n/
n/
F
2
1
21 χ
χ
= 
 
em que as variáveis 2n1χ e 
2
n2
χ são independentes. Observe que Yi é normal e 
que 
n
Z
 não é qui-quadrado e tampouco normal ⇒ afirmativa FALSA. 
 
GABARITO: F 
 
15. (INÉDITA) O gráfico da distribuição t de Student, com 9 graus de 
liberdade, está representado na figura abaixo. Podemos afirmar que o valor de 
t1 para o qual a área sombreada à direita de t1 é de 0,05 é: 
 
 
t1-t1 
 
A) 2,6850 
B) 2,2622 
C) 1,8331 
D) 3,6897 
E) 1,2297 
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Resolução 
 
Deve-se entrar na Tabela IV (Distribuição t de Student) com ϕ = 9 (número de 
graus de liberdade) e α = p = 0,05 x 2 = 0,1 ⇒ t1 = 1,8331. 
 
GABARITO: C 
 
16. (Analista Técnico/SUSEP/2002/ESAF) Seja X uma variável aleatória 
com valor esperado µ e desvio padrão σ>0. Pode-se afirmar que 
 
A) pelo menos 75% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
B) pelo menos 80% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
C) pelo menos 90% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
D) pelo menos 95% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ] 
E) apenas com o conhecimento de µ e σ não é possível fazer afirmação sobre o 
percentual de realizações de X que cairão no intervalo [µ-2σ;µ+2σ]. 
 
Resolução 
 
Uma rápida leitura das alternativas indica que a questão aborda o teorema 
(desigualdade) de Chebyshev: 
 
⇒ Seja X uma variável aleatória arbitrária com média µ e variância σ2. Então, 
para qualquer 0k >σ , vale 
 
2k
1
1]kXk[P −≥σ+µ<<σ+µ . 
 
 
 
Análise das alternativas: 
 
(A) 75,0]2X2[P ≥σ+µ<<σ−µ ⇒ CORRETA. O teorema de Chebyshev afirma 
que ]2X2[P σ+µ<<σ−µ é, no mínimo, igual a 
22
1
1− . Logo, 
75,0]2X2[P ≥σ+µ<<σ−µ . 
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(B) a (D) estão INCORRETAS conforme demonstrado acima. 
 
(E) Esta alternativa nega o teorema de Chebyshev ao dizer que não é possível, 
apenas com o conhecimento de µ e σ, fazer afirmação sobre o percentual de 
realizações de X que cairão no intervalo [µ-2σ;µ+2σ] ⇒ INCORRETA. 
 
GABARITO: A 
 
17. (Analista Ministerial MPE-PE/2006/FCC) Seja X uma variável aleatória 
assumindo os valores -2 e 2, com probabilidade 1/4 e 3/4, respectivamente. 
Seja µ a média de X. Então o limite superior de P[|X - µ| ≥ 12 ], obtido pela 
desigualdade de Tchebysheff, é dado por 
 
A) 0,40 
B) 0,25 
C) 0,20 
D) 0,12 
E) 0,10 
 
Resolução 
 
A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão 
 
2k
1
]k|X[|P ≤σ≥µ− . 
 
Dados: i) 12k =σ , ii) distribuição de probabilidades de X (logo é possível 
calcular a média µ e o desvio padrão σ de X). 
 
1
4
3
2
4
1
2)x(fx)X(E
i
ii =




 ×+




 ×−===µ ∑ 
 
31
4
3
2
4
1
)2()x(fx)X(E 222
i
2
i
2
i
222 =−




 ×+




 ×−=µ−=µ−=σ ∑ 
 
Então 
 
3
12k
=
σ
σ
 ⇒ k = 2. 
 
22
1
]32|1X[|P ≤≥− ⇒ 25,0]32|1X[|P ≤≥− ⇒ limite superior da probabilidade de 
que X difira da média populacional por 32±é 0,25. 
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GABARITO: B 
 
18. (Engenharia/BNDES/2011/Cesgranrio) Ao medir-se a temperatura de 
um forno, em graus Celsius, em diversos momentos, obteve-se uma amostra 
com variância igual a 225. Se cada uma das medidas de temperatura for 
convertida para graus Fahrenheit, utilizando-se a fórmula 32C
5
9
F += , o valor 
da nova variância amostral será 
 
(A) 257 
(B) 405 
(C) 437 
(D) 729 
(E) 761 
 
Resolução 
 
Dado: Var(C) = 225 
 
F = 9C/5 + 32 
 
Var(F) = Var(9C/5 + 32) = (81/25).Var(C) = (81/25).225 = 729 
 
GABARITO: D 
 
Até a próxima aula. Bom estudo! 
 
Alexandre 
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APÊNDICE 
 
TABELA I 
NORMAL: área à direita de Zc 
Parte 
inteira e 
primeira 
decimal 
de Zc 
Segunda decimal de Zc 
Parte 
inteira e 
primeira 
decimal 
de Zc 
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,50000 0,49601 0,49202 0,48803 0,48405 0,48006 0,47608 0,47210 0,46812 0,46414 0,0 
0,1 0,46017 0,45620 0,45224 0,44828 0,44433 0,44038 0,43644 0,43251 0,42858 0,42465 0,1 
0,2 0,42074 0,41683 0,41294 0,40905 0,40517 0,40129 0,39743 0,39358 0,38974 0,38591 0,2 
0,3 0,38209 0,37828 0,37448 0,37070 0,36693 0,36317 0,35942 0,35569 0,35197 0,34827 0,3 
0,4 0,34458 0,34090 0,33724 0,33360 0,32997 0,32636 0,32276 0,31918 0,31561 0,31207 0,4 
0,5 0,30854 0,30503 0,30153 0,29806 0,29460 0,29116 0,28774 0,28434 0,28096 0,27760 0,5 
0,6 0,27425 0,27093 0,26763 0,26435 0,26109 0,25785 0,25463 0,25143 0,24825 0,24510 0,6 
0,7 0,24196 0,23885 0,23576 0,23270 0,22965 0,22663 0,22363 0,22065 0,21770 0,21476 0,7 
0,8 0,21186 0,20897 0,20611 0,20327 0,20045 0,19766 0,19489 0,19215 0,18943 0,18673 0,8 
0,9 0,18406 0,18141 0,17879 0,17619 0,17361 0,17106 0,16853 0,16602 0,16354 0,16109 0,9 
1,0 0,15866 0,15625 0,15386 0,15151 0,14917 0,14686 0,14457 0,14231 0,14007 0,13786 1,0 
1,1 0,13567 0,13350 0,13136 0,12924 0,12714 0,12507 0,12302 0,12100 0,11900 0,11702 1,1 
1,2 0,11507 0,11314 0,11123 0,10935 0,10749 0,10565 0,10383 0,10204 0,10027 0,09853 1,2 
1,3 0,09680 0,09510 0,09342 0,09176 0,09012 0,08851 0,08691 0,08534 0,08379 0,08226 1,3 
1,4 0,08076 0,07927 0,07780 0,07636 0,07493 0,07353 0,07215 0,07078 0,06944 0,06811 1,4 
1,5 0,06681 0,06552 0,06426 0,06301 0,06178 0,06057 0,05938 0,05821 0,05705 0,05592 1,5 
1,6 0,05480 0,05370 0,05262 0,05155 0,05050 0,04947 0,04846 0,04746 0,04648 0,04551 1,6 
1,7 0,04457 0,04363 0,04272 0,04182 0,04093 0,04006 0,03920 0,03836 0,03754 0,03673 1,7 
1,8 0,03593 0,03515 0,03438 0,03362 0,03288 0,03216 0,03144 0,03074 0,03005 0,02938 1,8 
1,9 0,02872 0,02807 0,02743 0,02680 0,02619 0,02559 0,02500 0,02442 0,02385 0,02330 1,9 
2,0 0,02275 0,02222 0,02169 0,02118 0,02068 0,02018 0,01970 0,01923 0,01876 0,01831 2,0 
2,1 0,01786 0,01743 0,01700 0,01659 0,01618 0,01578 0,01539 0,01500 0,01463 0,01426 2,1 
2,2 0,01390 0,01355 0,01321 0,01287 0,01255 0,01222 0,01191 0,01160 0,01130 0,01101 2,2 
2,3 0,01072 0,01044 0,01017 0,00990 0,00964 0,00939 0,00914 0,00889 0,00866 0,00842 2,3 
2,4 0,00820 0,00798 0,00776 0,00755 0,00734 0,00714 0,00695 0,00676 0,00657 0,00639 2,4 
2,5 0,00621 0,00604 0,00587 0,00570 0,00554 0,00539 0,00523 0,00508 0,00494 0,00480 2,5 
2,6 0,00466 0,00453 0,00440 0,00427 0,00415 0,00402 0,00391 0,00379 0,00368 0,00357 2,6 
2,7 0,00347 0,00336 0,00326 0,00317 0,00307 0,00298 0,00289 0,00280 0,00272 0,00264 2,7 
2,8 0,00256 0,00248 0,00240 0,00233 0,00226 0,00219 0,00212 0,00205 0,00199 0,00193 2,8 
2,9 0,00187 0,00181 0,00175 0,00169 0,00164 0,00159 0,00154 0,00149 0,00144 0,00139 2,9 
3,0 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100 3,0 
3,5 0,00023 0,00022 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017 3,5 
4,0 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 4,0 
5,0 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 5,0 
 
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TABELA II 
NORMAL: área de 0 a Zc 
Parte 
inteira e 
primeira 
decimal 
de Zc 
Segunda decimal de Zc 
Parte 
inteira e 
primeira 
decimal 
de Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,0 
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,1 
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,2 
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,3 
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,4 
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,5 
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,6 
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,7 
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,8 
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 0,9 
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,0 
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,1 
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,2 
1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774 1,3 
1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,4 
1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,5 
1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,6 
1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,7 
1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,8 
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 1,9 
2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,0 
2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,1 
2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,2 
2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,3 
2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,4 
2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 2,5 
2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,6 
2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,7 
2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,8 
2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 2,9 
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,0 
3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,5 
4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 4,0 
5,0 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 5,0 
 
Pacote de Teoria e Exercícios para Analista do BACEN – Área 2 
Estatística – Prof.