Curso DSc_Estatística_e_Probabilidade_Transparências

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Curso DSc 
Conhecimento tem marca. 
 
Engenharia / BNDES 
 
Estatística e Probabilidade 
 
Professor Aldo Ferreira 
 
Estatística 
Introdução 
 Em alguma fase de seu trabalho, o 
pesquisador depara com o problema de 
analisar e entender um conjunto de dados 
relevante ao seu particular objeto de estudos. 
 
Página 6 da apostila 
julgar sua adequação a alguma teoria 
 
Estatística 
Introdução 
 O pesquisador necessitará trabalhar os dados para: 
i) transformá-los em informações: qual a média 
salarial da população da Cidade do Rio de Janeiro? 
 
ii) para compará-los com outros resultados: dentre 
duas drogas em estudo, qual a mais eficaz no 
combate a uma determinada doença? 
 
iii) julgar sua adequação a alguma teoria: o modelo 
de Poisson é adequado para modelar o número de 
ligações recebidas pelo call center de um 
determinada empresa? 
 
Estatística 
Introdução 
 Inicialmente, estaremos interessados na 
redução, análise e interpretação dos dados sob 
consideração, adotando um enfoque que 
chamaremos de análise exploratória dos dados 
(AED). 
 
 Nessa abordagem tentaremos obter dos dados 
a maior quantidade possível de informação, que 
indique modelos plausíveis a serem utilizados numa 
fase posterior, a análise confirmatória dos dados 
(ou inferência estatística). 
 
Estatística 
Introdução 
 População e amostra 
 
 
 
 
 
 - Essas propriedades podem ser: o resultado de 
uma medição, um atributo qualitativo, um índice, etc. 
Por exemplo: estatura, cor dos olhos, tempo de 
reação, etc. 
População é o conjunto de todos os elementos 
(pessoas ou objetos) cujas propriedades o 
pesquisador está interessado em estudar. 
 
Estatística 
Introdução 
 População e amostra 
 - Em termos do número dos elementos que 
compõem a população, ela pode ser classificada como 
finita e infinita. 
 
 - Nas situações mais concretas do mundo real, 
estamos sempre lidando com populações finitas. 
 
 
Estatística 
Introdução 
 População e amostra 
 - Se uma população é infinita, ou finita, mas muito 
grande, torna-se impossível ou impraticável a realização 
do censo. Em tais casos, em vez disso, examina-se 
somente uma pequena parte da população que 
chamamos de amostra. 
 
 - Uma amostra é dita representativa da 
população se a partir de sua análise podem ser obtidas 
conclusões sobre a população. Para tanto é necessário 
que a amostra seja extraída de acordo com regras bem 
definidas. 
 
Estatística 
Introdução 
 População e amostra 
 - Ler “Tipologia das Variáveis”, página 5 da 
apostila. 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 Quando se estuda uma variável, o maior 
interesse do pesquisador é conhecer o 
comportamento dessa variável, analisando a 
ocorrência de suas possíveis realizações. 
 
 Vamos estudar uma maneira de se dispor um 
conjunto de realizações, para se ter uma ideia global 
sobre elas, ou seja, de sua distribuição. 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 
 
 
 
 
 
 
 - As proporções são muito úteis quando se 
quer comparar resultados de duas pesquisas 
distintas. 
 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 Variáveis quantitativas contínuas: seus valores 
possíveis podem ser expressos através de números 
reais e varrem uma escala contínua de medição. 
 - A construção de tabelas de freqüências para 
variáveis contínuas necessita de certo cuidado. Por 
exemplo, a construção de uma tabela de freqüências 
para a variável salário, usando o procedimento 
anterior, para a 1ª empresa, não resumirá as 36 
observações (referentes aos funcionários da seção de 
orçamento da empresa) num grupo menor, pois não 
existem observações iguais. A solução empregada é 
agrupar os dados por faixas de salário. 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 
 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Distribuições de Frequências 
 
 - Procedendo-se desse modo, ao resumir os 
dados referentes a uma variável contínua, perde-se 
alguma informação. 
 
 - Note que estamos usando a notação a ├ b 
para o intervalo de números contendo o extremo a, 
mas não contendo o extremo b. Podemos também 
usar a notação [a,b) para designar o mesmo 
intervalo a ├ b. 
 
 
 
 
Estatística 
Resumo de Dados 
 Gráficos 
 
 - Ler “Gráficos”, página 10 da apostila. 
 
 
 
Estatística 
Medidas Resumo 
 Medidas de Posição 
 - Vimos que o resumo de dados por meio de 
tabelas de freqüências fornece muito mais 
informações sobre comportamento de uma variável 
do que a própria tabela original de dados. 
 
 - Muitas vezes, queremos resumir ainda mais 
estes dados, apresentando um ou alguns valores que 
sejam representativos da série toda. 
 
 
 
Estatística 
Medidas Resumo 
 Medidas de Posição 
 - Quando usamos um só valor, obtemos uma 
redução drástica dos dados. Usualmente, emprega-
se uma das seguintes medidas de posição (ou 
localização) central: moda, mediana ou média. 
 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Moda 
 - A moda é definida como a realização mais 
freqüente do conjunto de valores observados. 
 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Mediana 
 - A mediana é a realização que ocupa a 
posição central da série de observações, quando 
estão ordenadas em ordem crescente. 
 
 - Consideremos, agora, as observações 
ordenadas em ordem crescente. Vamos denotar a 
menor observação por x(1), a segunda por x(2), e assim 
por diante, obtendo-se 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Mediana 
 - Por exemplo, se x1=3, x2=-2, x3=6, x4=1, x5=3, 
então -2 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 3 ≤ 6, de modo que x(1) = - 2, x(2) = 1, 
x(3) = 3, x(4) = 3 e x(5) = 6. 
 
 - As observações ordenadas como em (1) são 
chamadas estatísticas de ordem. 
 
Nota) ROL: é a tabela obtida após a ordenação dos 
dados (ordem crescente ou decrescente). Por exemplo, 
41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 
57, 58, 58, 60, 60. 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Mediana 
 - Com esta notação, a mediana da variável X 
pode ser definida como 
 
 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Mediana 
Exemplos 
 - Se as cinco observações de uma variável 
forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, 
correspondendo à terceira observação. 
 
 - Acrescentando o valor 9 à série acima, a 
mediana será (7+8)/2 = 7,5. 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Média 
 - A média (aritmética) é a soma das 
observações dividida pelo número delas. 
 
 - Por exemplo, a média aritmética de 3, 4, 7, 8 e 
8 é (3+4+7+8+8)/5 = 6. 
 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Média 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Variáveis Contínuas 
 - A determinação das medidas de posição para uma 
variável quantitativa contínua, através de sua distribuição de 
freqüências, exige aproximações, pois perdemos a 
informação dos valores das observações. 
 
 - Uma aproximação razoável é supor que todos os 
valores dentro de uma classe tenham seus valores 
iguais ao ponto médio desta classe. Este procedimento 
nos deixa na mesma situação do caso discreto, onde as 
medidas são calculadas usando-se os pares (xi, ni) ou (xi, fi), 
como nas expressões para o cálculo da média dadas na 
transparência anterior. 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Variáveis Contínuas (Exemplo) 
 
 
Estatística 
Medidas de Posição 
 Variáveis Contínuas (Exemplo) 
 
Moda 10 
Mediana 10 
 
 
 
 
Nota) Ao usarmos esta metodologia, os valores obtidos 
para as medidas de posição são, na verdade, 
aproximações dos valores reais e, portanto, o sinal mais 
adequado é . 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 O resumo de um conjunto de dados por uma 
única medida representativa de posição central 
esconde toda a informação sobre a variabilidade do 
conjunto deobservações. Por exemplo, para os 
dados 
grupo A (variável X): 3, 4, 5, 6, 7 
grupo B (variável Y): 1, 3, 5, 7, 9 
grupo C (variável Z): 5, 5, 5, 5, 5 
grupo D (variável W): 3, 5, 5, 7 
grupo E (variável V): 3, 5, 5, 6, 6 
temos todas as médias iguais a 5. 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 - Notamos, então, a conveniência de serem 
criadas medidas que sumarizem a variabilidade de 
um conjunto de observações e que nos permita, por 
exemplo, comparar conjuntos diferentes de valores, 
como os dados acima, segundo algum critério 
estabelecido. 
 - Um critério frequentemente usado para tal fim 
é aquele que mede a dispersão dos dados em torno 
de sua média, e duas medidas são as mais usadas: 
desvio médio e variância. O princípio básico é 
analisar os desvios das observações em relação à 
média dessas observações. 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 - O desvio médio (dm) e a variância (var) são definidos 
por 
 
 
 
 
respectivamente. Para o grupo A temos 
dm(X) = 6/5 = 1,2, 
var(X) = 10/5 = 2,0, 
enquanto para o grupo D temos 
dm(W) = 4/4 = 1,0, 
var(W) = 8/4 = 2,0. 
 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 - Podemos dizer, então, que, segundo o desvio 
médio, o grupo D é mais homogêneo que A, enquanto 
ambos são igualmente homogêneos, segundo a 
variância. 
 
 - Sendo a variância uma medida de dimensão igual 
ao quadrado da dimensão dos dados (por exemplo, se os 
dados são expressos em cm, a variância será expressa 
em cm2), pode causar problemas de interpretação. 
Costuma-se usar, então, o desvio padrão, que é definido 
como a raiz quadrada positiva da variância. 
 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 - Para o grupo A o desvio padrão é 
 
 
 - Suponha que observemos n1 vezes o valor x1 
etc., nk vezes o valor xk da variável X. Então, 
 
 
 
Estatística 
Medidas de Dispersão 
 Uma maneira computacionalmente mais eficiente de 
calcular a variância é 
 
Estatística 
Medidas Resistentes 
 - Tanto a média como o desvio padrão podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de 
dados, pois: 
 
(a) são afetadas, de forma, exagerada, por valores 
extremos; 
 
(b) apenas com estes dois valores não temos idéia da 
simetria ou assimetria da distribuição dos dados. 
 
 - Dizemos que uma medida de localização ou 
dispersão é resistente quando for pouco afetada por 
mudanças de uma pequena porção dos dados. A 
mediana é uma medida resistente, ao passo que a média 
não é. 
 
Estatística 
Quantis 
 - Vimos que a mediana é um valor que deixa 
metade dos dados abaixo dela e metade acima. De 
modo geral, podemos definir uma medida, chamada 
quantil de ordem p, ou p-quantil, indicada por q(p), 
onde p é uma proporção qualquer, 0 < p < 1, tal que 
100p% das observações sejam menores do que q(p). 
 
 
 
Estatística 
Quantis 
 - Indicamos, abaixo, alguns dos quantis e seus 
nomes particulares. 
 
q(0,25): 1º Quartil = 25º Percentil 
q(0,50): Mediana = 5º Decil = 50º Percentil 
q(0,75): 3º Quartil = 75º Percentil 
q(0,40): 4º Decil 
q(0,95): 95º Percentil 
 
 
 
Estatística 
Quantis 
 - Uma medida de dispersão alternativa ao 
desvio padrão é a distância interquartil, denotada 
por dq, definida como a diferença entre o terceiro e o 
primeiro quartis, ou seja, 
dq = q(0,75) – q(0,25). 
 
Análise Bidimensional 
 - Frequentemente estamos interessados em 
analisar o comportamento conjunto de duas ou mais 
variáveis aleatórias. 
 - Um dispositivo bastante útil para se verificar 
a associação entre duas variáveis quantitativas, ou 
entre dois conjuntos de dados, é o gráfico de 
dispersão. 
 
Análise Bidimensional 
 - Suponha as variáveis X e Y extraídas de um 
estudo da carteira de clientes de uma companhia de 
seguros. 
 X: número de anos de serviço de um agente 
da companhia de seguros 
 Y: número de clientes atendidos por um 
agente da companhia de seguros. 
 
 
 
 
Análise Bidimensional 
 
 
 
 
 
Análise Bidimensional 
 - Existem muitos tipos de associações 
possíveis; estudaremos somente o tipo de relação 
mais simples, que é a linear. 
 
 - Definiremos uma medida que avalia o quanto 
a nuvem de pontos no gráfico de dispersão 
aproxima-se de uma reta. 
 
 - Esta medida será definida de modo a variar 
num intervalo finito, especificamente, de -1 a +1. 
 
Análise Bidimensional 
 
 
 
 
 - O coeficiente de correlação (linear) entre 
duas variáveis é a medida do grau de associação 
(linear) entre elas e também da proximidade dos 
dados a uma reta. 
 
 
 
 
Análise Bidimensional 
 Definição. Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, 
y2),, (xn, yn), chamaremos de coeficiente de 
correlação entre as duas variáveis X e Y a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Bidimensional 
 - Definição. Dados n pares de valores (x1, y1), (x2, 
y2),, (xn, yn), chamaremos de covariância entre as 
duas variáveis X e Y a 
 
 
ou seja, a média dos produtos dos valores centrados 
das variáveis. 
 - Com essa definição, o coeficiente de 
correlação pode ser visto como 
 
 
 
 
 
Conjuntos 
e 
Operações com Conjuntos 
 
Noções 
 
Probabilidades 
 - Nosso objetivo é criar um modelo teórico 
que reproduza de maneira razoável a distribuição 
das freqüências, quando o fenômeno é observado 
diretamente. 
 - Tais modelos são chamados modelos 
probabilísticos. 
 
 
 
Probabilidades 
 Exemplo) Lançamento de um dado perfeitamente 
equilibrado. 
 
 
Exemplo) De um grupo de duas mulheres (M) e três 
homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir 
uma reunião. Queremos saber as probabilidades de 
o presidente ser do sexo masculino ou feminino. 
 
 
 
 
 
Probabilidades 
 - Todo experimento ou fenômeno que envolve um elemento casual terá seu modelo probabilístico 
especificado quando estabelecermos: 
i) um espaço amostral, Ω, que consiste, no caso 
discreto, da enumeração (finita ou infinita) de todos os 
resultados possíveis do experimento em questão: 
Ω = {ω1, ω2, …,ωn, …} 
(os elementos de Ω são os pontos amostrais ou 
eventos elementares); 
 
ii) uma probabilidade, P(ω), para cada ponto ω amostral, 
de tal sorte que seja possível encontrar a probabilidade 
P(A) de qualquer subconjunto A de Ω, isto é, a 
probabilidade do que chamaremos de um evento 
aleatório ou simplesmente evento. 
 
 
 
Probabilidades 
 Exemplo) Lançamos uma moeda duas vezes. Se C 
indicar cara e R indicar coroa, então um espaço amostral 
será 
Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4} 
onde ω1 = (C,C), ω2 = (C,R), ω3 = (R,C), ω4 = (R,R). É 
razoável supor que cada ponto ωi tenha probabilidade ¼, 
se a moeda for perfeitamente simétrica e homogênea. 
 
 - Se designarmos por A o evento que consiste na 
obtenção de faces iguais nos dois lançamentos, então 
 
P(A) = P{ ω1, ω4} = ¼ + ¼ = 1/2 . 
 
 
Probabilidades 
 De modo geral, se A for qualquer evento de Ω, então 
 
 
 
 
onde a soma é estendida a todos os pontos amostrais. 
 
Exemplo) Uma fábrica produz determinado artigo. Da linha de 
produção são retirados três artigos, e cada um é classificado como 
bom (B) ou defeituoso (D). Um espaço amostral do experimento é 
Ω = {BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD, BDD, DDD}. 
 Se A designar o evento que consiste em obter dois artigos 
defeituosos, então A = {DDB, DBD, BDD} e 
P(A) = P(DDB) + P(DBD) + P(BDD) 
 
 
 
Estatística 
Exemplos de operações com conjuntos 
 Considere os conjuntos 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}. 
 
Então 
 
AC = {1, 3, 5} 
BC = {2, 4, 6} 
A ∩ B = 𝛟 
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Probabilidades 
Algumas propriedades 
 
 - Para qualquer evento A: 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
 
 - Será útil considerar o espaço todo Ω e o 
conjunto vazio 𝛟 como eventos. O primeiro é 
denominado evento certo e o segundo, evento 
impossível, e temos 
P (Ω) = 1 
e 
P (Ø) = 0. 
 
 
Probabilidades 
Algumas propriedades 
Exemplo 
 
 
 - Dadosreferentes a alunos matriculados em 
quatro cursos de uma universidade em dado ano. 
 
 
 
 
 
P(E) = 30/200 P(H) = 115/200 P(A ∩ H) = 15/200 
P(A U C) = 60/200 = P(A) + P(C) 
 
Probabilidades 
Algumas propriedades 
Exemplo 
 
 
 - Dados referentes a alunos matriculados em 
quatro cursos de uma universidade em dado ano. 
 
 
 
 
 
Regra da Adição de Probabilidades 
P(A U H) = P(A) + P(H) – P(A ∩ H ) 
P(A U H) = 130/200 
 
Algumas propriedades 
Exemplo 
 - Dados referentes a alunos matriculados em 
quatro cursos de uma universidade em dado ano. 
 
 
 
 
 
Seja B = M U E U C. 
A ∩ B = Ø => mutuamente exclusivos (disjuntos) 
A U B = Ω e A ∩ B = Ø => A e B são 
complementares e, portanto, P(A) + P(B) = 1. 
 
 
Probabilidades 
Algumas propriedades 
 
 
 i) P(A) + P(Ac) = 1 
 
 ii) A ∩ Ø = Ø A ∩ Ω = A 
 
 iii) Øc= Ω, Ωc = Ø 
 
 iv) A U Ac = Ω A U Ø = A 
 
 v) A U Ω = Ω 
 
 
 
Probabilidades Condicional e Independência 
 
 
 
 
 
Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja 
matriculado no curso de Estatística, a probabilidade 
de que seja mulher é 20/30 = 2/3. 
 
P (mulher / Estatística) = 2/3 
 
 
 
Probabilidades Condicional e Independência 
 
 Para dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B) 
> 0, definimos a probabilidade condicional de A 
dado B, P(A/B), como sendo 
 
 
 
Regra do Produto de Probabilidades 
 
 
 
 
 
Probabilidades Condicional e Independência 
 
Exemplo 
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três 
vermelhas (V). Suponha que são sorteadas duas bolas 
ao acaso, sem reposição  EVENTOS 
DEPENDENTES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidades Condicional e Independência 
 
Exemplo 
Imagine, agora, que as duas extrações são feitas da 
mesma urna do exemplo anterior, mas a primeira bola 
é reposta na urna antes da extração da segunda  
EXTRAÇÕES INDEPENDENTES 
 
 
 
 
 
 
P(branca na 2ª / branca na 1ª) = 2/5 = P(branca na 2ª) 
 
 
 
Probabilidades Condicional e Independência 
 
Exemplo (continuação) 
 - Se indicarmos por A e B os eventos “bola 
branca na 2ª extração” e “bola branca na 1ª extração”, 
respectivamente, então P(A/B) = P(A). Nesse caso, 
dizemos que o evento A independe do evento B e, 
usando a Regra do Produto de Probabilidades, temos 
 
 
 - Dizemos que A e B são independentes se, e 
somente se, a relação acima é válida. 
 - Se A independe de B, então B independe de A. 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema de Bayes 
 - A versão mais simples do Teorema de Bayes é 
dada pela fórmula 
 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema de Bayes 
 - Dizemos que {C1, C2, ..., Cn} é uma partição 
do espaço-amostral Ω se 
 
 
 
Estatística 
Teorema de Bayes 
 
 
 
 
 
- Teorema (Bayes). A probabilidade de ocorrência do 
evento Ci, supondo-se a ocorrência do evento A, é 
dada por: 
 
 
Estatística 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 - Tabela: Extrações sem reposição de urna com 
duas bolas brancas e três bolas vermelhas, onde a 
variável aleatória X indica o número de bolas 
vermelhas obtidas nas duas extrações. 
 
 
 
 -Tabela: Distribuição de probabilidades da v.a. 
X = número de bolas vermelhas. 
 
 
 
 
Estatística 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 - Tabela: Lançamento de duas moedas, onde a 
variável aleatória Y fornece o número de caras 
obtidas nos dois lançamentos. 
 
 
 
 -Tabela: Distribuição de probabilidades da v.a. 
Y = número de caras. 
 
 
 
 
 
Estatística 
Média e variância de uma Variável Aleatória 
 - Definição. Dada a v.a. X discreta, 
assumindo os valores x1, …, xn, chamamos valor 
médio ou esperança matemática de X ao valor 
 
 
 - Definição. Chamamos de variância da 
v.a. X o valor 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Média e variância de uma Variável Aleatória 
 
- Propriedades - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Função de Distribuição Acumulada 
 - Considere a distribuição de uma v.a. X. 
 
 
 - Chamaremos de função de distribuição 
acumulada (f.d.a.), ou simplesmente função de 
distribuição (f.d.) F à função 
 
 
 
 
x -5 5 10 15 TOTAL 
p(x) 0,19 0,02 0,23 0,56 1 
 
Estatística 
Função de Distribuição Acumulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral, P(X = xi) = F(xi) – F(xi-). 
Limite à esquerda 
 
Estatística 
FDA (Estatística Básica – A Arte de Trabalhar com 
os Números) 
 Exemplo 4.3 / Pág. 99) Em um determinado condomínio 
residencial: 
a) 30% das famílias não têm filhos; 
b) 40% das famílias têm 1 filho; 
c) 20% das famílias têm 2 filhos; 
d) 10% das famílias têm 3 filhos. 
 
 
Estatística 
FDA (Estatística Básica – A Arte de Trabalhar com 
os Números) 
 
 
Estatística 
 
Distribuição Uniforme Discreta 
Definição. A v.a discreta X, assumindo os valores x1, 
..., xk, tem distribuição uniforme se, e somente, 
 P(X = xi) = p(xi) = p = 1/k, 
para todo i = 1, 2, ..., k. 
 
 
 
Estatística 
 Distribuição de Bernoulli 
 Muitos experimentos são tais que os resultados 
apresentam ou não uma determinada característica. 
Por exemplo: 
1) uma moeda é lançada: o resultado ou é cara ou 
não (ocorrendo, então, coroa); 
 
2) um dado é lançado: ou ocorre face 5 ou não 
(ocorrendo, então, uma das faces 1, 2, 3, 4, 5 ou 6); 
 
 
 
Estatística 
 Distribuição de Bernoulli 
3) uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1.000 é ou 
não do sexo masculino; 
 
4) uma pessoa é escolhida ao acaso entre os 
moradores de uma cidade e verifica-se se ela é 
favorável ou não a um projeto municipal. 
 
 
Estatística 
 Distribuição de Bernoulli 
 - Em todos esses casos, estamos interessados 
na ocorrência de sucesso (cara, face 5, etc.) ou 
fracasso (coroa, face diferente de 5, etc.). Essa 
terminologia (sucesso e fracasso) será usada 
frequentemente. 
 - Para cada um dos experimentos anteriores, 
podemos definir uma v.a. X, que assume apenas dois 
valores: 1, se ocorrer sucesso, e 0, se ocorrer 
fracasso. Indicaremos por p a probabilidade de 
sucesso, isto é, P(sucesso) = P(S) = p, 0 < p < 1. 
 
Estatística 
 Distribuição de Bernoulli 
 - Definição. A variável aleatória X, que assume 
apenas os valores 0 e 1, com função de probabilidade (x, 
p(x)) tal que 
 p(0) = P(X = 0) = 1-p, 
 p(1) = P(X = 1) = p, 
é chamada variável aleatória de Bernoulli. 
E(X) = p; 
Var(X) = p – p2 = p(1 – p), 
 
 
Estatística 
 Distribuição Binomial 
 - Imagine, agora, que repetimos um ensaio de 
Bernoulli n vezes. Por exemplo: 
(1’) uma moeda é lançada três vezes; qual é a 
probabilidade de se obter duas caras? 
 
(2’) um dado é lançado cinco vezes; qual é a probabilidade 
de se obter face 5 no máximo três vezes? 
 
(3’) dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de 
um lote contendo 500 peças; qual é a probabilidade de 
que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das 
peças do lote são defeituosas? 
 
 
Estatística 
 Distribuição Binomial 
(4’) cinco pessoas são escolhidas ao acaso entre 1.000; 
qual é a probabilidade de que duas sejam do sexo 
masculino? 
 
(5’) sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são 
favoráveis a um projeto municipal. Escolhendo-se 100 
pessoas ao acaso entre os moradores, qual é a 
probabilidade de que pelo menos 80 sejam favoráveis ao 
projeto? 
 - Nos caso (4’) e (5’), o fato de estarmos extraindo 
indivíduos de um conjunto muito grande implica que 
podemos supor que as extrações sejam praticamente 
independentes. 
 
Estatística 
 Distribuição Binomial 
Definição. Chama-se de experimento binomial ao 
experimento 
i) que consiste em n ensaios de Bernoulli; 
ii) cujos ensaios são independentes; e 
iii) para o qual a probabilidade de sucesso em cada 
ensaio é sempre igual a p, 0 < p < 1. 
Definição. A variável aleatória X, correspondente ao 
número de sucessos num experimento binomial, tem 
distribuição binomial b(n, p) com função de 
probabilidade 
 
Estatística 
 Distribuição BinomialDefinição. A variável aleatória X, correspondente ao 
número de sucessos num experimento binomial, tem 
distribuição binomial b(n, p) com função de 
probabilidade 
 
 
 - A média e a variância da v.a. X é dada por 
 
E(X) = n x p, 
 
Var(X) = n x p x q. 
 
 
 
Estatística 
 Distribuição Hipergeométrica 
 - Essa distribuição é adequada quando 
consideramos extrações casuais feitas sem reposição 
de uma população dividida em dois atributos. 
 
 - Para ilustrar, considere uma população de N 
objetos, r dos quais têm atributo A e N-r têm atributo 
B. Um grupo de n elementos é escolhido ao acaso, 
sem reposição. Estamos interessados em calcular a 
probabilidade de que esse grupo contenha k 
elementos com atributo A. Pode-se ver, utilizando o 
princípio multiplicativo, que essa probabilidade é dada 
por: 
 
 
 
Estatística 
 Distribuição Hipergeométrica 
 
- A probabilidade é dada por: 
 
 
 
- A média e a variância são dadas por: 
 
 
 
onde p = r/N é a probabilidade de se obter uma peça 
defeituosa numa única extração. 
 
 
Estatística 
 Distribuição Hipergeométrica 
-Exemplo - 
Em problemas de controle de qualidade, lotes com N 
itens são examinados. O número de itens com defeito 
(atributo A), r, é desconhecido. Colhemos uma 
amostra de n itens e determinamos k. Somente para 
ilustrar, suponha que num lote de N = 100 peças, r = 
10 sejam defeituosas. Escolhendo n = 5 peças sem 
reposição, a probabilidade de não se obter peças 
defeituosas é 
 
 
 
 
 
Estatística 
 Distribuição Hipergeométrica 
-Exemplo - 
- A probabilidade de se obter pelo menos uma 
defeituosa é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição de Poisson 
 A distribuição de Poisson é largamente empregada 
quando se deseja contar o número de eventos de 
certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo, ou 
superfície ou volume. 
 
(a) número de chamadas telefônicas recebidas por 
um PBX durante cinco minutos; 
(b) número de falhas de um computador num dia de 
operação; e 
(c) número de relatórios de acidentes enviados a uma 
companhia de seguros numa semana. 
 
 
Estatística 
Distribuição de Poisson 
 De modo geral, dizemos que a v.a. N tem uma 
distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se 
 
 
Temos que E(N) = Var(N) = λ; logo, λ representa o 
número médio de eventos ocorrendo no intervalo 
considerado. 
 
Exemplo) Um PBX recebe, em média, cinco chamadas 
por minuto. Supondo que a distribuição de Poisson seja 
adequada nessa situação, obter a probabilidade de que 
não receba chamadas durante um intervalo de um 
minuto. 
 
 
Estatística 
Distribuição de Poisson 
 E se quisermos a probabilidade de obter no máximo 
duas chamadas em quatro minutos? 
 = 5 x 4 = 20 chamadas em 4 minutos. 
Esse exemplo nos mostra que a probabilidade de k 
ocorrências num intervalo fixo de comprimento t pode 
ser escrita como 
 
 
 
onde representa o número médio de ocorrências 
naquele intervalo. 
 
Estatística 
Distribuição Geométrica 
 Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o 
evento A com probabilidade p ou não ocorra o evento 
A (ou seja, ocorre Ac com probabilidade 1-p). 
Repetimos o experimento de forma independente até 
que o evento A ocorra pela primeira vez. 
Seja X = número de repetições do experimento até 
que se obtenha A pela primeira vez. Então, 
 
 
Temos que E(X) = 1/p e Var(X) = (1 – p)/p2. 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
 Definição. Dizemos que a v.a. X tem distribuição normal 
com parâmetros μ e σ2, - ∞ < μ < + ∞ e 0 < σ2 < +∞, se 
sua densidade é dada por 
 
 
A média e a variância são dadas por: 
E(X) = μ e Var (X) = σ2. 
 
Simbolicamente, escrevemos X ~ N(μ,σ2). 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
Gráfico da Função Densidade de Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
Gráfico da Densidade 
 Quando μ = 0 e σ2 = 1, temos uma distribuição 
padrão (distribuição normal padrão) ou reduzida, 
ou brevemente N(0,1). Para essa a função densidade 
reduz-se a 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
Cálculo de Probabilidades 
 Exemplos 
0) P(Z ≥ 0) = 0,5 = P(Z ≤ 0) (A normal é simétrica) 
a) P(0 ≤ Z ≤ 1,73) = 0,4582. 
b) P(Z ≥ 1,73) = 0,5 – 0,4582 = 0,0418 
c) P(-1,73 ≤ Z ≤ 0) = 0,4582 
d) P(0,47 ≤ Z ≤ 1,73) = 0,4582 – 0,1808 = 0,2774 
e) P(Z > 0,75) = 0,5 – 0,27337 = 0,226630 
f) P(Z<-0,66) = 0,5 – P(Z< 0,66) = 0,5 – 0,24537 = 0,25463 
g) P(Z > - 1,23) = P(Z < 1,23) = 0,5 + 0,39065 = 0,89065 
h) P(-0,39 < Z < 0,72) = P(0<Z<0,39) + P(0<Z<0,72) = 
0,415970 
i) P(|Z| > 0,58) = 2 x P(Z > 0,58) = 0,561920 
 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
Estatística 
Distribuição Normal 
Cálculo de Probabilidades 
 Se X ~ N(μ,σ2), então a v.a. definida por terá 
distribuição normal padrão. 
 
Exemplos 
j) P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,2902, para μ = 3 e σ2 = 16. 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 AED: resumo descritivo das variáveis associadas a um 
conjunto de dados. 
 
Modelos teóricos (probabilísticos), identificados por 
parâmetros, capazes de representar adequadamente o 
comportamento de algumas variáveis. 
 
 
O próximo objetivo é apresentar os argumentos 
estatísticos para fazer afirmações sobre as 
características da população, com base em 
informações dadas por amostras. 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 - Na prática, frequentemente o pesquisador tem 
alguma idéia sobre a forma da distribuição, mas não 
dos valores exatos dos parâmetros que a especificam. 
 - Por exemplo, parece razoável supor que a 
distribuição das alturas dos brasileiros adultos possa 
ser representada por um modelo normal (embora as 
alturas não possam assumir valores negativos). 
 - Mas essa afirmação não é suficiente para 
determinar qual a distribuição normal correspondente: 
precisaríamos conhecer os parâmetros (média e 
variância) dessa normal para que ela ficasse 
completamente especificada. 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Nota) Em muitos casos, não existe claramente um 
conjunto de todos os elementos para os quais 
pudéssemos encontrar os parâmetros populacionais. 
Recorrer a modelos para descrever o todo (população) 
facilita a identificação e solução do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 - O propósito do pesquisador seria, então, 
descobrir (estimar) os parâmetros da distribuição 
(população) para sua posterior utilização. 
Nota) Se pudéssemos medir a altura de todos os 
brasileiros adultos, teríamos meios de obter sua 
distribuição exata e, daí, produzir os correspondentes 
parâmetros. 
Nota) Raramente se consegue obter a distribuição 
exata de alguma variável, ou porque é muito 
dispendioso, ou muito demorado ou às vezes porque 
consiste num processo destrutivo. 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Exemplo) Consideremos uma pesquisa para estudar 
os salários dos 500 funcionários da Companhia MB. 
Seleciona-se uma amostra de 36 indivíduos, e anotam-
se os seus salários. 
Nota) Na realidade, estamos interessados nos salários, 
portanto, para sermos mais precisos, devemos 
considerar como a população os 500 salários 
correspondentes aos 500 funcionários. 
Consequentemente, a amostra será formada pelos 36 
salários dos indivíduos selecionados. 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Exemplo) Queremos estudar a proporção de indivíduos 
na cidade A que são favoráveis a certo projeto 
governamental. Uma amostra de 200 pessoas é 
sorteada, e a opinião de cada uma é registrada como 
sendo a favor ou contra o projeto. A população consiste 
de todos os moradores da cidade, a amostra é formada 
pelas 200 pessoas selecionadas. 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Nota) Em alguns casos, fazemos suposições mais precisas 
sobre a população (ou sobre a variável definida para os 
elementos da população). 
Exemplo) Suponha que X represente o peso real de pacotes 
decafé, enchidos automaticamente por uma máquina. 
Suponhamos X ~ N(μ, σ2), com parâmetros desconhecidos. 
Sorteamos 100 pacotes e medimos seus pesos. 
População => o conjunto de todos os (pesos dos) pacotes 
enchidos ou que virão a ser enchidos pela máquina, e que a 
distribuição de X pode ser suposta como normal. 
Amostra => 100 medidas obtidas dos pacotes selecionados, 
que pode ser pensada como constituída de 100 observações 
feitas de uma distribuição normal. 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Exemplo) Para investigar a “honestidade” de uma 
moeda, nós a lançamos 50 vezes e contamos o número 
de caras observadas. A população pode ser considerada 
como tendo a distribuição da variável aleatória X, 
assumindo o valor 1, com probabilidade p, se ocorrer 
cara, e assumindo o valor 0, com probabilidade 1 - p, se 
ocorrer coroa => população com distribuição de Bernoulli 
com parâmetro p. A variável ficará completamente 
especificada quando conhecermos p. 
População => distribuição de Bernoulli com parâmetro p. 
Amostra => sequência de 50 números zeros ou uns. 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem 
 Nota) Os dois últimos exemplos mostram uma ampliação 
do conceito definido de população, ou seja, designamos 
agora a população como sendo a função probabilidade 
ou função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma v.a. 
X, modelando a característica de interesse. 
 
Nota) Nesses casos, simplificaremos a linguagem, 
dizendo “seja a população f(x)”. Por exemplo, 
“considere a população das alturas X ~ N(μ,σ2)”. 
 
 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Nota) O objetivo da Inferência Estatística é produzir 
afirmações sobre dada característica da população, na 
qual estamos interessados, a partir de informações 
colhidas de uma parte dessa população. 
Variável aleatória => Característica de interesse da 
população. 
 - Se tivéssemos informação completa sobre a 
função de probabilidade no caso discreto, ou sobre a 
função de densidade de probabilidade, no caso contínuo, 
da variável em questão, não teríamos necessidade de 
escolher uma amostra. Toda a informação desejada seria 
obtida por meio da distribuição da variável, usando-se a 
teoria estudada anteriormente. 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Nota) Isso raramente acontece. Ou não temos qualquer 
informação a respeito da variável ou ela é apenas parcial. 
No exemplo das alturas de brasileiros adultos, suposta 
normal, desconhecemos os parâmetros (média e 
variância). 
Nota) Em outros casos, podemos ter uma idéia desses 
parâmetros, mas desconhecemos a forma da curva. Ou 
ainda, o que é muito freqüente, não possuímos 
informações sobre os parâmetros, nem sobre a forma da 
curva. 
Nota) Em todos os casos, o uso de uma amostra nos 
ajudaria a formar uma opinião sobre o comportamento da 
variável (população). 
 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Exemplo) (Lançamento da moeda) (continuação). Seja 
X o número de caras obtidas depois de lançar a moeda 
50 vezes: X ~ b(50,p). 
 
Nota) O modelo binomial é válido, admitindo-se ou não a 
“honestidade” da moeda, isto é, sendo ou não p = 1/2. 
 
Lançada a moeda, vamos supor que tenham ocorrido 36 
caras. Esse resultado traz evidência de que a moeda seja 
“honesta”? 
 
 
 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 - Para tomarmos uma decisão, podemos partir do 
princípio de que a moeda não favorece nem cara e nem 
coroa, isto é, p = 1/2. 
 - Com esta informação e com o modelo binomial, 
podemos encontrar qual a probabilidade de se obterem 
36 caras ou mais, e esse resultado nos ajudaria a tomar 
uma decisão. (Transparência 105) 
 - Suponha que a decisão foi rejeitar a “honestidade” 
da moeda: qual é a melhor estimativa para p, baseando-
se no resultado observado? 
 - Descrevemos aí os dois problemas básicos da 
Inferência Estatística: o primeiro é chamado de teste de 
hipóteses, e o segundo, estimação. 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Exemplo) (continuação). Digamos que a máquina de 
encher pacotes de café automaticamente esteja regulada 
para enchê-los segundo uma distribuição normal com 
média 500 gramas e desvio padrão de 100 gramas, isto 
é, X ~ N(500,1002). Sabemos também que, às vezes, a 
máquina desregula-se e, quando isso acontece, o único 
parâmetro que se altera é a média, permanecendo a 
mesma variância. Para manter a produção sob controle, 
iremos colher uma amostra de 100 pacotes e pesá-los. 
Como essa amostra nos ajudará a tomar uma decisão? 
 
 
 Média da Amostra: 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Exemplo) (continuação). Mesmo que a máquina esteja 
regulada, dificilmente será igual a 500 gramas, dado 
que os pacotes apresentam certa variabilidade no peso. 
Mas se não se afastar muito de 500 gramas, não 
existirão razões para suspeitarmos da qualidade do 
procedimento de produção. 
 
 
Só iremos pedir uma revisão da máquina se - 500, em 
valor absoluto, for “muito grande”. 
 
O problema que se apresenta agora é o de decidir o que 
é próximo ou distante de 500 gramas. 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Exemplo) (continuação). Se o mesmo procedimento de 
colher a amostra de 100 pacotes fosse repetido um 
número muito grande de vezes, sob a condição de a 
máquina estar regulada, teríamos idéia do 
comportamento da variável aleatória, e saberíamos 
dizer se aquele valor observado é ou não é um evento 
raro de ocorrer. Caso o seja, é mais fácil suspeitar da 
regulagem da máquina do que do acaso. 
 
Importância de se conhecer as propriedades da 
distribuição da variável . 
 
 
Estatística 
Problemas de Inferência 
 Nota) Repetir um mesmo experimento muitas vezes, sob 
as mesmas condições, nem sempre é possível, mas em 
determinadas condições é possível determinar 
teoricamente o comportamento de algumas medidas 
feitas na amostra, como, por exemplo, a média. 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
Podemos ter uma AAS com reposição, se for permitido 
que uma unidade possa ser sorteada mais de uma vez, e 
sem reposição, se a unidade sorteada for removida da 
população. 
Na apostila e no concurso => Amostragem Aleatória 
Simples com Reposição. 
Definição. As variáveis X e Y, assumindo os valores x1, 
x2, ... e y1, y2, ..., respectivamente, são independentes se, 
e somente se, para todo par de valores (xi, yi) de X e Y, 
tivermos que 
P(X = xi, Y = yj) = P(X=xi)P(Y=yj). 
Estatística 
Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
Exemplo) Consideremos a população {1, 3, 5, 5, 7}. 
Defina a variável X: valor assumido pelo elemento na 
população. 
 Indicando por X1 o número selecionado na primeira 
extração e por X2 o número selecionado na segunda 
extração, vimos que é possível escrever a distribuição 
conjunta do par (X1, X2). 
 
 
 
 
 
Estatística 
Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
Definição. Uma amostra aleatória 
simples de tamanho n de uma variável 
aleatória X, com dada distribuição, é o 
conjunto de n variáveis aleatórias 
independentes X1, X2, ..., Xn, cada uma 
com a mesma distribuição de X. 
 - Ou seja, a amostra será a n-upla 
ordenada (X1, X2, ..., Xn), onde Xi indica a 
observação do i-ésimo elemento sorteado. 
Estatística 
Estatísticas 
 Definição. Uma estatística é uma característica da 
amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de 
X1, X2, ..., Xn. 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Estatísticas 
 Definição. Um parâmetro é uma medida usada para 
descrever uma característica da população. 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuições Amostrais 
 
 
A distribuição da estatística T é obtida quando (X1, X2, ..., 
Xn) assume todos os valores possíveis. Essa distribuição 
é chamada distribuição amostral da estatística T e 
desempenha papel fundamental na teoria da inferência 
estatística. 
Nota) Para cada amostra, calculamos o valor t da 
estatística T. Os valoresde t formam uma nova 
população, cuja distribuição recebe o nome de 
distribuição amostral de T. 
 
 
Estatística 
Distribuições Amostrais 
 Exemplo) (continuação) No caso do lançamento de 
uma moeda 50 vezes, usando como estatística X = 
número de caras obtidas, a obtenção da distribuição 
amostral, que já foi vista, é feita por meio do modelo 
binomial b(50, p), qualquer que seja p = probabilidade de 
ocorrência de cara num lançamento, 0 < p < 1. Se 
estivermos interessados em julgar a “honestidade” da 
moeda, queremos verificar se p = 0,5. Nessas condições, 
P(X≥36/n = 50, p = 0,5) = 0,0013 = 0,13%. 
Nota) Portanto, caso a moeda seja honesta, em 50 
lançamentos, a probabilidade de se obterem 36 ou mais 
caras é da ordem de 1 por 1.000. Ou seja, há evidências 
de que p não deve ser igual a 0,5. 
 
 
 
Estatística 
Distribuições Amostrais 
 Exemplo) Voltemos ao Exemplo da Transparência 
116, no qual selecionamos todas as amostras de 
tamanho 2, com reposição, da população {1, 3, 5, 5, 
7}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição Amostral da Média 
 Teorema) Seja X uma v.a. com média μ e variância 
σ2, e seja (X1, X2, ..., Xn) uma AAS de X. Então 
 
E( ) = μ e Var( ) = σ2/n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 O Teorema Central do Limite abreviadamente (TCL) diz 
respeito ao comportamento da média amostral à medida 
que o tamanho n da amostra cresce indefinidamente. 
 
Exemplo) (A distribuição de renda e o TCL) É um fato 
conhecido que a distribuição de renda pessoal dos 
habitantes de um país é usualmente muito desigual, ou 
seja, muitos ganham pouco e poucos ganham muito. Se 
forem sorteados 200 habitantes desse país e, com base 
nas suas rendas mensais, construirmos um histograma, 
ele terá o seguinte aspecto. 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Figura: A distribuição da renda individual mensal (em 
salários mínimos) em determinado país. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Figura: Histograma da média amostral de renda n, 
para n = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Figura: Histograma da média amostral de renda n, 
para n = 30. 
 
 
 
 
 
Como pode ser facilmente observado, no caso de n = 2, o 
histograma de aproxima mais de uma curva Normal do 
que no caso n = 1. E no caso n = 30, a semelhança do 
histograma com uma curva Normal é ainda maior. 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Teorema 8.2) Para amostras aleatórias simples (X1, 
X2, ..., Xn), retiradas de uma população com média μ 
e variância σ2 finita, a distribuição amostral da média 
( ) aproxima-se, para n grande, de uma distribuição 
normal, com média μ e variância σ2/n. 
 
Nota) Observamos que, se a população for normal, 
então terá distribuição exata normal. Este resultado 
segue do fato de que a distribuição de uma 
combinação linear de v.a.’s normais 
independentes tem ainda distribuição normal. 
 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Exemplo) (Continuação) Suponha que a máquina de café 
encha os pacotes cujos pesos seguem uma distribuição 
N(500, 100). Colhendo-se uma amostra de n = 100 
pacotes e pesando-os, pelo que foi dito acima, terá uma 
distribuição normal com média 500 e variância 100/100 = 
1. Logo, se a máquina estiver regulada, a probabilidade 
de encontrarmos a média de 100 pacotes diferindo de 
500g de menos de 2 gramas será 
P(| - 500| < 2) = P(498 < < 502) = P(-2 < Z < 2) ≈ 
95%. 
Nota) Dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do 
intervalo (498, 502). Caso 100 pacotes apresentem uma média 
fora desse intervalo, podemos considerar como um evento 
raro, e será razoável supor que a máquina esteja desregulada. 
 
 
Estatística 
Teorema Central do Limite (TCL) 
 Corolário) Se (X1, X2, ..., Xn) for uma amostra 
aleatória simples da população X, com média μ e 
variância σ2 finita, e = (X1 + X2 + ... + Xn)/n, então 
 
 
 
Corolário 8.2) A distribuição de e (erro amostral da 
média) aproxima-se de uma distribuição normal com 
média 0 e variância σ2/n, isto é, 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição Amostral de uma Proporção 
 Vamos considerar uma população em que a 
proporção de elementos portadores de certa 
característica é p. Logo, podemos definir uma v.a. X 
da seguinte maneira: 
 
 
Logo, 
μ = E(X) = p e σ2 = Var (X) = p(1 – p). 
Retirada uma AAS dessa população, e indicando por 
Yn o total de indivíduos portadores da característica 
na amostra, 
Yn ~ b(n, p), 
 
 
Estatística 
Distribuição Amostral de uma Proporção 
 - Seja a proporção de indivíduos portadores da 
característica na amostra, isto é, 
 
Então 
 
 
ou seja, a distribuição amostral de é obtida da 
distribuição de Yn: 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Distribuição Amostral de uma Proporção 
 Exemplo) Suponha que p = 30% dos estudantes de 
uma escola sejam mulheres. Colhemos uma AAS de 
n = 10 estudantes e calculamos = proporção de 
mulheres na amostra. Qual a probabilidade de que 
difira de p em menos de 0,01? 
 Temos que essa probabilidade é dada por 
P(| - p| < 0,01) = P(-0,01 < - p < 0,01). 
 Mas – p ~ N(0, p(1 – p)/n) , e como p = 0,3, 
temos que 
Var( ) = (0,3)(0,7)/10 = 0,021, 
E, portanto, a probabilidade pedida é igual a 
 
 
 
Estatística 
Determinação do Tamanho da Amostra 
 Em nossas considerações anteriores fizemos a 
suposição de que o tamanho da amostra, n, era conhecido e 
fixo. Podemos, em certas ocasiões, querer determinar o 
tamanho da amostra a ser escolhida de uma população, de 
modo a obter um erro de estimação previamente estipulado, 
com determinado grau de confiança. 
 Por exemplo, suponha que estejamos estimando a 
média μ e para tal usaremos a média amostral, , baseada 
numa amostra de tamanho n. Suponha que se queira 
determinar o valor n de modo que 
 
 
com 0 < < 1 e é o erro amostral da média máximo que 
podemos suportar, ambos valores fixados. 
 
 
 
Estatística 
Determinação do Tamanho da Amostra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Determinação do Tamanho da Amostra 
(Proporções) 
 
 
 Como não conhecemos p, a verdadeira proporção 
populacional, podemos usar o fato de que p(1-p) ≤ ¼, para 
todo p, a equação da transparência anterior fica 
 
 
Por outro lado, se tivermos alguma informação sobre ou 
pudermos estimá-lo usando uma amostra piloto, basta 
substituir esse valor estimado em 
 n = 
 
 
 
 
Estatística 
Determinação do Tamanho da Amostra 
(Proporções) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste de Hipóteses 
 - Vimos que um dos problemas a serem resolvidos 
pela Inferência Estatística é o de testar uma hipótese. Isto 
é, feita determinada afirmação sobre uma população, 
usualmente sobre um parâmetro dessa, desejamos saber 
se os resultados experimentais provenientes de uma 
amostra contrariam ou não tal afirmação. 
 
 - O objetivo do teste estatístico de hipóteses é, 
então, fornecer uma metodologia que nos permita 
verificar se os dados amostrais trazem evidências que 
apóiem ou não uma hipótese (estatística) formulada. 
138 
Teste de Hipóteses 
Exemplo) Uma indústria usa, como um dos 
componentes da máquina que produz, uma parafuso 
importado, que deve satisfazer a algumas exigências. 
Uma dessas é a resistência à tração. Esses parafusos 
são fabricados por alguns países, e as especificações 
técnicas variam de país para país. Por exemplo, o 
catálogo do país A afirma que a resistência média à 
tração de seus parafusos é de 145 kg, com desvio 
padrão de 12 kg. Já para o país B, a média é de 155 kg e 
desvio padrão 20kg. 
 
 
139 
Teste de Hipóteses 
Exemplo) (Continuação) Um lote desses parafusos, de 
origem desconhecida, será leiloado a um preço muito 
convidativo. Para que a indústria saiba se faz ou nãouma oferta, ele necessita saber qual país produziu tais 
parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes 
do leilão, será divulgada a resistência média de uma 
amostra de 25 parafusos do lote. Qual regra de decisão 
deve ser usada pela indústria para dizer se os parafusos 
são do país A ou B? 
 
 
140 
Teste de Hipóteses 
Uma resposta que ocorre imediatamente é a que 
considera como país produtor aquele para o qual a 
média da amostra mais se aproximar da média da 
população. Assim, uma possível regra de decisão 
seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
141 
Teste de Hipóteses 
Suponha que, no dia do leilão, fôssemos informados de 
que = 148; de acordo com nossa regra de decisão, 
diríamos que os parafusos são de origem A. Podemos 
estar enganados nessa conclusão? Ou, em outras 
palavras, é possível que uma amostra de 25 parafusos 
de origem B apresente média = 148? Sim é possível. 
 
 Para melhor entendermos a regra de decisão 
adotada, é interessante estudarmos os tipos de erros que 
podemos cometer e as respectivas probabilidades. 
 
 Podemos cometer dois tipos de erros, e vamos 
numerá-los para facilitar a linguagem: 
 
142 
Teste de Hipóteses 
Erro de Tipo I: dizer que os parafusos são de A quando 
na realidade são de B. Isso ocorre quando uma amostra 
de 25 parafusos de B apresenta média inferior ou igual a 
150 kg. 
 
Erro do Tipo II: dizer que os parafusos são de B, 
quando na realidade eles são de A. Isso ocorre quando 
uma amostra de 25 parafusos de A apresenta média 
superior a 150 kg. 
 
 
 
 
 
143 
Teste de Hipóteses 
Para facilitar ainda mais, vamos definir duas 
hipóteses também numeradas: 
 
H0: os parafusos são de origem B. Isso equivale a 
dizer que a resistência X de cada parafuso segue 
uma distribuição com média μ = 155 e desvio padrão 
σ = 20. 
 
H1: os parafusos são de A, isso é, a média μ = 145 e 
desvio padrão σ = 12. 
 
 
 
144 
Teste de Hipóteses 
 - Vamos indicar por RC a região 
correspondente aos valores menores que 150. 
 
 - Com as notações indicadas acima, a 
probabilidade de se cometer cada um dos erros pode 
ser escrita: 
P (erro I) = P( Є RC / H0 é verdadeira) = α 
e 
P (erro II) = P( Є RC / H1 é verdadeira) = β. 
 
 
 
 
145 
Teste de Hipóteses 
 - Quando H0 for verdadeira, isto é, os parafusos 
forem de B, sabemos do TLC que terá distribuição 
aproximadamente normal, com média 155 e desvio 
padrão 4, isto é, ~ N(155, 16). 
 
 
 
 
 
 
146 
Teste de Hipóteses 
147 
Teste de Hipóteses 
148 
Teste de Hipóteses 
149 
Teste de Hipóteses 
Teste de Hipóteses 
Do exposto acima constatamos que, escolhido , 
podemos achar as probabilidades de α e β de cometer 
cada tipo de erro. Mas também podemos proceder de 
modo inverso: fixar um dos erros, digamos α, e encontrar 
a regra de decisão que irá corresponder à probabilidade 
de erro de tipo I igual a α. 
 
 
 
 
 
 
 
151 
Teste de Hipóteses 
152 
Teste de Hipóteses 
153 
Teste de Hipóteses 
 - Esse segundo tipo de procedimento é bastante 
utilizado, porque usualmente a decisão que devemos 
tomar não é apenas entre duas possíveis populações. Os 
parafusos poderiam ser produzidos por outros países além 
daqueles citados e, portanto, com outras características 
quanto à resistência média. Suponha, ainda, que interessa 
à indústria fazer uma proposta apenas no caso de o 
parafuso ser de origem B. Qual a regra de decisão que 
deve adotar? 
154 
Teste de Hipóteses 
 - A hipótese que nos interessa agora é: 
 H0: os parafusos são de origem B (μ = 155 e σ = 20) 
 Caso essa não seja a hipótese verdadeira, a 
alternativa é muito mais ampla e pode ser expressa como: 
 H1: os parafusos não são de origem B (μ e σ 
desconhecidos). 
 
Nota) Aqui não podemos especificar os parâmetros sob a 
hipótese alternativa H1, pois se não forem de origem B, os 
parafusos põem ser de vários outros países, cada um com 
suas próprias especificações. 
155 
Teste de Hipóteses 
 - Vamos admitir que a indústria do país B para esse 
caso seja a mais desenvolvida, e nenhum outro país possa 
produzir uma resistência média superior à dela. Então, 
nossa hipótese alternativa seria mais explícita: 
H1: os parafusos não são de origem B (μ < 155 e σ 
qualquer). 
156 
Teste de Hipóteses 
 - Isso significa que só iremos desconfiar de H0 se 
for muito menor do que 155. 
 
Se for superior a 148,42, diremos que o lote é de 
origem B; caso contrário, diremos que não é de 
origem B. 
 
157 
Teste de Hipóteses 
 - Com essa regra de decisão e com a hipótese 
alternativa mais ampla, não podemos encontrar β, 
pois não temos um único parâmetro μ como 
alternativa e nada sabemos sobre σ. 
 
 - Teste H0: μ = 155 vs H1: μ < 155, 
com RC = . 
 
 
158 
Teste de Hipóteses 
159 
Teste de Hipóteses 
 - O cálculo de β depende do valor μ, que não é 
especificado. 
 
Definição. A função característica de operação 
(função CO) do teste acima é definida como 
β (μ)=P(aceitar H0 / μ) = P( > 148,42 / μ) 
 Ou seja, β (μ) é a probabilidade de aceitar H0, 
considerada como uma função de μ. 
 Usualmente, considera-se a função π(μ) = 1 – 
β(μ), que é a probabilidade de se rejeitar H0, como 
função de μ. Essa função é chamada de função 
poder do teste. 
160 
Teste de Hipóteses 
- Poder de um Teste – 
 
- Vimos que, na construção de um teste de hipóteses, 
procuramos controlar o erro de tipo I, fixando sua 
probabilidade de ocorrência, α, e construindo a região 
crítica de modo que P(RC / H0 verdadeira) = α. 
 
 
- Por outro lado, a probabilidade do erro do tipo II, na 
maioria dos casos, não pode ser calculada, pois a 
hipóteses alternativa usualmente especifica um conjunto 
de valores para o parâmetro. Voltemos ao exemplo da 
seção anterior. 
 161 
Teste de Hipóteses 
- Poder de um Teste – 
 - Exemplo) Uma máquina automática para encher 
pacotes de café enche-os segundo uma distribuição 
normal, com média μ e variância sempre igual a 400 g2. A 
máquina foi regulada para μ = 500g. Desejamos, 
periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e 
verificar se a produção está sob controle, isto é, se μ = 500 
ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média 
= 492 g, você pararia ou não a produção para regular a 
máquina? 
H0: μ = 500 g e H1: μ ≠ 500 g. 
162 
Teste de Hipóteses 
- Poder de um Teste – 
 - Exemplo) Uma máquina automática para encher 
pacotes de café enche-os segundo uma distribuição 
normal, com média μ e variância sempre igual a 400 g2. A 
máquina foi regulada para μ = 500g. Desejamos, 
periodicamente, colher uma amostra de 16 pacotes e 
verificar se a produção está sob controle, isto é, se μ = 500 
ou não. Se uma dessas amostras apresentasse uma média 
= 492 g, você pararia ou não a produção para regular a 
máquina? 
H0: μ = 500 g e H1: μ ≠ 500 g. 
 
163 
Teste de Hipóteses 
- Poder de um Teste – 
 
- Exemplo) (continuação) Pela afirmação do problema, σ2 
= 400 será sempre a mesma; logo, para todo μ, a média 
de 16 pacotes terá distribuição N(μ, 400/16), de modo 
que o desvio padrão (ou erro padrão) de é igual a 5. Em 
particular, se H0 for verdadeira, 
 ~ N(500, 25). 
 
- Vamos fixar α = 1%; pela hipótese alternativa, vemos que 
H0 deve ser rejeitada quando o valor assumido por for 
muito pequena ou muito grande (dizemos que temos um 
teste bilateral). 164 
Teste de Hipóteses 
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Teste de Hipóteses 
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Teste de Hipóteses 
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Teste de Hipóteses 
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Teste de Hipóteses 
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Teste de Hipóteses 
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FIM 
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