Aula Estatitica Descritiva Parte II

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Estatísticas Descritivas:
• Medidas de tendência central
• Medidas de dispersão
• Medidas separatrizes
Prof. Luis Alberto Toscano 
Departamento de Estatística - UFMG
Medidas de tendência central:
• Moda
• Mediana
• Média aritmética
?
Xt
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Idade Freq. 
absoluta 
18 4 
19 8 
20 9 
21 6 
22 3 
23 6 
25 3 
26 1 
27 1 
30 1 
38 2 
44 1 
Total 45 
 
Maior 
freqüência 
Moda = 20 
A moda, é o valor que ocorre mais freqüentemente nos 
dados.
No exemplo, observamos que a moda é 20, é a idade mais
freqüente no grupo de 45 pessoas.
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A moda não é adequado para dados contínuos;
 Muitas vezes a moda, pode não ser uma boa medida descritiva, dado que
para calcular a moda não é usada todas as observações;
A moda pode não ser um único valor, isto é, as observações podem
apresentar mais de uma moda;
Não podemos combinar modas para calcular uma média modal de duas
modas separadas na distribuição;
A moda é uma medida volátil, sensível a pequenas mudanças nas
observações;
A moda não é afetada por valores extremos (outliers).
As propriedades da moda podem ser resumidas como segue:
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 A mediana, é o valor médio central depois de
ordenados os dados em forma ascendente.
(50%) (50%)
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Para calcular a mediana seguir os seguintes passos:
• ordenar as observações em forma ascendente;
• identificar o médio ou centro das observações;
• e o valor médio central das observações é a mediana.
Algebricamente, a mediana é o valor que ocupa a posição .
Caso a razão não seja um número inteiro, toma-se como
mediana a média dos dois valores de posições mais próximas a
.
2
)1( n
2
)1( n
2
)1( n
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Na tabela de distribuição de freqüências, do exemplo 2,
observamos que o médio o centro das observações esta
na posição (45+1)/2 = 23,
Idade Freq. 
absoluta 
Freq. 
Acumulada 
18 4 4 
19 8 12 
20 9 21 
21 6 27 
22 3 30 
23 6 36 
25 3 39 
26 1 40 
27 1 41 
30 1 42 
38 2 44 
44 1 45 
Total 45 
 
Observações nas 
posições 22, 23, 
24, ... 27. 
Mediana = 21 
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É possível determinar graficamente a mediana da distribuição de
freqüências, usando a curva da freqüência acumulada (ogiva). No
exemplo, na curva da distribuição percentual acumulada da
distribuição de idades, que mostrada na figura abaixo
Dado que o eixo vertical está 
marcado a freqüência percentual, 
nos localizamos o valor 50%, deste 
ponto puxar uma linha na horizontal 
até a ogiva, e uma linha deste ponto 
para a interseção com o eixo 
horizontal, nos podemos ler que a 
mediana está no ponto 20.
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 A mediana não é volátil como a moda
 A mediana a igual que a moda, não é particularmente sensível
a valores extremos.
 A mediana poderá tomar sempre um único valor.
 A mediana será igual a um valor observado se o número de
observações n é um número impar.
 Para calcular a moda e mediana, não usamos todas as
observações.
 A mediana poder ser determinada graficamente.
As propriedades da mediana podem ser resumidas como segue:
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A média aritmética, o conceito da média aritmética ou
simplesmente média, é bastante familiar.
 Para calcular a média, se soma todas as observações e divide
pelo o número de valores somados. Matematicamente, se n
observações é representado como: X1, X2, ... Xn, a média
aritmética pode ser escrito como:
este pode ser representado numa forma mais sucinta
n
XXX
X n

 21
n
X
X


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5,22
45
1012
X
No exemplo 2, a idade média é:
Idade 
Xi 
Freq. Absoluta 
fi 
 
Xi fi 
18 4 72 
19 8 152 
20 9 180 
21 6 126 
22 3 66 
23 6 138 
25 3 75 
26 1 26 
27 1 27 
30 1 30 
38 2 76 
44 1 44 
Total 45 1012 
 
X1f1 = 18 x 4 = 72 
X1f1+ X2f2+ ... + X12f12 = 1012 
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As propriedades da média aritmética podem ser resumidas como
segue:
•· Para calcular a média se usa todas as observações disponíveis
•· A média é afetada por valores extremos.
•· A média é uma medida estável a pequenas mudanças das
observações.
•· A média não necessariamente será igual a um dos valores
observados.
•· A média não pode ser determinada graficamente.
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Medidas de tendência central e o tipo de variável
As estatísticas moda, mediana e média, interpreta a idéia de
tendência central de maneira diferente, e nossa escolha de uma
apropriada medida para qualquer conjunto de dados, vai depender
dos seguintes fatores:
 qual o tipo de dados que estamos estudando: qualitativos
(nominais ou ordinais) ou quantitativos.
 que aspectos da tendência central nós queremos medir.
Nos observamos as diferenças entre variáveis qualitativas e
quantitativas. A escolha das medidas de tendência central, depende
do tipo de variável,
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Medidas de tendência central e o tipo de variável
Medidas de 
tendência central
Tipo de variável
Nominal Ordinal Quantitativos
Moda sim sim sim
Mediana não sim sim
Média não não sim
Escolha de medidas de tendência central por tipo de variável 
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Comparação entre as medidas de tendência central:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições relativas da média, mediana e moda 
(a) Distribuição simétrica 
Media 
Mediana 
Moda 
 
 Média Moda 
 Mediana 
 (c) Distribuições assimétricas negativas 
 
 
 Moda Média 
 Mediana 
(b) Distribuições assimétricas positivas 
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Medidas de Dispersão
• Amplitude total dos dados (AT) 
AT = Xmax - Xmin
depende apenas do menor e do maior valor, em geral 
não é tão bom quanto a outras medidas de variação que 
levam em conta todos os valores.
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•Desvio Médio (DM)
O desvio esta pela diferença 
di = (Xi – média) 
mede o quão longe o dado está da média. Entretanto, a soma 
desses desvios sempre é igual a zero. Por tanto uma medida de 
dispersão é definida com o modulo dos desvios:
n
XX
n
d
DM
ii  

Medidas de Dispersão
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• Variância (2, S2)
• Desvio Padrão (, S)
N
X i 

2
2
)( 

Outra medida de dispersão é definida comos desvios 
quadráticos (desvio)2. 
2SS 
1
)( 2
2




n
XX
S
i
2 
Medidas de Dispersão
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Idade 
Xi 
Desvio = idade – média 
= XX i  
(desvio)2 
 2XX i  
18 18 – 22,5 = -3,75 14,06 
19 19 – 22,5 = -2,75 7,56 
20 20 – 22,5 = -1,75 3,06 
21 21 – 22,5 = -0,75 0,56 
22 22 – 22,5 = 0,25 0,06 
23 23 – 22,5 = 1,25 1,56 
25 25 – 22,5 = 3,25 10,56 
26 26 – 22,5 = 4,25 18,06 
Total 0 55,50 
 
AT = 26 – 18 = 8
S2 = 55,5 / (8-1) = 7,93.
S = 2,82
Por exemplo, considere uma amostra aleatória de idade de 8 pessoas: 
Medidas de Dispersão
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 if
 Xxi   2Xxi 
  ii fXx
2

Taxa de desistencia 
de cartões de crédito 
CREDICARD
Ponto médio
xi
Freq. 
Absoluta 
(desvio) = (desvio)2 =
0,0 ├ 10,0 5 1 -19,7 388,09 388,09
10,0 ├20,0 15 10 125,3 15700,09 157000,9
20,0 ├30,0 25 15 350,3 122710,1 1840651
30,0 ├40,0 35 7 220,3 48532,09 339724,6
40,0 ├50,0 45 0 -24,7 610,09 0
50,0 ├60,0 55 0 -24,7 610,09 0
60,0├70,0 65 1 40,3 1624,09 1624,09
Total 34 2339389
 






34
2339389
1
1
2
2
n
fXx
S
n
i
ii 68805,5588 e S = 262,3081.
Desvio padrão para dados em intervalos de classe
Medidas de Dispersão
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Para Entender o Desvio Padrão
• Devemos ter em mente que o desvio padrão mede a variação entre
valores.
• Valores próximos uns dos outros originam desvios padrão menores,
enquanto valores muito afastados uns dos outros dão um desvio padrão
maior.
• Uma regra prática que utiliza a amplitude para obter uma estimativa
bastante rudimentar do desvio padrão, é como segue:
Uma regra prática: Desvio padrão 
4
amplitude
Medidas de Dispersão
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Desde que conhecemos o desvio padrão podemos utilizá-lo para
entender melhor os dados, fazendo estimativas dos valores mínimo e
máximo como segue:
Mínimo  (média) – 2 x (desvio padrão)
Máximo  média + 2 x (desvio padrão).
Outra regra que auxilia a interpretação do valor de um desvio 
padrão é a regra empírica, aplicável somente a conjuntos de dados 
com distribuição aproximadamente em forma de sino 
Medidas de Dispersão
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Regra empírica, aplicável somente a conjuntos de dados 
com distribuição aproximadamente simétricas (forma de 
sino).
68%
95%
99%
3X2X
3X 2X XX X
Medidas de Dispersão
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•Coeficiente de Variação (CV)
N
XX i 

2
2
)(

n
X
X


Onde: 
é a média aritmética e
e o desvio padrão.
%100






X
CV

%100






X
S
CV
1
)( 2
2




n
XX
S
i
Medidas de Dispersão
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Outras Medidas de Posição:
• Quartis: Divide a distribuição em 4 partes iguais. Há três quarties 
denotados por Q1, Q2 e Q3,que divide os dados ordenados em 4 grupos com 
25% deles em cada grupo;
• Decis: Divide a distribuição em 10 partes iguais. Há nove Decies, 
denotados por D1, D2, ... D9, que dividem os dados em 10 grupos com cerca 
de 10% deles em cada grupo. 
• Percentis: Divide a distribuição em 100 partes iguais. Há 99 percenties, 
que dividem os dado em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.
O processo de determinação do percentil correspondente a um determinado 
valor X é bastante simples, como se pode ver na expressão seguinte.
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700000600000500000400000300000200000
C E E
Diagrama em caixas – Box – Plot
Pontos discrepantes
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700000600000500000400000300000200000
C E E
Diagrama em caixas – Boxplot
Os valores maiores do que Q3 + 1,5(Q3 - Q1) ou os valores menores 
do que Q1 - 1,5(Q3 - Q1) são considerado atípicos.
Atípicos Atípicos
 Q1 Q2 Q3
Q3 + 1,5(Q3 - Q1)
Q1 - 1,5(Q3 - Q1)
Pontos discrepantes
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Os valores maiores do que Q3 + 3(Q3 - Q1) ou os valores menores do
que Q1 - 3(Q3 - Q1) são considerado outliers.
700000600000500000400000300000200000
C E E
 Q1 Q2 Q3
Q3 + 3(Q3 - Q1)
Q1 - 3(Q3 - Q1)
Outliers Outliers
Pontos discrepantes
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Medidas de Assimetria
Primeiro Coeficiente de Pearson:
Segundo Coeficiente de Pearson:
   
S
MX
Aou
MX
A os
o
s



 
13
213 2
QQ
QQQ
As



Se As < 0 a distribuição é assimétrica negativa;
As = 0 a distribuição é simétrica;
As > 0 a distribuição é assimétrica positiva.
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Medidas de Curtose
Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição que pode ser medido 
utilizando o seguinte coeficiente:
Onde: Q1 e Q3 são os quartis, P90 e P10 são os percentis.
 1090
13
2 PP
QQ
K



K < 0,263 a distribuição de freqüências é leptocúrtica.
Se K > 0,263 a distribuição 
de freqüências é platicúrtica;
K = 0,263 a distribuição de 
freqüências é mesocúrtica;
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