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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ENGENHARIA FLORESTAL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS NORMAN BARROS LOGSDON CUIABÁ, MT. - 2011 ii SUMÁRIO CONTEÚDO PÁGINA 1. Resumo de alguns princípios da estática 1 1.1. Sistema de unidades 1 1.2. Cargas e carregamentos 3 1.3. Decomposição de uma força 6 1.4. Equilíbrio de um corpo rígido 8 1.5. Exercícios propostos 15 2. Apoios 16 2.1. Apoio móvel 16 2.2. Apoio fixo 17 2.3. Engastamento móvel 18 2.4. Engastamento fixo 18 2.5. Estabilidade das estruturas 19 2.6. Cálculo das reações de apoio (estruturas isostáticas) 21 2.7. Exercícios propostos 26 3. Esforços solicitantes 28 3.1. Conceituação 28 3.2. Barras, vigas e pilares 31 3.3. Cálculo de esforços solicitantes 31 3.4. Diagramas de esforços solicitantes 38 3.5. Princípio da superposição de efeitos 44 3.6. Relações diferenciais entre esforços solicitantes 52 3.7. Teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de esforços solicitantes 53 3.8. Exercícios propostos 64 4. Estudo elementar da resistência 67 4.1. Tração e compressão (efeito da força normal) 67 4.2. Cisalhamento simples 69 4.3. Flexão de barras com seção simétrica 70 4.4. Deformação por flexão 74 4.5. Flambagem 86 4.6. Exercícios propostos 89 iii CONTEÚDO PÁGINA 5. Características geométricas de seções planas 92 5.1. Generalidades 92 5.2. Definições 93 5.3. Tabelas de características geométricas de seções planas 94 ¾ Observações complementares 101 5.4. Exercícios propostos 103 6. Teoria das treliças 105 6.1. Generalidades 105 6.2. Tipos de treliças 106 6.3. Nomenclatura utilizada 109 6.4. Cálculo de esforços nas barras de treliças isostáticas 110 6.5. Deslocamentos em estruturas lineares 130 6.6. Exercícios propostos 135 Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas 147 Características geométricas de seções planas 153 Roteiros 157 Anexo 1 (Teoremas úteis para o traçado de diagramas de E. S.) 165 Anexo 2 (Sobre a convenção de sinais) 165 Anexo 3 (Condições de contorno) 166 Anexo 4 (Teoremas da geometria e definições trigonométricas) 166 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.1. Sistema de unidades ¾ Quilograma (kg)Æ Múltiplos e submúltiplos Æ Grama (g) Æ 1g=10-3kg Tonelada (t ou ton.) Æ 1t=103kg=106g ¾ Metro (m)Æ Múltiplos e submúltiplos Æ Milímetro (mm) Æ 1mm=10 -3m 1mm=10-1cm Quilômetro (km) Æ 1km=103m Centímetro (cm) Æ 1cm=10-2ma) Unidades de comprimento b) Unidades de massa 1. Resumo de alguns princípios da estática ¾ Sistema InternacionalÆ MKS ÆOficial no País 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Demais unidades Æ Compostas pelas unidades básicas Algumas vezes Æ Rebatizadas ¾ Segundo (s)Æ Múltiplos Æ Hora (h) Æ 1h=60min=3600s Minuto (min) Æ 1min=60s c) Unidades de tempo d) Outras unidades Unidades básicas Æ Sigla MKS Segundo Quilograma Metro 2 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Velocidade (V)Æ Relação entre o espaço pelo tempo gasto para percorrê-lo ⇒=∆ ∆= dt dxVou t xV [ ] [ ][ ] ⇒∆ ∆= t xV [ ] smV = ¾ Aceleração (a)Æ Relação entre a variação da velocidade e o tempo ⇒=∆ ∆= dt dVaou t Va [ ] [ ][ ] ⇒∆ ∆= t Va [ ] 2sma =[ ] ⇒= s sma ¾ Força (F)Æ Causa de uma aceleração sobre uma determinada massa ⇒= a.mF [ ] [ ] ⇒= ]a.[mF [ ] 2sm.kgF = Newton (N)Æ Múltiplos Æ Quilonewton (kN) Æ 1kN=103N Meganewton (MN)Æ 1MN=103kN=106N Unidade batizada de Newton (N) Æ 2sm.kg1N1 = 3 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.2. Noções sobre forças Tem direção vertical e sentido para baixo Unidades Æ N, kN, MN etc. É a força mais conhecida em estruturas a) Peso ¾ CarregamentoÆ cargas aplicadas simultaneamente sobre a estrutura 1.2. Cargas e carregamentos ¾ CargaÆ aquilo que aplica um efeito sobre a estrutura Por exemploÆ uma força aplicada à estrutura é uma carga; um conjunto de forças, aplicadas à estrutura, é um carregamento. “A causa da aceleração da gravidade sobre uma determinada massa”. Æ 2s/m81,9g:onde,g.mP == Pode ser aplicada a estrutura em qualquer direção e sentido⇐ Estrutura 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon b) Peso próprio Termo utilizado para referir-se ao peso da estrutura, que além do carregamento aplicado, também deve suportar seu peso próprio. c) Peso específico Unidades Æ kN/m3 , N/cm3 , N/mm3 etc. “É o peso por unidade de volume”. Æ V.PVP γ=⇒=γ d) Pressão e tensão Unidades Æ “Força por unidade de área ”. Æ A Fp =Pressão Æ ← Força aplicada← Área de contato A F=σTensão2Æ ← Reação interna← Área da seção transversal Pascal Æ 1Pa = 1N/m2 Megapascal Æ 1MPa = 106 Pa ⇒ 1MPa = 106N/m2 ⇒ 1MPa = 1N/mm2 2 σ é e a letra grega Sigma 1 1 γ é e a letra grega Gama 4 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon A Fp =Pressão Æ ← Força aplicada← Área de contato A F=σTensão Æ ← Reação interna← Área da seção transversal 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon e) Carga distribuída Unidades Æ N/m , N/cm , N/mm etc. “É a força por unidade de comprimento”. Æ L Fp = Utiliza-se quando uma das dimensões da área de contato é pequena ¾ Carga uniformemente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de um sólido homogêneo e de seção constante ao longo de seu contato L.pP L Pp =⇒= 5 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Carga linearmente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de um sólido homogêneo, cuja altura varia linearmente ao longo de seu contato ¾ Carga parabolicamente distribuídaÆ corresponde à distribuição do peso de um sólido homogêneo , cuja altura varia parabolicamente ao longo do contato 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon f) Carga concentrada Unidades Æ N , kN , MN etc. “É a força aplicada em um ponto (centro do contato)”. Æ Utiliza-se quando as duas dimensões da área de contato são pequenas 6 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Forças em direções ortogonaisÆ trabalhos independentes 1.3. Decomposição de uma força α= cos.FFx β= cos.FFy ( )α−= oy 90cos.FF⇒ ⇒ α= sen.FFy Ângulo entre a força F e a componente procurada O sentido das componentes é o mesmo da força. Se F entra (sai) Fx e Fy entram (saem). F é a Resultante da soma vetorial de Fx e Fy 1 α é e a letra grega Alfa 1 2 2 β é e a letra grega Beta 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 001Æ Decompor o carregamento da estrutura representada na figura abaixo, em duas forças, uma axial e outra normal ao eixo da estrutura. Estrutura Apoio No eixo Perpendicular ao eixo 7 8 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Corpo rígidoÆ todosólido capaz de receber forças sem se deformar 1.4. Equilíbrio de um corpo rígido ¾ Sem deformar Æ ação de forças produz movimentos ¾ Espaço tridimensional Æ 6 movimentos independentes Corpo rígido tridimensional em Repouso 1 - Translação no eixo x 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3 - Translação no eixo z2 - Translação no eixo y 9 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4 - Rotação em torno de eixo paralelo ao eixo x 5 - Rotação em torno de eixo paralelo ao eixo y 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 6 - Rotação em torno de eixo paralelo ao eixo z Movimento qualquer Æ uma combinação dos 6 movimentos independentes 10 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ TranslaçõesÆ produzidas por forças (F=m.a) ¾ RotaçõesÆ produzidas por Momentos ¾ MomentoÆ Momento é uma grandeza vetorial, definida como o produto da força (F) pela distância (z), do eixo considerado (x) à linha de ação desta força ÆM=F.z Braço de alavancaÆ distância (z) Unidades Æ N.m, N.cm, N.mm etc. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Sem translaçõesÆ Sem rotaçõesÆ ¾ EquilíbrioÆ ∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fz ∑ = 0Mx ∑ = 0My ∑ = 0Mz Indica a direção do eixo Indica em torno do eixo Equilíbrio de um corpo rígido tridimensional Componente da força na direção indicada z.FM = 11 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Estruturas tridimensionaisÆ ¾ Estruturas planasÆ Sistemas “6 x 6” Só com uso de computadores Historicamente Æ decompor em estruturas planas Espaço bidimensional Æ Um plano Estrutura, cargas e deslocamentos Æ no plano Movimentos independentes Æ apenas três Sistemas “3 x 3” Corpo rígido bidimensional em Repouso 1 - Translação horizontal 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 - Translação vertical 3 - Rotação Equações fundamentais da estática ∑ = 0Fh ∑ = 0Fv ∑ = 0Mo Æ Equilíbrio de um corpo rígido plano z.FMO = 12 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 002Æ Verificar o equilíbrio do corpo rígido plano esquematizado na figura abaixo. 13 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 003Æ Obter as forças F1, F2 e F3, que mantêm o corpo rígido plano, esquematizado na figura abaixo, em equilíbrio. 14 15 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.5. Exercícios propostos 1.5.1. Quais são as unidades básicas do sistema internacional? 1.5.2. Como é obtida a unidade de força no sistema internacional? Como é denominada esta unidade? 1.5.3. O que é peso? Quais suas características? Quais as unidades utilizadas? 1.5.4. O que é peso especifico? Quais as unidades utilizadas? 1.5.5. O que é pressão? Quais as unidades utilizadas? 1.5.6. O que é tensão? O que a diferencia de pressão? 1.5.7. O que é carga uniformemente distribuída? Quais as unidades utilizadas? 1.5.8. O que é carga concentrada? Quais as unidades utilizadas? 1.5.9. O que é resultante de um sistema de forças? 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1.5.10. Como se obtém a componente de uma força em determinada direção? 1.5.11. Decompor as forças representadas na figura ao lado, nas direções dos eixos x e y. 1.5.12. Obter um carregamento equivalente, ao representado na figura abaixo, de tal forma a obter cargas axiais e normais ao eixo da estrutura. 16 17 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Representação esquemática V V É semelhante ao do apoio móvel, mas com furo justo na cantoneira para evitar translação horizontal. Exemplo de montagem do apoio fixo H H Cantoneiras com furo justo Travesseiro de madeira (compressão normal) O apoio pode ser simplificado conforme a ação. Por exemplo, se as ações verticais forem para baixo (reação para cima) e as ações horizontais desprezíveis. 18 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ← Bloco de concreto Orifício prevendo instalação da estrutura Estrutura (sem aderência ao concreto) 2.4. Engastamento fixo Exemplo de montagem do engastamento móvel Reação Horizontal Reação Vertical Momento de Engastamento Impede translação horizontal Impede translação vertical Engastamento fixo é um sistema de apoio sem graus de liberdade, que fornece três reações: reação vertical; reação horizontal e momento de engastamento, que impedem todos os movimentos. Impede a rotação 19 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Representação esquemática M M V V H H Pregos para melhorar a aderência da madeira ao concreto Estrutura de madeira “chumbada” no concreto (com aderência). Bloco de concreto Æ (ainda fresco) Exemplo de montagem do engastamento fixo 20 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 reações instável 4 reações instável 4 reações instável 3 reações instável 2 reações instável 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Tipos de estruturas (quanto a estabilidade dos apoios) ¾Estruturas hipostáticas Æ Combinação de apoios instável Regra Æmenos de 3 reações Não devem ser usadas na construção civil Radical grego: “menos que” Instável ocorre Translação horizontal Instável ocorre Translação horizontal Instável ocorre Rotação (pêndulo) ¾Estruturas isostáticas Æ Combinação de apoios estável Regra Æ 3 reações Radical grego: “igual a” Estaticamente determinadasÆ ReaçõesÆ obtidas com equações fundamentais da estática Estável Estável Estável 21 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Estruturas hipostáticas como caso excepcional Combinação de apoios instável Regra Æ não segue as regras das hipostáticas Não devem ser usadas na construção civil Æ 4 reações instável 4 reações instável 2.6. Cálculo das reações de apoio (estruturas isostáticas) O cálculo das reações de apoio de uma estrutura isostática é feito com o auxilio das três equações fundamentais da estática ∑ = 0Fh ∑ = 0Fv ∑ = 0MO z.FMO = 22 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Substituir os apoios por suas reações (sentido arbitrário) Simplificar o carregamento (concentrar cargas distribuídas e/ou decompor cargas inclinadas) Aplicar as três equações fundamentais da estática, resolver o sistema e obter as reações Fornecer a solução, em desenho, invertendo o sentido das reações negativas Roteiro – Cálculo de reações de apoio V M V H M VV H ∑ = 0Fh∑ = 0Fv∑ = 0MOz.FMO = Apoio por onde passam mais reações 1 2 3 4 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 004Æ Calcular as reações de apoio da estrutura isostática esquematizada na figura abaixo. 23 24 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 005Æ Calcular as reações de apoio da estrutura isostática esquematizada na figura abaixo. 25 26 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2.7. Exercícios propostos 2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio? 2.7.2. Descreva o apoio móvel. 2.7.3. Descreva o apoio fixo. 2.7.4. Descreva o engastamento móvel. 2.7.5. Descreva o engastamento fixo. 2.7.6. Represente, esquematicamente, com suas reações de apoio: o apoio móvel, o apoio fixo, o engastamento móvel e o engastamento fixo. 2.7.7. O que se entende por condição de apoio estável? Represente, esquematicamente, algumas estruturas com condição de apoio estável. 2.7.8. O que são estruturas (externamente) hipostáticas? Represente, esquematicamente, alguns exemplos. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 2.7.10. O que são estruturas (externamente) hiperestáticas? Represente, esquematicamente, alguns exemplos. 2.7.9. O que são estruturas (externamente) isostáticas? Represente, esquematicamente, alguns exemplos. 2.7.11. Conforme a combinação de apoio, fornecer o tipo das estruturas representadas nas figuras a seguir. a b 27 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas c d e 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2.7.12. Calcular as reações de apoio, das estruturas isostáticas do exercício anterior (2.7.11). f g h i 28 29 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Convenção de sinais A apresentação de forças (ou momentos) deve ser visual, por se tratar de grandeza vetorial (tem direção sentido e magnitude). Esta prática não é conveniente para esforços solicitantes, pois eles se encontram no interior das estruturasÆ Convenção de sinais. Força Normal (N) Força Normal positiva ¾ Sai da seção de corte ¾ Barra tracionada 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Força Cortante (V) Força Cortante positiva ¾ Provoca giro horário nos “apoios” ¾ Segue a Regra PolíticaÆ À esquerda desce e à direita sobe ¾ Sinal é convencionado Æ Não é associado ao fenômeno físico 30 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Momento Fletor (M) Momento Fletor positivo ¾ Provoca tração embaixo ¾ “Força torta” que “estica” embaixo 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Momento Torçor (T) Momento Torçor positivo ¾ Segue a Regra do Saca-rolhasÆ Se o “saca-rolhas” (dedão da mão direita) entra na seção de corte, o momento torçor é positivo ¾ Sinal é convencionado Æ Não é associado ao fenômeno físico Estruturas planas Æ 3 esforços solicitantes Æ Força normal (N), força cortante (V) e momento fletor (M) Estruturas Planas (Resumo) N, V e M positivos 31 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.2. Barras, vigas e pilares BarraÆElemento estrutural no qual as dimensões da seção são nitidamente menores que o comprimento do eixo da peça No sentido geral Barra simples Æ BarraÆ Transmite só força normal, N Barra geral Æ ChapaÆ Transmite força normal, N forca cortante, V e momento fletor, M VigaÆ Transmite N, V e M e é usada na horizontal PilarÆ Transmite N, V e M e é usado vertical Elemento fino e comprido 3.3. Cálculo de esforços solicitantes Estruturas planas Æ 3 esforços solicitantes (N, V e M) Æ podem ser obtidos aplicando as 3 equações fundamentais da estática. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Cálculo das reações de apoio Aplicar as três equações fundamentais da estática, na parte escolhida, resolver o sistema e obter os E. S. Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e se necessário, simplificar os carregamentos Roteiro – Cálculo de E. S. em uma seção de estrutura plana ∑ = 0Fh∑ = 0Fv∑ = 0MO z.FMO = Ponto de corte 1 2 3 4 Cortar a estrutura, na seção onde se desejam encontrar os esforços solicitantes, colocando-os (incógnitas) com seu sentido positivo Ver roteiro apropriado (página 15) Ver mais detalhes Ver Anexo 2 32 33 34 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 007Æ Calcular os esforços solicitantes na seção genérica “C”, do pilar representado na figura abaixo. 1) Cálculo das reações de apoio Substituir os apoios por suas reações 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Simplificar o carregamento Aplicar as três equações fundamentais da estática, obtendo reações ( ) ⇒=−−∴→= +∑ 0.pH0Fh l ( ) ⇒=−∴↑+=∑ 0PV0Fv l.pH −= PV = ∑ = 0MB ⇒−−∴ 2..pM ll 2 .pM 2l−=Apoio por onde passam mais reações 0 0 0 - - 35 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Fornecer a solução, em desenho, invertendo o sentido das reações negativas 2) Cortar a estrutura, onde se desejam os E. S. (seção “C”), colocando-os com seu sentido positivo OBS.: Estruturas verticais não têm “embaixo”, ele precisa ser adotado Ver detalhes Em baixo (escolhido) 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3) Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e simplificar carregamentos Escolhendo-se a parte superior Em baixo (escolhido) 4) Aplicar, na parte escolhida, as três equações fundamentais da estática e obter os esforços solicitantes na seção ( ) ⇒=−−∴→= +∑ 0x.pV0Fh x.pV −= ( ) ⇒=−−∴↑+=∑ 0PN0Fv PN −= ∑ = 0MC ⇒=−−∴ 02x.x.pM 2 x.pM 2 −=Ponto de corte Convencional, sem significado físico Compressão Tração em cima (lado direito) 0 0 - 0 - Ver Anexo 2 36 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 008Æ Calcular os esforços solicitantes na seção genérica “C”, da viga representada na figura abaixo. 1) Cálculo das reações de apoio Substituir apoios por reações 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Simplificar o carregamento Aplicar as três equações fundamentais da estática, obtendo reações ( ) ⇒=−∴→= +∑ 0H0F Ah 0HA = ( ) ⇒=−+∴↑+=∑ 0.pVV0F BAv l l.pVV BA =+Equação A ∑ = 0MA ⇒=−∴ 0.V2..p B lll 2 .pVB l=Apoio por onde passam mais reações Voltando-se na Equação A: ⇒=+⇒==+ lll .p 2 .pV0.pVV ABA 2 .pVA l= Fornecer a solução, invertendo o sentido das reações negativas 0 0 + - 37 301.1125-0 – Resistênciados Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2) Cortar a estrutura, onde se desejam os E. S. (seção “C”), colocando-os com seu sentido positivo 3) Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e simplificar carregamentos Escolhendo-se a parte esquerda: Simplificando o carregamento 0 0 -- + 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4) Aplicar, na parte escolhida, as três equações fundamentais da estática e obter os esforços solicitantes na seção ( ) 0N0Fh =∴→= +∑ 0N = ( ) 0Vx.p 2 .p0Fv =−−∴↑+=∑ l x.p2.pV −= l ∑ = 0MC 0x.2.p2x.x.pM =+−−∴ l 2x.px.2.pM 2 −= l 38 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 3.4. Diagramas de esforços solicitantes Diagramas de esforços solicitantes são diagramas que representam a variação dos esforços solicitantes ao longo da estrutura Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Regras de construção de diagramas de esforços solicitantes 1) O eixo das abscissas (não apresentado) coincide com o eixo da estrutura; 2) O eixo das ordenadas (não apresentado) apresentará os valores do esforço solicitante considerado; 3) Para os diagramas de força normal (N) e força cortante (V) é obrigatório o uso de sinais; 4) O diagrama de momento fletor (M) deve ser desenhado do lado tracionado (M>0 Æ traciona embaixo ⇒ desenha-se embaixo); 5) Os diagramas de esforços solicitantes devem ter hachuras indicando a direção de leitura; 6) Um diagrama (ou trecho) constante pode ter sua representação simplificada colocando-se um sinal de igual sobre ele, seguido de seu valor (com sinal); 7) Os diagramas de esforços solicitantes serão apresentados associados (sob ou ao lado) ao esquema estático (estrutura e carregamento), aproveitando as cotas de posição. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Exemplo de aplicação 009Æ Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga do exemplo de aplicação 008, apresentada na figura ao lado. No exemplo de aplicação 008 foram obtidos em uma seção distante “x” do apoio esquerdo. 0)x(N = x.p 2 .p)x(V −= l 2 x.px. 2 .p)x(M 2 −= l a) Diagrama de força normal (N) A expressão de N(x) independe de x Æ N=0 sempre b) Diagrama de força cortante (V) A expressão de V(x) é a de uma reta Æ são necessários 2 pontos para defini-la. x y = V(x) 2 .p0 l 2 .p ll − c) Diagrama de momento fletor (M) A expressão de M(x) é a de uma parábola Æ precisa-se de 3 pontos para defini-la. x y = M(x) 00 8 .p 2 2ll 0lM>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenha-se embaixo p.l 2 p.l 2 p.l2 8 39 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Exemplo de aplicação 010Æ Traçar os diagramas de esforços solicitantes do pilar do exemplo de aplicação 007, apresentado na figura abaixo. No exemplo de aplicação 007 foram obtidos a “x” do extremo livre. x.p)x(V −= P)x(N −= 2 x.p)x(M 2 −= a) Força normal (N) N(x) independe de “x” Æ N=-P sempre b) Força cortante (V) V(x) é uma reta Æ são necessários 2 pontos para defini-la. x y = V(x) 00 ll .p− c) Momento fletor (M) M(x) é uma parábola Æ são precisos 3 pontos para traçar. x y = M(x) 00 8 .p 2 2ll − 2 .p 2ll − M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (a direita) p.l p.l -P P p.l2 8 p.l2 2 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplos apresentados Æ Diferentes lÆ Estruturas diferentes Diferentes p e P Æ Carregamentos diferentes Tabelar casos freqüentes Æ “Diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas” (a partir da página 33) Notas: 1) Equações obtidas por trechos de mesmo carregamento; 2) Foram incluídas as equações de deslocamento (flechas), que serão estudadas adiante, Ver “tabela” de Diagramas de Esforços Solicitantes 40 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Localizar o esquema estático correspondente nas “Tabelas” Desenhar os diagramas como estão tabelados (rascunho) Identificar cotas que definem as curvas dos diagramas Calcular cotas com formulário à direita nas “Tabelas” Roteiro – Uso de tabelas para traçar diagramas de E. S. 1 3 4 Fazer os ajustes e desenhar diagramas associados ao esquema estático 5 1) Cotas batizadas estão em valor absoluto; 2) Outras cotas Æ das equações Æ com sinal; 3) Exceção V3 (batizada) alínea fÆ sai de Vx Polinômio Æ número de cotas = grau mais 1 1) Só problemas mais freqüentes tabelados; 2) Tabelas para vigas com carga vertical ⇒ reação H=0, N é nulo e ¾ Fazer inversão correspondente e ¾ Trocar sinal da força cortante 3) Problemas invertidos (girados de 180o): N, V e M > 0 N e M > 0, mas V < 0 Girando de 180o 2 41 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Diagramas “Tabelado” na alínea “b” Procurar usar “tabelas” automática e diretamente Constante Constante Reta Reta ⇒== 2 PVR ⇒ 2 20000 N10000VR == 10000 N 10000 N 10000 N 10000 N ( ) ⇒= 4.PcentronoMmáx l ⇒4 00,6.20000 m.N30000M máx = 30000 N.m ¾ Exemplo de aplicação 013 - Traçar os diagramas de Momento Fletor (M), Força Normal (N) e Força Cortante (V) para a viga ao lado. 42 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Diagramas “Tabelado” na alínea “k” Procurar usar “tabelas” automática e diretamente ¾ Exemplo de aplicação 014 - Traçar os diagramas de Momento Fletor (M), Força Normal (N) e Força Cortante (V) para o pilar abaixo. C on st an te R et a ⇒== PVR ⇒N5000 N5000VR == 5000 N 5000 N ( )⇒= fixoextremonoMM máx ⇒00,2.5000 m.N10000MM máx == 10000 N.m 10000 N.m 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon As “tabelas” também podem ser usadas para obter Esforços Solicitantes em posições particulares. ¾ Associar a posição à abscissa “x” da “tabela”Æ obter “x” ¾ Aplicar a equação do Esforço Solicitante para obtê-lo. ¾ Exemplo de aplicação 015 - Obter o momento fletor no centro da viga do exemplo de aplicação 011, cujos diagramas estão ao lado. Diagramas Define abscissa “x” e equações de Mx( )⇒esquerdoapoiodopartiravigadacentrox ⇒==⇒ 2 00,6 2 x l m00,3x = ( ) ( )⇒−==>= x.Rm00,2am00,3xparaM 2x l ( )⇒−=⇒ 00,300,6.67,666M x m.N2000M x =3,00 m 2000 N.m M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo 43 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 016 - Obter a força cortante a 1,00 m do extremo livre do pilar do exemplo de aplicação 012. Obter também, os momentos fletores a 0,50 m do extremo livre e a 2,00 m do extremo fixo. Os diagramas são dados abaixo. Diagramas Define abscissa “x”, “embaixo”, equações de Vx e de Mx ( )⇒livreextremodom00,1ax ⇒=⇒ m00,1x m00,1x = x.pVx −= Invertido ⇒V troca sinalÆ Æ x.pVx += ⇒=⇒ 00,1.1000Vx N1000Vx = 0, 50 1, 00 m 1, 00 m 10 00 N 12 5 N. m 50 0 N. m 2, 00 m ( )⇒livreextremodom50,0ax m50,0x = ⇒−= 2 x.pM 2 x ⇒− 2 50,0.1000 2 m.N125M x −= M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (esquerda) ⇒ livreextremodopartiramas,fixoextremodom00,2ax ⇒−= 00,200,3x m00,1x = ⇒−= 2 x.pM 2 x ⇒− 2 00,1.1000 2 m.N500M x −= 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Exemplode aplicação 017 - Obter os momentos fletores a 1,67 m do apoio esquerdo e a 4,00 m do apoio direito da viga do exemplo de aplicação 013, cujos diagramas estão ao lado Diagramas Define abscissa “x” e equações de Mx 1,67 m 4,00 m2,00 m 16700 N.m 20000 N.m ( )⇒esquerdoapoiodom67,1ax m67,1x = ⇒===<= 2 x.P)m00,3 2 00,6 2 m67,1xpara(Mx l ⇒⇒ 2 67,1.20000 m.N16700M x = ( )⇒esquerdoapoiodopartiramas,direitoapoiodom00,4ax ⇒−= 00,4x l ⇒− 00,400,6 m00,2x = ⇒===<= 2 x.P)m00,3 2 00,6 2 m00,2xpara(Mx l ⇒⇒ 2 00,2.20000 m.N20000M x = M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo 44 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Exemplo de aplicação 018 - Obter o momento fletor no centro do pilar do exemplo de aplicação 014. Os diagramas são dados abaixo. Diagramas Define abscissa “x”, “embaixo”, equações de Vx e de Mx2500 N.m1, 50 m ( )⇒livreextremodopartirapilardocentrox ⇒= 2 00,3 2 l m50,1x = ( )⇒−−==>= ax.P)m00,1am50,1xpara(Mx ( )⇒−− 00,150,1.5000 m.N2500Mx −= M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (direita) 45 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ As idéias do princípio da superposição de efeitos João Æ 70 kg Maria Æ 50 kg João e Maria Æ ? 12 0 k g E se subirem 2 rapazes com o “peso” de João e 3 moças com o “peso de Maria? ⇒+= MariaJoãoTotal P.3P.2P ⇒+= 50.370.2PTotal kg290PTotal = Combinação linear Se o carregamento de uma estrutura for uma combinação linear de outros carregamentos, mais simples, os efeitos produzidos por este carregamento, podem ser obtidos pela combinação linear equivalente dos efeitos dos diversos carregamentos, mais simples, atuando isoladamente na estrutura. Princípio da Superposição de efeitos 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ O princípio da superposição de efeitos vale sempre? Não, existem duas exceções: Estruturas que “viram” outra após o carregamento, como as pênseis. Estruturas cujo material “vira” outro após o carregamento, como plástico, solo etc. Varal bem esticado Varal com “peso” no centro Plástico Plástico esticado (deformado) Para as estruturas de madeira usuais (barras, vigas, pilares e treliças) o princípio da superposição de efeitos é sempre válido. Material cujas deformações são proporcionais as tensões Valem as hipóteses de pequenos deslocamentos Teoria linear de primeira ordem 46 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Decompor o carregamento dado, de modo a obter uma combinação linear de dois ou mais carregamentos simples e tabelados. Traçar os diagramas de N, V e M dos carregamentos mais simples e tabelados. Subdividir o problema em trechos onde as curvas tem o mesmo domínio e obter E. S., dos problemas tabelados, no início e fim de cada trecho. Iniciar a superposição de efeitos, obtendo os esforços solicitantes no início/fim de cada trecho, aplicando a combinação linear (obtida em 1) aos E. S. Roteiro – Princípio da superposição de efeitos 1 3 4 5 2 Usar roteiro especifico, dado anteriormente. ¾ Identificar, em cada problema tabelado, os pontos de mudança de curvas ¾ Estes pontos, que indicam início/fim de trecho, devem ser marcados em todos os problemas (solicitado e tabelados) ¾ Voltar as “tabelas” e obter E. S. (nestes pontos dos problemas tabelados) Completar diagramas aplicando a combinação (obtida em 1) à forma das curvas. Obter também os terceiros pontos de parábolas de maneira análoga ao passo 4 A soma de dois polinômios resulta em outro de grau igual ao maior. Voltar – Ex. 019 Ver roteiro Rascunhos 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Exemplo de aplicação 019 - Traçar os diagramas de força normal (N), força cortante (V) e momento fletor (M), da viga abaixo. 1 Alínea e Alínea b 2777,77 N.m 2666,68 N.m 30000 N.m Reta Cte. 3333,33 N 3333,33 N 666,67 N Cte. Cte. 10000 N 10000 N 10000 N RetaPar. 1,67m Reta Reta 10000 N 666,67 N Trechos de mesmo domínio Trechos: 1) De 0 a 2m 2) De 2 a 3m 3) De 3 a 6m 2000 N.m 20000 N.m 16700 N.m 1,67m 13333,33 N 9333,33 N 22666,68 N.m 32000 N.m 10666,67 N 13333,33 N 10666,67 N 19477,77 N.m Próximo exemplo 2 3 4 Roteiro 47 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Rascunho (1) do Exemplo de aplicação 019 Problema 1 ( )⇒−== 00,200,6.2. 00,6.2 00,2.2000VR 11 N33,3333VR 11 == ⇒== l.2 a.pVR 2 22 ⇒== 00,6.2 00,2.2000VR 2 22 N67,666VR 22 == ⇒= p.2 RM 2 1 máx ⇒= 2000.2 33,3333M 2 máx m.N77,2777Mmáx = ( ) ⇒= p RMdeposiçãox 1máx ⇒= 2000 33,3333x m67,1x = ( )=Mobterdesejaseondeposiçãox m00,2x= ⇒−=≥ )x.(R)axpara(M 2x l ⇒−= )00,2600.(67,666Mx m.N68,2666Mx = ⇒= am00,2 ( )⇒−== a.2. .2 a.p)máximo(VR 11 ll Voltar Problema 2 ⇒== 2 PVR ⇒== 2 20000VR N10000VR == ( ) ⇒= 4 .PcentronoMmáx l ⇒= 4 00,6.20000M xám m.N30000M máx = 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Rascunho (2) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação) Voltar Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho ( )⇒?momentooquerseondex ⇒=== 2 00,6 2 centronox l m00,3x = ( ) ( )⇒−==>= x.Rm00,2am00,3xparaM 2x l ( )⇒−= 00,300,6.67,666Mx m.N2000Mx = M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo Problema 2 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho ⇒= esquerdoapoiodom00,2ax m00,2x = ⇒===<= 2 x.P)m00,3 2 00,6 2 m00,2xpara(Mx l ⇒= 2 00,2.20000Mx m.N20000Mx = M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo ( )⇒?momentooquerseondex 48 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Rascunho (3) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação) Voltar Tr ec ho 1 Superposição de efeitos – Início/fim de cada trecho N=0+0=0N V=3333,33+10000=13333,33N M=0+0=0N.m N=0+0=0N V=-666,67+10000=9333,33N M=2666,68+20000=22666,68N.m Início Fim Tr ec ho 2 N=0+0=0N V=-666,67+10000=9333,33N M=2666,68+20000=22666,68N.m N=0+0=0N V =-666,67+10000=9333,33N M=2000+30000=32000N.m Início Fim Tr ec ho 3 N=0+0=0N V=-666,67-10000=-10666,67N M=2000+30000=32000N.m N=0+0=0N V =-666,67-10000=-10666,67N M=0+0=0N.m Início Fim Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Rascunho (4) do Exemplo de aplicação 019 (Continuação) Tr ec ho 1 Superposição de efeitos – Curvas nos trechos N Æ Constante + Constante = Constante V Æ Reta + Constante = Reta M Æ Parábola + Reta = Parábola Superposição das curvas Tr ec ho 2 N Æ Constante + Constante = Constante V Æ Constante + Constante = Constante M Æ Reta + Reta = Reta Superposição das curvas Tr ec ho 3 NÆ Constante + Constante = Constante V Æ Constante + Constante = Constante M Æ Reta + Reta = Reta Superposição das curvas Terceiro ponto da parábola No problema 1 já tem-se o momento em x=1,67m ⇒ pode-se aproveitar este valor e obter Mx em x=1,67m nos demais problemas. Problema 2 m67,1x = ⇒=≤ 2 x.P) 2 x(Mx l ⇒= 2 67,1.20000Mx m.N16700Mx = M>0 ⇒ tração embaixo ⇒ desenhar embaixo Problema dado x=1,67m Mx=2777,77+16700=19477,77N.m Resq.=3333,33+10000=13333,33N Rdir.=666,67+10000=10666,67N Voltar 49 Rascunhos ¾ Exemplo de aplicação 020 – Traçar os diagramasde força normal (N), força cortante (V) e momento fletor (M), do pilar ao lado. Roteiro 1 Alínea i Alínea k Invertido em relação ao tabelado: ¾Fazer inversão correspondente; ¾Trocar sinal de V Trechos de mesmo domínio (a partir do ext. livre) Trechos: . 1) De 0 a 1m 2) De 1 a 2m 2 3 Próximo exemplo 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Rascunho (1) do Exemplo de aplicação 020 Voltar Problema 1 ⇒== l.pVR ⇒00,3.1000 N3000VR == ⇒== 2 .p)fixoextremono(MM 2 máx l ⇒ 2 00,3.1000 2 m.N4500MM máx == ( )⇒Mobterdesejaseondeposiçãox ⇒m50,1 m50,1x = ⇒−= 2 x.pM 2 x ⇒− 2 50,1.1000 2 m.N1125M x −= M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (esquerda) Problema 2 ⇒== PVR ⇒N5000 N5000VR == ( )⇒= fixoextremonoMM máx ⇒00,2.5000 m.N10000MM máx == Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho( )⇒livreextremodom00,1ax m00,1x = x.pVx −= Invertido ⇒V troca sinalÆ Æ ⇒+= x.pVx ⇒= 00,1.1000Vx N1000Vx = 50 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Rascunho (2) do Exemplo de aplicação 020 (Continuação) Voltar Problema 1 – Voltando para obter cota de início/fim de trecho (Continuação) ⇒ livreextremodom00,1ax m00,1x = ⇒−= 2 x.pM 2 x ⇒− 2 00,1.1000 2 m.N500M x −= Tr ec ho 1 Superposição de efeitos – Início/fim de cada trecho N=0+0=0N V=0+0=0N M=0+0=0N.m N=0+0=0N V=1000+0=1000N M=500(esq.)+0=500N.m (esq.) Início Fim Tr ec ho 2 N=0+0=0N V=+1000-5000=-4000N M=500(esq.)+0=500N.m (esq.) N=0+0=0N V =+3000-5000=-2000N M=4500(esq.)+10000(dir.)=5500N.m (dir.) Início Fim R = 3000 (p/ esq.) + 5000 (p/ dir.) = 2000 N (p/ dir.) M =4500 (anti-horário) + 10000 (horário) = 5500 N.m (horário) 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Rascunho (3) do Exemplo de aplicação 020 (Continuação) Voltar Tr ec ho 1 N Æ Constante + Constante = Constante V Æ Reta + Constante = Reta M Æ Parábola + Constante = Parábola Superposição das curvas Tr ec ho 2 N Æ Constante + Constante = Constante V Æ Reta + Constante = Reta M Æ Parábola + Reta = Parábola Superposição das curvas Superposição de efeitos – Curvas nos trechos Terceiro ponto (centro do trecho) Problema 1( )⇒1trechodocentrox m50,0x = ⇒−= 2 x.pM 2 x ⇒− 2 50,0.1000 2 m.N125M x −= M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (esquerda) Terceiro ponto (centro do pilar) ( )⇒pilardocentrox m50,1x = ( )⇒−−==>= ax.P)m00,1am50,1xpara(Mx ( )⇒−− 00,150,1.5000 m.N2500Mx −= Problema 2 M<0⇒ tração em cima ⇒ desenha-se em cima (direita) Mx=0,50m = 125 (à esq.) + 0 = 125 N.m (à esq.) Mx=1,50m = 1125 (à esq.) + 2500 (à dir.) = 1375 N.m (à dir.) No problema dado Æ 51 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ¾ Exemplo de aplicação 021 – Escolher a melhor combinação de carregamentos, para se traçar os diagramas de esforços solicitantes, utilizando o princípio da superposição de efeitos, da viga abaixo . Alínea e Alínea d Alínea e (invertido) Alínea f Alínea d Alínea a Alínea d Melhor combinação: são apenas dois carregamentos e de formulário mais simples. Pode ser subtração! 52 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.6. Relações diferenciais entre esforços solicitantes Estariam os esforços solicitantes relacionados entre si? E ao carregamento? Para responder estas questões pode-se analisar um elemento de viga sob um carregamento vertical qualquer. ( )∴→= +∑ 0Fh ( ) ⇒=++− 0dNNN ⇒= 0dN 0dxdN = ( )∴↑+=∑ 0Fv ( ) ⇒=+−− 0dVVdx.pV ⇒=−− 0dVdx.p dxdVp −= ∑ = 0MA ( ) ( ) ⇒=+−+++∴ 0dMMdx.dVV2dx.dx.pM ⇒=−++ 0dMdx.dVdx.Vdx.2p 2} } ≅ 0 ≅ 0 Diferenciais de segunda ordem ⇒=− 0dMdx.V dx dMV = + 0 0 + + 0 - 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 0 dx dN = dx dVp −= dx dMV = Derivando-se, uma vez em x, a equação dx dMV = obtém-se: 2 2 dx Md dx dV = Substituindo-se, neste resultado, a equação dx dVp −= obtém-se: 2 2 dx Mdp −= Comentários sobre estas equações 2 2 dx Mdp −=e mostram que os E. S. estão associados ao carregamento 1) Os esforços solicitantes estão associados entre si mostra que : 2) Se V=0 (corta o eixo das abscissas) então o diagrama de momento apresentará um ponto de máximo (mínimo ou inflexão) mostra que carregamentos verticais não afetam a forca normal (não varia com o carregamento) 53 Prof. Dr. Norman Barros Logsdon TEOREMA 1 - Mudanças no carregamento, ao longo da estrutura, podem alterar as equações dos esforços solicitantes e portanto podem provocar mudanças de curvas no diagrama. 3.7. Teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de E. S. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas TEOREMA 2 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento vertical, o diagrama de força cortante, sob este trecho, apresentar-se-á constante, e o diagrama de momento fletor, linear. Sem carga vertical Mudou carga ⇒ muda curva 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon TEOREMA 3 - Em trechos, de estruturas, sob carga vertical uniformemente distribuída o diagrama de força cortante, sob este trecho, apresentar-se-á linear, e o diagrama de momento fletor, parabólico, possuindo ainda, no ponto central do trecho, uma distância (d) entre a parábola e a linha de fecho dada por: 8 a.pd 2 = d = distância entre a parábola e a linha de fecho, no ponto central; p = carga distribuída; a = comprimento do trecho carregado Linha de fecho Com carga vertical uniformemente distribuída { TEOREMA 4 - Em seções, de estruturas, sob carga vertical concentrada, o diagrama de força cortante, nesta seção, sofre um "salto" de valor idêntico à carga concentrada, apresentando valores diferentes para a força cortante à esquerda e à direita da carga. Salto Carga concentrada vertical 54 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon TEOREMA 5 - Em seções, de estruturas, onde ocorre um momento aplicado, o diagrama de momento fletor sofre um "salto" no valor do momento aplicado, apresentando valores diferentes para o momento fletor à esquerda e à direita do momento aplicado. Ponto de aplicação de Ma }Salto Com momento aplicado TEOREMA 6 - Em trechos, de estruturas, sob carregamento axial uniformemente distribuído, o diagrama de força normal apresentar-se-á linear. Um exemplo: peso próprio de pilares Peso de um metro de pilar Com carga axial uniformemente distribuída 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon TEOREMA 7 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento axial, o diagrama de força normal apresentar-se-á constante. Em particular estruturas sem carregamento axial apresentam diagramas de força normal nulo, bem como reações horizontais nulas. Sem carga axial Sem cargas axiais TEOREMA 8 - Em seções, de estruturas, sob carga axial concentrada, o diagrama de força normal sofre um "salto", nesta seção, no valor da carga, apresentando valores diferentes para a força normal à esquerda e à direita da seção considerada. Salto{ Carga concentrada axial 55 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon TEOREMA 9 - Estruturas simétricas com carregamentos simétricos, apresentarão: ¾ Reaçõesde apoio simétricas; ¾ Diagrama de N simétrico; ¾ Diagrama de M simétrico; ¾ Flechas simétricas; ¾ Diagrama de V assimétrico (troca de sinal) Flechas simétricas Reações simétricas Diagrama de N simétrico Diagrama de M simétrico Diagrama de V assimétrico (troca sinal) Simetria Carregamento simétrico Estes teoremas permitem: 1) identificar onde as curvas se alteram e 2) associar as cargas às formas das curvas Novo método para traçar diagramas de E. S. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Calcular as reações de apoio. Determinar as seções onde devem ser obtidos os esforços solicitantes (Pontos Chaves) . Determinar os esforços solicitantes nos pontos chaves. Iniciar o traçado dos diagramas, plotando os resultados. 1 3 4 5 2 a) Cortar a estrutura, no “ponto chave” (de cabeça); b) Escolher uma das partes para os cálculos (de cabeça); c) Na parte escolhida, colocar os E. S. (incógnitas) com seu sentido positivo e se necessário, simplificar os carregamentos; d) Aplicar as três equações fundamentais da estática e obter os E. S. Completar os diagramas utilizando os teoremas. Roteiro – Traçado de diagramas de E. S. (sem tabelas) Usar roteiro especifico Ver roteiro ¾ extremidades da estrutura ¾ à esq. e à dir. de cargas concentradas ¾ pontos de mudanças de carregamento Ver detalhes (Roteiro anterior) R ot ei ro Pr át ic o Ver teoremas Método dos “pontos chaves” Ver teoremas (a seguir) Ver detalhes (Anexo 2) 56 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Teoremas úteis para o traçado de diagramas de E. S. Voltar ao roteiro O uso destas informações simplifica o problema e diminui o número de “Pontos Chaves” 57 58 59 60 61 62 63 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicação 024 – O carregamento da viga abaixo é o carregamento simplificado da viga do exemplo de aplicação 022. Traçar os diagramas de Momento Fletor (M), Força Normal (N) e Força Cortante (V) e observar como eles são diferentes dos obtidos naquele exemplo. D ia gr am as d o ex em pl o de a pl ic aç ão 0 24 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicação 025 – Abaixo são apresentadas formas de diagramas de momento fletor, para o carregamento indicado em cima da figura. Obtenha para cada “pedaço de diagrama apresentado” o valor do momento fletor (M) no centro do trecho. y = lado médio de figura geométrica (triângulo ou trapézio) 8 a.pd 2 = 2 My 1= 8 a.p 2 MdyM 2 1 −=−= 2 My 1= 8 a.p 2 MdyM 2 1 +=+= 2 MMy 21 += 8 a.p 2 MMdyM 2 21 −+=−= 2 MMy 21 += 8 a.p 2 MMdyM 2 21 ++=+= 2 MMy 21 += yMdMM)Md(y 22 −+=⇒+−= 2 MMM 8 a.pM 212 2 +−+= 2 MM 8 a.pM 21 2 −−= y = lado médio de figura geométrica (triângulo ou trapézio) 8 a.pd 2 = (triângulo auxiliar) (triângulo) (triângulo) (trapézio) (trapézio) 64 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicação 026 – Abaixo são apresentadas formas de diagramas de momento fletor, para o carregamento indicado em cima da figura. Obtenha para cada “pedaço de diagrama apresentado” o valor do momento fletor (M) no centro do trecho. y = lado médio de figura geométrica (triângulo ou trapézio) 8 a.pd 2 = y = lado médio de figura geométrica (triângulo ou trapézio) 8 a.pd 2 = 2 My 1= 8 a.p 2 MdyM 2 1 +=+= (triângulo) 2 My 1= 8 a.p 2 MdyM 2 1 −=−= (triângulo) 2 MMy 21 += 8 a.p 2 MMdyM 2 21 ++=+= (trapézio) 2 MMy 21 += 8 a.p 2 MMdyM 2 21 −+=−= (trapézio) 2 MMy 21 += 22 MdyMM)dM(y −+=⇒+−= 2 21 2 M 2 MM 8 a.pM −++= 2 MM 8 a.pM 21 2 −+= (triângulo auxiliar) 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.8. Exercícios propostos 3.8.1. O que se entende por esforços solicitantes? 3.8.2. Quais são os esforços solicitantes? Conceitue-os sucintamente. 3.8.3. Esquematize a convenção de sinais dos esforços solicitantes. 3.8.4. O que se entende por barra? E por chapa? 3.8.5. O que se entende por viga? E por pilar? 3.8.6. Quais são os esforços solicitantes das estruturas planas? 3.8.7. Calcule os esforços solicitantes na seção "C", das estruturas, representadas nas figuras a seguir. a 65 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas b c d e 3.8.8. O que são diagramas de esforços solicitantes? Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.8.9. Como são construídos os diagramas de esforços solicitantes? 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas a b 3.8.10. Utilizando os diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas, trace os diagramas de momento fletor (M), força normal (N) e força cortante (V), para as estruturas representadas nas figuras a seguir. c d e 66 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.8.11. O que afirma o Principio da Superposição de Efeitos? a b 3.8.12. Em que condições pode ser aplicado o Principio da Superposição de efeitos? 3.8.13. Utilizando o Principio da Superposição de Efeitos, e os resultados do exercício 3.8.10. trace os diagramas de M, N e V para as estruturas representadas nas figuras abaixo. c d 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3.8.14. Faça um resumo dos teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de esforços solicitantes, apresentados no item 3.7. 3.8.15. De que forma é possível se traçar diagramas de M, N e V , sem o auxilio de tabelas? 3.8.17. Trace os diagramas de M, N e V, das estruturas representadas nas figuras do exercício 3.8.7. e das figuras abaixo. c a b d 67 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Ensaios de compressão A carga “F” é aplicada gradativamente até a ruptura. Ex te ns ôm et ro (lê d ef or m aç ão ) Carga de ruptura Lê ∆l Fcr Fcr C ar ga c rit ic a de fl am ba ge m Peças curtas Peças longas Mesmas observações dos ensaios de tração. Será estudado adiante. 68 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Hipóteses de trabalho (exceto peças longas comprimidas) Efeito da Força Normal (N) Tensões normais uniformemente distribuídas A N=σ Força normalÁrea da seção transversal Tensão normal (“sigma”) σ Resultante das tensões σ N N > 0 ⇒ σ > 0 ⇒ tensões positivas indicam tração N < 0 ⇒ σ < 0 ⇒ tensões negativas indicam compressão São perpendiculares à seção ¾ Segurança à ruptura materialmáxmáx fA N ≤=σ Resistência do material(à tração ou compressão) 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Registrando sistematicamente a carga aplicada e a deformação lida nos extensômetros pode-se traçar o gráfico de “tensões X deformações” abaixo:Deformação especifica (“epsilon”) Tensão de ruptura (resistência) Tensão no limite elástico Para a madeira coincide com a tensão no limite de proporcionalidade As tensões são proporcionais as deformações. Um corpo de prova submetido a um esforço normal N, cuja tensão é inferior a σe, quando retirado o esforço, assume um comportamento elástico voltando à sua forma inicial. Um corpo de prova submetido a um esforço normal N, com tensão entre σe e fr, quando retirado o esforço, assume um comportamento inelástico permanecendo deformado Força aplicada Æ corresponde à força normal. Área da seção transversal Deformação lida (“Delta”) Fixação dos extensômetros Deformação residual Tensão (“sigma”) εr 69 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon materialf R eg iã o de tra ba lh o na s es tru tu ra s A segurança à ruptura exige Na situação de trabalho Æ as tensões são proporcionais às deformações, portanto: ε=σ .E E σ=ε ⇒=∆ A.E N l l A.E .N ll =∆ ou Tensão Deformação especifica Módulo de elasticidade (Módulo de Young) do material ⇒σ=ε E θ (“Teta”) E = tgθ (numericamente) Lei de Hooke Deformação da barra Comprimento da barra Módulo de elasticidade do material da barra Força normal Área da seção transversal da barra ¾ Barras tracionadas (N>0) produzem alongamentos ¾ Barras comprimidas (N<0) produzem encurtamentos Força normal, N 70 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4.3. Flexão de barras com seção simétrica Fibras esticam (tração) Fibras encurtam (compressão) Fibras inalteradas (tensões nulas) Linha neutra As fibras inferiores são esticadas (tração Æ alongamentos) e as superiores são comprimidas (compressão Æ encurtamentos). Não ocorrendo força normal, a linha que une os centros de gravidade das seções, em vigas de material homogêneo, não tem seu comprimento alterado, indicando que nesta linha as tensões serão nulas (linha neutra). 1 2 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Hipóteses de trabalho Efeito do Momento Fletor (M) Tensões normais linearmente distribuídas Coeficiente angular da reta Distância do ponto considerado ao CG Tensão normal (“sigma”) y.k=σ ⇒σ= y.dA.dMdA.dF σ= ⇒ ⇒= dA.y.y.kdM dA.y.kdM 2= { Seção Diagrama de Tensões (σ) Tensões Viga ⇒= y.dFdM { ⇒= ∫sdMM ⇒= ∫s 2 dA.y.kM ∫= s 2 dA.y.kM{ Em toda a seção Esta integral só depende da seção 71 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ∫= s 2 dA.y.kM ⇒ Definindo: ∫= s 2 dA.yI Momento de inércia Æ é uma característica geométrica da seção Por analogia ao momento de inércia (estudado na Física) ∫ dm.r2 I.kM = I Mk =⇒ ⇒ Da hipótese de trabalho: ⇒=σ y.k y.I M=σ ¾ Segurança à ruptura materialmáx máx máx fy.I M ≤=σ Momento máximo ao longo da estrutura Distancia da borda (mais distante) à linha neutra (CG) Tensão normal máxima Momento de inércia da seção Resistência do material Expressão de Navier 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon De um elemento infinitesimal de viga, pode-se estudar o efeito da força cortante (V). ¾ Na seção em “x+dx”: y. I M dxx dxx ++ =σ ⇒σ=∫ ++ 1 y y dxxdxx dA.T ⇒=∫ ++ dA.y.IMT 1y y dxx dxx ∫++ = 1 y y dxx dxx dA.y.I MT { y. I Mx x =σ ⇒σ= ∫1 y y xx dA.T ⇒= ∫ dA.y.IMT 1y y x x { ∫= 1 y y x x dA.y.I MT ¾ Na seção em “x”: Estas integrais só dependem da seção 72 ∫= 1 y y dA.yS 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ∫= 1 y y x x dA.y.I MT ∫++ = 1 y y dxx dxx dA.y.I MT ⇒ Definindo: Momento estático Æ é uma característica geométrica da seção Por analogia ao momento M = F.z S. I MT xx = S. I MT dxxdxx ++ = Elemento não está em equilíbrio O que indica que a “emenda” do elemento com a parte superior também transmite tensões τh. ( )→= +∑ 0Fh ⇒−=τ + dx.b TT xdxxh( ) ⇒=τ−−∴ + 0dx.b.TT hxdxx ⇒ − =τ + dx.b S. I MS. I M xdxx h ( ) ⇒−=τ + dx.b.I S.MM xdxxh I.b S. dx dM h =τ I.b S.V h =τ dM Do equilíbrio horizontal obtém-se: Lembrando que: dx dMV = Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Isolando-se um cubo de dimensões infinitesimais dx. xxdxx dσ+σ=σ + Considerando ainda: “τh.dx2” gira elemento ⇒ cortes fornecem forças para equilibrar. Equilibrando momentos nos cantos A e B, obtém-se; 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas ∑ = 0MA ( ) ⇒=σ+σ−+−σ∴ 02dx.dx.ddx.Fdx.F2dx.dx. 2xx232x ⇒=σ−+− 0 2 dx.dx.ddx.Fdx.F 2x23 32 FF =Desprezando infinitésimos de ordem superior ≅ 0∑ = 0MB ( ) ⇒=σ−+τ−σ+σ∴ 02dx.dx.dx.Fdx.dx.2dx.dx.d 2x12h2xx ⇒=+τ−σ 0dx.Fdx.dx. 2 dx.dx.d 1 2 h 2 x 2 h1 dx.F τ= ≅ 0 Do equilíbrio vertical: ( )↑+=∑ 0Fv ⇒=−∴ 0FF 21 21 FF = 73 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 h321 dx.FFF τ=== Imaginando:2 ii dx.F τ= ⇒τ=τ=τ=τ=τ h321 I.b S.V=τ Teorema de Cauchy Tensões cisalhantes em planos perpendiculares são iguais Particularizando o problema para uma seção retangular pode-se obter a forma da distribuição de tensões e a posição de máximo. Como V, b e I são constantes, basta estudar estes parâmetros na distribuição de S. dy.bdA =⇒=== ∫∫∫ 111 y y y y y y dy.y.bdy.b.ydA.yS {dA ⇒ += 1y y 2 C 2 y.bS ⇒ +− += C 2 yC 2 y .bS 22 1 ⇒+−= 212 y.2 by. 2 bS Distribuição de S (ou τ) é parabólica Metade da altura da seção (constante) Posição do corte (variável) 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon LEMBRETE 2 1 2 y. 2 by. 2 bS +−=Quando for máximo τ também será e para isto: e .0 dy dS = 0 dy Sd 2 2 < ⇒−= y.b dy dS ⇒=−⇒= 0y.b0 dy dS 0y = S (ou τ) é máximo no Centro de Gravidade ⇒<−= 0b dy Sd 2 2 É ponto de máximo 74 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas As tensões tangenciais, ou de cisalhamento, “τ”, terão distribuição parabólica com valor máximo no C. G. da seção. Nas “bordas” terão o valor nulo, pois devem equilibrar as tensões externas (não aplicadas). Resultante das tensões τ Vτ Generalizando: I.b S.V=τ Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Segurança à ruptura materialmáxmáxmáx fI.b S.V ≤=τ Cortante máxima ao longo da estrutura Momento estático de meia seção (“corte” no CG) Tensão de cisalhamento máxima Momento de inércia da seção Resistência do material (ao cisalhamento) Largura da seção no CG. 4.4. Deformação por flexão Em uma viga solicitada por momento fletor positivo as fibras inferiores recebem tensões de tração e se esticam, as superiores recebem tensões de compressão e se encurtam. A viga toma uma forma curva, e os pontos que formavam, antes da deformação, o eixo da viga, formarão, depois, uma curva denominada LINHA ELÁSTICA da viga, ou simplesmente ELÁSTICA. O deslocamento vertical de um dos pontos deste eixo é chamadoFLECHA. 75 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Linha elásticaFlechaÆ v=v(x) Elemento infinitesimal Efeito da Força Cortante (V) Tensões lineares ⇒ alongamentos com distribuição linear Historicamente utilizou-se a hipótese de Bernoulli- Navier Æ “Seções planas permanecem planas após a deformação por flexão”. O deslocamento (∆v) produzido pela força cortante é usualmente desprezado frente a magnitude do deslocamento (v) produzido pelo momento fletor. Efeito do Momento Fletor (M) Voltar 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ⇒σ=ε E ⇒σ=∆ Edx dx dx. E dx σ=∆Lei de Hooke y. I M=σ dx.y. I.E Mdx =∆ Tensões produzidas por M r dx raio arcod ==ϕ ⇒∆= y dx r dxSemelhança de triângulosÆ Æ dx.I.E M y dx r dxd =∆==ϕDa figura ⇒ϕ= dx dkCurvatura da elástica I.E M r 1k == Rigidez contra flexão (E.I) Da geometria analítica 2 3 2 2 2 dx dv1 dx vd r 1k + ±== {Na pratica Æ v é pequeno, portanto: ≅ 0 2 2 dx vd r 1 ±= Depende da convenção de sinais. Ver figura 76 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon LEMBRETE Para a parábola Æ cx.bx.ay 2 ++= 0a < 0a > bx.a.2 dx dy'y +== a.2 dx yd"y 2 2 == Sinal de “a” Convenção de sinais utilizada 2 2 dx vd r 1 −=Ajustando a convenção de sinais Æ I.E M r 1k ==Curvatura da elástica (anteriormente) Æ ⇒=− I.E M dx vd 2 2 M dx vd.I.E 2 2 −= Equação da linha elástica ¾ Segurança à deformação Usar equação da elástica para obter a flecha máxima (vmáx) e verificar: Fecha limite (definida em normas)( ) itelimmáxmáx vxvv ≤= 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Calcular as reações de apoio. 1 Roteiro – Cálculo e utilização da linha elástica Usar roteiro especifico Ver roteiro Definir “pontos chaves”. 2 ¾ extremidades da estrutura¾ à esq. e à dir. de cargas concentradas¾ pontos de mudanças de carregamento Obter a equação de Mx em cada trecho (entre dois pontos chaves). 3 a) Cortar a estrutura, na posição “x” do trecho (de cabeça);b) Escolher uma das partes para os cálculos (de cabeça); c) Na parte escolhida, colocar os E. S. (incógnitas) no sentido positivo e se necessário, simplificar os carregamentos; d) Aplicar a equação ΣMo = 0 (no ponto de corte) e obter Mx Obter as equações de (função das constantes), por integração sucessiva de . 4 v.I.Eedxdv.I.E;dxvd.I.E 2 2 x2 2 M dx vd.I.E −= ∫ ++= + Cx.1nadxx.a 1nn LEMBRETE Impor5 Condições de contorno função do esquema estático Resolver sistema (obtido em 5) e obter as constantes de integração.6 Obter equações substituindo (em 4) as constantes (de 6).7 v.I.Eedxdv.I.E;dxvd.I.E 2 2 Aplicar os resultados (de 7) à solução do problema. 8 Função do esquema estático (Anexo 3) 77 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Exemplo de aplicação 027 – Obter a linha elástica, a flecha no extremo livre e a flecha de máximo valor absoluto no trecho 2,00 m ≤ x ≤ 6,00 m, da viga esquematizada abaixo. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 1 - Cálculo das reações de apoio 1.1 – Substituir apoios por reações (em vermelho na figura abaixo) 1.2 – Simplificar carregamentos (em azul na figura abaixo) 1.3 – Aplicar equações de equilíbrio, obtendo as reações de apoio ( )∑ ∴→= +0Fh 0H800 =−− ⇒ N800H −= Voltar 78 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ( )∑ ∴+↑= 0FV 0V8000V600 21 =+−+− ⇒ 8600VV 21 =+ A ( ) = =∑ z.FM 0M 0 0 ∴ 000,4.V00,2.800000,2.600 2 =−+− ⇒ 00,4 160001200V2 − −= ⇒ N3700V2 = Apoio por onde passam mais reações Ver figura Voltando em A: ( ) 86003700V1 =+ ⇒ N4900V1 =37008600V1 −= ⇒ 1.4 – Apresentar solução, invertendo o sentido das reações negativas Apresentado, junto com o segundo passo, na figura a seguir 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 2 - Definir os Pontos Chaves ¾ À esquerda e à direita de cargas concentradas ¾ Extremidades da estrutura ¾ Pontos de mudança de carregamento R eg ra s X X 1 2 3 4 3 - Obter a equação de Momento Fletor (calculando em uma seção genérica, definida pela abscissa “x”) de cada trecho (definidos pelos pontos chaves) NOTA: O corte deve ser feito em um ponto determinado pela abscissa “x” (incógnita), a fim de fornecer uma equação em função de “x”. Roteiro para cálculo da equação do Momento (em cada trecho) ¾ Corte (de cabeça) a estrutura em um ponto (do trecho) definido por “x”; ¾ Escolha uma das partes para o cálculo e simplifique o carregamento; ¾ Coloque os esforços solicitantes (incógnitas) no sentido positivo; ¾ Aplique “ΣMo=0”, no ponto de corte, e obtenha a equação de Momento. 79 ( ) = =∑ z.FM 0M 0 0 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Os pontos chaves definem dois trechos, apresentados na figura ao lado. ¾ Trecho 1 Æ Escolhendo-se a parte esquerda x ∴ 0Mx.600 =−− x.600M1 −= Ponto de corte 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon x ¾ Trecho 2 Æ Escolhendo-se a parte direita ( )∑ == z.FMe0M 00 ∴ ( ) ( ) 0x00,6.3700 2 x00,6.x.200012000M =−− −−+ 13800x.8300x.1000M 22 −+−= Ponto de corte 0x.370022200x.1000x.6000x.600036000M 2 =+−+−−+ 013800x.8300x.1000M 2 =+−+ ⇒ ⇒ 80 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 4 - Determinar, em função dos coeficientes de integração, as equações de , e de , por integração sucessiva da equação da elástica . 2 2 dx vd.I.E dx dv.I.E v.I.E ( )xM dx vd.I.E 2 2 −= ¾ Trecho 1 Æ ( )xM dx vd.I.E 2 2 −= ⇒ ( )xM dx vd.I.E 12 1 2 −= ( ) x.600xM1 −= ⇒ x.600 dx vd.I.E 2 1 2 = Integrando em x x.600 dx vd.I.E 2 1 2 = ⇒ 1 2 1 C 2 x.600 dx dv.I.E += ⇒ 121 Cx.300dx dv.I.E += ∫ ++= + C 1n x.adx.x.a 1n n Lembrete: Integrando novamente em x 1 21 Cx.300 dx dv.I.E += ⇒ 21 3 1 Cx.C3 x.300v.I.E ++= ⇒ 2131 Cx.Cx.100v.I.E ++= 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Trecho 2 Æ ( )xM dx vd.I.E 2 2 −= ⇒ ( )xM dx vd.I.E 22 2 2 −= ( ) 13800x.8300x.1000xM 22 −+−= ⇒ 13800x.8300x.1000 dx vd.I.E 22 2 2 +−= Integrando em x 13800x.8300x.1000 dx vd.I.E 22 2 2 +−= ⇒ 3 23 2 Cx.13800 2 x.8300 3 x.1000 dx dv.I.E ++−= ⇒ 3232 Cx.13800x.4150x.33,333dx dv.I.E ++−= Integrando novamente em x 3 232 Cx.13800x.4150x.33,333 dx dv.I.E ++−= ⇒ 43 234 2 Cx.C2 x.13800 3 x.4150 4 x.33,333v.I.E +++−= ⇒ 432342 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−= 81 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 5 - Impor as condições de contorno para o problema, conforme o esquema estático da estrutura. Para o problema em questão tem-se: ¾ Em x = 2,00 m: Apoio para o trecho 1 ⇒ Apoio para o trecho2 ⇒ Emenda entre os trechos 1 e 2 ⇒ ( ) 000,2v1 = ⇒ ( ) 000,2v.I.E 1 = ( ) 000,2v2 = ⇒ ( ) 000,2v.I.E 2 = ( ) ( )00,2v00,2v 21 = ⇒ ( ) ( )00,2v.I.E00,2v.I.E 21 = Redundante 00,2 2 00,2 1 dx dv dx dv = ⇒ 00,2 2 00,2 1 dx dv.I.E dx dv.I.E = ¾ Em x = 6,00 m: Apoio para o trecho 2 ⇒ ( ) 000,6v2 = ⇒ ( ) 000,6v.I.E 2 = 1 2 3 4 Lembrete 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 21 3 1 Cx.Cx.100v.I.E ++= ¾ Aplicando a condição 1 Æ ( ) 000,2v.I.E 1 = ⇒ ( ) 2131 C00,2.C00,2.10000,2v.I.E ++= ( ) 000,2v.I.E 1 =Assim, ⇒ 800CC.2 21 −=+ I 43 234 2 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−= ¾ Aplicando a condição 2 Æ ( ) 000,2v.I.E 2 = ⇒ ( ) 432342 C00,2.C00,2.690000,2.33,138300,2.33,8300,2v.I.E +++−= ( ) 000,2v.I.E 2 =Assim, ⇒ 66,17866CC.2 43 −=+ II ¾ Aplicando a condição 3 Æ 00,2 2 00,2 1 dx dv.I.E dx dv.I.E = 1 21 Cx.300 dx dv.I.E += ⇒ 12 00,2 1 C00,2.300 dx dv.I.E += Ver anexo 3 82 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 3 232 Cx.13800x.4150x.33,333 dx dv.I.E ++−= ⇒ 3 23 00,2 2 C00,2.1380000,2.415000,2.33,333 dx dv.I.E ++−= Assim, 00,2 2 00,2 1 dx dv.I.E dx dv.I.E = ⇒ 31 C64,13666C1200 +=+ ⇒ 64,12466CC 31 =− III ¾ Aplicando a condição 4 Æ ( ) 000,6v.I.E 2 = 43 234 2 Cx.Cx.6900x.33,1383x.33,83v.I.E +++−= ⇒ ( ) 432342 C00,6.C00,6.690000,6.33,138300,6.33,8300,6v.I.E +++−= Assim, ( ) 000,6v.I.E 2 = ⇒ 40,57596CC.6 43 −=+ IV 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 6 - Obter as constantes de integração, pela resolução do sistema de equações definidos no passo 5. 800CC.2 21 −=+ I 66,17866CC.2 43 −=+ II 64,12466CC 31 =− III 40,57596CC.6 43 −=+ IV O sistema 4 x 4, aparentemente de difícil resolução, em geral não o é. Vale a pena fazer uma análise. No caso, as equações II e IV formam um sistema 2 x 2, em C3 e C4, de fácil solução. Obtido C3, a equação III fornece C1. Obtido C1, a equação I fornece C2. 66,17866CC.2 43 −=+ 40,57596CC.6 43 −=+ Aplicando o método da soma, fazendo-se IV – II, obtém-se: II IV 76,39727C.4 3 −= ⇒ 44,9932C3 −= 83 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon Que aplicado na equação II, fornece: 66,17866CC.2 43 −=+ ⇒ ( ) 66,17866C44,9932.2 4 −=+− ⇒ 24,1998C4 = Aplicando C3 na equação III, obtém-se: 64,12466CC 31 =− ⇒ ( ) 64,1246644,9932C1 =−− ⇒ 20,2534C1 = Que aplicado na equação I, fornece: 800CC.2 21 −=+ ⇒ ( ) 800C20,2534.2 2 −=+ ⇒ 40,5668C2 −= Em resumo: 20,2534C1 = 40,5668C2 −= 44,9932C3 −= 24,1998C4 = Nota: As constantes de integração têm unidades, mas sem sentido prático (no caso, C1 e C3 estão em 1/N.m2, já C2 e C4 em 1/N.m). É comum considerá-las como parte do problema matemático, “esquecendo as unidades”. 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon 7 - Obter as equações de , e de , substituindo as constantes de integração nas expressões obtidas no passo 4. 2 2 dx vd.I.E dx dv.I.E v.I.E ¾ Trecho 1 Æ x.600 dx vd.I.E 2 1 2 = 20,2534x.300 dx dv.I.E 21 += 40,5868x.20,2534x.100v.I.E 31 −+= ¾ Trecho 2 Æ 13800x.8300x.1000 dx vd.I.E 22 2 2 +−= 44,9932x.13800x.4150x.33,333 dx dv.I.E 232 −+−= 24,1998x.44,9932x.6900x.33,1383x.33,83v.I.E 2342 +−+−= 84 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas 8 - Aplicar os resultados à solução do problema. a) Linha elástica da viga Para obter a linha elástica, equação de v(x), basta dividir as equações de E.I.v, obtidas no passo 7, por E.I = 600.000 N.m2, obtendo: ¾ Trecho 1 Æ 33341 10.781,9x.10.224,4x.10.667,1)x(v −−− −+= m m ¾ Trecho 2 Æ ( ) 3233442 10.330,3x.0166,0x.0115,0x.10.306,2x.10.389,1xv −−− +−+−= mm b) Flecha no extremo livre A flecha em uma posição qualquer da viga é o valor de v(x) naquela posição. Para o extremo livre, do problema em questão, x = 0,00 m, e portanto: ( ) ( ) 33341 10.781,900,0.10.224,400,0.10.667,100,0v00,0v −−− −+== ⇒ ( ) mm78,9m10.781,900,0v 31 −=−= −Flecha para cima 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon c) Flecha de máximo valor absoluto no trecho 2,00 m ≤ x ≤ 6,00 m Neste caso deve-se obter inicialmente a posição de máximo (ou mínimo) da função v(x), e portanto o valor de “x”, que acarreta (condição de máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Em seguida o valor de v(x) nessa posição. ¾ Ponto de máximo (xmáx) 0 dx dv = 0 dx dv.I.E0 dx dv =⇒= 0 dx dv.I.E 2 =, no caso: 44,9932x.13800x.4150x.33,333 dx dv.I.E 232 −+−= ⇒ 044,9932x.13800x.4150x.33,333 23 =−+− A solução desta equação conduz ao ponto de máximo (xmáx). A raiz desta equação é obtida por tentativas, lembrando que o valor de y=f(x) tem sinais diferentes imediatamente antes e depois da raiz. y=f(x) x Raiz de y=f(x) + - Resolução 85 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon A resolução consiste em variar x, para intervalo de 0,1 m, até obter valores seqüenciais com sinais diferentes para y (a raiz estará entre estes valores). Repete-se o processo com intervalo menor para a variação de x (0,01 m e depois 0,001 m) até obter xmáx com a precisão desejada (mm é mais que suficiente). 44,9932x.13800x.4150x.33,333y 23 −+−=)m(x 2,00 3734,2000Variando x com intervalo de 0,10 m 4,00 200,6800 4,10 -140,5031 Raiz entre 4,00 e 4,10 m0,01 m 4,00 200,6800 4,05 30,3386 4,06 -3,7977 Raiz entre 4,05 e 4,06 m 4,05 30,3386 4,058 3,0310 4,059 -0,3833 0,001 m Raiz para precisão em mm xmáx = 4,059 m 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ¾ Flecha máxima (vmáx) ( ) ( )059,4vxvv 2max2xam ⇒= É o valor de v(x) na posição de máximo. ( ) 3233442 10.330,3x.0166,0x.0115,0x.10.306,2x.10.389,1xv −−− +−+−= Portanto: 323344 max 10.330,3059,4.0166,0059,4.0115,0059,4.10.306,2059,4.10.389,1v −−− +−+−= ⇒ mm91,8m10.91,8v 3max == − ⇒ Flecha para baixo 8,91 mm 9, 78 m m 4,059 m Em resumo 86 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon O estudo da flambagem se deve a Euler. Barra bi-articulada Para o caso da barra bi-articulada, tem-se: No instante da flambagem, surgem deslocamentos v(x), que produzem momentos M(x). Com v(x) =v e M(x) = M: v Æ Æ Elástica:v.FM = ⇒−= v.F dx vd.I.E 2 2 0v. I.E F dx vd 2 2 =+ ( ) ( )x.kcos.Cx.ksen.Cv 21 += ( ) ( )x.ksen.k.Cx.kcos.k.C dx dv 21 −= ( ) ( )x.kcos.k.Cx.ksen.k.C dx vd 2 2 2 12 2 −−= Solução geral Æ Æ 1. Em x=0 (apoio) Æ v=0 2. Em x=l (apoio) Æ v=0Condições de contorno ( ) ( ) ( )⇒+= 0.kcos.C0.ksen.C0v 21Aplicando 1 Æ 0C2 =Note que: 0v.k dx vd 2 2 2 =+ dx dy. dy dz dx dz = 87 301.1125-0 – Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas Prof. Dr. Norman Barros Logsdon ( )x.ksen.Cv 1= ( )x.kcos.k.C dx dv 1= ( )⇒−= x.ksen.k.C dx vd 2 12 2 A solução reduz-se a Æ v.k dx vd 2 2 2 −= Aplicado na equação da elástica, , fornece:0v. I.E F dx vd 2 2 =+ ⇒=+− 0v. I.E Fv.k2 ⇒= +− 0 I.E Fk.v 2 I.E Fk = v≠0, pois existe elástica
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