12 Mecânica dos Fluidos

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Mecânica Dos Fluídos 
Pode-se entender como fluido o nome geral que é dado a líquidos e gases. O ramo da Física que 
estuda o comportamento de substâncias fluidas em condições de repouso ou de movimento é denomi-
nado de Mecânica dos Fluidos. 
Os fluidos respeitam a conservação de massa, quantidade de movimento ou momentum linear e mo-
mentum angular, de energia, e de entropia. A conservação de quantidade de movimento é expressa 
pelas equações de Navier Stokes. Estas equações são deduzidas a partir de um balanço de for-
ças/quantidade de movimento a um volume infinitesimal de fluido, também denominado de elemento 
representativo de volume. 
Atualmente, o estudo, análise e compreensão da fenomenologia da maior parte dos problemas em di-
nâmica de fluidos e em transferência de calor, como macro-áreas que compõem a dinâmica de fluidos, 
são desenvolvidos através da Modelagem Computacional. Nesta, um modelo matemático é desenvol-
vido, com base na fenomenologia do problema considerado. 
A partir deste modelo, geralmente um sistema de equações diferenciais parciais ou equações diferen-
ciais ordinárias, é desenvolvido um modelo computacional ou utilizado um código computacional co-
mercial, para a execução de simulações numéricas, em fluidodinâmica computacional, obtendo-se as-
sim projeções temporais da solução do problema. Esta solução é condicionado pelas condições inici-
ais e condições de contorno do problema, que estabelecem as condições de evolução deste no tempo 
e no espaço. 
A Teoria do Contínuo fundamenta a conceituação teórica que justifica a maior parte das análise em 
CFD. O fluido, um meio contínuo, é discretizado com base no modelo das partículas fluidas. 
Esta abstração conceitua um elemento representativo de volume (representative element of volume, 
REV). Neste elemento de volume, de micro ou nanodimensões, uma propriedade ou quantidade fí-
sica mantem um valor médio, sob as mesmas condições, passível de reprodução em laboratório, sob 
as mesmas solicitações externas ao fluido. 
Assim uma partícula representativa de um volume de fluido, o REV, é o menor volume em que as 
propriedades do fluido se mantêm. As moléculas de um contínuo vibram constantemente, cessando 
esta vibração somente no estado de repouso termodinâmico, o zero absoluto. 
Fisicamente em um REV o caminho médio percorrido pelas moléculas do fluido entre duas sucessivas 
é no mínimo da ordem de grandeza das próprias moléculas deste fluido. 
Hoje em dia os modernos aviões usam um artifício para driblar a formação de vórtices nas pontas das 
asas, como o winglet, um pequeno leme na extremidade da asa, permitindo que pelo menos um metro 
e meio de asa seja aproveitada na sustentação da aeronave, que é perdida para os vórtices que se 
formam na sua ausência. 
O vórtice ocorre quando o ar mais denso que flui abaixo da asa escapa para a parte superior menos 
densa, prejudicando sua sustentação naquela ponta de asa. Vórtices no sentido horário surgem na 
ponta da asa esquerda, anti-horário na asa direita. Nos profundores não se formam vórtices, pois não 
há diferença entre densidades do ar nos dois lados da empenagem. 
Experiências recentes dão conta de que uma superfície irregular da fuselagem, tipo "bola de golfe", 
com aqueles sulcos em concha, tem mais fluidodinâmica do que a mesma superfície quando plana e 
polida. Este efeito se verifica com as asas das aves, onde a superfície apresenta um arrasto mínimo, 
mesmo com a aparente irregularidade das penas. 
Também se faz experiência com bordos de ataque enrugados, tais como as nadadeiras de uma baleia, 
com reais vantagens para as mesmas áreas quando lisas e retas, por exemplo. Em ambos os casos, 
diminui-se a resistência do meio e melhora a performance e o consumo de energia de empuxo. 
Os navios mais rápidos hoje construídos são aqueles em que o roda de proa (chapa enformada onde 
convergem a quilha, as balizas reviradas e as longarinas de proa; que é a parte do navio que corta a 
água) possui uma longa protuberância ogival abaixo da linha d'água, que permite uma excelente hidro-
dinâmica ao anular a formação das ondas com outras ondas de valores contrários. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A Hidrostática á parte da Mecânica de Fluidos que analisa substâncias nestas condições em condições 
de repouso. Fundamenta-se em três Princípios básicos, a saber: 
A) Princípio De Arquimedes 
Filho do astrônomo Fídias, Arquimedes nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que então fazia 
parte da Grécia ocidental ou Magna Grécia. Dono de fantástica habilidade para as Ciências, Arquime-
desdeparou-se com um problema proposto pelo Rei Hierão. Ao encomendar uma coroa de ouro para 
homenagear uma divindade, suspeitou que o ourives o enganara, não utilizando ouro maciço em sua 
confecção. Como descobrir, sem danificar o objeto, se seu interior continha uma parte feita de prata? 
Para resolver este problema, Arquimedes desenvolve o Princípio que leva o seu nome. Em linhas ge-
rais, os fluidos exercem uma força chamada Empuxo nos objetos nele imersos que pode ser calculado 
pela seguinte relação: 
E = r.V.g 
onde r é a massa específica do fluido, V é o volume do objeto que está imerso no fluido e g é a acele-
ração da gravidade no local. 
B) Princípio De Pascal 
Nascido a 19 de junho de 1623, Blaise Pascal na vida adulta após diversos estudos, desejava verificar 
a validade da experiência de Torricelli. Esta empreitada levou Pascal ao terreno difícil da mecânica dos 
fluidos, na qual pôde enunciar o princípio da constância da transmissão de pressão no interior dos 
líquidos. Isto é, em um fluido, se for aplicada uma pressão em um dos pontos deste fluido, esta se 
transmitirá integralmente por todo o fluido. 
C) Princípio De Stevin 
Filho ilegítimo de ricos cidadãos flamengos, iniciou sua carreira profissional como coletor de impostos. 
Deu importantes contribuições ao desenvolvimento da mecânica, principalmente no estudo da hidros-
tática. Explicou o paradoxo da hidrostática, onde a pressão de um líquido independe da forma do reci-
piente, depende apenas da altura da coluna líquida. Matematicamente, a conclusão de Stevin pode ser 
escrita da seguinte forma: 
ΔP = r.g.h 
onde ΔP é a variação da pressão em virtude da variação no comprimento da coluna fluida, r é a massa 
específica do fluido, g é a aceleração da gravidade no local e h é o desnível. 
No caso de líquidos em movimento, o ramo de estudos é conhecido como Hidrodinâmica. Esta se 
fundamenta em alguns pressupostos iniciais que fogem ao escopo deste texto. Fundamenta-se em dois 
princípios: 
C.1) Equação Da Continuidade 
No caso de um determinado sistema hidráulico que tenha fonte e sumidouro de fluido, a vazão de fluido 
neste sistema deve ser constante. 
 
C.2) Equação De Bernoulli 
Radicada em Basiléia, Suíça, a família Bernouilli foi a família que mais “produziu” cientistas que se 
destacaram nos meios científicos dos séculos XVII e XVIII. Para ser mais exato, nesta família foram 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
originados dez cientistas eminentes, que deram contribuições significativas à Física e à Matemática do 
período. 
Daniel Bernoulli - simultaneamente filósofo, físico, fisiologista, médico, botânico e matemático – é o 
autor da equação de Bernoulli como sendo uma aplicação da Lei da Conservação da Energiaaplicada 
a sistemas onde há deslocamento de Fluido. Matematicamente, a Equação pode ser escrita da seguinte 
forma: 
 
Onde P é a pressão absoluta (não manométrica), r é a massa específica do fluido, g é a aceleração da 
gravidade no local, v é a velocidade com que o fluido está se deslocando e y é o desnível. 
Existem outros resultados que dizem respeito à Mecânica dos Fluidos (Como a Equação de Navier – 
Stokes), assim como consequência mais complexas (como o deslocamento caótico de fluidos) que 
estão em um nível maior de complexidade 
Tipos De Escoamentos 
Os escoamentosde von Kárman carac-
teriza o fenômeno conhecido como estol. No estol, perde-se sustentação, e o arrasto aumenta signifi-
cantemente. É por este fato que, na fase de decolagem de um aeromodelo, não se deve fazê-lo subir 
em ângulo muito acentuado. 
Algumas aeronaves, principalmente aquelas com projeto de cauda em T, correm o risco de sofrerem 
"deep stall" (estol profundo), pois a esteira gerada na asa durante o estol cobre o estabilizador horizon-
tal, fazendo-a perder capacidade de controle e impedindo que a aeronave retorne para sua altitude 
inicial. Por este motivo, além disso, aeronaves acrobáticas devem possuir um projeto de empenagem 
que garanta a saída do estol e parafuso. Aeronaves com sistemas de controle mais complexos, como 
os caças e jatos comerciais, em geral possuem sistemas automáticos para proteção de estol, como o 
"shaker", o "Giardino", o "pusher" e os "winglets". 
Empuxo 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
26 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Para superar o arrasto, a maioria de aviões tem algum tipo de propulsão para gerar uma força cha-
mada empuxo. A intensidade da força de empuxo depende de muitos fatores associados com o sistema 
de propulsão: 
O tipo de motor; 
O número de motores; 
O ajuste da aceleração; 
A hélice 
A velocidade. 
O sentido da força de empuxo depende de como os motores estão colocados no avião. Na figura mos-
trada acima, dois motores a jactoestão posicionados sob as asa, paralelos à fuselagem, com a força 
atuando ao longo da linha central da aeronave. Em alguns aviões (tal como o Harrier) o sentido do 
impulso pode ser orientado para ajudar o avião a descolar numa distância muito curta. Para os motores 
de jacto, pode parecer confuso considerar que a pressão do avião é uma reação ao gás quente que se 
escapa da turbina. O gás quente é expelido pela parte traseira, originando uma força de reação em 
sentido contrário: o empuxo. Esta ação-reação é explicada pela terceira lei do movimento formulada 
por Newton. 
Os motores mais conhecidos são os motores de explosão (Ciclo Otto) e os motores a jato (Ciclo Bray-
ton). Mas também se utilizam motores elétricos e motores de foguete. Os motores elétricos e de explo-
são atuam usualmente por intermédio de hélices. Os motores a jacto e de foguete atuam pela força da 
reação. 
Um planador é um tipo especial de avião que não tem nenhum motor. Alguma fonte externa da potência 
tem que ser aplicada para iniciar o movimento. Os aviões de papel são um exemplo óbvio, mas há 
muitos outros tipos de planadores. Alguns planadores são pilotados e rebocados para o alto por um 
outro avião, e a seguir são deixados livres para deslizar em distâncias longas antes de aterrar (moto-
planadores decolam indenpendentemente). Uma vez no alto, a energia cinética é responsável pelo im-
pulso, mas ela para se manter gasta energia potencial. No entanto os planadores recorrem também a 
uma outra fonte de energia disponibilizada pela natureza: as correntes de ar ascendente que fazem o 
planador ou avião ganhar energia potencial sem perda de energia cinética e assim se manterem mais 
tempo no ar sem uso de motores. 
Fluido Newtoniano 
Um fluido newtoniano é um fluido cuja viscosidade, ou atrito interno, é constante para diferentes taxas 
de cisalhamento e não variam com o tempo. A constante de proporcionalidade é a viscosidade.[1] Nos 
fluidos newtonianos a tensão é diretamente proporcional à taxa de deformação. Apesar de não existir 
um fluido perfeitamente newtoniano, fluidos mais homogêneos como a água e o ar costumam ser es-
tudados como newtonianos para muitas finalidades práticas. 
Fluido Não-Newtoniano 
O fluido não-newtoniano é um fluido cuja viscosidade varia proporcionalmente à energia cinética que 
se imprime a esse mesmo fluido, respondendo de forma quase instantânea. Para exemplo temos a 
mistura do amido de milho com água que, dependendo da pressão que recebe, pode ser um sólido ou 
um líquido, apresentando característica viscosa. Com pressão suficiente torna-se um sólido e com me-
nor pressão volta ao estado líquido.[ 
Fluido Complexo 
Um fluido complexo é um fluido cujas propriedades de transporte só podem ser determinadas a partir 
do conhecimento detalhado da sua estrutura microscópica. 
Fluidodinâmica Computacional 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
27 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Fluidodinâmica computacional ou dinâmica dos fluidos computacional (em inglês: Computational Fluid 
Dynamics — CFD), pode ser descrita de forma generalizada como a simulação numérica de todos 
aqueles processos físicos e/ou físico-químicos que apresentam escoamento. 
A predição dos campos de concentração, velocidades, pressão, temperaturas e propriedades turbulen-
tas, é efetuada através de modelos microscópicos baseados nos princípios de conservação de massa, 
da energia e da quantidade de movimento, no domínio do espaço e do tempo. 
A seguir algumas aplicações representativas de CFD: 
Simulação computacional de difusão e convecção de substâncias em bacias hidrográficas e aqüíferos; 
Planejamento e gestão de recursos hídricos; 
Aerodinâmica e aerotermodinâmica de veículos aeroespaciais; 
Aerodinâmica de veículos terrestres (trens, caminhões, carros, etc); 
Refrigeração de reatores nucleares; 
Indústria de petróleo; 
Caracterização de poluição ambiental, análise e simulação de lançamento de poluentes e contaminan-
tes em correntes hídricas; 
Hidrodinâmica e hemodinâmica computacionais; 
Previsão de tempo; 
Projeto de sistemas propulsivos e de geração de energia em geral. 
A Teoria do Contínuo fundamenta a conceituação teórica que justifica a maior parte das análise em 
CFD. O fluido, um meio contínuo, é discretizado com base no modelo das partículas fluidas. Esta abs-
tração conceitua um elemento representativo de volume, ou representative element of volume, REV. 
Neste elemento de volume, de micro ou nanodimensões, uma propriedade ou quantidade física man-
tem um valor médio, sob as mesmas condições, passível de reprodução em laboratório, sob as mesmas 
solicitações externas ao fluido. 
Assim uma partícula representativa de um volume de fluido, o REV, é o menor volume em que as 
propriedades do fluido se mantém. As moléculas de um contínuo vibram constantemente, cessando 
esta vibração somente no estado de repouso termodinâmico, o zero absoluto. Fisicamente em um REV 
o caminho médio percorrido pelas moléculas do fluido entre duas sucessivas é no mínimo da ordem de 
grandeza das próprias moléculas deste fluido. 
Exemplos de Softwares CFD 
Advanced Simulation Library 
Coolfluid 
deal.II 
Gerris 
Nektar++ 
OpenFOAM 
SU2 code 
Relação Constitutiva 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
28 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Na ciência física, uma relação constitutiva é uma relação entre duas grandezas físicas que é especí-
fica de um material ou classe de materiais, ou de uma substância ou classe de substâncias, e que não 
se segue diretamente de uma lei física. 
Geralmente estas relações recaem em dois tipos: 
Aquelas definidas por relações simplesmente fenomenológicas 
Aquelas definidas por primeiros princípios. 
Alguns Exemplos 
São alguns exemplos de relações constitutivas: 
A Lei de Ohm 
A lei que rege a força de atrito 
A lei que rege a condutividade térmica 
A lei de Fick da difusão 
As leis que regem a capacidade calorífica, tanto para os calores sensíveis e latente 
A lei que rege o arrasto 
As leis que regem a vida permissividade e a permeabilidade 
A lei que rege a elasticidade linear (lei de Hooke) 
Difusão Molecular 
A difusão molecular, frequentemente chamada exemplo de fenômeno de transporte de matéria onde 
um soluto é transportado devido aos movimentos das moléculas de um fluido (líquido ou gás), pelo 
movimento térmico de todas as partículas a temperaturas acima do zero absoluto. Estes movimentos 
fazem com que, do ponto de vista macroscópico, o soluto passe das zonas mais elevada de concen-
tração para zonas de baixa concentração. 
A difusão molecular de um solvente ocorre no sentido inverso,ou seja, de uma solução menos concen-
trada para uma solução mais concentrada. Quando esta difusão do solvente ocorre através de uma 
membrana semi-permeável é denominada de osmose. A solução menos concentrada é denominada hi-
potônica e a mais concentrada de hipertônica. Este processo de difusão do soluto ou solvente é extre-
mamente importante na absorção de nutrientes pelas células, através da membrana celular. A difusão 
acontece até as duas soluções ficarem "isotônicas", isto é, com a mesma concentração. 
A taxa deste movimento é uma função da temperatura, viscosidade do fluido e o tamanho (massa) das 
partículas, mas não é função da concentração. Difusão explica o fluxo líquido (o balanço) de moléculas 
de uma região de concentração mais alta para uma de concentração mais baixa, mas é importante se 
notar que difusão também ocorre onde não existe um gradiente de concentração.O resultado da difusão 
é uma gradual mistura de materiais. Em uma fase com temperatura uniforme, ausência de forças ex-
ternas líquidas atuando sobre as partículas, o processo de difusão acabará por resultar em mistura 
completa. 
A difusão molecular é tipicamente descrita matematicamente usando-se as leis de Fick da difusão. 
Classificações 
Para efeitos de classificação, e dos equacionamentos específicos, a difusão é dividida quanto à homo-
geneidade ou heterogeneidade das espécies em difusão como autodifusão, quando a difusão se dá 
entre átomos de mesma espécie (como entre seus isótopos) e interdifusão, quando a difusão se dá 
entre átomos de espécies diferentes. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
29 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Exemplificando: quando se tem duas misturas gasosas, consideradas a mesma pressão e temperatura, 
formadas apenas de hidrogênio prótio e seu isótopo mais pesado, com um nêutron a mais no nú-
cleo, deutério, mas de composições destes diferentes, e que são colocadas em contato, a difusão dos 
isótopos na mistura trata-se de autodifusão. 
Quando temos carbono em liga de ferro, e este migra para outra parte da liga com menor concentração 
de carbono, como os átomos são de diferentes elementos, de núcleos de diferentes números de pró-
tons, trata-se de interdifusão. 
Aplicações 
Difusão é de importância fundamental em muitas disciplinas de física, química e biologia. Alguns exem-
plos de aplicações da difusão são: 
Sinterização para produzir materiais sólidos (metalurgia do pó, produção de cerâmicas) 
Projeto de reatores químicos 
Projeto de catalisadores em indústria química 
Aço pode passar por processos que incluam difusão (e.g., com carbono ou nitrogênio) para modificar 
suas propriedades 
Aplicação de dopantes durante a produção de semicondutores. 
Significância 
 
Representação esquemática da mistura de duas substâncias por difusão. 
Difusão é parte dos fenômenos de transportes. Dos mecanismos de transporte de massa, a difusão 
molecular é conhecida como a mais lenta. 
Em Biologia 
Em biologia celular, difusão é a principal forma de transporte para materiais necessários tais como ami-
noácidos no interior das células.[1] A difusão de água (H2O) através de uma parcialmente permeável 
membrana é classificada como osmose. 
O metabolismo e a respiração dependem, em parte, da difusão, além de processos em massa ou ati-
vos. Por exemplo, nos alvéolos de pulmões de mamíferos, devido à diferenças em pressões parciais 
através da membrana dos capilares do alvéolo, o oxigênio difunde-se no sangue e o dióxido de car-
bono difunde-se para o exterior. Pulmões possuem uma grande área de superfície para facilitar este 
processo de troca gasosa. 
Difusão de marcador e química 
 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
30 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Autodifusão, exemplificada com um marcador isotópico do isótopo radioativo 22Na. 
 
Exemplo de difusão química (clássica, de Fick, ou de Fickian) de cloreto de sódio em água. 
Fundamentalmente, dois tipos de difusão são distinguidos: 
Difusão de marcador, a qual é uma mistura espontânea de moléculas tomando lugar na ausência de 
gradiente de concentração (ou potencial químico). Este tipo de difusão pode ser acompanhado usando-
se marcadores isotópicos, daí seu nome. A difusão do marcador normalmente é assumido como sendo 
idêntico a autodifusão (assumindo-se que não há significativo efeito isotópico). Esta difusão pode ocor-
rer sob equilíbrio. 
Difusão química ocorre na presença de gradiente de concentração (ou potencial químico) e resulta no 
transporte de massa em balanço, líquido. Esta difusão é sempre um processo em não equilíbrio, au-
mentando a entropia do sistema, e conduz o sistema mais próximo do equilíbrio. 
Os coeficientes de difusão para estes dois tipos de difusão são geralmente diferentes porque o coefici-
ente de difusão para difusão química é binário e inclui os efeitos devido à correlação do movimento de 
diferentes espécies em difusão. 
Sistemas em não Equilíbrio 
 
Ilustração de baixa entropia (topo) e alta entropia (abaixo) 
Porque difusão química é um processo de transporte em balanço, o sistema no qual ele toma lugar é 
um sistema em equilíbrio (i.e.não está em repouso até o momento). Muitos resultados na termodinâ-
mica clássica não são facilmente aplicados a sistemas em desequilíbrio (não em equilíbrio). No entanto, 
há vezes em que ocorrem os chamados estados quase-estacionários, onde o processo de difusão não 
muda no tempo, onde os resultados clássicos podem aplicar-se localmente. Como o nome sugere, este 
processo não é um verdadeiro equilíbrio dado que o sistema ainda está evoluindo. 
Sistemas fluidos em desequilíbrio podem podem ser modelados com sucesso com a hidrodinâmica 
flutuante de Landau-Lifshitz. Neste quadro teórico, a difusão é devida às flutuações cujas dimensões 
variam de escala molecular à escala macroscópica.[2] 
Difusão química aumenta a entropia do sistema, i.e. difusão é um processo espontâneo e irreversível. 
As partículas podem espalhar-se por difusão, mas não de forma espontânea reporganizar-se (ausência 
de alterações no sistema, assumindo que não há criação de novas ligações químicas, e de ausência 
de forças externas atuando sobre as partículas). 
Um Experimento para Demonstrar Difusão 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
31 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A difusão não é fácil de se observar, porque outros fenômenos de transporte, especialmente a convec-
ção, são mais eficientes em escalas de comprimento acima de milímetros. Difusão é mais importante 
em escalas microscópicas. 
Difusão pode ser demonstrada com um tubo de vidro longo, papel, duas rolhas de cortiça, uma certa 
quantidade de algodão embebido em solução de amônia e alguns pedaços de papel de tornassol ver-
melho. Fixa-se o algodão numa das rolhas e diversos pedaços de papel harmoniosamente espaçados 
numa linha ou barbante preso na outra, por exemplo, com alfinetes. Arrolhando-se as duas extremida-
des do tubo de vidro com as rolhas e seus anexos, tomando-se o cuidado do fio com os papéis de 
tornassol se alongar pelo comprimento do tubo, e deitando o tubo na mesa (o que elimina a ação da 
gravidade), sem nenhuma agitação, pode-se observar que o papel de tornassol vermelho fica azulado. 
Isto ocorre porque as moléculas de amônia viajam por difusão da extremidade com mais alta concen-
tração no algodão para a extremidade de mais baixa concentração no restante do tubo de vidro. Isso 
não significa que as partículas não se movimentam em outras direções, mas há um fluxo líquido (em 
balanço) da região de concentração mais alta para a região de concentração mais baixa. Como a so-
lução de amônia é alcalina, o papel tornassol vermelho torna-se azul. Pela alteração da concentração 
de amônia, a taxa de mudança da cor dos papéis de tornassol pode ser alterada. Note-se que a taxa 
de difusão em si não é aumentada, mesmo quando existe um gradiente de concentração mais acentu-
ado, pois não é função da concentração. O que é realmente maior é o fluxo. 
Difusão "coletiva" dependente da concentração 
Difusão coletiva é a difusão de umgrande número de partículas, mais frequentemente num solvente. 
Ao contrário do movimento browniano, o qual é a difusão de uma única partícula, interseções entre 
partículas pode ter de ser considerada, a menos que as partículas formem uma mistura ideal com o 
seu solvente (condições de mistura ideal correspondem ao caso onde as interações entre o solvente e 
as partículas são idênticas às interações entre partículas e as interações entre as Moléculas do sol-
vente, neste caso, as partículas não interagem quando no interior do solvente). 
No caso de uma mistura ideal, a equação de difusão da partícula mantém-se verdadeira e o coeficiente 
de difusão D, a velocidade de difusão na equação de difusão da partícula é independente da concen-
tração da partícula. Em outros casos, resultando em interações entre partículas no solvente irão sofrer 
os seguintes efeitos: 
O coeficiente de difusão D, na equação de difusão da partícula torna-se dependente da concentração. 
Para uma interação atrativa entre as partículas, o coeficiente de difusão tende a diminuir à medida que 
aumenta a concentração. Para uma interação repulsiva entre as partículas, o coeficiente de difusão 
tende a aumentar à medida que aumenta a concentração. 
No caso de uma interação atrativa entre as partículas, as partículas apresentam uma tendência a se 
fundirem e formares clusters, se a sua concentração encontra-se acima de um certo limite. Isso é equi-
valente a uma reação química de precipitação (e se as partículas consideradas em difusão são molé-
culas químicas em solução, então é uma precipitação. 
Difusão Molecular de Gases 
Transporte de material em fluido estagnado ou através de linhas de fluxo de um fluido em fluxo laminar 
ocorre por difusão molecular. Duas compartimentos adjacentes, separados por partição contendo ga-
ses puros A e B podem ser previstos. Movimento aleatório de todas as moléculas de modo a que, após 
um período, moléculas são encontradas distante das suas posições originais. Se a partição é removida, 
algumas moléculas de A movem-se em direção à região ocupada por B, seu número depende do nú-
mero de moléculas no ponto considerado. Simultaneamente, moléculas de B difundem-se para os re-
gimes anteriormente ocupado por A puro. 
Finalmente, a mistura completa ocorre. Antes deste ponto no tempo, uma variação gradual na concen-
tração de A ocorre ao longo do eixo, designado x, o qual une os compartimentos originais. Esta varia-
ção, expressa matematicamente -dCA/dx, onde CA é a concentração de A. O sinal negativo surge por-
que a concentração de A diminui à medida que a distância x aumenta. Similarmente, a variação na 
concentração de gás B é -dCB/dx. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
32 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A taxa de difusão de A, NA, depende do gradiente de concentração a a velocidade média com a qual 
as moléculas de A movem-se na direção x. Esta relação é expressa pela lei de Fick onde D é a difusi-
vidade de A em B, proporcional à velocidade molecular média e, portanto, dependente da temperatura 
e de pressão dos gases. A taxa de difusão NA, é geralmente expressa como o número de moles em 
difusão através de da unidade de área na unidade de tempo. Tal como acontece com a equação básica 
de transferência de calor, indica que a taxa de força é diretamente proporcional à força motriz, que é o 
gradiente de concentração. 
Esta equação básica é aplicada a diversas situações. Restringindo o debate exclusivamente para o 
estado de equilíbrio, em que nem dCA/dx ou dCB/dx altera-se com tempo, a contradifusão equimole-
cular é considerada primeiro. 
Contradifusão Equimolecular 
Se nenhum fluxo massivo ocorre num elemento de comprimento dx (lembrando que trata-se de uma 
difusão, não de um deslocamento de massas de gás), as taxas de difusão de dois gases A e B devem 
ser iguais e opostas, o que é NA=NB. 
A pressão parcial de A altera-se por dPA na distância dx. Similarmente, a pressão parcial de B altera-
se dPB. Como não existe diferença na pressão total através do elemento (nenhum fluxo massivo, em-
bora possa haver uma alteração de densidade, exatamente pela alteração de composição), dPA/dx 
deve igualar-se a -dPB/dx. Para um gás ideal a pressão parcial é relacionada à concentração molar 
pela relação 
onde nA é o número de moles de gás A em um volume V. Como a concentração molar CA é igual 
a nA/V portanto 
Consequentemente, para o gás A, 
onde DAB é a difusividade de A em B. Similarmente, 
Portanto, permite que DAB=DBA=D. Se a pressão parcial de A em x1 é PA1 e x2 é PA2, integração da 
equação acima, 
Um equação similar pode ser derivada da contradifusão do gás B. jailton 
Convecção 
Convecção é o movimento ascendente ou descendente de matéria em um fluido (i.e. líquidos, ga-
ses e rheids). Advecção é o termo empregado para o movimento horizontal, em particular para massas 
de ar. Ambos não podem ter lugar em sólidos uma vez que, por definição, nem correntes de massa 
nem taxas de difusão significativos podem ocorrer em sólidos. 
A convecção térmica é uma expressão que engloba a soma dos dois fenômenos físicos - convecção e 
subtração - desde que induzidos por diferença de temperaturas no fluido. Ocorre em função da depen-
dência da intensidade do fluido com a temperatura, ou seja, da dilatação térmica, e das regras de flu-
tuabilidade (menos denso ascende; mais denso descende). 
Embora usualmente coloque-se em foco a ascensão horizontal do fluido, a convecção térmica carac-
teriza-se de fato por uma corrente fechada de matéria, que por si implica um aumento significativo de 
frio entre as regiões envolvidas se comparado ao calor entre elas esperado apenas pelo fenômeno 
de condução térmica. Fala-se em calor por convecção. 
A convecção térmica só ocorre em presença de gravidade; especificamente, em presença de desace-
leração do sistema. 
Princípios Físicos 
Convecção é um processo de transporte de massa caracterizado pelo movimento de um fluido devido 
à sua diferença de densidade, especialmente por meio de calor. Outras formas de transmissão de calor 
são a condução térmica e a irradiação térmica. Na química há um fenômeno semelhante conhecido 
como decantação onde um soluto insaturado, de maior densidade, tende a se acumular, através 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
33 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
da força da gravidade, nas camadas inferiores da solução. Pela mesma razão, solutos da atmosfera de 
maior densidade específica (CO2,O2) tendem a se concentrar nas camadas baixas da atmosfera en-
quanto os solutos mais leves (CH4 e H2) tendem a se acumular nas camadas mais altas da atmosfera, 
ocasionando a falta de oxigênio nas montanhas mais altas.... 
A convecção é um dos principais modos de transferência de calor e transferência de massa. Transfe-
rência convectiva de calor e massa ocorrem tanto através de difusão - o movimento Browniano aleató-
rio de partículas individuais no fluido - e, por advecção, na qual matéria ou o calor são transportados 
pelo movimento de grande escala de correntes no fluido. 
No contexto da transferência de calor e massa, o termo "convecção" é usado para referir-se à soma de 
transferências advectivas e difusivas.[2] 
Transmissão De Calor 
Quando uma certa massa de um fluido é aquecida, as suas moléculas passam a mover-se mais rapi-
damente, afastando-se, em média, uma das outras. Como o volume ocupado pela massa fluida au-
menta, esta torna-se menos densa. 
A tendência desta massa menos densa no interior do fluido como um todo é sofrer um movimento de 
ascensão ocupando o lugar das massas do fluido que estão a uma temperatura inferior. A parte do 
fluido mais fria (mais densa) move-se para baixo tomando o lugar que antes era ocupado pela parte do 
fluido anteriormente aquecido. 
Este processo repete-se inúmeras vezes enquanto o aquecimento é mantido dando origem às chama-
das correntes de convecção. São as correntes de convecção que mantêm o fluido em circulação. 
Células De Convecção 
 
Células De Convecção Em Um Campo Gravitacional. 
Umacélula de convecção, também conhecida como uma célula de Bénard é um padrão característico 
de fluxo de fluido em muitos sistemas de convecção. 
Um corpo ascendente de fluido normalmente perde calor, porque ele encontra uma superfície fria. Em 
líquidos isso ocorre porque ele troca calor com o líquido mais frio através da troca direta. No exemplo 
da atmosfera da Terra, isto ocorre porque ela irradia calor. 
Devido a isso a perda de calor do fluido torna-o mais denso do que o fluido debaixo dela, que ainda 
está em ascensão. Uma vez que não pode descer através do fluido em ascensão, ele se move para 
um lado. 
A uma certa distância, a sua força para baixo ultrapassa a força ascendente por baixo dele, e o fluido 
começa a descer. À medida que desce, se aquece de novo e o ciclo repete-se. 
Transferência convectiva de calor e seus tipos 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
34 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Um dissipador de calor proporciona uma grande área de superfície para convecção para eficientemente 
transferir o calor. 
Um uso comum do termo convecção deixa de fora a palavra "calor", mas, no entanto, refere-se ao calor 
por convecção: isto é, o caso no qual calor é a entidade de interesse a ser advectada (conduzida), e 
difundida (dispersada). Existem dois tipos principais de convecção do calor: 
Calor causa o movimento do fluido (via expansão e pela força de flutuação), enquanto ao mesmo tempo 
também fornece o próprio calor a ser transportado por esse movimento mássico do fluido devido a 
simples diferenças de densidade. 
Este processo é chamado convecção natural, ou convecção livre. A convecção natural é considerada 
como ocorrendo obrigatoriamente na vertical e é ocasionada devido a uma força de empuxo. Com a 
convecção natural, transporte de calor (e o relacionado transporte de outras substâncias no fluido de-
vido a ele) é geralmente mais complexo. 
O calor é transportado passivamente por um movimento fluido que ocorreria de qualquer maneira sem 
o processo de aquecimento. Este processo de transferência de calor é frequentemente chamado con-
vecção forçada ou, ocasionalmente, advecção de calor. 
A convecção forçada acontece devido a ação de forças externas pelo movimento forçado mecanica-
mente, por bombas ou ventiladors, como por exemplo nos coolers de computadores, poços de ventila-
ção em minas, chaminés de fábricas com tiragens forçadas, etc. 
Tanto os tipos de convecção, forçada e natural, podem ocorrer em conjunto (neste caso sendo deno-
minada convecção mista). Transferência convectiva de calor é um mecanismo de transferência de ca-
lor ocorrendo por causa do movimento de massa (movimento observável) de fluidos (ver convecção 
para detalhes do conceito). 
Isso pode ser comparado com tranferência de calor conductiva, que é a transferência de energia atra-
vés de vibrações em um nível molecular por meio de um sólido ou fluido, e transferência de calor por ir-
radiação, a transferência de energia através de ondas eletromagnéticas. 
Convecção Natural 
Transferência de calor por convecção natural 
Papeis suspensos por um fluxo convectivo de ar quente de um radiador. 
Quando calor é transferido pela circulação de fluidos devido a flutuação devido a mudanças de densi-
dade induzidas pelo próprio calor, então o processo é conhecido como convecção natural ou convec-
ção livre. 
Exemplos conhecidos são o fluxo ascendente de ar devido a um incêndio ou um objeto quente e circu-
lação de água em uma panela, que é aquecida por baixo. 
Para uma experiência visual de convecção natural, um copo cheio de água quente contendo corante 
alimentício vermelho pode ser colocado dentro de um aquário com água limpa e fria. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
35 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
As correntes de convecção do líquido vermelho serão vistas com a ascensão e movimento descendente 
também, então eventualmente revertem seu sentido, o que ilustra o processo como gradientes de calor 
são dissipados. 
Estabelecimento Da Convecção Natural 
A convecção natural ocorre quando um sistema torna-se instável e consequentemente inicia-se um 
processo de mistura pelo movimento de massa. Uma observação comum de convecção é da convec-
ção térmica em um recipiente de água fervente, na qual a água quente e menos densa na camada do 
fundo ergue-se em plumas, em movimentos de baixo para cima, e a água fria e mais densa perto do 
topo do pote igualmente afunda. 
O estabelecimento do processo de convecção natural é determinado pelo número de Rayleigh (Ra). 
Este número adimensional é dado por: 
Convecção natural será mais provável e/ou mais rápido com uma maior variação em densidade entre 
os dois fluidos, uma maior aceleração devido a gravidade que impulsiona a convecção, e/ou uma dis-
tância maior através do meio convectivo. 
Convecção será menos provável e/ou menos rápida com uma difusão mais rápida (assim afastado o 
gradiente de difusão que está causando a convecção) e/ou um mais fluido viscoso ("espesso"). 
Convecção Forçada 
Convecção de calor natural (também chamada "convecção livre") é distinguida de vários tipos de con-
vecção forçada de calor, a qual refere-se a advecção de calor por um fluido o qual é quente devido a 
forças naturais de flutuação induzidas por aquecimento. Em convecção de calor forçada, a transferên-
cia de calor é devido ao movimento no fluido o qual resulta de muitas outras forças, tais como (por 
exemplo) um ventilador ou bomba. 
Assim, um forno de convecção funciona por convecção forçada, como um ventilador que circula rapi-
damente ar quente força calor em alimento mais rápido do que seria natural acontecer, devido ao sim-
ples aquecimento sem o ventilador. 
Aquecimento aerodinâmico é uma forma de convecção forçada. Sistemas comuns de radiador de calor 
por fluido, e também de aquecimento e resfriamento de partes do corpo por circulação do sangue, são 
outros exemplos familiares de convecção forçada. As orelhas dos elefantes africanos são um exemplo 
de estrutura desenvolvida pelo processo evolutivo com vistas à refrigeração pela convecção forçada 
de corrente sanguínea. 
Chamas E Convecção 
Em um ambiente de gravidade zero, podem não haver forças de empuxo (flutuação) e, portanto, sem 
convecção natural (livre) possível, então chamas em muitas circunstâncias sem gravidade, sufocam-
se em seus próprios gases residuais. 
No entanto, as chamas podem ser mantidas com qualquer tipo de convecção forçada (brisa); ou (em 
ambientes ricos em oxigênio "ainda" gasosos) inteiramente a partir do mínimo de convecção forçada, 
que ocorre como expansão (não flutuação) induzida por calor em gases permitindo a ventilação da 
chama, como gases residuais movendo-se em afastamento e resfriamento, e gases frescos com alto 
teor de oxigênio movendo-se para regiões de baixa pressão criadas quando a água expelida pela 
chama condensa. 
Convecção Induzida Por Flutuação Não Devida Ao Calor 
O termo geral para isto é convecção gravitacional. Convecção de calor natural é apenas uma forma de 
convecção gravitacional. 
Forças de empuxo diferenciais de convecção em campos de gravidade podem resultar de fontes não 
térmicas de variação de densidade, como a composição variável. Por exemplo, convecção gravitacional 
pode ser vista na difusão de uma fonte de sal seco descendente em solo úmido, devido ao empuxo da 
água doce em meio salino. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
36 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Salinidade variável na água e no conteúdo variável de água nas massas de ar (umidade), são causas 
frequentes de convecção nos oceanos e atmosfera, as quais não envolvem calor, ou envolvem outros 
fatores adicionais de densidade em função da composição que as mudançs de densidade pela expan-
são térmica (ver circulação termoalina). 
Similarmente, composição variável no interior da terra as quais ainda não tenham atingido a máxima 
estabilidade e mínima energia (em outras palavras, com partes mais densas mais profundas) continua 
a causar uma fração da convecção da rocha fluida e de metalfundido no interior da Terra (veja abaixo). 
Convecção Nos Mares E Oceanos 
Radiação solar também afeta os oceanos. Água quente do equador tende a circular em direção aos po-
los, enquanto a água polar fria avança em direção ao equador. 
Convecção oceânica também é frequentemente dirigida por diferenças de densidade, devido à variação 
de salinidade, conhecida como convecção termoalina, e é de importância crucial na economia glo-
bal circulação termoalina. Neste caso, é bem possível que a água relativamente quente, salina, afunde, 
e a mais fria, mais doce suba, invertendo o transporte normal de calor. 
Nos mares a convecção dá origem às grandes correntes marítmas continentais, onde as águas mais 
frias dos pólos Ártico e Antártico correm em direção aos trópicos e vice-versa, também influenciadas 
pelo movimento de rotação da Terra e pela geografia dos continentes e dos oceanos. 
Pode ser verificada na costa oriental da América do Sul, onde a corrente marítima de Humboldt contri-
bui com a formação do deserto do Atacama. 
Convecção Na Atmosfera 
 
Representação Idealizada Da Circulação Global Na Terra. 
Na atmosfera, a convecção natural dá origem à turbulência térmica e intensa, conhecida como convec-
ção livre. Esse tipo de turbulência é conhecido pela capacidade de realizar a mistura de propriedades 
conservativas da atmosfera, como da temperatura potencial entre parcelas de ar, do vapor de água, do 
momento linear, vorticidade, etc. 
O fenômeno da Inversão Térmica, capaz de confinar grandes quantidades de poluentes numa estreita 
camada da atmosfera, é um fenômeno onde a convecção natural é submetida a uma inversão do gra-
diente de temperatura necessário para a livre convecção natural dos solutos quentes (embora pesados) 
devido a um pequeno, ou mesmo um gradiente positivo de densidade atmosférica, em função da alti-
tude, confinando-os a uma estreita camada fluida, rica em poluentes. 
Quando há uma grande diferença de calor entre as camadas inferiores da atmosfera e as camadas 
superiores, a convecção natural pode ocasionar os grandes ciclones, responsáveis pelo regime de ven-
tos superficiais terrestres da meteorologia. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
37 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Fenômenos mais intensos desse gradiente de temperatura são responsáveis pela formação de cúmu-
lus-Nimbus, tornados e furacões que ganham movimento circulatório devido à grande velocidade de 
ascensão concatenada com o movimento de rotação da Terra. 
Nas atmosferas existem o fenômeno de formação de células de convecção, regiões onde se processam 
os fenômenos de circulação das massas esfriadas e aquecidas, podendo cobrir um hemisfério inteiro[9], 
sendo na Terra tratadas dentro de modelos de comportamento atmosférico que incluem as células de 
Hadley. Modelos atmosféricos incluindo células de convecção são apresentados para planetas gigantes 
gasosos, como Júpiter e Saturno. 
Condições Meteorológicas 
 
Como É Produzido Um Foehn. 
Alguns fenômenos mais localizados do que o movimento atmosférico global é também devidos à con-
vecção, incluindo o vento e alguns dos ciclos hidrológicos. Por exemplo, um vento foehn é um vento 
alpino que ocorre no lado sotavento de uma montanha. 
Ela resulta do aquecimento adiabático de ar, que caiu mais em sua umidade em encostas de barla-
vento.[11] Devido às diferentes taxas de lapso adiabático de ar úmido e seco, o ar nas encostas de 
sotavento torna-se mais quente do que o na mesma altura nas encostas de barlavento. 
Uma coluna térmica (ou termal) é uma seção vertical de ar ascendente nas altitudes mais baixas da 
atmosfera da Terra. 
As térmicas são formadas pelo aquecimento desigual da superfície da Terra, a partir da radiação solar. 
O ar mais quente se expande, tornando-se menos denso do que a massa de ar circundante e criando 
uma depressão térmica. A massa de ar mais leve sobe, e como o faz, esfria-se por expansão em pres-
sões de ar inferiores. 
Para de elevar-se quando se tenha esfriado à mesma temperatura que o ar circundante. Associado 
com uma térmica está um fluxo descendente em torno da coluna térmica. O exterior de movimentação 
descendente é causado pelo ar mais frio a ser deslocado na parte superior da térmica. Outro efeito de 
clima conduzido pela convecção é o brisa do mar. 
 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
38 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Fases Da Vida De Uma Tempestade. 
O ar quente tem uma densidade menor que o ar frio, então ar quente sobe dentro de um ar mais 
frio, similar a balões de ar quente. Nuvens se formam como o ar relativamente mais quente transpor-
tando aumentos de umidade dentro de um ar mais fresco. 
À medida que o ar úmido sobe, ele esfria, fazendo com que algo do vapor de água na massa de ar 
ascendente condense. Quando a umidade condensa, ela libera energia conhecida como calor la-
tente de fusão que permite que a massa de ar ascendente esfrie menos do que o seu ar circundante, 
continuando a ascensão da nuvem. 
Convecção Por Vibração Em Campos Gravitacionais 
Convecção induzida por vibração ocorre em pós e materiais granulados em recipientes sujeitos à vi-
bração, em um campo gravitacional. Quando o recipiente acelera para cima, o fundo do recipiente 
empurra todo o conteúdo para cima. Em contraste, quando o recipiente acelera para baixo, os lados do 
recipiente empurram o material adjacente descendente por atrito, mas o material mais remoto dos lados 
é menos afetado. O resultado é umacirculação lenta de partículas para baixo para os lados, para cima 
no meio. 
Se o recipiente contém partículas de tamanhos diferentes, a região do movimento descendente para 
os lados muitas vezes é mais estreita do que as partículas maiores. Assim, as partículas maiores ten-
dem a ser classificadas para o topo de tal mistura. Ver efeito castanha-do-pará. 
Escala E Taxa De Convecção 
Convecção pode ocorrer em fluidos em todas as escalas maiores que uns poucos átomos. A convecção 
ocorre em grande escala na atmosfera terrestre e planetárias, oceanos, e manto planetários. Movi-
mento atual durante a convecção pode ser imperceptivelmente lento, ou pode ser óbvio e rápido, como 
em um furacão. Existem processos de convecção estelares [20], formando também células de convec-
ção, como evidenciado no Sol. 
O Sol se não tivesse rotação não apresentasse uma zona de convecção provavelmente não apresen-
taria manchas nem ciclos de atividade, e é atribuída à convecção solar observável a circulação de ma-
terial a ser fundido em seu núcleo, e responsável pelos sismossolares, que podem servir para analisar-
se os seus processos convectivos. 
Em escalas astronômicas, convecção de gás e poeira é considerada como podendo ocorrer nos discos 
de acreção de buracos negros, a velocidades que podem se aproximar da velocidade da luz. 
Modelagem Computacional 
Modelagem computacional é uma área de conhecimento multidisciplinar que trata da aplicação de mo-
delos matemáticos e técnicas da computação à análise, compreensão e estudo da fenomenologia de 
problemas complexos em áreas tão abrangentes quanto as engenharias, ciências exatas, biológicas, 
humanas, economia e ciências ambientais. 
A modelagem computacional é a área que trata da simulação de soluções para problemas científicos, 
analisando os fenômenos, desenvolvendo modelos matemáticos para sua descrição, e elaborando có-
digos computacionais para obtenção daquelas soluções. É área em expansão, de ampla aplicação, em: 
desenvolvimento de produtos industriais, 
pesquisas científicas básicas e aplicadas, 
simulações e previsões temporais e espaciais de fenômenos, 
matemática, física, química, 
engenharia e tecnologia, 
biologia e saúde, 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
39 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
meio ambiente e ecologia, 
oceanografia e geofísica, dentre outras. 
Algumas áreas de atividade econômica que auferem benefícios da modelagem computacional são: 
Agroindústria, 
Medicina, 
Construção civil e estruturas, 
Aeronáutica, engenharia naval e indústria automobilística,Hidráulica 
Engenharia Hidráulica 
Engenharia de Petróleo, Engenharia de Reservatório, Elevação de Petróleo, Geofísica e Petrofísica 
Sedimentologia 
Mecânica dos fluidos 
Indústria do petróleo e petroquímica, entre outras áreas de aplicação. 
Motivação 
A sofisticação dos problemas com que a humanidade tem se deparado nas últimas décadas, em áreas 
tão diversas como as megaestruturas e a mecânica do contínuo, a nanotecnologia, a genômica e a 
bioinformática, a computação quântica, a ecologia, e a astrofísica, em novos materiais e em desenvol-
vimento sustentado, a título de exemplo, nos apresenta exigência de respostas exponencialmente mais 
complexas com relação àquelas que precisamos gerar no passado, apresentando para a ciência e para 
a comunidade científica um desafio: a necessidade de obtenção de resposta cada vez mais sofistica-
das, objetivando tratar aquela complexidade, em tempo sucessivamente menor e por meio de solução 
de problemas complexos. 
Problemas Complexos 
Problemas complexos, ou de grande grau de complexidade, resultam em inflação da quantidade de 
variáveis físicas a manipular e controlar no processo de estabelecimento do problema, estabelecimento 
de hipóteses para o modelo, proposição de teorias, postulados e teoremas, guias para a busca de so-
lução do problema, controle, aferimento e aproximação da solução. 
Usualmente problemas complexos demandam forte esforço de cálculo, a partir do estabelecimento de 
modelos matemáticos robustos ou do estabelecimento de teias de relações entre variáveis em diversas 
escalas de observação, desde a nano, passando pela micro, até o macro. 
O eixo de estabelecimento do modelo de solução de problemas complexos tem sido a observação do 
problema, de sua fenomenologia e a concepção do modelo físico e do modelo fenomenológico que 
antecede o desenvolvimento do modelo matemático, desenvolvimento do sistema de equações que 
regem o problema, e sua solução computacional mediante um código apropriado. 
O estabelecimento desta concepção de tratamento e abordagem de problemas complexos em ciência, 
bem como de sua solução a partir deste modelo, considerando uma diversidade de modelos qualitati-
vos, e sobretudo modelos quantitativos, em abordagem numérica usualmente computacional, busca 
assim superar a incerteza na trajetória de evolução do problema sob análise, e sobre as variáveis do 
problema. 
Modelos matemáticos estabelecidos a partir de modelos fenomenológico, recaem em sistemas de 
equações diferenciais parciais ou de equações diferenciais ordinárias de elevado número de incógnitas, 
demandando forte esforço computacional na sua solução. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
40 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A aproximação das soluções dessas equações por procedimentos numéricos tornou-se necessária à 
medida que as ciências ambientais, engenharias, tecnológicas e as ciências niológicas e da saúde 
avançavam no sentido da satisfação das necessidades humanas. 
Abordagem De Soluções 
 
Captura de tela de uma experiência computacional tridimensional, 3D, animada com uma criação do 
modelo sobre base isolation, Charlottesville, U.S. 
A abordagem computacional é a adotada na modelagem computacional. Trata-se de área Interdiscipli-
nar para o estabelecimento de modelos, com adoção de formulações matemáticas na solução de pro-
blemas científicos em estreita aliança e integração com as linhas de pesquisa que definem as áreas de 
conhecimento associadas aos problemas complexos. 
Os resultados projetados oferecem uma metodologia para a determinação, no tempo e no espaço do 
impacto de intervenções humanas, como por exemplo no desmatamento de mata nativa e implantação 
de indústrias, com base no conhecimento do fluxo das substâncias ou materiais envolvidos nas emis-
sões industriais e no transporte destas no ambiente, das taxas de acumulação nas áreas de influência 
e projeção dos efeitos sobre as populações afetadas. 
Tal abordagem compõe a área de modelagem computacional, na interface com as engenharias, a ma-
temática computacional, a física computacional, e com a computação científica, pertinente á aborda-
gem de soluções para problemas complexos, pertinente à mecânica do contínuo. 
Na modelagem computacional os problemas tratam de elevado número de variáveis, propondo-se a 
adoção de métodos numéricos de tratamento do problema, associado à ferramenta computacional, e 
às técnicas de programação avançadas, adequadas à otimização da busca das soluções dos proble-
mas complexos. 
Tal procedimento é adequado tanto a meios contínuos, homogêneos como heterogêneos, bem como 
a sistemas discretos, determinísticos e probabilísticos, incorrendo em menor custo computacional. 
Abrangência E Interfaces 
A área que aqui conceituamos, é também denominada como simulação computacional científica e me-
cânica computacional. 
Trata-se de área que engloba o conjunto de conhecimentos relacionados aos métodos numéricos que 
envolvem os procedimentos de análise e solução de problemas complexos relacionados à Mecânica 
do Contínuo, às Ciências Exatas e às Ciências Naturais e Ciências do Meio Ambiente, a Fenômenos 
Biológicos, e à Mecânica Orgânica. 
Diz respeito ao estudo de áreas diversas, particularmente a Mecânica dos Sólidos e a Mecânica dos 
Fluidos, a Biofísica e Biomecânica, a Sistemas Ecológicos e Populacionais. 
Seu campo de aplicação, e escalas de observação, abrange as escalas espacial e do tempo, transien-
tes e estacionários. A modelagem computacional, destina-se à solução de problemas complexos regi-
dos por equações diferenciais ordináriase equações diferenciais parciais, e a problemas de valores ini-
ciais e de problemas de valores de contorno. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
41 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Origem e Aplicações 
Reunindo um grupo de conhecimentos originados na Mecânica Clássica e na Engenharia Mecânica, 
passou a superá-las, e tem sido utilizado no meio acadêmico e técnico, denominando o conjunto de 
conhecimentos fortemente associados ao emprego de computadores na solução de problemas cientí-
ficos e particularmente métodos numéricos, tais como: 
nas Engenharias, em Ciências Tecnológicas, e nas Ciências Exatas: abrangendo a mecânica do con-
tínuo, mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, mecânica das estruturas, nanotecnologia e nanofí-
sica, mecânica dos solos e fundações, mecânica da fratura, teoria da elasticidade, teoria das estrutu-
ras e resistência dos materiais, aspectos de teoria de projetos e projeto auxiliado por computador, en-
genharia assistida por computador, plasticidade e viscoelasticidade, escoamento de fluidos, escoa-
mento e mecânica dos meios porosos, otimização e programação linear, métodos variacionais e méto-
dos numéricos, algoritmos genéticos, computação paralela e computação distribuída, visualização ci-
entífica, modelagem molecular, teoria do caos, e a álgebra em suas diversas teorias, dentre outras apli-
cações. 
em Ciências Ambientais: em ecologia computacional, em modelagem de ecossistemas e biomas, na 
simulação e modelagem de trocas de massa e energia entre populações, destas para o meio ambiente, 
e entre ecossistemas, no desenvolvimento de métodos numéricos de solução de sistemas de EDOs e 
EDPs, estudos de impacto de desmatamento de mata nativa, das alterações ambientais decorrentes, 
simulação e projeção temporal. 
Modelos de implantação de indústrias, e simulação de impacto ambiental determinada pela implantação 
de sistemas de produção. Simulação, análise, modelagem e projeção temporal e espacial do fluxo das 
substâncias ou materiais envolvidos nas emissões industriais e no transporte destas no ambiente, das 
taxas de acumulação nas áreas de influência e projeção dos efeitos sobre as populações afetadas 
em Ciências Biológicas e da Saúde: abrangendo a genômica e a proteômica computacionais, simula-
ção de ação de proteínas e de sequências de códigos genético, visualização espacial de sequências 
genéticas, modelagem espacial de proteínas, modelagem estruturalde vírus e bactérias, análise de 
movimentos de seres microscópicos, modelagem hemodinâmica, de sistemas orgânicos, da ação far-
macológica e da simulação virtual de drogas terapêuticas ou curativas. Modelos computacionais odon-
tológicos, protéticos e de implantes. Modelagem de sistemas orgânicos biofísicos, biomecânicos e ce-
lulares. 
Deve ser observado, também, que não se trata de área da Ciência da Computação, ainda que com 
esta inter-relacionada, e sim da possibilidade de aplicação de conceitos e ideiasabrangendo as etapas 
de análise e compreensão do fenômeno sob estudo, estabelecimento de sistema de equações ade-
quado a simulação do fenômeno em questão, desenvolvimento de softwares adequados à solução do 
problema científicos abordado, e aplicação à estudo teórico ou prático, compreendendo análise crítica 
dos resultados e calibração do modelo desenvolvido. 
Alguns dos métodos estudados na modelagem computacional com direcionamento à solução de pro-
blemas típicos das engenharias, das ciências exatas, biológicas e ambientais, são: Métodos dos Ele-
mentos Finitos, Métodos dos Elementos de Contorno, Método dos Volumes Finitos, Métodos das Dife-
renças Finitas, Método Integral e Variacional, Métodos Autoadaptativos, computação distribuída, Re-
des e Grids Computacionais, Computação Vetorial e Paralela Aplicada, Pré e Pós-processamento Grá-
fico e Otimização, Sistemas de Orientação Espacial, Modelagem do Espaço Humano, Simulação Com-
putacional, realidade virtual e Protótipos Computacionais. 
A modelagem computacional utiliza um conjunto de métodos, ferramentas e formulações direcionadas 
à solução de problemas complexos, envolvendo grande número de variáveis, volumosa massa de da-
dos, processamento e manipulação de imagens. Desenvolvimento de modelos matemáticos e de mé-
todos numéricos, bem como discretização e tratamento de meios contínuos estão no seu campo de 
abrangência. 
A Modelagem Científica Computacional aplica então a computação a outras áreas do conhecimento. 
Ela permite que se criem modelos computacionais para situações em que é impossível ou muito caro 
testar ou medir as diversas soluções possíveis para um fenômeno a partir de modelos experimentais 
ou por solução analítica. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
42 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Viabiliza a adoção de abordagem computacional, avançando além das limitações, completando e inte-
grando-se a estas outras abordagens e muitas vezes sendo a única opção, à abordagem experimental 
e à analítica. 
Por modelagem científica concebe-se não só a modelagem relacionada ao desenvolvimento de méto-
dos numéricos e variacionais, como também à compreensão e desenvolvimento de modelos associa-
dos à fenomenologia física dos problemas complexos, aplicação de modelos já desenvolvidos, simula-
ção, previsão e projeções temporais e espaciais do desenvolvimento de soluções para aqueles proble-
mas. 
Limitações Em Ciência Cognitiva 
Podem surgir problemas quando se simula processos cognitivos, por causa das limitações do compu-
tador. 
Foi sugerido por Palmer e Kimchi que se pode especificar uma teoria sucessivamente com mais deta-
lhe até chegar ao ponto de ser possível escrever um programa de computador e que deve ser possível 
também de separar a partir de que ponto é que a implementação é dependente da linguagem de pro-
gramação e máquina, em vez de ser depender do cérebro. 
É que o programa vai ter sempre aspetos que não estão relacionados com a teoria psicológica, mas 
que a tecnologia disponível impõe ao pesquisador. Um exemplo são as funcionalidades que são inclu-
ídas no programa para saber qual é o seu estado interno a determinada altura enquanto corre, e que, 
obviamente, não estão relacionadas com o funcionamento do cérebro. 
O desempenho também pode ser problemático, porque também é limitado com a tecnologia disponível, 
sendo impossível comparar diretamente as velocidades de respostas de ambos máquina e cérebro, 
embora possa haver uma relação de proporcionalidade entre os dois, ou no mínimo o produto de ambos 
deve estar bastante próximo. 
Modelo Físico 
Modelos físicos ou modelos reduzidos em escalas são ferramentas usadas em diversos ramos da en-
genharia mecânica, engenharia civil , engenharia naval, Engenharia nuclear e em outros ramos para 
se projetar um protótipo, como por exemplo, um avião, um navio, uma plataforma de petróleo, um au-
tomóvel, bombas e turbinas hidráulicas, uma usina hidrelétrica, barragens, eclusas, prédios sujeitos 
a ventos ou a terremotos. 
Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado para complementar os cálculos dos modelos-
matemáticos durante um projeto muito grande e complexo. Assim no modelo físico podemos estudar , 
em escala, reduzida ou aumentada, diversos fenômenos físicos. 
A construção de modelos físicos, em escalas reduzidas, embora tentada anteriormente por Arquime-
des, Leonardo Da Vinci e outros estudiosos só foi possível após a descoberta da Teoria da Semelhança 
Mecânica por Isaac Newton e do Teorema de Bridgman. 
Tipos De Modelos 
Um modelo é uma representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de 
um fragmento de um sistema segundo uma estrutura de conceitos. Um modelo apresenta "apenas" 
uma visão ou cenário de um fragmento do todo. Normalmente, para estudar um determinado fenômeno 
complexo, criam-se vários modelos. 
Em Teoria de modelos um modelo é uma estrutura composta por um conjunto universo e por constan-
tes, relações e funções definidas no conjunto universo. 
Além dos modelos meramente conceituais, que facilitam e norteiam a compreensão e a visualização 
dos fenômenos naturais intervenientes, dois métodos de simulação podem servir de instrumento para 
o estudo de fenômenos físicos na natureza, tais como, por exemplo, a qualidade de águas fluviais, 
estuariais e costeiras: modelos físicos e modelos matemáticos. A aplicação de um método (físico ou 
matemático) não exclui o emprego do outro. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
43 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Modelos físicos - Pode servir de referência para a calibração do modelo matemático como, por exem-
plo, nos estudos de jatos (modelos semiempíricos). Estes modelos podem ser uni, bi e tridimensionais. 
A escolha das hipóteses simplificadoras e do tipo de modelo é fundamental para a validade dos resul-
tados obtidos. 
Os modelos físicos têm a vantagem de não apresentarem uma discretização do problema, pois este é 
continuo e pode ter uma representação geométrica tridimensional sem dificuldades. 
Modelos matemáticos - Representam os fenômenos da natureza por meio de equações. Estas equa-
ções matemáticas dos fenômenos físicos são, em alguns casos, de difícil representação e solução. 
Além disso, necessitam seguidamente do uso de coeficientes desconhecidos que deverão ser medidos 
na natureza ou em modelos físicos. 
Como a resolução das equações completas nem sempre é possível, faz-se necessário desprezar certos 
termos e ainda formular hipóteses sobre a distribuição espacial de certas grandezas (modelos integrais) 
ou discretizar o espaço e o tempo (modelos numéricos). 
Modelos híbridos - Apesar de possuírem custos iniciais elevados, se apresentam como uma solução 
para reduzir os custos de operações devido à sua grande flexibilidade, pois permite a realização de 
vários ensaios em pouco tempo. São basicamente modelos físicos comandados por computadores. 
Exemplo De Modelos 
Modelos aerodinâmicos - Nos modelos aerodinâmicos de aviões e automóveis a semelhança aplicada 
é a de Mach, nos modelos hidrodinâmicos de escoamentos em condutos forçados, como turbinas e 
bombas, utiliza-se a chamada semelhança de Reynolds e nos condutos livres ( canais, usinas hidrelé-
tricas, vertedores, eclusas de navegação, molhes, diques, quebra-mares, portos), utiliza-se a seme-
lhança de Froude. 
Modelos hidráulicos - Praticamente nenhuma grande obra hidráulica, como molhes, diques, quebra-
mares, portos, uma ampliação de praia artificial ou uma usina hidrelétrica, é projetadasem estudos de-
talhados em vários tipos de modelos matemáticos de diversas categorias e tipos como modelos de hi-
drologia, hidráulica, mecânica dos solos. 
Também são muitíssimo utilizados a construção de vários modelos físicos específicos para molhes, 
diques, quebra-mares, turbinas, casa de força, vertedouros, eclusas , escada de peixe, etc. Estes mo-
delos podem ser bidimensionais ou tridimensionais (modelo de conjunto). 
No projeto da Usina hidrelétrica de Tucuruí, por exemplo, os estudos em modelos reduzidos foram 
conduzidos no Laboratório Saturnino de Brito, no Rio de Janeiro, durante um período de oito anos. 
Método Dos Elementos Finitos 
O Método dos Elementos Finitos (MEF) (em inglês: Finite Element Method - FEM) é um procedimento 
numérico para determinar soluções aproximadas de problemas de valores sobre o contorno de equa-
ções diferenciais. O MEF subdivide o domínio de um problema em partes menores, denominadas ele-
mentos finitos. 
Conceitos Básicos 
A subdivisão de um domínio geral em partes simples tem diversas vantagens:[1] 
representação precisa de geometrias complexas; 
inclusão de propriedades distintas em materiais dissimilares; 
identificação de efeitos localizados (concentração de tensões). 
Uma aplicação típica do método envolve (1) dividir o domínio do problema em uma coleção de subdo-
mínios, sendo cada subdomínio representado por um conjunto de equações que são elemento do pro-
blema original, seguido de (2) recombinar sistematicamente todos os conjuntos de equações do ele-
mento num sistema global de equações para o cálculo final. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
44 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O sistema global de equações tem técnicas de solução conhecidas, e pode ser calculado desde o(s) 
valor(es) iniciais do problema original, para obter uma resposta numérica. Esse procedimento pode ser 
visto com mais detalhes para o caso de elementos finitos na mecânica estrutural. 
Método Das Diferenças Finitas 
O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na 
aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da série de Tay-
lor da função derivada. 
O operador de diferenças finitas para derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor 
Método Dos Volumes Finitos 
Em física, o método dos volumes finitos é um método de resolução de equações às derivadas parciais 
baseado na resolução de balanços de massa, energia e quantidade de movimento a um determi-
nado volume de meio contínuo. 
Este método evoluiu das diferenças finitas, outro método de resolução de equações diferenciais, e não 
apresenta problemas de instabilidade ou convergência, por garantir que, em cada volume discretizado, 
a propriedade em questão (por exemplo, a massa) obedece à lei da conservação. 
Este método é largamente utilizado na resolução de problemas envolvendo transferência de ca-
lor ou massa e em mecânica dos fluidos. 
Modelo Das Partículas Fluidas 
O modelo das partículas fluidas é um modelo generalizado que permite representar um fluido por par-
tículas discretas. Também denominadas de elemento representativo de volume (R.E.V), estas partícu-
las discretas são abstrações do contínuo, em acordo com a Teoria do Contínuo. 
Partículas fluidas são abstrações, uma vez que um fluido é composto por moléculas que interagem 
entre sí. Uma partícula fluida pode ser tratada como a menor parte do fluido que mantem as proprieda-
des deste fluido, e o aspecto de contínuo. Há dois sistemas de referência para o estudo de partículas 
fluidas: o Lagrangeano e o Euleriano. 
A fluidodinâmica, sub-área de conhecimento da mecânica dos fluidos é a área de conhecimento que 
trata do estudo de fluidos em movimento. 
A partir dos anos 80 do século XX, a fluidodinâmica computacional tem aplicado métodos numéricos no 
estudo da dinâmica de fluidos e do modelo de partículas fluidas. É uma área abrangente de conheci-
mento, como a sua co-irmã, a mecânica dos sólidos, com aplicações em pesquisas na indústria, meio 
ambiente, aerodinâmica, sedimentologia. 
Pesquisadores de diversas instituições, como Flávio Pietrobon Costa da Universidade Estadual de 
Santa Cruz, situada em Ilhéus, Estado da Bahia, têm buscado expandir suas áreas de aplicação, rein-
tepretando as variáveis primitivas, características dos fluidos, como velocidade, pressão e carga hi-
dráulica. A proposta deste último trabalho tem sido desenvolvida sob a orientação dos pesquisadores 
do Laboratório Nacional de Computação Científica, LNCC, prof. Augusto C. N. R. Galeão e prof. Luiz 
Bevilacqua, de ampla experiência e produtividade na área. 
Outros pesquisadores do LNEC, em Lisboa, como os profs. Luís Veiga da Cunha, Jorge Paes Rios e 
João Bau estudaram o transporte de sedimentos em rios, na natureza e em laboratórios, em modelos 
físicos. 
Casos Particulares 
Dinâmica de partículas com dissipação 
Dinâmica de partículas com dissipação e relaxação 
Microfluido 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
45 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Os microfluidos são uma área de investigação e desenvolvimento que abrange o desenvolvimento de 
microdispositivos de análise química. Estes dispositivos permitem realizar análises químicas comple-
xas, com reacção, separação e análise de produtos de reacção, num único chip. 
Estes chips são produzidos por processos análogos aos utilizados para produzir chips de computado-
res. 
Hidráulica Aplicada A Tubulações 
Hidráulica Aplicada a Tubulações é o estudo da passagem forçada de fluidos por tubulações. O esco-
amento está sujeito a rugosidades das paredes da tubulação que influi na vazão do fluido que o per-
corre. As equações de Colebrook-White e de Darcy-Weisbach visam avaliar a influência desta rugosi-
dade. 
A hidráulica de tubulações, apresenta aspectos práticos que envolvem a análise do escoamento de 
fluidos incompressíveis em condutos forçados e uniformes, em regime permanente levando em consi-
deração as condições de escoamento que tratam de vazão, velocidade, diâmetro e perda de carga. 
Entende-se por conduto forçado aquele no qual o fluido escoa à plena seção e sob pressão. Muitas 
vezes os condutos de seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme 
quando a sua seção transversal não varia com o seu comprimento. Se a vazão do fluido em qualquer 
seção do conduto não variar com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente. 
A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa com os gases, varia muito pouco quando se 
varia a sua pressão ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água tem compressibili-
dade igual a 5.10−5 cm2/kgf, isto significa que em condições normais seria necessário um incremento 
de pressão de 20 kgf/cm2 para que um litro de água se reduza de 1 cm3, ou seja, para que sua densi-
dade aumente um milésimo. 
Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e da maioria dos líquidos é independente da 
temperatura e da pressão. 
Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos escoamentos de líquidos em regime perma-
nente considera-se que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste contexto se in-
cluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel, água, vinho, vinhoto, leite e muitos outros, aos quais se 
aplicam os conceitos aqui comentados. 
Escoamento 
É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica também como turbulento ou laminar. No es-
coamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, seguindo trajetórias regu-
lares, sendo que as trajetórias de duas partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento 
a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção, com trajetórias irregulares, 
e podendo uma mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora próxima da parede do 
tubo. 
Em geral, o regime de escoamento na condução de líquidos no interior de tubulações é turbulento, 
exceto em situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas vazões, comoocorre em goteja-
dores de irrigação, onde o escoamento é laminar. 
Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda 
de energia denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devida 
ao atrito com as paredes do tubo e devida à viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior for 
a rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do esco-
amento e, logo, maior será a perda de carga. 
Teoria 
Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vem sendo realizados, procurando estabelecer leis 
que possam reger as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no 
passado e algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia, 
como as fórmulas de Hazen-Williams, de Manning de Flamant, etc. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
46 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Mas, trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, são mais ou menos 
incorretas. A incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o domínio de aplicação 
pretendido por seus autores. 
Atualmente a expressão mais precisa e usada universalmente para análise de escoamento em tubos, 
que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach: 
 
Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach 
Quando um fluido escoa de um ponto para outro no interior de um tubo, haverá sempre uma perda de 
energia, denominada queda de pressão (gases) ou perda de carga (líquidos). Esta perda de energia é 
devida ao atrito do fluido com a superfície interna da parede do tubo e turbulências no escoamento do 
fluido. 
Portanto quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação ou mais viscoso for o fluido, maior será 
a perda de energia. 
Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos, já há cerca de 
dois séculos estudos e pesquisas vêm sendo realizados. Atualmente a expressão mais precisa e utili-
zada universalmente para análise de escoamento em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhe-
cida equação de Darcy-Weisbach: 
A equação de Colebrook-White tem sido considerada como a mais precisa lei de resistência ao escoa-
mento e vem sendo utilizada como padrão referencial. 
Mas, apesar disto, e de todo o fundamentalismo e embasamento teórico agregado à mesma, tem uma 
particularidade a alguns pouco conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou seja, a gran-
deza está presente nos dois membros da equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação às 
demais grandezas. Sua resolução requer um processo iterativo. 
Isto resultou em motivos para que muitos pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se empe-
nhassem em encontrar equações explícitas, que pudessem ser utilizadas como alternativas à equação 
de Colebrook-White. 
Algumas mais compactas e simples, mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes des-
vios; outras, menos compactas e complexas, mais difíceis de serem memorizadas, porém com desvios 
menores; outras tantas combinando simplicidade e precisão, com erros até bem reduzidos, em relação 
ao fator de atrito calculado com a equação de Colebrook-White. 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________podem ser classificados quanto à compressibilidade e quanto ao grau de mistura ma-
croscópica. 
Um escoamento em que a densidade do fluido varia significativamente é um escoamento compressível. 
Se a densidade não variar significativamente então o escoamento é incompressível. 
O grau de mistura de um fluido em escoamento depende do regime de escoamento, que pode ser la-
minar, turbulento ou de transição. 
No regime laminar, as linhas de fluxo são paralelas ao escoamento, fazendo com que o fluido escoe 
sem que ocorra mistura. Em um duto circular, o escoamento é laminar até um Coeficiente de Rey-
nolds de aproximadamente 2100. 
Na transição entre os regimes laminar e turbulento, percebe-se que as linhas de fluxo se tornam ondu-
ladas, o que indica que começa a haver mistura entre uma camada e outra. Para um duto circular, esse 
regime ocorre para um valor de Re entre 2100 e 2300. 
Para valores de Re acima de 2300, têm-se regime turbulento. Nesta fase, percebe-se uma mistura 
entre as camadas de fluxo. 
Métodos Experimentais 
O escoamento de fluidos é actualmente estudado por velocimetria laser e por velocimetria por imagem 
de partículas. 
Abordagem Computacional 
A dinâmica de fluidos tem sido solicitada a fornecer soluções a problemas complexos em hidrodinâ-
mica, projetos de edificações, aeronaves, navios e veículos espaciais, em hemodinâmica e em biofí-
sica. Nestas áreas a obtenção e o de tratamento de soluções considera um elevado número de dados, 
informações e variáveis, resultando em densos sistemas de equações. A modelagem computacio-
nal propõe um conjunto de métodos e técnicas para a abordagem destes problem 
Leis Da Hidrodinâmica 
O que se passa com as asas do avião é que a sua periferia é feita de tal forma que o ar que passa por 
cima da asa tem que percorrer um maior percurso em relação ao ar que passa por baixo da asa. Ou 
seja, o ar sobre a asa move-se a uma velocidade maior. Dado este fato, a equação de Bernoulli prediz 
que a pressão acima da asa torna-se menor que abaixo da asa e, por este motivo, a uma determinada 
velocidade, a diferença de pressão é suficiente grande para fazer o avião levantar voo. 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/01/equacao-bernoulli.jpg
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
O mesmo se passa no perfume: ao passar sobre a "boca" do frasco, o tubo estreita-se, sendo o ar 
nesse ponto obrigado a circular a uma velocidade maior. Assim, isso cria uma variação de pressão que 
empurra o perfume para a sua superfície, sendo depois disparado para o ar. 
As equações de Bernoulli não possuem aplicação soberana na mecânica dos fluidos. As complexas 
Equações de Navier-Stokes são também utilizadas na análise da Mecânica dos fluidos. 
Elas são não-lineares e com uma infinidade de soluções não-analíticas, ou seja, somente obtidas com 
aporte computacional. São equações que relacionam densidade dos fluidos, acelerações, varia-
ção de pressão, viscosidade e gradientes de velocidade. 
Contudo, estas equações podem aproximar boas soluções algébricas quando feitas as devidas aproxi-
mações. Assumir, por exemplo, que o fluido é incompressível e sem viscosidade (idealização) faz com 
que estas equações sejam simplificadas e permitem soluções mais simples 
Equações De Navier-Stokes 
As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. 
São equações a derivadasparciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pres-
são num escoamento. 
Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um 
conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e ga-
ses. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída 
são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (si-
milar a fricção) atuando no fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular. 
Estas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de 
fenômenos de interesse econômico e acadêmico, inclusive em diversos ramos da engenharia. 
São usadas para modelar o clima, correntes oceânicas, fluxos da água em oceanos, estuários, lagos e 
rios, movimentos das estrelas dentro e fora da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas) de automó-
veis e de aviões, propagação de fumaça em incêndios e em chaminés industriais (dispersão). 
Também são usadas diretamente nos projetos de aeronaves e carros, nos estudos do fluxo sanguíneo 
(hemodinâmica), no projeto de usinas hidrelétricas, nos projetos de hidráulica marítima, na análise dos 
efeitos da poluição hídrica em rios, mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição atmosférica, etc. 
O modelo matemático muitas vezes deve ser complementado por um modelo físico num laboratório de 
hidráulica ou num túnel de vento, tendo em vista as suas limitações práticas para representar escoa-
mentos tridimensionais. 
As equações de Navier-Stokes, juntamente com as equações de Maxwell, podem ser úteis para a mo-
delagem e para estudos na magnetohidrodinâmica. 
Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das 
equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exem-
plo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou flu-
xos destas quantidades. 
Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes 
para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a 
razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna. 
Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico deve ser 
obtidas com a ajuda do cálculo. 
Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções 
exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estaci-
onário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade 
pequena (número de Reynolds pequenos). 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustenta-
ção em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontra-
das com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês 
Computational Fluid Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional. 
Embora estas equações foram escritas no século 19, ainda não foi comprovado que, a três dimensões 
existem sempre soluções, ou que, se elas existem, então não contêm qualquer singularidade (ou infinito 
ou descontinuidade). 
Existe um prêmio de U$ 1.000.000 que foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituto de Matemática 
Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que 
possa ajudar a entender este fenômeno. 
Suposições Básicas 
Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições 
acerca dos fluidos. A primeira é que um fluido é um meio contínuo. Isto significa que ele não contém 
vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de partículas como na 
neblina atmosférica. 
Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densi-
dade, temperatura, etc., são diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase). O que exclui as situa-
ções como os escoamentos com superfície livre, por exemplo da água em torno de casco de um barco, 
ou com cavitação, como ocorre por vezes nos propulsores de embarcações. 
Estas equações são obtidas a partir de princípios básicos de conservação da massa, momento e ener-
gia. Para tornar mais fácil a aplicação destes princípios é útil considerar um volume arbitráriofinito, 
chamado volume de controle. 
Este volume é representado por {\displaystyle \Omega } e sua superfície de confinamento por {\dis-
playstyle \partial \Omega }. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o 
fluido, o que conduz a considerações especiais, como será mostrado a seguir. Se for conveniente, pode 
ser considerado que se trata de um volume elementar, suficientemente pequeno para que no seu seio 
as propriedades do fluido sejam relativamente homogéneas, quase como se tratasse de uma partícula 
homogénea. 
Propriedades Não Linearidade 
As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não-lineares em praticamente todas 
as situações reais. Em alguns casos, tais como no fluxo unidimensional e no escoamento de Stokes, 
estas equações podem ser simplificados em equações lineares.[3] A não linearidade faz com que a 
maioria dos problemas sejam difíceis ou impossíveis de resolver e é o principal contribuinte para a 
turbulência que o modelo de equações. 
Turbulência 
Na mecânica de fluidos, turbulência ou fluxo turbulento é um regime de fluido caótico, caracterizado 
por alterações de propriedades de natureza estocástica. 
O regime turbulento pode ocorrer em variadas situações de fluxo, tanto com superfície livre como em 
escoamento confinado, sendo habitual em situações de caudal elevado. O parâmetro mais utilizado 
para a verificação da existência deste regime é o número de Reynolds, sendo que caso o valor deste 
seja superior a 2500, o regime é considerado turbulento. 
A Derivada Material 
As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas dife-
rentes. Isso será ilustrado através da medição da velocidade do vento na atmosfera: uma forma de 
medir estas mudanças é com a ajuda de um anemômetro em uma estação climática, outra forma seria 
pela liberação de um balão atmosférico, que esteja a flutuar em equilíbrio perfeito no ar, praticamente 
sem massa nem inércia, só se deslocando se o fluido o arrastar. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que 
passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso o instrumento mede mudanças 
na velocidade à medida que o balão se move com o fluido. 
Também mede mudanças na densidade, na temperatura, na pressão, etc. No estudo da variação das 
propriedades dos fluidos interessa relacionar as variações ao longo do tempo num ponto fixo, com as 
variações ao longo de um trajeto num instante fixo, como que conjugando o anemômetro e o balão. A 
derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como derivada espa-
cial ou de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de deri-
vada substantiva ou Lagrangiana. 
A derivada material, englobando os termos de Euler e de Lagrange, é definida pelo operador: 
onde {v} } é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional 
de Euler, isto é, a derivada em ordem ao tempo num ponto fixo do espaço. O segundo termo representa 
as mudanças devidas ao movimento do fluido. 
Leis De Conservação 
As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da: 
Massa 
Energia 
Momento Linear 
Momento Angular 
Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido. 
Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propri-
edade continua {\displaystyle L} definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é per-
dido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é 
criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. 
Equação De Momento 
A equação de momento é uma afirmação decorrente da Segunda Lei de Newton e diz respeito à soma 
das forças que atuam sobre um elemento de fluido para a sua aceleraçãoou a taxa de variação do mo-
mento. Na mecânica dos fluidos, não fica claro que as partículas constituintes do fluido (como molécu-
las e átomos isolados, como no caso de hélio e outros gases nobres líquidos) se deslocam em massa 
de fluido seguindo a equação {\displaystyle F=m.a} que é usada na análise de mecânica dos sólidos re-
lacionando a força aplicada para a aceleração resultante, e deve-se usar assim uma forma diferente da 
equação. 
A equação de momento (também podendo ser tratada como equação de momento linear) pode ser 
desenvolvida a partir da Segunda Lei de Newton a qual estabelece que a soma de todas as forças deve 
ser igual a taxa no tempo da alteração de momento, o que é dado por: 
Equacionamentos 
O somatório de forças acima é facilmente aplicável na mecânica de partículas, mas para fluidos, ele se 
torna mais complexo devido ao volume de controle (e não partículas individuais). A variação do mo-
mento se comporá de duas partes, o momento no interior do volume de controle, e o impulso de atra-
vessar a superfície. Este conceito pode ser escrito como: 
Onde 
ΣF representa a soma de todas as forças (forças no corpo de superfície) aplicadas ao volume de con-
trole. 
V é o vetor velocidade. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
n é a vetor normal unidade direcionado para o exterior. 
dV é o diferencial de volume. 
dA é o diferencial de área. 
A atual derivação desta equação é omitida, porém pode ser obtida com facilidade devido ao uso do Te-
orema do Transporte de Reynolds. 
Pode-se considerar o caso mais simples, para um fluido no qual somente o gradiente de pressão tér-
mica ({\displaystyle \nabla P}) seja responsável pelo movimento. Neste cenário, a equação do balanço 
de forças atuante é dado pela equação: 
Tornando a equação anterior discreta, tem-se: 
Deve-se notar que na equação anterior há a implicação da conservação do momento. 
Consideramos como fluídos todas as substâncias que estejam em estado líquido ou gasoso. Com isso, 
direcionamos nosso estudo às duas áreas da Mecânica dos fluídos. 
No estudo da Física, fluidos correspondem a substâncias cujas forças de coesão interna são muito 
pequenas. Por isso, eles geralmente não possuem forma própria e precisam de um recipiente para 
contê-los. 
Na figura acima, suponha haver um objeto em movimento dentro de um líquido ou gás, isto é, no interior 
de um fluido. A experiência mostra que o corpo sofre a ação de uma força que se opõe ao movimento 
do objeto, a qual chamamos de força de resistência do fluido. 
Embora essa força possua um comportamento complexo, podemos, de uma forma aproximada, deter-
miná-la através da seguinte equação matemática: 
Fr=k.vn 
Na equação acima temos: 
v – módulo da velocidade 
n – constante que vale 1 para velocidades baixas; e para velocidades altas vale 2 
k – constante que depende da natureza do fluido, do formato do corpo e da área da maior seção reta 
perpendicular ao movimento 
Essa força de resistência pode aparecer em diferentes momentos. Em muitos casos, é interessante 
diminuir o valor de k a fim de diminuir o valor da força de resistência. Por exemplo, para um esquiador 
na neve é interessante que ele realize seu percurso sempre agachado, pois, dessa forma, reduz-se a 
área A e, assim, reduz-se a resistência do ar. 
Já os esquiadores aéreos, também conhecidos com paraquedistas com pranchas, ficam deitados de 
braços abertos a fim de aumentar a área A e, assim, aumenta-se a resistência do ar. 
Massa Específica 
A massa especídifca de um fluido é a relação entre a massa e o volume por ela ocupado: {\displaystyle 
\rho \;=\;{\frac {m}{V}}}. A unidade SI de densidade é o kg/m3. Também é muito utilizada a densi-
dade,que é a relação (adimensional) entre a massa específica do fluido e a massa específica da da 
água a 4° C (1000 kg/m3). Por exemplo, a densidade do mercúrio é 13,6. 
Sistemas E Volumes De Controle 
Em mecânica dos fluidos, um sistema é definido como uma quantidade fixa de massa; oslimites de um 
sistema podem ser, por sua vez, fixos ou mutáveis, mas nenhuma quantidade de massa cruza esses 
limites. Esse conceito corresponde ao de sistema fechado usado em termodinâmica. Calor pode entrar 
ou sair de um sistema. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
8 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Um volume de controle, por sua vez, é um volume arbitrário no espaço por onde pode fluir massa; o 
limite de um volume de controle é chamado de superfície de controle. Esse conceito corresponde ao 
de sistema aberto usado em termodinâmica. Tanto calor quanto massa podem cruzar uma superfície 
de controle. 
Forças E Tensões 
Um elemento do fluido pode experimentar dois tipos de forças: forças de superfície, que são geradas 
por contato com outros elementos do fluido, partículas ou superfícies sólidas (por exemplo, força de 
compressão, força de cisalhamento, força de fricção); e forças do corpo, que são experimentadas atra-
vés do próprio elemento (por exemplo, peso, força de Coriolis e forças de natureza eletromagnética). 
As forças de superfície são aplicadas externamente ao elemento e, portanto, dão origem a tensões no 
interior do fluido. A dimensão da tensão é a mesma da pressão (força/área). 
Hidrostática 
Chamamos de hidrostática a área da mecânica dos fluídos responsável pela análise das substâncias 
fluídas em condições de repouso. Dentro dela, devemos aprender três princípios básicos que lhe dão 
fundamentação: 
Princípio De Arquimedes 
Ao ter que calcular se a coroa de um rei havia sido feita apenas com ouro ou se dentro possuía uma 
parte de prata sem estragar a peça, Arquimedes desenvolveu esse princípio. Por meio da equação E 
= r.V.g, ele conseguiu descobrir que os fluídos exercem o empuxo nos objetos nele imersos e que a 
formula traria esse resultado. (considere que r é a massa específica do fluído, V é o volume do objeto 
imerso no fluído e g é a aceleração da gravidade no local. 
Princípio De Pascal 
Pascal buscou, por meio de seu princípio, verificar a validade da experiência de Torricelli – ele enuncia 
o princípio da constância de transmissão de pressão no interior dos líquidos. 
Princípio De Stevin 
Com Stevin vieram importantes contribuições para a física mecânica. Foi ele quem explicou o paradoxo 
da hidrostática, conde a pressão de um líquido depende, independentemente da forma do recipiente, 
da altura da coluna líquida, conforme demonstrado na equação: ∆P = r.g.h. 
Considere que ∆P é a variação da pressão que varia de acordo com o comprimento da coluna, r é a 
massa específica do fluído e h é o desnível. 
Hidrodinâmica 
A hidrodinâmica fundamenta-se em dois princípios e é o ramo que estuda os líquidos quando em mo-
vimento. 
Equação Da Continuidade 
A vasão de fluído de um sistema com um determinado sistema hidráulico que seja fonte e tenha sumi-
douro e fluído. 
Equação De Bernoulli 
O físico á autor da equação de Bernoulli – Lei da Conservação da Energia, aplicadas aos locais com 
deslocamento de fluído. 
 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
9 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Nessa equação, considere que P é a pressão absoluta, r massa específica do fluído, g é a aceleração 
da gravidade no local, v é a velocidade em que o fluído desloca-se, e y é o desnível. 
Estudo De Trocador De Calor Por Tubos Concêntricos 
nos estudos relacionados a termodinâmica e a transferência de calor e massa, são muitas as aborda-
gens necessárias para a compreensão dos diversos fenômenos envolvidos quando se estuda este 
assunto. Assim ter a disposição um equipamento que dê apoio no desenvolvimento das atividades 
práticas de ensino é fundamental a formação dos estudantes. 
Este equipamento foi desenvolvido para apoiar a realização das atividades teórico-práticas de labora-
tório relacionadas ao estudo da termodinâmica e transferência de calor e massa em trocadores de calor 
do tipo tubos concêntrico. 
Durante sua utilização o equipamento, permite estabelecer diferentes condições de operação na vazão 
do fluido quente, na vazão do fluido frio, no sentido do fluxo dos fluidos em escoamento co-corrente e 
contracorrente e na temperatura do fluido quente. 
Sua utilização permite abordagens relacionadas ao estudo do coeficiente global de troca de calor, ao 
estudo das eficiências nas trocas térmicas, ao estudo da quantidade de calor trocado no processo, e 
demais estudos relacionados a transferência de calor e massa como medida de vazão e princípio da 
continuidade. 
O equipamento é constituído por uma bancada horizontal, com estrutura e tampo em aço e rodízios 
para facilitar sua mobilidade. Esta estrutura dá suporte ao sistema de aquecimento, ao conjunto de 
rotâmetros, ao conjunto trocador de calor na linha de fluxo, ao conjunto de indicação de temperatura, 
ao painel de comando elétrico e demais partes estruturais. 
O sistema de aquecimento é responsável pelo suprimento do fluido aquecido necessário à realização 
das atividades, é construído aquecedor a gás com ajuste de aquecimento e vazão instalado junto a 
tubulação de água quente e a rede de abastecimento de água do laboratório. 
O conjunto de rotâmetros, destinado a medida das vazões que circulam pelo sistema é composto por 
dois rotâmetros com capacidade de medida de até 8 litros por minuto interligados à rede de forneci-
mento de água, a bancada e as tubulações do equipamento. Junto aos rotâmetros estão instaladas 
válvulas do tipo globo para regulagem das vazões de fluido quente e frio. 
O conjunto trocador de calor é o caminho por onde os fluidos circulam, tem sua construção em tubos 
de aço inox 304, com duas seções de 1,2 metros instalados em série. 
Possui uma montagem do tipo tubos concêntricos e estão conectados as tubulações de fornecimento 
de fluido quente e fluido frio. Possui ao longo de sua extensão 8 pontos nos quais estão instalados os 
sensores de temperatura. 
O conjunto de indicação de temperatura e comando elétrico do equipamento possui 8 indicadores de 
temperatura para os sensores instalados ao longo do conjunto trocador de calor e demais componentes 
de acionamento, e segurança conforme NBR5410. 
Especificações Técnicas 
Dimensões do equipamento: 2750mm x 750mm x 1850mm (LxPxH); 
Trocador de calor do tipo tubos concêntricos em aço inox 304 com tubo de água quente de 38mm, tubo 
de água fria de 57mm e 4 válvulas tipo esfera para manobra do fluxo; 
Tubulação de fornecimento de água fria em PPR e PVC 20mm; 
Tubulação de descarte da água quente em PPR 20mm; 
Sistema de aquecimento a gás, capacidade 8 l/min a 65ºC; 
Rotâmetros com válvulas tipo globo, capacidade até 8 l/min; 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
10 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Conjunto com 8 sensores de temperatura e indicadores digitais; 
Conjunto de amostra de tubos em aço inox avulsos para estudo da geometria; 
Instalação elétrica no equipamento conforme NBR 5410; 
Manual de instalação e operação; 
Roteiros de aulas práticas. 
Observações: 
Há necessidade de conexão à rede hidráulica para fornecimento de água ao equipamento; 
Há necessidade de uma rede de esgoto no local para descarte da água após e/ou durante a utilização 
do equipamento; 
Há necessidade de conexão à rede de fornecimento de gás para operação do equipamento; 
Há necessidade de conexão à rede de fornecimento de energia elétrica para operação do equipamento. 
Aplicações 
O equipamento TC02 - Estudo de Trocador de Calor por Tubos Concêntricos, permite a realização de 
atividades práticas de apoio, as abordagens teóricas relacionadas a: 
Determinação de coeficientes globais de troca de calor (U), para várias condições de operação, vari-
ando as correntes de fluido; 
Determinação da eficiência de troca térmica (ef), para várias condições de operação; 
Determinação das quantidades de calor(qt) trocado (recebido e cedido) pelos fluidos frio e quente, para 
várias condições de operação; 
Comparação do comportamento das variáveis: coeficiente convectivo global, eficiência de troca térmica 
e quantidade de calor trocado em escoamento co-corrente e contracorrente;Avaliação das perdas térmicas ocorridas em cada condição de operação utilizada; 
Comportamento do sistema de aquecimento a gás no aquecimento de água em diferentes fluxos; 
Medição de vazão com uso de rotâmetro; 
Estudo do princípio da continuidade nos escoamentos. 
Tração e Compressão 
Esforços Internos 
0 objetivo principal deste capitulo é estudar o que pode ser chamado de esforços (efeitos) internos de 
forças que estão agindo em um corpo. 
Os corpos considerados não são supostos perfeitamente rígidos como se admite na Mecânica Racio-
nal; considerando-se os corpos deformáveis de diferentes formas e submetidos a carregamentos diver-
sos. 0 cálculo das respectivas deformações é, também, um dos objetivos da Resistência dos Materiais. 
Barra Axialmente Carregada 
Inicialmente, considera-se uma barra prismática (de eixo reto e seção transversal constante) sob a ação 
de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico dos centros de gravi-
dade das seções transversais). Diz-se que a barra é tracionada quando aquelas forças são dirigidas 
para fora da barra: em caso contrário, diz-se que a barra é comprimida. Os dois casos estão indicados 
na Fig. 1. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
11 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Sob a ação dessas forças externas, originam-se esforços internos no interior da barra; para o seu es-
tudo, pode-se imaginar que a barra seja cortada ao longo de uma seção transversal qualquer (este 
corte não deve, porém, ser efetuado nas proximidades das seções transversais extremas, por motivo 
que se apresentará mais tarde); o plano de corte a-a é indicado na Fig. 2(a). 
Se se supõe removida a parte do corpo que se situa, por exemplo, à direita do corte efetuado, tem-se 
a situação indicada na Fig. 2(b), onde está representada a ação que esta parte suprimida exercia sobre 
a restante. 
Por meio deste artifício, um corte, os esforços internos, na seção considerada, transformam-se em 
externos, relativamente à parte do corpo que se conservou. 
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, 
de intensidade I?; além disso, supõe-se que eles atuem, em cada ponto da seção, paralelamente ao 
eixo da barra, isto é, sejam perpendiculares à seção transversal considerada. 
Distribuição Dos Esforços Internos 
Introduz-se, agora, a hipótese da distribuição uniforme, desses esforços resistentes, ao longo de todos 
os pontos da seção transversal, embora, na realidade, ela talvez nunca se verifique. 
Assim, nos materiais metálicos, que de certa forma podem ser assimilados a materiais homogêneos, 
não se tem rigorosa homogeneidade por causa das diferentes orientações de seus componentes cris-
talinos. 0 valor exato do esforço que atua em cada ponto é, a rigor, uma função da natureza cristalina 
e da orientação dos cristais, nesse ponto 
 
Todavia. para fins práticos, a hipótese da distribuição uniforme é, para diversos materiais, perfeitamente 
satisfatória. 
Tensão Normal 
0 termo esforço interno resistente é mais geral do que aquele que se considerou no exemplo citado, 
pois não implica, necessariamente, fixar que a sua direção seja perpendicular à seção transversal. 
Quando isso se dá, como no caso do exemplo em questão, este esforço, que atua em cada ponto da 
seção transversal, recebe o nome de tensão normal. A tensão tem a mesma unidade de uma pressão, 
isto é, força por unidade de área. 
No caso em questão, a intensidade da tensão normal, em qualquer ponto da seção transversal, é obtida 
dividindo-se o valor de P pela área da seção transversal. Se P é de tração, a tensão normal correspon-
dente também é de tração; em caso contrário, a tensão normal é de compressão. É essencial, para a 
hipótese de distribuição uniforme das tensões normais, que a força P seja axial; em caso contrário, não 
estariam satisfeitas as condições de equilíbrio. 
Corpos De Prova 
0 carregamento axial da Fig. 2 ocorre freqüentemente no dimensionamento de peças de máquinas ou 
de estruturas. Este carregamento pode ser realizado em corpos de prova que se adaptam, em labora-
tório, às garras das máquinas de ensaio. 
Com finalidade de padronizar os ensaios, existem métodos de ensaio elaborados pela Associação 
Americana de Ensaios de Materiais (abreviadamente ASTM) e de uso corrente nos Estados Unidos. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
12 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material que se considere (metálico 
ou não-metálico), ou o tipo de ensaio a realizar (tração ou compressão axial). Para exemplificar, apre-
senta-se, na Fig. 3, o corpo de prova utilizado em ensaios de placas metálicas de espessura maior do 
que 5mm; na Fig. 4, apresenta-se o corpo de prova para o ensaio de peças metálicas de diâmetro ou 
espessura acima de 4cm pol. 
As dimensões aí indicadas são as adotadas pela ASTM; as extremidades dos corpos de prova podem 
variar, com a condição de se adaptarem às garras das máquinas de ensaio. 
A parte central do corpo de prova tem seção transversal menor do que as das extremidades, a fim de 
se garantir que a ruptura se dê nessa região. As superfícies de concordância, entre a parte central e as 
laterais, devem ser fixadas levando-se em conta o não aparecimento daquilo que se denomina de con-
centração de tensões. 
Ordinariamente, um comprimento de referência, para a medida das variações de comprimento do corpo 
de prova, pode ser fixado por intermédio de duas pequenas ranhuras, ou marcas, executadas na su-
perfície da barra; são os comprimentos de 20cm e 5 cm representados, respectivamente, nas Figs. 3 e 
4. 
Deformação Linear 
Admita-se que se ensaie um desses corpos de prova por intermédio de forças axiais de tração, gradu-
almente crescentes, e que, para os diversos acréscimos das forças aplicadas, se meçam os correspon-
dentes 
 
acréscimos sofridos pelo comprimento inicial, de referência; essas medidas podem ser efetuadas por 
intermédio de diversos aparelhos que se denominam, em geral, de tensômetros. 
A variação unitária de comprimento, que é denominada deformação linear se representa com a le-
tra , obtém-se, simplesmente, dividindo-se a variação de comprimento pelo comprimento inicial l, 
isto é: . Trata-se, portanto, de uma grandeza adimensional: A expressão deformação total, 
embora incorreta é, às vezes, empregada para exprimir o alongamento , cuja dimensão, evidente-
mente, é a de um comprimento. 
Diagrama Tensão-Deformação 
É possível, então, medirem-se os diversos , correspondentes aos acréscimos da carga axial apli-
cada à barra, e realizar o ensaio até a ruptura do corpo de prova. Chamado de S a área da seção 
transversal inicial do corpo de prova, a tensão normal, , pode ser determinada, para qualquer valor 
da carga axial, P, com a fórmula: 
 
Obtidos, assim, diversos pares de valores e , pode-se determinar a função que os relaciona, a 
qual, na representação gráfica, recebe o nome de diagrama tensão-deformação do material para esse 
tipo de carregamento. 
Na Fig. 5, apresentam-se diversos diagramas, característicos dos materiais mais comuns, utilizados 
em obras de engenharia. Para um aço doce, os resultados experimentais seguem, aproximadamente, 
a curva da Fig. 5(a); para um material frágil, como é o caso do ferro fundido, a curva tem o aspecto 
indicado na Fig. 5(b). 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
13 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 Materiais Dúcteis E Frágeis 
Os materiais metálicos utilizados em Engenharia classificam-se em dúcteis e frágeis. Material dúctil é 
aquele que apresenta grandes deformações antes de se romper (por exemplo, o aço e o alumínio), 
enquanto que o material frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper. Como 
limite entre materiais dúcteis e frágeis é usual considerar-se, arbitrariamente, a deformação de ruptura 
igual a 5%. 0 ferro fundido e o concreto são exemplos de materiais frágeis. 
Lei De Hooke 
Nos materiais cujo diagrama é o da Fig. 5(a), observa-se serlinear a função tensão-deformação no 
trecho OP. 
Esta relação linear, entre os deslocamentos e as cargas axiais (visto que essas quantidades são divi-
didas, respectivamente, pelas constantes l e S para se transformarem em e e ), foi apresentada por 
Robert Hooke em 1678 e é conhecida por Lei de Hooke. Para representar esse trecho linear do dia-
grama tensão-deformação, pode-se escrever 
 
E onde E representa a tangente trigonométrica do ângulo que a reta OP forma com o eixo dos (Fig. 
5(a)). 
 
Módulo de Elasticidade 
A constante E, relação entre e , é o módulo de elasticidade do material, sob tração, e é chamado, 
às vezes, de módulo de Young. Em diversos manuais de engenharia, encontram-se as tabelas que 
fornecem o módulo de elasticidade de diferentes materiais. 
Desde que é adimensional, segue-se que a dimensão de E é a mesma de , isto é, força por uni-
dade de área. Para diversos materiais, o valor de E é o mesmo, quer sob tração, quer sob compressão. 
Deve-se observar que os materiais que se consideram neste capitulo são somente aqueles (a não ser 
referência em contrário) que satisfazem à lei de Hooke. 
Propriedades Mecânicas 
0 diagrama tensão-deformação da Fig. 5(a) permite caracterizar diversas propriedades do material, que 
a seguir se definem. 
Limite de proporcionalidade: a tensão correspondente ao ponto p recebe o nome de limite de proporci-
onalidade e representa o valor máximo da tensão, abaixo da qual o material obedece à lei de hooke. 
Para um material cujo diagrama é o da fig. 5(b) não existe limite de proporcionalidade. 
Limite de elasticidade: muito próximo a p, existe um ponto, na curva tensão-deformação, ao qual cor-
responde o limite de elasticidade; ele representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra. Sem 
que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga externa. 
Para muitos materiais os valores dos limites de elasticidade e de proporcionalidade são praticamente 
iguais e esses termos são, então, empregados como sinônimos. Nos casos em que eles são diferentes, 
em geral o limite de elasticidade é maior do que o de proporcionalidade. 
Região elástica: 0 trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de pro-
porcionalidade, recebe o nome de região elástica. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
14 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Região plástica: chama-se região plástica o trecho do diagrama compreendido entre o limite de propor-
cionalidade e o ponto correspondente à ruptura do material. 
Limite de escoamento: a tensão correspondente ao ponto y tem o nome de limite de escoamento. A 
partir desse ponto aumentam as deformações sem que se altere, praticamente, o valor da tensão. 
Quando se atinge o limite de escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. 
Alguns materiais apresentam dois pontos para os quais aumentam as deformações sob tensão cons-
tante. Esses pontos, em geral muito próximos um do outro, recebem os nomes de limites de escoa-
mento superior e inferior. 
Limite de resistência ou resistência à tração: a tensão correspondente ao ponto u (maior tensão atingida 
no ensaio) recebe o nome de limite de resistência ou resistência à tração. 
Limite de ruptura: a tensão correspondente ao ponto b recebe o nome de limite de ruptura; é a que 
corresponde à ruptura do corpo de prova. 
Módulo de resiliência: chama-se módulo de resiliência à energia que o corpo armazena, por unidade 
de volume, quando, a partir de zero, se eleva o valor da tensão até o limite de proporcionalidade. Seu 
valor pode ser obtido calculando-se a área hachurada da Fig. 5(a), é evidente que a dimensão do 
módulo de resiliência é a de um trabalho. Assim, a resiliência de um material é a sua capacidade de 
absorver energia na região elástica. 
Módulo de tenacidade: chama-se módulo de tenacidade à energia que o corpo armazena, por unidade 
de volume, quando, a partir de zero, se eleva o valor da tensão até o limite de ruptura. Seu valor pode 
ser obtido, no diagrama tensão-deformação, com o cálculo da área limitada pela curva, os eixos coor-
denados e a ordenada correspondente ao ponto de ruptura. A tenacidade de um material é a sua ca-
pacidade de absorver energia ,na região plástica. 
Redução percentual de área: a relação, em porcentagem; entre a diminuição de área da secção trans-
versal (relativamente à área inicial), por ocasião da ruptura, e a área inicial, recebe o nome de redução 
percentual da área da seção transversal. Observa-se que na tração axial, ou tração simples, a área da 
seção transversal diminui, mas nos cálculos de a introduz-se, sempre, a área original. 
Por esse motivo é que a curva tensão-deformação tem o aspecto indicado na fig. 5(a). Quanto mais 
crescem as deformações, mais importante é considerar os valores correspondentes da área da seção 
transversal (que diminui) e, se se levar isso em conta, obtém-se um diagrama real, em lugar do con-
vencional. Esse diagrama tem o aspecto da curva que se representa, em pontilhado, na fig. 5(a). 
Alongamento percentual: se se exprime, em porcentagem, o acréscimo de comprimento (de referên-
cia), depois da ruptura, em relação ao comprimento inicial, tem-se o alongamento percentual. Quer a 
redução percentual da área, quer o alongamento percentual, servem para caracterizar, também, a duc-
tibilidade do material. 
Tensão admissível as propriedades mecânicas, relativas à resistência, permitem que se fixe a tensão 
admissível do material. Neste capitulo, todas as tensões admissíveis estão na região elástica. Obtém-
se essa tensão dividindo-se ou o limite de escoamento ou o limite de resistência por um número, maior 
que a unidade, denominado coeficiente de segurança. A fixação do coeficiente de segurança é feita 
nas normas de cálculo e, algumas vezes, pelo próprio calculista, baseado em experiências e de acordo 
com o seu critério. 
Endurecimento de deformação: se um material dúctil pode ser tensionado consideravelmente além do 
limite de escoamento, sem ruptura, dizemos que endurece sob deformação. Isto se verifica para muitos 
metais estruturais. 
A curva tensão-deformação de um material frágil, isto é, não linear, como se indica na fig. 5(b), carac-
teriza diversas outras propriedades, que se distinguem daquelas que correspondem ao diagrama linear 
e que a seguir se definem. 
Limite de escoamento: denomina-se, agora, limite de escoamento a tensão que corresponde a uma 
deformação permanente, pré-fixada, depois do descarregamento do corpo de prova. Essa deformação 
permanente é, às vezes, fixada em 0,002 cm/cm e, às vezes, em 0,035 cm/cm. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
15 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Esses valores são arbitrários mas, em geral, fixados nas especificações. Na fig. 5(b) fixou-se a defor-
mação permanente e,; para determinar o limite de escoamento, traça-se a reta o'y paralela à tangente 
à curva que passa pela origem. Sua interseção, com a curva, determina o ponto y que corresponde ao 
limite de escoamento procurado. 
Módulo tangente: a tangente trigonométrica, do ângulo que a tangente à curva tensão-deformação, na 
origem, forma como eixo dos e, recebe o nome de módulo tangente. 
Existem outras características do material, que são utilizados no cálculo e no dimensionamento das 
peças. São as que a seguir se indicam. 
Coeficiente de Dilatação Linear 
É a variação unitária de comprimento entre dois pontos situados num corpo submetido à variação de 
um grau, em sua temperatura. 0 valor desse coeficiente independe da unidade adotada para os com-
primentos, mas varia com a escala de temperatura. 
Se chamarmos de a o coeficiente de dilatação linear do aço, seu valor é a = 11,7 X 1 0-6/C (isto é, por 
grau centígrado). As variações de temperatura, sofridas por uma estrutura, podem dar lugar a tensões, 
semelhantes às que correspondem à aplicação de esforços externos. 
Coeficiente De Poisson 
Quando uma barra é submetida à tração simples, verifica-se um acréscimo de comprimento, na direção 
paralela à carga, e um decréscimonas dimensões transversais, perpendiculares ao eixo da barra. A 
relação entre a deformação transversal e a longitudinal recebe o nome de Coeficiente de Poisson, e se 
designa com a letra Para diversos metais, o seu valor é compreendido entre 0,25 e 0,35. 
Forma Geral Da Lei De Hooke 
Considerou-se, anteriormente, o caso particular da lei de Hooke aplicável ao caso simples de solicita-
ção axial. Nesse caso, tem-se, para as deformações longitudinal e transversal, respectivamente: 
No caso mais geral, em que um elemento do material está solicitado por três tensões normais sigma x, 
sigma y, sigma z, perpendiculares entre si, às quais correspondem, respectivamente, as deformações 
ex, cy, cz, a lei de Hooke se escreve: 
 com similares equaciones para y e z 
 Analise Elástica E Analise Plástica 
Tensões e deformações nas regiões plásticas dos materiais são freqüentemente permitidas em certas 
estruturas. Algumas normas construtivas permitem que certos membros estruturais sofram deforma-
ções plásticas e certos componentes de aviões e mísseis são projetados deliberadamente para agir na 
região plástica de modo a se obter menores pesos. 
Além disto, muitos processos de conformação mecânica dos metais involvem na sua -deformação plás-
tica. Para pequenas deformações plásticas de aços estruturais de baixo e médio carbono, a curva de 
tensão-deformação da Fig. 5(a) é normalmente representada por duas linhas retas, uma com inclinação 
definida por E, representando a região elástica, outra horizontal, representando a região plástica. Tal 
gráfico, mostrado na Fig. 6, representa um, assim chamado, material elástico e perfeitamente plástico. 
Não leva em consideração deformações plásticas ainda menores que ocorrem na região mostrada na 
porção à direita da curva tensão-deformação da Fig. 5(a). 
 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
16 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Classificação dos Materiais 
Tudo o que foi apresentado baseia-se na hipótese de que o material satisfaça a duas condições, isto 
é, seja; 
Material Homogêneo 
Com as mesmas propriedades (mesmos E e v), em todos os seus pontos. 
Material Isótropo 
Com as mesmas propriedades, qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado. Nem 
todos os materiais são isótropos. Se um material não possui qualquer espécie de simetria elástica, ele 
é chamado anisótropo e, à vezes, aelótropo. 
Em lugar de dias constantes elásticas (E e v), que definem o sólido isótropo que obedece à lei de 
Hooke, tal substância terá 21 constantes elásticas. 
Se o material possui três planos de simetria elástica, perpendiculares entre si, ele recebe o nome de 
ortótropo. Nesse caso, o número de constantes independentes é 9. Aqui se consideram somente os 
materiais isótropos e homogêneos que obedecem à lei de Hooke. 
Estado Plano De Tensão 
Na mecânica de meios contínuos, diz-se que um material está sob o Estado Plano de Tensão quando 
o vector de tensão normal a uma superfície particular é zero. 
Quando esta situação ocorre sobre um elemento de estrutura inteiro, como é o caso de placas finas, 
a análise de tensões simplifica-se consideravelmente, já que o estado de tensão pode ser representado 
por um tensor de dimensão 2 (apresentável através de uma matriz de 2 × 2 em vez de uma matriz 3 × 
3). Uma noção relacionada, estado plano de deformação, é também aplicável em membros muito es-
pessos. 
O estado plano de tensão ocorre tipicamente em placas finas que são sujeitas apenas a forças de carga 
paralelas a elas. Em certas situações, uma placa ligeiramente curvada pode ser assumida como tendo 
estado plano de tensão para propósitos de análise de tensões. 
Este é o caso, por exemplo, de um cilindro de paredes finas ocupado por um fluido sob pressão. Em 
tais casos, as componentes de tensão perpendiculares à placa são negligenciáveis quando compara-
das com aquelas que são paralelas à mesma. 
Em outras situações, contudo, a tensão de flexão de uma placa fina não pode ser desprezada. A análise 
pode ser simplificada através do uso de um domínio bidimensional, mas o tensor de estado plano de 
tensão para cada ponto deve ser complementado com os termos de flexão. 
Estado Plano De Tensão Em Superfícies Curvas 
Em certos casos, o modelo de estado plano de tensão pode ser usado na análise de superfícies ligei-
ramente curvas. Por exemplo, considere-se um cilindro de paredes finas sujeito a uma força de com-
pressão axial distribuída uniformemente ao longo do seu aro, estando este ocupado por um fluido pres-
surizado. 
A pressão interna gerará uma tensão cilíndrica na parede, uma tensão de tracção normal directamente 
perpendicular ao eixo do cilindro e tangencial à sua superfície. 
O cilindro pode ser conceptualmente desenrolado e analisado como uma placa rectangular fina sujeita 
a uma tensão de tracção numa direcção e a uma tensão de compressão na outra direcção, ambas 
paralelas à placa. 
Estado Plano de Deformação 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
17 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Análise De Tensões E Deformações 
Análise de tensões e deformações ou análise de solicitações é uma disciplina da engenharia que avalia 
o estado de tensões em materiais e estruturas sujeitas à forças ou cargas aplicadas estática ou dina-
micamente (em sistemas estáticos lineares, a análise pode ter objetivo equivalente em determinar 
as deformações em vez das tensões). 
O objetivo da análise é geralmente determinar se os itens ou coleção de itens, o que chamamos de es-
trutura, pode suportar com segurança as forças sobre ele incidentes. Isto é conseguido quando as 
tensões produzidas por tensões aplicadas estão abaixo dos limites de tensão (de tração e compressão 
ou fadiga) que o material é capaz de suportar, tendo em conta a prática habitual na técnica, um fator 
de segurança adequado. 
O termo análise de tensões também é relacionado aos métodos matemáticos ou computacionais ade-
quados a prever o estado de tensões em estruturas ainda em fase de projeto. 
A análise de tensão também pode ser realizada através da aplicação de forças sobre uma estrutura 
existente e determinando a tensão/esforço produzido fazendo uso de sensores, mas, neste caso, é 
mais propriamente referida como ensaio (destrutivo ou não-destrutivo) da estrutura. Neste caso, a apli-
cação controlada da carga estática ou dinâmica requer o uso de dispositivos especiais, tais como tú-
neis, mecanismos hidráulicos, ou simplesmente pesos. 
Quando as forças são aplicadas, ou são esperadas serem aplicadas, em um modo repetitivo, cíclico, 
então quase todos os materiais irão atingir o estado de ruptura ou colapso em níveis de tensões mais 
baixas do que em outras diferentes condições. A análise das tensões sob essas condições de carga 
cíclica é chamada de análise de fadiga. Este tipo de análise é muitas vezes aplicado a estruturas aero-
náuticas. 
Transferência De Carga 
A avaliação das cargas e tensões dentro das estruturas tem o objetivo de identificar os percursos de 
transferência de carga. As cargas são transferidas através do contato físico entre as várias partes com-
ponentes dentro da estrutura. Em estruturas simples, os percursos de transferência podem ser identi-
ficados e explicados. Para estruturas mais complexas, esse trabalho requer o uso de ferramentas mais 
complexas de análise, tanto do tipo teórico da mecânica dos sólidos como computacionais (métodos 
numéricos de análise). Entre estes inclui-se o método dos elementos finitos. 
O objetivo da análise é a determinação da tensão crítica máxima ou em qualquer parte da estrutura, e 
compará-los com a condição de contorno (resistência à deformação, desgaste ou fadiga) do material 
Diagrama Força Cortante E Momento Fletor 
Considerações: 
Momento fletor é o momento que deforma um corpo. Pegue uma régua, por exemplo, e coloque sobre 
duas canetas em suas extremidades. Ao se pressionar o centro da régua, repare que ela vai se defor-
mar mais onde você pressionou (maior momento fletor). Veja que as extremidades que estão apoiadas 
não se deformam,por isso que o momento em x=0 é 0. 
em x=0 o momento é zero pois só existe momento se existir distância em relação ao eixo de rotação 
nesse caso como não há distância perpendicular da força em relação ao eixo logo não há momento no 
ponto B existe uma distância de 4 metros por isso que existe momento no ponto B 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
18 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Relação Entre Carga, Força Cortante E Momento Fletor 
 Seja um elemento de viga, formado por duas seções disstantes dx uma da outra: 
 
Devido à carga q atuando no elemento, o esforço cortante e o momento fletor variam com a grandeza 
x, logo terão valores ligeiramente diferentes na face à diteita, em relação à face esquerda. 
Fazendo equilíbrio de forças: 
 
. 
Logo, 
\ , (1) 
 ou seja, a taxa de variação do esforço cortante em relação a x é –q. Quando q = 0, V = constante. 
 
 
 
 
, 
. 
Desprezando os produtos diferenciais, chaga-se a: 
, (2) 
ou seja, a taxa de variação do momento fletor em relação a x é igual ao esforço cortante V (se carga 
concentrada atuando na viga). 
Logo, substituindo (2) em (1), obtêm-se: 
 
 
 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
19 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 ou . 
Observa-se que o momento máximo ocorre quando , ou seja, quando V = 0. 
Considerar a carga distribuída a > 0, para baixo positiva ¯ Å. 
 
Efetua-se uma seção na viga e obtém-se a expressão para o esforço cortante com sendo: 
 e . 
 
 \ , 
, 
, 
. 
observações: 
· quando não há força cortante atuando na viga, então e M = constante; 
· cargas concentradas produzem descontinuidades nos diagramas de esforço cortante (DEC); 
· binários produzem descontinuida nos diagramas de momento fletor (DMF); 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
20 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
· se houver somente cargas distribuídas atuando na viga, ou ente cargas concentradas, ; 
· ; 
· , varia linearmente com x (DEC é uma reta); 
· , varia parabolicamente com x (DEC é uma parábola do 2o grau); 
Como , se somente houver cargas distribuídas atuando na viga ou entre cargas concen-
tradas, têm-se: 
· , varia linearmente com x (DMF é uma reta); 
· , o DMF é uma parábola do 2o grau; 
· , o DMF é uma parábola do 3o grau. 
Flexão (física) 
Na mecânica, flexão é um esforço físico onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do 
corpo, paralelamente à força atuante. 
 
A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo longitudinal 
da peça, e o mesmo está submetido a cargas perpendiculares ao seu eixo. Este elemento desenvolve 
em suas seções transversais o qual gera momento fletor. 
 
Momento fletor: O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, 
contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. Produ-
zindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compres-
são na estrutura. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
21 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Em engenharia se denomina flexão ao tipo de deformação que apresenta um elemento estrutural alon-
gado em uma direção perpendicular a seu eixo longitudinal. O termo "alongado" se aplica quando uma 
dimensão é dominante frente às outras. Um caso típico são as vigas, as que estão projetadas para 
trabalhar, principalmente, por flexão. Igualmente, o conceito de flexão se estende a elementos estrutu-
rais superficiais como placas ou lâminas. 
 
A característica mais proeminente é que um objeto submetido a flexão apresenta uma superfície de 
pontos chamada linha ou eixo neutro tal que a distância ao longo de qualquer curva contida nela não 
varia em relação ao valor antes da deformação. O esforço que provoca a flexão se denomina momento 
fletor. 
Flexão em Vigas e Arcos 
As vigas ou arcos são elementos estruturais pensados para trabalhar predominantemente em flexão. 
Geometricamente são prismas mecânicos cuja rigidez depende, entre outras coisas, do momento de 
inércia da seção transversal das vigas. Existem duas hipótese cinemáticas comuns para representar a 
flexão de vigas e arcos: 
A hipótese de Euler-Bernoulli. 
A hipótese de Timoshenko. 
Teoria de Euler-Bernoulli 
A teoria de Euler-Bernoulli para o cálculo de vigas é a que deriva da hipótese cinemática de Navier-
Bernouilli, e pode ser empregada para calcular tensões e deslocamentos sobre uma viga ou arco de 
comprimento de eixo maior comparada com a aresta máxima ou altura da seção transversal. 
Para escrever as fórmulas da teoria de Navier-Bernouilli convém tomar um sistema de coordenadas 
adequado para descrever a geometria, uma viga é de fato um prisma mecânicosobre o qual se podem 
considerar as coordenadas (s, y, z) com s a distância ao longo do eixo da viga e (y, z) as coordenadas 
sobre a seção transversal. Para o caso de arcos este sistema de coordenadas é curvilíneo, ainda que 
para vigas de eixo recto pode-se tomar como cartesiano (e nesse caso s se nomeia como x). Para uma 
viga de seção reta a tensão no caso de flexão composta biaxial a tensão é dada pela fórmula de Navier: 
Teoria de Timoshenko 
 
Esquema de deformação de uma viga que ilustra a diferença entre a teoria de Timoshenko e a teoria 
de Euler-Bernouilli: na primeira θi e dw/dxi não tem necessariamente que coincidir, enquanto que na 
segunda são iguais. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
22 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
A diferença fundamental entre a teoria de Euler-Bernouilli e a teoria de Timoshenko é que na primeira 
a rotação relativa da seção se aproxima mediante a derivada do deslocamento vertical, isto constitui 
uma aproximação válida só para peças grandes em relação às dimensões da seção transversal, e 
então ocorre que as deformações devidas ao esforço cortante são desprezadas frente às deformações 
ocasionadas pelo momento fletor. Na teoria de Timoshenko, onde não se desprezam as deformações 
devidas ao cortante e portanto é válida também para vigas curtas, a equação da curva elástica é dada 
pelo sistema de equações mais complexo: 
Derivando a primeira das duas equações anteriores e substituindo nela a segunda chegamos à equa-
ção da curva elástica incluindo o efeito do esforço cortante: 
{ 
Flexão em placas e lâminas 
Uma placa é um elemento estrutural que pode apresentar flexão em duas direções perpendiculares. 
Existem duas hipóteses cinemáticas comuns para representar a flexão de placas e lâminas: 
A hipótese de Love-Kirchhoff 
A hipótese de Reissner-Mindlin. 
Sendo a primeira o análogo para placas da hipótese de Navier-Bernouilli e a segunda o análogo da 
hipótese de Timoshenko. 
Teoria de Love-Kirchhoff 
A teoria de placas de Love-Kirchhoff é a que é derivada da hipótese cinemática de Love-Kirchhoff para 
as mesmas e é análoga à hipótese de Navier-Bernouilli para vigas e portanto tem limitações similares, 
e é adequada só quando a espessura da placa é suficientemente pequena em relação a seu compri-
mento e largura. 
Para uma placa de espessura constante h empregaremos um sistema de coordenadas cartesianas 
com (x, y) segundo o plano que contém a placa, e eixo z deve ser toado segundo a direção perpendi-
cular à placa (tomando z = 0 no plano médio). Com esses eixos de coordenadas as tensões segundo 
as duas direções perpendiculares da placa são: 
Onde: 
Para encontrar a flecha que aparece na equação anterior é necessário resolver uma equação em deri-
vadas parciais que é o análogo bidimensional equação da curva elástica: 
 se chama rigidez flexional de placas. 
Teoria de Reissner-Mindlin 
A teoria de Reissner-Mindlin é o análogo para placas da teoria de Timoshenko para vigas. Assim, nesta 
teoria, a diferença da teoria mais aproximada de Love-Kirchhoff, o vetor normal ao plano médio da 
placa uma vez deformada a placa não tem porque coincidir com o vetor normal à superfície média 
deformada. 
Computação Científica 
Computação científica (ou ciência computacional) é o campo de estudo interessado na construção de 
modelos matemáticos e técnicas de soluções numéricasutilizando computadores para analisar e re-
solver problemas científicos e de engenharia. De forma prática, é a aplicação de simulação computaci-
onal outras formas de computação para problemas em diversas disciplinas científicas. 
O campo é distinto da ciência da computação, o estudo matemático da computação, dos computadores 
e do processamento de informação. Também é diferente da teoria e experimentação, formas tradicio-
nais de ciência e engenharia. Cientistas e engenheiros desenvolvem programas de computador que 
modelam sistemas sendo estudados e os executam com diversos conjuntos de parâmetros de entrada. 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
23 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Tipicamente, tais modelos requerem uma grande quantidade de cálculo, e são geralmente executados 
em supercomputadores ou plataformas de computação distribuída. 
A computação científica é atualmente considerada como um terceiro modo da ciência, complementado 
a experimentação (observação) e a teoria. 
Aplicações 
Elementos do domínio de problemas para a computação científica incluem a simulação numérica, que 
pode ser usada para reconstruir ou entender eventos conhecidos, como um desastre natural, e para 
prever o futuro ou situações não observadas, como o tempo. Outra aplicação é a adequação de mode-
los e a análise de dados, como o uso da teoria de grafos para modelar redes. Uma outra aplicação é o 
uso de diversos parâmetros em um modelo computacional para encontrar cenários otimizados. 
Implementação 
Linguagens de programação geralmente usadas para aspectos mais matemáticos da computação ci-
entífica incluem Fortran, MATLAB, GNU Octave e PDL. Para aspectos mais intensos computacional-
mente são geralmente utilizadas variações de C ou Fortran. 
Hidráulica 
Hidráulica é uma palavra que vem do grego e é a união de hydro = água, e aulos = condução/tubo é, 
portanto, uma parte da física que se dedica a estudar o comportamento dos fluidos em movimento e 
em repouso. É responsável pelo conhecimento das leis que regem o transporte, a conversão de ener-
gia, a regulação e o controle do fluido agindo sobre suas variáveis (pressão, vazão, temperatura, vis-
cosidade, etc). 
A hidráulica pode ser dividida em três capítulos, para efeito de estudo apenas: a hidrostática que trata 
dos fluidos parados, a hidrocinética, que estuda os fluidos em movimento, levando em consideração os 
efeitos da velocidade e a hidrodinâmica que leva em consideração as forças envolvidas no escoamento 
dos fluidos (forças da gravidade, da pressão, da tensão tangencial, da viscosidade, da compressibili-
dade e outras). 
A hidráulica pode ser também dividida em: teórica e prática. A hidráulica teórica também é conhecida 
na física como Mecânica dos Fluidos e a hidráulica prática ou hidráulica aplicada é, normalmente, tam-
bém intitulada de Hidrotécnica. Dentre as aplicações da hidráulica destacam-se as máquinas hidráuli-
cas (bombas e turbinas), as grandes obras de saneamento, fluviais ou marítimas, como as de usinas 
hidrelétricas, como a Usina hidrelétrica de Tucuruí, por exemplo, diques, pôlderes, molhes, quebra-ma-
res,portos , vias navegáveis, emissários submarinos, estações de tratamento de água e de esgotos, 
etc. 
Para estudos hidráulicos complexos de grandes obras e estruturas utilizam-se os chamados mode-
los físicos e/ou matemáticos em laboratórios. 
Aerodinâmica 
Aerodinâmica é o estudo dos fluidos gasosos em movimento, relativo às suas propriedades e caracte-
rísticas, e da interação destes com corpos neles imersos. 
Aerodinâmica é também a parte da Física que estuda a força do ar sobre os corpos sólidos em movi-
mento e a dinâmica dos fluidos. 
De uma forma geral, a aerodinâmica, como ciência específica, só passou a ganhar importância indus-
trial com o surgimento dos aviões e dos automóveis (aerodinâmica automotiva) pois estes precisavam 
se locomover tendo o menor atrito possível com o ar pois assim seriam mais rápidos e gastariam me-
nos combustível. 
O estudo de perfis aerodinâmicos, ou aerofólios, provocou um grande salto no estudo da aerodinâmica. 
Neste início o desenvolvimento da aerodinâmica esteve intimamente ligado ao desenvolvimento da hi-
drodinâmica que apresentava problemas similares, e com algumas facilidades experimentais, uma vez 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
24 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
que já havia tanques de água circulante na época embora não houvesse túneis de vento. George Cay-
ley 
Forças da aerodinâmica da aviação 
 
Esquema das quatro forças da aerodinâmica, atuando na asa de um avião. 
Peso 
O peso é uma força que é sempre dirigida para o centro da terra: trata-se da força da gravidade. A 
magnitude desta força depende de todas as partes do avião, mais a quantidade de combustível, mais 
toda a carga (pessoas, bagagens, etc.). 
O peso é gerado por todo o avião. Mas nós podemos simplesmente imaginá-la como se atuasse num 
único ponto, chamado centro de gravidade. Em voo, o avião gira sobre o centro de gravidade, e o sen-
tido da força do peso dirige-se sempre para o centro da terra. Durante um voo, o peso do avião muda 
constantemente à medida que o avião consome combustível. 
A distribuição do peso e do centro de gravidade pode também mudar, e por isso o piloto deve constan-
temente ajustar os controles, ou transferir o combustível entre os depósitos, para manter o avião equi-
librado. 
Sustentação 
Para fazer um avião voar, deve ser gerada uma força para compensar o peso. Esta força é cha-
mada sustentação e é gerada pelo movimento do avião através do ar. A sustentação é uma força ae-
rodinâmica ("aero" significa ar, e " dinâmica" significa movimento). 
A sustentação é perpendicular (em ângulo reto) à direção do escoamento incidente (vento). 
O escoamento incidente e o sentido/direção do voo não são necessariamente os mesmos, sobretudo 
em manobras. Tal como acontece com o peso, cada parte do avião contribui para uma única força de 
sustentação, mas a maior parte da sustentação do avião é gerada pelas asas. A sustentação do avião 
funciona como se atuasse num único ponto, chamado centro de pressão. 
O centro de pressão é definido tal como o centro de gravidade, mas usando a distribuição da pressão 
em torno de toda a aeronave, em lugar da distribuição do peso.No centro de pressão atuam somente 
forças. Além do centro de pressão, outro ponto no aerofólio é de grande importância no projeto de uma 
aeronave: o centro aerodinâmico. Neste, além das forças, surge um momento chamado Momento de 
Arfagem. O coeficiente de momento de arfagem não varia quando variamos o ângulo de ataque. O 
 coeficiente de momento é um coeficiente adimensional que qualifica e quantifica se, para certo aero-
fólio, há um momento picante ou cabrante sobre o engaste da asa. Este momento é fundamental, por 
exemplo, na determinação das cargas aerodinâmicas para definição da estrutura e para o projeto de 
sistemas de controle, como o profundor. 
Arrasto 
 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
25 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Modelo em escala de um caça F-18num túnel de vento. 
 
Teste de aerodinâmica automotiva do protótipo Schlörwagen. 
À medida que o avião se move através do ar, há uma outra força aerodinâmica presente. O ar resiste 
ao movimento do avião, e esta força de resistência é denominada arrasto (ou atrito). Tal como a sus-
tentação, há muitos fatores que afetam a magnitude da força de arrasto, como a forma do avião, a 
viscosidade do ar e a velocidade. E tal como acontece com a sustentação, consideram-se usualmente 
todos os componentes individuais como se estivessem agregados num único valor de arrasto de todo 
o avião. O sentido da força de arrasto é sempre oposto ao sentido do voo, e o arrasto atua através do 
centro de pressão. 
Quando um avião aumenta o ângulo de ataque, aumenta também a sustentação; mas há uma geração 
de gradientes de pressão adversos. A partir de um certo ângulo de ataque, estes gradientes de pressão 
adversos resultam no descolamento da camada limite, cuja geração de vórtices