Problemas de maximização e minimização

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Problemas de maximização 
e minimização
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir máximos e mínimos absolutos.
 � Identificar quando um ponto é máximo ou mínimo de uma função.
 � Resolver problemas de otimização aplicada.
Introdução
Quando plotamos uma função, é possível observar como ela varia seu 
valor ao longo do eixo x, ou seja, à medida que a variável independente 
muda seu valor. Olhando em certo intervalo, a função pode apresentar 
picos e vales — o que se chama de máximo ou mínimo absoluto —, ou 
seja, o maior pico ou o menor vale. Esses pontos são muito importantes, 
pois revelam o valor máximo e mínimo que a função pode chegar e 
quando eles ocorrem. Além disso, são muito úteis em problemas de oti-
mização, em que se quer maximizar ou minimizar o valor de uma função.
Neste capítulo, você estudará como definir os pontos de máximo e 
mínimo absolutos e como os encontrar. Além disso, verá exemplos de 
problemas de otimização.
Máximos e mínimos absolutos
As funções podem apresentar pontos com maiores ou menores valores ao 
longo de seu domínio, conforme a Figura 1, com exemplos de gráficos de 
dados ou funções.
Figura 1. Exemplo de gráficos de dados ou funções.
Fonte: robuart/Shutterstock.com.
Embora as funções possam variar seus valores, é possível que exista um 
ponto em seu domínio, cujo valor da função é o maior ou o menor. Esses seriam 
o seu máximo ou mínimo absolutos, ou seja, a função possui um extremo 
absoluto, definido por Anton, Bivens e Davis (2014, p. 266):
Considere um intervalo no domínio de uma função f e um ponto x0 nesse 
intervalo. Dizemos que f tem um máximo absoluto em x0 se f(x) ≤ f(x0) com 
qualquer x no intervalo, e que f tem um mínimo absoluto em x0 se f(x0) ≤ f(x) 
com qualquer x do intervalo. Se f tiver em x0 qualquer um dos dois, máximo 
absoluto ou mínimo absoluto, dizemos que f tem em x0 um extremo absoluto.
Dado um intervalo no domínio da função, não necessariamente a mesma 
apresentará extremos absolutos nesse intervalo. Alguns exemplos disso são 
mostrados na Figura 2, a seguir.
Problemas de maximização e minimização2
Figura 2. Exemplos de funções que contêm ou não pontos extremos em um dado intervalo.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 267).
Esses exemplos mostram funções que contêm ou não pontos extremos. Nos 
casos cujos intervalos são abertos, às vezes, a função contém ou não pontos 
extremos. Mas, se o intervalo for fechado, a função necessariamente tem, pelo 
menos, um ponto de máximo e um de mínimo. A seguir, o teorema do valor 
extremo, segundo Anton, Bivens e Davis (2014, p. 267):
Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito [a, b], então f 
tem um máximo e um mínimo absolutos em [a, b].
O teorema do valor extremo afirma a existência dos pontos de extremo 
absoluto, mas não diz muito em relação a como os achar. Na próxima seção, 
você verá como encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos de uma 
função.
Identificação de pontos de máximo e mínimo
Se a função for contínua com intervalo finito fechado, os pontos extremos 
absolutos podem ocorrer no final do intervalo ou dentro dele. Caso os pontos 
se encontrem dentro do intervalo, eles ocorrem nos pontos críticos da função. 
A seguir, o teorema segundo Anton, Bivens e Davis (2014, p. 267):
Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a, b), então ele deve 
ocorrer em um ponto crítico de f.
3Problemas de maximização e minimização
Na Figura 3, veja alguns exemplos de pontos máximos de funções: (a) o 
máximo absoluto encontra-se no extremo do intervalo, em b; (b) o ponto de 
máximo ocorre um ponto estacionário, em x0; (c) o ponto de máximo ocorre 
onde a função não é diferenciável, em x0.
Figura 3. Exemplos de pontos de máximo ab-
soluto de funções.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 268).
Problemas de maximização e minimização4
Para se encontrar os pontos de extremo absoluto, você pode seguir o pro-
cedimento para chegar aos extremos absolutos de uma função contínua f em 
um intervalo finito fechado [a, b], conforme a seguir (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014):
1. Encontre os pontos críticos de f em (a, b);
2. encontre o valor de f em todos os pontos críticos e nas extremidades a e b;
3. o maior entre os valores do Passo 2 é o valor máximo absoluto de f em 
[a, b], e o menor valor é o mínimo absoluto.
Primeiro, encontra-se os pontos críticos da função, depois, os valores da 
função nos pontos críticos e nos pontos de extremo. O ponto cujo valor da 
função for maior é considerado o ponto de máximo absoluto, e o ponto cujo 
valor da função for mínimo é considerado o ponto de mínimo absoluto.
Determine os extremos absolutos da função f(x) = 6 x4/3 – 3 x1/3 no intervalo [–1,1]. 
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, temos que dife-
renciar a função e igualar a zero. Assim:
Igualando a derivada a zero, encontramos que:
Portanto, f'(x) = 0 em x = 1/8, e é não diferenciável em x = 0.
5Problemas de maximização e minimização
Agora, vamos calcular os valores da função para os pontos críticos encontrados e 
para os extremos do intervalo dado. Assim, temos que:
 � x = –1 → f(x = –1) = 9
 � x = 0 → f(x = 0) = 0
 � x = 1/8 → f(x = ) = –9/8
 � x = 1 → f(x = 1) = 3
Assim, podemos concluir que o valor de mínimo absoluto é –9/8 e ocorre em 
x = 1/8, e o valor de máximo absoluto é 9 e ocorre em x = –1.
Extremos absolutos quando os intervalos são infinitos
Caso o intervalo de interesse de uma função seja infinito, ela pode ou não ter 
extremos absolutos. Se a função f for contínua em (–∞, +∞), pode-se deduzir 
alguns comportamentos da mesma, conforme a Figura 4.
Figura 4. Extremos absolutos para o caso de intervalo infinito.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 269).
Extremos absolutos quando os intervalos são abertos
Caso o intervalo de interesse de uma função seja aberto, ela também pode 
ou não ter extremos absolutos. Dada uma função f no intervalo aberto (a, b), 
pode-se tirar algumas conclusões de seu comportamento, conforme a Figura 5.
Problemas de maximização e minimização6
Figura 5. Extremos absolutos para o caso de intervalo aberto.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 270).
Extremos absolutos quando a função contiver 
um extremo relativo
Podemos afirmar que, se a função contiver um extremo relativo em um inter-
valo finito ou infinito, esse extremo relativo necessariamente será um extremo 
absoluto, conforme o teorema (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 271):
Suponha que f seja contínua e tenha exatamente um extremo relativo em um 
intervalo, digamos em x0.
1. Se f tiver um mínimo relativo em x0, então f(x0) é o valor mínimo absoluto 
de f no intervalo.
2. Se f tiver um máximo relativo em x0, então f(x0) é o valor máximo absoluto 
de f no intervalo.
Você sabe a diferença entre extremo relativo e extremo absoluto?
Os máximos e mínimos relativos são pontos de máximo e mínimo que ocorrem em 
um intervalo. Ou seja, x0 é máximo relativo se houver um intervalo aberto contendo 
x0, no qual f(x0) ≥ f(x) para cada x no intervalo. E x0 é mínimo relativo se houver um 
intervalo aberto contendo x0, no qual f(x0) ≤ f(x) para cada x no intervalo. Lembre-se 
de que, nesses pontos, a derivada é zero ou não existe.
Já os extremos absolutos são os máximos absolutos ou mínimos absolutos. Ou seja, 
dentre os pontos de extremo relativo e de extremo de intervalo, o máximo absoluto 
é aquele cujo valor da função é o maior dentre todos, enquanto o mínimo absoluto 
é aquele cujo valor da função é o menor dentre todos.
7Problemas de maximização e minimização
Problemas de otimização
Os métodos apresentados neste capítulo podem ser usados para resolver pro-
blemas de otimização, que são aqueles em que se pretende maximizar ou 
minimizar alguma função contínua em certo intervalo. 
Problema 1
Suponha que você está construindo um jardim retangular. Sevocê dispuser 
apenas de 100 m de cerca, qual é a maior área possível?
Como o jardim é retangular, ele possui 4 lados com comprimentos x e y 
em metros, como mostrado na Figura 6.
Figura 6. Esquema de um jardim retangular, com 
lados x e y.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 275).
Como você dispõe apenas de 100 m de cerca, o seu perímetro será:
2x + 2y = 100
Já a área do jardim, em m2, pode ser escrita como:
A = x y
Problemas de maximização e minimização8
As duas equações estão relacionadas. Podemos isolar uma variável em 
uma delas e substituir na outra. Assim, isolaremos a variável y na equação 
do perímetro, ficando com:
Agora, substituiremos na equação da área:
A = x(50 – x)
A = 50x – x2
A variável x é um comprimento e não pode ser negativa. O perímetro 
também não deve ser ultrapassado, e, assim os dois lados que medem x não 
devem ultrapassar 100 m. Assim, a variável x deve satisfazer:
0 ≤ x ≤ 50
Agora, o problema se resume em achar o máximo absoluto de A no intervalo 
[0, 50] de x. Assim, vamos derivar a área A em relação a x:
Igualando a derivada a zero, encontramos:
9Problemas de maximização e minimização
Portanto, o ponto de máximo absoluto ocorrerá em algum dos extremos 
ou em x = 25. Vamos checar cada um deles:
 � x = 0 → A = 50 ∙ 0 – 02 = 0
 � x = 25 → A = 50 ∙ 25 – 252 = 1.250 – 625 = 625
 � x = 50 → A = 50 ∙ 50 – 502 = 2.500 – 2.500 = 0
Pode-se ver que a área máxima será 625 m2 e ocorre quando x = 25 m. Você 
pode verificar esse resultado, plotando a função área (Figura 7).
Figura 7. Gráfico da função da área no intervalo [0, 50].
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 276).
Para encontrarmos o valor da variável y, basta substituir o valor de x na 
equação do perímetro, ou o valor da área máxima na equação da área. Assim, 
temos que:
y = 50 – x
= 50 – 25
= 25
Ou seja, podemos concluir que a maior área ocorre quando se tem um 
quadrado de lado 25.
Problemas de maximização e minimização10
A partir do exemplo que você acabou de ver, pode-se definir alguns passos 
para resolver problemas de otimização (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
1. faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao 
problema;
2. obtenha uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada;
3. usando as condições dadas no problema para eliminar variáveis, ex-
presse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função 
de uma variável;
4. encontre o intervalo de valores possíveis para essa variável a partir das 
restrições físicas do problema.
Às vezes, os intervalos considerados nos problemas de otimização não 
necessariamente serão fechados. 
Problema 2
Suponha que você esteja planejando confeccionar uma lata, cujo volume interno 
seja de 1 litro (1.000 cm3). Qual é a altura e o raio da lata para minimizar a 
quantidade de material utilizado em sua confecção?
Vamos supor que o material utilizado seja exatamente igual à área de su-
perfície do cilindro. A lata consiste em dois discos circulares e um retângulo 
lateral, como mostrado na Figura 8.
Figura 8. Lata cilíndrica e suas áreas das bases e lateral.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 279).
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As áreas das bases serão dadas por π r2, e a área lateral por 2 π r h. A área 
total de sua superfície será:
S =2 π r2 + 2 π r h
A área depende de duas variáveis, r e h. Assim, temos de encontrar alguma 
relação para eliminar uma delas. Outra informação que temos do problema 
é o volume, dado por:
V = π r2 h
Assim, temos que:
Agora, podemos substituir a equação de h na equação da área. Assim, 
ficamos com:
O problema passa a se resumir em encontrar o mínimo absoluto da função 
S no intervalo (0, +∞) de r. Analisando os limites do intervalo, obtemos que:
Problemas de maximização e minimização12
Como visto na Figura 5, é esperado que S tenha um mínimo em (0, +∞). 
Então, derivaremos S em relação a r e igualaremos a zero para encontrar o 
mínimo. Assim:
Igualando a zero, obtemos:
Substituindo na equação de S, encontramos a área:
13Problemas de maximização e minimização
Já o valor de h será:
Veja o plote de S por r na Figura 9, a seguir.
Figura 9. Plote de S por r mostrando o ponto 
de mínimo.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 280).
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
Referência
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