Números reais, funções e gráficos (linear, quadrática e trigonométrica)

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS 
Cristiane da Silva
Números reais, funções e 
gráficos (linear, quadrática 
e trigonométrica)
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever o conjunto dos números reais.
 � Definir o conceito de função.
 � Representar graficamente uma função.
Introdução
Neste capítulo, você recordará os conhecimentos adquiridos sobre o 
conjunto dos números reais, suas representações por meio de exem-
plos numéricos e ilustrações, bem como receberá dicas de leitura para 
aprofundar seus estudos. Ainda que algumas vezes não percebamos, os 
conjuntos numéricos estão presentes em nossa vida diária: o conjunto 
dos números inteiros, por exemplo, com seus valores negativos que 
podem representar as temperaturas negativas que experimentamos 
no inverno, ou ainda os saldos bancários negativos. O conjunto dos 
números racionais, que contém as frações, costuma ter aplicação em 
receitas culinárias, em estudos envolvendo proporções, etc. E o conjunto 
dos números reais, que contém os naturais, os inteiros, os racionais e os 
irracionais, é bastante abrangente e pode contemplar diversos exemplos, 
além dos já mencionados.
Outro aspecto interessante é que as funções podem ser percebidas 
em situações bem-próximas a nós, como na conta de energia elétrica 
que recebemos mensalmente para pagar. O valor pago depende da 
quantidade de kW/h consumida em um mês. Ou seja, nesse exemplo, há 
uma relação entre duas variáveis. Podemos, ainda, pensar na cobrança que 
os estacionamentos de veículos fazem: em geral, cobra-se um valor fixo e 
um variável que dependerá de quanto tempo o veículo permanecerá no 
estacionamento. Também se pode pensar em uma construção: o preço 
que se pagará pela obra depende de várias variáveis, como do custo 
de mão de obra, da quantidade de material necessário para a obra, do 
tamanho da obra, entre outros.
Você encontrará também representações gráficas que elucidam dife-
rentes funções e direcionam a atenção para alguns pontos importantes, 
como o que poderia descaracterizar uma função, ou seja, fazer com que 
determinada expressão matemática não represente uma função.
Conjunto dos números reais
Um número real pode ser representado como um decimal (ou expansão decimal) 
finito, periódico ou infinito não periódico. Para ficar mais claro, observe os 
exemplos a seguir:
π = 3,141592653589793…
Nesses exemplos, é representado por um decimal finito; já é represen-
tado por um decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. 
A barra sobre 142857 destaca que essa sequência se repete indefinidamente. 
No caso do π, temos uma expansão decimal infinita, mas não periódica (RO-
GAWSKI, 2008).
Denota-se o conjunto dos números reais por R, em negrito. Utiliza-se o 
símbolo ∈ para indicar que “pertence a”, com em: 
a ∈ R é lido como “a pertence a R”
Vejamos agora alguns conjuntos que estão contidos no conjunto dos nú-
meros reais: elemento “pertence” a um conjunto. Subconjunto “está contido” 
em um conjunto.
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O conjunto dos números inteiros, denotado pela letra Z, é composto por 
números negativos e positivos. Assim, Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}. Um número 
natural é um número inteiro não negativo. O conjunto dos números racionais 
é composto por aqueles números que podem representar um quociente , em 
que p e q são inteiros com q ≠ 0, ou seja, as frações podem representa-los. 
Esse conjunto é denotado pela letra Q. Cabe destacar que os números como π 
e não são racionais, e sim denominados irracionais (ROGAWSKI, 2008).
Segundo Rogawski (2008), podemos dizer que um número é ou não racional a partir 
de sua expansão decimal. Ou seja, números racionais têm expansões decimais finitas 
ou periódicas, e números irracionais têm expansão infinitas que não são periódicas. 
A reta numérica nos permite visualizar os números reais como pontos sobre 
ela. A Figura 1, a seguir, mostra o conjunto dos números reais representado 
como uma reta.
Figura 1. Representação dos números reais na reta 
numérica.
Fonte: Rogawski (2018, p. 1).
O valor absoluto de um número real, conforme representação na Figura 2, 
pode ser observado quando olhamos para o módulo desse número. Ou seja: 
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Figura 2. Valor absoluto |a|.
Fonte: Rogawski (2018, p. 1).
Vejamos alguns exemplos numéricos do valor absoluto de um número real:
|3, 1| = 3, 1
|–10| = 10
|4| = |–4| = 4
|5 ∙ 3| = |5| ∙ |3| = 15
Observe que a distância entre dois números reais a e b é |b – a|, ou seja, é 
o comprimento do segmento de reta que liga a a b, como mostra a Figura 3 
(ROGAWSKI, 2008).
Figura 3. Distância entre a e b é |b – a|.
Fonte: Rogawski (2018, p. 2).
Rogawski (2008) destaca que, dados os números reais aa divisão por zero. Entretanto, 
os números x, tais que 2 – x 0, em que b é a base:
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A função f(x) = bx é crescente se b > 1 e decrescente se b