Representação de Sistemas Elétricos de Potência 2

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ 
CÂMPUS TUCURUÍ 
CURSO DE ELETROTÉCNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALEX SILVA RIBEIRO 
ALEXANDRE BRUNO RABELO DA SILVA 
GABRIEL DOS SANTOS MOREIRA 
JEICKSON WILDER DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tucuruí – PA 
2014 
 
 
ALEX SILVA RIBEIRO 
ALEXANDRE BRUNO RABELO DA SILVA 
GABRIEL DOS SANTOS MOREIRA 
JEICKSON WILDER DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
Trabalho apresentado como requisito de 
avaliação da disciplina Elementos de Sistema 
Elétrico de Potência do curso Integrado de 
Eletrotécnica (210 – 4MH) do IFPA. 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof. D. Sc. Wellington A. S. Fonseca 
 
 
 
 
 
 
 
Tucuruí – PA 
2014 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
Tabela 1 – Simbologia Utilizada Em Diagramas Unifilares ...................................................... 8 
Tabela 2 – Reatância De Máquinas Síncronas ......................................................................... 10 
Tabela 3 – Classificação Das Linhas De Transmissão Em Função Do Nível De Tensão E 
Comprimento ............................................................................................................................ 11 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
FIGURA 1 - REPRESENTAÇÃO POR FASE DE UM SISTEMA ELÉTRICO – DIAGRAMA UNIFILAR ............................ 7 
FIGURA 2 - DIAGRAMA UNIFILAR ..................................................................................................................... 7 
FIGURA 3 - CIRCUITO EQUIVALENTE MONOFÁSICO - DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS ........................................ 9 
FIGURA 4 - DIAGRAMA UNIFILAR DE IMPEDÂNCIA .......................................................................................... 9 
FIGURA 5 - DIAGRAMA UNIFILAR DE REATÂNCIA ............................................................................................. 9 
FIGURA 6 - DIAGRAMA UNIFILAR SIMPLIFICADO DE UMA MÁQUINA SÍNCRONA – MODELO POR FASE DO ...10 
FIGURA 7 - REPRESENTAÇÃO COMPLETA DE TRANSFORMADOR NO TAP NOMINAL .......................................10 
FIGURA 8 (A, B) – REPRESENTAÇÃO SIMPLIFICADA DE TRANSFORMADOR NO TAP NOMINAL ........................11 
FIGURA 9 – REPRESENTAÇÃO DE LINHA DE TRANSMISSÃO CURTA .................................................................11 
FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO MÉDIA – CIRCUITO EM ..................................12 
FIGURA 11 - REPRESENTAÇÃO DE LINHA DE TRANSMISSÃO MÉDIA – CIRCUITO EM T ....................................12 
FIGURA 12 - MODELO SIMPLIFICADO DE LINHA DE TRANSMISSÃO .................................................................12 
FIGURA 13 - DIAGRAMA FASORIAL DAS CORRENTES DE CARGA E DE CURTO CIRCUITO ..................................13 
FIGURA 14 - MODELO TRIFÁSICO EM Y EQUIVALENTE ....................................................................................16 
FIGURA 15 – BANCO DE TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS, LIGAÇÃO EM ESTRELA-TRIÂNGULO ...............22 
FIGURA 16 – BANCO DE TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS, LIGAÇÃO TRIÂNGULO-ESTRELA .....................22 
FIGURA 17 - VALOR DA REATÂNCIA EM P.U. ...................................................................................................25 
FIGURA 18 - INTERLIGAÇÕES DE TRÊS SISTEMAS COM NÍVEIS DE TENSÕES DIFERENTES .................................25 
FIGURA 19 – CIRCUITO EQUIVALENTE DE TRAFO TRIFÁSICO DE 3 ENROLAMENTOS NO “TAP” .......................26 
FIGURA 20 – BARRA DE TRANSFERÊNCIA ........................................................................................................29 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
Introdução ................................................................................................................................... 6 
1 – Diagrama Unifilar ................................................................................................................. 7 
2 – Diagrama De Impedância ..................................................................................................... 8 
3 – Diagrama De Reatâncias ...................................................................................................... 9 
4 - Modelagem Dos Componentes ............................................................................................. 9 
5 – Valor Percentual. Valor Por Unidade ................................................................................. 13 
6 – Definições ........................................................................................................................... 13 
7 – Escolha De Bases ............................................................................................................... 14 
7.1 – Escolha De Bases Para Circuitos Monofásicos ............................................................... 15 
7.2 – Escolha De Bases Para Circuitos Trifásicos .................................................................... 15 
8 – Mudança De Bases ............................................................................................................. 17 
8.1 – Mudança De Bases Para A Tensão .................................................................................. 17 
8.2 – Mudanças De Bases Para A Potência .............................................................................. 17 
8.3 – Mudança De Bases Para Corrente ................................................................................... 17 
8.4 – Mudança De Bases Para Impedância............................................................................... 18 
9 – Dados De Equipamento, Aplicáveis A Cálculos Em P.U. ................................................. 18 
9.1 – Alternador Monofásico .................................................................................................... 18 
9.2 – Motor Monofásico ........................................................................................................... 19 
9.3 – Transformador Monofásico De Dois Enrolamentos ........................................................ 19 
9.4 – Alternador Trifásico ........................................................................................................ 19 
9.5 – Motor Trifásico ................................................................................................................ 20 
9.6 – Transformador Triásico De Dois Enrolamentos .............................................................. 20 
9.7 – Banco De Transformador ................................................................................................ 21 
10 -Transformador Trifásico De Dois Enrolamentos ............................................................... 22 
11 – Banco De Transformadores .............................................................................................. 23 
12 – Transformador Trifásico De Três Enrolamentos. ............................................................. 25 
13 – Diagrama De Reatâncias Em P.U., Por Fase, De Um Sistema De Potencia .................... 29 
Conclusão ................................................................................................................................. 31 
Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 32 
6 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
A maioria dos sistemas elétricos de potência é em corrente alternada. As instalações 
em corrente contínua sãoraras e tem aplicações específicas tais como transmitir grandes 
blocos de energia a longa distancia. As informações sobre de sistemas de corrente contínua 
normalmente são objeto de literaturas especializadas. 
As aplicações com corrente alternada, de grande potência, são principalmente 
trifásicas. Apenas algumas aplicações específicas utilizam mais de três fases. A utilização de 
redes com uma ou duas fases são destinados a suprimentos de instalações de pequenas 
potências e baixas tensões, tais como instalações residenciais ou industriais. A distribuição de 
energia elétrica rural é também um exemplo de instalações com uma ou duas fases. 
As instalações trifásicas são construídas de tal forma que cada uma das três fases 
tenham comportamentos idênticos. Assim as instalações trifásicas podem ser representadas no 
formato monofásico, apenas raramente se torna necessário a representação completa de um 
diagrama de circuitos com três fases. 
Em sistemas de potência utiliza-se largamente a representação das grandezas elétricas 
em p.u. (por unidade). A sua utilização atual se deve mais a razões históricas e tradição do 
que propriamente a sua utilidade. A origem de sua aplicação se deveu a necessidade de 
simular sistemas elétricos em laboratórios, objetivando adequar as grandezas do sistema aos 
componentes existentes nos laboratórios. Por exemplo, a representação de uma fonte de 
tensão de 13,8 kV de um sistema elétrico por uma fonte de 100 V existente no laboratório. 
 
7 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 
 
 
1 – Diagrama Unifilar 
 
De maneira geral, os sistemas de energia elétrica trifásicos operam normalmente 
equilibrados. Logo, é usual a utilização de uma representação simbólica simplificada, 
conhecida como Diagrama Unifilar. Nestes diagramas os elementos componentes são 
identificados através de símbolos padronizados. 
 A Figura 1 ilustra um exemplo de um diagrama unifilar. 
 
 
Figura 1 - Representação por fase de um sistema elétrico – Diagrama Unifilar 
 
A Figura 2 mostra o diagrama unifilar de um sistema isolado, de pequeno porte, 
contendo uma usina geradora e a correspondente transmissão e carga. 
 
 
Figura 2 - Diagrama Unifilar 
 
A importância de um Diagrama Unifilar é apresentar claramente a topologia e os 
dados significativos do sistema elétrico. Diagramas Unifilares podem conter informações 
diferentes, dependendo do tipo de estudo realizado. 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1 – Simbologia utilizada em diagramas unifilares 
 
2 – Diagrama de Impedância 
 
A partir do diagrama unifilar, fazendo uso dos modelos representativos dos 
componentes do sistema elétrico, passa-se á elaboração do Diagrama de Impedâncias, usado 
nos cálculos de análise de sistemas de potência. 
 
9 
 
 
 
Figura 3 - Circuito equivalente monofásico - Diagrama de Impedâncias 
 
 
Figura 4 - Diagrama unifilar de impedância 
 
3 – Diagrama de Reatâncias 
 
A utilização de hipóteses simplificadoras que incluem, entre outras providências, a 
omissão de cargas estáticas, conduz, afinal, ao Diagrama de Reatâncias, que é bastante 
empregado. 
 
 
Figura 5 - Diagrama Unifilar de Reatância 
 
4 - Modelagem dos componentes 
 
No que concerne a cálculos de curto-circuito e consequentes estudos de proteção, a 
modelagem dos elementos de sistemas de potência inclui simplificação de seus circuitos 
equivalentes, por fase. 
A Figura 6 mostra uma representação de um gerador síncrono, onde “E” pode ser 
representado como uma força eletromotriz em série com uma impedância interna “jXd”; esta 
impedância interna é conhecida como impedância síncrona da máquina. 
10 
 
 
 
Figura 6 - Diagrama unifilar simplificado de uma máquina síncrona – Modelo por fase do Gerador 
Síncrono 
 
 
Tabela 2 – Reatância de Máquinas Síncronas 
 
A Figura 7 mostra um circuito equivalente de transformador em seu “tap” nominal, 
por fase, com resistências e reatâncias referidas a um determinado lado. 
Sendo que R1 é a resistência do enrolamento primário e R2 é a resistência do 
enrolamento secundário; X1 e X2 são reatâncias de dispersão equivalente, dos enrolamentos 
primário e secundário respectivamente; Rf é resistência elétrica representativa das perdas no 
núcleo; Xm é reatância equivalente de magnetização, e Ie é corrente de excitação. 
E a corrente de excitação é desprezível em grandes transformadores, não saturados, a 
60 Hz. 
 
 
Figura 7 - Representação completa de transformador no tap nominal 
 
11 
 
 
A Figura 8 é uma representação simplificada de transformadores no “tap” nominal, 
onde a resistência equivalente foi desprezada em presença da reatância equivalente de 
dispersão, sendo assim, o modelo final e representado na Figura 8.B. 
 
 
Figura 8 (A, B) – Representação simplificada de transformador no tap nominal 
 
De modo geral, as linhas de transmissão funcionam com cargas trifásicas equilibradas. 
Sendo que a modelagem das linhas de transmissão depende do seu comprimento, do nível de 
tensão e da capacidade de transmissão. 
 
 
Tabela 3 – Classificação das linhas de transmissão em função do nível de tensão e comprimento 
 
Para linhas curtas, a pequena capacitância em derivação pode ser totalmente 
desprezada sem acarretar prejuízo para a transmissão. 
 
 
Figura 9 – Representação de linha de transmissão curta 
 
Em representação de linhas de transmissão médias, existem dois tipos de 
representação, em modelo π com impedância série, ladeada por capacitores em derivação; e 
em modelo T, feita com toda a admitância em derivação da linha sendo concentrada no ramo 
em derivação do Te a impedância série sendo igualmente dividida entre os dois ramos em 
série. 
 
12 
 
 
 
Figura 10 - Representação de linhas de transmissão média – circuito em 
 
 
Figura 11 - Representação de linha de transmissão média – circuito em T 
 
Nos cálculos de curto-circuito costuma-se desprezar os elementos transversais, muito 
menores que os longitudinais. Para valores elevados de tensão, simplificação adicional pode 
ser efetuada desprezando-se o valor da resistência série, em presença da reatância série, como 
mostrada na Figura 12. 
 
 
Figura 12 - Modelo simplificado de linha de transmissão 
 
Em cálculos de curto-circuito as cargas dos sistemas de potência podem ser 
desprezadas com segurança, é usual admitir-se que a tensão do sistema, V, antes da ocorrência 
do curto, seja nominal, com desvio inferior a 5%. Todavia, supõe-se que a corrente de curto-
circuito, seja nula. Além de corresponder a fator de potência aproximadamente unitário e 
estar, portanto, quase em fase com a tensão V (Figura 13). A corrente de curto-circuito, por 
outro lado, além de bastante elevada, é muito indutiva por força das reatâncias presentes, 
apresentando defasagem de quase 90° graus em relação à tensão V (Figura 13). Torna-se 
válido, por conseguinte, desprezar a corrente da carga em presença da corrente de curto-
circuito. Levar em conta a impedância da carga. 
 
13 
 
 
 
Figura 13 - Diagrama fasorial das correntes de carga e de curto circuito 
 
5 – Valor Percentual. Valor por Unidade 
 
Em Engenharia elétrica, na área de sistemas de potência, o uso de valores relativos 
(valores percentuais e valores por unidades) proporciona inúmeras vantagens. Destacam-se, 
entre elas: a simplificação dos cálculos, a facilidade de comparação de aparelhos e máquinas 
semelhantes, e a possibilidade de memorização de valores correspondentes a grandezascaracterísticas de equipamentos. 
 
6 – Definições 
 
Valor Absoluto de uma grandeza é o valor que resulta da sua comparação com a 
unidade escolhida para efetuar a medição. 
Exemplos: ampères, litros e metros. 
 
Valor Relativo de uma grandeza é a relação entre o seu valor absoluto e o valor 
absoluto de outra grandeza, da mesma espécie, adotado como base. O valor relativo pode ser 
expresso em porcentagem (%) ou por unidade (p.u.). O valor em % e igual a 100 vezes o valor 
em p.u.. 
 
Valor Por Unidade (ou Valor Per Unit, ou Valor Normalizado) de qualquer grandeza 
e a relação entre o valor absoluto e o valor base, expressa em fração decimal. 
Exemplo 1: escolhendo como base a tensão de 200 volts, determine os valores 
relativos percentuais correspondem a: 
 
(Eq.01) V1 = 50 V, V2 = 100 V, V3 = 200 V, V4 = 300 V. 
Solução. 
14 
 
 
(Eq.02) V1(%) = 
 
 
 = 25% 
(Eq.03) V2(%) = 
 
 
 = 50% 
(Eq.04) V3(%) = 
 
 
 = 100% 
(Eq.05) V4(%) = 
 
 
 = 150% 
 
Exemplo 2: escolhendo como base a tensão de 200 V, determine os valores relativos 
em p.u. correspondentes a: 
 
(Eq.06) V1 = 50 V, V2 = 100 V, V3 = 200 V, V4 = 300 V. 
Solução 
(Eq.07) V1(p.u.) = 
 
 
 = 0,25 p.u. 
(Eq.08) V2(p.u.) = 
 
 
 = 0,50 p.u. 
(Eq.09) V3(p.u.) = 
 
 
 = 1 p.u. 
(Eq.10) V4(p.u.) = 
 
 
 = 1,50 p.u. 
 
Na prática, é mais frequente o uso de valores expressos em p.u., em vez de valores 
percentuais. O produto de valores expressos em p.u. é também um valor em p.u.; todavia, o 
produto de dois valores percentuais deve ser, no final, dividido por 100 para que se tenha o 
resultado também em valor percentual. 
 
7 – Escolha de Bases 
 
Ao se calcular um valor relativo, é indispensável que o valor absoluto e o valor base 
sejam expressos na mesma unidade. Ao contrario do valor absoluto, o valor relativo não é 
seguido de nenhuma unidade. 
No cálculo de valores relativos, quando se consideram diversos valores absolutos de 
uma mesma grandeza, a escolha da base é arbitrária. No entanto, quando são consideradas 
várias grandezas diferentes, e escolha não pode ser arbitraria para todas elas. Devem ser 
respeitadas as relações de dependência impostas pelas leis físicas que ligam aquelas 
grandezas. Assim em engenharia elétrica lida-se com: 
- Tensão (V) 
15 
 
 
- Correntes (I) 
- Potências (S) 
- Impedância (Z) 
E pode-se fixar, arbitrariamente, duas destas grandezas para base. As demais levam 
em conta as relações existentes entre essas quatro grandezas. Costumeiramente se fixa a 
tensão base e a potência base em valores que possibilitem reduzir o trabalho de cálculo. 
Assim, as bases bem escolhidas devem provocar poucas mudanças de bases nas grandezas 
conhecidas, possibilitando economia de tempo. 
Geralmente, utiliza-se o índice b para caracterizar valor base. 
 
7.1 – Escolha de Bases Para Circuitos Monofásicos 
 
Normalmente se escolhe: 
Tensão base = Tensão do circuito 
Potência base = Potência do circuito. 
Ou seja: 
(Eq. 11) Vbase - 1 = Vf 
(Eq. 12) Sbase - 1 = S 
Em consequencia, tem-se: 
(Eq. 13) I  = S  Vbase - 1 
(Eq. 14) Z  = Vbase - 1 I  = Vbase - 1 S  
 Vbase - 1 = (Vbase - 1) S  
(Eq. 15) Levando-se em conta que Zp.u. = 
 ( )
 
 = 
 ( ) 
( ) 
 
 
7.2 – Escolha de Bases Para Circuitos Trifásicos 
 
Em sistemas trifasicos equilibrados adota-se o uso de uma unica fase, representativa 
do sistema total. A simplificação de um circuito trifásico em um monofásico equivalente, 
requer a prévia conversão do circuito original para uma configuração “Y” equivalente. 
A Figura 14 ilustra um equivalente monofásico de um circuito trifásico conectado em 
“Y”. 
 
16 
 
 
 
Figura 14 - Modelo trifásico em Y equivalente 
 
É usual a adoção das seguites bases: 
Potência base = potêncoa aparente do sistema trifasico, ou seja, a soma das potências 
bases das fases. 
Tensão base = Tensão de linha, ou seja, √ vezes a tensão base de fase da estrela 
equivalente. 
Ou seja: 
(Eq. 16) V  = √ . V  
(Eq. 17) S  = S  = √ V I = V  . I  
Em consequencia, tem-se: 
(Eq. 18) I  .  √  
Como não se pode concituar uma “ impedância trifásica”, a impedância base de um 
sistema trifásico em estrela equivalente, por: 
(Eq. 19) Z  =  = I  
Lembrando que I = I no sistema trifásico em estrela e inroduzindo na equação 9 os 
valores de V  e I  obtidos das equações 6 e 8, obtém-se: 
(Eq. 20) Z  = (  √ ) I  = (  √ ) ( 
  √  ) = (Vbase -3) S  
É comum, nós cálculos de curtos-circuitos, expressar tensões em kV e potências 
aparentes em kVA e MVA, mantendo as correntes em ampères e impedância em ohms. 
Utilizando tais múltiplos na expressão 10, obtém-se 
(Eq. 21) Z  = (Vbase -3) S  = (Vbase -3kv . 1000 Vbase 
-3kva . 1000 = V base -3kv . 10 Vbase -3kva 
Todavia: Sbase(kva) 10 = Sbase(kva) . Poranto, a equação 11 se transforma em: 
(Eq. 22) Z  = V base -3kv S ( ) 
Pode ser escrever. 
(Eq. 23) Z = Z( ) Z  = Z( ) . (Z base -3(kva) V base -3(kv) ) 
17 
 
 
8 – Mudança de bases 
 
Por causa da grande diversidade de equipamentos, num mesmo sistema de potência, 
exige a execução de mudanças de bases, com vistas a padronizar os cálculos em p.u.. 
 
8.1 – Mudança de bases para a tensão 
 
Sendo conhecido o valor absoluto de uma tensão V, em volts, seu valor em p.u. na 
base 1 será obtido por: 
(Eq. 24) V( ) = V V 
A mesma tensão V terá valor em p.u. na base 2 obtido por: 
(Eq. 25) V( ) = V V 
Dividindo-se membro a membro, a equação 14 pela equação 15: 
(Eq. 26) (V( ) V( )) = V V 
Portanto: os valores das tensõe em p.u. são inversamente proporcionais aos valores das 
tensões bases. 
 
8.2 – Mudanças de bases para a Potência 
 
Sendo conhecido o valor absoluto de determinada potência, S, em Va ( ou em P, watts, 
ou em Q, Var), seu valor em p.u. na base 1 será obtido por: 
(Eq. 27) S( ) = S S 
A mesma potência S terá seu valor em p.u. na base 2 obtido por: 
(Eq. 28) S( ) = S S 
Dividindo-se membro a membro, equação 16 pela equação 17: 
(Eq. 29) ( S( ) S( )) S S 
Portanto: os valores das potências em p.u. são inversamente proporcionais aos valores 
das potências bases. 
 
8.3 – Mudança de bases para corrente 
 
Sejam duas correntes, definidas por: 
(Eq. 30) I = S √ . V I = S √ . V 
18 
 
 
O valor absoluto de determinação corrente I, em ampères, será expresso nas bases de 
correntes 1 e 2 por. 
(Eq. 31) I( ) = I I = I (S √ . V ) 
(Eq. 32) I( ) = I I = I (S √ . V ) 
Dividindo-se membro a membro, equação 20 pela equação 21: 
(Eq. 33) (I( ) I( )) = (V V ) . (S S ) 
Portanto: os valores das correntes em p.u. são diretamente proporcionais aos valores 
das tensões bases e inversamente proporcionais aos valores das potências bases. 
 
8.4 – Mudança de bases para impedância 
 
Tendo uma impedância cujo valor absoluto é Z, em ohms, seu valor em p.u. nas bases 
V e S será obtido por: 
(Eq. 34) Z( ) = Z Z = Z (V ) S 
A mesma impedância Z terá seu valor em p.u. nas bases V e S obtido por: 
(Eq. 35) Z() = Z Z = Z (V ) S 
Dividindo-se membro a membro, equação 23 pela equação 24: 
(Eq. 36) Z( ) Z( ) = (S S ) . (V V ) 
Portanto: as impedância em p.u são diretamente proporcionais às potências bases e 
inversamente proporcionais ao quadro das tensão bases. O procedimento simoles para efetuar 
mudança de bases consiste em determinar, inicialmente, o valor absoluto da grandeza, 
multiplicando seu valor em p.u. pela bases na qual foi dada; a seguir, dividindo pela nova base 
aquele valor absoluto, encontrando assim o valor em p.u na nova base. 
 
9 – Dados de equipamento, aplicáveis a cálculos em p.u. 
 
Os fabricantes de equipamentos costumam fornecer dados de interesse para cálculos 
em p.u., através de catalagos ou de placas de identificação. 
 
9.1 – Alternador monofásico 
 
São fornecidos os valores correspondentes 
- Potência aparente nominal; 
19 
 
 
- Tensão nominal; 
- Frequência; 
- Reatância sub-transitório (X’’), transitória (X’) e sicrona (X), expressas em valores 
percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a potência nominal da máquina e sua tensão 
nominal. 
 
9.2 – Motor Monofásico 
 
São fornecidos os valores correspondentes 
- Potência aparente nominal (mecânicamente, disponível no eixo); 
- Tensão nominal; 
- Frequência; 
- Reatância sub-transitório (X’’), transitória (X’) e de regime(X), expressas em valores 
percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a tensão nominal e a potência aprente 
correspondente à potência nominal fornecida no eixo da máquina. Normalmente as potências 
dos motores são especificados em HP ou CV, no eixo, e portanto a potência apartente pode 
ser determinado a partir do conhecimento do rendimento e do fator de potência da máquina. 
 
9.3 – Transformador monofásico de dois enrolamentos 
 
São fornecidos os valores correspondentes 
- Potência aparente nominal; 
- Tensão nominal do lado da alta; 
- Tensão nominal do lado da baixa; 
- Reatância de dispersão equivalente, em por cento e p.u.. 
A placa de identificação ou catálogo de um transformador apresentam apenas um valor 
único, em p.u., para sua reatância de dispersão. Isso poque o valor da sua reatância em p.u., 
referida ao lado da lata tensão, é igual ao valor de sua reatância em p.u. referida ao lado da 
baixa tensão. 
 
9.4 – Alternador Trifásico 
 
São fornecidos os valores correspondentes 
- Potência aparente nominal trifásico (total das três fases); 
20 
 
 
- Tensão da linha nominal; 
- Frequência; 
- Reatância sub-transitória(X’’d e X’’q), transitória (X’d e X’q) e síncrona (Xd e 
Xq), por fase, expressas em valores percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a 
potência nominal da máquina e sua tensão nominal. 
 
9.5 – Motor Trifásico 
 
São fornecidos os valores correspondentes 
- Potência nominal (mecânicamente, disponível no eixo); 
- Tensão da linha nominal; 
- Frequência; 
- Reatância sub-transitória(X’’d e X’’q), transitória (X’d e X’q) e de regime (Xd e 
Xq), por fase, expressas em valores percentuais ou em p.u., tendo como valores bases a tensão 
nominal e a potência aparente correspondente à potência nominal fornrcida no eixo da 
máquina. 
Na falta de dados completos, alguns autores sugerem adotar as seguintes relações( 
valores médios) 
- Motor de Indução: 
kVA = HP 
- Motor síncrono com fator de potência unitário: 
kVA = 0,85xHP 
- Motor síncrono com fator de potência 0,8: 
kVA= 1,10xHP. 
 
9.6 – Transformador triásico de dois enrolamentos 
 
São fornecidos os valores referentes a: 
- Potência aparente nominal trifásica (total três fases); 
- Tensão da linha nominal; 
- Tensão nominal do lado da alta; 
- Tensão nominal do lado da baixa; 
- Reatância de disperção equivalente, por fase, em por cento ou em p.u.. 
21 
 
 
Tal como ocorre para o monofásico de dois enrolamentos, o transformador trifásico de 
dois enrolamentos apresenta um único valor, em p.u., de sua reatância de dispersão por fase. E 
a escolha adequada das diferentes bases para circuitos interligados por transformadores 
trifásicos de dois enrolamento tornará mais fácil os cálculos em p.u., basta que a potência base 
seja a mesma para todo o sistema e que as tensões bases dos circuitos interligados por 
transformador tenham relação igual à relação existente entre tensões nominais de linha de um 
lado e de outro do transformador. 
 
9.7 – Banco de transformador 
 
Denomina-se como banco de transformadores um conjunto de três unidades 
monofásicas constituindo um transformador trifásico. A utilização de banco de 
transformadores é viável em casos especiais ou nos casos de transformadores com potências 
muito elevadas. As características dos bancos, tais como tensão, potência e impedâncias, são 
referidas às unidades monofásicas. Desta forma ao se avaliar os diagramas de impedância de 
sistemas com bancos de transformadores, o primeiro passo é a determinação das caraterísticas 
do transformador trifásico eqüivalente. 
Pode-se ter alguns tipos de ligações. 
- Ligação estrela-triangulo: Pouco usual, por envlover problemas com a corrente de 
excitação. 
- Ligação triângulo-triângulo: apesenta a vantagem de permitir a remoção de um 
transformador monofásico, sem interrupção do fornecimento, na ligação denominada em V 
aberto. Neste caso a potência nominal do banco fica levada a 58 por cento da potência inicial. 
- Ligação estrela-triângulo: normalmente empregada para transformar tensão elevada 
em tensão média ou tensão baixa. Portanto aterramento do neutro no lado de alta tensão . 
- Ligação triângulo-estrela: geralmente utilizada para elevação de tensão. 
Dos transformadores monofásicos são fornecidos: 
-Potência aparente nominal; 
-Tensão nominal, do lado da alta; 
- Tensão nominal, do lado da baixa; 
- Reatância de disperção, em por cento ou em p.u.. 
A Figura 15 mostra um exemplo de banco de transformadorees monofásico em estrela-
triângulo. Sendo que se formos analisar a imagem e determinar a reatância em p.u., iremos 
22 
 
 
perceber que a reatância em p.u. do banco tem o mesmo valor da reatância em p.u. de cada 
transformador monofásico que integra o banco. 
 
Figura 15 – Banco de transformadores monofásicos, ligação em estrela-triângulo 
 
A Figura 19 mostra um banco de transformadores monofásicos em ligação triângulo-
estrela. Sendo que se formos analisar a imagem e determinar a reatância em p.u.do banco, 
iremos perceber que a reatância em p.u. do banco tem mesmo valor da reatância em p.u. de 
cada transformador monofásico que integra o banco. E para banco com ligação estrela-
triângulo chegar-se-á à mesma conclusão, já que sua transformação em banco equivalente 
estrela-estrela faz recair em caso anteriarmente analisado. Conclui-se, pois, que a reatância em 
p.u. do banco tem mesmo valor da reatância em p.u. do transformador monfásico que o 
compõe, qualquer que seja o tipo de ligação. 
 
Figura 16 – Banco de transformadores monofásicos, ligação triângulo-estrela 
 
10 -Transformador Trifásico de Dois Enrolamentos 
 
São Fornecidos os valores referentes a: 
23 
 
 
- Potência nominal trifásica; 
- Tensão de linha nominal, do lado da alta; 
- Tensão de linha nominal, do lado da baixa; 
- Reatância de dispersão equivalente, por fase, em por cento ou em p.u. 
O transformador trifásico de dois enrolamentos apresenta um único valor em p.u., de 
dispersão por fase, a escolha das bases para os circuitos interligados por transformadores 
desse tipo, torna mais fácil os cálculos em p.u.. Basta que a potência seja a mesma para todo o 
sistema e que as tensões base doscircuitos interligados por transformador tenham relação 
existente entre as tensões nominais de linha de um lado e de outro do transformador. Com 
isso, todas as reatâncias em p.u. relativas as diferentes partes do sistema do sistema serão 
combinadas num único diagrama de reatâncias. 
 
Exemplo: Os valores nominais de um transformador trifásico de dois enrolamentos 
são os seguintes: 
- Potência: 5 MVA; 
- Tensão: 138 KV – estrela / 13,8 KV – triângulo; 
- Reatância de dispersão por fase: X = 12 %. 
Qual o valor da reatância de dispersão em ohms: 
a) Referida ao lado de alta tensão? 
b) Referida ao lado de baixa tensão? 
 
Solução: 
a) Z (b, alta) = 
 
 
 = 3808,8 Ω 
X (Ω, alta) = = 457,06 Ω 
 
b) Z (b, baixa) = 
 
 
 = 38,088 Ω 
X (Ω, baixa) = = 4,57 Ω 
 
11 – Banco de transformadores 
 
Por razões operacionais ou para facilitar o transporte, sistemas de potência fazem uso 
frequente do chamado banco de transformadores, no qual três transformadores monofásicos 
24 
 
 
são interligados para se ter o equivalente a um transformador trifásico, sendo possíveis as 
ligações em: 
- Ligação em estrela – estrela: Pouco usual por apresentar problemas com a corrente 
de excitação. 
- Ligação em triângulo – triangulo: Apresenta a vantagem de permitir a remoção de 
um transformador monofásico, sem se interromper o fornecimento, na ligação denominada de 
V aberto. Porém nesses casos a tensão nominal fica reduzida a 58 % da potência inicial. 
- Ligação estrela – triangulo: empregada para transformar uma tensão elevada em 
média ou baixa, permitindo também o aterramento do neutro do lado da alta tensão. 
- Ligação em triângulo – estrela: utilizado geralmente para elevar a tensão. 
Dos transformadores monofásicos são fornecidos: 
- Potência aparente nominal; 
- Tensão nominal do lado da alta; 
- Tensão nominal do lado da baixa; 
- Reatância de depreciação, em % ou em p.u.. 
A potência do banco e igual a 3 vezes a potência de um transformador monofásico e a 
sua tensão de linha depende da ligação dos transformadores monofásicos. A reatância em p.u. 
do banco, independentemente do tipo de ligação e a mesma que cada transformador 
monofásico apresenta. 
 
Exemplo: determine a reatância em p.u. do banco de transformadores monofásicos 
ligado em estrela – estrela. Mostrado na figura 4. 13. A reatância de dispersão de cada 
transformador monofásico e de 10 %, tendo por bases suas grandezas nominais. 
 
Solução: 
A reatância em ohms de cada transformador integrante do banco vista do lado 
primário é: 
(Eq. 37) X (Ω, Trafo 1 Φ) = 
( ) 
 
 Ω 
A partir dos dados dos transformadores monofásicos pode-se obter a reatância base do 
banco. 
(Eq. 38) S banco = 30 MVA; V banco = V b, banco = √ KV; 
(Eq. 39) X (b, banco) = 
(√ )
 
 
 Ω 
A reatância do banco em p.u. do banco é: 
25 
 
 
(Eq. 40) X (p.u., banco) = 
 ( )
 ( )
 = 
( ) 
 
 
 
(√ )
 = 0,1 = 10 % 
 
 
Figura 17 - Valor da reatância em p.u. de cada transformador monofásico. 
 
12 – Transformador Trifásico de Três Enrolamentos 
 
O transformador trifásico de três enrolamentos costuma ser utilizado com uma das 
seguintes: 
 
a) Interligação de três sistemas com níveis de tensão diferentes. 
 
 
Figura 18 - Interligações de três sistemas com níveis de tensões diferentes 
 
b) Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e adicionalmente, 
através do terciário, atendimento dos serviços auxiliares de subestações; 
c) Interligação de dois sistemas com níveis de tensão diferentes e, adicionalmente, 
através do terciário operando em vazio, desempenho de filtro de sequência zero, com vistas à 
proteção. 
26 
 
 
No circuito equivalente por fase, em p.u., do transformado de três enrolamentos, são 
considerados apenas os parâmetros longitudinais, do mesmo modo que os transformadores de 
dois enrolamentos, porem as impedâncias Zp, Zs, Zt, em p.u., não levam em conta as 
reatâncias dos enrolamentos. O ponto comum 0 é fictício e não representa o neutro do 
sistema. 
 
 
Figura 19 – Circuito equivalente de Trafo trifásico de 3 enrolamentos no “tap” nominal 
 
Os valores das impedâncias do circuito equivalente são obtidos através dos ensaios de 
curto-circuito do equipamento, curto-circuitando dois enrolamentos e deixando o terceiro em 
aberto. Desse modo os referidos ensaios fornecem: 
Zps - impedância medida no primário com o secundário em curto circuito e o terciário 
em aberto 
Zpt - impedância medida no primário com o terciário em curto circuito e o secundário 
em aberto 
Zst - impedância medida no secundário com o terciário em curto circuito e o primário 
em aberto. 
Após se obter os valores em ohms dos enrolamentos através dos ensaios, pode-se obter 
os valores em p.u. adotando-se potência de base única e tensão de base no circuito cujo os 
valores entre si estejam relacionados com as tensões de linha dos enrolamentos com todas 
impedâncias expressas em p.u. 
(Eq. 41) 
(Eq.42) 
(Eq. 43) 
 
Calculando-se as impedâncias em p.u. da seguinte forma: 
27 
 
 
(Eq. 44) 
 
Frisando que o circuito equivalente por fase em p.u., só e valido se as tensões bases 
forem as mesmas para todo o transformador e se as tensões bases nos circuitos apresentem as 
mesmas relações que existem entre as tensões de linha dos três circuitos do enrolamento. 
 
Exemplo: Certo transformador trifásico de três enrolamentos possui como 
característica: 
- Primário: ligação em estrela; 13,8 KV; 15 MVA; 
- Secundário: ligação em estrela; 35,5 KV; 10 MVA; 
- Terciário: ligação em triângulo; 4,5 KV; 7,5 MVA. 
 
Ensaios de curto circuito realizados em laboratório indicam os seguintes resultados, 
desprezando-se a resistência dos enrolamentos: 
- Medidas no primário: Zps = j 0,768 Ω, Zpt = j 0,843 Ω 
- Medidas no secundário: Zst = j 6,532 Ω 
Apresente o circuito equivalente por fase em p.u., adotando Sb = 15 MVA e Vb = 13,8 
KV 
 
Solução: 
 
O circuito equivalente solicitado deve ser feito com valores em p.u. na mesma base. 
Tem-se, então: 
Zps, p.u. (referido ao primário) = 
 ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zpt, p.u. (referido ao primário) = 
 ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
Zst, p.u. (referido ao secundário) = 
 ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Zst, p.u. (referido ao primário) = 
 ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que no cálculo de Zst em p.u., sendo as tensões bases as próprias tensões 
de linha dos enrolamentos, só se efetuou a mudança de base relativa à potência. Outra 
alternativa para cálculos de Zst em p.u. seria referir ao primário o seu valor em ohms e em 
seguida transformar este valor em p.u.. Ter-se-ia: 
Zst, p.u. (referido ao primário) = (
 
 
) 
 
Portanto: 
Zst, p.u. (referido ao primário) = (
 
 
)
 
 
 
 
 
Igual ao anteriormente obtido. 
Fazendo das equações de cálculo de impedância, betem-se: 
 
Zp = ( ) 
 
Zs= ( ) 
 
Zt= ( ) 
 
 A próxima figura representa o circuito equivalente solicitado. 
 
29 
 
 
 
Figura 20 – Barra de transferência 
 
13 – Diagrama de Reatâncias em p.u., Por Fase, de Um Sistemade Potencia 
 
Inicialmente se adota para potência base um único valor para todo o sistema, em 
seguida se elege a tensão de base, de um trecho do sistema, pois disso resultará as demais 
tensões das demais partes do sistema, em decorrência da relação de tensão imposta pelos 
transformadores que interligam todos os trechos. Cada trecho possui um valor base de tensão. 
Uma vez resolvido o problema proposto volta-se aos valores reais multiplicando-se as 
quantidades em p.u. através da base aplicável em cada lugar na rede. 
- Potencia base: 200 MVA (para todo o sistema); 
- Tensão base: 120 KV (na linha de transmissão). 
Nos trechos dos geradores G1, G2 e G3, a tensão base terá valor de 12 KV, já que os 
transformadores tem relação de transformação igual a 10. 
Efetuando-se as mudanças de base devidas, obtém-se: 
(Eq. 45)XG1 = 
 
 
 (
 
 
)
 
 = 0,529 p.u. 
(Eq. 46)XG2 = 
 
 
 (
 
 
)
 
= 1,058 p.u. 
(Eq. 47)XG3 = 
 
 
 (
 
 
)
 
= 0,529 p.u. 
 
(Eq. 48)XT1 = XT2 = 
 
 
 (
 
 
)
 
= 0,353 p.u. 
(Eq. 49)XT3 = 
 
 
 (
 
 
)
 
 = 0,529 p.u. 
(Eq. 50)XTL = 
 
 
 
 
 
 
 = 0,556 p.u. 
 
30 
 
 
O diagrama de reatâncias em p.u., fase, nas bases estabelecidas, está apresentando na 
figura 4.20. 
Observe-se que muitos cálculos seriam evitados caso: 
a) fosse considerado para potência base o valor de 50 MVA, no qual já estão 
expressas as reatâncias p.u. de G2, G3 e T3; 
b) fosse escolhido para tensão base na linha de transmissão o valor de 138 KV, 
dispensando mudanças da tensão. 
 
 
 
31 
 
 
CONCLUSÃO 
 
 
A representação de sistema elétricos de potência é bastante importante para os técnico 
e engenheiros, pois com esse estudo somos capazes de fazer cálculos e identificar 
componentes elétricos mais facilmente. 
 Nesta representação podemos desenhar diagramas mais simplificados, como 
diagramas unifilares, de impedância, reatância. Simplificar cálculos no que concerne curto-
circuito e consequentes estudos de proteção, podemos simplificar e facilitar valores, mudando 
suas bases e transformando esses valores para a unidade p.u.. 
E Em transformadores monofásicos, os valores em (pu) dos lados de alta e baixa 
tensão são idênticos. Em função disto, apresenta-se um único valor de impedância equivalente 
na placa do transformador, ao contrário de dois valores em [Ω]. O valor em (pu) da 
impedância equivalente do transformador monofásico e do banco de transformadores será 
sempre a mesma, independente da conexão utilizada no primário e no secundário. 
 
32 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
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