Ferramentas de Análise para Engenheiros e Técnicos de Proteção

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3 Revisão 26/09/2005 Virtus P. Maezono 
2 Edição 2 
1 Emissão 23/04/2002 Virtus P. Maezono 
Edição MODIFICAÇÃO DATA POR DATA APROV. 
EXECUÇÃO 
 
CLIENTE 
 
 
CURSO 
Ferramentas de Análise para Engenheiros e Técnicos de 
Proteção 
Direitos Reservados: 
 
Virtus Consultoria e Serviços Ltda. 
Autor: 
 
Paulo Koiti Maezono 
Instrutor: 
 
Paulo Koiti Maezono 
Total de Páginas 
 
148 
 
j.X0
Circuito Equivalente
de Sequência Zero
3i0
i0
i0
i0
i0
i0 i0
a
b
c
N1.i0 = N1.i0
N1
N1
3i0
 
 
 
 
 
 
 
 
FERRAMENTAS DE ANÁLISE PARA ENGENHEIROS E TÉCNICOS DE PROTEÇÃO 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Introdução e índice 2 de 148
 
SOBRE O AUTOR 
 
 
 
 
Eng. Paulo Koiti Maezono 
 
 
Formação 
 
Graduado em engenharia elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1969. Mestre 
em Engenharia em 1978, pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá, com os créditos obtidos em 1974 
através do Power Technology Course do P.T.I – em Schenectady, USA. Estágio em Sistemas Digitais de 
Supervisão, Controle e Proteção em 1997, na Toshiba Co. e EPDC – Electric Power Development Co. de 
Tokyo – Japão. 
 
 
Engenharia Elétrica 
 
Foi empregado da CESP – Companhia Energética de São Paulo no período de 1970 a 1997, com 
atividades de operação e manutenção nas áreas de Proteção de Sistemas Elétricos, Supervisão e 
Automação de Subestações, Supervisão e Controle de Centros de Operação e Medição de Controle e 
Faturamento. Participou de atividades de grupos de trabalho do ex GCOI, na área de proteção, com ênfase 
em análise de perturbações e metodologias estatísticas de avaliação de desempenho. 
 
Atualmente é consultor e sócio administrador da Virtus Consultoria e Serviços Ltda. em São Paulo – SP. A 
Virtus tem como clientes empresas concessionárias no Brasil e na Colômbia, empresas projetistas na área 
de Transmissão de Energia, fabricantes e fornecedores de sistemas de proteção, controle e supervisão, 
Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo, CEDIS – Instituto Presbiteriano Mackenzie. 
 
 
Área Acadêmica 
 
Foi professor na Escola de Engenharia e na Faculdade de Tecnologia da Universidade Presbiteriana 
Mackenzie no período de 1972 a 1987. É colaborador na área de educação continuada da mesma 
universidade, de 1972 até a presente data. 
 
Foi colaborador do Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas da EPUSP – Escola 
Politécnica da Universidade de São Paulo, desde 1999 até 2002, com participação no atendimento a 
projetos especiais da Aneel, Eletrobrás e Concessionárias de Serviços de Eletricidade. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Introdução e índice 3 de 148
 
ÍNDICE 
 
 
1. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE TRANSFORMADORES................................................................................5 
1.1 CONCEITO BÁSICO........................................................................................................................................5 
1.2 NUM TRANSFORMADOR .............................................................................................................................6 
1.3 A SATURAÇÃO. FORMA DE ONDA DA CORRENTE DE MAGNETIZAÇÃO..........................................8 
1.4 MODELO MATEMÁTICO DA MAGNETIZAÇÃO.......................................................................................9 
1.5 F.E.M. INDUZIDA NO SECUNDÁRIO...........................................................................................................9 
1.6 CORRENTES DE CARGA. COMPENSAÇÃO DE AMPÈRES - ESPIRAS .................................................10 
1.7 DISPERSÕES DE FLUXO .............................................................................................................................11 
1.8 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFORMADOR..................................................................................12 
1.9 POLARIDADE................................................................................................................................................12 
1.10 CONEXÃO TRIÂNGULO – ESTRELA DE TRANSFORMADOR TRIFÁSICO OU DE BANCO DE 
TRANSFORMADORES ....................................................................................................................................13 
1.11 ATERRAMENTO DE SISTEMA ...................................................................................................................15 
1.11.1 SISTEMA ISOLADO...............................................................................................................................15 
1.11.2 SISTEMA ATERRADO POR RESISTÊNCIA..........................................................................................16 
1.11.3 SISTEMA ATERRADO POR REATÂNCIA.............................................................................................17 
1.11.4 SISTEMA SOLIDAMENTE ATERRADO................................................................................................17 
1.11.5 TRANSFORMADOR DE ATERRAMENTO............................................................................................18 
2. REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA ......................................................................................21 
2.1 DIAGRAMA UNIFILAR................................................................................................................................21 
2.2 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS .................................................................................................................23 
2.2.1 Finalidade ...................................................................................................................................................23 
2.2.2 Fundamento ................................................................................................................................................23 
2.2.3 Circuitos Equivalentes para Linhas de Transmissão (seqüência positiva).................................................24 
2.2.4 Circuito Equivalente para Transformador de 2 enrolamentos ...................................................................25 
2.2.5 Circuito Equivalente para Transformador de 3 enrolamentos ...................................................................29 
2.2.6 Circuito Equivalente para Geradores e Motores Síncronos .......................................................................30 
2.2.7 Circuito Equivalente para Motores de Indução..........................................................................................33 
2.2.8 O Diagrama de Impedâncias do Sistema ....................................................................................................34 
3. GRANDEZAS POR UNIDADE............................................................................................................................35 
3.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................................35 
3.2 BASE NUM PONTO DO SISTEMA ELÉTRICO ..........................................................................................36 
3.3 ESCOLHA DE BASES PARA UM SISTEMA ELÉTRICO ...........................................................................37 
3.4 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS EM P.U. ..................................................................................................38 
3.5 CÁLCULO DE IMPEDÂNCIAS P.U. DE UM TRANSFORMADOR DE TRÊS ENROLAMENTOS NUMA 
DADA BASE DE ESTUDO............................................................................................................................41 
3.6 EXEMPLO DE CÁLCULO COM DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS EM P.U.............................................44 
3.7 EXERCÍCIO PROPOSTO...............................................................................................................................46 
4. COMPONENTES SIMÉTRICOS ........................................................................................................................474.1 CONCEITO.....................................................................................................................................................47 
4.2 CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES SIMÉTRICOS......................................................................49 
4.3 PARTICULARIDADES .................................................................................................................................54 
4.4 CIRCUITOS EQUIVALENTES E IMPEDÂNCIAS SEQUENCIAIS ...........................................................55 
4.4.1 Seqüências Positiva e Negativa...................................................................................................................55 
4.4.2 Seqüência Zero............................................................................................................................................56 
4.4.3 Exemplo.......................................................................................................................................................60 
 
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FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Introdução e índice 4 de 148
 
5. DIAGRAMAS DE SEQUÊNCIA ZERO PARA TRANSFORMADORES DE POTÊNCIA..........................62 
5.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................................62 
5.2 REATÂNCIAS DE MAGNETIZAÇÃO DE UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO OU DE UM BANCO 
TRIFÁSICO ....................................................................................................................................................64 
5.2.1 Introdução...................................................................................................................................................64 
5.2.2 Seqüência Positiva (ou Negativa) ...............................................................................................................65 
5.2.3 Seqüência Zero............................................................................................................................................66 
5.3 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO DE TRANSFORMADOR DELTA / ESTRÊLA ATERRADA........71 
5.4 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO DE UM TRANSFORMADOR ESTRELA ATERRADA / ESTRELA 
ATERRADA ...................................................................................................................................................73 
5.5 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO ENVOLVENDO CONEXÕES ESTRELA ......................................75 
5.6 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO DE TRANSFORMADOR ESTRELA ATERRADA – DELTA – 
ESTRELA ATERRADA .................................................................................................................................76 
5.7 DIAGRAMA DE SEQUÊNCIA ZERO DE TRANSFORMADOR ZIG-ZAG ...............................................79 
6. NOÇÕES DE CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO ..........................................................................................81 
6.1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................................81 
6.2 DESLOCAMENTO DE EIXO DEVIDO A CHAVEAMENTO DE CIRCUITO LR......................................82 
6.3 COMPORTAMENTO DE MÁQUINA SÍNCRONA PARA UM CURTO-CIRCUITO.................................84 
6.4 COMPORTAMENTO DE MOTOR DE INDUÇÃO PARA UM CURTO-CIRCUITO..................................88 
6.5 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO SIMÉTRICO............................................................................................90 
6.5.1 Métodos de Cálculo de Curto-Circuito .......................................................................................................90 
6.5.2 Exemplo do Primeiro Método .....................................................................................................................91 
6.5.3 Exemplo do Segundo Método......................................................................................................................94 
6.5.4 Exercício Proposto......................................................................................................................................95 
6.6 CURTO-CIRCUITO FASE-TERRA...............................................................................................................96 
6.6.1 Conceitos.....................................................................................................................................................96 
6.6.2 Seqüência Prática de Cálculos ...................................................................................................................99 
6.6.3 Curto-circuito envolvendo transformador triângulo-estrela.....................................................................101 
6.6.4 Oscilogramas simulados e reais................................................................................................................102 
6.6.5 Exemplo de cálculo ...................................................................................................................................105 
6.6.6 Exercício Proposto....................................................................................................................................114 
6.7 CURTO-CIRCUITO BIFÁSICO...................................................................................................................118 
6.7.1 Conceito ....................................................................................................................................................118 
6.7.2 Curto-circuito bifásico envolvendo transformador triângulo-estrela .......................................................119 
6.8 CURTO-CIRCUITO BIFÁSICO-TERRA ....................................................................................................123 
6.8.1 Conceito ....................................................................................................................................................123 
6.8.2 Curto-circuito bifásico-terra envolvendo transformador triângulo-estrela..............................................124 
6.9 EXERCÍCIOS................................................................................................................................................128 
 
 
 
 
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FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Noções Fundamentais de Transformador 5 de 148
 
1. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE TRANSFORMADORES 
1.1 CONCEITO BÁSICO 
Lei de Faraday: dt
d
dt
dNe λφ −=−= Volts 
=φ Fluxo (Weber) 
=λ Fluxo Acoplado (Weber-espira) 
Isto é, a Força Eletromotriz Induzida (F.E.M.) corresponde à taxa de variação do fluxo 
acoplado, no tempo. 
Caso particular: variação senoidal (fenômeno periódico) 
1/4
Φ
Fl
ux
o 
(W
eb
er
)
máx.
1/2 3/4 10
 
Figura 1.1 – Variação senoidal do fluxo num campo magnético 
 
Ocorre a seguinte variação do fluxo acoplado no tempo: 
Fluxo Acoplado Tempo (ciclos) 
0 0 
|N.φmáx| ¼ 
0 ½ 
|N.φmáx| ¾ 
0 1 
 
Isto é, o fluxo acoplado varia de 0 a |N.φmáx| ou vice-versa, 4 vezes em cada ciclo da 
senóide, ou seja, 4.f vezes por segundo. 
N = número de espiras f = freqüência 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 6 de 148
 
Donde: 
E médio = 4.f.N.φmáx. (pela Lei de Faraday) 
E máximo = 2
π
 4.f.N.φmáx. = 2π .f.N.φmáx 
E eficaz = 2π .f.N.(φmáx/ 2 ) 
E eficaz = 2π .f.N.φeficaz = 4,44.f.N.φmáximo 
 
1.2 NUM TRANSFORMADOR 
Pode-se esquematicamente representar um transformador através da figura a seguir: 
V1 e1 e2
Φ
imag
N1 N2 
Figura 1.2 – Representação Esquemática de Transformador 
 
• Ao se aplicar a tensão V1, impõe-se e1 = V1 (aproximadamente) 
• Ao se impor e1, impõe-se o fluxo φ 
• O fluxo φ (webers) flui no núcleo (circuito magnético) de comprimento médio 
l (metros) e secção efísicoefetivo xKSS = m2 
• O fluxo acopla os dois enrolamentos com N1 e N2 espiras respectivamente. 
• A InduçãoMagnética B imposta no núcleo é: 
efetivoS
B φ= webers / m2 
• O material de que é feito o núcleo impõe a característica B-H conforme se segue: 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 7 de 148
 
B
H
Webers / m2
Amperes-espiras / m
 
Figura 1.3 – Característica B-H do Núcleo do Transformador 
 
• Assim, se impõe a Intensidade do Campo Magnético H (ampères-espiras / m). 
• Daí, tem-se a Força Magneto-Motriz F imposta no enrolamento 
l.1_ HFmag = ampères-espiras 
• E a Corrente de Magnetização requerida da fonte (sistema) será então: 
1
1_
1_ N
F
i magmag = ampères 
Conclui-se, para o lado da tensão aplicada, que: 
• O fluxo no núcleo depende da tensão aplicada (imposta). 
• Dadas as características físicas e magnéticas do núcleo, para que o fluxo se 
desenvolva, há necessidade de uma corrente de magnetização. 
• A corrente de magnetização (para formar o campo magnético) depende, então de: 
- Número de espiras do enrolamento 1 (N1) 
- Comprimento do caminho do fluxo l 
- Característica B-H do material do núcleo 
- Seção do núcleo 
- Tensão aplicada. Lembrar que E eficaz = 2π .f.N.φeficaz = 4,44.f.N.φmáximo 
 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 8 de 148
 
1.3 A SATURAÇÃO. FORMA DE ONDA DA CORRENTE DE MAGNETIZAÇÃO 
Quando o valor instantâneo da indução B ultrapassa o joelho da característica B-H, o valor 
da intensidade do campo H é maior do que haveria se não houvesse o joelho (isto é, se 
não houvesse saturação, com a característica B-H linear). 
B
H
V, B, Φ
t
H, F,
imag
0
t
 
Figura 1.4 – Forma de Onda da Corrente de Magnetização em função da Característica B-H 
 
A tensão e1 sendo senoidal, o fluxo φ será senoidal (pela lei de Faraday) e 
consequentemente a indução B também. 
Se a indução máxima ultrapassa o valor do joelho (saturação) da característica B-H do 
núcleo, a intensidade do campo H será deformada (senóide deformada) e 
consequentemente a força magneto-motriz e a corrente de magnetização também serão 
deformadas. 
Pela teoria de Fourier, diz-se que a corrente de magnetização é composta de uma senóide 
fundamental somada a senóides harmônicas (predominância da terceira harmônica, se a 
indução máxima estiver ligeiramente acima do joelho). 
Nota: caso, se de algum modo, não for possível para a fonte suprir tal corrente harmônica 
(não for possível fornecer corrente deformada), então o fluxo no campo se deformará e 
aparecerá no transformador, tensões harmônicas. 
 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 9 de 148
 
1.4 MODELO MATEMÁTICO DA MAGNETIZAÇÃO 
Define-se indutância de um circuito magnético como sendo a relação entre o fluxo 
acoplado e a corrente de magnetização desse circuito. Então: 
mag
eficaz
mag i
N
i
L
φλ .11
1 == Henrys 
A reatância desse circuito de magnetização será: 
mag
eficaz
mag i
N
fLfX
φ
ππ
.
...2...2 11 == 
jXmag
e1
imag
 
Figura 1.5 – Modelo do Circuito Magnético 
eficazmagmag NfLfiXe φππ ....2...2. 111 === 
 
1.5 F.E.M. INDUZIDA NO SECUNDÁRIO 
O fluxo no núcleo acopla também o enrolamento secundário ou outros enrolamentos que 
existirem no mesmo circuito magnético. 
Esse acoplamento induzirá tensão no enrolamento secundário: 
e 2 = 2π .f.N2.φeficaz = 4,44.f. N2.φmáximo 
Essa tensão induzida é conseqüência do fluxo no núcleo e do número de espiras 
acopladas no lado secundário. 
Daí, sendo: e 1 = 2π .f.N1.φeficaz = 4,44.f. N2.φmáximo 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 10 de 148
 
Tem-se: 
2
1
2
1
N
N
e
e
= que é válido para transformador ideal, sem perdas e sem 
dispersões de fluxo. 
 
1.6 CORRENTES DE CARGA. COMPENSAÇÃO DE AMPÈRES - ESPIRAS 
No secundário, tem-se uma tensão induzida. Pode-se alimentar uma carga através desse 
enrolamento secundário. 
V1 e1 e2
Φ
N1 N2
carga
imag + i1 i2
V2
mútuo
 
Figura 1.6 – Enrolamento Secundário Alimentando Carga 
• A corrente I2 de carga em N2 espiras, gera uma força magneto-motriz de: 
 222 .INF = ampères-espiras 
• Essa FMM estaria associada a uma intensidade de campo H2, indução B2 e fluxo 2φ 
• Mas o fluxo mútuo mutuoφ depende da tensão aplicada (Lei de Faraday) e supõe-se que 
essa tensão é constante (não muda). Isto é, o mutuoφ não pode ser alterado com a 
presença da carga. 
• Consequentemente, no outro enrolamento (primário) aparecerá simultaneamente uma 
força magneto-motriz de: 
111 .INF = ampères-espiras de modo que 021 =+ FF 
Isto é, sem saldo de FMM para alterar o fluxo mútuo que só depende da tensão 
aplicada. 
• Conclusão: a toda corrente de carga I2, haverá uma corrente no outro enrolamento I1, 
de modo que haja compensação de ampères-espiras (compensação de FMM), com: 
N1.I1 = N2.I2 
 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 11 de 148
 
1.7 DISPERSÕES DE FLUXO 
Foi verificado que no enrolamento 1 tem-se: 
111 .INF = (devido a carga) e magmag iNF _11_1 .= 
E que no enrolamento 2 tem-se: 
222 .INF = (devido a carga) 
Essas FMM, produzem fluxos que se fecham pelo ar ou por outro caminho que não seja o 
núcleo do transformador, que são os chamados fluxos dispersos. 
V1 e1 e2
Φ
N1 N2
carga
imag + i1 i2
V2
mútuo
Φ
Φ
1
2
 
Figura 1.7 – Fluxos Dispersos no Transformador 
Esses fluxos 1φ e 2φ estarão associados a FEM induzidas, devido ao acoplamento com os 
respectivos enrolamentos: 
2
22
2
2
2
.
I
N
I
L DispDisp
φλ
== Henrys 
magmag
Disp
Disp iI
N
iI
L
+
=
+
=
1
11
1
1
1
.φλ
 Henrys 
A “queda de tensão” (FEM) no enrolamento 1, devido à dispersão de fluxo será: 
( ) ( ) 1111111 ....2....2. φππ NfiILfiIXV magDispmagDisp =+=+= Volts 
A “queda de tensão” (FEM) no enrolamento 2, devido à dispersão de fluxo será: 
( ) ( ) 2222222 ....2....2. φππ NfILfIXV DispDisp === Volts 
 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 12 de 148
 
1.8 MODELO MATEMÁTICO DE TRANSFORMADOR 
Pode-se agora montar o modelo matemático do transformador, considerando todos os 
aspectos vistos até agora, mais as perdas por calor. 
R1 j X1 R2 j X2
R p j Xm
N1:N2
Ideal
V1 V2
e1 e2
iperda imag
I1
I2
iexc+I1
 
Figura 1.8 – Modelo Matemático de Transformador 
 
R1 = representa as perdas por calor no enrolamento 1 
R2 = representa as perdas por calor no enrolamento 2 
Rp = representa as perdas por calor no núcleo 
j.Xm = representa o circuito magnético mútuo 
j.X1 = representa o fluxo disperso no enrolamento primário 
j.X2 = representa o fluxo disperso no enrolamento secundário 
 
1.9 POLARIDADE 
É a marcação (uma marca ou uma identificação padronizada) que mostra a referência 
(modo de enrolar) daquele enrolamento. Por exemplo: 
 H1
H2
Y1 
Y2 
 
Figura 1.9 – Exemplos de identificação de polaridades 
 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 13 de 148
 
Considerando uma condição de carga, se a corrente em um dado instante entra pela 
polaridade do enrolamento do lado da fonte, nesse mesmo instante a corrente do 
enrolamento do lado da carga estará saindo pela polaridade. É a tradução prática do 
conceito visto de compensação de ampères - espiras. 
Quando num transformador, não se conhece (ou se deseja confirmar) as polaridades dos 
enrolamentos, se faz o teste da polaridade: 
 
V
V1 V2
Transformador
sob ensaio
 
Figura 1.10 – Esquema básico de teste de polaridade 
 
Na figura acima, o voltímetro pode indicar o resultado de V1 + V2 ou o resultado de V1 – V2, 
e assim pode-se determinar as polaridades: 
 Transformador
sob ensaio Transformador sob ensaio 
V1 V2
Polaridade 
“aditiva” 
Polaridade 
“subtrativa” 
V1 V2
 
Figura 1.11 – Resultados possíveis do teste de polaridade 
 
1.10 CONEXÃO TRIÂNGULO – ESTRELA DETRANSFORMADOR TRIFÁSICO OU DE 
BANCO DE TRANSFORMADORES 
Exemplo com defasamento de + 30 graus, com o lado estrela adiantado com relação ao 
lado delta (conexão Dy1 ou Yd11). Fisicamente as fases são conectadas conforme a figura 
a seguir. 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 14 de 148
 
A
B
C
a
c
b
A
B
C
b = (B - A)
a = (A - C)
c = (C - B)
Esquematicamente:
 
Figura 1.12 – Conexão estrela - triângulo 
 
Com base nas conexões físicas mostradas, pode-se compor o diagrama vetorial das 
tensões de linha de ambos os lados: 
A
B
C
a
b
c
+30o
 
Figura 1.13 – Vetores de tensões de linha para conexão estrela - triângulo 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 15 de 148
 
 
O mesmo transformador, com outras indicações de fases no lado triângulo, mantendo as 
indicações no lado estrela, permitiria outras possibilidades de defasamento, conforme 
mostra a tabela e figura a seguir: 
Alternativa Defasamento (Lado Estrela com relação ao Lado Delta 
1 (a-c) + 30 graus 
2 + 150 graus 
3 - 90 graus 
 
A
B
C
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Alternativa
123
 
Figura 1.14 – Alternativas de identificação do lado delta 
 
Mudando a conexão para – 30 graus, ao invés dos + 30 graus mostrados, haveria três 
outras possibilidades de defasamento, como mostrado a seguir: 
Alternativa invertendo o Delta Defasamento (Lado Estrela com relação ao Lado Delta
1 - 30 graus 
2 - 150 graus 
3 + 90 graus 
 
1.11 ATERRAMENTO DE SISTEMA 
1.11.1 SISTEMA ISOLADO 
É um sistema onde não há ponto de terra através de neutro. Neste caso, quando uma fase 
vai à terra (curto-circuito), a única corrente que aparece é decorrente de capacitâncias do 
sistema (geralmente de cabos) que pode variar de miliampères a ampères. 
A carga é sempre ligada entre fases, fazendo uso da tensão de linha. A carga não é 
interrompida quando uma das fases de um sistema isolado vai a terra. 
A figura a seguir ilustra um sistema isolado com curto circuito fase-terra: 
 
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Noções Fundamentais de Transformador 16 de 148
 
Fonte Sistema Isolado
Corrente de Terra
devido Capacitâncias
VB
VA
VC
VB
VA = 0
VC
VB VC
VA
Operação Normal CC Fase-Terra
 
Figura 1.15 – Sistema Isolado. Curto-circuito de uma fase à terra. 
Nestas condições, são mantidas inalteradas as tensões de linha (fase-fase), não havendo 
diferença para a carga ligada. Mas, há deslocamento do neutro, como mostrado. 
As tensões Fase – Neutro sofrem alterações. As fases não afetadas têm seu valor 
aumentado em 3 vezes. Portanto, para a especificação de isolação fase – neutro de 
sistema isolado adota-se a tensão de linha. 
A corrente que surge é decorrente dos campos elétricos existentes, expressos através das 
respectivas capacitâncias à terra. Geralmente, um relé de proteção não detecta essa 
corrente, quando é pequena demais. 
1.11.2 SISTEMA ATERRADO POR RESISTÊNCIA 
É um sistema onde se provê ponto de terra através de neutro, para que haja corrente de 
terra quando de curto-circuito fase-terra, viabilizando o uso de proteção de sobrecorrente. 
Em sistemas industriais é comum o uso de resistências para aterramento, limitando a 
corrente numa faixa entre 5 e 20% da corrente de curto-circuito trifásico desse mesmo 
sistema. Usado em sistemas industriais de média tensão. 
Neste caso, quando uma fase vai à terra (curto-circuito), aparecem não apenas as 
decorrentes de capacitâncias do sistema, como também devido ao aterramento, como 
mostra a figura a seguir: 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Noções Fundamentais de Transformador 17 de 148
 
Fonte
Sistema Aterrado por Resistência
VB
VA
VC
VB
VA = 0
VC
VB VC
VA
Operação Normal CC Fase-Terra
 
Figura 1.16 – Sistema Aterrado por Resistência. Curto-circuito de uma fase à terra. 
As tensões de linha (fase-fase) e de fase (fase-neutro) são alteradas. Há deslocamento do 
neutro, como mostrado, menor que o caso de sistema isolado. 
A corrente que tem condição de acionar uma função de sobrecorrente para fins de 
proteção. 
1.11.3 SISTEMA ATERRADO POR REATÂNCIA 
Há também sistemas que são aterrados através de reatâncias moderadas, mas é mais 
usado em BT – Baixa Tensão. 
A reatância para aterramento em MT – Média Tensão para limitar a corrente de terra não 
é, geralmente, utilizada devido a problemas de transitórios de tensão que podem ser muito 
altos. 
1.11.4 SISTEMA SOLIDAMENTE ATERRADO 
É um sistema onde se provê ponto de terra através de neutro solidamente aterrado, para 
que haja plena corrente de terra quando de curto-circuito fase-terra, viabilizando ainda 
mais o uso de proteção de sobrecorrente. 
Utilizado, geralmente, em sistemas de distribuição de energia elétrica, com longas 
extensões onde a corrente de terra é essencial para detectar falta à terra. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Noções Fundamentais de Transformador 18 de 148
 
A figura a seguir mostra o caso: 
Fonte
Sistema Solidadmente Aterrado
VB
VA
VC
VB
VA = 0
VC
VB
VC
Operação Normal CC Fase-Terra
VA
 
Figura 1.17 – Sistema Solidamente Aterrado. Curto-circuito de uma fase à terra. 
Neste caso, se o curto-circuito é rígido, não há deslocamento de neutro. A corrente de terra 
será a máxima possível para a configuração, limitada pelas impedâncias do sistema 
elétrico e dos equipamentos no caminho da corrente. 
1.11.5 TRANSFORMADOR DE ATERRAMENTO 
As vezes o transformador supridor tem conexão delta no lado da carga, configurando um 
sistema isolado, mas pode-se desejar que haja fonte de terra no sistema para viabilizar 
proteção para faltas a terra. 
Será visto, posteriormente, que num sistema isolado, pode-se detectar uma falta fase-terra 
com muita facilidade, mas não se pode detectar com facilidade o local da ocorrência dessa 
falta. Assim sendo o aterramento pode-se tornar necessário. 
Um transformador de aterramento tem a finalidade de prover FONTE DE TERRA para um 
sistema originalmente isolado, tornando-o aterrado. 
Deve caracterizar-se como sendo uma FONTE DE SEQÜÊNCIA ZERO, isto é, deve 
atender a duas condições essenciais: 
a) Ter caminho físico para a corrente de terra (conexão estrela aterrada ligada ao 
sistema). 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Noções Fundamentais de Transformador 19 de 148
 
b) Ter enrolamento ou conexão para compensação de ampères x espiras para a corrente 
de terra ( 3 x I0). 
Há dois tipos de transformador de aterramento: 
• Transformador Estrela Aterrada – Triângulo. 
O transformador é conectado ao sistema através do seu enrolamento estrela aterrada. O 
enrolamento em triângulo serve para compensação de ampères x espiras: 
 
Corrente de terra: 
3. I0
I0 I0 I0
I0 I0 I0
 
Figura 1.18 – Transformador de aterramento Estrela Aterrada - Delta 
Note que, caso aberto o delta, não haverá compensação e não mais haverá corrente de 
terra por este transformador apesar da conexão estrela aterrada. 
 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Noções Fundamentais de Transformador 20 de 148
 
• Transformador Zig-Zag 
O transformador “zig-zag” é um especialmente preparado para servir de fonte de terra. Isto 
é, a conexão “zig-zag” tem como finalidade a compensação ampères x espiras de três 
corrente iguais, uma em cada fase (corrente de terra): 
 
Corrente de terra: 
3. I0
I0 I0
I0
I0
I0I0
b1
b2 c1
c2
a1
a2
 
Figura 1.19 – Transformador de aterramento “Zig – Zag” 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 21 de 148
 
2. REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE POTÊNCIA 
2.1 DIAGRAMA UNIFILAR 
A finalidade de um diagrama unifilar é fornecer, de maneira concisa, os dados significativos 
de um sistema elétrico de potência. Deve apresentar informações na quantidade e 
qualidade necessárias, sempre orientadas para o estudo ou o problema em análise. 
 
TIPO DE ESTUDO INFORMAÇÕESNO DIAGRAMA 
FLUXO DE POTÊNCIA - Identificação das barras 
- Impedâncias das linhas e transformadores 
(seq. +) 
- Admitância shunt de linhas longas 
- Taps dos transformadores 
- Potências ativas e reativas, ou potência ativa 
em barras determinadas 
- Dados para cálculo de valores por unidade 
CURTO-CIRCUITO - Identificação das barras 
- Impedâncias das linhas e transformadores 
(seq. + e seq. 0) 
- Admitância shunt de linhas longas (seq. + e 
seq. 0) 
- Tipos de conexão de transformadores 
- Impedâncias de geradores (subtransitórias e 
seq. 0) 
- Dados para cálculo de valores por unidade 
(potências, tensões nominais, etc.) de 
impedâncias de linhas, transformadores, 
geradores, reatores, etc. 
ESTABILIDADE - Identificação das barras 
- Impedâncias das linhas e transformadores 
(seq. + ) 
- Admitância shunt de linhas longas (seq. +) 
- Impedâncias de geradores (transitórias) 
- Dados para cálculo de valores por unidade 
- Constantes de inércia de máquinas 
- Características dos sistemas de excitação e 
reguladores de velocidade de máquinas 
- Informações sobre disjuntores e relés de 
proteção 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 22 de 148
 
 
PROTEÇÃO - Relações de transformação e classe de 
exatidão de TC’s e TP’s 
- Impedâncias de seqüência positiva e zero de 
linhas 
- Impedâncias de seqüência positiva e zero de 
transformadores e suas conexões 
- Tipos básicos de proteção 
- TC’s auxiliares 
- Disjuntores 
- Etc. 
 
Evidentemente, existe uma grande variação entre diagramas unifilares, dependendo da 
finalidade dos mesmos. Mesmo dentro de uma única finalidade, a quantidade e qualidade 
das informações varia muito, dependendo do estudo e do autor. Porém, a regra é única: 
máximo de informações com máximo de simplicidade. 
1
3
4
5
6
7 8
9 10
G1
G2
G3
M
TR1
TR2
TR3
TR4
TR5
TR6
2
 
Figura 2.1 – Exemplo de Diagrama Unifilar para Estudo de Curto-Circuito 
Dados: 
Geradores / Motores: potência nominal, tensão nominal, X”d, X0 
Transformadores: potência nominal, tensões nominais, reatâncias de dispersão, de 
seqüência positiva e zero. 
Linhas: Impedâncias (R + j.X) e Admitâncias capacitivas (Yc), de seqüência positiva e 
zero. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 23 de 148
 
2.2 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS 
2.2.1 Finalidade 
A análise do comportamento de um sistema de potência é baseado em cálculos, 
atualmente com ampla utilização de computadores digitais. Para possibilitar o cálculo 
matemático há necessidade de modelos, ou melhor, de circuitos equivalentes de 
sistemas que possam representar, da melhor maneira possível, o comportamento desses 
sistemas ou parte desses sistemas. 
O diagrama de impedâncias, com os valores p.u. (por unidade) das impedâncias é básico 
para esses cálculos. 
2.2.2 Fundamento 
No estudo de circuitos elétricos polifásicos através de circuitos equivalentes, a 
consideração inicial é supor o sistema equilibrado. Nessas condições, pode-se fazer a 
modelagem e o estudo de apenas uma das fases, sabendo-se implicitamente que as 
condições nas outras fases são as mesmas, a menos do defasamento angular constante 
entre fases, considerando ainda uma situação de regime permanente com freqüência 
constante. 
Nos sistemas trifásicos representa-se, então, apenas uma das fases, com o retorno 
através de um fio neutro (ideal). Como num sistema trifásico equilibrado: 
Ia + Ib + Ic = 0 
Observa-se, que na realidade, não há corrente pelo citado “fio neutro”. Assim, a eventual 
impedância deste retorno não é representada. 
Para se representar uma situação desequilibrada, de um sistema trifásico, faz-se o 
desmembramento do sistema trifásico real em três outros sistemas, cada um deles trifásico 
e cada um deles equilibrado, através da teoria de componentes simétricos. Assim, 
pode-se fazer uma representação monofásica para cada um desses sistemas equilibrados, 
representando, no conjunto, uma situação desequilibrada. 
SISTEMA TRIFÁSICO TRIFÁSICO TRIFÁSICO TRIFÁSICO 
 = EQUILIBRADO + EQUILIBRADO + EQUILIBRADO 
DESIQUILIBRADO Seqüência (+) Seqüência (-) Seqüência (0) 
 
Assim, os circuitos equivalentes são representações monofásicas de circuitos 
trifásicos. 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 24 de 148
 
2.2.3 Circuitos Equivalentes para Linhas de Transmissão (seqüência positiva) 
R j X
 
Z = R + j.X 
Figura 2.2 – Linhas Curtas (Até aproximadamente 80 km) 
 
R j X
- 2.j XC - 2.j XC
 
Figura 2.3 – Linhas Médias (Até aproximadamente 200 km) – Modelo Pi 
Z = R + j.X 
X c = reatância capacitiva (shunt) total da linha 
C
C YCf
X 1
...2
1
==
π
 
Para Linhas de Transmissão Longas 
Para as linhas longas, a representação torna-se mais complexa. Pode-se, entretanto, fazer 
um modelo Π equivalente (como para as linhas médias) com os valores Z e Yc corrigidos: 
l
l
.
).senh(.)('
γ
γZcorrigidoZ = 
2.
)2.tanh()('
l
l
γ
γ
CYcorrigidoYc = 
Onde, l = comprimento da linha de transmissão (km) 
 zy.=γ y = Admitância shunt por km z = Impedância série por km (r + jx) 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 25 de 148
 
2.2.4 Circuito Equivalente para Transformador de 2 enrolamentos 
Uma representação relativamente completa para um transformador de dois enrolamentos é 
mostrada na figura a seguir. 
R1 j X1 R2 j X2
Rp
j XM
N1:N2
Ideal 
Figura 2.4 – Circuito Equivalente de um Transformador de Dois Enrolamentos 
Onde: 
R1, R2 = Resistências representando as perdas nos enrolamentos 1 e 2 (perdas no cobre), 
em ohms. 
X1, X2 = Reatâncias representando os fluxos dispersos nos enrolamentos 1 e 2, em ohms. 
Xm = Reatância de magnetização (representando o fluxo no núcleo), em ohms. 
Rp = Resistência representando as perdas no núcleo (perdas no ferro), em ohms. 
Essas resistências e reatâncias indutivas podem ser representadas em um dos lados do 
transformador: 
R1+[N1/N2]2.R2 j (X1+[N1/N2]
2.X2)
Rp
j XM
N1:N2
Ideal 
Figura 2.5 – Circuito Equivalente visto do Lado Primário 
Esta representação, entretanto, é demasiadamente complicada para aplicação nos 
cálculos para o sistema de potência. É de senso comum e tecnicamente aceitável e 
desejável a simplificação deste modelo. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 26 de 148
 
Representação Simplificada 
R1, R2 e Rp = desprezados, para transformadores de potência 
Xm = considerado infinito (corrente de magnetização desprezível com relação à corrente de carga. 
j (X1+[N1/N2]
2.X2)
N1:N2
Ideal 
Figura 2.6 – Circuito Equivalente Simplificado, visto do Lado Primário 
 
Ou, visto do outro lado: 
j (X2+[N2/N1]2.X1)
N1:N2
Ideal 
Figura 2.7 – Circuito Equivalente Simplificado, visto do Lado Secundário 
 
Ensaio de curto-circuito 
As reatâncias indicadas anteriormente podem ser medidas através do ensaio de curto-
circuito como o mostrado na figura a seguir. 
TRAFO TRIFÁSICO
CURTO-
CIRCUITO
Icc2Icc1
FONTE
TRIFÁSICA
 
Figura 2.8 – Ensaio de curto-circuito em transformador trifásico 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 27 de 148
 
 
Neste ensaio, aplica-se uma tensão Vcc1 para que se tenha corrente nominal do 
transformador, isto é: 
 Icc1 = Inom 1 e Icc2 = Inom 2 
j (X1+[N1/N2]2.X2)
N1:N2
Ideal
Icc1 Icc2 Curto-
circuitoVcc1
 
Figura 2.9 – Ensaio de curto-circuito pelo lado primário 
Xcc1 = [X1 + (N1/N2)2.X2] = 1
3
1
Inom
Vcc
 ohms (visto do lado 1) 
Caso o ensaio de curto-circuito seja feito pelo outro lado do Transformador, teríamos: 
j (X2+[N2/N1] 2.X1 )
N1:N2
Ideal
Icc1 Icc2Curto-circuito Vcc2
 
Figura 2.10 – Ensaio de curto-circuito pelo lado secundário 
Xcc2 = [X2 + (N2/N1)2.X1] = 2
3
2
Inom
Vcc
 ohms (visto do lado 2) 
Valor Percentual da Reatância 
Nota-se que os valores Xcc1 e Xcc2 são valores em ohms, numericamentediferentes. 
Ambos representam a impedância de dispersão total do transformador, referidos a lados 
diferentes. 
Para se evitar dois valores, a impedância do transformador é indicada em valor 
PERCENTUAL (%). Este valor (%) é único para o transformador de dois enrolamentos, 
independente do lado. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 28 de 148
 
Todo valor percentual tem como referência uma BASE. Neste caso, esta base dever ter a 
dimensão de impedância (ohms). Para um transformador, toma-se como BASE seus 
valores nominais. Assim, 
Zbase = kVnominal
2 / MVAnominal (ohms) 
Zbase(lado1) = kV1
2/MVAnominal = [ (Vnom1 / 3 ) / Inom1] 
Zbase(lado2) = kV2
2/MVAnominal = [ (Vnom2 / 3 ) / Inom2] 
 
E os valores Xcc1 e Xcc2 podem ser calculados, agora, com relação às respectivas bases: 
Xcc1 (%) = [ Xcc1 (ohms) / Zbase1 ] x 100 % 
Xcc2 (%) = [ Xcc2 (ohms) / Zbase2 ] x 100 % 
Pode-se provar que: 
 Xcc1 (%) = Xcc2 (%) valor percentual da impedância do transformador. 
 
( )
1
31)1/2(
10011/2
1
31
1001
1
100)(1(%)1
2
2
Inom
VnomxNN
xxXccNN
Inom
Vnom
xXcc
Zbase
xohmsXccXcc === = 
 (%)2
3.2/2
1002
1.3).2/1(
1).1/2(
1002 Xcc
InomVnom
xXcc
InomNN
VnomNN
xXcc
=== 
 
Diagrama de Impedância do Transformador em p.u. 
Finalmente, como Xcc1 (%) = Xcc2 (%), pode-se representar um transformador de dois 
enrolamentos através da sua impedância percentual (ou p.u. = % / 100): 
j X (% ou pu)
 
Figura 2.11 – Circuito Equivalente de Transformador de Potência de Dois Enrolamentos 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 29 de 148
 
O modelo anterior vale para transformadores de potência. 
Para transformadores de menor potência (transformadores industriais e de distribuição), 
não se pode desprezar o valor da resistência. Então, o modelo será: 
R (pu ou %) j X (pu ou %)
 
Figura 2.12 – Circuito Equivalente de Transformador de Distribuição de Dois Enrolamentos 
 
2.2.5 Circuito Equivalente para Transformador de 3 enrolamentos 
Um transformador de 3 enrolamentos apresenta tem 3 enrolamentos por fase, com 3 níveis 
de tensão: 
Lado p Lado s
Lado t
Neste caso é como se existissem três transformadores de dois enrolamentos cada:
Lado p Lado s Lado p Lado t Lado s Lado t+ +
Xps (pu ou %) Xpt (pu ou %) Xst (pu ou %) 
Figura 2.13 – Unifilar de Transformador de Três Enrolamentos 
 
Os valores Xps, Xpt e Xst são determinados através de ensaios de curto-circuito, par a par. 
Consequentemente, haverá 3 reatâncias percentuais: Xps (%), Xpt (%) e Xst (%). Esses 
valores são referidos a uma mesma potência base: 
Zbase(p) = kVnom(p)
2/MVAbase 
Zbase(s) = kVnom(s)
2/MVAbase 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 30 de 148
 
Zbase(t) = kVnom(t)
2 / MVAbase 
E a representação deste transformador de 3 enrolamentos será: 
p s
t
j Xp j Xs
j Xt
 Xp + Xs = Xps Xp + Xt = Xpt Xs + Xt = Xst 
 
Figura 2.14 – Circuito Equivalente de Transformador de Três Enrolamentos 
Ou: 
Xp = ½ (Xps + Xpt – Xst) 
Xs = ½ (Xps + Xst – Xpt) 
Xt = ½ (Xpt + Xst – Xps) 
 
2.2.6 Circuito Equivalente para Geradores e Motores Síncronos 
Um problema importante na determinação das impedâncias seqüenciais de um sistema de 
potência refere-se às impedâncias de máquinas. O problema é especialmente difícil pois 
as máquinas rotativas são dispositivos bastante complexos para serem descritos 
matematicamente, com muitos aspectos a considerar como: velocidade, grau de 
saturação, linearidade do circuito magnético e outros fenômenos. 
Uma máquina síncrona é as vezes denominada “circuito dinâmico” devido ao fato de ser 
constituída de circuitos que estão em movimento entre si, de modo que a impedância vista 
por correntes entrando ou saindo de seus terminais muda constantemente. Assim as 
indutâncias vistas do ponto de vista do estator variam com o tempo. 
Para que os cálculos sejam simplificados, há um método matemático que transforma 
valores vistos do lado do estator em valores vistos do lado rotor, denominado 
“Transformação de Park” ou método “0-d-q”. Através desse método, as indutâncias que 
eram tão complicadas, variando no tempo, são transformadas em constantes. 
Para se modelar uma máquina para estudos de curto-circuito ou fluxo de potência, o 
circuito equivalente dessa máquina é estabelecido, através da análise de diagramas 
fasoriais decorrentes de grandezas derivadas da Transformação de Park. 
As constantes típicas (0-d-q) de uma máquina síncrona é mostrada na tabela a seguir: 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 31 de 148
 
 
 Turbo geradores (rotor 
sólido) 
Geradores hidráulicos 
(com amortecedores) # 
Compensador Síncrono Motor Síncrono (Uso 
Geral) 
REATÂNC. (p.u.) Baixo Médio Alto Baixo Médio Alto Baixo Médio Alto Baixo Médio Alto 
xd 0.95 1.10 1.45 0.60 1.15 1.45 1.5 1.80 2.20 0.80 1.2 1.50 
Xq 0.92 1.08 1.42 0.40 0.75 1 0.95 1.15 1.40 0.60 0.90 1.10 
X’d 0.12 0.23 0.28 0.20 0.37 0.50 0.30 0.40 0.60 0.25 0.35 0.45 
X’q 0.12 0.23 0.28 0.40 0.75 1.00 0.95 1.15 1.40 0.60 0.90 1.10 
X’’d 0.07 0.012 0.17 0.13 0.24 0.35 0.18 0.25 0.38 0.20 0.30 0.40 
X’’q 0.10 0.15 0.20 0.23 0.34 0.45 0.23 0.30 0.43 0.30 0.40 0.50 
Xp 0.07 0.14 0.21 0.17 0.32 0.40 0.23 0.34 0.45 
X2 0.07 0.12 0.17 0.13 0.24 0.35 0.17 0.24 0.37 0.25 0.35 0.45 
X0 * 0.01 0.10 0.02 0.21 0.03 0.15 0.04 0.27 
RESIST. (p.u.) 
ra (dc) 0.0015 0.005 0.003 0.020 0.002 0.015 
r (ac) 0.003 0.008 0.003 0.015 0.004 0.010 
r2 0.025 0.045 0.012 0.200 0.025 0.070 
Cte. Tempo (s) 
τ’d0 2.8 5.6 9.2 1.5 5.6 9.5 6.0 9.0 11.5 
τ’d 0.4 1.1 1.8 0.5 1.8 3.3 1.2 2.0 2.8 
τ’’d =τ’’q 0.02 0.035 0.05 0.01 0.035 0.05 0.02 0.035 0.05 
τ’a 0.04 0.16 0.35 0.03 0.15 0.25 0.1 0.17 0.3 
 
 
Notas: 
# Para geradores hidráulicos sem enrolamentos amortecedores, o X0 é como mostrado, 
sendo que: 
X’’d = 0.85 X’d X’’q = X’q = Xq X2 = (X’d + Xq) / 2 
* X0 varia de 0.15 a 0.60 de X’’d, dependendo do passo do enrolamento. 
Fonte: “Analysis of Faulted Power Systems” – Chapter 6 – Paul M. Anderson. 
Terminologia: 
xd = reatância síncrona de eixo direto. 
xq = reatância síncrona de eixo em quadratura. 
x'd = reatância síncrona transitória de eixo direto. 
x'q = reatância síncrona transitória de eixo em quadratura. 
x'’d = reatância síncrona subtransitória de eixo direto. 
x'’q = reatância síncrona subtransitória de eixo em quadratura. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 32 de 148
 
Xp = reatância 
X2 = reatância de sequência negativa. 
X0 = reatância de seqüência zero. 
τ’’d =τ’’q = constantes de tempo do período subtransitório 
τ’d = constante de tempo do eixo direto – período transitório (armadura curto- 
 circuitada. 
τ’d0 = constante de tempo do eixo direto – período transitório (armadura aberta). 
τ’a = constante de tempo da armadura. 
 
Períodos transitório e subtransitório: 
c
b
a
i
tempo
 
Figura 2.15A – Componente AC de corrente de curto circuito aplicado aos terminais de uma 
máquina síncrona – Períodos subtransitório e transitório 
Se um curto circuito é aplicado a uma máquina em vazio, aparece uma corrente como o 
mostrado na figura 2.15A (mostrada sem a componente dc). A corrente tem um alto valor 
inicial (0 – c) que decai em alguns ciclos para uma outra faixa com menor taxa de queda (0 
– b). Com o tempo a corrente se estabiliza num valor (0-a) – em regime de curto. 
O período inicial é denominado subtransitório, com as constantes de tempo τ’’ no período 
subtransitório e τ’ no período transitório. 
Não é objetivo desta apostila explicar as constantes da máquina síncrona. Procura-se 
apenas mostrar o circuito equivalente para cálculos de curto-circuito envolvendo máquinas 
síncronas. 
Para proteção e para equipamentos costuma-se calcular a corrente no período 
subtransitório. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISERepresentação de Sistemas 33 de 148
 
Uma máquina síncrona pode, então, ser representada por: 
j Xd” ou j Xd’
 
Figura 2.15 – Circuito Equivalente de uma Máquina Síncrona 
Onde os valores X”d e X’d são as reatâncias subtransitória e transitória respectivamente. 
Um ou outro valor deve ser utilizado, dependendo do tipo de cálculo que se deseja. Para 
curto-circuito utiliza-se X”d. Para estudos de estabilidade, X’d. 
O diagrama acima está desprezando a resistência. Se esse valor for significativo, pode-se 
incluir no modelo 
2.2.7 Circuito Equivalente para Motores de Indução 
Quando se aplica um curto-circuito nos terminais de um motor de indução há a remoção da 
fonte de alimentação e seu campo decai muito rapidamente. A literatura mostra que essa 
queda ocorre com uma constante de tempo aproximada de: 
( )
R
rs
R R
XX
.1ω
τ += Onde: 
Xs = reatância do estator. 
Xr = reatância do rotor (com o rotor bloqueado) 
Rr = resistência do rotor. 
w1 = velocidade síncrona em radianos por segundo. 
Esta constante de tempo é, em geral muito pequena (menor que 1 ciclo em 60 Hz). 
Então o motor de indução pode e deve ser considerado no período subtransitório, através 
do modelo: 
j (Xs + Xr)
Em
 
Figura 2.15B – Circuito Equivalente de um Motor de Indução 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Representação de Sistemas 34 de 148
 
2.2.8 O Diagrama de Impedâncias do Sistema 
Baseado no diagrama unifilar e conhecendo os circuitos equivalentes de cada elemento do 
Sistema de Potência, pode-se montar o chamado diagrama de impedâncias. Por exemplo, 
para o sistema a seguir: 
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
j Xd”
j Xd”
j X
j X
j XR j Xb j Xc
j Xd
j Yc / 2 j Yc / 2
G1
G2
M
TR2
TR1
TR3
LT
j Xd”
 
Figura 2.16 – Diagrama Unifilar e respectivo Diagrama de Impedâncias 
O diagrama de impedâncias mostrado é para condições equilibradas (diagrama de 
seqüência positiva - a teoria de componentes simétricos será vista posteriormente). 
 
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Grandezas por Unidade 35 de 148
 
3. GRANDEZAS POR UNIDADE 
3.1 INTRODUÇÃO 
Para a resolução de um circuito elétrico simples já existe um certo grau de dificuldade se o 
mesmo apresenta um ou mais transformadores. Mesmo com um transformador, há 
necessidade de referir as impedâncias do sistema a um dos lados do transformador 
(lembrando que a impedância vista de um lado é igual à impedância do outro lado 
multiplicada pela relação de transformação ao quadrado). Ainda, num sistema trifásico 
equilibrado há o fator 3 que relaciona tensões de linha (fase-fase) com tensões de fase 
(fase-neutro), bem como as correntes de linha com as correntes de fase (dentro de um 
triângulo). 
Com a representação das tensões, correntes, potências e impedâncias de um Sistema 
Elétrico em valores p. u. (“por unidade”), referidos a BASES (referências) previamente 
adotadas para cada grandeza, aquelas dificuldades desaparecem, simplificando 
radicalmente os cálculos para um determinado estudo, mesmo para sistemas bastante 
grandes (centenas ou milhares de nós). Essa ferramenta de representação associada à 
teoria de circuitos elétricos e à matemática matricial permite o uso de computadores para o 
cálculo de circuitos elétricos de grande tamanho e complexidade. 
Para se calcular o valor p.u. de uma grandeza, tem-se a seguinte expressão básica: 
spectivaeValorDaBas
oValorDeFatupValor
Re
.._ = 
O valor percentual é o valor p.u. multiplicado por 100. 
 
Por exemplo: 
a) Uma tensão de 207 Volts numa base de Vbase = 220 V 
207 / 220 = 0,941 pu de tensão 
b) Uma potência aparente de 80 MVA numa base de 100 MVA 
80 / 100 = 0,8 pu de potência aparente 
c) Uma potência de 50 MW + j80 MVAr numa base de 100 MVA 
(50 + j80) / 100 = 0,5 + j0,8 pu de potência 
d) Uma impedância de 30 + j70 ohms numa base de 100 ohms 
(30 + j70) / 100 = 0,3 + j0,7 pu de impedância 
e) Uma corrente de 1000 A numa base de 4183 A 
 
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1000 / 4183 = 0,239 pu de corrente 
3.2 BASE NUM PONTO DO SISTEMA ELÉTRICO 
A fixação das BASES para um determinado estudo é arbitrária, levando-se em 
consideração as relações básicas entre as grandezas elétricas que são: 
- Potência / Tensão = Corrente 
- Tensão / Corrente = Impedância. 
Das duas relações acima, chega-se a: 
- (Tensão)2 / Potência = Impedância 
Isto é, há quatro grandezas relacionadas em duas expressões básicas. Pode-se, então, 
fixar arbitrariamente (num dado ponto do sistema elétrico delimitado por transformadores) 
duas das grandezas. 
Assim, as BASES para as duas grandezas restantes serão calculadas através das 
relações básicas. Deve-se notar que para sistemas monofásicos ou trifásicos, o termo 
corrente corresponde à corrente de linha, o termo tensão corresponde à tensão fase-neutro 
e o termo potência corresponde à potência de uma fase. 
Exemplo: 
Num dado trecho do sistema elétrico de potência trifásico, escolhe-se arbitrariamente as 
seguintes bases: 
Pbase = 100 MVA trifásico = 100.000 / 3 MVA por fase (adotado) 
Vbase = 138 kV de linha = 3
138 kV fase para neutro (adotado) 
Donde: 44,190
100
138
3
100000000
3
138000
2
2
==
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=Zbase ohms por fase (calculado) 
38,418
1383
100000
3
138
3
100000
===
x
Ibase A de linha (calculado) 
Assim, para um dado ponto (trecho delimitado por transformadores) num sistema trifásico 
pode-se adotar as seguintes fórmulas: 
Dados: kVBase (tensão de linha) e MVABase (potência trifásica) 
 
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Calcula-se: 
MVABase
kVBaseZbasse
2
= ohms 
xkVBase
kVABaseIBase
3
= Amperes 
 
3.3 ESCOLHA DE BASES PARA UM SISTEMA ELÉTRICO 
Para todo o sistema elétrico adota-se o seguinte roteiro: 
a) Escolhe-se uma Potência Trifásica Base arbitrária, que é válida para todo o sistema 
elétrico de potência (Nota: costuma-se adotar 100 MVA). 
b) Escolhe-se uma Tensão de Linha Base para um dado trecho do Sistema. As tensões 
de base em outros trechos se relacionam-se à essa base através das relações de 
transformação nominais dos transformadores de interligação dos trechos. (Nota: 
costuma-se adotar a tensão Nominal de Operação do trecho). 
c) Para cada trecho, tem-se então a Potência Base e a Tensão Base. Para cada trecho 
calcula-se a Impedância Base e a Corrente Base, pelas fórmulas anteriores. 
Exemplo: 
Dado o sistema abaixo, determinar as bases de impedância e de corrente em cada 
trecho, adotando-se uma base de potência de 100 MVA (válido para todo o sistema) e 
base de tensão de 138 kV no trecho da LT: 
LT
jX = j80 ohms
TR1 - 35 MVA (Trifásico)
13,2 / 115 kV
x = 10%
115 / 13,2 kV
x = 10%
M1
20 MVA - 12,5 kV
x”d = 20%
M2
10 MVA -12,5 kV
x”d = 10%G30 MVA - 13,8 kV
x”d = 15%
TR2 - 35 MVA (Trifásico)
A B
C
D
 
Figura 3.1 – Diagrama Unifilar de Sistema Exemplo 
Verifica-se os transformadores têm as seguintes relações de transformação: 
Transformador Relação (tensões de linha) Relação 
TR1 13,2 / 115 1:8,712 
TR2 115 / 13,2 8,712:1 
 
 
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Escolha das BASES: 
 Trecho do 
Gerador 
Trecho da LT Trecho dos 
Motores 
Base de 
Potência 
100 MVA * Bases 
ADOTADAS 
(*arbitrárias) Base de Tensão 
(kV) de linha 
138 / 8,712 = 
15,84 kV 
138 kV * 138 / 8,712 = 15,84 
kV 
Base de 
Corrente (A) de 
linha 
3.645 418,38 3.645 Bases 
CALCULADAS 
como 
conseqüência Base de 
Impedância (Ω) 
2,509 190,44 2,509 
 
MVABase = 100 MVA 
KVABase = 100.000 kVA 
Base de Impedância = (kVBase)2 / MVABase 
Base de Corrente = KVABase / (√3 x kVBase) 
Nota-se que as bases de tensão em cada trecho são determinadas pelas relações 
nominais de transformação dos transformadores, a partir da base inicial adotada 
(138 kV) na Linha de Transmissão. 
Tendo-se as bases de tensão em cada trecho e a base de potência queé válida 
para todo o sistema, usa-se as fórmulas mostradas para calcular as bases de 
corrente e de impedância em cada trecho. 
3.4 DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS EM P.U. 
Para o mesmo sistema do exemplo anterior, uma vez que as bases em cada trecho já 
foram calculadas, calcular as impedâncias em p.u. (por unidade) de todos os 
componentes, montando o diagrama de impedâncias em p.u. na base 100 MVA. 
O seguinte roteiro deve ser adotado: 
a) Com base dos dados nominais (“placa”) dos equipamentos, calcular suas impedâncias 
em p.u. (por unidade) na base adotada para o estudo (100 MVA e 138 kV na LT). 
b) Conhecidas as grandezas p.u. de todos os componentes do sistema, montar o 
diagrama de impedâncias, tomando-se o cuidado de mostrar todas as barras (nós) do 
sistema. 
 
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Para o Gerador: 
X”d = 15% a 13,8 kV e 30 MVA (dados de “placa” – nominais) 
Lembrando que,: 
)(
)("
ohmsZBase
ohmsoValordefatdx = pu Tem-se: 
X”d = 0,15 x (13,82 / 30) ohms (valor de fato) 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
3795,0
84,15
8,13
30
10015,0
100
84,15
30
8,1315,0
)(
)(" 2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatdx pu 
Para o TR1: 
Escolhe-se um dos lados para o cálculo (pode ser qualquer, por exemplo o lado da LT). 
X = 0,10 x (1152 / 35) ohms (valor de fato) 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
1984,0
138
115
35
10010,0
100
138
35
11510,0
)(
)(
2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
Se fosse utilizado o outro lado para os cálculos, teríamos o mesmo resultado: 
1984,0
84,15
2,13
35
10010,0
100
84,15
35
2,1310,0
)(
)(
2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
Para a LT (Linha de Transmissão): 
O valor dado já é o valor de fato: x = 80 ohms 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
42,0
138
8000
100
138
80
)(
)(
22 ==== ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
 
 
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Para o TR2: 
Escolhe-se um dos lados para o cálculo (pode ser qualquer, por exemplo o lado da LT). 
X = 0,10 x (1152 / 35) ohms (valor de fato) 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
1984,0
138
115
35
10010,0
100
138
35
11510,0
)(
)(
2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
Para o M1: 
X”d = 0,20 x (12,52 / 20) ohms (valor de fato) 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
6227,0
84,15
5,12
20
10020,0
100
84,15
20
5,1220,0
)(
)(
2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
Para o M2: 
X”d = 0,10 x (12,52 / 10) ohms (valor de fato) 
Impedância pu na BASE DO ESTUDO: 
6227,0
84,15
5,12
10
10010,0
100
84,15
10
5,1210,0
)(
)(
2
2
2
2
==== xx
x
ohmsudoZBasedoEst
ohmsoValordefatx pu 
Pode-se agora montar o diagrama de impedâncias em p.u. na base 100 MVA e 138 kV na 
LT. Trata-se do diagrama de “seqüência positiva” que representa um sistema trifásico 
equilibrado: 
j 0,3795 j 0,1984 j 0,1984j 0,42 j 0,6227
j 0,6227
A B C D
 
Figura 3.2 – Diagrama de Impedâncias em pu na Base do Estudo 
 
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Grandezas por Unidade 41 de 148
 
3.5 CÁLCULO DE IMPEDÂNCIAS P.U. DE UM TRANSFORMADOR DE TRÊS 
ENROLAMENTOS NUMA DADA BASE DE ESTUDO 
Roteiro 
Um transformador de três enrolamentos tem potências nominais para cada enrolamento. 
Por exemplo: 
p s
t
440/138/13,8 kV
p s t
189/150/50 MVA
 
Figura 3.3– Transformador de três enrolamentos 
Observa-se que o enrolamento primário tem potência de 189 MVA enquanto que o 
secundário tem 150 MVA. Então, entre o primário e o secundário, a potência está limitada 
pelo enrolamento secundário. A mesma coisa ocorre entre o primário e terciário (limitado 
pelo terciário) e o secundário e terciário (limitado pelo terciário). 
Através de ensaios de curto-circuito podem-se determinar as impedâncias Zps, Zpt e Zst. Os 
mesmos podem ser expressos em % ou p.u. em bases de potência diferentes (dados de 
placa). 
Para a determinação do circuito equivalente: 
Zp Zs
Zt
p
t
s
 
 
Figura 3.4 – Diagrama de Impedâncias em pu na Base do Estudo 
e a utilização do mesmo para cálculos, deve-se reduzir os valores à uma MESMA BASE 
DE ESTUDO e determinar Zp, Zs, Zt. A seqüência de cálculos é a seguinte: 
a) Zps (fato em ohms) = Zps (p.u. na base nominal) x Zbase (base nominal) 
Zpt (fato em ohms) = Zpt (p.u. na base nominal) x Z’base (base nominal) 
Zst (fato em ohms) = Zst (p.u. na base nominal) x Z’’base (base nominal) 
 
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Onde Zbase, Z’base e Z’’base são as eventuais bases de impedância, para bases de potência 
diferentes (dados de placa – fabricante). 
b) Zps (p.u. do estudo) = Zps (fato em ohms) / Zbase (estudo) 
Zpt (p.u. do estudo) = Zpt (fato em ohms) / Z’base (estudo) 
Zst (p.u. do estudo) = Zst (fato em ohms) / Z’’base (estudo) 
Onde Zbase, Z’base e Z’’base (estudo) são as bases de impedância, na potência base adotada 
para o estudo, dos lados dos transformadores. 
c) Finalmente: 
Zp = ½ (Zps + Zpt – Zst) pu 
Zs = ½ (Zps + Zst - Zpt) pu 
Zt = ½ (Zpt + Zst - Zps) pu 
Valores estes que são utilizados no diagrama de impedâncias. 
 
Exemplo: 
Para o transformador de três enrolamentos, cujos valores de placa são mostrados a seguir, 
calcular as impedâncias em p.u. numa base de estudo de 100 MVA e base de tensão de 
69 kV no lado de Alta Tensão. 
p s
t
66 / 13,2 / 2,3 kV
p s t
10 / 7,5 / 5 MVA
 
Figura 3.5 – Exemplo de transformador de três enrolamentos 
Desprezando-se as resistências, as impedâncias de dispersão são dadas pelo fabricante: 
Zps = 7% numa base de 7,5 MVA – 66/13,2 kV 
Zpt = 9% numa base de 5,0 MVA – 66/2,3 kV 
Zst = 6% numa base de 5,0 MVA – 13,2/2,3 kV 
Determinar as impedâncias p.u. do circuito equivalente de seqüência positiva, para uma 
base de 100 MVA – 69 kV no lado p. 
 
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Solução: 
 Lado p Lado s Lado t 
Tensão 66 13,2 2,3 Base Nominal 
Potência Dados do fabricante – Valores % numa potência 
Tensão 69 13,8 2,4 Base do Estudo 
Potência 100 MVA 
 
a) Valores em ohms (fato) 
5,7
6607,0
2
xZ ps = ohms visto pelo lado p 
0,5
3,209,0
2
xZ pt = ohms visto pelo lado t 
0,5
2,1306,0
2
xZ st = ohms visto pelo lado s 
 
b) Valores em p.u. na base do estudo 
8539,0
100
69
5,7
6607,0
2
2
==
x
Z ps pu 6531,1
100
4,2
0,5
3,209,0
2
2
==
x
Z pt pu 
0979,1
100
8,13
0,5
2,1306,0
2
2
==
x
Z st pu 
 
c) Valores em p.u. do diagrama de impedâncias 
7045,0)0979,16531,18539,0(2
1)(2
1 =−+=−+= stptpsp ZZZZ pu 
1493,0)6531,10979,18539,0(2
1)(2
1 =−+=−+= ptstpss ZZZZ pu 
9485,0)8539,00979,16531,1(2
1)(2
1 =−+=−+= psstptt ZZZZ pu 
 
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Grandezas por Unidade 44 de 148
 
3.6 EXEMPLO DE CÁLCULO COM DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS EM P.U. 
Dado o sistema descrito nos itens 3.3 e 3.4 anteriores e considerando que a tensão na 
barra comum dos motores esteja em 13 kV (tensão de linha), com cada motor consumindo 
10 MVA com f.p. = 0,9 (indutivo), determinar a tensão nos terminais do gerador. 
Bases do Estudo 
 Trecho do Gerador Trecho da LT Trecho dos Motores 
Base de Potência 100 MVA * 
Base de Tensão (kV) de linha 138 / 8,712 = 15,84 kV 138 kV * 138 / 8,712 = 15,84 kV 
Base de Corrente (A) de linha 3.645 418,38 3.645 
Base de Impedância (Ω) 2,509 190,44 2,509 
 
Nos motores 
Vfato = 13 kV 
Vm = 13 / 15,84 = 0,8207 /0o pu na base do estudo (trecho do motor) 
Pfato = 10 MVA (cada motor) 
Pm = 10/100 = 0,1 pu de potência na base do estudo (cada motor) 
o
mi 8,251218,09,0arccos8207,0
1,0
−∠=∠= pu de corrente (cada motor) 
Para os dois motores: oom xi 8,252436,08,251218,022 −∠=−∠= pu de corrente 
 
j 0,3795 j 0,1984 j 0,1984j 0,42
A B C D
vg = ? vm = 0,8207 /0
o pu
i (2 mot) = 0,2436 /-25,8o pu
 
Figura 3.6 – Diagrama p.u eAlimentação de Motores 
Cálculos: 
∆v = (j 0,1984 + j 0,42 + j 0,1984) x 0,2436 /-25,8o 
∆v = 0,8168 /+90o x 0,2436 /-25,8o 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
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Grandezas por Unidade 45 de 148
 
∆v = 0,1990 /+64,16o 
vg = vm + ∆v 
vg = 0,8207 /0o + 0,1990 /+64,16o 
vg = 0,8207 + 0,0867 + j 0,1791 = 0,9074 + j 0,1791 = 0,9249 /+11,17o 
Como a base de tensão no trecho do terminal do gerador é 15,84 kV, tem-se: 
vg = 0,9249 /+11,17o x 15,84 = 14,65 /+11,17o kV de linha 
Fator de potência nos terminais do gerador: Cos [-25,8 – 11,17)] = Cos –36,8 = 0,8 indutivo 
Observa-se que o problema foi facilmente resolvido mesmo com a existência de dois 
transformadores no circuito, com a utilização de grandezas p.u. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Grandezas por Unidade 46 de 148
 
3.7 EXERCÍCIO PROPOSTO 
Dado o sistema a seguir, calcular as impedâncias em p.u. e montar o diagrama (sequência 
positiva) ma base de potência de 100 MVA e 400 kV na LT1. 
Considerar a LT1 como longa. Assim, no modelo Pi, corrigir os parâmetros. 
LT1
TR1
G1
B C
TR3
LT1
r = 0,1 ohm / km
x = 0,3 ohm / km
Xc = 0,18 Mohm.km
l = 300 km
G2
A2
A1
TR2
TR4
TR5
LT2
LT3
D
E
FG
H
I
Reator
100 MVA
13,8 kV
X”d = 20%
G1 = G2
112 MVA
13,8 / 400 kV
X = 10 %
TR1 = TR2
150/150/30 MVA
420/138/13,8 kV
Xpt = 20 % na base 30 MVA
Xst = 40% na base 30 MVA
Xps = 5% na base 150 MVA
p = barra C
s = barra D
t = barra E
TR3
15 MVA
13,8 / 0,22 kV
X = 5 %
TR4
3X10 = 30 MVA
138 / 69 kV
X = 5,5 %
TR5
Reator:
150 MVA
400 kV
LT2
x = 0,5 ohm / km
l = 10 km
LT3
x = 0,4 ohm / km
l = 50 km
Nota: Admitancia Shunt y = 1/Xc mho / km 
 
 
 
 
Componentes Simétricos 47 de 148
 
4. COMPONENTES SIMÉTRICOS 
4.1 CONCEITO 
Cálculos envolvendo circuitos elétricos polifásicos tornam-se mais simplificados para 
sistemas EQUILIBRADOS, uma vez que os modelos (circuitos equivalentes) são feitos 
monofásicos, sabendo-se implicitamente que as duas outras fases não representadas têm 
o mesmo comportamento daquela fase representada, a menos dos defasamentos 
angulares entre elas. 
Para SISTEMAS TRIFÁSICOS DESBALANCEADOS os cálculos seriam demasiadamente 
complicados caso se procurasse fazer modelo trifásico, analisando fase por fase e o 
relacionamento entre elas. 
Em 1918 foi desenvolvido um método de cálculo de circuitos polifásicos desbalanceados 
pelo Dr. C. L. Fortescue, denominado “Método de Componentes Simétricos Aplicado à 
Solução de Sistemas Polifásicos”. 
Em resumo, o método consiste em decompor um sistema desequilibrado de N fases em N 
sistemas de fasores equilibrados. 
Um problema em análise poderia ser estudado e verificado dentro dos N sistemas e 
finalmente recompondo os resultados para se obter o resultado final para o sistema 
desequilibrado de N fases. No caso particular de sistema trifásico, ter-se-ia: 
Aplicação de Fórmulas de
Transformação
Aplicação de Fórmulas de
Transformação
Sistema Trifásico
desequilibrado a
resolver
Solução para o
Sistema Trifásico
desequilibrado.
Componentes de
Sequência POSITIVA (que
é um sistema trifásico
equilibrado)
Componentes de
Sequência NEGATIVA
(que é um sistema trifásico
equilibrado)
Componentes de
Sequência ZERO (que é
um sistema trifásico
equilibrado)
 
Figura 4.1 – Solução de Sistemas Desequilibrados 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 48 de 148
 
 
Observa-se que dentro de cada seqüência (0, + ou -) há um sistema trifásico equilibrado, 
podendo-se ter, para cada uma delas, um circuito equivalente monofásico: 
 
Componentes de
Sequência POSITIVA (que
é um sistema trifásico
equilibrado)
Componentes de
Sequência NEGATIVA
(que é um sistema trifásico
equilibrado)
Componentes de
Sequência ZERO (que é
um sistema trifásico
equilibrado)
Impedâncias de seq. (+)
Tensões de seq. (+)
Correntes de seq. (+)
Impedâncias de seq. (-)
Tensões de seq. (-)
Correntes de seq. (-)
Impedâncias de seq. (0)
Tensões de seq. (0)
Correntes de seq. (0)
 
Figura 4.2 – Cada seqüência é um sistema trifásico equilibrado 
 
Esses circuitos seqüenciais estão inter-relacionados, e o relacionamento depende do 
problema em análise no Sistema Desequilibrado. 
Verifica-se mais adiante que para um sistema equilibrado, não há componentes de 
seqüência zero ou negativa. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 49 de 148
 
4.2 CARACTERÍSTICAS DOS COMPONENTES SIMÉTRICOS 
A figura a seguir resume as características dos componentes seqüenciais: 
Sequência Zero (0)
Sistema Trifásico
Fasores iguais (módulo e ângulo) nas três fases.
ia0
ib0
ic0
ia1
ib1ic1
Sequência Positiva (1)
Sistema Trifásico
Fasores iguais em módulo e defasados 120 graus
Sequência de fases a, b, c (original do sistema)
ia2
ic2ib2
Sequência Negativa (2)
Sistema Trifásico
Fasores iguais em módulo e defasados 120 graus
Sequência de fases c,b,a (inversa ao original)
 
Figura 4.3 – Características dos componentes simétricos 
 
Conhecendo as características das seqüências, verifica-se que basta conhecer apenas 
uma das fases de cada seqüência para se determinar as demais fases da mesma 
seqüência. 
EXEMPLO 
Dados: ia0 = 5 /30o pu ia1 = 5 /30o pu ia2 = 5 /30o pu 
Determinar os componentes simétricos das demais fases. 
Pelas características dos componentes simétricos pode-se compor os seguintes vetores: 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 50 de 148
 
ia0
ib0
ic0
ia1
ib1
ic1 ia2
ic2
ib2
30o 30o 30o
 
Figura 4.4 – Exemplo. Dados os componentes de uma fase 
determina-se os de outras fases 
 
Assim, tem-se: 
Na Fase b: Ib0 = 5 /30o pu ib1 = 5 /-90o pu ib2 = 5 /+150o pu 
Na Fase c: Ic0 = 5 /30o pu ic1 = 5 /+150o pu ic2 = 5 /-90o pu 
 
RELAÇÕES 
Cada um dos fasores do conjunto desequilibrado original é igual à soma vetorial de seus 
componentes: 
ia = ia0 + ia1 + ia2 
ib = ib0 + ib1 + ib2 
ic = ic0 + ic1 + ic2 
 
va = va0 + va1 + va2 
vb = vb0 + vb1 + vb2 
vc = vc0 + vc1 + vc2 
 
Essas relações são FUNDAMENTAIS. A expressão matricial para essa relação é: 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 51 de 148
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
1
1
111
a
a
a
c
b
a
V
V
V
x
aa
aa
V
V
V
 
Efetuando a multiplicação de matrizes, tem-se: 
210 aaaa VVVV ++= 
21021
2
0 .. bbbaaab VVVVaVaVV ++=++= 
2102
2
10 .. cccaaac VVVVaVaVV ++=++= 
 
onde a = 1/+120o 
a2 = 1/-120o 
são os chamados operadores vetoriais. Têm módulo 1 e quando multiplicam um vetor, 
rodam esse vetor em 120 graus. Isto é: 
- Qualquer fasor multiplicado por a tem como resultante um outro vetor de mesmo 
módulo e defasado de +120 graus. 
- Qualquer fasor multiplicado por a2 tem como resultante um outro vetor de mesmo 
módulo e defasado de - 120 graus. 
Assim, 
va1
vb1 = a
2.va1
vc1 = a.va1
va2
vc2 = a
2.va2
vb2 = a.va2
 
Figura 4.5 – Uso do operador a 
As expressões acima, para tensão, são válidas também para corrente. 
RELAÇÃO INVERSA 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 52 de 148
 
A relação inversa, isto é, dados os valores de fase, pode-se calcular os componentes 
simétricos através da expressão: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
c
b
a
a
a
a
V
V
V
x
aa
aa
V
V
V
2
2
2
1
0
1
1
111
.
3
1
 
Efetuando a multiplicação de matrizes, tem-se: 
( )cbaa VVVV ++= .310 
( )cbaa VaVaVV ..31 21 ++= 
( )cbaa VaVaVV ..31 22 ++= 
Conhecendo-se os componentes da fase a, pode-se determinar os das demais fases, 
como já mostrado. 
As expressões acima, para tensão, são válidas também para corrente. 
 
EXERCÍCIO 
Dados: Ia = 10 /0o A e Ib = 10 /180o A (Trifásico desequilibrado) 
Determinaros componentes simétricos das fases a, b e c. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∠
∠
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
18010
010
1
1
111
.
3
1
2
2
2
1
0
o
o
a
a
a
x
aa
aa
I
I
I
 
( ) 0018010010.310 =+∠+∠= ooaI 
( ) ( )ooooooa xxI 6010010.3101201180101201010311 −∠+∠=−∠+∠∠+∠= 
( )( ) ( ) oa jjjI 30755,5898,2.566,8.15.31866,0.5,01010311 −∠=−=−=−+= A 
( ) ( )ooooooa xxI 6010010.3101201180101201010312 +∠+∠=∠+∠−∠+∠= 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 53 de 148
 
( )( ) ( ) oa jjjI 30755,5898,2.566,8.15.31866,0.5,01010312 +∠=+=+=++= A 
 
Conhecidos os componentes da fase a, pode-se determinar os das demais fases: 
Ia1
Ic1
Ib1
Ia2
Ic2
Ib2
30o
 
Figura 4.6 – Componentes Simétricos das Fases a, b e c 
00 =bI 00 =cI 
o
bI 150755,51 −∠= 
o
cI 90755,51 +∠= 
o
bI 150755,52 +∠= 
o
cI 90755,52 −∠= 
Isto é, houve a transformação de um sistema desequilibrado em componentes simétricos 
equilibrados. 
Somando-se os componentes simétricos, volta-se aos valores de fase, desequilibrados: 
Ia1Ib1
Ia2Ib2
Ic1
Ic2
Ib IaIc=0
 
Figura 4.7 – Determinação dos Valores de Fase a partir dos C. Simétricos 
ooo
aI 01030755,530755,5 ∠=−∠++∠= A 
ooo
bI 18010150755,5150755,5 ∠=−∠++∠= A 
090755,590755,5 =−∠++∠= oocI A 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 54 de 148
 
4.3 PARTICULARIDADES 
 
Vimos que: 
( )cbaa IIII ++= .310 
Assim, para um sistema trifásico equilibrado onde a soma das três correntes de linha é 
zero, tem-se: 
00 =aI 
Quando de um desbalanço para terra: 
( ) Ncba IIII =++ Donde: ( )Na II .310 = 
ou: 0.3 IIN = 
 
Vimos também que: 
( )cbaa IaIaII ..31 22 ++= 
Num sistema equilibrado: bc IaI .
2= e cb IaI .= 
Donde num sistema equilibrado: ( ) 0.312 =++= cbaa IIII 
CONCLUSÃO 
- Quando num sistema trifásico existe qualquer desbalanço, com ou sem terra, 
aparecem componentes de seqüência negativa. 
- Quando num sistema trifásico existe desbalanço para terra, aparecem 
componentes de seqüência zero. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 55 de 148
 
4.4 CIRCUITOS EQUIVALENTES E IMPEDÂNCIAS SEQUENCIAIS 
4.4.1 Seqüências Positiva e Negativa 
R j X
 Linhas Curtas (Até aproximadamente 80 km) 
 
R j X
- 2.j XC - 2.j XC
 Linhas Médias (Até aprox. 200 km) – Mod Pi 
 
j X (% ou pu)
 Transf. de Dois Enrolamentos com R desprezada 
 
R (pu ou %) j X (pu ou %)
 Transf. de Distribuição de Dois Enrolamentos 
p s
t
j Xp j Xs
j Xt
 Xp + Xs = Xps Xp + Xt = Xpt Xs + Xt = Xst Transf. de Três Enrolamentos com R desprezada 
 
Figura 4.8 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Positiva e Negativa 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 56 de 148
 
j Xd” ou j Xd’
 Máquina Síncrona – SEQUÊNCIA POSITIVA 
j Xd” ou j Xd’
 Máquina Síncrona – SEQUÊNCIA NEGATIVA 
j (Xs + Xr)
Em
 Motor de Indução – SEQUÊNCIA POSITIVA 
j (Xs + Xr)
 Motor de Indução – SEQUÊNCIA NEGATIVA 
 
Figura 4.9 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Positiva e Negativa de Máquinas 
 
4.4.2 Seqüência Zero 
Para Linhas de Transmissão, os modelos são iguais aos de seqüência positiva ou 
negativa, porém com valores diferentes para R e X: 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 57 de 148
 
R0 j X0
Linha Curta
- 2.j X0C
R0 j X0
- 2.j X0C
Linha Média / Longa 
 
Figura 4.10 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Zero de LT’s 
 
Para transformadores de potência, com alguma conexão triângulo, os circuitos 
equivalentes de seqüência zero são: 
 
Trafo de 2 enrolamentos -
Triângulo / Estrêla Aterradaj X0
j X0p j X0s
j X0t
p s
t
Trafo de 3 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Triângulo / Estrêla Aterrada
Trafo de 2 enrolamentos -
Triângulo / Estrêla
Trafo de 2 enrolamentos -
Triângulo / Estrêla Aterradaj X0
3Rn
Rn
 
 
Figura 4.11 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Zero de Transformadores com Delta 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 58 de 148
 
Para transformadores trifásicos sem alguma conexão triângulo, com núcleo envolvido (3 
pernas): 
 
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterrada
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela / Estrêla Aterrada
Rn
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterrada
j X0 /2
Rn
3.Rn
Rn
3.Rn
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterrada
jXm0
Núcleo Envolvido
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela / Estrêla Aterrada
Núcleo Envolvido
jXm0
jXm0
j X0 /2
j X0 /2
Núcleo Envolvido
Núcleo Envolvido
j X0 /2
3.Rn
jXm0
j X0 /2
Núcleo Envolvido
j X0 /2
jXm0
j X0 /2
 
 
Figura 4.12 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Zero de Transformadores Trifásicos com Núcleo 
Envolvido 
As justificativas para esses diagramas de seqüência zero estão no capítulo 5 do presente 
documento. 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 59 de 148
 
Para transformadores trifásicos com núcleo envolvente, ou bancos trifásicos constituídos 
de transformadores monofásicos, sem alguma conexão triângulo: 
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterradaj X0
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela / Estrêla Aterrada
Rn
3.Rn
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterrada
j X0
Rn
3.Rn
Rn
3.Rn
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela Aterrada / Estrêla Aterradaj X0
Núcleo Envolvente
Núcleo Envolvente
Núcleo Envolvente
Trafo de 2 enrolamentos -
Estrela / Estrêla Aterrada
Núcleo Envolvente 
 
 
Figura 4.13 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Zero de Bancos de Transformadores ou 
Transformadores Trifásicos com Núcleo Envolvente 
 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 60 de 148
 
Para geradores e motores: 
 
Gerador ou Motor
j X0
j X0
3Rn
Gerador ou Motor
Rn
Gerador ou Motor
Gerador ou Motor
 
 
Figura 4.14 – Circuitos Equivalentes de Seqüência Zero de Máquinas 
 
4.4.3 Exemplo 
Montar os diagramas de seqüência positiva, negativa e zero do sistema cujo unifilar está 
mostrado a seguir: 
1
3
4
5
6
7 8
9 10
G1
G2
G3
M
TR1
TR2
TR3
TR4
TR5
TR6
2
 
Figura 4.15 – Diagrama Unifilar do Exemplo 
 
CURSO DE PROTEÇÃO
FERRAMENTAS DE ANÁLISE
 
 
Componentes Simétricos 61 de 148
 
Diagrama de Seqüência Positiva: 
1
2
3 54
6
7
9
8
10
 
Figura 4.16 – Diagrama de Seqüência Positiva do Exemplo 
 
Diagrama de Seqüência Negativa: 
1
2
3 54
6
7
9
8
10
 
Figura 4.16 – Diagrama de Seqüência Negativa do Exemplo 
 
Diagrama de Seqüência Zero: 
1
2
3 54
6
7
98 10
 
Figura 4.17 – Diagrama de Seqüência Zero do Exemplo 
 
 
 
Diagramas de Seqüência Zero de Transformadores de Potência 62 de 148
 
5. DIAGRAMAS DE SEQUÊNCIA ZERO PARA TRANSFORMADORES DE POTÊNCIA 
5.1 INTRODUÇÃO 
Para estudos de curto-circuito e outras condições de desequilíbrio no sistema, há 
necessidade do conhecimento dos diagramas de seqüência zero de transformadores de 
potência. 
Este capítulo tem a finalidade de explicar ou justificar os diagramas utilizados, dependendo 
dos tipos de conexão e dos tipos de núcleos utilizados nos transformadores trifásicos. 
Deve-se lembrar da teoria de componentes simétricos que, para seqüência zero: 
000 cba III == e 000 cba VVV == 
O diagrama de impedâncias de uma dada seqüência deve representar o comportamento 
do transformador para as condições dessa seqüência. Nos exemplos a seguir, tem-se 
algumas condições impostas: 
Exemplo 1: 
Trafo Trifásico
ou Banco
Curto
Circuito
Fonte Trifásica
Equilibrada
ia
ib
ic
va
vbvc
 
Figura 5.01 – Condição de Seqüência Positiva (ou Negativa) aplicada no Transformador 
Neste ensaio de curto-circuito, o transformador está sendo solicitado por uma fonte trifásica 
equilibrada: