Retas e Planos no Espaço Tridimensional 6

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6 Retas e Planos no Espaço Tridimensional 6.1 Retas e Planos 128 6.2 Produto Vetorial 131 6.3 Produto Misto 135 6.4 Equações dos Planos 137 6.5 Equação Paramétrica do Plano 142 rede de ensino DOCTUM Transformando vidas!UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL OBJETIVOS: 01_Utilizar as ferramentas vetoriais desenvolvida nas unidades anteriores para estudar proble- mas geométricos; 2_Reconhecer espaço vetorial R2 e R ; 03_Compreender produto interno no espaço R3; 04_Determinar o produto vetorial e o produto misto; Calcular as áreas e volumes a partir do conhecimento de vetores e matrizes. 6.1 RETAS E PLANOS EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA NO ESPAÇO Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional. Um vetor V = (a, b, c) determina uma direção no espaço, conforme apresentamos na Figura. Dado um ponto existe uma única reta r paralela ao vetor V passando pelo ponto P r V Imagem: Reta r que passa pelo ponto P₀ e que é paralela ao vetor V. Gostaríamos de encontrar a equação desta reta. Um ponto P = (x,y,z) pertence a esta reta se, e somente se, vetor é paralelo a seja se e somente se é múltiplo escalar de isto é: Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e digital, sob as penas da lei. para algum escalar t E R. As coordenadas do vetor são dadas por: 128UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Portanto, P pertence a esta reta se, e somente se: ou seja, se e somente se: Assim, qualquer ponto P de coordenadas z) + tv pertence à reta dada. Esta equação é chamada uma equação paramétrica da reta r e chamado um vetor direção da reta. o parâmetro t pode ser imaginado como representando tempo; neste caso, vetor direção re- presenta a velocidade com que um ponto percorre esta reta. Exemplo A reta que passa pelo ponto P₀ = O, -2) é paralela ao vetor V = (-5, 8, 3) Sendo assim, represente matematicamente a equação paramétrica do problema. Solução: x=1-5t A expressão acima é chamada de equação paramétrica da reta simplesmente por que é escrita em termos de um parâmetro t. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Em analogia à mecânica, por exemplo, quando estamos tratando de um problema de física (como a função horária do espaço tanto no movimento retilíneo uniforme quanto no acelerado) parâ- metro equivale a um instante de tempo descrevendo a trajetória de uma partícula ou um corpo. Sabemos que dois pontos determinam uma reta que é uma visão bastante geométrica e intui- tiva. Uma equação paramétrica para esta reta pode ser encontrada uma vez que as coordenadas 129UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL destes pontos sejam distintas e conhecidas. Acompanhe próximo exemplo. Exemplo Encontre uma equação paramétrica para a reta que passa pelos pontos = 3, -2) e P₂ = Solução: Como o segmento orientado (4, -5, -2) (1, 3, -2) = (3, -8, pertence a esta reta, ela represen- ta um vetor direção para ela. Qualquer um dos pontos ou P₂ pode ser escolhido para construir uma equação paramétrica para a reta: ou z = -2 são duas equações paramétricas possíveis para esta reta. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA NO ESPAÇO A partir da equação paramétrica da reta: podemos resolver em t, se todas as componentes do vetor V são não-nulas, obtendo as equações simétricas da reta: Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. a b 130UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Exemplo As equações simétricas da reta do Exemplo são: 5 8 3 EQUAÇÕES DA RETA NO PLANO A equação paramétrica da reta que passa pelo ponto = paralela ao vetor V = (a,b)é dada por: cujas equações simétricas desta reta são: X = a b Daí, vemos que toda reta no plano pode ser representada por uma única equação da forma: Ax+By+C=0 por exemplo, b, Se podemos também escrever esta equação na forma: + com m = B/A e d = -C/A Neste caso, a inclinação da reta é ângulo entre e 180° dado por m. Se então a inclinação da reta é 90°. Uma reta no plano é determinada de forma única por sua inclinação e por um de seus pontos. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. 6.2 PRODUTO VETORIAL Vamos, agora, definir um produto entre dois vetores, cujo resultado é um vetor. Por isso, ele é chamado de produto vetorial. Deixamos a abordagem deste tema para esta unidade porque a sua utilização na geometria será evidente na próxima seção. 131UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Além disso, este produto tem aplicação, por exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partí- cula com carga unitária mergulhada em um campo magnético uniforme é produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo vetor campo magnético. PRODUTO VETORIAL Sejam V e W dois vetores no espaço. Definimos o produto vetorial, como sendo o vetor com as seguintes características: 01_Tem comprimento dada numericamente por: IIV X WII = ||W|| sin ou seja, a norma de VxWé numericamente igual à área do paralelogramo determinado por Ve W. A Figura ilustra esse resultado. 02_Tem direção perpendicular a Ve W. 03_Tem sentido dado pela regra da mão direita: se ângulo entre V e W é giramos vetor V de um ângulo até que coincida com W e acompanhamos este movimento com dedos da mão direita, então polegar vai apontar no sentido de W = 4 sen V V Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e O digital, sob as penas da lei. Imagem: Área de um paralelogramo determinado por dois vetores. 132UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Da forma como definimos produto vetorial é difícil seu cálculo, mas as propriedades que apresentaremos a seguir possibilitarão obter uma fórmula para produto vetorial em termos das componentes dos vetores. V W V W WxV Imagem: Regra da mão direita. PROPRIEDADES Sejam W vetores no espaço e um escalar. São válidas as seguintes propriedades: X (anti-comutativa). X W = se, e somente se, V = aw ou 05_v X (W + U) = V X W + V X U e (V W) X U = V X X U (Distributividade em relação a soma de vetores). Precisamos ainda destacar vetores canônicos do sistema tridimensional, que são: que são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor: Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. pode ser escrito com uma soma de múltiplos escalares de e k (combinação linear), pois: = 133UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL A) B) Z Z V = X X y y Imagem: a) Vetores unitários e b) Da definição de produto vetorial podemos obter facilmente as seguintes relações: ixj=k Agora, estamos prontos para obter uma fórmula que dê produto vetorial de dois vetores em termos de suas componentes. Usando os vetores unitários î,je k, produto vetorial V x W pode ser escrito em termo do deter- minante, da seguinte forma: Î Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. VxW= V₁ É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a memorização. De fato, até aqui só estudamos matrizes com entradas reais, e não uma matriz que mistura números reais e vetores do espaço! 134UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Outro ponto importante é a ordem de Ve W ao escrever determinante. Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, determinante de uma matriz muda de sinal. Se você deseja calcular W, escreva as componentes de V na segunda linha e as de W na terceira, e troque as linhas para calcular WxV. Exemplo Vamos calcular produto vetorial de u = (5,4,3) (1,0,1). Solução: 5 4 3 1 1 6.3 PRODUTO MISTO produto (vxw) chamado produto misto de u,ve Sendo = + + + w = + + Então, resultado a seguir mostra como calcular produto misto usando as componentes dos vetores. V₁ V₃ Exemplo Calcular produto misto dos vetores u -î e w = 5î Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Solução: 4 1 5 1 -2 2 -1 3 135UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Por fim, destacamos que produto misto tem uma função geométrica muito importante. En- quanto produto vetorial nos permite calcular áreas, produto misto de três vetores no espaço u vew, nos fornece volume do paralelogramo determinado por eles. A partir desses conhecimento, um critério para saber se três vetores são paralelos a um mesmo plano pode ser discutido. Consideremos os vetores u, V e W. Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano) se, e somente se, V₁ V₃ X w) Temos as seguintes propriedades. PROPRIEDADES Sejam ve w vetores coplanares não nulos no espaço. 01_Então, a equação vetorial tem solução não trivial, em que X, Z são escalares. 02_Então um dos vetores u,v ou w é combinação linear (soma de múltiplos escalares) dos ou- tros dois. 03_Se w são não paralelos, então combinação linear de ve No exemplo a seguir, vamos verificar se quatro pontos informados pertencem a um mesmo plano. Exemplo Considere P = (0,1,1), Q = (1,0,2) R = (1,-2,0) e S = (-2,2,-2) pontos distintos. Verifique se Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. são coplanares. Solução: Para que possamos verificar é preciso construir primeiros vetores. Tomemos como referência ponto P, e tracemos retas de cada um dos outros pontos a ele, ou seja: 136UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Os pontos P,Q, R e S pertencem a um mesmo plano se, e somente se, os vetores PQ, PR e PS são coplanares. E isso acontece se, e somente se, produto misto deles é igual a zero. Portanto, 1 -3 -1 (PR X PS) PQ = -2 1 -3 = 1 -1 1 Assim, P,Q, Re S são coplanares. 6.4 EQUAÇÕES DOS PLANOS EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Um plano no espaço é determinado de forma única por um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos. Portanto, conforme mostra a Figura, dado um vetor N = (a,b,c) e um ponto existe um único plano perpendicular ao vetor N passando pelo ponto N P Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Imagem: Vetor perpendicular (também chamado de normal) ao plano Um ponto = (x,y,z) pertence a este plano se, e somente se, vetor é perpendicular a N ou seja: 137UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO que equivale a: ou Chamando d (ax₀ + + isso pode ser escrito na forma: ax+by+cz+d=0 que é chamada uma equação geral do plano Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclina- ção e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor per- pendicular a ele, chamado vetor normal (N) ao plano e a equação de um plano é determinada se são dados um vetor normal e um de seus pontos. Outra questão importante é que a equação de uma reta é determinada se forem dados dois pon- tos da reta. Analogamente, no espaço, a equação de um plano é determinada se são dados três pontos P₁, P₂ e não colineares (isto é, não pertencentes a uma mesma reta). Com os três pontos podemos formar os vetores e Exemplo Encontre uma equação geral para O plano perpendicular ao vetor N = que passa pelo ponto (5,-2,7). Encontre uma equação geral para plano perpendicular a este mesmo vetor, mas que passa pelo ponto (0,0,0). Solução: Uma equação geral para este plano terá a forma: Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. coeficiente d será determinado pelo fato de que ponto (5,-2,7) pertencer a este plano. Logo: 138UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Portanto, uma equação geral para este plano será: - E uma equação geral para plano perpendicular a N passando pela origem será: Fazendo uso dos conceitos do produto vetorial e produto misto, vistos anteriormente, vamos en- contrar agora a equação de um plano que passa pelos pontos = (1/2,0,0), P₂ = 1/2, e Com três pontos devemos ser capazes de formar vetores e E com esses dois ve- tores, em um produto vetorial, podemos definir vetor normal N, ou seja: Assim, a equação do plano é da forma: 1 X + 1 4 4 2 em que coeficientes de Z são as componentes do vetor N. Para determinarmos o coefi- ciente d, vamos usar o fato de que ponto = (1/2,0,0) pertence ao plano Mas, ponto pertence a se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equação de П, ou seja: 1 + 1 + 1 4 2 4 2 Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Logo, d = Finalmente, uma equação do plano é: X + 1 + 1 Z 1 4 4 2 8 139UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ou, multiplicando por 8, obtemos: Alternativamente, podemos encontrar a equação geral do plano da seguinte forma agora com o conceito do produto misto. Como discutido anteriormente, três vetores, e são coplanares se, e somente se, produto misto entre eles é zero. Assim, um ponto P = per- tence a se, e somente se: Mas, 2 2 2 2 2 2 Então, X -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 y 1/2 Z = 4 1 2 1 + 4 1 2 1 e assim, a equação do plano é dada por: Uma observação para que reflita: não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Pois, por um lado, um plano é um conjunto de pontos e por outro, os vetores são livres, podendo ser Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. colocados em qualquer ponto. correto é dizer que um vetor é paralelo a um plano. EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DO PLANO Dois vetores não-colineares e um ponto determinam um plano, ou seja, existe um único plano paralelo a dois vetores não colineares V = = passando pelo ponto Um ponto P - z) pertence a este plano se, e somente se, vetor é 140UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL paralelo a ambos os vetores V, W, ou seja, se e somente se é uma combinação linear de ve w, isto é, para alguns escalares t, S ER. De fato, dada um vetor N perpendicular a este plano, para qualquer combinação linear = tv + SW, nós temos: que mostra que segmento orientado com ponto inicial representante de u pertence a este plano. Reciprocamente, para qualquer ponto P do plano, o segmento orientado pode ser dado como combinação linear de representantes dos vetores w com ponto inicial do seguinte modo: trace a partir do ponto paralelas a estes representantes e considere as interseções destas retas paralelas com as retas suportes destes representantes; cada um destes segmentos será um múltiplo escalar dos representantes de e e, pela regra do paralelogramo, segmento orientado será a soma destes múltiplos escalares. Portanto, P pertence a este plano se, e somente se, ou seja, se e somente se: Assim, qualquer ponto P de coordenadas + + tv₃ + tv + pertence ao plano dado, conforme ilustra a Figura (1.6). Esta equação é chamada uma equa- Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. ção paramétrica do plano P w V Imagem: Vetores ve w contidos no plano 141UNIDADE 6 RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Exemplo: Encontre uma equação paramétrica para plano considerando = e = Solução: Como: são vetores paralelos ao plano e escolhendo ponto como um ponto pertencente ao plano, seque que uma equação paramétrica para plano é dada por: - 6.5 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DO PLANO Lembre-se que a distância entre dois pontos e P₂ é dada por: DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO Sejam um ponto e : + bycz + d = O um plano. A distância do ponto ao plano é, por definição, a distância ao ponto de que está mais próximo de Traçando a reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano esta reta vai interceptar plano exatamente no ponto do plano mais próximo a Isto é uma simples consequência do Teorema de Pitágoras, que implica entre outras coisas que o cateto de um tri- ângulo retângulo tem sempre comprimento menor que comprimento de sua hipotenusa. A Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Figura (1.7) ilustra essa ideia. N P Imagem: da distância entre um plano e um ponto no espaço 142UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO No entanto, não precisamos encontrar este ponto específico para achar a distância Como a figura acima ilustra, dado qualquer ponto de podemos decompor o vetor em duas componentes: uma componente na direção do vetor normal N = (a c) a e outra perpendicular a N. Recorde que a componente na direção de a projeção ortogonal pro- de sobre N. Então, como podemos ver pela figura: dist Como vimos anteriormente, temos = Segue, portanto, que: dist = N| Exemplo Calcule a distância do ponto (1,0,-2) ao plano - Solução: Primeiro precisamos encontrar um ponto do plano Fazendo X =y=0 na equação de encon- tramos Portanto pertence ao plano Logo, como ,-2) (1 -4), temos: dist = 20| 18 = = = 4 25 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA Sejam = um ponto e r uma reta. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e O digital, sob as penas da lei. A distância do ponto a reta r é, por definição, a distância de ao ponto de r que está mais próximo de Traçando a reta que passa pelo ponto e é perpendicular a reta r, esta reta vai interceptar a reta r exatamente no ponto de r mais próximo a mais uma vez pelo fato de que cateto de um triângulo retângulo tem sempre comprimento menor que comprimento de sua hipotenusa, conforme apresentado na Figura (1.8). 143UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO V P₀ Imagem: Projeção do cateto da distância entre um ponto e uma reta Mais uma vez, não é necessário encontrar este ponto para achar a distância entre er. Dado um ponto qualquer = de r, podemos decompor vetor em duas componentes: uma componente na direção do vetor-direção V da reta r e outra perpendicular a V. Vemos, da figura, que: portanto, como = seque que, se o ângulo entre e temos: Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. = = 144UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO Assim, Exemplo: Calcule a distância do ponto = O, -2) a reta r dada pela equação paramétrica x=2-3t Solução: Primeiro precisamos encontrar um ponto da reta r. Fazendo t=0 na equação de r, obtemos = (2,1,0) pertencente a r. Em segundo lugar, um vetor na direção de r é (-3, -1, -5) ou mesmo (3, 1,5) Logo, como = -2) (2, 1, -1, -2), temos: -1 -1 -2 3 1 5 que nos permite encontrar dist = 9 4 14 35 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. Sejam dois planos quaisquer e A distância entre eles é definida como a menor de todas as distâncias entre todos pares possíveis de pontos formados por um ponto pertencente ao plano e outro ponto pertencente ao plano Em linguagem matemática: dist = min dis P₂) P₂ 145UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL Em particular, se os planos não são paralelos, e portanto se interceptam ao longo de uma reta, ou se eles são coincidentes, temos dist Se eles são paralelos e não coincidem, mais uma vez não é necessário encontrar pares de pon- tos pertencentes a estes planos que se encontram a menor distância um do outro (note que há um número infinito de tais pontos: quaisquer dois pontos do plano que estejam em uma reta perpendicular aos planos realiza a distância mínima). Escolha dois pontos quaisquer , z₁) e pertencentes aos planos e respectivamente. Seja N um vetor normal a qualquer um dos planos; como eles são paralelos, seus vetores normais são também paralelos, seus vetores normais são também paralelos. Então, como podemos observar da Figura (1.9). N P₂ Imagem: Planos vistos em perfil Exemplo: Calcule a distância entre planos + 5z + 1 = e 6y 10z 10 Solução: Note que estes dois planos são paralelos, com (2, -3, 5) um vetor normal a ambos os planos, já que Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. (4, -6, 10) 2(2, -3, 5). Eles não são coincidentes, pois - também uma equação para segundo plano. Precisamos agora encontrar um ponto de cada plano. Fazendo em ambas as equações, encontramos na primeira e na segunda. Portanto, = O, -1/5) e P₂ O, Logo, O, tal que: dist 6 38 146UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL RESUMO: Nesta unidade estudamos como as ferramentas vetoriais desenvolvidas nas unidades anteriores podem nos ajudar a resolver problemas geométricos. Vimos que um plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. primeiro entendimento veio da noção intuitiva de que se tomarmos um reta, existem infinitos planos paralelos entre si e que são perpendiculares a direção dessa reta. Por outro lado, se fixarmos uma direção, e também fixarmos um ponto, só há um plano que contém esse ponto em questão. Também vimos a definição do produto vetorial e do produto misto. Esse conhecimento é muito importante para as disciplinas de Cálculo e Física. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e O compartilhamento digital, sob as penas da lei. 147UNIDADE 6: RETAS E PLANOS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL REFERÊNCIA: BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. Pearson / Prentice Hall (Grupo Pearson), 2004. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. Makron Books (Grupo Pearson), 2000. ANTON, Howard. Álgebra Linear com Aplicações edição. Bookman, 2001. MACHADO, Antonio dos Santos. Álgebra Linear e Geometria Analítica - edição. São Paulo: Atual Editora, 1996. MURDOCK, David D. Geometria Analítica edição. Rio de Janeiro: LCT Editora, 1971. BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lucia; WETZLER, Henry G. Álgebra Linear edição. São Paulo: Harper e How do Brasil, 1980. Material para uso exclusivo dos alunos da Rede de Ensino Doctum. Proibida a reprodução e compartilhamento digital, sob as penas da lei. 148rede de ensino DOCTUM