Unidade 4

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Espa≈o Vetorial ê e 
Produto Interno
4
4.1 Vetores no ²
4.2 Vetor defi nido por dois pontos
4.3 Translação de Eixos
4.4 Norma de um vetor
4.5 Produto Escalar: Projeções
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Espa≈o Vetorial ê e 
4.1 Vetores no ²
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
OBJETIVOS:
01_Reconhecer produtos internos; 
02_Determinar a norma de um vetor e o ângulo entre dois vetores; 
03_Identifi car vetores ortogonais; 
04_Aplicar as propriedades dos produtos internos na resolução de exercícios. 
4.1 VETORES NO ²
O conjunto 
 ² = • = {( x , y ) / x , y Є }
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x0y .
Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento orientado 
OP) cuja origem é a origem do sistema.
Em nosso estudo consideramos geralmente vetores representados por segmentos orientados 
com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado pelo 
ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P ( x , y ) individualiza o vetor v = OP e escreve-se: 
v = ( x , y )
 
identifi cando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
De um modo geral, dados dois vetores quaisquer v1 e v2 não paralelos, para cada vetor v represen-
tado no mesmo plano de v1 e v2, existem uma só dupla de números reais a1 e a2, tal que: 
v = a1 v1 + a2 v2
A Figura ilustra essa situação, na qual v1 e v2 são vetores não paralelos quaisquer e v é um vetor 
arbitrário do plano determinado por v1 e v2.
4.1 VETORES NO ²
 = {( x , y ) / x , y Є } = {( x , y ) / x , y Є } ² = • ² = •
Imagem: Vetores v1 e v2 no mesmo plano x0y . 
v→
v2
→
v2
→
a2
v1
→
a1v1
→
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
Como estudamos na unidade anterior, quando o vetor v é expresso como em (1.1), diz-se que 
v é combinação linear de v1 e v2. O conjunto B= { v1 , v2 } é chamado base no plano. Aliás, qual-
quer conjunto de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Então, dada uma base 
qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo 
único.
Os números a1 e a2 da igualdade (1.1) são chamados componentes ou coordenadas de v na base B 
( a1 é a primeira componente, e a2 a segunda).
O vetor v da igualdade pode ser representado também por v = ( a1 , a2)B ou simplesmente 
v = (a1 , a2 )B.
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortogonais.
Uma base { ê1 , ê2 } é dita ortogonal se seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, se ê1 ê2 
e | ê1 | = | ê2 | = 1.
Entre as infi nitas bases ortogonais no plano, uma delas é particularmente importante. Trata-se 
da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal x0y. Os vetores ortogonais e 
unitários, neste caso, são simbolizados por î e ĵ (se lê, i chapéu e j chapéu), ambos com origem em 
0 e extremidades em ( 1 , 0 ) e ( 0 , 1 ) , respectivamente, sendo a base C = { î , ĵ } chamada canônica. 
Portanto, î = ( 1 , 0 ) e ĵ = ( 0 , 1 ). A Figura ilustra essa base no plano cartesiano.
Imagem: Base canônica do sistema cartesiano.
( 0 , 1 )
( 1 , 0 )
j
→
i
→O
x
y
1 
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
Daqui por diante, trataremos somente da base canônica.
Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que: 
v = xî + yĵ
Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente é chama-
da abcissa de v , e a segunda componente y é a ordenada de v.
O vetor v em é também representado por: 
v = x + y
dispensando-se a referência à base canônica C .
A igualdade acima também sugere a seguinte defi nição:
VETOR NO ²
Vetor no plano é um par ordenado ( x , y ) de números reais.
O par ( x , y ) é chamado expressão analítica de v. Vejamos alguns exemplos a seguir.
Exemplo
Observe a diferença entre as notações da forma vetorial e analítica de alguns vetores: 
3î - 5ĵ = ( 3 , 5 )
3ĵ = ( 0 , 3 )
-4î = ( -4 , 0 )
0 = ( 0 , 0 )
Imagem: Componentes do vetor v na base canônica
j
→
i
→O
x
j
→
y
i
→
x
v
→
y
 ²
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
4.2 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS
Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x1 , y1) e extremidade em B(x2 , y2), conforme a 
Figura.
De acordo com o que foi visto na Equação, os vetores OA e OB têm expressões analíticas: 
OA = ( x1 , y2 ) OB= ( x2 , y2 )
 
Por outro lado, do triângulo OAB da fi gura, vem: 
OA + AB = OB 
ou 
AB = OB - OA
ou ainda, 
AB = ( x2 , y2 ) - ( x1 , y1 )
e assim: 
AB = ( x2 - x1 , y2 - y1 ) 
ou seja, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas de extremidade B as 
coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B - A.
O
x
y
A
B
Imagem: Vetor AB defi nido pelos segmentos OA e OB .
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
É importante lembrar que um vetor tem infi nitos representantes que são os segmentos orienta-
dos de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, entre infi nitos representantes 
do vetor AB , o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em 0( 0 , 0 ) e extremidade em 
P( x2 - x1 , y2 - y1 ), conforme apresenta a Figura.
O vetor v = OP é também chamado de vetor posição ou representante natural de AB.
Na Figura, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor v = P - O = B - A + 
D - C = ( 3 , 1 ).
Esta fi gura deixa claro que o fato dos segmentos orientados ocuparem posições diferentes é ir-
relevante. O que importa é que tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo 
sentido para representarem o mesmo vetor.
Por outro lado, sempre que tivermos v = AB ou v = B - A, podemos também concluir que: 
B = A = v ou B = A + AB
 
ou seja, o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B.
Caracterização do vetor AB a partir da origem, dando origem ao vetor v = OP.
y
x1
y2
y1
A( x1 , y1 )
x2
B( x2 , y2 )
x
O
P( x2 , x1 , y2 , y1 )
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
y
1
B( 1 , 4 )
x
O 2 3
1
2
3
4
4
D( 4 , 3 )A( -2 , 3 )
-2
C( 1 , 2 )
P( 3 , 1 )v→
Representaçãodo vetor v = OP a partir dos pontos conhecidos A(-2, 3),B(1, 4), C(1, 2) e D(4, 3).
Vejamos um exemplo.
Exemplo:
Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4) , determinar o ponto D de modo que CD=1/2 AB . 
Solução:
Seja D(x, y). Então: 
CD = D - C = (x, y) - (-2, 4) = ( x + 2, y -4)
AB = B - A = (3, -1) - (-1, 2) = ( 4, -3)
Logo, 
(x + 2 , y - 4) = 1/2 (4, - 3)
 (x + 2 , y - 4) = (2, - 3/2)
 
Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se: 
sistema cuja solução é x = 0 e y = 5/2 . E, portanto: 
D(0 , 5/2 )
 
 x
 y{ 2
4
 2
-3/2
+
-
=
=
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
4.3 TRANSLAÇÃO DE EIXOS
A solução de muitos problemas pode ser simplifi cada pela translação dos eixos de um sistema de 
coordenada xy para obter um sistema de coordenadas x' y' , cuja origem O' está no ponto
(x , y ) = ( h , k ) , conforme apresentado na Figura. Vejamos como obter as chamadas equações 
de translação.
Um ponto P no espaço bidimensional tem agora tanto coordenadas (x, y) quanto coordenadas 
(x', y'). No sistema xy , seu ponto inicial está em ( h , k ) e seu ponto fi nal estão em (x, y) , de modo 
que o ponto P(x', y') = ( x - h, y - k ), e portanto: 
 
x' = x - h , y' = y - k
Estas fórmulas são chamadas equações de translação.
Estas fórmulas são chamadas equações de translação.
Exemplo
Suponha que um sistema de coordenadas xy é transladado para um sistema de coordenadas 
x'y', cuja origem tem coordenadas xy dadas por (k , l) = ( 4 , 1 ). 
01_Encontre as coordenadas x'y' do ponto com coordenadas xy dadas por P( 2 , 0 ). 
02_Encontre as coordenadas xy do ponto com coordenadas x'y' dadas por Q( -1 , 5 ) . 
Para a solução da letra ( a ), temos: 
O
x
y
Imagem: Translação de sistemas de coordenadas
M
N N'
M' O' (h , k)
P = (x , y) = P = (x' , y')
x'
y'
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
 x'
 y' {x - k
y - l
=
=
 x'
 y'
2 - 4 = -2
0 - 1 = -1
=
=
Portanto, 
( x', y' ) = ( -2 , -1 ) 
Na letra (b) teremos: 
 
 
E, portanto, 
( x , y ) = ( 3 , 6 )
 
4.4 NORMA DE UM VETOR
O comprimento de um vetor é muitas vezes chamado norma de v e é denotado por ||v| . Segue, 
do Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor v = ( v1 , v2 ) no espaço bidimensional é: 
|| v || = Ѵ v1 + v2
 
Se P1 ( x1 , y1 , z1 ) e P2 ( x2 , y2 , z2 ) são dois pontos no espaço tridimensional, então a distância d entre 
eles é a norma do vetor P1P2. Como: 
P1P2 = ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 )
segue que: 
 d = Ѵ( x2 - x1 )² + ( y2 - y1 )² + ( z2 - z1 )²
Da defi nição do produto kv, o comprimento do vetor kv é |k vezes o comprimento do vetor v . 
Em forma de equação, esta afi rmação diz que: 
|| kv || = |k| ||v||
 x
 y {x' + k
y' + l
=
=
 x
 y
-1 + 4 = 3
 1 + 5 = 6
=
=
²²
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
Exemplo
Se v = (2, -3) , então: 
 ||v|| = Ѵ( 2 )² + ( -3 )² = Ѵ4 + 9 = Ѵ13 u.c. ( unidades de comprimento)
 
Por fi m, admitimos que um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário, que é matemati-
camente defi nido como: 
O próximo exemplo mostra como defi nimos um vetor unitário, que é também chamado de ver-
sor.
Exemplo 
O versor de v = ( 3, -4 ) é: 
 
O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois: 
É importante observar que este versor v é também versor de todos os vetores múltiplos de que 
tiverem o mesmo sentido que ele.
4.5 PRODUTO ESCALAR: PROJEÇÕES
Vamos defi nir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar. Por isso ele é 
chamado produto escalar. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: o trabalho reali-
zado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento, quando a força 
aplicada é constante.
Sejam u e v dois vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional e suponha que estes vetores 
v 
||v||
v = ^ 
v 
||v||
v = ^ (3 , -4) 
Ѵ( 3 )² + ( -4 )² 
(3 , -4) 
Ѵ25 
(3 , -4) 
5 
3 - 4 
5 5( )= = = 
v = ^ 3 - 4 
5 5( ) = 
3
5( ) 4 
5( )+ 
9
25
16 
25= + 
25
25= = 1Ѵ Ѵ Ѵ
^ 
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
foram posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. Pelo ângulo entre u e v nós 
entendemos o ângulo Ѳ determinado por u e v que satisfaz 0 ≤ Ѳ ≤ π.
PRODUTO ESCALAR
O produto escalar ou interno de dois vetores u e v é defi nido por: 
 
sendo Ѳ o ângulo entre os vetores. 
Exemplo 
Determine u ∙ v , quando u = ( 0 , 1 ) , v = ( 2 , 2 ) e Ѳ = 45º. 
Solução:
u ∙ v = ||u|| ||v|| cos Ѳ
= Ѵ0² + 1² Ѵ2² + 2² cos 45º
= 1Ѵ8 
Quando os vetores são dados em termos de suas componentes não sabemos diretamente o ân-
gulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não neces-
site do ângulo entre os vetores.
Se u = ( u1 , u2 ) e v = ( v1 , v2 ) são dois vetores não nulos e Ѳ é o ângulo entre eles, então pela lei dos 
cosenos, o segmento PQ é dado por: 
||PQ||² = ||u||² + ||v||² - 2||u|| ||v|| cos Ѳ 
Como PQ = v - u , podemos escrever a expressão acima como:
||u|| ||v|| cos Ѳ = 1/2 (||u||² + ||v||² - ||v - u||²,
ou
u ∙ v = 1/2 (||u||² + ||v||² - ||v - u||²)
 x
 y{ ||u|| ||v|| cos Ѳ,
0,
=
=
se u≠0 e v≠0
se u=0 ou v=0u ∙ v =
= 4
2
= 2Ѵ2
2
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
Imagem: Produto escalar no espaço tridimensional
x
y
Q
P
v
uѲ
PQ = v - u
Substituindo: 
||u||² = u1 + u2
||v||² = v1 + v2
e 
 ||v - u||² = ( v1 - u1)² + ( v2 - u2)²
e, simplifi cando, obtemos: 
 
u ∙ v = u1 v1 + u2 v2
Se u = ( u1, u2, u3) e v = ( v1, v2, v3) são dois vetores no espaço tridimensional, então a fórmula an-
terior seria: 
u ∙ v = u1 v2 + u2 u2 + u3 v3
Se retornarmos às defi nições dos vetores u e v utilizando a notação: 
u = u1î + u2ĵ
v = v1î + v2ĵ
chegamos a uma outra conclusão muito importante do produto escalar. De acordo com o resul-
tado acima para u ∙ v, temos: 
u ∙ v = u1 v1 (î ∙ î )+ u2 v2(î ∙ î ) 
= u1 v2 + u2 v2 
²²
²²
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 ESPAÇO VETORIAL ² E PRODUTO INTERNO
o que implica no caso bidimensional: 
î ∙ î = ĵ ∙ ĵ = 1
e que: 
î ∙ ĵ = ĵ ∙ î = 0
 
O signifi cado deste resultado acima é o seguinte: o produto escalar entre vetores ortogonais énulo! 
Chegamos a mesma conclusão de um outro modo. Se consideramos u e v como dois vetores 
não-nulos, então podemos calcular: 
cujos possíveis resultados têm as seguintes interpretações: 
01_ Ѳ é agudo ( 0 ≤ Ѳ ≤ π/2 ) se, e somente se, u ∙ v > 0, 
02_ Ѳ é reto ( Ѳ = π/2 ) se, e somente se, u ∙ v = 0, e 
03_ Ѳ é obtuso ( π/2